Rappels : ... 1) Travail / énergie : W

Rappels:
LOIS ET PRINCIPES
OBJECTIFS : - Connaître les différentes lois d’électrotechnique nécessaires pour étudier les
circuits alimentées en courant continu ou alternatif.
1) Travail / énergie : W
Déplacement d’une charge dans le sens de la force :
d
F
charge
F = 20N
d = 25cm
Travail ?
J
N m
W = travail (ou énergie) en joule
F = Force en Newton
d = distance en mètre
Rép : W = 5J
La force ne s’exerce pas dans le sens du déplacement :
F
d
α
charge
F = 20N α = 45°
d = 50cm
Travail ?
Rép : W = 7,07J
J
N m
Force dans un mouvement de rotation :
F
Le moment du couple exercé
vaut :
T=F.D
D
F
F = 20N θ = ½ tr
D = 20cm
Travail ?
J
N.m rd
θ est l’angle décrit en radian
1
Rép : W = 12,57J
Les angles s’expriment en degré ou en radian : 2π 360 °
Il faut savoir convertir les angles de degré en radian ou l’inverse et connaître les angles
remarquables.
α en degré 0°
α en radian 0
30°
π/6
45°
π/4
60°
π/3
90°
π/2
120°
2π/3
180°
π
360°
2π
L’angle 6π équivaut à 3 fois 360° ou 3 tours !
2) Puissance mécanique P / rendement η :
La puissance P :
W = 6000J t = 5’
Puissance ?
P = puissance en Watt (W)
W = énergie en joule (J)
t = temps en seconde (s)
Rép : P= 20W
Dans une rotation, par exemple un moteur :
Ω=2πn
P = puissance mécanique en Watt (W)
T = le couple en Newton par mètre (N.m)
Ω= vitesse angulaire en radian par seconde (rd/s)
Le rendement d’une machine, η nombre sans unité et toujours < à 1 !
avec Pa = Pu + pertes
Pa = puissance absorbée en W (à l’entrée)
Pu = puissance utile en W (à la sortie)
Pu = 800W
pertes= 200W
rendement?
Rép : η= 0,8
3) Intensité I / tension U :
L’intensité d’un courant électrique I est la quantité d’électricité Q transporté dans un circuit.
Cela représente un débit électrique !
I = intensité du courant an ampère (A)
Q = quantité d’électricité en coulomb (c) ou ampèresheures Ah
t = temps en secondes (s) ou heures (h)
La loi des nœuds :
2
La tension U en volt (V) représente la différence de potentiel entre 2 points, ex : entre phase et
neutre U = 230V potentiel du neutre (ou la terre, neutre relié à la terre) = 0V!
Dans un montage série :
U = U1+U2+….
Dans un montage paralléle :
U= U1=U2=U3
Loi des mailles : dans un circuit série, la somme des tensions rencontrées est égale à 0.
4) Résistance électrique R :
La résistance d’un élément dépend de ses dimensions :
ρ = 1,6.
Ω.m
S = 1mm²
l =100m
résistance ?
R = résistance en ohm (Ω)
ρ = résistivité du matériau en ohms-mètres (Ω.m / mm²)
S = section en m²
Rép : R=1,6Ω
La résistance dépend aussi de la température :
a = 0,004
R (15) = 0,64 Ω à 15°C
résistance à 80 °C?
a . θ)
Rθ = résistance à la température θ °C
R0 = résistance à la température 0°C
a = coefficient de température en kelvin moins 1 : (
Loi d’ohm :
I en DC
Rép : R(0) = 0,6Ω
R(80) = 0,79Ω
)
I en AC
Groupement de résistances en série :
Groupement de résistances en parallèle :
pour 2 résistances :
R1 = 20 Ω R2 = 10 Ω
R3 = 10 Ω
Re en série ?
Re en parallèle ?
Rép : Re = 40Ω en série
3
Re = 4Ω en //
5) Energie électrique W / puissance P :
En continu, l’énergie électrique en joules ou Wh vaut :
En continu, la puissance électrique en W vaut :
la loi de joule pour une résistance :
6) Générateurs / récepteurs actifs :
Pour un générateur, la loi d’ohm vaut :
E = force électromotrice = fém
r = résistance interne
Pour un récepteur actif (moteur) :
E’ = force contre-électromotrice = fcém
r’ = résistance interne
7) Condensateur C :
Un condensateur est un ensemble constitué de 2
plaques conductrices séparées par un isolant (diélectriques)
En continu, le condensateur se charge d’électricité quand il est soumis à une tension U. En
alternatif, il se charge et se décharge sans cesse. Sa capacité se donne en farad (F).
