Telecharge

N° d’ordre :
N° de série :
République Algérienne Démocratique et
Populaire
Ministère de l’Enseignement Superieur et de
la Recherche Scientifique
UNIVERSITÉ HAMMA LAKHDAR D’EL OUED
FACULTÉ DES SCIENCES ET DE TECHNOLOGIE
Mémoire de fin d’étude
MASTER ACADEMIQUE
Domaine: Mathématiques et Informatique
Filière: Mathématiques
Spécialité: Mathématiques fondamentales
Thème
Les équations intégrales
et
Transformation de Bessel
Présenté par: Beggat Oum-elkhir
Meguerhi Souad
Soutenu devant le jury composé de
M. T. Meftah
A. Rhouma
B. Ben Ali
Pr
MCB
MCB
Président
Examinateur
Rapporteur
Année universitaire 2014 – 2015
Univ. de Ouargla
Univ. d’El Oued
Univ. d’El Oued
Remerciements
Nous remercions Dieu le tout puissant qui nous a guidé dans l’accomplissement de ce travail.
Ce travail à été réalisé sous l’encadrement du professeur "Ben Ali Brahim" à l’université
d’ El-Oued, a qui nous voudrons exprimer notre profonde gratitude pour sa disponibilité,
son aide et ses conseils pour réaliser ce travail, ainsi qu’à tous les professeurs de l’université
d’El-oued.
Nous remercions vivement nos familles surtout nos parents pour l’aide et le soutien
moral.
1
Table des matières
Introduction générale
1
1 Généralités sur les équations intégrales
2
1.1 Préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.1
Propriétés fondamentales des fonctions de L2 . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.2
L’espace C l ([a; b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.3
Construction de la fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2 Les équations intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.1
Classi…cation des équations intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2
Lien entre les équations di¤érentielles linéaires et les équations intégrales de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3
1.2.4
6
9
Existence et unicité de la solution de l’équation intégrale linéaire de
Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Méthodes de résolution approchée des équations intégrales linéaires .
12
2 TRANSFORMATION DE BESSEL
18
2.1 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.1.1
Transformées multiples de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.1.2
Fonction de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.1.3
Expression des fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.1.4
Intégrales de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.1.5
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2
Table des matières
2.2 Transformation de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2.1
Transformation de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.2.2
Transformation de Meijer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2.3
Transformation de Kontoroviteh-Lébédev . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3 Application
31
3.1 Problème d’un puits …ni (-V0 sur un disque): . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Conclusion générale
38
Bibliographie
38
3
Introduction générale
Fredholm (1866-1927) a étudié la méthode pour résoudre les équations intégrales du deuxième espèce. La théorie des équations intégrales intervient dans plusieurs domaines de mathématiques, beaucoup de problèmes dans le domaine des équations di¤érentielles ordinaires
et partielles, la physique mathématique, les problèmes de contacts et de l’astrophysique.
En 1887, V. Volterra (1860-1940) a établi la méthode de résolution des équations intégrales par les noyaux itérés. En outre, il a étendu la théorie des équations intégrales aux
équations intégro-di¤érentielles et aux équations intégrales singulières.
Ainsi, la théorie des équations intégrales a été un domaine de recherche actif dans les
mathématiques appliquées et la physique mathématique.
L’importance des équations intégrales dans toutes les branches de la science et l’ingénierie
nous amène à étudier certaines de ces équations et les résoudre numériquement.
Notre travail, est décomposé aux trois chapitres
Dans le premier chapitre nous avons présenté des connaissances de base sur les espaces
des fonctions (Lp ; p = 1; 2; C l ; l 2 N ). Ansi nous avons exposé la méthode de calcul de la
fonction de Green pour la résolution de certains problèmes de physique mathématique et
nous avons terminé ce chapitre par une partie importante sur le généralité des équations
intégrales ( Fredhlm, Volterra, espèces, type, lien avec E D O, existance, Atrenative de
Fredholm ).
