probabilités sur un ensemble fini

Terminales S 2 et S 5, année 2010 - 2011 Chapitre 11: PROBABILITÉS Cours: 1/8
PROBABILITÉS SUR UN ENSEMBLE FINI
VOCABULAIRE PROBABILISTE
Expérience aléatoire : toute expérience dont le résultat est soumis au hasard.
Epreuve : expérience pouvant être répétée dans des conditions identiques.
Eventualité ou issue : tout résultat possible de l’expérience.
Univers : ensemble des éventualités, souvent noté Ω.
Evénement : toute partie Ade l’univers ; Aest dit réalisé si le résultat de l’expérience appartient à A.
Evénement élémentaire : tout événement réduit à un seul élément (singleton) ; si Ωest fini et de cardinal n, il y a névé-
nements élémentaires.
Ωest appelé événement certain ;∅est appelé événement impossible.
Si Aest un événement quelconque, le complémentaire de Adans Ω, c’est-à-dire l’ensemble des éléments appartenant
àΩet n’appartenant pas à A, est appelé événement complémentaire de Aet noté A(si Aest réalisé, Ane l’est pas, et
inversement).
Aet Bsont des événements incompatibles si A∩B=∅(« Aet Best impossible ») ; deux événements élémentaires dis-
tincts sont donc incompatibles.
Exemple 1
Un professeur peu scrupuleux lance un dé à vingt faces (à titre culturel, un polyèdre régulier à 20 faces s’appelle un ico-
saèdre) afin de mettre ses notes de bac blanc à ses élèves. Sur un tel dé, les faces sont numérotées de 1 à 20.
Quelles sont les éventualités de l’expérience ? Quel est l’univers de l’expérience ?
Les éventualités (ou issues) sont donc : 1, 2, 3, 4,..., 19, 20. L’univers (souvent noté Ωest l’ensemble des éventualités, soit
Ω={1,2,3,...,20}.
Décrivons les événements A« la note est supérieure à 15 » et B« la note est un multiple de 6 » (les événements sont
ici décrits concrètement en français). D’après la définition, un événement (en langage ensembliste) est une partie de
l’univers. Ici, A={15,16,17,18,19,20} et B={6,12,18}.
L’événement A∩Best donc A∩B={18}. Concrétement (en français), l’événement A∩Best « la note est supérieure à
15 et est un multiple de 6 ». L’événement A∪Best donc A∪B={6,12,15,16,17,18,19,20}. Concrétement (en français),
l’événement A∪Best « la note est supérieure à 15 ou est un multiple de 6 ».
L’événement contraire de A, noté Aest A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}, soit en français A« la note est strictement
inférieure à 15 ».
Quels sont les événements élémentaires ? D’après la définition, les événements élémentaires sont les singletons (en lan-
gage ensembliste). Il y a donc 20 événements élémentaires : A1={1}, A2={2}, A3={3},..., A20 ={20}. Concrètement en
français, l’événement A11 est « la note est 11 » mais aussi « la note est comprise entre 10,5 et 11,5 » ou encore « la note est
multiple de 11 ».
Les événements « la note est supérieure à 21 », « la note est égale à 13,5 », « la note est égale à 0 », sont des événements
impossibles.
Les évenements « la note est inférieure à 20 », « la note est supérieure à 0 », « la note est un nombre entier », sont des
événements certains.
Considérons l’événement C« la note est un multiple de 5 ». C={5,10,15,20}. Les événements Cet Bsont incompatibles :
la note, étant comprise entre 1 et 20, ne peut pas être à la fois un multiple de 6 et un multiple de 5. En langage ensem-
bliste, B∩C={6,12,18}∩{5,10,15,20} =∅.
Exemple 2
Une urne contient 5 boules, indiscernables au toucher, dont trois rouges notés R1,R2,R3et deux jaunes J1,J2. On tire
simultanément 2 boules de l’urne : le résultat s’exprime donc sous la forme d’une paire de type {J2,R1}, l’ordre n’ayant
aucune importance. L’univers est donc l’ensemble des éventualités suivantes :
{R1,R2}, {R1,R3}, {R1,J1}, {R1,J2}, {R2,R3}, {R2,J1}, {R2,J2}, {R3,J1}, {R3,J2}, {J1,J2}.
