Sujet complet (54 ko)

[Baccalauréat S France 15 juin 2006 \
EXERCICE 1 4 points
Commun à tous les candidats
Soit ³O, −→ ı,−→ ,−→ k´un repère orthonormal de l’espace.
On considère les points
A(2 ; 4 ; 1), B(0 ; 4 ; −3), C(3 ; 1 ; −3), D(1 ; 0 ; −2),E(3 ; 2 ; −1),Iµ3
5; 4 ; −9 5¶
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou
si elle est fausse. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte
et zéro sinon.
1. Une équation du plan (ABC) est : 2x+2y−z−11 =0.
2. Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
3. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
4. La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :
(CD) 
x= −1+2t
y= −1+t
z=1−t
(t∈R).
5. Le point I est sur la droite (AB).
EXERCICE 2 5 points
Commun à tous les candidats
1. Soit fla fonction définie sur Rpar
f(x)=x2e1−x.
On désigne par Csa courbe représentative dans un repère orthonormal ³O, −→ ı,−→ ´
d’unité graphique 2 cm.
a. Déterminer les limites de fen −∞ et en +∞ ; quelle conséquence gra-
phique pour Cpeut-on en tirer ?
b. Justifier que fest dérivable sur R. Déterminer sa fonction dérivée f′.
c. Dresser le tableau de variations de fet tracer la courbe C.
2. Soit nun entier naturel non nul. On considère l’intégrale Indéfinie par
In=Z1
0xne1−xdx.
a. Établir une relation entre In+1et In.
b. Calculer I1, puis I2.
c. Donner une interprétation graphique du nombre I2. On la fera appa-
raître sur le graphique de la question 1 c.
3. a. Démontrer que pour tout nombre réel xde [0 ; 1] et pour tout entier na-
turel nnon nul, on a l’inégalité suivante :
xn6xne1−x6xne.
b. En déduire un encadrement de Inpuis la limite de Inquand ntend vers
+∞.

Baccalauréat S
EXERCICE 3 5 points
Candidats n ’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
On considère le plan complexe Prapporté à un repère orthononnal direct ³O, −→ u,−→ v´.
Dans tout l’exercice, P\{O} désigne le plan Pprivé du point origine O.
1. Question de cours
On prend comme pré-requis les résultats suivants :
– Si zet z′sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg(zz′)=arg(z)+
arg(z′) à 2kπprès, avec k entier relatif
– Pour tout vecteur −→ wnon nul d’affixe zon a : arg(z)=³−→
u;−→ w´à 2kπprès,
avec kentier relatif
a. Soit zet z′des nombres complexes non nuls, démontrer que
arg³z
z′´=arg(z)−arg(z′) à 2kπprès, avec kentier relatif.
b. Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts,
d’affixes respectives a,b,c, on a : arg³c−a
b−a´=³−−→
AB , −−→ AC ´à 2kπprès,
avec kentier relatif.
2. On considère l’application fde P\{O} dans P\{O} qui, au point Mdu plan
d’affixe z, associe le point M′d’affixe z′définie par : z′=1
z. On appelle U et V
les points du plan d’affixes respectives 1 et i.
a. Démontrer que pour z6= 0, on a arg¡z′¢=arg(z) à 2kπprès, avec kentier
relatif.
En déduire que, pour tout point Mde P\{O} les points Met M′=f(M)
appartiennent à une même demi-droite d’origine O.
b. Déterminer l’ensemble des points Mde P\{O} tels que f(M)=M.
c. Mest un point du plan Pdistinct de O, U et V, on admet que M′est aussi
distinct de O, U et V.
Établir l’égalité z′−1
z′−i=1 iµz−1 z+i¶= −iµz−1 z−i¶.
En déduire une relation entre argµz′−1
z′−i¶et argµz−1 z−i¶
3. a. Soit zun nombre complexe tel que z6= 1 et z6= i et soit Mle point d’af-
fixe z. Démontrer que Mest sur la droite (UV) privée de U et de V si et
seulement si z−1
z−iest un nombre réel non nul.
b. Déterminer l’image par fde la droite (UV) privée de U et de V.
EXERCICE 3 5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Partie A : Question de cours
1. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.
2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
Partie B
Il s’agit de résoudre dans Zle système
(S)½n≡13 (19)
n≡6 (12)
1. Démontrer qu’il existe un couple (u;v) d’entiers relatifs tel que : 19u+12v=1.
(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d’un tel couple).
Vérifier que, pour un tel couple, le nombre N=13×12v+6×19uest une so-
lution de (S).
France 215 juin 2006

Baccalauréat S
2. a. Soit n0une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à
½n≡n0(19)
n≡n0(12)
b. Démontrer que le système ½n≡n0(19)
n≡n0(12) équivaut à
n≡n0(12×19).
3. a. Trouver un couple (u;v) solution de l’équation 19u+12v=1 et calculer
la valeur de Ncorrespondante.
b. Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la ques-
tion 2. b.).
4. Un entier naturel nest tel que lorsqu’on le divise par 12 le reste est 6 et lors-
qu’on le divise par 19 le reste est 13.
On divise npar 228 =12×19. Quel est le reste rde cette division ?
EXERCICE 4 5 points
Commun à tous les candidats
1. Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un
ballon afin de le crever. À chacun de ces tirs, il a la probabilité 0,2 de crever
le ballon. Le tireur s’arrête quand le ballon est crevé. Les tirs successifs sont
supposés indépendants.
a. Quelle est la probabilité qu’au bout de deux tirs le ballon soit intact ?
b. Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ?
c. Quelle est la probabilité pnque ntirs suffisent pour crever le ballon ?
d. Pour quelles valeurs de na-t-on pn>0,99 ?
2. Ce tireur participe au jeu suivant :
Dans un premier temps il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont
numérotées de 1 à 4 (la face obtenue avec un tel dé est la face cachée) ; soit k
le numéro de la face obtenue. Le tireur se rend alors au stand de tir et il a droit
àktirs pour crever le ballon.
Démontrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est
égale à 0,409 6 (on pourra utiliser un arbre pondéré).
3. Le tireur décide de tester le dé tétraédrique afin de savoir s’il est bien équilibré
ou s’il est pipé. Pour cela il lance 200 fois ce dé et il obtient le tableau suivant :
Face k1234
Nombre de sorties de la face k58 49 52 41
a. Calculer les fréquences de sorties fkobservées pour chacune des faces.
b. On pose d2=Σ4
k=1µfk−1
4¶2
. Calculer d2.
c. On effectue maintenant 1 000 simulations des 200 lancers d’un dé tétra-
édrique bien équilibré et on calcule pour chaque simulation le nombre
d2. On obtient pour la série statistique des 1 000 valeurs de d2les résul-
tats suivants :
Minimum D1Q1Médiane Q3D9Maximum
0,001 24 0,001 92 0,002 35 0,002 81 0,003 45 0,004 52 0,010 15
Au risque de 10 %, peut-on considérer que ce dé est pipé 7
France 315 juin 2006