En explicitant dans le deuxième chapitre nous présentons les transformations de Bessel,
Hankel, Meijer et la transformation de Kontorovich-Lebedev, aves des de…nitions, propriétés
et des théorèmes.
Dans le troisième chapitre nous allons présenter une application d’une transformation de
Bessel pour résoudre un problème au limite très important dans la physique et la mécanique
1
Introduction générale
des ‡uides. Ce problème consiste à trouver la solution d’une équation aux valeurs propres
avec un potentiel dé…ni sur un disque. Ceci veut dire que le problème que nous étudions
est un problème à deux dimensions. L’équation aux valeurs propres est transformée en une
équation intégrale dont la fonction cherchée est la fonction de Green du problème. en…n
nous avons cloturé ce travail par une conclusion et des perspectives.
1
Chapitre 1
Généralités sur les équations
intégrales
Les premières équations intégrales furent obtenues par Daniel Bernoulli vers 1730 dans
l’étude des oscillations d’une corde tendue. Après l’introduction du noyau de Green, il
fallut attendre les dernières années du 19eme siècle, avec les travaux de H. A. Schwarz, de H.
Poincaré, de V. Volterra et surtout ceux de I. Fredholm, pour disposer de résultats généraux
en liaison étroite avec les premiers développements de l’analyse fonctionnelle. Quelques
années plus tard, l’étude des équations intégrales conduisait D. Hilbert à dé…nir l’espace qui
porte son nom et à poser les premières bases de la théorie spectrale, cadre dans lequel F.
Riesz développa la théorie des opérateurs compacts (1918). Ainsi, les équations intégrales
ont joué un rôle historique important dans l’élaboration des principaux concepts de l’analyse
contemporaine.
1.1
Préliminaire
Dé…nition 1.1.1 on désigne par L1 [a; b] l’espace des fonctions intégrables sur [a; b]. On
pose
kf kL1 =
Z
b
a
2
jf (x)j dx:
1.1. Préliminaire
Rb
a
l’espace L2 [a; b] : on dit qu’une fonction f (x) est de carré intégrable sur [a; b] si l’intégrale
f
2
(x) dx < +1 (existe et …nie). L’ensemble de toutes les fonctions de carré integrable
sur [a; b] sera noté L2 [a; b].
1.1.1
Propriétés fondamentales des fonctions de L2
a) Le produit de deux fonctions de carré integrable est une fonction intégrable.
En e¤et si:
Z
b
2
f (x) dx < +1 et
a
Z
b
g 2 (x) dx < +1;
a
alors d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz
Z
a
Z
b
jf (x) g (x)j dx <
Z
1
2
b
f 2 (x) dx
a
1
2
b
g 2 (x) dx
< +1:
a
b) la somme de deux fonctions de carré intégrable est une fonction de carré integrable
Z
b
Z
2
(f (x) + g (x)) dx < +1 ; on a
a
b
2
f (x) dx +
a
Z
b
2
g (x) dx + 2
a
Z
b
f (x)g(x)dx < +1:
a
c) le produit d’une fonction à carré intégrable par un scalaire est une fonction de carré
intégrable
Z
b
2
( f) =
a
2
Z
b
f 2:
a
Dé…nition 1.1.2 le produit scalaire de deux fonctions de L2 [a; b] est dé…ni par
(f; g)L2 =
Z
b
f (x):g(x)dx;
a
on appelle norme d’une fonction f 2 L2 [a; b] le nombre positif
kf kL2
Z b
p
1
= (f; f ) = (
f 2 (x) dx) 2 :
a
Pour f (x) et g (x) de L2 on a l’inégalité triangulaire
kf + gk 6 kf k + kgk :
3
1.1. Préliminaire
soient f (x) ; f1 (x) ; f2 (x) ; :::; fn (x) des fonctions de carré intégrable sur [a; b] si
lim
n!+1
Z
b
(fn (x)
f (x))2 dx = 0:
a
On dit que la suite (fn )n>0 est convergente uniformément vers f (x) dans L2 [a; b] alors
f (x) 2 L2 [a; b].
