groupes anneaux et arithmetique

Cours de Mathématiques
Groupes, anneaux, corps, arithmétique
Sommaire
Groupes, anneaux, corps, arithmétique
Sommaire
I
Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2
Partie stable pour une loi . . . . . . . . . . . . . .
I.3
Homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4
Commutativité et associativité . . . . . . . . . . .
I.5
Distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6
Elément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.7
Structure de monoı̈de . . . . . . . . . . . . . . . .
I.8
Symétrique d’un élément . . . . . . . . . . . . . .
I.9
Eléments simplifiables . . . . . . . . . . . . . . . .
I.10
Propriétés transportées par un morphisme surjectif
II
Groupes, sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1
Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2
Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3
Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . .
II.4
Sous-groupe engendré par un élément . . . . . . .
II.5
Groupes monogènes, groupes cycliques . . . . . . .
III Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Cycles et transpositions . . . . . . . . . . . . . . .
III.3 Décompositions d’une permutation . . . . . . . . .
III.4 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . .
IV Anneaux, sous-anneaux, corps . . . . . . . . . . . .
IV.1 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 Calculs dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . .
IV.3 Eléments remarquables dans un anneau . . . . . .
IV.4 Sous-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.5 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V
Arithmétique élémentaire . . . . . . . . . . . . . .
V.1
Bases de numération dans N . . . . . . . . . . . .
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Groupes, anneaux, corps, arithmétique
Sommaire
V.2
V.3
V.4
V.5
V.6
V.7
V.8
Divisibilité dans Z . . . . . . . . . . . . . . .
Pgcd de deux entiers relatifs . . . . . . . . .
Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . .
Résolution dans Z de l’équation ax+by=c . .
Ppcm de deux entiers relatifs . . . . . . . . .
Extension au cas de plusieurs entiers relatifs .
Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . .
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Partie I : Lois de composition
I
Lois de composition
I.1
Généralités
Définition
Une loi de composition sur un ensemble E est une application de E × E vers E.
Notations
– Plutôt que loi de composition, on dit aussi opération, ou plus simplement loi.
– Plutôt que de noter par exemple f (u, v) (notation préfixée) l’image du couple (u, v), on la
note u ∗ v, uTv, u + v, etc. (notation infixée) et on parle alors des lois ∗, T, +, etc.
– On note souvent (E, ∗) pour désigner un ensemble E muni d’une loi de composition ∗.
Exemples
– Les lois ∪ (union), ∩ (intersection) et ∆ (différence symétrique) sur P(E).
– La loi ◦ (loi de composition) sur F(E), ensemble des applications de E dans E.
– Les lois + et × sur IN, ZZ, Q,
l IR, et C.
l
La loi ×est notée par juxtaposition : ab plutôt que a × b.
– Sur IN, ZZ, Q,
l IR (ou sur tout ensemble totalement ordonné) les lois min et max (minimum
et maximum). Elles sont notées de façon préfixée : min(x, y), max(x, y).
– Deux autres lois notées de façon préfixée sont les lois pgcd et ppcm sur IN ou ZZ.
– La “soustraction” (opération −) est une loi de composition sur ZZ, Q,
l IR, et C,
l mais ce n’est
pas une loi de composition sur IN (elle n’est pas partout définie).
– Si E est muni de la loi ∗ et si X est un ensemble, on définit une loi, encore notée ∗, sur
l’ensemble F(X, E) des applications de E vers X, en posant :
∀ (f, g) ∈ F(E, X)2 , ∀ x ∈ X, (f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g(x)
On définit ainsi + et × sur l’ensemble des applications de X vers IR (ou IN, ZZ, Q,
l C).
l
Quand X = IN, on définit ainsi la loi ∗ sur l’ensemble des suites de E.
I.2
Partie stable pour une loi
Définition
Soit E un ensemble muni de la loi ∗, et F une partie de E.
On dit que F est stable pour la loi ∗ si : ∀ (x, y) ∈ F × F, x ∗ y ∈ F .
La restriction à F × F de la loi ∗ définit alors une loi de composition sur F , appelée loi
induite, en général encore notée ∗.
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Partie I : Lois de composition
Exemples
– IR− et IR+ sont deux parties stables de IR, pour la loi +.
– Pour la loi ×, IR+ est encore une partie stable, mais ce n’est pas le cas de IR− .
– Toujours pour la loi ×, [−1, 1] est une partie stable de IR.
I.3
Homomorphismes
Définition
Soient E et F deux ensembles, munis respectivement des lois ∗ et T.
Soit f une application de E dans F .
On dit que f est un homomorphisme (ou un morphisme) de (E, ∗) dans (F, T) si :
∀ (x, y) ∈ E 2 , f (x ∗ y) = f (x)Tf (y).
Cas particuliers
– Un morphisme de (E, ∗) dans (E, ∗) est appelé un endomorphisme de (E, ∗).
– Un morphisme bijectif de (E, ∗) dans (F, T) est appelé un isomorphisme.
– Si un tel isomorphisme existe, on dit que (E, ∗) et (F, T) sont isomorphes.
D’un point de vue mathématique, deux ensembles isomorphes ont exactement les mêmes
propriétés, relativement à leurs lois respectives, et peuvent être considérés comme deux
représentations différentes d’une même situation.
– Un isomorphisme de (E, ∗) sur lui-même est appelé un automorphisme de (E, ∗).
Proposition (Isomorphisme réciproque)
Soit f un isomorphisme de (E, ∗) sur (F, T).
Alors f −1 est un isomorphisme de (F, T) sur (E, ∗).
Exemples
– Le “passage au complémentaire” est un isomorphisme de (P(E), ∪) sur (P(E), ∩).
Il est son propre isomorphisme réciproque.
– L’application x → exp(x) est un isomorphisme de (IR, +) sur (IR+∗ , ×).
L’application x → ln(x) est l’isomorphisme réciproque, de (IR+∗ , ×) sur (IR, +).
I.4
Commutativité et associativité
Définition
Soit ∗ une loi sur un ensemble E.
On dit que la loi ∗ est commutative si : ∀ (x, y) ∈ E 2 , x ∗ y = y ∗ x.
On dit que la loi ∗ est associative si : ∀ (x, y, z) ∈ E 3 , (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
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Partie I : Lois de composition
Exemples
– Les lois + et × sur IN, ZZ, Q,
l IR, et C,
l sont commutatives et associatives.
– Il en est de même avec les lois min et max sur IN, ZZ, Q,
l IR.
– Même chose avec les lois ∪, ∩, ∆ sur P(E).
– La loi − (sur ZZ, Q,
l IR, et C)
l n’est ni commutative, ni associative.
– La loi ◦ (composition des applications) est associative sur F(E). Elle n’est pas commutative
dès que E possède au moins deux éléments (considérer les applications constantes).
– Si X est un ensemble et si E est muni de ∗ commutative (resp. associative), alors la loi ∗
définie sur F(X, E) par ∀ x ∈ X, (f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g(x) est commutative (resp. associative).
Remarques
– Même si la loi ∗ sur E n’est pas commutative, il peut se trouver des éléments x et y de E
qui vérifient x ∗ y = y ∗ x. On dit alors que x et y commutent.
Par exemple, dans un plan affine euclidien P, les rotations de même centre commutent deux
à deux (pour la loi ◦).
– Quand une loi ∗ est associative, une expression comme a ∗ b ∗ . . . ∗ x ∗ y ∗ z est définie sans
ambiguité : les parenthèses qui indiquent dans quel ordre on combine les éléments deux à
deux sont en effet inutiles.
Si de plus la loi ∗ est commutative, alors on peut changer l’ordre des termes et en particulier
regrouper ceux d’entre eux qui sont identiques.
On notera ainsi x ∗ y ∗ x ∗ y ∗ z ∗ y ∗ x ∗ y = x3 ∗ y 4 ∗ z, à condition de poser, pour tout n de
IN, an = a ∗ a ∗ . . . ∗ a (a apparaissant n fois).
– L’associativité
permet de noter :
min(x, y, z, . . .) ou max(x, y, z, . . .) pour tous réels x, y, z, etc.
ppcm(a, b, c, . . .) ou pgcd(a, b, c, . . .) pour tous entiers a, b, c, etc.
I.5
Distributivité
Définition
Soit E un ensemble muni de deux lois ∗ et T.
On dit que la loi ∗ est distributive par rapport à la loi T si, pour tous x, y, z de E :
x ∗ (yTz) = (x ∗ y)T(x ∗ z) (distributivité à gauche)
(xTy) ∗ z = (x ∗ z)T(y ∗ z) (distributivité à droite)
Exemples et remarques
– Si la loi ∗ est commutative, l’une de ces deux propriétés implique l’autre.
– Dans P(E), les lois ∪ et ∩ sont distributives l’une par rapport à l’autre.
– Dans P(E), la loi ∩ est distributive par rapport à la loi ∆.
En revanche la loi ∆ n’est pas distributive par rapport à la loi ∩.
– Dans IN, ZZ, Q,
l IR et C,
l la loi × est distributive par rapport à la loi +.
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Partie I : Lois de composition
– Si X est un ensemble et si E est muni de deux lois ∗ et T (∗ étant distributive par rapport
à T), on définit des lois homonymes sur F(X, E) :
∀ x ∈ X, (f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g(x), et (f Tg)(x) = f (x)Tg(x).
Alors, dans F(E, X), ∗ est encore distributive par rapport à T.
– La distributivité de ∗ par rapport à T (supposée ici associative) permet d’écrire :
(aTb) ∗ (cTd) = (a ∗ c)T(a ∗ d)T(b ∗ c)T(b ∗ d).
I.6
Elément neutre
Définition
Soit E un ensemble muni d’une loi de composition ∗. Soit e un élément de E.
On dit que e est élément neutre, pour la loi ∗, si : ∀ a ∈ E, a ∗ e = e ∗ a = a.
Remarque
Si la loi ∗ est commutative, l’égalité a ∗ e = e ∗ a est automatiquement réalisée.
Proposition (Unicité de l’élément neutre)
L’élément neutre de E pour la loi ∗, s’il existe, est unique.
Remarques
– Il est beaucoup plus juste de dire que c’est E qui possède un élément neutre e pour la loi ∗,
plutôt que de dire que c’est la loi ∗ qui possède l’élément neutre e.
– La notation + peut être employée en dehors des ensembles IN, ZZ, Q,
l IR, Cl : elle doit cependant
être réservée aux lois commutatives. Dans ce cas, l’élément neutre, s’il existe, sera noté 0.
De même, pour une loi noté multiplicativement (ou par juxtaposition), on pourra noter 1
l’élément neutre éventuel (s’il n’y a pas de risque d’ambiguité).
Exemples et remarques
– Dans P(E) : ∅ est neutre pour la loi ∪ (et pour la loi ∆), et E est neutre pour la loi ∩.
– Dans IN, ZZ, Q,
l IR et Cl : 0 est neutre pour la loi + et 1 est neutre pour la loi ×.
– Dans F(E) : l’application Identité idE est neutre pour la loi ◦ (composition).
– Dans IN : 0 est neutre pour la loi max, et il n’y a pas de neutre pour la loi min.
– Dans ZZ, Ql et IR : les lois min et max n’ont pas d’élément neutre.
– Soit X un ensemble quelconque, et E un ensemble muni d’une loi ∗ avec un neutre e.
On munit F(X, E) de la loi ∗, définie par :
∀ (f, g) ∈ F(X, E)2 , ∀ x ∈ X, (f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g(x).
Alors l’application constante, qui à tout x de E associe e, est neutre pour cette loi.
Ainsi, sur l’ensemble F(IN, IK) des suites (à valeurs dans IK = IR ou C),
l la suite constante 0
est neutre pour l’addition, et la suite constante 1 est neutre pour le produit.
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Partie I : Lois de composition
I.7
Structure de monoı̈de
Définition
Soit E un ensemble muni d’une loi ∗. On dit que E possède une structure de monoı̈de pour
La loi ∗ est associative.
la loi ∗, ou encore que (E, ∗) est un monoı̈de, si :
Il existe un élément neutre e.
Exemples et remarques
– De par la définition, un monoı̈de est toujours non vide.
– (IN, +) et (IN, ×) sont des monoı̈des (idem en remplaçant IN par ZZ, Q,
l IR ou C).
l
– (P(E), ∪), (P(E), ∩) et (P(E), ∆) sont des monoı̈des.
– (F(E), ◦) est un monoı̈de.
