Algèbre linéaire avancée Prof. A. Abdulle Automne 2015 EPFL Résumé de la semaine du 9 Novembre 2015 Dénition de l'ensemble d'applications linéaires noté L(V, W ). Il s'agit d'un K -espace vectoriel (espace vectoriel sur un corps K ). Dénition du noyau d'une application linéaire ker(f ) et de l'image de f , noté Im (f ). Soient V, W deux K -espaces vectoriels et f : V → W une application linéaire. Alors Lemme 1. i) ker(f ) est un sous-espace vectoriel de V et Ker(f ) = {0} si et seulement si f est injective. ii) Im (f ) est un sous-espace vectoriel de W et Im (f ) = W si et seulement si f est surjective. Si f : V → W est linéaire bijective (isomorphisme) alors f −1 : W → V est aussi linéaire. Corollaire. Soient V, W deux K -espaces vectoriels et f : V → W une application linéaire. Alors Lemme 2. i) si {v1 , . . . , vn } est une famille linéairement dépendante de V alors {f (v1 ), . . . , f (vn )} est une famille linéairement dépendante de W . ii) si {v1 , . . . , vn } est une famille linéairement indépendante de V et f est injective, alors {f (v1 ), . . . , f (vn )} est une famille linéairement indépendante de W . Corollaire. Soient V, W deux K -espaces vectorielsde dimension nie. Supposons qu'il existe un isomorphisme f : V → W . Alors dim(V ) = dim(W ). Dénition du rang d'une application linéaire. Soit A ∈ Mm×n (K). On considère l'application linéaire fA : K n → K m dénie par fA (x) = Ax. Alors rang (fA ) = rang (A). Lemme 3. (Théorème du rang). Soient V, W deux K -espaces vectoriels avec dim V < ∞ et f : V → W une application linéaire. Alors n = dim(V ) = rang (f ) + dim ker(f ) Théorème 1 Soient V, W deux K -espaces vectoriels de dimension nie avec dim V = dim W , et f : V → W une application linéaire. Alors les armations suivantes sont équivalentes Corollaire. i) f est injective, ii) f est surjective, iii) f est bijective. 17 5.2 Coordonnée d'un vecteur, matrice d'une application linéaire Représentation d'une application linéaire avec une matrice. Théorème 1. Soient V, W deux K -espaces vectoriels avec dim V = dim W < ∞. Soit BV = {v1 , . . . , vn } et BW = {w1 , . . . , wn } des bases de V et W . ALors il existe une unique application linéaire f : V → W telle que f (vi ) = wi , i = 1, . . . , n. Cette application linéaire est un isomorphisme. Soient V un K -espace vectoriel de dimension nie et B = {v1 , . . . , vn } une base de V . Alors il existe un unique isomorphisme [·] : V → K n tel que [vi ]B = ei , i = 1, . . . , n où {e1 , . . . , en } est la base canonique de K n . Corollaire. Dénition d'un système de coordonnées, exemples. Matrice d'une application linéaire Soit f : K n → K m une application linéaire, K un corps. Alors il existe une unique matrice A ∈ Mm×n (K) telle que f (x) = Ax. Lemme 1. Dénition de la matrice de l'application linéaire f par rapport aux bases BV et BW , que l'on note [f ]BV ,BW . Exemples. Soient V, W deux K -espaces vectoriels de dimension nies et BV , BW des bases de V , W respectivement. Notons n = dimV et m = dimW . Alors l'application ψ : L(V, W ) → Mm×n (K) qui envoie f 7→ [f ]BV ,BW est un isomorphisme d'espace vectoriel. Théorème 2. Corollaire. Soient V, W deux K -espaces vectoriels avec dim V = n et dim W = m. Alors dim(L(V, W )) = m · n. Soient U, V, W des K -espaces vectoriels de dimension nie avec des bases BU , BV , BW . Soient g : U → V et f : V → W des applications linéaires. Alors [f g]BU ,BW = [f ]BV ,BW · [g]BU ,BV . Théorème 3. Soit V, W deux K -espaces vectoriels avec bases BV et BW . Supposons que dim V = dim W . Soit f ∈ L(U, W ), f bijectivre (isomorphisme), alors [f −1 ]BW ,BV = ([f ]BV ,BW )−1 . Corollaire. Informations générales, séries et corrigés: cf. http://anmc.epfl.ch/Algebre.html. 18