Sujet complet (54 ko)

[ Baccalauréat S France 15 juin 2006 \
E XERCICE 1
Commun
à tous les
candidats
³ →
−´
− →
− →
Soit O, ı ,  , k un repère orthonormal de l’espace.
On considère les points
4 points
3
9
A(2 ; 4 ; 1), B(0 ; 4 ; −3), C(3 ; 1 ; −3), D(1 ; 0 ; −2), E(3 ; 2 ; −1), I
; 4; −
5
5
µ
¶
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou
si elle est fausse. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte
et zéro sinon.
1. Une équation du plan (ABC) est : 2x + 2y − z − 11 = 0.
2. Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
3. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
4. La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :
(CD)

 x
y

z
=
=
=
−1 + 2t
−1 + t
1−t
(t ∈ R).
5. Le point I est sur la droite (AB).
E XERCICE 2
Commun à tous les candidats
5 points
1. Soit f la fonction définie sur R par
f (x) = x 2 e1−x .
³ →
− →
−´
On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormal O, ı , 
d’unité graphique 2 cm.
a. Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞ ; quelle conséquence graphique pour C peut-on en tirer ?
b. Justifier que f est dérivable sur R. Déterminer sa fonction dérivée f ′ .
c. Dresser le tableau de variations de f et tracer la courbe C .
2. Soit n un entier naturel non nul. On considère l’intégrale I n définie par
In =
Z1
0
x n e1−x dx.
a. Établir une relation entre I n+1 et I n .
b. Calculer I1 , puis I2 .
c. Donner une interprétation graphique du nombre I2 . On la fera apparaître sur le graphique de la question 1 c.
3.
a. Démontrer que pour tout nombre réel x de [0 ; 1] et pour tout entier naturel n non nul, on a l’inégalité suivante :
x n 6 x n e1−x 6 x n e.
b. En déduire un encadrement de I n puis la limite de I n quand n tend vers
+∞.
Baccalauréat S
E XERCICE 3
Candidats n ’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
5 points
→
− →
−´
On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthononnal direct O, u , v .
Dans tout l’exercice, P \{O} désigne le plan P privé du point origine O.
³
1. Question de cours
On prend comme pré-requis les résultats suivants :
– Si z et z ′ sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg(zz ′) = arg(z) +
arg(z ′ ) à 2kπ près, avec k entier relatif
³→
−
→
− −
→´
– Pour tout vecteur w non nul d’affixe z on a : arg(z) = u ; w à 2kπ près,
avec k entier relatif
a. Soit³ z et
z ′ des nombres complexes non nuls, démontrer que
z´
arg ′ = arg(z) − arg(z ′ ) à 2kπ près, avec k entier relatif.
z
b. Démontrer que si A, B, C sont trois points
plan, deux à deux distincts,
³ cdu
− a ´ ³−−→ −−→´
d’affixes respectives a, b, c, on a : arg
= AB , AC à 2kπ près,
b−a
avec k entier relatif.
2. On considère l’application f de P \{O} dans P \{O} qui, au point M du plan
1
d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par : z ′ = . On appelle U et V
z
les points du plan d’affixes respectives 1 et i.
¡ ¢
a. Démontrer que pour z 6= 0, on a arg z ′ = arg(z) à 2kπ près, avec k entier
relatif.
En déduire que, pour tout point M de P \{O} les points M et M ′ = f (M)
appartiennent à une même demi-droite d’origine O.
b. Déterminer l’ensemble des points M de P \{O} tels que f (M) = M.
3.
c. M est un point du plan P distinct de O, U et V, on admet que M ′ est aussi
distinct de O, U et V.
µ
µ
¶
¶
z −1
z′ − 1 1 z − 1
= −i
.
=
Établir l’égalité ′
z −i
i z +i µ
z¶− i
µ
¶
′
z −1
z −1
et arg
En déduire une relation entre arg ′
z −i
z −i
a. Soit z un nombre complexe tel que z 6= 1 et z 6= i et soit M le point d’affixe z. Démontrer que M est sur la droite (UV) privée de U et de V si et
z −1
seulement si
est un nombre réel non nul.
z −i
b. Déterminer l’image par f de la droite (UV) privée de U et de V.
E XERCICE 3
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
5 points
Partie A : Question de cours
1. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.
2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
Partie B
Il s’agit de résoudre dans Z le système
½
n
(S)
n
≡
≡
13
6
(19)
(12)
1. Démontrer qu’il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19u+12v = 1.
(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d’un tel couple).
Vérifier que, pour un tel couple, le nombre N = 13 × 12v + 6 × 19u est une solution de (S).
Baccalauréat S
2.
a. Soit n0 une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à
½
b. Démontrer que le système
n ≡ n0
3.
n
n
½
n
n
≡
≡
n0
n0
≡
≡
(12 × 19).
n0
n0
(19)
(12)
(19)
équivaut à
(12)
a. Trouver un couple (u ; v) solution de l’équation 19u + 12v = 1 et calculer
la valeur de N correspondante.
b. Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2. b.).
4. Un entier naturel n est tel que lorsqu’on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu’on le divise par 19 le reste est 13.
On divise n par 228 = 12 × 19. Quel est le reste r de cette division ?
E XERCICE 4
Commun à tous les candidats
5 points
1. Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un
ballon afin de le crever. À chacun de ces tirs, il a la probabilité 0, 2 de crever
le ballon. Le tireur s’arrête quand le ballon est crevé. Les tirs successifs sont
supposés indépendants.
a. Quelle est la probabilité qu’au bout de deux tirs le ballon soit intact ?
b. Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ?
c. Quelle est la probabilité p n que n tirs suffisent pour crever le ballon ?
d. Pour quelles valeurs de n a-t-on p n > 0, 99 ?
2. Ce tireur participe au jeu suivant :
Dans un premier temps il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont
numérotées de 1 à 4 (la face obtenue avec un tel dé est la face cachée) ; soit k
le numéro de la face obtenue. Le tireur se rend alors au stand de tir et il a droit
à k tirs pour crever le ballon.
Démontrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est
égale à 0,409 6 (on pourra utiliser un arbre pondéré).
3. Le tireur décide de tester le dé tétraédrique afin de savoir s’il est bien équilibré
ou s’il est pipé. Pour cela il lance 200 fois ce dé et il obtient le tableau suivant :
Face k
Nombre de sorties de la face k
1
58
2
49
3
52
4
41
a. Calculer les fréquences de sorties f k observées pour chacune des faces.
µ
¶
1 2
b. On pose d 2 = Σ4k=1 f k −
. Calculer d 2 .
4
c. On effectue maintenant 1 000 simulations des 200 lancers d’un dé tétraédrique bien équilibré et on calcule pour chaque simulation le nombre
d 2 . On obtient pour la série statistique des 1 000 valeurs de d 2 les résultats suivants :
Minimum
0,001 24
D1
0,001 92
Q1
0,002 35
Médiane
0,002 81
Q3
0,003 45
D9
0,004 52
Au risque de 10 %, peut-on considérer que ce dé est pipé 7
Maximum
0,010 15