Analyse et Algèbre pour les sciences 1M001 - IMJ-PRG

Analyse et Algèbre pour les sciences 1M001
SHI/SPH Feuille de TD 1 (corrigé)
Exercice 3 [Racines carrées d’entiers]
1. Montrer que √2est un nombre irrationnel.
On raisonne par l’absurde : supposons que √2 = p
qavec p∈Zet q∈N∗écrit sous forme irréductible.
En élevant que carré on obtient : 2q2=p2. Donc p2est pair. Puisque 2est un nombre premier, pest
pair, et s’écrit sous la forme 2p0. On a alors 2q2= 4(p0)2, c’est-à-dire q2= 2(p0)2. On en déduit que q
est pair, ce qui contredit le fait que p
qest une écriture irréductible.
2. Soit nun entier naturel. Monter que √nest soit entier, soit irrationnel.
Supposons que √n=p
qavec p∈Zet q∈N∗écrit sous forme irréductible. En élevant que carré on
obtient : nq2=p2. Comme pet qsont premiers entre eux, p2et q2sont premiers entre eux (exercice !).
D’après le lemme de Gauss, p2divise n, qui s’écrit alors kp2. On a alors kp2q2=p2, ce qui donne
kq2= 1. L’entier naturel qest alors un diviseur de 1; il est donc égal à 1et p
q=p∈N.
Donc √nest soit entier, soit irrationnel.
Exercice 4 [Algorithme d’Euclide]
Soient aet bdeux entiers naturels non nuls tels que a>b. On pose r0=bet on écrit la division euclidienne
de apar b:
a=bq1+r1
On définit ensuite par récurrence, pour n≥0, l’entier rn+2 en écrivant la division euclidienne de rnpar
rn+1 :
rn=rn+1qn+2 +rn+2
On continue le procédé tant que rn+2 est non nul.
1. Effectuer l’algorithme avec a= 121 et b= 44.
121 = 44 ×2 + 33
44 = 33 ×1 + 11
33 = 11 ×3
2. Montrer que la suite r0, r1, . . . est strictement décroissante.
Soit n∈Ntel que rnsoit défini et strictement positif. On sait que rn+1 est le reste d’une division
euclidienne par rn, d’où rn+1 < rn. La suite est donc strictement décroissante.
3. Montrer que le procédé s’arrête à un certain rang. On notera Nl’entier naturel tel que rN6= 0 et
rN+1 = 0.
La suite r0, r1, . . . est une suite strictement décroissante d’entiers naturels. Elle est donc finie car sinon
elle n’aurait pas de plus petit élément.
4. Soit n<N−2un entier naturel. Montrer que PGCD(rn, rn+1) = PGCD(rn+1, rn+2 ).
Soit d1un diviseur commun de rnet rn+1. On sait que rn+2 =rn−qn+2rn+1. Donc d1|rn+2 . Il est
donc un diviseur commun de rn+1 et rn+2.
Soit d2un diviseur commun de rn+1 et rn+2. On sait que rn=qn+2rn+1 +rn. Donc d2|rn. Il est donc
un diviseur commun de rnet rn+1.
L’ensemble des diviseurs communs de rnet rn+1 est alors égal à l’ensemble des diviseurs communs de
rn+1 et rn+2. Donc PGCD(rn, rn+1) = PGCD(rn+1, rn+2).
5. En déduire que rN= PGCD(a, b).
C’est une récurrence immédiate.
6* Redémontrer l’égalité de Bézout. On raisonne par récurrence sur N(la longueur de l’algorithme d’Eu-
clide).
Soit P(N)la propriété : "Si l’algorithme d’Euclide entre deux entiers a0et b0est de longueur N, alors
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il existe des entiers relatifs met ntels que PGCD(a0, b0) = a0m+b0n.
Initialisation : Montrons P(0). Si N= 0, alors b|a, et PGCD(a, b) = b= 0 ×a+ 1 ×b.
Hérédité : Soit N∈N. On suppose P(n)vraie. Montrons P(N+ 1). Soient aet bdes entiers naturels
avec a>bet tels que l’algorithme d’Euclide a longueur N+ 1 pour ces valeurs. On effectue la première
étape de l’algorithme :
a=bq1+r1
L’algorithme d’Euclide avec bet r1a alors Nétapes. Par hypothèse de récurrence, il existe des entiers re-
latifs m0et n0tels que PGCD(b, r1) = bm0+r1n0. Or, d’après la question 4, PGCD(a, b) = PGCD(b, r1).
De plus r1=a−bq1.
On déduit que PGCD(a, b) = an0+b(m0−n0q1).
7. Calculer à la main le PGCD de votre numéro de portable et votre numéro d’étudiant.
Il y a des fortes chances qu’il soit <10.
Exercice 6 [Bornes sup et inf]
Soient Aet Bdeux parties non vides de Rvérifiant a≤bpour tout a∈Aet b∈B. Montrer que sup(A)
et inf(B)existent et que sup(A)≤inf(B).
Soit b0∈B. Pour tout a∈A, on a a≤b0, donc b0est un majorant de A.Aest alors une partie majorée de
R, donc sup(A)existe. De même, Best minorée et inf(B)existe.
Raisonnons par l’absurde. Supposons que inf(B)<sup(A). Il existe alors a0∈Atel que inf(B)< a0≤sup(A).
Comme inf(B)< a0, il existe b0∈Btel que inf(B)≤b0< a0. Ceci contredit l’hypothèse de l’énoncé.
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