Remarque : card(Ω)=10, pouvait-on prévoir ce résultat ? Le nombre de façons de prendre 2 boules parmi 5 simultané-
ment est le nombre de façons de prendre 2 éléments parmi 5 sans tenir compte de l’ordre, c’est donc C2
5=5!
3!2! =10.
Considérons l’événement A« on a tiré deux boules rouges ». Concrètement, A=©{R1,R2};{R1,R3};{R2,R3}ª.
Remarque : card(A)=3, pouvait-on prévoir ce résultat ? Le nombre de façons d’obtenir 2 boules rouges est le nombre de

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façons de prendre 2 boules parmi les 3 boules rouges, c’est donc C2
3=3.
Considérons l’événement B« on a tiré deux boules jaunes ». Concrètement, B=©{J1,J2}ª.
Considérons l’événement C« les deux boules tirées sont de couleurs différentes ». Concrètement,
C=©{R1,J1};{R1,J2};{R2,J1};{R2,J2};{R3,J1};{R3,J2}ª.
Remarque : card(C)=6 ; ici aussi, pouvait-on prévoir ce résultat ? Obtenir 2 boules de couleurs différentes c’est prendre
une boule rouge parmi les trois (C1
3possibilités) et une boule jaune parmi les deux (C1 2possibilités), le nombre de façons
de prendre 2 boules de couleurs différentes est donc C1
3×C1 2=3×2=6.
Exercice 3
On lance deux dés cubiques (l’un bleu et l’autre rouge). Le résultat d’un tirage s’exprime sous la forme d’un couple (x;y)
où xest le numéro obtenu avec le dé bleu et yle numéro obtenu avec le dé rouge. Contrairement à l’exemple précédent,
ici il faut tenir compte de l’ordre : (2;3) 6=(3;2).
a) Décrire l’univers Ωd’une telle expérience (autrement dit tous les couples possibles.. .) à l’aide d’un tableau à double
entrée.
b) Décrire les événements suivants : A: « les deux faces obtenues ont un numéro pair » ; B: « les deux faces obtenues
ont des numéros dont la différence (en valeur absolue) est 1 » ; C: « la somme des numéros des deux faces est 4 » ;
D: « le produit des numéros des deux faces est 28 ».
DÉFINITION D’UNE PROBABILITÉ SUR UN ENSEMBLE FINI
Soit un univers non vide Ω={e1,e2,...,en}(n∈IN∗). On appelle probabilité sur Ωtoute fonction Pde P(Ω) (ensemble
des parties de Ω) dans IR (en fait dans [0;1]) définie par :
(i) P(∅)=0.
(ii) La donnée de nréels positifs p1,p2, .. ., pnde somme 1, pi=P({ei}), appelés probabilités des événements élémen-
taires.
(iii) La probabilité d’un évenement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent (dont
il est la réunion).
Exemple 4
On lance un dé cubique à 6 faces. Les éventualités sont 1, 2, 3, 4, 5, 6. L’univers est donc Ω={1,2,3,4,5,6}.
Les événements élémentaires sont {1},{2},{3},{4},{5},{6}.
L’événement A« obtenir un nombre pair » est {2,4,6}, A={2,4,6}. L’événement B« obtenir un multiple de 3 » est B={3,6}.
L’événement C« obtenir un multiple de 6 » est un événement élémentaire, C={6}.
On peut définir une loi de probabilité psur l’ensemble des parties de Ωde la façon suivante (il s’agit de définir les
probabilités des événements élémentaires) : p({1}) =1
6;p({2}) =1 6;p({3}) =1 6;p({4}) =1 6;p({5}) =1 6;p({6}) =1 6.
On vérifie bien que p({1}) +p({2})+p({3})+p({4})+p({5})+p({6}) =1.
Cette loi de probabilité a un « sens » si le dé est bien équilibré.
Imaginons cette fois que le dé soit truqué, que les nombres 1 et 2 sortent à peu près autant de fois l’un que l’autre (lorsque
l’on fait beaucoup de lancers du dé), que les nombres 3, 4, 5 et 6 sortent à peu près autant de fois les uns que les autres
et qu’enfin le nombre 1 sorte à peu près deux fois plus que le nombre 3. On peut alors définir une loi de probabilité p0
sur notre univers de la façon suivante : p0({1}) =1
4;p0({2}) =1 4;p0({3}) =1 8;p0({4}) =1 8;p0({5}) =1 8;p0({6}) =1 8. On vérifie
bien que p0({1}) +p0({2})+p0({3})+p0({4})+p0({5})+p0({6}) =1.
