Analyse et Algèbre pour les sciences 1M001 - IMJ-PRG

Analyse et Algèbre pour les sciences 1M001
SHI/SPH Feuille de TD 1 (corrigé)
Exercice 3 [Racines carrées d’entiers]
√
1. Montrer que 2 est un nombre irrationnel. √
On raisonne par l’absurde : supposons que 2 = pq avec p ∈ Z et q ∈ N∗ écrit sous forme irréductible.
En élevant que carré on obtient : 2q 2 = p2 . Donc p2 est pair. Puisque 2 est un nombre premier, p est
pair, et s’écrit sous la forme 2p0 . On a alors 2q 2 = 4(p0 )2 , c’est-à-dire q 2 = 2(p0 )2 . On en déduit que q
est pair, ce qui contredit le fait que pq est une écriture irréductible.
√
2. Soit n un entier√
naturel. Monter que n est soit entier, soit irrationnel.
Supposons que n = pq avec p ∈ Z et q ∈ N∗ écrit sous forme irréductible. En élevant que carré on
obtient : nq 2 = p2 . Comme p et q sont premiers entre eux, p2 et q 2 sont premiers entre eux (exercice !).
D’après le lemme de Gauss, p2 divise n, qui s’écrit alors kp2 . On a alors kp2 q 2 = p2 , ce qui donne
kq 2 = 1. L’entier naturel q est alors un diviseur de 1 ; il est donc égal à 1 et pq = p ∈ N.
√
Donc n est soit entier, soit irrationnel.
Exercice 4 [Algorithme d’Euclide]
Soient a et b deux entiers naturels non nuls tels que a > b. On pose r0 = b et on écrit la division euclidienne
de a par b :
a = bq1 + r1
On définit ensuite par récurrence, pour n ≥ 0, l’entier rn+2 en écrivant la division euclidienne de rn par
rn+1 :
rn = rn+1 qn+2 + rn+2
On continue le procédé tant que rn+2 est non nul.
1. Effectuer l’algorithme avec a = 121 et b = 44.
121 = 44 × 2 + 33
44 = 33 × 1 + 11
33 = 11 × 3
2. Montrer que la suite r0 , r1 , . . . est strictement décroissante.
Soit n ∈ N tel que rn soit défini et strictement positif. On sait que rn+1 est le reste d’une division
euclidienne par rn , d’où rn+1 < rn . La suite est donc strictement décroissante.
3. Montrer que le procédé s’arrête à un certain rang. On notera N l’entier naturel tel que rN 6= 0 et
rN +1 = 0.
La suite r0 , r1 , . . . est une suite strictement décroissante d’entiers naturels. Elle est donc finie car sinon
elle n’aurait pas de plus petit élément.
4. Soit n < N − 2 un entier naturel. Montrer que PGCD(rn , rn+1 ) = PGCD(rn+1 , rn+2 ).
Soit d1 un diviseur commun de rn et rn+1 . On sait que rn+2 = rn − qn+2 rn+1 . Donc d1 | rn+2 . Il est
donc un diviseur commun de rn+1 et rn+2 .
Soit d2 un diviseur commun de rn+1 et rn+2 . On sait que rn = qn+2 rn+1 + rn . Donc d2 | rn . Il est donc
un diviseur commun de rn et rn+1 .
L’ensemble des diviseurs communs de rn et rn+1 est alors égal à l’ensemble des diviseurs communs de
rn+1 et rn+2 . Donc PGCD(rn , rn+1 ) = PGCD(rn+1 , rn+2 ).
5. En déduire que rN = PGCD(a, b).
C’est une récurrence immédiate.
6* Redémontrer l’égalité de Bézout. On raisonne par récurrence sur N (la longueur de l’algorithme d’Euclide).
Soit P (N ) la propriété : "Si l’algorithme d’Euclide entre deux entiers a0 et b0 est de longueur N , alors
1
il existe des entiers relatifs m et n tels que PGCD(a0 , b0 ) = a0 m + b0 n.
Initialisation : Montrons P (0). Si N = 0, alors b | a, et PGCD(a, b) = b = 0 × a + 1 × b.
Hérédité : Soit N ∈ N. On suppose P (n) vraie. Montrons P (N + 1). Soient a et b des entiers naturels
avec a > b et tels que l’algorithme d’Euclide a longueur N + 1 pour ces valeurs. On effectue la première
étape de l’algorithme :
a = bq1 + r1
L’algorithme d’Euclide avec b et r1 a alors N étapes. Par hypothèse de récurrence, il existe des entiers relatifs m0 et n0 tels que PGCD(b, r1 ) = bm0 +r1 n0 . Or, d’après la question 4, PGCD(a, b) = PGCD(b, r1 ).
De plus r1 = a − bq1 .
On déduit que PGCD(a, b) = an0 + b(m0 − n0 q1 ).
7. Calculer à la main le PGCD de votre numéro de portable et votre numéro d’étudiant.
Il y a des fortes chances qu’il soit < 10.
Exercice 6 [Bornes sup et inf]
Soient A et B deux parties non vides de R vérifiant a ≤ b pour tout a ∈ A et b ∈ B. Montrer que sup(A)
et inf(B) existent et que sup(A) ≤ inf(B).
Soit b0 ∈ B. Pour tout a ∈ A, on a a ≤ b0 , donc b0 est un majorant de A. A est alors une partie majorée de
R, donc sup(A) existe. De même, B est minorée et inf(B) existe.
Raisonnons par l’absurde. Supposons que inf(B) < sup(A). Il existe alors a0 ∈ A tel que inf(B) < a0 ≤ sup(A).
Comme inf(B) < a0 , il existe b0 ∈ B tel que inf(B) ≤ b0 < a0 . Ceci contredit l’hypothèse de l’énoncé.
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