– Si (E, ∗) est un monoı̈de, et si X est un ensemble, (F(X, E), ∗) est un monoı̈de.
En particulier, l’ensemble (F(IN, E), ∗) des suites à valeurs dans le monoı̈de E, muni de la
loi homonyme ∗, est lui-même un monoı̈de.
– Si (E, ∗) est un monoı̈de, et si F est une partie stable de E contenant le neutre e, alors (F, ∗)
(avec la loi induite) est encore un monoı̈de.
I.8
Symétrique d’un élément
Définition
Soit (E, ∗) un monoı̈de d’élément neutre e. Soit x un élément de E.
On dit que x est symétrisable (ou inversible) pour la loi ∗, s’il existe un élément x0 de E
tel que x ∗ x0 = x0 ∗ x = e.
Si un tel élément x0 existe, il est unique. On l’appelle le symétrique (ou l’inverse) de x.
Notation additive
Dans le cas d’une loi + (nécessairement commutative, d’élément neutre 0), le symétrique
d’un élément x est appelé son opposé, et est noté −x.
Pour tous éléments x et y (x possédant un opposé), on note y − x plutôt que y + (−x).
Notation multiplicative
Dans le cas d’une loi multiplicative × (éventuellement notée par juxtaposition), le symétrique
d’un élément x est en général appelé son inverse, et est noté x−1 .
1
Si ce produit est commutatif et si on note 1 son neutre, on peut écrire plutôt que x−1 .
x
y
−1
Le produit yx peut alors être noté (notamment dans les ensembles de nombres).
x
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Partie I : Lois de composition
Propriétés et remarques
– Soit (E, ∗) un monoı̈de, de neutre e. Alors e est inversible et est son propre inverse.
– Si x et y sont inversibles, leur composé x ∗ y est inversible et (x ∗ y)−1 = y −1 ∗ x−1 (attention
à l’ordre des facteurs si la loi ∗ n’est pas commutative).
– Si F est une partie stable du monoı̈de (E, ∗) contenant le neutre e (un “sous-monoı̈de“ de
(E, ∗)) et si x appartient à F , alors l’inversibilité de x doit être examinée relativement à
l’appartenance de x :
Si x est inversible dans F , il est inversible dans E (avec le même inverse).
La réciproque est fausse : pour le produit, 2 est inversible dans IR mais pas dans ZZ.
Exemples
– Dans (IN, +) seul 0 est symétrisable.
Mais tous les éléments de (ZZ, +), (Q,
l +), (IR, +) et ( C,
l +) le sont.
– Les éléments inversibles de (IR, ×) sont les éléments non nuls.
C’est la même chose avec (Q,
l ×) et ( C,
l ×).
Le seul élément inversible de (IN, ×) est 1. Ceux de (ZZ, ×) sont −1 et 1.
– On se place dans l’ensemble F(IN, IR) des suites à valeurs dans IR.
Toutes les suites (un ) sont symétrisables pour l’addition : l’opposé de la suite de terme général
un est la suite de terme général −un .
Seules les suites ne s’annulant jamais sont symétrisables pour le produit : l’inverse de la suite
1
.
de terme général un est alors la suite de terme général
un
– Dans (F(E), ◦), une application est inversible si et seulement si elle est bijective.
Son inverse est alors sa bijection réciproque. La notation f −1 est donc justifiée.
I.9
Eléments simplifiables
Définition
Soit E un ensemble muni d’une loi ∗. Soit x un élément de E.
On dit qu’un élément x de E est simplifiable (ou encore régulier ) si :
x ∗ y = x ∗ z ⇒ y = z (1)
2
∀ (y, z) ∈ E :
y ∗ x = z ∗ x ⇒ y = z (2)
Remarques
– x est simplifiable ⇔ les applications t → x ∗ t et t → t ∗ x sont injectives de E dans E.
– On pourrait traduire (1) en disant : x est simplifiable à gauche.
De même, (2) signifie : x est simplifiable à droite.
– Quand la loi ∗ est commutative, les propriétés (1) et (2) sont équivalentes.
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Groupes, anneaux, corps, arithmétique
Partie I : Lois de composition
Propriétés et exemples
– Si la loi ∗ est associative, et si a et b sont simplifiables, alors a ∗ b est simplifiable.
– Si (E, ∗) est un monoı̈de et si x est inversible, alors x est simplifiable.
Il suffit par exemple de composer par x−1 à gauche pour simplifier x dans l’égalité x∗y = x∗z.
– La réciproque de cette propriété est fausse. En effet, dans (ZZ, ×) par exemple, tous les
éléments non nuls sont simplifiables, mais seuls −1 et 1 sont inversibles.
– Dans (P(E), ∪), seul ∅ est inversible, donc simplifiable.
De même, seul E est inversible, donc simplifiable dans (P(E), ∩).
I.10
Propriétés transportées par un morphisme surjectif
Soit f un morphisme de (E, ∗) sur (F, T).
– L’ensemble image f (E) est stable pour T.
Dans la suite de cette sous-section, on suppose que f est surjectif de E sur F .
– Si e est neutre dans (E, ∗) alors f (e) est neutre dans (F, T).
Si x0 est le symétrique de x dans (E, ∗) alors f (x0 ) est celui de f (x) dans (F, T).
– Si la loi ∗ est commutative alors la loi T est commutative.
Si la loi ∗ est associative alors la loi T est associative.
Un morphisme surjectif “transporte” donc les propriétés principales des lois de composition.
– Soit x un élément simplifiable de E.
L’élément f (x) peut ne pas être simplifiable dans F .
En revanche, si on suppose que f est bijective, alors f (x) est simplifiable.
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Groupes, anneaux, corps, arithmétique
Partie II : Groupes, sous-groupes
II
II.1
Groupes, sous-groupes
Structure de groupe
Définition
Soit G un ensemble muni d’une loi de composition ∗.
On dit que (G, ∗) est un groupe si :
– (G, ∗) est un monoı̈de, c’est-à-dire :
La loi ∗ est associative, et il y a un neutre e. (en particulier G 6= ∅.)
– Tout élément de G possède un symétrique.
Si la loi ∗ est commutative, on dit que (G, ∗) est un groupe commutatif (ou abélien).
Exemples et remarques
– (ZZ, +), (Q,
l +), (IR, +) et ( C,
l +) sont des groupes commutatifs.
– Idem avec ({−1, 1}, ×), (Ql ∗ , ×), (Ql +∗ , ×), (IR∗ , ×), (IR+∗ , ×) et ( Cl ∗ , ×).
– Si E est un ensemble et si on note B(E) l’ensemble des bijections de E dans lui-même (on
dit aussi les permutations de E), alors B(E) est un groupe pour la loi de composition des
applications (non commutatif dès que E possède au moins trois éléments).
– Dans un groupe, tout élément est simplifiable (car inversible).
– Si a et b sont deux éléments du groupe (G, ∗), les équations a ∗ x = b et x ∗ a = b admettent
une solution unique, respectivement x = a−1 ∗ b et x = b ∗ a−1 .
On peut exprimer cette propriété en disant que les applications x → a ∗ x et x → x ∗ a sont
des bijections de G dans lui-même.
Proposition Groupe produit
Soit (G, ∗) un groupe, de neutre e.
On définit une loi ∗ sur G × G en posant : (a, b) ∗ (c, d) = (a ∗ c, b ∗ d).
Muni de cette loi, G × G est un groupe :
– Le neutre est (e, e).
– L’inverse de (a, b) est (a−1 , b−1 ).
Généralisation
On peut facilement généraliser à Gn , pour tout n de IN∗ .
Par exemple (IRn , +) est un groupe.
Ordre d’un groupe fini
Soit (G, ∗) un groupe fini. Le cardinal de l’ensemble G est appelé l’ordre du groupe.
Par exemple, si E de cardinal p, le groupe des permutations de E est d’ordre p!
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Partie II : Groupes, sous-groupes
Table d’un groupe fini
La table d’un groupe fini G = {a1 , a2 , . . . , an } d’ordre n est le tableau (de dimension n × n)
des composés ai ∗ aj , pour tous les couples (i, j) de [[1, n]]2 .
Dans ce tableau, le résultat ai ∗ aj vient se placer à l’intersection de la ligne d’indice i et de
la colonne d’indice j. Dans la table de G, chaque ligne et chaque colonne contient une fois et
une seule chaque élément du groupe.
II.2
Sous-groupes
Définition
Soit (G, ∗) un groupe et soit H une partie de G.
On dit que H est un sous-groupe de (G, ∗) si :
– H est stable pour la loi ∗ : ∀ (x, y) ∈ H 2 , x ∗ y ∈ H.
– Muni de la loi induite, (H, ∗) possède lui-même une structure de groupe.
Remarque
On vérifie facilement que si H est un sous-groupe de (G, ∗) :
– Les groupes (H, ∗) et (G, ∗) partagent le même élément neutre.
– Le symétrique d’un élément x de H est le même, que l’on considère x comme un élément du
groupe (H, ∗) ou un élément du groupe (G, ∗).
Proposition (Première caractérisation des sous-groupes)
Soit (G, ∗) un groupe et soit H une partie de G.
H est un sous-groupe de (G, ∗) ⇔ :
– H est non vide
– H est stable pour la loi ∗ : ∀ (x, y) ∈ H 2 , x ∗ y ∈ H.
– H est stable pour le “passage à l’inverse” : ∀ x ∈ H, x−1 ∈ H.
Proposition (Seconde caractérisation des sous-groupes)
Soit (G, ∗) un groupe et soit H une partie
de G.
(
H est non vide
H est un sous-groupe de (G, ∗) ⇔ :
∀ (x, y) ∈ H 2 , x ∗ y −1 ∈ H.
Cas de la notation additive
Pour un groupe(G, +) (nécessairement commutatif), ces caractérisations s’écrivent :

 H 6= ∅
H 6= ∅
H sous-groupe de (G, +) ⇔ ∀ x ∈ H, −x ∈ H
⇔
∀ (x, y) ∈ H 2 , x − y ∈ H

∀ (x, y) ∈ H 2 , x + y ∈ H
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Partie II : Groupes, sous-groupes
Exemples
– Soit (G, ∗) est un groupe de neutre e.
Alors {e} et G en sont deux sous-groupes (dits triviaux ).
– Dans (ZZ, +), (Q,
l +), (IR, +), ( C,
l +), chacun est un sous-groupe du suivant.
– Même chose avec ({−1, 1}, ×), (Ql ∗ , ×), (IR∗ , ×), ( Cl ∗ , ×).
– De même, (IR+∗ , ×) est un sous-groupe de (IR∗ , ×).
– L’ensemble U des nombres complexes de module 1 est un sous-groupe de ( Cl ∗ , ×).
Proposition (Intersection de sous-groupes)
Une intersection quelconque de sous-groupes de G est encore un sous-groupe de G.
Remarque
C’est faux pour la réunion !
Plus précisément, si H et K sont deux sous-groupes de G, H ∪ K est un sous-groupe de G
⇔ H ⊂ K (auquel cas H ∪ K = K) ou K ⊂ H (auquel cas H ∪ K = H).
Définition
Soit n un élément de IN. On note nZZ = {kn, k ∈ ZZ}.
Remarques
– En particulier 0ZZ = {0} et 1ZZ = ZZ.
– ∀ (n, p) ∈ IN2 , nZZ ⊂ pZZ ⇔ p | n , et nZZ = pZZ ⇔ n = p.
– On pourrait définir les nZZ, n ∈ ZZ, mais c’est sans intérêt : ∀ n ∈ ZZ, nZZ = (−n)ZZ.
Proposition (Sous-groupes de ZZ)
Les sous-groupes de (ZZ, +) sont les nZZ , n ∈ IN.
Théorème (Théorème de Lagrange)
Soit (G, ∗) un groupe fini, et H un sous-groupe de G.
Alors l’ordre de H divise l’ordre de G.
Cas particulier
Si G est d’ordre premier, ses seuls sous-groupes sont {e} et G.
II.3
Morphismes de groupes
Proposition (Image d’un groupe par un morphisme)
Soit (G, ∗) un groupe, et H un ensemble muni d’une loi de composition T.
Soit f un morphisme de (G, ∗) dans (H, T). Alors (f (G), T) est un groupe.
On peut donc dire que l’image d’un groupe par un homomorphisme est un groupe.
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Partie II : Groupes, sous-groupes
Si le groupe (G, ∗) est commutatif, alors le groupe (f (G), T) est commutatif.