Déterminons les probabilités des événements A,Bet Cdans le premier cas où le dé est bien équilibré et où P(Ω) est
muni de la loi p.
D’après la définition, la probabilité de l’événement Aest la somme des probabilités des événements élémentaires qui
composent Adonc (par définition) p(A)=p({2}) +p({4}) +p({6}) =1
6+1 6+1 6=1 2.
Cette probabilité peut s’interpréter ainsi « il y a une chance sur deux d’obtenir un nombre pair » (ce qui ne paraît pas
aberrant pour un dé non truqué). De même, p(B)=p({3}) +p({6}) =1
6+1 6=1 3et p(C)=p({6}) =1 6.
Il y a « 1 chance sur 3 » d’obtenir un 3 ou un 6.
Déterminons les probabilités des événements A,Bet Cdans le second cas où le dé est truqué et où P(Ω) est muni de la
loi p0. Toujours par définition, on a : p(A)=p({2}) +p({4})+p({6}) =1
4+1 8+1 8=1 2.
De même, p(B)=p({3}) +p({6}) =1
8+1 8=1 4et p(C)=p({6}) =1 8.
Contrairement au cas du dé bien équilibré, ici il y a « 1 chance sur 4 » d’obtenir un 3 ou un 6.

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Exercice 5
On lance un dé cubique truqué. L’univers de l’expérience est donc Ω={1,2,3,4,5,6}.
La loi de probabilité psur P(Ω) (en pratique, on dira souvent simplement «.. . sur Ω» par abus de langage) est donnée
dans le tableau suivant
ei(éventualités) 1 2 3 4 5 6
p({ei}) 4
15
1
15
1
15
2
15
4
15 a. Déterminer a=p({6}).
Exercice 6
On considère une expérience aléatoire ayant quatre issues possibles : e1,e2,e3,e4. On suppose que Ω(ou plutôt P(Ω)...)
est muni d’une loi de probabilité ptelle que p({e2}) =1
5. On notera p({ei}) =pi.
On suppose de plus que p1,p2,p3,p4sont les premiers termes d’une suite arithmétique.
1. Déterminer les valeurs de p1,p2,p3,p4.
2. Soit Al’événement : « e1ou e3se réalise ». Déterminer la probabilité de A.
Indications : Comme p1,p2,p3,p4sont les premiers termes d’une suite arithmétique de raison r , on peut écrire
pi=p2+(i−2)×r , 1ÉiÉ4. De plus, par définition d’une loi de probabilité, p1+p2+p3+p4=1.
Enfin, A ={e1}∪{e3}={e1,e3}.
PROPRIÉTÉS D’UNE PROBABILITÉ p
– Si Aest un événement quelconque, alors 0 Ép(A)É1 ; p(Ω)=1 ; si A⊂B, alors p(A)Ép(B).
– Si Aet Bsont deux événements quelconques, alors p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B)(*).
En particulier, si Aet Bsont incompatibles, p(A∪B)=p(A)+p(B). Plus généralement, si A1,A2, ..., Ansont névéne-
ments 2 à 2 incompatibles, alors pÃn
[
i=1
Ai!=
n
X
i=1
p(Ai).
– Si Aest un événement quelconque, alors p³A´=1−p(A)(**).
– Si Aet Bsont deux événements quelconques, alors p(A)=p(A∩B)+p³A∩B´(***).
Remarque : On a aussi évidemment p(B)=p(A∩B)+p³A∩B´.
Remarque : En pratique, on peut aussi avoir besoin des propriétés suivantes du complémentaire :
A=A A ∪B=A∩B A ∩B=A∪B
Les premières propriétés sont évidentes (exercice). Idée de la démonstration de (*) : supposons Ω={e1,e2,e3,...,e9,e10,e11},
A={e1,e3,e4,e5,e8} et B={e2,e5,e7,e8,e9}. On a alors A∪B={e1,e2,e3,e4,e5,e7,e8,e9} et A∩B={e5,e8}.
Notons p({ei}) =pi. Par définition d’une loi de probabilité :
p(A)=p1+p3+p4+p5+p8(somme des probabilités des événements élémentaires qui composent A),
p(B)=p2+p5+p7+p8+p9,p(A∩B)=p5+p8et enfin p(A∪B)=p1+p2+p3+p4+p5+p7+p8+p9.
