CHAPITRE 1 Ensembles numériques Règles de calcul Relations et

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G.L. - CHAPITRE 1 - 1
CHAPITRE 1
Ensembles numériques
Règles de calcul
Relations et opérations
Sous-ensembles remarquables
Sommaire
A) L'ensemble
N
des nombres entiers "naturels"
B) l'ensemble
Z
des nombres entiers "relatifs"
C) l'ensemble
Q
des nombres "rationnels" :
D) l'ensemble
R
des nombres "réels"
E) l’ensemble
C
des nombres "complexes"

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Avertissement :
La construction théorique des ensembles de nombres entiers, rationnels, réels, complexes IN,
Q, IR, C, n’est pas au programme du DAEU-B. Le lecteur trouvera ici les règles de calcul et les
propriétés des nombres et des ensembles numériques à connaître pour la suite.
Pour chaque ensemble de nombres, nous précisons les opérations et les relations qui relient
ces nombres, ainsi que les parties (sous-ensembles) remarquables.
A) L'ensemble
N
des nombres entiers "naturels"
Un entier naturel est par exemple le résultat d’un comptage d’objets (aspect “ cardinal ”) ou de
l’énumération d’une liste (aspect “ ordinal ”). Dans l’ensemble IN, on définit des opérations
(addition, multiplication) et des relations telles que : “ égal ” notée =, “ inférieur ou égal ”, notée
≤ , ou bien “ divise ”, notée |.
Exemples : 2 ≤ 5, 3 | 12.
N.B. : ces relations donnent naissance à leur tour à des opérations telles que max, min, pgcd,
ppcm.
1) Propriétés de l’addition : Exemples
a + b = b + a 2 + 3 = 3 + 2 = 5
a + (b + c) = (a + b) + c 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5
a + 0 = 0 + a = a 3 + 0 = 0 + 3 = 3
ainsi que :
a + c = b + c ⇒ a = b (règle de simplification) a + 2 = b + 2 ⇒ a = b
2) Propriétés de la multiplication : Exemples
a b = b a 2 . 3 = 3 . 2 = 6
a (b c) = (a b) c 2 . (3 . 5) = 2 . 15 = (2 . 3).5 = 6 . 5
a . 1 = 1 . a = a 3 . 1 = 1 . 3 = 3
a . 0 = 0 . a = 0 2 . 0 = 0 . 2 = 0
De plus, si un produit a . b est nul, alors l’un au moins des deux termes est nul.
Propriétés vis à vis de l’addition :
a (b + c) = a b + a c 2 (3 + 1) = 2 . 3 + 2 . 1 Enfin :
c a = c b et c ≠ 0 ⇒ a = b 3 . a = 3 . b ⇒ a = b (règle de simplification)
D’où les importantes propriétés concernant carré, cube d’une somme :
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2 a b + b2 (2 + 3)2 = 22 + 2 . 2 . 3 + 32
(a + b)3 = a3 + 3 a² b + 3 a b² + b3 (2 + 3)3 = 23 + 3 . 22 . 3 + 3 . 2 . 32 + 32

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3) règles du calcul des puissances :
ab ac = ab+c 2
2 . 23 = (2.2).(2.2.2) = 22+3 = 25 = 32
( ab )c = abc (2
2)3 = (2.2).(2.2).(2.2) = 22.3 = 26 = 64
( a b ) n = a n . b n (2.3)
2= (2.3).(2.3) = 22.32= 4.9 = 62= 36
4) propriétés de la relation ≤ :
Etant donné 2 entiers a et b, la relation : a ≤ b est vraie si b est le résultat d’une addition d’un
entier c à l’entier a, soit : b = a + c.
Cette relation “ a inférieur ou égal à b ” vérifie les propriétés suivantes.
a ≤ b et b ≤ a ⇒ a = b Exemples
a ≤ b et b ≤ c ⇒ a ≤ c 2 ≤ 3 et 3 ≤ 5 ⇒ 2 ≤ 5
ainsi que :
a ≤ b et c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d 2 ≤ 5 et 3 ≤ 7 ⇒ 2 + 3 ≤ 5 + 7
a ≤ b et c ≤ d ⇒ a . c ≤ b . d 2 ≤ 5 et 3 ≤ 7 ⇒ 2 . 3 ≤ 5 . 7
en revanche, prendre garde ci-dessous à la "règle fausse" :
a ≤ b et c ≤ d ⇒ a - c ≤ b - d 5 ≤ 7 et 1 ≤ 3 ⇒ 5 - 1 ≤ 7 - 3
5) Maximum et minimum :
Etant donné deux entiers a et b, on définit les opérations :
M = max { a ; b } par : M = a si a ≥ b,
M = b si a ≤ b. max { 3 ; 5 } = 5
De même :
M = min { a ; b } par : M = a si a ≤ b,
M = b si a ≥ b. min { 3 ; 5 } = 3
6) propriétés de la relation | : Exemples
a | b et b | a ⇒ a = b
a | b et b | c ⇒ a | c 2 | 6 et 6 | 18 ⇒ 2 | 18
ainsi que :
a | b et a | c ⇒ a | (b + c) 7 | 21 et 7 | 35 ⇒ 7 | 56
Tout entier a possède des diviseurs (au moins deux : 1 & a lui-même), et une infinité de
multiples : 2a, 3a, 4a, etc... l’entier 31 n’a comme diviseurs que 1 et 31 : il est premier. On
notera D ( a ) l’ensemble de ses diviseurs et M ( a ) celui de ses multiples.
Deux entiers a et b ont des diviseurs communs (au moins le nombre 1) et des multiples
communs (notamment le produit axb). Ci-dessous, 3 cas typiques :
a b D (a) D (b) PGCD PPCM Observations
5 7 {1 ; 5} {1 ; 7} 1 35 5 et 7 sont premiers
8 9 {1 ; 2 ; 4 ; 8} {1 ; 3 ; 9} 1 72 8 et 9 premiers entre eux
12 18 {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12} {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18} 6 36 a x b = PGCD x PPCM