Définition (Morphismes de groupes)
Soient (G, ∗) et (H, T) deux groupes ; on note eH le neutre de H.
Soit f un morphisme de (G, ∗) dans (H, T). On dit que f est un morphisme de groupes.
Si f est bijective, f est appelée un isomorphisme de groupes.
On dit alors que (G, ∗) et (H, T) sont deux groupes isomorphes.
Proposition
Soit f un morphisme de groupes de (G, ∗) dans (H, T).
– Soit G0 un sous-groupe de (G, ∗). Alors f (G0 ) est un sous-groupe de (H, T).
-1
– Soit H 0 un sous-groupe de (H, T). Alors f (H 0 ) est un sous-groupe de (G, ∗).
Cas particuliers : image et noyau
– f (G) est un sous-groupe de (H, T), appelé image de f , et noté im (f ).
-1
– f ({eH }) = {x ∈ G, f (x) = eH } est un sous-groupe de (G, ∗).
Ce sous-groupe est appelé noyau de f , et noté ker(f ).
Proposition (Caractérisation de l’injectivité d’un morphisme de groupes)
Soient (G, ∗) et (H, T) deux groupes. Soit eG le neutre de G.
Soit f un morphisme de (G, ∗) dans (H, T).
f est injective ⇔ ker(f ) = {eG }.
Remarque
On retiendra plus généralement que : ∀ (x, y) ∈ G 2 , f (x) = f (y) ⇔ x ∗ y −1 ∈ ker(f ),
et en notation additive : f (x) = f (y) ⇔ x − y ∈ ker(f ).
II.4
Sous-groupe engendré par un élément
Définition (Puissances entières d’un élément)
Soit (G, ∗) un groupe, d’élément neutre e, et a un élément de G.
On définit les puissances entières an (n ∈ ZZ) de a de la manière suivante :
– a0 = e.
– ∀ n ∈ IN, an+1 = a ∗ an .
– ∀ n ∈ IN, a−n = (a−1 )n = (an )−1 .
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Partie II : Groupes, sous-groupes
Remarques et propriétés
– ∀ (n, m) ∈ ZZ2 , an ∗ am = an+m , et (an )m = anm .
– Si a et b commutent, (a ∗ b)n = an ∗ bn .
– En notation additive, la notation an devient na, n ∈ ZZ.
Proposition (Sous-groupe engendré par une partie)
Soit (G, ∗) un groupe, et X une partie non vide quelconque de G.
Il existe un plus petit (au sens de l’inclusion) sous-groupe de (G, ∗) qui contient X :
C’est l’intersection de tous les sous-groupes de (G, ∗) qui contiennent X.
On l’appelle le sous-groupe de (G, ∗) engendré par X.
On dit aussi que les éléments de X en constituent un système générateur.
Proposition
Le sous-groupe de (G, ∗) engendré par une partie X de G est l’ensemble des produits finis
a ∗ b ∗ . . . ∗ z, où a, b, . . . , z sont des éléments de X ou des inverses d’éléments de X.
Proposition (Sous-groupe engendré par un élément)
Soit (G, ∗) un groupe, et a un élément de G.
Le sous-groupe engendré par a est noté (a) et vérifie : (a) = {am , m ∈ ZZ}.
En notation additive, (a) = {ma, m ∈ ZZ}.
Proposition (Ordre d’un élément dans un groupe)
Soit (G, ∗) un groupe, de neutre e. Soit a un élément de G.
L’application f définie par f (m) = am est un morphisme de (ZZ, +) dans (G, ∗).
L’image de f n’est autre que le sous-groupe (a) de (G, ∗), engendré par a.
Il existe un unique entier naturel n tel que ker(f ) = nZZ.
L’entier n est appelé l’ordre de a.
Premier cas
a est d’ordre 0, c’est-à-dire ker(f ) = {0}.
L’application f est donc injective : ∀ (m, p) ∈ ZZ2 , m 6= p ⇒ am 6= ap .
f est un isomorphisme du groupe (ZZ, +) sur le groupe ((a), ∗).
Le groupe (a) est donc infini et isomorphe à ZZ.
Deuxième cas
a est d’ordre n strictement positif. Par définition, on a :
∀ m ∈ ZZ, am = e ⇔ n | m ⇔ ∃ k ∈ ZZ, m = kn.
∀ (m, p) ∈ ZZ2 , am = ap ⇔ n | m − p ⇔ ∃ k ∈ ZZ, m − p = kn.
Pour tout entier relatif m, am = ar , où r est le reste dans la division de m par n.
Le sous-groupe engendré par a est fini, d’ordre n : (a) = {ak , 0 ≤ k ≤ n − 1}.
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Partie II : Groupes, sous-groupes
II.5
Groupes monogènes, groupes cycliques
Définition
On dit qu’un groupe G est monogène s’il est engendré par l’un de ses éléments a, donc si
G = (a) = {am , m ∈ ZZ} (ou {ma, m ∈ ZZ} en notation additive).
Un tel groupe est commutatif.
Premier cas
G est infini (l’élément a est d’ordre 0).
Le groupe (G, ∗) est isomorphe à (ZZ, +) par l’application m → am .
Deuxième cas
G est fini d’ordre n (l’élément a est d’ordre n > 0).
On dit dans ce cas que G est un groupe cyclique : G = {e, a, a2 , . . . , an−1 }.
Soit k ∈ [[1, n − 1]] : b = ak est un générateur de G ⇔ k et n sont premiers entre eux.
Proposition
Tout groupe fini d’ordre premier est cyclique.
Un exemple de groupe cyclique
– Soit n un entier naturel non nul. On note Un = {z ∈ C,
l z n = 1}.
Les éléments de Un sont appelés racines n-ièmes de l’unité.
– (Un , ×) est un sous-groupe de ( C,
l ×).
2ikπ
2iπ
– Un = {exp
, k ∈ ZZ} = {ω k , k ∈ ZZ} = (ω), où ω = exp
.
n
n
– ω étant d’ordre n, Un est un groupe cyclique d’ordre n : Un = {1, ω, ω 2 , . . . , ω n−1 }.
2ikπ
– Les générateurs de Un sont les ω k = exp
, avec 1 ≤ k ≤ n − 1, et k premier avec n.
n
– En particulier, si n est premier, tous les éléments de Un (sauf ω 0 = 1) engendrent Un .
Remarques et exemples
– Cet exemple montre que pour tout n de IN∗ , il existe au moins un groupe d’ordre n . . .
D’autre part, tout groupe cyclique d’ordre n est isomorphe au groupe (Un , ×).
On peut donc dire que (Un , ×) est le modèle du groupe cyclique d’ordre n.
– Il existe des groupes finis qui ne sont pas cycliques. Par exemple, pour tout n de IN∗ , le groupe
des permutations d’un ensemble à n éléments est fini d’ordre n! mais il n’est pas cyclique si
n > 2 (tout simplement parce qu’il n’est pas commutatif).
– U1 = {1} ; U2 = {1, −1} (seul générateur : −1).
2iπ
U3 = {1, j, j 2 }, avec j = exp
: les générateurs sont j et j 2 .
3
U4 = {1, i, −1, −i} : les générateurs sont i et −i.
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Partie III : Le groupe symétrique
III
III.1
Le groupe symétrique
Le groupe symétrique
Définition
Pour tout entier n ≥ 1, on note En = {1, . . . , n}.
On appelle groupe symétrique d’indice n le groupe noté Sn de toutes les permutations de
En , c’est-à-dire de toutes les bijections de En sur lui-même.
Sn est effectivement un groupe pour la loi de composition des applications, non commutatif
dès que n ≥ 3, et il est d’ordre n!
Notation
Un élément σ de Sn est représenté par σ =
1
2
...
n
.
σ(1) σ(2) . . . σ(n)
1 2 ... n
.
1 2 ... n
En particulier l’application identité, neutre du groupe Sn , se note Id =
1 2 3 4 5 6
Par exemple,
représente l’élément σ de S6 défini par :
3 5 1 4 6 2
σ(1) = 3,
σ(2) = 5,
σ(3) = 1,
σ(4) = 4,
σ(5) = 6,
σ(6) = 2
Exemples
Si n = 1, le groupe S1 se réduit à l’application identité de E1 dans lui-même.
Si n = 2, S2 = {Id, σ}, où σ est définie par : σ(1) = 2 et σ(2) = 1.
Si n = 3, S3 est formé de six éléments, qui sont :
1 2 3
1 2 3
1 2 3
σ0 = Id =
, σ1 =
, σ2 =
,
1 2 3
1 3 2
3 2 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
σ3 =
, σ4 =
, σ5 =
= σ42
2 1 3
2 3 1
3 1 2
On vérifie par exemple que σ1 ◦ σ3 = σ5 et σ3 ◦ σ1 = σ4 . Donc S3 n’est pas commutatif.
III.2
Cycles et transpositions
Définition (Cycles)
Soit σ un élément de Sn , avec n ≥ 2. Soit p un entier de {2, . . . , n}.
On dit que σ est un cycle de longueur p s’il existe p éléments a1 , a2 , . . . , ap distincts de
En = {1, . . . , n} tels que : σ(a1 ) = a2 , σ(a2 ) = a3 , . . . , σ(ap−1 ) = ap , σ(ap ) = a1 , et si
pour tout élément b de En \ {a1 , . . . , ap } on a σ(b) = b.
On dit alors que l’ensemble {a1 , . . . , ap } est le support du cycle σ (c’est l’ensemble des
éléments qui ne sont pas invariants par σ).
En général, on représente un tel cycle en écrivant σ = ( a1 a2 . . . ap ).
Dans Sn , un cycle de longueur n est appelé une permutation circulaire.
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Groupes, anneaux, corps, arithmétique
Partie III : Le groupe symétrique
Exemples
1 2 3 4 5 6 7
σ1 =
est le cycle ( 1 5 2 6 4 ).
5 6 3 1 2 4 7
Cette dernière notation ne dit pas que la permutation σ1 est un élément de S7 , mais qu’elle
pourrait en fait être un élément de Sn pour tout n ≥ 6 (en principe le contexte est clair, mais
de toutes façons c’est sans grande importance).
Le support de σ1 est {1, 2, 4, 5, 6}. Les éléments 3 et 7 sont fixes par σ1 .
On remarque qu’on peut aussi écrire σ1 = ( 5 2 6 4 1 ), ou σ1 = ( 2 6 4 1 5 ) . . .
1 2 3 4 5 6 7 8
En revanche σ2 =
n’est pas un cycle.
6 5 3 8 7 4 2 1
Cependant on a visiblement σ = s ◦ t = t ◦ s, où s = ( 1 6 4 8 ) et t = ( 2 5 7 ).
1 2 3 4 5 6 7
σ3 =
est la permutation circulaire ( 1 7 3 6 2 5 4 ).
7 5 6 1 4 2 3
Propriétés
– Si σ = ( a1
a2
. . . ap ) alors σ −1 est le cycle ( ap
ap−1
. . . a1 ).
– Les puissances d’un cycle ne sont pas toujours des cycles.
Considérons par exemple le cycle σ = ( 1 2 3 4 5 6 ).
On constate que σ 2 = ( 1 3 5 ) ◦ ( 2 4 6 ) et σ 3 = ( 1 4 ) ◦ ( 2 5 ) ◦ ( 3 6 ).
En revanche σ 5 est le cycle ( 1 6 5 4 3 2 ).
Pour être précis, et si σ est un cycle de longueur p, on montre que σ k est un cycle si et
seulement si k et p sont premiers entre eux.
– Soit σ un cycle de longueur p ≥ 2. Alors σ p = Id et ∀ k ∈ {1, . . . , p − 1}, σ k 6= Id.
Cela permet de calculer les puissances quelconques du cycle σ. En effet, pour tout entier
relatif m, si m = qp + r est la division euclidienne de m par p, alors σ m = σ r .
– Deux cycles σ1 et σ2 dont les supports sont disjoints commutent : σ2 ◦ σ1 = σ1 ◦ σ2 .
Définition (Transpositions)
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On dit qu’un élément σ de Sn est une transposition
si σ est un cycle de longueur 2, c’est-à-dire s’il existe deux indices distincts i et j de En tels
que σ(i) = j et σ(j) = i, les autres élements de En étant invariants par σ.
Une telle transposition est notée ( i j ), ou ( j i ), ou τi,j .
Remarques
– Une transposition est donc une permutation qui se contente d’échanger deux éléments.