On vérifie alors facilement que :
p(A)+p(B)−p(A∩B)=¡p1+p3+p4+p5+p8¢+¡p2+p5+p7+p8+p9¢−¡p5+p8¢
=p1+p2+p3+p4+2p5+p7+2p8+p9−p5−p8
=p(A∪B)
Le cas général se traite de la même façon.
(**) s’obtient facilement en appliquant (*) avec Aet Asachant que A∩A=∅et A∪A=Ω.
(***) s’obtient en appliquant (*) avec (A∩B) et A∩Bsachant que (A∩B)∪(A∩B)=Aet (A∩B)∩(A∩B)=∅.
Exercice 7
Soient Ωl’univers d’une expérience aléatoire, Aet Bdeux événements, pune loi de probabilité sur Ω.
On sait que p(A)=0,6 , p(B)=0,4 et p(A∪B)=0,7.
Calculer les probabilités des événements A∩B,A∩B,A∪B,A∩B,A∪B,A∩B,A∪B.
Même question, sachant que p(A)=0,7 , p(B)=0,5 et p(A∩B)=0,4.
Même question, sachant que p(A∩B)=0,12 , p(A∩B)=0,15 et p(A∩B)=0,23.

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EQUIPROBABILITÉ
Deux événements Aet Bsont dits équiprobables (pour une loi de probabilité p) si p(A)=p(B).
Une expérience aléatoire est équiprobable lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
Propriété : Dans un cas d’équiprobabilité sur un univers fini de cardinal n∈IN∗, la probabilité d’un événement élémen-
taire est 1
n. La probabilité d’un événement Aest p(A)=card (A) card (Ω).
Remarques : – On écrit aussi p(A)=nombre de cas favorables
nombre de cas possibles .
– Les calculs de probabilités dans un cas d’équiprobabilité se ramènent à du dénombrement.
– Même si une situation d’équiprobabilité est implicite, des termes comme « tirage au hasard », « dé non
truqué », « pièce bien équilibrée ». . . doivent permettre de la détecter.
Idée de la démonstration : Supposons que Ω={e1,e2,e3,...,e9,e10,e11} et A={e1,e3,e4,e5,e8}.
Comme p1=p2=··· = p11 et p1+p2+···+p11 =1 alors on a pi=1
11. De plus :
p(A)=p1+p3+p4+p5+p8=1
11 +1 11 +1 11 +1 11 +1 11 =5 11 =card(A) card(Ω).
Le cas général se traite de la même façon.
Exercice 8
On suppose que les expériences aléatoires des exemple 2 et exercice 3 sont équiprobables. Déterminer les probabilités
des événements considérés.
Exercice 9
On lance 3 fois une pièce de 1eparfaitement équilibrée. Soient Al’événement « obtenir exactement 2 PILE et 1 FACE
(dans n’importe quel ordre) » et Bl’événement « obtenir au moins une fois PILE ».
a) Dresser un arbre représentant toutes les possibilités.
b) En déduire les probabilités de Aet de B.
Exercice 10
Une urne contient 5 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher.
On tire au hasard 3 boules simultanément dans l’urne.
Déterminer le cardinal de l’univers de l’expérience ainsi que les probabilités des événements A« on a obtenu 3 boules
noires » et B« on a obtenu 2 boules noires et une boule rouge ».
Reprendre l’exercice dans le cas où l’on tire les boules successivement et avec remise.
Exercice 11
Un sac opaque contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On extrait simultanément 3 jetons du
sac. Combien de « paquets » contenant au moins un jeton ayant un numéro pair peut-on obtenir ?
ESPÉRANCE,VARIANCE ET ÉCART-TYPE
Soient Ω={e1,e2,...,en} un univers ne contenant que des nombres réels et pune probabilité sur Ω.pi=p({ei}).
L’espérance de la probabilité pest E=
n
X
i=1
ei×pi.
La variance de la probabilité pest V=
n
X
i=1
(ei−E)2×pi=Ãn
X
i=1
e2
i×pi!−E2.
L’écart-type de la probabilité est σ=pV.
Exercice 12
On considère Ω={−1;0;2;5;6;10} et pla probabilité définie sur Ωpar
ei-1 0 2 5 6 10
pi
4
15
1
15
1
15
2
15
4
15
1
5
.
Déterminer l’espérance, la variance et l’écart-type de cette probabilité.