1.1.2
L’espace C l ([a; b])
Dé…nition 1.1.3 les éléments de cet espace C l ([a; b]) sont les fonctions dé…nies sur [a; b]
et qui ont des dérivées continues jusqu’à l’ordre l f (1) ; f:(2) ::; f (l) existe ou f (0) = f:
Remarque 1.1.1 la norme d’un élément f (x) 2 C (l) ([a; b]) se dé…nit par
kf kC l ([a;b]) =
l
X
k=0
max f (k) (x) ;
f (0) = f:
a6x6b
Exemple 1.1.1 f (x) = x2 ; f 2 C 1 (R), soit [a; b] = [0; 1].
kf kC 1 [0;1] = max f (0) (x) + max f (1) (x) + max f (2) (x) = 1 + 2 + 2 = 5:
06x61
06x61
06x61
Dé…nition 1.1.4 (fonction analytique) une fonction f (z) est dé…nie sur un domaine G
C, on dit que f est analytique (régulière) sur G si elle admet des derivées en tout point de
G.
1.1.3
Construction de la fonction de Green
Les fonctions de Green interviennent dans la résolution de certaines équations di¤érentirlles. On considère ici le cas particulièrement important pour la physique, d’équations
di¤érentielles du second ordre et on commence par des équations di¤érentielles aux dérivées
ordinaires.
La forme générale Soit l’équation di¤érentielle d’ordre m
L (y) = p0 (x) y (m) + p1 (x) y (m
1)
+ ::: + pm
4
1
0
(x) y + pm (x) y = f (x) ;
(1.1.1)
1.1. Préliminaire
où les fonctions p0 (x), p1 (x),. . . ,pm (x) sont continues sur [a; b], p0 (x) 6= 0, sur [a; b] avec
les conditions aux limites
Vk (y) = y (a) +
(1)
(1) 0
y (b) + ::: +
Les formes linéaires V
y 0 (b) ; ::; y
(m 1)
1 ,. . . ,
V
0
(m 1) (m 1)
y (a) + ::: +
(m 1) (m 1)
m 1,
y
y
(a) + y (b) +
(1.1.2)
(b) = 0, k = 1; 2; :::; m.
en fonction de y (a), y 0 (a), ..., y
(b) étant linéairement indépendantes et ;
(1)
; :::;
(m 1)
(m 1)
; ;
(1)
(a), y (b),
; :::;
(m 1)
sont des constantes à déterminer. Supposons que le problème aux limites homogène (1.1.1)
- (1.1.2) admet la seule solution triviale y (x) = 0:
Dé…nition 1.1.5 on appelle fonction de Green (ou fonction d’in‡uence) du problème aux
limites (1.1.1) – (1.1.2) la fonction G (x; ) construite pour tout point
,a<
<b
Les propriétés de la fonction de Green Cette fonction jouit des quatre propriétés
suivantes :
1/ G (x; ) est continue et possède des dérivées continues par rapport à x jusqu’à l’ordre
(m
2) inclu pour a
x
b.
2/ Sa (m
1)-ième dérivée par rapport à x présente au point x =
1
, i.e
de première espèce, le saut ayant la valeur
p0 (x)
@m 1G
@xm 1
+;
@m 1G
@xm 1
;
=
une discontinuité
1
:
p0 ( )
3/ Dans chacun des intervalles [a; ) et ( ; b] ; la fonction G (x; ) considérée comme une
fonction de x est solution de l’équation (1.1.1)
L (G) = 0:
(1.1.3)
4/ G (x; ) véri…e les conditions aux limites (1.1.2)
Vk (G) = 0; k = 0; 1; 2; :::; m:
5
(1.1.4)
1.2. Les équations intégrales
Théorème 1.1.1 [7]si le problème aux limites (1.1.1) – (1.1.2), n’a pas de solution autre
que la solution triviale y (x)
0; l’opérateur L a une fonction de Green G (x; ) et une
seule.