On ne confondra pas les mots “permutation” et “transposition”.
−1
2
– On a bien sûr : τi,j = τj,i , τi,j
= Id, τi,j
= τi,j .
– Soient τa,b et τc,d deux transpositions : τa,b ◦ τc,d = τc,d ◦ τa,b ⇔
– Dans Sn , il y a C 2n =
{a, b} ∩ {c, d} = ∅
ou {a, b} = {c, d}
n(n−1)
transpositions.
2
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Partie III : Le groupe symétrique
III.3
Décompositions d’une permutation
Proposition (Décomposition en produit de cycles)
Toute permutation de Sn (avec n ≥ 2) se décompose en un produit de cycles à supports
deux à deux disjoints. Cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.
Un exemple
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Soit la permutation σ =
10 5 9 4 14 3 1 11 12 7 13 6 2 8
On a σ(1) = 10, σ(10) = 7, et σ(7) = 1. Il apparaı̂t donc le cycle σ1 = ( 1 10 7 ).
En considérant les images successives de 2, on trouve le cycle σ2 = ( 2 5 14 8 11 13 ).
En considérant les images successives de 3 (qui n’est pas apparu dans les cycles σ1 et σ2 ) on
trouve le cycle σ3 = ( 3 9 12 6 ).
On constate enfin que σ(4) = 4 et que les autres éléments de {1, . . . , 14} sont tous apparus
une fois dans l’un des cycles σ1 , σ2 , σ3 .
On peut donc écrire σ = σ1 ◦ σ2 ◦ σ3 .
Les supports de ces cycles sont respectivement {1, 7, 10}, {2, 5, 8, 11, 13, 14} et {3, 9, 6, 12}.
Ils sont disjoints deux à deux : les cycles σ1 , σ2 , σ3 commutent entre eux.
On pourrait donc aussi écrire : σ = σ3 ◦ σ2 ◦ σ1 = σ1 ◦ σ3 ◦ σ2 = σ2 ◦ σ3 ◦ σ1 = · · ·
On en déduit également le calcul des puissances de σ : σ n = (σ1 ◦ σ2 ◦ σ3 )n = σ1n ◦ σ2n ◦ σ3n .
Compte tenu des longueurs des cycles σ1 , σ2 , σ3 , on a : σ13 = Id, σ26 = Id, σ34 = Id.
Le ppcm de 3, 6, 4 est 12. On a donc σ 12 = (σ13 )4 ◦ (σ26 )2 ◦ (σ34 )3 = Id.
On vérifie que pour tout entier k compris entre 1 et 12 on a σ k 6= Id.
Ainsi la permutation σ est un élément d’ordre 12 dans S14 : dans ce groupe, σ engendre un
groupe cyclique d’ordre 12 : (σ) = {Id, σ, σ 2 , . . . , σ 11 }.
Si on veut calculer une puissance particulière de σ, par exemple σ 2000 , on calcule les restes
de 2000 dans les divisions euclidiennes par 3, 6, 4.
On observe que 2000 ≡ 2 mod 3, 2000 ≡ 2 mod 6 et 2000 ≡ 0 mod 4.
On en déduit σ 2000 = σ12 ◦ σ22 ◦ σ30 .
Or σ12 = ( 1 7 10 ) et σ22 = ( 2 14 11 ) ◦ ( 5 8 13 ).
On trouve donc : σ 2000 = ( 1 7 10 ) ◦ ( 2 14 11 ) ◦ ( 5 8 13 ).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2000
Finalement : σ
=
7 14 3 4 8 6 10 13 9 1 2 12 5 11
Alors que σ n’a qu’un point fixe, on constate que σ 2000 en a cinq.
Enfin le calcul de σ −1 peut s’effectuer en écrivant :
σ −1 = σ1−1 ◦ σ2−1 ◦ σ3−1 = ( 1 7 10 ) ◦ ( 2 13 11 8 14 5 ) ◦ ( 3 6 12 9 )
On pouvait aussi trouver σ −1 directement (en lisant dans σ à partir de la ligne du bas) :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
−1
σ =
7 13 6 4 2 12 10 14 3 1 8 9 11 5
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Groupes, anneaux, corps, arithmétique
Partie III : Le groupe symétrique
Proposition (Décomposition d’une permutation en produit de transpositions)
Tout cycle de Sn peut s’écrire comme un produit de transpositions.
Il en découle que toute permutation de Sn peut s’écrire comme un produit de transpositions.
Remarques et exemples
– Pour décomposer une permutation σ en un produit de transpositions, il est plus commode en
général d’écrire σ comme un produit de cycles à supports disjoints pour ensuite décomposer
chaque σk en un produit de transpositions. Par exemple :
1 2 3 4 5 6 7 8
σ=
= (1 4 8)(2 7 5 6) = (1 4)(4 8)(2 7)(7 5)(5 6)
4 7 3 8 6 2 5 1
– Il n’y a pas unicité de la décomposition d’une permutation en un produit de transpositions.
Par exemple : σ = ( 1 2 3 ) = ( 1 2 ) ( 2 3 ) = ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) = ( 2 3 ) ( 1 3 )
III.4
Signature d’une permutation
Définition (Inversions d’une permutation)
Soit σ un élément de Sn , avec n ≥ 2. Soient i < j deux éléments distincts de En .
On dit que la paire {i, j} est une inversion de σ si σ(i) > σ(j).
On note Inv(σ) le nombre d’inversions de la permutation σ.
Exemples
– Soit σ =
1 2 3 4 5 6 7 8
. On a Inv(σ) = 19. En effet les inversions de σ sont :
4 7 3 8 6 2 5 1
{1, 3} {1, 6} {1, 8} {2, 3} {2, 5} {2, 6} {2, 7} {2, 8} {3, 6} {3, 8}
{4, 5} {4, 6} {4, 7} {4, 8} {5, 6} {5, 7} {5, 8} {6, 8} {7, 8}
– Inversions d’une transposition
Soient i < j deux éléments distincts de En , et τ la transposition qui échange i et j.
Les inversions de τ sont {i, i + 1}, {i, i + 2}, . . . , {i, j}, {i + 1, j}, {i + 2, j}, . . . , {j − 1, j}.
On constate donc que Inv(τ ) = 2(j − i) + 1.
Conclusion : une transposition présente toujours un nombre impair d’inversions.
Définition (Signature d’une permutation)
Soit σ un élément de Sn , avec n ≥ 2. Soit Inv(σ) le nombre de ses inversions.
La quantité ε(σ) = (−1)Inv(σ) est appelée signature de σ.
On dit que σ est une permutation paire si ε(σ) = 1 donc si σ a un nombre pair d’inversions.
Dans le cas contraire, c’est-à-dire si ε(σ) = −1, ou encore si σ a un nombre impair d’inversions, on dit que σ est une permutation impaire.
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Partie III : Le groupe symétrique
Remarques
– L’application identité est une permutation paire. Elle ne présente en effet aucune inversion.
– On sait qu’une transposition présente toujours un nombre impair d’inversions.
Toute transposition est donc une permutation impaire.
Proposition (Une expression de la signature)
Q σ(j)−σ(i)
.
Soit σ un élément de Sn . Alors ε(σ) =
j−i
i<j
Proposition (Signature de la composée de deux permutations)
Soient σ et σ 0 deux éléments de Sn . Alors ε(σ 0 ◦ σ) = ε(σ 0 ) ε(σ).
Remarques et propriétés
– La proposition précédente peut s’interpréter en disant que la signature est un morphisme du
groupe (Sn , ◦) sur le groupe ({−1, 1}, ×).
Ce morphisme est surjectif puisqu’il existe des permutations paires (par exemple l’identité)
et des permutations impaires (par exemple les transpositions).
– Une permutation σ et son inverse σ −1 ont la même signature.
La composée de deux permutations de même parité est une permutation paire.
La composée de deux permutations de parités opposées est une permutation impaire.
Si σ est une permutation paire, alors pour tout p de ZZ la permutation σ p est paire.
Si σ est une permutation impaire, alors la permutation σ p a la parité de l’entier relatif p.
– La signature d’un cycle de longueur p est (−1)p−1 . Autrement dit :
Un cycle de longueur paire est une permutation impaire.
Un cycle de longueur impaire est une permutation paire.
– Pour calculer la signature de σ ∈ Sn , le plus simple est souvent de décomposer σ en cycles à
supports disjoints σ = σ1 ◦ σ2 ◦ · · · ◦ σp et d’écrire ε(σ) = ε(σ1 ) ε(σ2 ) · · · ε(σp )
1 2 3 4 5 6 7 8
σ1 = ( 1 4 8 )
Par exemple : σ =
= σ1 ◦ σ2 avec
4 7 3 8 6 2 5 1
σ2 = ( 2 7 5 6 )
2
ε(σ1 ) = (−1) = 1
On a
. On en déduit ε(σ) = −1 : σ est une permutation impaire.
ε(σ2 ) = (−1)3 = −1
– La décomposition d’une permutation σ en un produit de transpositions n’est pas unique.
Cependant la parité du nombre de transpositions apparaissant dans les décompositions de σ
est toujours la même : c’est la parité de σ.
Par exemple : σ = ( 1 2 3 ) = ( 1 2 ) ( 2 3 ) = ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) = ( 2 3 ) ( 1 3 )
Le cycle ( 1 2 3 ) est pair : il est toujours le produit d’un nombre pair de transpositions.
Définition (Groupe alterné)
Soit n ≥ 2. On appelle groupe alterné d’indice n et on note An le sous-groupe de Sn formé
des permutations paires.
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Partie III : Le groupe symétrique
Remarques
Le groupe alterné An est le noyau du morphisme “signature”.
Il y a autant de permutations paires que de permutations impaires. Ainsi Card(An ) = 21 n!.
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Partie IV : Anneaux, sous-anneaux, corps
IV
IV.1
Anneaux, sous-anneaux, corps
Structure d’anneau
Définition
Soit A un ensemble muni de deux lois de composition, notées + et ×.
On dit que (A, +, ×) est un anneau si :
– (A, +) est un groupe commutatif (son neutre est en général noté 0).
– La loi × est associative et distributive par rapport à l’addition.
– Il existe un élément neutre pour le produit × (en général noté 1).
Si de plus la loi × est commutative, on dit que (A, +, ×) est un anneau commutatif.
Exemples
– (ZZ, +, ×), (Q,
l +, ×), (IR, +, ×) et ( C,
l +, ×) sont des anneaux commutatifs.
– Si E est un ensemble, (P(E), ∆, ∩) est un anneau commutatif.
– Soient (A, +, ×) un anneau et X un ensemble non vide.
Soit F(X, A) l’ensemble des applications de X vers A.
F(X, A), muni des lois + et × déduites de celles de A, est un anneau.
(
Le neutre pour l’addition est l’application constante égale à 0.
Celui du produit est l’application constante égale à 1.
En particulier F(IR, IR) et F(IN, IR) (suites réelles) sont des anneaux.
– Soit A l’ensemble des applications de Cl dans C,
l de la forme z → αz + β z̄.
(A, +, ◦) est un anneau non commutatif (le produit est la loi de composition).
Anneau nul
Soit (A, +, ×) un anneau de neutres 0 (pour la loi +) et 1 (pour la loi ×).
Il est possible que les deux éléments 0 et 1 de A soient identiques.
Mais dans ce cas A se réduit à {0} (anneau nul, sans grand intérêt).
Anneau produit
Soit (A, +, ×) un anneau.
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).
On définit des lois + et × sur A × A en posant :
(a, b)(c, d) = (ac, bd).
(
Le neutre additif est (0, 0).
On vérifie que (A × A, +, ×) est un anneau :
Le neutre multiplicatif est (1, 1).
On peut généraliser à An , pour tout n de IN∗ . Par exemple (IRn , +, ×) est un anneau.
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Partie IV : Anneaux, sous-anneaux, corps
IV.2
Calculs dans un anneau
Règles de calcul
Soit (A, +, ×) un anneau (on note 0 le neutre pour +, et 1 le neutre pour ×).
Rappelons qu’on note a − b plutôt que a + (−b).
Pour tout (a, b, c) de A3 , et tout entier relatif m, on a :

(−a)b = a(−b) = −(ab)
 a0 = 0a = 0,
(−a)(−b) = ab,
a(b − c) = ab − ac

(a − b)c = ac − bc,
a(mb) = (ma)b = m(ab)
Sommes et produits. Développements
Soit (A, +, ×) un anneau.