Q = quantité d’électricité accumulée en coulomb (C)
C = capacité du condensateur en farad (F)
U = tension appliquée (V)
W = énergie électrique emmagasinée
Groupement de condensateur en série :
Groupement de condensateur en // :
4
La charge ou la décharge d’un condensateur n’est pas instantanée, elle dépend de la résistance
du circuit et de la valeur de C. On considère qu’un condensateur est chargé ou déchargée au
bout de 5 fois τ. La constante (ou temps de charge) vaut :
On place 2 condensateurs de 20µF en série sous une tension
U=1000V pendant t = 1’
Quantité d’électricité ?
énergie stockée ?
Rép : Q = 0,01 C
W=5J
8) Le courant alternatif sinusoïdal :
Un courant alternatif sinusoïdal est un courant qui change plusieurs fois de sens par seconde et
qui a la forme de la fonction sinus.
La période T en seconde est le temps d’une
variation complète:
La fréquence en Hertz (Hz) est le nombre
de période par seconde :
f=1/T
Sa pulsation (ou vitesse) :
w = 2.π.f
Son équation mathématique est i = Î
w = la pulsation en rad/s
t = le temps en s
Î = valeur maxi en A
i = la valeur instantanée en A
I = valeur efficace en A
φ = angle ou phase à l’origine
. sin( w.t+φ )
avec
Î = I.√ 2
Un courant alternatif peut être représenté par un vecteur de
FRESNEL :
le déphasage est l’angle formé entre les vecteurs tensions et courants. c’est aussi le retard entre
les 2 sinusoïdes.
les déphasages particuliers sont :
en phase φ = 0°
en opposition de phase φ = 180° ou ¶ rd
en quadrature de phase φ = 90° ou ¶ / 2 rd
5
Quelle est la valeur efficace et l’équation du courant principal qui alimente 2 récepteurs en dérivation
parcourus par des courants i1 = 3 √2 sin( 100πt) et i2 = 4 √2 sin ( 100πt – π/2) ?
Rép : i = 5 √2 sin ( 100πt - 53π/180 ) et I = 5A
9) les puissances en monophasé :
Pour une même tension, continu ou alternative le courant n’est pas le même pour un récepteur
quelconque. (Les puissances seront donc différentes). On dit qu’il présente une impédance Z.
U=Z.I
La puissance apparente est :
S=U.I
ou
P = R . I²
P en watt (W)
U en (V)
I en (A)
R en (Ω)
La puissance réactive :
Q = U . I . sin φ
S en voltampères (VA)
U en V
I en A
La puissance active P :
P = U . I . cos φ
U = la tension en (V)
I = le courant en (A)
Z = impédance en (Ω)
Q en voltampères réactifs (VAR)
U en (V)
I en (A)
Le facteur de puissance cos φ caractérise un récepteur, il est compris entre 0 et 1 :
cos φ = P / S
S²=P²+Q²
Le triangle des puissances :
Cos φ = P / S
Sin φ = Q / S
tan φ = Q / P
6
Un moteur monophasé est alimenté par une source de tension 230V – 50 Hz et consomme une puissance
active de 0,375 Kw. Calculez les valeurs I, Q, et S si le cos φ vaut 0,75
Rép : I = 2,17A
Q = 329VAR
S = 499VA
10) Impédance d’éléments simples :
L’impédance d’un récepteur est le rapport de la tension par le courant. Elle est différente
Selon le type de récepteur : association possible de 3 élémentaires : résistance R
inductance L
capacité C
U = la tension en (V)
I = le courant en (A)
Z=U/ I
Z = impédance en (Ω)
La résistance pure R :
Z=R
P=R. I²
Q = 0 et S = P
U et I en phase
φ=O°
L’inductance pure L :
Z=L.w
P = 0 et S = Q
Q= L.w.I²
U et I en quadrature de phase
I en retard sur U
φ = 90 ° AR
7
La capacité pure C :
Z=1/(C.w)
P = 0 et S = Q
Q= U².C.w
U et I en quadrature de phase
I est en avance sur U
φ = 90 ° AV
Quelle est la tension aux bornes d’un condensateur de 10 µF lorsque le courant est de 150 mA – 50Hz.