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Exercice 13
Une urne contient quatre boules rouges, quatre boules noires et quatre boules blanches. On prélève simultanément
quatre boules dans l’urne. Les prélèvements sont supposés équiprobables.
1. Calculer la probabilité d’un prélèvement unicolore. ¡réponse : 1
165 ¢
2. a) Quelle est la probabilité d’un prélèvement bicolore composé de boules rouges et blanches ?
b) Démontrer que la probabilité d’un prélèvement bicolore est 68
165 .
3. Déduire des résultats précédents la probabilité d’un prélèvement tricolore. ¡réponse : 96
165 ¢
VARIABLE ALÉATOIRE
Soit Ωun univers fini. Une variable aléatoire sur Ω, ou aléa numérique sur Ω, est une fonction de Ωdans IR, i.e. que
définir une variable aléatoire sur Ωconsiste à associer à chaque éventualité de Ωun nombre réel.
Remarques : – On note souvent les variables aléatoires avec des lettres majuscules : X,Y,Z, . ..
– L’expression « aléa numérique » est plus correcte que l’expression « variable aléatoire », et pourtant
c’est cette dernière qui a été consacrée par l’usage. En effet, il convient de garder à l’esprit qu’une
« variable aléatoire » Xn’est pas une variable mais une fonction , et qu’elle n’a rien d’aléatoire puis-
qu’on connaît (normalement) les valeurs prises par X(ω) (image de ωpar X) lorsqu’ωdécrit Ω.
L’expression « variable aléatoire » est donc très fâcheuse.
– Sur un même univers, on peut définir quantité de variables aléatoires.
– Si Xest une variable aléatoire sur Ω, on note X(Ω) l’ensemble des images des éléments de Ωpar X.
Exemple 14
On joue trois fois de suite à Pile ou Face. On note les résultats obtenus dans l’ordre.
L’univers est alors Ω={PPP,P P F,PF P,P F F,F P P,F P F,F F P,F F F }.
Soit Xla variable aléatoire définie de la façon suivante : à chaque éventualité on associe le nombre de « Pile » obtenus.
On a alors X(Ω)={0,1,2,3} (par exemple X(P P P)=3, X(PPF)=2 etc...).
On décide que si un joueur obtient trois fois Pile ou trois fois Face, il gagne 10e; s’il obtient exactement deux fois Pile, il
gagne 5e; il perd 3edans tous les autres cas.
On peut alors définir une variable aléatoire Ycorrespondant au gain algébrique du joueur. Concrètement :
Y(PPP)=Y(F F F )=10, Y(P PF )=Y(PF P)=Y(F PP)=5, Y(PF F )=Y(F PF )=Y(F F P)=−3 et Y(Ω)={−3,5,10}.
Exemple 15
Considérons l’expérience de l’exercice 3. On a Ω={(1;1);(1;2);...;(6;5);(6;6)}.
Soit Xla variable aléatoire qui à chaque éventualité associe la somme des nombres du couple.
On a alors X(Ω)={2,3,4,...,11,12}.
Soit Yla variable aléatoire qui à chaque éventualité associe le produit des nombres du couple.
On a alors Y(Ω)={1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,30,36}.
Soit Zla variable alétoire qui à chaque éventualité associe la valeur absolue de la différence des nombres du couple.
On a alors Z(Ω)={0,1,2,3,4,5}.
Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Soit Ω={e1,e2,...,en} un univers fini, Xune variable aléatoire sur Ωet X(Ω)={x1,x2,...,xn}.
On note (X=xi), ou simplement X=xi, l’événement « Xprend la valeur xi».
Remarque : Si i6= j, les événements (X=xi) et (X=xj) sont incompatibles, i.e. (X=xi)∩(X=xj)=∅.
D’autre part
n
[
k=1
(X=xk)=Ω.
Dans l’exemple 14, l’événement (X=2) est l’événement « Xprend la valeur 2 », i.e. « on obtient exactement 2 fois Pile,
soit (X=2) ={P P F,PF P,F P P}.
L’événement (Y=10) est l’événement « Yprend la valeur 10, i.e. « on gagne 10eau jeu », soit (Y=10) ={PPP,F F F }.
Dans l’exemple 15, l’événement (X=4) est l’événement {(1;3);(2;2);(3;1)}.
L’événement (Y=12) est l’événement {(2;6);(3;4);(4;3);(6;2)}.
On a encore (Z=0) ={(1;1);(2;2);(3;3);(4;4);(5;5);(6;6)}.