Pour toute famille finie am , am+1 , . . . , an d’éléments de A, on pose :
am + · · · + an =
n
X
et am × · · · × an =
ak
k=m
Si m > n, on pose encore
n
X
ak = 0 et
k=m
n
Y
ak
k=m
n
Y
ak = 1.
k=m
On vérifie les égalités, pour tout b de A :
" n
#
n
X
X
b
ak =
(bak ) et
k=m
"
k=m
n
X
#
ak b =
k=m
n
X
(ak b)
k=m
Plus généralement (notations analogues) :
" n
#" q
#
"
#
q
q
n
n X
X
X
X
X
X
aj
bk =
aj
bk =
aj b k
j=m
k=p
j=m
k=p
j=m k=p
"
#
Si a et b commutent, alors, pour tout n de IN :
an+1 − bn+1 = (a − b)
n
X
an−k bk
k=0
En particulier :
∗
n
∀ q ∈ A, ∀ n ∈ IN , 1 − q = (1 − q)
n−1
X
q k = (1 − q)(1 + q + q 2 + · · · + q n−1 )
k=0
n
On en déduit que si q = 0, 1 − q est inversible et
(1 − q)−1 = 1 + q + · · · + q n−1
Si a et b commutent, on a la formule du binôme :
n
∀ n ∈ IN, (a + b) =
n
X
C kn ak bn−k
k=0
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Partie IV : Anneaux, sous-anneaux, corps
IV.3
Eléments remarquables dans un anneau
Proposition (Groupe des éléments inversibles)
Soit A un anneau non nul.
On note A∗ l’ensemble des éléments de A inversibles pour le produit.
A∗ est un groupe pour la loi ×.
Remarques
– On note que A∗ ⊂ A − {0}.
Il peut y avoir inclusion stricte. Par exemple, ZZ∗ = {−1, 1}.
– Dans l’anneau (F(IR), +, ×) des fonctions de IR dans IR, les fonctions qui sont inversibles
pour le produit sont celles qui ne s’annulent jamais.
1
L’inverse d’une telle fonction f est .
f
On ne confondra pas avec la bijection inverse pour la composition des applications.
Définition (Diviseurs de zéro)
Soit A un anneau non réduit à {0}. Soit a un élément non nul de A.
On dit que a est un diviseur de zéro s’il existe b dans A, non nul, tel que ab = 0 ou ba = 0.
Exemples et remarques
– Dans (A2 , +, ×) les couples (a, 0) et (0, a), où a 6= 0, sont des diviseurs de zéro.
– a est un diviseur de zéro ⇔ a est non simplifiable pour le produit.
– Si a est inversible, il est simplifiable, et n’est donc pas un diviseur de zéro.
En prenant la contraposée : si a est un diviseur de zéro, il n’est pas inversible.
– Ces deux notions ne sont cependant pas équivalentes.
Par exemple 2 n’est pas inversible dans l’anneau (ZZ, +, ×), et pourtant ce n’est pas un
diviseur de zéro (il est simplifiable).
Définition (Anneau intègre)
On dit qu’un anneau (A, +, ×) est intègre s’il est commutatif et sans diviseur de zéro.
Un anneau intègre est donc un anneau commutatif A dans lequel ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0.
Exemples
– (ZZ, +, ×), (Q,
l +, ×), (IR, +, ×) et ( C,
l +, ×) sont des anneaux intègres.
– Si (A, +, ×) est non nul, les anneaux (An , +, ×) (n ≥ 2) ne sont pas intègres.
– Soit E un ensemble contenant au moins deux éléments.
L’anneau commutatif (P(E), ∆, ∩) n’est pas intègre : ∀ X ⊂ E, X ∩ X = ∅.
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Groupes, anneaux, corps, arithmétique
Partie IV : Anneaux, sous-anneaux, corps
Définition (Eléments nilpotents)
Soit A un anneau non réduit à {0}. Soit a un élément non nul de A.
On dit que a est nilpotent s’il existe un entier naturel n tel que an = 0.
Avec ces notations, ∀ p ≥ n, ap = 0.
Le plus petit entier n tel que an = 0 est appelé indice de nilpotence de a.
Propriétés et exemples
– Si a est nilpotent, alors a est un diviseur de 0. Il n’est donc pas inversible.
– Si a et b commutent et sont nilpotents, a + b est nul ou nilpotent.
– Soit (A, +, ◦) l’anneau des applications z → αz + β z̄, avec (α, β) ∈ Cl 2 .
L’application f : z → iz + z̄ est nilpotente, car f ◦ f = 0 (application nulle).
IV.4
Sous-anneaux
Définition
Soit (A, +, ×) un anneau (on note 1 le neutre pour le produit). Soit B une partie de A.
On dit que B est un sous-anneau de (A, +, ×) si :
– 1∈B
– ∀ (a, b) ∈ B 2 , a + b ∈ B (stabilité pour la loi +)
– ∀ (a, b) ∈ B 2 , ab ∈ B (stabilité pour la loi ×)
– Muni des lois induites, (B, +, ×) possède lui-même muni d’une structure d’anneau.
Proposition (Caractérisation d’un sous-anneau)
B est un sous-anneau de (A, +, ×) si et seulement si :
• 1 ∈ B • ∀ (a, b) ∈ B 2 , a − b ∈ B • ∀ (a, b) ∈ B 2 , ab ∈ B
Exemples
– Dans (ZZ, +, ×), (Q,
l +, ×), (IR, +, ×), ( C,
l +, ×), chacun est un sous-anneau du suivant.
– Le seul sous-anneau de (ZZ, +, ×) est (ZZ, +, ×) lui-même.
– Soit D l’ensemble {m10−n , m ∈ ZZ, n ∈ IN} de tous les nombres décimaux.
D est un sous-anneau de (Q,
l +, ×).
√
– L’ensemble {r + s 2, (r, s) ∈ Ql 2 } est un sous-anneau de (IR, +, ×).
Définition (Morphismes d’anneaux)
Soient (A, +, ×) et (B, +, ×) deux anneaux.
On note 1A et 1B les neutres multiplicatifs. On note 0A et 0B les neutres additifs.
On dit qu’une application f de A vers B est un morphisme d’anneaux si :
– f (1A ) = 1B
– ∀ (a, b) ∈ A2 , f (a + b) = f (a) + f (b)
– ∀ (a, b) ∈ A2 , f (ab) = f (a)f (b)
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Groupes, anneaux, corps, arithmétique
Partie IV : Anneaux, sous-anneaux, corps
Remarques
– En particulier, f est un morphisme de groupes, de (A, +) vers (B, +).
– On note encore ker(f ) = {a ∈ A, f (a) = 0B }. ∀ (a, b) ∈ A2 , f (a) = f (b) ⇔ b − a ∈ ker(f ).
– Le morphisme f est injectif ⇔ ker(f ) = {0A }.
IV.5
Structure de corps
Définition
Soit K un ensemble muni de deux lois + et ×.
On dit que (K, +, ×) est un corps si :
– (K, +, ×) est un anneau commutatif non réduit à {0}.
– K ∗ = K − {0}, c’est-à-dire tout élément non nul de K est inversible pour le produit.
Exemples et remarques
– (Q,
l +, ×), (IR, +, ×) et ( C,
l +, ×) sont des corps, mais pas (ZZ, +, ×).
– Dans un corps, tous les éléments non nuls sont simplifiables.
Il n’y a donc pas de diviseur de 0, et à fortiori pas d’élément nilpotent.
– Un corps est un cas particulier d’anneau intègre (xy = 0 implique x = 0 ou y = 0).
– Si (K, +, ×) est un corps, (K 2 , +, ×) n’est pas un corps (idem avec K n , si n ≥ 2).
Définition (Sous-corps)
Soit (K, +, ×) un corps.
On dit qu’une partie L de K est un sous-corps de (K, +, ×) si :
– L est un sous anneau de (K, +, ×)
– ∀ x ∈ L, avec x 6= 0, x−1 ∈ L.
– Muni des lois induites, (L, +, ×) possède alors lui-même une structure de corps.
Proposition (Caractérisation des sous-corps)
L est un sous-corps de (K, +, ×) ⇔ :
– 1∈L
– ∀ (x, y) ∈ L2 , x − y ∈ L
– ∀ (x, y) ∈ L2 , avec y 6= 0, xy −1 ∈ L.
Remarques et exemples
– Si L est un sous-corps de (K, +, ×), on dit que K est une extension de (L, +, ×).
– Dans (Q,
l +, ×), (IR, +, ×), ( C,
l +, ×), chacun est un sous-corps du suivant.
– Le seul sous-corps de (Q,
l +, ×) est lui-même.
√
– L’ensemble {r + s 2, (r, s) ∈ Ql 2 } est un sous-corps de (IR, +, ×).
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Partie IV : Anneaux, sous-anneaux, corps
Définition (Morphisme de corps)
Soient (K, +, ×) et (L, +, ×) deux corps.
On dit qu’une application f de K dans L est un morphisme de corps si f est un morphisme
de l’anneau (K, +, ×) dans l’anneau (L, +, ×), c’est-à-dire si :
– f (1K ) = 1L
– ∀ (x, y) ∈ K 2 , f (x + y) = f (x) + f (y)
– ∀ (x, y) ∈ K 2 , f (xy) = f (x)f (y)
Si de plus f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de corps.
Proposition (Corps des fractions d’un anneau intègre)
Soit (A, +, ×) un anneau intègre.
Il existe un corps (K, +, ×), unique à un isomorphisme près, tel que (A, +, ×) est un sousanneau de K, et tel que K = {ab−1 , (a, b) ∈ A2 , b 6= 0}.
On dit que K est le corps des fractions de l’anneau intègre A.
Remarques et exemples
– Dire que K est unique à un isomorphisme près, c’est dire que si K et K 0 répondent à la
question, alors il existe un isomorphisme f de corps de (K, +, ×) sur (K 0 , +, ×).
– (Q,
l +, ×) est le corps des fractions de l’anneau intègre (ZZ, +, ×).
– C’est la proposition précédente qui permet de construire le corps (K(X), +, ×) des fractions
rationnelles à coefficients dans K, à partir de l’anneau intègre (K[X], +, ×) des polynômes
à coefficients dans K.
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Groupes, anneaux, corps, arithmétique
Partie V : Arithmétique élémentaire
V
V.1
Arithmétique élémentaire
Bases de numération dans N
Proposition (Numération en base b)
Soit b un entier supérieur ou égal à 2.
p
P
Tout entier n ≥ 1 s’écrit de manière unique n = cp bp + cp−1 bp−1 + · · · + c1 b + c0 =
c k bk ,
k=0
avec : p ∈ IN, ∀ k ∈ {0, . . . , p}, ck ∈ [[ 0, . . . , b−1 ]] et cp 6= 0.
On pose alors n = cp cp−1 . . . c1 c0 et on parle de l’écriture de n en base b.
On dit que cp , cp−1 , . . . , c1 , c0 sont les chiffres de la représentation de n en base b.
Exemples
– On utilise le plus souvent les bases b = 2 (numérotation binaire, les chiffres sont 0 et 1),
b = 8 (numérotation octale, les chiffres sont 0, 1, . . . , 7), b = 10 (numérotation décimale, les
chiffres sont 0, 1, . . . , 9), ou b = 16 (numérotation hexadécimale, les chiffres sont 0, 1, . . . , 9
puis A, B, C, D, E, F qui remplacent respectivement 10, 11, 12, 13, 14, 15).
– L’entier n = 2001 (en numération décimale) s’écrit n = 11111010001 en numération binaire,
n = 3721 en numération octale, et n = 7D1 en numération hexadécimale.
Interprétation et calcul des chiffres en base b
– Si n = cp cp−1 . . . c1 c0 , alors c0 est le reste dans la division euclidienne de n par la base b, et
q = cp cp−1 . . . c1 est le quotient dans cette division.
Les chiffres c0 , c1 , . . . , cp sont donc les restes obtenus successivement dans des divisions répétées
par b (jusqu’à obtenir un quotient nul, cp étant le reste dans cette dernière division).
L’écriture de b en base b est 10. Celle de bm est 10 . . . 0 (le chiffre 1 suivi par m chiffres 0).
– Si n = cp cp−1 . . . c1 c0 et si 1 ≤ m ≤ p, les entiers cp cp−1 . . . cm et cm−1 . . . c1 c0 représentent
respectivement le quotient et le reste dans la division de n par bm .