Rép : U = 47,7V
11) Impédance de circuits simples :
circuit R + L :
P=R. I²
Q=L.w.I²
Le courant est en retard sur U
D’un angle φ compris entre 0 et
90 °.
circuit inductif.
circuit R + C :
P=R. I²
Q = U ² . C .w
8
I est en avance sur U.
circuit capacitif
Circuit R + C + L :
Si L w > 1 / Cw le circuit est inductif
Si Lw < 1 / Cw le circuit est capacitif
Si Lw = 1 / Cw L C w² = 1 on est à
la résonnance.
Une résistance de R = 1000Ω et un condensateur de capacité C sont placés en série.
Le courant absorbé est I = 0,2 A sous une tension de 230V / 50 Hz.
Déterminez la valeur de C.
Rép : C =5,6.
ou 5,6 µF
12) Relévement du facteur de puissance – la compensation
Théoréme de Boucherot :
Pour une installation comportant plusieurs récepteurs groupés en dérivation :
les puissances actives s’ajoutent arithmétiquement :
P = P1 + P2 + P3 + …
les puissances réactives s’ajoutent algébriquement :
Q = Q1 ± Q2 ± Q3 ± …
les puissances apparentes ne s’ajoutent pas algébriquement mais vectoriellement :
S = S1 + S2 + …
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Amélioration du facteur de puissance ou cos φ :
Un bon facteur de puissance permet de limiter l’intensité en ligne et de réduire l’énergie
réactive consommée.
facteur de puissance préconisé par EDF cos φ = 0,93
Le relèvement s’effectue au moyen de batterie de condensateur chargé de fournir de l’énergie
Qc = Q1 – Q2
réactive Qc :
Q 1 = énergie réactive avant compensation
Q 2 = énergie réactive après compensation
P
Q2
C=
P ( tg φ – tg φ’ )
_______________
S’
S
Q1
U².ω
S = P + Q1
S’ = P + Q2
φ angle entre P et S
φ’ angle entre P et S’
Une installation 230V – 50Hz alimente 1 moteur de 735W de rendement 0,85 et cos φ = 0,78 et un réseau de 4
lampes de 100W. Calculez le condensateur nécessaire pour obtenir un cos φ de 0,95.
Rép : Pt = 1265 W
Qt = 694 VAR
St = 1443 VA
cosφ = 0,877 C =1,68.
ou 16,8 µF
13) Le réseau triphasé :
13.1 Présentation :
Une ligne de distribution triphasée comporte 4 conducteurs actifs : 3 phase et 1 neutre.
Les 3 phases : L1 - L2 – L3 (noir - marron – noir ou 3 rouges)
Le neutre : N (bleu)
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13.2 Tensions simples :
Les tensions simples sont les tensions que l’on peut mesurer entre chaque fil de phase et le
neutre. Elles sont notées : V1, V2 et V3.
Pour un réseau tri 230 / 400V, les valeurs efficaces sont V = V1 = V2 = V3 = 230V.
Ces tensions sont sinusoïdales de même fréquence mais déphasées les unes par rapport aux
autres de 120°(ou 2 п /3).
En valeur instantanées :
Diagramme de FRESNEL :
il vient :
V1 + V2 + V 3 = 0
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13.3 Tensions composées :
Les tensions composées sont les tensions mesurées ente phase et phase, notées U12 ; U23 et
U31.
Ces tensions sont de même fréquence, de valeur efficace U et décalées entre-elles de 120°.
Pour un réseau tri 230 / 400V : V = 230V et U = 400V.
D’après la loi des mailles :
U12 = V1 – V2
Par construction graphique :
U23 = V2 – V3
U31 = V3 – V1
U=V.√3
13.4 Montage dit étoile : Y
3 récepteurs sont montés en étoile si chacun est relié entre le neutre et une phase. Ils sont alors
soumis à une tension simple V et parcourus par un courant I.
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Si les 3 récepteurs sont identiques :
I 1=I2=I3
I1 + I2 + I3 = IN = 0
I=V/Z
Pas de courant dans le neutre !
Le montage est dit équilibré !
In = 0
Si les 3 récepteurs sont différents :
I 1= V / Z1
I 2= V / Z2
I 3= V / Z3
I1 + I2 + I3 = IN
Il y a du courant dans le neutre ! Le montage est dit déséquilibré !
13.5 Montage dit triangle : ∆ ou D
3 récepteurs sont montés en triangle si chacun est relié entre 2 phases. Ils sont alors soumis à
une tension composée U et parcourus par des courants de branche J. Les courants en ligne sont
notés I.
