POLYNOMES, FRACTIONS RATIONNELLES

ALGE01 : Polynômes, fractions rationnelles Cours Octobre 2002
© Cycles Préparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL.
Isabelle HENROT 1
POLYNOMES, FRACTIONS RATIONNELLES
Dans tout le chapitre, K désigne soit l’ensemble R des réels, soit l’ensemble C des
complexes.
1 Polynômes.
1.1 Généralités
On appelle monôme toute expression de la forme k
k
aX , où k a est un élément de K
appelé coefficient du monôme, et X une variable indéterminée.
On appelle polynôme à une indéterminée X sur K l'expression définie par
12
1210
nn
nn
P( X ) a X a X ....... a X a X a , n N
−
−
=+ ++++ ∈
où 01 n
a ,a ,......,a sont des éléments de K appelés coefficients du polynôme
()
PX, et
X une variable indéterminée.
On utilise aussi la notation
0
nk
k
k
P( X ) a X
=
=∑
L’ensemble de tous les polynômes à coefficients dans K se note
[
]
KX.
Si 0P≠, on appelle degré de P, et on note
(
)
deg P ou encore d°P, le plus grand
entier naturel n tel que 0
n
a≠. Le coefficient n a est le coefficient du terme de plus
haut degré.
Une constante non nulle est un polynôme de degré 0.
Le polynôme nul n'a pas de degré.
Pour tout entier naturel n, l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n et
à coefficients dans K se note
[
]
n
KX.
On appelle fonction polynôme associée au polynôme P l’application
()
KK
x
Px
→
!
On peut se permettre d’assimiler un polynôme à sa fonction polynôme, et ainsi par
exemple dériver un polynôme. Nous le ferons dans ce chapitre.

ALGE01 : Polynômes, fractions rationnelles Cours Octobre 2002
© Cycles Préparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL.
Isabelle HENROT 2
On appelle racine ou zéro d’un polynôme P toute valeur de x telle que
()
0Px=.
Le trinôme du second degré à coefficients dans R.
C’est un polynôme de la forme
()
2
T x ax bx c
=
++ avec
()
2*
a,b,c R R∈×. Le
coefficient a est donc non nul d’où « second degré » et en général il y a trois termes
d’où « trinôme ».
Rappelons les résultats essentiels : on pose 24bac∆= − :
• Si 0∆> alors il y a deux racines : 12
b
xa
−
−∆
= et 22
b
xa
−+ ∆
= : la somme
des racines vaut b
Sa =− et le produit c Pa
=
.
• Si 0∆= il y a une racine double 02
b
xa =−
• Si 0∆< alors on pose
′
∆
=−∆ et on a deux racines complexes conjuguées :
12
bi
za
′
−− ∆
= et 22
bi
za
′
−+ ∆
=.
1.2 Structure de l’ensemble des polynômes
La somme de deux polynômes, le produit de deux polynômes, et le produit d’un
polynôme par un réel sont des polynômes.
Plus précisément :
Soit
[
]
KX l’ensemble des polynômes à une indéterminée, et pour tout entier naturel
n,
[
]
n
KX
l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
• Si P et Q appartiennent à
[
]
KX alors PQ
+
appartient à
[
]
KX et pour tout
[
]
R
,P KX λλ ∈∈
• Si P et Q appartiennent à
[
]
n
KX
alors PQ
+
appartient à
[
]
n
KX
et pour tout
[
]
n
R
,P K X λλ ∈∈ .
On dit alors que
[
]
KX et
[
]
n
KX sont des espaces vectoriels sur K.
Cette notion sera étudiée au chapitre suivant.
() () ()
=+.deg PQ deg P deg Q
() ()
(
)
()
deg P Q max deg P ,deg Q+≤
Donc la deuxième propriété ne serait pas vraie si la définition de
[
]
n
KX
était
« ensemble des polynômes de degré égal à n ».