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7) décomposition en facteurs premiers, PGCD, PPCM
L'idée est de déterminer tous les nombres premiers par lesquels un nombre donné est divisible,
et avec quel exposant. Exemple : 72 = 23 x 3
2. Cela permet de trouver rapidement pour 2
nombres ainsi décomposés le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) et le Plus Petit Commun
Multiple (PPCM), comme indiqué ci-dessous.
Exemple : les nombres 210 et 360
210 | 2
105 | 3
35 | 5
7 | 7
1 | 1
ainsi :
210 = 2 x 3 x 5 x 7 et 360 = 23 x 32 x 5
360 | 2
180 | 2
90 | 2
45 | 3
15 | 3
5 | 5
1 | 1
Le PGCD sera égal à 2 x 3 x 5 = 30, le PPCM sera égal à 23 x 32 x 5 x 7 = 2520.
8) division euclidienne :
Soient 2 entiers a et b (b ≠ 0). Supposons a > b. Parmi les multiples de b {2.b, 3.b, 4.b, etc...},
on note q.b le dernier qui précède a, et l’on calcule le reste : r = a - q.b. Ainsi :
a = b.q + r avec r < b.
(a = dividende, b = diviseur)
a | b
r | q
|
Exemple : a = 25 et b = 8, les multiples de 8 sont : 8*1=8, 8*2=16, 8*3=24, 8*4=32, etc... le
dernier précédant 25 est 8*3=24, le reste : r = 25 - 3*8 = 1. Quotient q = 3, reste r = 1.
Si b | a, alors le reste r est égal à 0, et réciproquement.
Exemple : si a < b, alors : a = 0 . b + a; Quotient 0 et reste a.
Notation : si b divise a, alors on peut écrire : q = a / b.
9) Parties remarquables de l’ensemble
N
des entiers "naturels" :
Etant donné un entier a, on considère les sous-ensembles suivants
entiers inférieurs ou égaux à a : Ia = { 0, 1, 2, ..., a-1, a } = {n / n ≤ a}
entiers supérieurs ou égaux à a : Sa = {a, a+1, a+2, ..., ... } = {n / n ≥ a}
entiers multiples de a : Ma = { a, 2a, 3a, ... } = { n / a|n } = { p.a / p ∈ N }
entiers diviseurs de a : Da = { 1, ..., a } = { m ∈ N / m|a }
Exemple : étant donné 2 entiers a et b, le sous-ensemble Sa ∩ I b représente l’intervalle de tous
les entiers compris entre a et b. On en compte exactement : b - a + 1.

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10) L’ensemble |N2 = |N x |N :
Quand je m’intéresse à 2 entiers x et y, c’est à
dire au couple ( x , y ), je peux les représenter
dans le quadrillage ci-contre par un point
d’abscisse x et d’ordonnée y :
Exemple 1 : le point ( 2 , 3 ).
Exemple 2 : un groupe de 5 élèves comprend
x filles et 5 garçons. Représenter dans le
quadrillage tous les cas possibles.
Exemple 3 ; entourer tous les points tels que
x ≥ y.
Exemple 4 : entourer tous les points tels que :
y = x + 1.
Exemple 5 : entourer les points ( x , y ) tels
que x divise y.
Devinette :
Une équipe de sportifs est
rassemblée en plusieurs
rangées, lignes et colonnes.
On distingue le plus grand de
chaque ligne (entouré d’un
cercle), et l’on désigne par X
le plus petit de ceux-ci (cercle
double-trait).
De même, on distingue le plus
petit de chaque colonne
(entouré d’un carré), et l’on
désigne par Y le plus grand
de ceux-ci (carré double-trait).
Quel est le plus grand des
deux sportifs X et Y ?
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b