D’après la loi des nœuds :
J1 = J3 – I1
J2 = J1 – I2
J3 = J2 – I3
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Si les récepteurs sont identiques, on démontre que :
I=J.√3
Un récepteur triphasé monté en étoile est constitué de trois résistances :
R1 = 50 Ω , R2 = R3 = 100 Ω. La tension simple a pour valeur V = 230V. Trouver le courant dans chaque fil
de phase et en déduire le courant dans le neutre.
Rép : I1 = 4,6A
I2 = I3 = 2,3A
IN = 2A
calculs :
14) Puissances en triphasé :
Si un récepteur est alimenté en triphasé, quel que soit le couplage, chaque dipôle consomme :
⇒ Une puissance active P1, P2 et P3.
⇒ Une puissance réactive Q1, Q2 et Q3.
Si les dipôles sont identiques :
Pt = P1 + P2 + P3 = 3 P1
Qt = Q1 + Q2 + Q3 = 3 Q1
La puissance active :
P = √3 U . I . cos φ
La puissance réactive :
Q = √ 3 U . I . sin φ
La puissance apparente :
Le facteur de puissance :
S =√ 3 U . I
Cos φ = P / S
14
S=
)
Les formules de Boucherot et le triangle des puissances peuvent s’appliquer :
•
La puissance active totale consommée par une installation triphasée
comportant plusieurs récepteurs est égale à la somme des puissances
actives consommées par chacun des récepteurs.
•
La puissance réactive totale consommée par une installation triphasée
comportant plusieurs récepteurs est égale à la somme des puissances réactives consommées par chacun des
récepteurs.
Un récepteur triphasé équilibré comprend :
un moteur asynchrone triphasé 230 V/ 400 V (P1 = 2,4 kW ; cosφ1 = 0,8)
6 lampes 230 V, 100 W.
1) Calculer la puissance P reçue par le récepteur
triphasé :
W.
2) Calculer la puissance Q1 reçue par le moteur :
var.
3) Calculer la puissance Q reçue par le récepteur :
var.
4) Calculer la puissance apparente S reçue par le
récepteur :
VA.
5) Calculer le facteur de puissance du récepteur :
Rép : Pt = 3000 W
Q = Qt =1800 VAR
.
St = 3499 VA
Visualisation des tensions simples et composées :
15
cosφ = 0,857
15) Compensation en triphasé :
Le relèvement s’effectue au moyen de batterie de condensateur chargé de fournir de l’énergie
réactive Qc :
Qc = Q1 – Q2
Q 1 = énergie réactive avant compensation
Q 2 = énergie réactive après compensation
C = capacité unitaire des condensateurs (F)
Q1 =
Q2 =
P
en triangle :
Q2
C=
S’
S
Q1
en étoile :
C=
Qc = P . (
S = P + Q1
S’ = P + Q2
φ angle entre P et S
φ’ angle entre P et S’
Un moteur asynchrone est alimenté par un réseau 3 X 400V – 50Hz. Il consomme 32 Kw sous un facteur global
de puissance 0,68. Calculez la capacité unitaire des condensateurs à installer en étoule pour relever le facteur de
puissance à 0,94.
Rép : QC = 22890 KVAR
C =4,59 .
ou 459 µF
16) Transformateur monophasé :
Un transformateur se compose d’un circuit
magnétique et de 2 enroulements : primaire
(alimentation indice 1)
et secondaire (utilisation indice 2).
Le transformateur est réversible. Il est abaisseur ou
élévateur de tension.
Ne jamais l’alimenter en continu !
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rapport de transformation :
m = U20 / U10 = N2 / N1
A vide : la puissance absorbée correspond aux pertes fer (pertes dues aux courants de
FOUCAULT et phénomène d’hystérésis).
P10 = Pfer
U1
U2
En charge (transfo parfait)
le rapport de transformation :
la chute de tension :
∆U2 = U20 - U2 ou en % ∆U2 / U2
la puissance absorbée (entrée) :
la puissance utile (sortie) :
le rendement :
m = U2 / U1 = N2 / N1 = I1 / I2
P1 = U1 . I 1 . cos φ1
P2 = U2 . I 2 . cos φ2
η = P2 / P1 = P2 / (P2 + pertes)
Les pertes sont de 2 types : pertes cuivres et pertes fer
les pertes fer sont mesurées à vide
les pertes cuivres ou joules : Pj = R1 I1² + R2 I2²
Un transfo
380V
/R1
24V.possède
un rendement
de 0,92,
S2
= 10
KVA pour un facteur de puissance de 0,8. Les
PJ1
=
I1²
et
PJ2
=
R2
.