ALGE01 : Polynômes, fractions rationnelles Cours Octobre 2002
© Cycles Préparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL.
Isabelle HENROT 3
En effet : si
()
21Px x x=++
et
()
221Qx x x
=
−− +
alors
() ()
2Px Qx x+=−+ et
() ()
432
32 1PxQx x x x x
=
−− − −+, et on a bien
()
(
)
(
)
()
(
)
1222deg P Q Max deg P ,deg Q Max ,+=≤ = =,
() ()
(
)
=4= + =2+2.deg PQ deg P deg Q
Donc :
Soit
[
]
KX l’ensemble des polynômes à une indéterminée, et pour tout entier naturel
n,
[
]
n
KX l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
• Si P et Q appartiennent à
[
]
KX alors PQ appartient à
[
]
KX
• Si P et Q appartiennent à
[
]
n
KX alors PQ n’appartient pas nécessairement à
[
]
n
KX
1.3 Division euclidienne ou division suivant les puissances décroissantes.
On dit que le polynôme B divise le polynôme A ( ou que A est divisible par B ) s’il
existe un polynôme C tel que
A
BC
=
.
Le polynôme nul est divisible par tout polynôme, mais il ne divise aucun polynôme.
Le polynôme 1
() 2 Px x=− divise le polynôme
()
23
22
2
Qx x x=+− car
()
231
22 23
22
xx x x
⎛⎞
+−=− +
⎜⎟
⎝⎠ .
Etant donnés deux polynômes A et B avec 0B
≠
, il existe un couple unique de
polynômes
()
Q,R vérifiant :
ABQR=+ et
()
(
)
()
ou 0deg R deg B R
<
=.
Commençons par montrer l’existence.
• Si dA dB<
""
alors 0Q,RA== conviennent.
• Si dA dB≥
""
on note n
n
aX le monôme de plus haut degré de A et m
m
bX celui
de B ; on pose 1
n
nm
m
aX
QbX = et 1
R
ABQ
=
−. On a 1 dR dA<
""
.
• Si 1 dR dB<
""
alors 11 QQ,RR
=
= conviennent.
• Si 1
dR dB≥
""

ALGE01 : Polynômes, fractions rationnelles Cours Octobre 2002
© Cycles Préparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL.
Isabelle HENROT 4
Alors on appelle 2
Q le quotient des monômes de plus haut degré de 1
R
et de B.
On pose 21 2
R
RBQ=− et on a 21 dR dR<
""
.
• Si 2 dR dB<
""
alors 22 QQ,RR
=
= conviennent
• Si 2 dR dB≥
""
on recommence … on obtient une suite strictement
décroissante 123 n
d R d R d R .... d R>>>>
"" " "
qui se termine
forcément par n
R
tel que n dR dB<
""
.
Montrons à présent l’unicité.
Supposons qu’il existe deux couples
(
)
Q,R et
(
)
11
Q,R tels que
11 1 1
ABQR,dRdB
ABQ R,dR dB
=+ <
=+ <
""
""
On a alors
() ()
11 1
B
QQ R R d R R dB−=−⇒ −≥
""
; or d’autre part
()
()
11
dRR maxdR,dR dB−≤ <
""""
contradiction. Donc le couple
()
Q,R est
unique.
A est le dividende, B est le diviseur.
Le polynôme Q est le quotient de la division euclidienne de A par B.
Le polynôme R est le reste de la division euclidienne de A par B.
Si 0R=, alors A est divisible par B (ou encore B divise A).
Considérons la division euclidienne du polynôme
()
31Ax x x=++ par
()
21
B
xxx=++. Le quotient
(
)
Qx est donné par
(
)
1Qx x
=
− et le reste
()
R
x par
()
2Rx x=+. On a donc
()
(
)
(
)
()
32
1112Ax x x x x x x=++=++ −++
Disposition pratique de la division :
31
x
x++ 21
x
x++
32
x
xx−− − 1
x
−
21x−+
21
x
x++
2x+

ALGE01 : Polynômes, fractions rationnelles Cours Octobre 2002
© Cycles Préparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL.
Isabelle HENROT 5
Un polynôme est dit irréductible s’il est de degré au moins égal à 1 et s’il n’est
divisible que par lui-même.
ALGE01E01A
Effectuer la division euclidienne de 32 3
x
xx
+
−− par 2
x
−
.
1.4 Racine d’un polynôme. Ordre de multiplicité.
Soit a un élément de K et P un polynôme de
[
]
KX.
Alors a est une racine de P si et seulement si P est divisible par
()
x
a−.
Soit kN∈ et P un polynôme de
[
]
KX.
Un nombre a est racine d'ordre k de P si et seulement si
()
Px est divisible par
()
k
x
a−, mais pas par
()
1k
xa
+
−.
Le nombre entier k est l'ordre de multiplicité du zéro a de P.
Une racine simple est une racine d'ordre 1.
Une racine double est une racine d'ordre 2.
Le polynôme
()
26Px x x=+− admet 2 et –3 comme racines simples (d’ordre 1). Il
peut s’écrire sous la forme
() ( )( )
2623Px x x x x
=
+−= − + ; il est donc divisible
par
()
2x− et par
()
3x+.
Le polynôme
()
432
10 21 16 4Pxxxxx=− + − + admet 1 et 2 comme racines doubles
(d’ordre 2). Il peut s’écrire sous la forme
() ( )( )
22
432
10 21 16 4 1 2Pxxxxx x x=− + − +=− − ; il est donc divisible par
()
2
1x− et par
()
2
2x−.
Soit aK∈ et
[
]
PKX∈. Soit * kN∈.
Le nombre a est une racine d’ordre k de P si et seulement si les deux conditions
suivantes sont réalisées :
1)
(
)
00
h
hN, hk,Pa∀∈ ≤ < =
2)
(
)
()
0
k
Pa≠.