Comparaison de deux nombres écrits en base b
– Soient n = cp cp−1 . . . c1 c0 et m = dq dq−1 . . . d1 d0 , avec la convention cp 6= 0 et dq 6= 0.
Si p 6= q, alors n et m sont dans le même ordre que p et q.
Si p = q, alors n et m sont dans le même ordre que les (p + 1)-uplets (cp , cp−1 , . . . , c1 , c0 )
et (dp , dp−1 , . . . , d1 , d0 ) classés suivant l’ordre lexicographique (c’est-à-dire départagés par la
première inégalité entre chiffres de même rang, dans une lecture de gauche à droite.)
– Les entiers qui s’écrivent n = cp−1 . . . c1 c0 (c’est-à-dire avec p chiffres) sont ceux compris entre
bp−1 = 10 . . . 0 (le chiffre 1 suivi de p − 1 fois le chiffre 0) et bp − 1 = αα . . . α (p fois le chiffre
noté ici α et correspondant à la valeur b − 1.)
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Groupes, anneaux, corps, arithmétique
Partie V : Arithmétique élémentaire
Somme de deux nombres écrits en base b
– Soient x et y deux entiers naturels non nuls.
Quitte à rajouter en tête des chiffres égaux à 0, on peut supposer que les écritures en base b
des entiers x et y ont la même longueur.
p
p
p
P
P
P
Si x = xp . . . x1 x0 =
xk bk et y = yp . . . y1 y0 =
yk bk , on a z = x + y =
(xk + yk )bk .
k=0
k=0
k=0
Dans cette écriture, les entiers xk +yk sont compris entre 0 et 2b−2. Ils peuvent être supérieurs
à b − 1 et ne représentent donc pas en général les chiffres zk de z = x + y.
Pour obtenir cette représentation, il faut utiliser et reporter une retenue de 1 à chaque fois
que la somme intermédiaire obtenue est supérieure ou égale à b.
La procédure Maple suivante additionne deux entiers représentés par les listes X et Y de
leurs chiffres (aucun test n’est effectué sur la validité des arguments). On place dans x la plus
longue des deux listes (l’autre est complétée par des 0) et on forme la somme dans la liste x :
somme:=proc(X,Y) global base; local x,y,n,r,k:
if nops(X)>=nops(Y) then x:=X: y:=Y else x:=Y: y:=X fi;
n:=nops(x): y:=[0$n-nops(y),op(y)]; r:=0;
for k from n to 1 by -1 do
x[k]:=x[k]+y[k]+r;
if x[k]>=base then x[k]:=x[k]-base: r:=1 else r:=0 fi;
od;
if r=1 then [1,op(x)] else x fi;
end:
Produit de deux nombres écrits en base b
– Le produit de n = cp cp−1 . . . c1 c0 par la base b s’écrit cp cp−1 . . . c1 c0 0. Plus généralement le
produit par bm s’obtient en ajoutant m fois le chiffre 0 à la droite de la représentation de n.
– Soient x et y deux entiers naturels non nuls, écrits en base b :
p
q
P
P
Si x = xp . . . x1 x0 =
xj bj et y = yq . . . y1 y0 =
yk bk (avec xp 6= 0 et yq 6= 0).
j=0
Alors le produit z = xy peut s’écrire z =
k=0
p
P
x j bj y =
j=0
Notons tj =
q
P
p P
q
P
xj yk bk+j .
j=0 k=0
xj yk bk+j le produit de y par xj bj .
k=0
En base b, on peut écrire tj = (xj yq ) . . . (xj y1 )(xj y0 )0 . . . 0 (il y a j chiffres 0 à la fin).
En fait, il n’en est pas exactement ainsi car les produits xj yk peuvent atteindre et dépasser
la valeur de b : le calcul des chiffres de tj s’effectue donc en utilisant une retenue r.
Contrairement à l’opération d’addition, où r ne pouvait prendre que les valeurs 0 et 1, la
retenue peut ici prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et b − 1, c’est-à-dire être un
chiffre quelconque dans la base de numération b.
En effet : le produit de deux entiers a, b de [[0, b−1]], s’il est affecté d’une retenue r de [[0, b−1]],
conduit à un résultat inférieur ou égal à (b − 1)2 + r donc inférieur ou égal à b(b − 1). Modulo
b, ce résultat produit donc à son tour une retenue inférieure ou égale à b − 1.
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Partie V : Arithmétique élémentaire
L’algorithme de multiplication consiste donc à former et à additionner successivement les
produits partiels tj . Voici une procédure Maple effectuant le produit de deux entiers repésentés
par les listes x et y de leurs chiffres (aucun test n’est effectué sur la validité des arguments).
> produit:=proc(x,y)
global base;
local nx,ny,j,k,r,z,xj;
nx:=nops(x); ny:=nops(y); z:=[0$nx+ny];
for j from nx to 1 by -1 do
xj:=x[j]: r:=0;
for k from ny to 1 by -1 do
z[j+k]:=irem(z[j+k]+xj*y[k]+r,base,’r’);
od;
z[j]:=r;
od;
if r=0 then subsop(1=NULL,z) else z fi;
end:
Voici un exemple d’utilisation de la procédure produit (en base 10, ce qui permet de vérifier
facilement que le résultat est correct) :
> base:=10: produit([9,9,7,3,8,2],[9,3,1,5]), 997382*9315;
[9, 2, 9, 0, 6, 1, 3, 3, 3, 0],
9290613330
Exponentiation rapide
– Soit E un monoı̈de, dont la loi est notée par juxtaposition.
Soit a un élément de E et n un entier naturel non nul.
Pour calculer an il est inefficace d’effectuer le produit de n exemplaires de a, car on peut
obtenir le même résultat avec beaucoup moins d’opérations en utilisant la représentation de
l’exposant n en base 2.
p
P
– Posons en effet n = bp . . . b1 b0 =
bk 2k (pour tout k, bk = 0 ou bk = 1.)
k=0
P k
Q 2k
a .
Notons S l’ensemble des k de {0, . . . , p} tels que bk = 1. Alors n =
2 puis an =
k∈S
2k
k∈S
u2k .
Il suffit donc de calculer les uk = a . Or u0 = a et pour tout k on a uk+1 =
On calcule
donc les uk (pour k ∈ S) par des élévations au carré successives, et on les multiplie.
On calcule les chiffres binaires bk de n par divisions successives par 2 (le premier dividende
est n, le suivant est le quotient entier de n par 2, etc.) Le chiffre bk est le reste dans la
(k + 1)-ième division : k est dans S si le dividende de la (k + 1)-ième division est impair.
– Par exemple 1234 = 10011010010. Pour calculer a1234 , il suffit donc de calculer
u1 = a2 (une élévation au carré)
4
u4 = a2 = ((u21 )2 )2 (trois élévations au carré)
6
u6 = a2 = (u24 )2 (deux élévations au carré)
7
u7 = a2 = u26 (une élévation au carré)
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Partie V : Arithmétique élémentaire
10
u10 = a2 = ((u27 )2 )2 (trois élévations au carré)
On a alors a1234 = u10 u7 u6 u4 u1 (quatre produits).
Ainsi 14 produits suffisent à calculer a1234 .
– La procédure Maple suivante calcule la puissance n-ième d’un élément a. Pour garder toute sa
généralité au calcul, on appelle une fonction nommée produit pour effectuer les multiplications
intermédiaires. On utilise également une variable globale nommée neutre pour représenter
l’élément neutre du monoı̈de.
> puissance:=proc(a,N::nonnegint)
global neutre;local n,u,p;
n:=N; u:=a; p:=neutre;
while n<>0 do
if type(n,odd) then p:=produit(u,p) fi;
u:=produit(u,u); n:=iquo(n,2);
end; eval(p);
end:
Voici un exemple d’exponentiation d’un entier écrit dans une base de numération (ici la base
10 pour vérifier le résultat). On utilise la fonction produit définie précédemment.
> neutre:=[1]: base:=10:
> puissance([4,2,8,3],5),4283^5;
[1, 4, 4, 1, 2, 5, 3, 4, 9, 0, 1, 1, 0, 5, 8, 1, 6, 4, 3], 1441253490110581643
Programmation récursive de l’exponentiation rapide
On peut aussi
utiliser une programmation récursive,
en notant que an peut être défini par
2
2
an = an/2 si n est pair et an = a a(n−1)/2 si n est impair.
Voici une procédure Maple utilisant cette méthode, avec le même exemple d’utilisation :
> rec_puissance:=proc(a,n::nonnegint)
local t;
if n=0 then neutre
else t:=rec_puissance(a,iquo(n,2)); t:=produit(t,t);
if type(n,odd) then produit(a,t) else eval(t) fi;
fi;
end:
> neutre:=[1]: base:=10:
> rec_puissance([4,2,8,3],5),4283^5;
[1, 4, 4, 1, 2, 5, 3, 4, 9, 0, 1, 1, 0, 5, 8, 1, 6, 4, 3], 1441253490110581643
Application au calcul matriciel
On peut utiliser les procédures précédentes pour calculer les puissances d’une matrices carrée.
Voici d’abord comment modifier la définition de la procédure produit et de l’élément neutre :
> produit:=(A,B)->evalm(A&*B): neutre:=&*():
On calcule ici la puissance quinzième d’une matrice carrée d’ordre 2 (évidemment il y a une
fonction intégrée à Maple pour vérifier le résultat) :
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Partie V : Arithmétique élémentaire
> A:=matrix([[4,-1],[2,-3]]):
> puissance(A,15),rec_puissance(A,15),evalm(A&^15);
"
#
"
#
"
#
351343134 −52871731
351343134 −52871731
351343134 −52871731
,
,
105743462 −18758983
105743462 −18758983
105743462 −18758983
Si A =
1
1
1
0
!
n
alors A =
Fn+1
Fn
Fn
Fn−1
!
, où Fn est terme d’indice n de la suite de Fibonacci,
définie par F1 = F2 = 1 et Fn = Fn−1 + Fn−2 .
> A:=matrix([[1,1],[1,0]]): puissance(A,125);
"
#
96151855463018422468774568 59425114757512643212875125
59425114757512643212875125 36726740705505779255899443
On vérifie le résultat avec la fonction intégrée fibonacci du package combinat :
> with(combinat): fibonacci(124); fibonacci(125); fibonacci(126);
36726740705505779255899443
59425114757512643212875125
96151855463018422468774568
V.2
Divisibilité dans Z
Définition
Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que b est un diviseur de a, ou encore que a est un
multiple de b, et on note b | a, s’il existe un entier relatif q tel que a = qb.
Définition
Pour tout n de ZZ, on note nZZ = {qn, q ∈ ZZ} l’ensemble des multiples de n.
On note D(n) l’ensemble des diviseurs de n.
Pour tous a, b dans ZZ, on a donc : a | b ⇔ b ∈ aZZ ⇔ a ∈ D(b).
Remarques et propriétés
– On a bien sûr nZZ = (−n)ZZ et D(n) = D(−n) ce qui permettrait de se limiter à n ≥ 0.
Par exemple 2ZZ est l’ensemble des entiers relatifs pairs.
On rappelle que les nZZ sont les sous-groupes de (ZZ, +).
– 0 est multiple de tout entier b (car 0 = 0b) mais ne divise que lui-même (car a = q0 ⇒ a = 0.)
Les entiers 1 et −1 divisent tous les entiers relatifs (a = a1 = (−a)(−1)) mais ils ne sont
multiples que d’eux mêmes (qb ∈ {−1, 1} ⇒ b ∈ {−1, 1}).
Ainsi 0ZZ = {0}, 1ZZ = ZZ, D(0) = ZZ et D(1) = {−1, 1}.
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Groupes, anneaux, corps, arithmétique
Partie V : Arithmétique élémentaire
– En posant a | b, on définit une relation binaire sur ZZ qui est réflexive et transitive.
Contrairement à sa restriction à IN, elle n’est pas antisymétrique (donc ce n’est pas une
a|b
⇔ | a | = | b |.
relation d’ordre). En effet : ∀ (a, b) ∈ ZZ2 ,
b|a
– Pour tous entiers relatifs a, b, on a : aZZ ⊂ bZZ ⇔ b | a ⇔ D(b) ⊂ D(a).
On en déduit aZZ = bZZ ⇔ | a | = | b | ⇔ D(a) = D(b).
Définition (division euclidienne dans ZZ)
Soit (a, b) dans ZZ × IN∗ .