I2²
pertes fer = 120W.
Calculer dans ces conditions les pertes joules totales (primaire et secondaire) dans le transfo.
Rép : PJ = 576 W
17) Machines à courant continu :
les machines à courant continu sont réversibles. Elles
peuvent fonctionner en moteur ou en génératrice
(dynamo).
La machine se compose : d’un circuit magnétique
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(pôles, épanouissements polaires, entrefer, culasse et tôles de l’induit).
2 circuits électriques : inducteur et induit.
Caractéristiques
Fonctionnement en
génératrice
f.é.m.
E=n.N.ф
tension
U=E–r.I
Puissance
absorbée
Pa = P méc
Fonctionnement en
moteur
E’ = n . N . ф
U = E’ + r’ . I
Pa = U . I
Pertes joules
Pj = r . I² + R . i ²
Pj = r’. I² + R’. i ²
Pertes constantes
Pc = Pfer + P méc
Pc = Pfer + P méc
Puissance
électromagnétique
Pe = E . I
Pe = E’ . I
Puissance
mécanique
Pméc = Tu . Ω
Pméc = Tu . Ω
Puissance utile
Pu = U . I
Pu = P méc
Couple
électromagnétique
Te = (N . ф . I) / 2π
Te = (N . ф . I) / 2π
Couple utile
Tu = Pu / Ω
Tu = Pu / Ω
η = Pu / Pa
rendement
Pa = Pu + pertes
pertes = Pc + R . i² + r . I²
η = Pu / Pa
Pa = Pu + pertes
pertes = Pc + R’.i² +r’ .I²
Quelle est la fém d’un moteur à excitation séparée dont l’induit, alimenté sous une tension de 420V, absorbe un
courant d’intensité égale à 35,5A ? R (induit) = 1,79 Ω.
Rép : E’ = 356V
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18) Moteur asynchrone triphasé :
La vitesse de synchronisme du champ tournant crée par les
enroulements du stator est :
ns =
et Ωs = 2 . π .ns
ns = vitesse de synchronisme en tr/s
f = fréquence du réseau en Hz
p = nombre de paires de pôles du stator
Ωs = vitesse angulaire de synchronisme en rd/s
Fréquence de rotation du rotor : n = ns pour un moteur synchrone, n < ns pour un asynchrone.
g = (ns - n ) / ns
Glissement d’un moteur :
Puissance absorbée :
Pa =
Pu = Tu . Ω = Pa -
Puissance utile :
Rendement :
.U. I .cos φ
η=
=
Un moteur asynchrone absorbe une puissance de 1,1 Kw et tourne à une vitesse de 935 tr/min. Le moment du
couple utile est de 8 N.m. Calculez le rendement du moteur.
Rép : η = 71,2 %
19) Compléments de mécanique :
19.1 Transformation vitesse linéaire vitesse angulaire :
Dans le cas d’un mouvement linéaire obtenu par la rotation d’un moteur (moteur + treuil =
moteur de levage) :
v = vitesse linéaire en mètre par seconde (m/s)
n = vitesse de rotation en tour par seconde (tr/s)
ω = vitesse angulaire en radian par seconde (rd/s)
D = diamètre de la roue
F = force nécessaire pour vaincre le poids (P)
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n ou ω
1 tour correspond au périmètre 1 tr = π.D
treuil
ω = 2π . n et n =
D
, il vient :
ω=
charge
m
19.2 Puissance mécanique utile du moteur de levage :
Le couple utile vaut : Tu = F.r
F doit être supérieur à P et P = m . g
il vient pour la puissance utile :
Pu = Tu . ω
avec F = P = m . g et ω = 2π.n g = gravité terrestre en newton par seconde (N/s)
m = masse en kilo (Kg)
r = rayon du treuil en mètre (m)
Pu = puissance utile en W
Pu = r.m.g.2π.n
19.3 Utilisation d’un réducteur de vitesse :
Si on place un réducteur de vitesse de coefficient réducteur K (K<1) ; la vitesse est réduite,
mais le couple augmenté :
ne
réducteur
Te
ns
Ts =
avec ns<ne et Ts>Te
Ts
19.3 Rendement d’une chaine cinématique :
Pa
Pu
Moteur
Pa =
Réducteur
treuil
avec Pa = √3.U.I.cosφ et Pu = Tu.ω
20
charge