Si G (x; ) est la fonction de Green du problème aux limites (1.1.1) –(1.1.2), la solution
de ce problème est donnée par la formule
Z b
G (x; ) f ( ) d :
y (x) =
(1.1.5)
a
1.2
Les équations intégrales
Dé…nition 1.2.1 l’équation intégrale est une équation où l’inconnue est une fonction qui
apparait sous le signe intégrale.
Exemple 1.2.1 soit a 6 x 6 b; a 6 t 6 b les équations
Z b
k (x; t) g (t) dt;
g (x) =
a
Z b
g (x) = f (x) +
k (x; t) g (t) dt;
a
Z b
g (x) =
k (x; t) [g (t)]2 dt;
(1.2.1)
(1.2.2)
(1.2.3)
a
sont des équations intégrales.
Dé…nition 1.2.2 la fonction k (x; t) est le noyau des équations intégrales, on suppose que
le noyau k (x; t) est dé…ni dans le carré
dans
ou bien présente des discontinuités telles que l’intégrale
Z bZ b
jk (x; t)j2 dxdt < +1:
a
1.2.1
= fa 6 x 6 b; a 6 t 6 bg du plan (x; t) et continu
a
Classi…cation des équations intégrales
Equations intégrales lineaires
Dé…nition 1.2.3 une équation intégrale est dite linéaire si la fonction inconnue se présente
d’une manière linéaire.
6
1.2. Les équations intégrales
Exemple 1.2.2 les équations (1:2:1) et (1:2:2) sont linéaires par contre l’équation (1:2:3)
ne l’est pas.
Dé…nition 1.2.4 (la forme générale des équations intégrales) la forme générale des équations intégrales linéaires est:
h (x) ' (x) = f (x) +
Z
b(x)
k (x; t) ' (t) dt; avec
a
2 C;
(1.2.4)
1) si f (x) = 0, l’équation (1:2:4) est dite homogène.
2) si f (x) 6= 0, l’équation (1:2:4) est dite non homogène.
3) si b(x) = x, (1:2:4) est l’équation intégrale de Volterra.
4) si b(x) = b, (1:2:4) est l’équation intégrale de Fredholm.
5) si h(x) = 0, (1:2:4) est l’équation intégrale de première espèce.
6)Si h(x) 6= 0, (1:2:4) est l’équation intégrale de seconde espèce.
Remarque 1.2.1 l’équation intégrale de Volterra est un cas particulier de l’équation intégrale de Fredholm: il su¢ t de prendre le noyau K qui véri…e la condition
pour x < t:
k (x; t) = 0;
Dé…nition 1.2.5 (l’équation intégrale de Wiener-Hopf): on appelle équation intégrale de
Wiener-Hopf une équation de la forme
h (x) ' (x) +
Z
1
k (x
t) ' (t) dt = f (x):
(1.2.5)
a
Dé…nition 1.2.6 (l’équation intégrale de Renwal): l’équation intégrale de la forme
Z x
h (x) ' (x) +
k (x t) ' (t) dt = f (x);
(1.2.6)
a
est appelée équation intégrale de Renwal.
7
1.2. Les équations intégrales
Equations intégrales non linéaires
Dé…nition 1.2.7 (équation intégrale de Fredholm): l’équation intégrale non linéaire de
Fredholm de première espèce prend la forme
Z b
f (x) +
k(x; t; ' (t))dt = 0;
(1.2.7)
a
l’équation intégrale de Fredholm de second espèce est de la forme
Z b
k(x; t; ' (t))dt;
u' (x) = f (x) +
(1.2.8)
a
où u est une constante et l’équation intégrale de Fredholm de troisième espèce est de la forme
Z b
k(x; t; ' (t))dt:
(1.2.9)
h(x)' (x) = f (x) +
a
(équation intégrale de Volterra): l’équation intégrale non linéaire de Volterra de première
espèce prend la forme
Z
f (x) +
x
k(x; t; ' (t))dt = 0;
Z x
u' (x) = f (x) +
k(x; t; ' (t))dt;
(1.2.10)
a
(1.2.11)
a
l’équation (1.2.11) est appelée équation intégrale de Volterra de second espèce et l’équation
intégrale de Volterra de troisième espèce est de la forme
Z x
h(x)' (x) = f (x) +
k(x; t; ' (t))dt:
(1.2.12)
a
Remarque 1.2.2 1) si f (x) = 0, l’équation est dite homogène.
