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République Algérienne Démocratique et
Populaire
Ministère de l’Enseignement Superieur et de
la Recherche Scientifique
UNIVERSITÉ HAMMA LAKHDAR D’EL OUED
FACULTÉ DES SCIENCES ET DE TECHNOLOGIE
Mémoire de fin d’étude
MASTER ACADEMIQUE
Domaine: Mathématiques et Informatique
Filière: Mathématiques
Spécialité: Mathématiques fondamentales
Thème
Présenté par: Beggat Oum-elkhir
Meguerhi Souad
Soutenu devant le jury composé de
M. T. Meftah
Pr
Président
Univ. de Ouargla
A. Rhouma
MCB
Examinateur
Univ. d’El Oued
B. Ben Ali
MCB
Rapporteur
Univ. d’El Oued
Année universitaire 2014 –2015
Les équations intégrales
et
Transformation de Bessel
N° d’ordre :
N° de série :
République Algérienne Démocratique et
Populaire
Ministère de l’Enseignement Superieur et de
la Recherche Scientifique
UNIVERSITÉ HAMMA LAKHDAR D’EL OUED
FACULTÉ DES SCIENCES ET DE TECHNOLOGIE
Mémoire de fin d’étude
MASTER ACADEMIQUE
Domaine: Mathématiques et Informatique
Filière: Mathématiques
Spécialité: Mathématiques fondamentales
Thème
Présenté par: Beggat Oum-elkhir
Meguerhi Souad
Soutenu devant le jury composé de
M. T. Meftah
Pr
Président
Univ. de Ouargla
A. Rhouma
MCB
Examinateur
Univ. d’El Oued
B. Ben Ali
MCB
Rapporteur
Univ. d’El Oued
Année universitaire 2014 –2015
Les équations intégrales
et
Transformation de Bessel
N° d’ordre :
N° de série :
République Algérienne Démocratique et
Populaire
Ministère de l’Enseignement Superieur et de
la Recherche Scientifique
UNIVERSITÉ HAMMA LAKHDAR D’EL OUED
FACULTÉ DES SCIENCES ET DE TECHNOLOGIE
Mémoire de fin d’étude
MASTER ACADEMIQUE
Domaine: Mathématiques et Informatique
Filière: Mathématiques
Spécialité: Mathématiques fondamentales
Thème
Présenté par: Beggat Oum-elkhir
Meguerhi Souad
Soutenu devant le jury composé de
M. T. Meftah
Pr
Président
Univ. de Ouargla
A. Rhouma
MCB
Examinateur
Univ. d’El Oued
B. Ben Ali
MCB
Rapporteur
Univ. d’El Oued
Année universitaire 2014 –2015
Les équations intégrales
et
Transformation de Bessel
N° d’ordre :
N° de série :

Remerciements
Nous remercions Dieu le tout puissant qui nous a guidé dans l’accomplissement de ce travail.
Ce travail à été réalisé sous l’encadrement du professeur "Ben Ali Brahim"à l’université
d’ El-Oued,a qui nous voudrons exprimer notre profonde gratitude pour sa disponibilité,
son aide et ses conseils pour réaliser ce travail, ainsi qu’à tous les professeurs de l’université
d’El-oued.
Nous remercions vivement nos familles surtout nos parents pour l’aide et le soutien
moral.
1

Table des matières
Introduction générale 1
1 Généralités sur les équations intégrales 2
1.1 Préliminaire.................................... 2
1.1.1 Propriétés fondamentales des fonctions de L2.............. 3
1.1.2 L’espace Cl([a; b]) ............................. 4
1.1.3 Construction de la fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Les équations intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Classi…cation des équations intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Lien entre les équations di¤érentielles linéaires et les équations inté-
gralesdeVolterra............................. 9
1.2.3 Existence et unicité de la solution de l’équation intégrale linéaire de
Volterra .................................. 10
1.2.4 Méthodes de résolution approchée des équations intégrales linéaires . 12
2 TRANSFORMATION DE BESSEL 18
2.1 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Transformées multiples de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Fonction de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 Expression des fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.4 Intégrales de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.5 Propriétés................................. 20
2

Table des matières
2.2 Transformation de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Transformation de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Transformation de Meijer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.3 Transformation de Kontoroviteh-Lébédev . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Application 31
3.1 Problème d’un puits …ni (-V0sur un disque): . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Conclusion générale 38
Bibliographie 38
3

Introduction générale
Fredholm (1866-1927) a étudié la méthode pour résoudre les équations intégrales du deux-
ième espèce. La théorie des équations intégrales intervient dans plusieurs domaines de math-
ématiques, beaucoup de problèmes dans le domaine des équations di¤érentielles ordinaires
et partielles, la physique mathématique, les problèmes de contacts et de l’astrophysique.
En 1887, V. Volterra (1860-1940) a établi la méthode de résolution des équations inté-
grales par les noyaux itérés. En outre, il a étendu la théorie des équations intégrales aux
équations intégro-di¤érentielles et aux équations intégrales singulières.
Ainsi, la théorie des équations intégrales a été un domaine de recherche actif dans les
mathématiques appliquées et la physique mathématique.
L’importance des équations intégrales dans toutes les branches de la science et l’ingénierie
nous amène à étudier certaines de ces équations et les résoudre numériquement.
Notre travail, est décomposé aux trois chapitres
Dans le premier chapitre nous avons présenté des connaissances de base sur les espaces
des fonctions (Lp; p = 1;2; Cl; l 2N). Ansi nous avons exposé la méthode de calcul de la
fonction de Green pour la résolution de certains problèmes de physique mathématique et
nous avons terminé ce chapitre par une partie importante sur le généralité des équations
intégrales ( Fredhlm, Volterra, espèces, type, lien avec E D O, existance, Atrenative de
Fredholm ).
En explicitant dans le deuxième chapitre nous présentons les transformations de Bessel,
Hankel, Meijer et la transformation de Kontorovich-Lebedev, aves des de…nitions, propriétés
et des théorèmes.
Dans le troisième chapitre nous allons présenter une application d’une transformation de
Bessel pour résoudre un problème au limite très important dans la physique et la mécanique
1