Il existe un unique couple (q, r) de ZZ × IN tel que a = bq + r et 0 ≤ r ≤ b − 1
Le passage du couple (a, b) au couple (q, r) s’appelle division euclidienne de a par b.
Dans cette division, a est le dividende, b le diviseur, q le quotient, et r le reste.
Remarques
– Soient a, b deux entiers relatifs, avec b > 0. Dire que b divise a (ou encore que a appartient
à bZZ) c’est dire que le reste dans la division de a par b est nul.
– Le quotient entier dans la division de a par b est la partie entière du rationnel ab .
– Soit n dans IN∗ . La relation x ≡ y ⇔ y − x ∈ nZZ (c’est-à-dire⇔ n | y − x) est une relation
d’équivalence sur ZZ (appelée relation de congruence modulo n).
On a x ≡ y ⇔ x et y ont le même reste dans la division par n. Tout entier x est en relation
avec un unique r de {0, . . . , n − 1}, l’entier r étant le reste dans la division de x par n.
On note ZZ/nZZ = {0, 1, . . . , n − 1} l’ensemble des classes d’équivalence.
V.3
Pgcd de deux entiers relatifs
Proposition
Soit (G, +) un groupe abélien. Soient H et K deux sous-groupes de G.
On note H + K = {h + k, h ∈ H, k ∈ K}.
Alors H + K est un sous-groupe de G qui contient H et K.
Plus précisément H + K est le plus petit sous-groupe de G qui contient H et K : c’est donc
le sous-groupe de G engendré par H ∪ K.
Remarque
Ce résultat peut être généralisé à une famille finie H1 , . . . , Hn de sous-groupes de (G, +) :
n
S
H1 + · · · + Hn = {h1 + · · · + hn , hk ∈ Hk } est le sous-groupe de G engendré par
Hk .
k=1
Définition (pgcd de deux entiers)
Soient a et b deux entiers relatifs.
Il existe un unique entier naturel n tel que aZZ + bZZ = nZZ.
On dit que n est le pgcd de a et de b. On note n = pgcd(a, b), ou n = a ∧ b.
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Partie V : Arithmétique élémentaire
Remarque
Par construction, il existe des entiers u et v tels que a ∧ b = au + bv.
Réciproquement tout entier qui s’écrit au + bv est un multiple de a ∧ b.
Proposition (caractérisation du pgcd)
Soient a et b deux entiers relatifs, et soit n = a ∧ b.
D’une part n divise a et b. D’autre part tout diviseur de a et b divise n.
Ces propriétés caractérisent entièrement l’entier n = a ∧ b.
Autrement dit, a ∧ b est l’unique entier naturel n tel que D(n) = D(a) ∩ D(b).
Remarques et propriétés
– Si a = b = 0 alors n = 0 ∧ 0 = 0 (les diviseurs communs à a et b sont tous les entiers relatifs.)
– Si a et b ne sont pas tous deux nuls, alors n = a ∧ b est strictement positif.
L’entier n est alors le plus grand élément de D(n) c’est-à-dire le plus grand des diviseurs
communs des entiers a et b.
Cette propriété justifie l’appellation “pgcd”.
– Pour tous entiers relatifs a et b, on a : a ∧ b = b ∧ a = | a | ∧ b = a ∧ | b | = | a | ∧ | b |.
Pour tout a de ZZ : a ∧ 0 = | a |, et a ∧ 1 = 1.
On a l’égalité a ∧ b = | a | si et seulement si a divise b.
– Pour tous entiers relatifs a, b, k, on a : a ∧ b = (a − kb) ∧ b.
– Pour tous entiers relatifs a, b, k, on a : (ka) ∧ (kb) = | k| (a ∧ b).
De même, si k est un diviseur commun à a et b, on a : ka ∧ kb = a∧b
|k|.
Proposition (Algorithme d’Euclide)
Soient a et b deux entiers relatifs. On veut calculer a ∧ b.
On suppose b 6= 0 (sinon a ∧ b = | a |) et même b > 0 (quitte à remplacer b par −b).
Soit a = bq1 + r1 la division euclidienne de a par b : on sait que 0 ≤ r1 < b.
On a pgcd(a, b) = pgcd(b, r1 ). Si r1 = 0 alors pgcd(a, b) = b.
Sinon, soit b = r1 q2 + r2 la division euclidienne de b par r1 . On a 0 ≤ r2 < r1 .
Si r2 = 0, alors pgcd(a, b) = pgcd(b, r1 ) = r1 .
Sinon on divise r1 par r2 , et le procédé se poursuit.
On forme ainsi une suite b > r1 > r2 > r3 > · · · ≥ 0 strictement décroissante d’entiers.
On peut passer de rk à rk+1 tant que rk 6= 0.
Cette suite de premier terme b est nécessairement finie.
Il existe donc un entier naturel n tel que rn > 0 et rn+1 = 0.
On a alors pgcd(a, b) = rn .
Ainsi pgcd(a, b) est le dernier reste non nul dans cette succession de divisions.
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Partie V : Arithmétique élémentaire
Utilisation de Maple
La procédure suivante calcule le pgcd de deux entiers naturels a et b.
> euclide:=proc(A::nonnegint,B::nonnegint)
local a,b,r;
a:=A; b:=B;
while b>0 do
r:=irem(a,b); a:=b; b:=r;
od;
a;
end:
Voici un exemple d’utilisation, et la confirmation du résultat avec la fonction intégrée igcd :
> euclide(267914296,317811), igcd(267914296,317811);
377, 377
Voici le détail des calculs, qui ne demandent que trois divisions :
267914296 = 842 ∗ 317811 + 317434,
317811 = 1 ∗ 317434 + 377 317434 = 842 ∗ 377
On peut également utiliser une méthode récursive très simple :
> euclide_rec:=proc(a::nonnegint,b::nonnegint)
if b=0 then a
else euclide_rec(b,irem(a,b))
fi
end:
> euclide_rec(267914296,317811);
377
V.4
Entiers premiers entre eux
Définition
Soient a et b deux entiers relatifs.
On dit que a et b sont premiers entre eux (ou encore étrangers) si a ∧ b = 1.
Cela équivaut à dire que les seuls diviseurs communs à a et b sont 1 et −1.
Il revient au même d’écrire D(a) ∩ D(b) = {−1, 1}.
Proposition (identité de Bezout)
Soient a et b deux entiers relatifs.
a et b sont premiers entre eux⇔il existe deux entiers relatifs u, v tels que au + bv = 1.
Théorème (Théorème de Gauss)
Soient a, b, c trois entiers relatifs.
Si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c.
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Partie V : Arithmétique élémentaire
Remarques et propriétés
– Deux entiers relatifs a et b non nuls sont premiers entre eux si et seulement si le dernier reste
non nul dans l’algorithme d’Euclide des divisions successives est égal à 1.
– Soient a et b deux entiers relatifs (non tous deux nuls), et d leur pgcd.
Les deux entiers a0 et b0 tels que a = da0 et b = db0 sont premiers entre eux.
a
a0
Le rationnel r = admet donc la forme simplifiée (on dit aussi irréductible) r = 0 .
b
b
La forme irréductible de r ∈ Ql ∗ est unique si on impose au dénominateur d’être > 0.
– Soient u, v deux entiers relatifs premiers entre eux.
Pour tout entier δ > 0, le pgcd des entiers a = δu et b = δv est égal à δ.
– Soient a, b, c trois entiers relatifs.
Si a est premiernavec b et avec c, alors il est premier avec bc.
a∧b=1
⇒ a ∧ (bc) = 1.
Autrement dit
a∧c=1
Plus généralement si pour tous indices j et k les entiers aj et bk sont premiers entre eux,
alors les produits a1 a2 . . . am et b1 b2 · · · bn sont premiers entre eux.
En particulier : a ∧ b = 1 ⇒ am ∧ bn = 1.
– Réciproquement si un entier a est premier avec le produit bc, il est premier avec b et avec c.
Plus généralement si les produits a1 a2 . . . am et b1 b2 · · · bn sont premiers entre eux, alors chacun
des aj est premier avec chacun des bk .
– Soient a, b, c trois entiers relatifs.
On suppose que a et b divisent c et que a ∧ b = 1. Alors le produit ab divise c.
Plus généralement si les entiers a1 , a2 , . . . , an sont premiers entre eux deux à deux, et si
chacun des ak divise l’entier c, alors le produit a1 a2 . . . an divise c.
V.5
Résolution dans Z de l’équation ax+by=c
Proposition (résolution de ax + by = 1)
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls et premiers entre eux.
Alors il existe une infinité de couples (x, y) de ZZ2 tels que ax + by = 1.
x = x0 + kb
Si (x0 , y0 ) est l’un d’eux, les autres sont donnés par
avec k ∈ ZZ.
y = y0 − ka
Proposition (résolution de ax + by = a ∧ b)
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.
Soient a0 et b0 les entiers (premiers entre eux) tels que a = (a ∧ b)a0 et b = (a ∧ b)b0 .
Il existe une infinité de couples (x, y) de ZZ2 tels que ax + by = a ∧ b.
Chacun d’eux est appelé un couple de coefficients de Bezout de (a, b).
x = x0 + kb0
Si (x0 , y0 ) est l’un d’eux, les autres sont donnés par
avec k ∈ ZZ.
y = y0 − ka0
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Groupes, anneaux, corps, arithmétique
Partie V : Arithmétique élémentaire
Recherche d’un couple de coefficients de Bezout
– On applique l’algorithme d’Euclide au couple (| a |, | b |).
On forme ainsi des divisions successives rk−1 = qk rk +rk+1 avec au départ r0 = | a | et r1 = | b |.
La dernière de ces divisions s’écrit rn−1 = qn rn (donc rn+1 = 0).
Le pgcd de a et b est égal à rn (dernier reste non nul).
L’avant dernière division rn−2 = qn−1 rn−1 + rn donne alors a ∧ b = rn−2 − qn−1 rn−1 .
La division précédente rn−3 = qn−2 rn−2 + rn−1 permet alors d’exprimer rn−1 et donc a ∧ b en
fonction de rn−2 et de rn−3 . En “remontant” les calculs, on obtient ainsi une expression de
a ∧ b sous la forme ax + by, ce qui fournit une solution particulière au problème.
– Voici comment calculer une solution de ax + by = a ∧ b, avec a = 14938 et b = 9471.
On effectue d’abord les calculs de la première colonne, qui donnent a ∧ b = 77.
On effectue ensuite ceux de la deuxième colonne, qui donnent 26a − 41b = 77.
14938 =
9471 =
5467 =
4004 =
1463 =
1078 =
385 =
308 =
1 · 9471 + 5467
1 · 5467 + 4004
1 · 4004 + 1463
2 · 1463 + 1078
1 · 1078 + 385
2 · 385 + 308
1 · 308 + 77
4 · 77
77 =
77 =
77 =
77 =
77 =
77 =
77 =
385 − 308
385 − (1078 − 2 · 385) = 3 · 385 − 1078
3(1463 − 1078) − 1078 = −4 · 1078 + 3 · 1463
−4 · (4004 − 2 · 1463) + 3 · 1463 = 11 · 1463 − 4 · 4004
11 · (5467 − 4004) − 4 · 4004 = −15 · 4004 + 11 · 5467
−15 · (9471 − 5467) + 11 · 5467 = 26 · 5467 − 15 · 9471
26 · (14938 − 9471) − 15 · 9471 = 26 · 14938 − 41 · 9471
– Méthode récursive
Soit a = bq + r la division euclidienne de a par b.
Soit (x0 , y 0 ) un couple vérifiant bx0 + ry 0 = b ∧ r.
Alors a ∧ b = b ∧ r = bx0 + (a − bq)y 0 = ay 0 + b(x0 − qy 0 ).
Autrement dit, le couple (x = y 0 , y = x0 − qy 0 ) vérifie ax + by = a ∧ b.
Voici donc une procédure Maple utilisant cette idée, en notant que si b = 0 une solution (x, y)
de l’équation ax + by = a ∧ b = a est (1, 0) :
> coeffbezout_rec:=proc(a::nonnegint,b::nonnegint)
local q,t:
if b=0 then 1,0 else
t:=coeffbezout_rec(b,irem(a,b,’q’)); t[2],t[1]-q*t[2];
fi;
end:
On reprend ici l’exemple a = 14938, b = 9471.
On vérifie le résultat avec la fonction intégrée igcdex :
> A:=14938: B:=9471: coeffbezout_rec(A,B); igcdex(A,B,’x’,’y’): x,y;
26, −41
26, −41
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Partie V : Arithmétique élémentaire
– Méthode itérative
Notons Ed l’équation ax + by = d, où d est un entier relatif quelconque.
Soient α et β deux éléments de ZZ, avec β 6= 0.
Soient (x1 , y1 ) une solution de Eα et (x2 , y2 ) une solution de Eβ .
Soit α = qβ + r la division euclidienne de α par β.
ax1 + by1 = α
Les égalités
impliquent a(x1 − qx2 ) + b(y1 − qy2 ) = α − qβ = r.
ax2 + by2 = β
Autrement dit le couple (x3 = x1 − qx2 , y3 = y1 − qy2 ) est solution de Er .
On remarque que (1, 0) est une solution de Ea et que (0, 1) est une solution de Eb .
Si on applique l’idée précédente et l’algorithme d’Euclide au couple (a, b), on va former, pour
chacun des restes successifs rk de cette méthode, une solution (xk , yk ) de l’équation Erk .
Si rn est le dernier reste non nul (donc rn = a ∧ b) alors on obtient une solution (xn , yn ) de
l’équation Ern , c’est-à-dire de l’équation ax + by = a ∧ b.
Voici une proédure Maple utilisant cette méthode, et un exemple d’utilisation :
> coeffbezout:=proc(A::nonnegint,B::nonnegint)
local a,b,xy1,xy2,q,r,t;
a:=A; b:=B; xy1:=[1,0]; xy2:=[0,1];
while b<>0 do q:=iquo(a,b,’r’); a:=b; b:=r;
t:=xy1; xy1:=xy2; xy2:=t-q*xy2;
od;
op(xy1);
end:
> A:=14938: B:=9471: coeffbezout(A,B);
26, −41
Résolution de l’équation ax + by = c dans le cas général
On veut résoudre dans ZZ2 l’équation (E) ax+by = c, où a, b, c sont dans ZZ, avec (a, b) 6= (0, 0).
– Si l’entier c n’est pas un multiple de a ∧ b, alors l’équation (E) n’a pas de solutions dans ZZ2 .
– Supposons au contraire que l’entier c s’écrive λ(a ∧ b), avec λ ∈ ZZ.
Soit (x0 , y0 ) un couple de coefficients de bezout de (a, b).
On a ax0 + bx0 = a ∧ b donc a(λx0 ) + b(λy0 ) = c.
Ainsi le couple (λx0 , λy0 ) est une solution particulière de (E).
L’équation (E) s’écrit alors ax + by = a(λx0 ) + b(λy0 ), c’est-à-dire a(x − λx0 ) = b(λy0 − y).
– En notant a0 et b0 les entiers (premiers entre eux) définis par a = a0 (a ∧ b) et b = b0 (a ∧ b),
cette dernière équation équivaut à : a0 (x − λx0 ) = b0 (λy0 − y).
On peut alors appliquer le théorème de Gauss.
x = λx0 + kb0
Les solutions de (E) sont donc les couples (x, y) définis par
avec k ∈ ZZ.
y = λy0 − ka0
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Partie V : Arithmétique élémentaire
V.6
Ppcm de deux entiers relatifs
Définition (ppcm de deux entiers)
Soient a, b dans ZZ. Il existe un unique n dans IN tel que aZZ ∩ bZZ = nZZ.
On dit que n est le pgcd de a et b. On note n = ppcm(a, b), ou n = a ∨ b.
Remarques et propriétés
– Caractérisation du ppcm
Soient a et b deux entiers relatifs, et soit n = a ∨ b.
D’une part n est multiple de a et b. D’autre part tout multiple de a et b est multiple de n.
Ces propriétés caractérisent entièrement l’entier naturel n = a ∨ b.
– Si a = 0 ou b = 0 alors a ∨ b = 0 (le seul multiple commun à a et b est 0).
– Si a 6= 0 et b 6= 0, alors n = a ∨ b > 0.
L’entier n est alors le plus petit entier strictement positif de nZZ, c’est-à-dire le plus petit
multiple commun strictement positif de a et b (ce qui justifie l’appellation “ppcm”).
La condition “strictement positif” est importante car dans IN le plus petit multiple commun
de deux entiers quelconques a et b est toujours 0...
– Pour tous entiers relatifs a et b, on a : a ∨ b = b ∨ a = | a | ∨ b = a ∨ | b | = | a | ∨ | b |.
On a l’égalité a ∧ b = | a | si et seulement si a est un multiple de b.
– Pour tous entiers relatifs a, b, k, on a : (ka) ∨ (kb) = | k| (a ∨ b).
De même, si k est un diviseur commun à a et b, on a : ka ∨ kb = a∨b
|k|.
– Si a et b sont premiers entre eux, alors a ∨ b = | ab |, et la réciproque est vraie.
– Pour tous entiers relatifs a et b, on a l’égalité : (a ∧ b)(a ∨ b) = | ab |.
V.7
Extension au cas de plusieurs entiers relatifs
Proposition
Les lois (a, b) 7→ a ∧ b et (a, b) 7→ a ∨ b sont commutatives et associatives dans ZZ.
a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ an
Soient a1 , a2 , . . . , an dans ZZ, avec n ≥ 2. Les notations
ont donc un
a1 ∨ a2 ∨ · · · ∨ an
sens, indépendamment de l’ordre des facteurs ak et de celui dans lequel on effectue les
calculs.
Définition
Soit a1 , a2 , . . . , an une famille de n entiers relatifs, avec n ≥ 2.
On note pgcd(a1 , a2 , . . . , an ) = a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ an et ppcm(a1 , a2 , . . . , an ) = a1 ∨ a2 ∨ · · · ∨ an .
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Caractérisation du pgcd et du ppcm
– d = pgcd(a1 , a2 , . . . , an ) est l’unique entier naturel tel que a1 ZZ + a2 ZZ + · · · + an ZZ = dZZ.
En particulier, il existe des entiers relatifs uk tels que a1 u1 + a2 u2 + · · · + an un = d.
d est également l’unique entier naturel tel que D(a1 ) ∩ D(a2 ) ∩ · · · ∩ D(an ) = D(d).
Ainsi un entier x divise a1 , a2 , . . . , an si et seulement s’il divise leur pgcd.
– m = ppcm(a1 , a2 , . . . , an ) est l’unique entier naturel tel que a1 ZZ ∩ a2 ZZ ∩ · · · ∩ an ZZ = mZZ.
Ainsi un entier x est multiple de a1 , a2 , . . . , an si et seulement s’il est multiple de leur ppcm.
Définition (entiers premiers entre eux dans leur ensemble)
On dit que les n entiers relatifs a1 , a2 , . . . , an (avec n ≥ 2) sont premiers entre eux dans leur
ensemble si leur pgcd est égal à 1.
Cela équivaut à dire que les seuls diviseurs communs à a1 , a2 , . . . , an sont 1 et −1.
Cela équivaut également à l’existence de n entiers relatifs u1 , u2 , . . . , un tels qu’on ait l’égalité
a1 u1 + a2 u2 + · · · + an un = 1 (identité de Bezout).
Remarques et propriétés
– Si deux au moins des entiers a1 , . . . , an sont premiers entre eux, et à fortiori si a1 , . . . , an sont
premiers entre eux deux à deux, alors ils le sont dans leur ensemble.
Dès que n ≥ 3, la réciproque est fausse comme le montre l’exemple de 6, 10, 15 : le pgcd de
ces trois entiers est égal à 1, mais 6 ∧ 10 = 2, 6 ∧ 15 = 3, 10 ∧ 15 = 5.
– Soient λ, a1 , . . . , an des entiers relatifs. Soit µ un diviseur de a1 , . . . , an . On a les égalités :
(
(
pgcd( aµ1 , . . . , aµn ) = | µ1 | pgcd(a1 , . . . , an )
pgcd(λa1 , . . . , λan ) = | λ | pgcd(a1 , . . . , an )
ppcm( aµ1 , . . . , aµn ) = | µ1 | ppcm(a1 , . . . , an )
ppcm(λa1 , . . . , λan ) = | λ | ppcm(a1 , . . . , an )
– Soit µ > 0 un diviseur de a1 , . . . , an .
µ = pgcd(a1 , . . . , an ) ⇔les entiers aµk sont premiers entre eux dans leur ensemble.
– Si a1 , . . . , an sont premiers entre eux dans leur ensemble, alors ppcm(a1 , . . . , an ) = | a1 . . . an |.
– Attention : l’égalité (a ∧ b)(a ∨ b) = | ab | ne se généralise pas à plus de deux entiers.
V.8
Nombres premiers
Définition
Soit p un entier naturel.
On dit que p est premier si p ≥ 2 et si ses seuls diviseurs dans IN sont 1 et p.
On note P l’ensemble des nombres premiers.
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Partie V : Arithmétique élémentaire
Remarques et propriétés
– On remarque que 1 n’est pas considéré comme un nombre premier.
– On peut aussi adopter la définition suivante : un entier naturel p est dit premier s’il possède
exactement deux diviseurs distincts dans IN (ce qui exclut les entiers 0 et 1.)
– Les dix “premiers” nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
A l’exception de 2, tous les nombres premiers sont impairs.
– Dans la phrase “a est premier avec b”, il n’y en général pas de nombre premier...
– Soit p un nombre premier, et a un entier relatif.
Si p ne divise pas a, alors p est premier avec a.
En particulier, p est premier avec tous les entiers de {1, . . . , p − 1}.
Une autre conséquence est que deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux.
– Soit p un nombre premier, et soit a1 , a2 , . . . , an une famille d’entiers relatifs.
Alors p divise le produit a1 a2 . . . an si et seulement si p divise l’un au moins des ak .
Proposition
Tout entier naturel n ≥ 2 est divisible par au moins un nombre premier.
Proposition
L’ensemble P des nombres premiers est infini.
Théorème (décomposition en produit de facteurs premiers)
Tout entier n ≥ 2 s’écrit n = pα1 1 pα2 2 . . . pαmm , où :
– m est un entier strictement positif.
– p1 , p2 , . . . , pm sont des nombres premiers distincts deux à deux.
– α1 , α2 , . . . , αm sont des entiers strictement positifs.
Une telle écriture de n est unique à l’ordre près des facteurs.
On l’appelle décomposition de n en produits de facteurs premiers.
Remarques et propriétés
– Dans l’écriture précédente de n, les pk sont les diviseurs premiers de n.
– Supposons qu’en fait {p1 , p2 , . . . , pm } contienne l’ensemble des diviseurs premiers de n.
Alors on peut encore écrire n = pα1 1 pα2 2 . . . pαmm , où les αk sont seulement supposés ≥ 0.
Pour un ensemble {p1 , p2 , . . . , pm } donné, il y a encore unicité de l’écriture.
L’entier 1 peut s’écrire sous cette forme, avec des αk tous égaux à 0.
– Soit n = pα1 1 pα2 2 . . . pαmm dans IN∗ (ici les pk sont premiers disctincts, et les αk sont ≥ 0).
Soit m un entier strictement positif.
On a m | n ⇔ m s’écrit pβ1 1 pβ2 2 . . . pβmm , avec 0 ≤ βk ≤ αk pour tout k.
En particulier, l’entier n possède (α1 + 1)(α2 + 1) . . . (αm + 1) diviseurs distincts dans IN.
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Partie V : Arithmétique élémentaire
– Soient x et y deux entiers naturels.
Soit {p1 , p2 , . . . , pm } l’ensemble des nombres premiers distincts qui divisent x ou y.
On peut donc écrire x = pα1 1 pα2 2 . . . pαmm et y = pβ1 1 pβ2 2 . . . pβmm , où les αk , βk sont ≥ 0.
γk = min(αk , βk )
x ∧ y = pγ11 pγ22 . . . pγmm
Dans ces conditions
avec
pour tout k.
δ1 δ2
δk = max(αk , βk )
x ∨ y = p1 p2 . . . pδmm
Ce résultat peut se généraliser au calcul des pgcd et ppcm de n entiers x1 , x2 , . . . , xn .
– Le résultat précédent permet de retrouver l’égalité (x ∧ y)(x ∨ y) = xy.
On a en effet γk + δk = αk + βk pour tout indice k.
– On peut étendre aux entiers n de ZZ (sauf −1, 0, 1) le principe de la décomposition en produits
de facteurs premiers : il suffit d’écrire n = εpα1 1 pα2 2 . . . pαmm , avec ε = ±1.
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