2) si f (x) 6= 0, l’équation est dite non homogène.
Dé…nition 1.2.8 (l’équation intégrale de Hammerstein-Volterra): on appelle équation intégrale de Hammerstein-Volterra une équation de la forme
Z x
h(x)' (x) +
k(x; t)F (t; ' (t))dt = f (x):
(1.2.13)
a
Dé…nition 1.2.9 (l’équation intégrale d’Abel): on appelle équation intégrale d’Abel une
équation de la forme
' (x) =
où 0 <
Z
x
(x
t)
1
g(' (t))dt;
1
< 1 et g : [0; 1) ! [0; 1) tel que : g(0) = 0.
8
(1.2.14)
1.2. Les équations intégrales
1.2.2
Lien entre les équations di¤érentielles linéaires et les équations intégrales de Volterra
Réduction d’une équation di¤érentielle à une équation intégrale: la résolution d’une équation
di¤érentielle linéaire peut être ramenée à la résolution d’une équation intégrale de Volterra
de second espèce.
La résolution de l’équation di¤érentielle linéaire
dn y
dn 1 y
+
a
(x)
+ ::: + an (x) y = F (x) ;
1
dxn
dxn 1
(1.2.15)
à coé¢ cients continus ai (x) ; (i = 1; 2; :::n) avec les conditions initiales
y (0) = C0 ; y 0 (0) = C1 ; :::; y (n
1)
(1.2.16)
(0) = Cn 1 :
peut être ramenée à la résolution d’une équation intégrale de Volterra de seconde espèce.
Illustrons notre a¢ rmation sur l’exemple de l’équation di¤érentielle du second ordre
dy
d2 y
+ a1 (x)
+ a2 (x) y = F (x) ;
x
dn
dx
(1.2.17)
y (0) = C0 ; y 0 (0) = C1 .
(1.2.18)
d2 y
= ' (x) ;
dx2
(1.2.19)
Posons:
d’où, vu les conditions initiales (1:2:18)
dy
=
dx
Z
x
' (t) dt + C1 ;
0
|a
x
dx
x
(x
t) ' (t) dt + C1 x + C0 ;
0
et en utilisant la formule
Z
y=
Z
Z
x
dx:::
a
{z
n
Z
a
x
f (x) dx =
}
1
(n
1)!
Z
et en substituant (1:2:19) et (1:2:20) dans (1:2:17)
9
a
x
(x
z)n
1
f (z) dz;
(1.2.20)
1.2. Les équations intégrales
' (x)+
Z
x
a1 (x) ' (t) dt+C1 a1 (x)+
0
Z
x
a2 (x) (x
t) ' (t) dt+C1 xa1 (x)+C0 a2 (x) = F (x) ;
0
ou bien
Z x
[a1 (x) + a2 (x) (x
' (x)+
t)] ' (t) dt = F (x) C1 a1 (x) C1 xa2 (x) C0 a2 (x); (1.2.21)
0
et en posant
K (x; t) =
f (x) = F (x)
[a1 (x) + a2 (x) (x
C1 a1 (x)
C1 xa2 (x)
t)] ;
(1.2.22)
C0 a2 (x) ;
(1.2.23)
nous ramenons l’équation (1:2:21) à la forme suivante
' (x) = f (x) +
Z
x
(1.2.24)
k (x; t) ' (t) dt;
0
i.e. nous obtenons l’équation intégrale de Volterra de seconde espèce.
1.2.3
Existence et unicité de la solution de l’équation intégrale
linéaire de Volterra
On considère l’équation intégrale de Volterra de seconde espèce
' (x) = f (x) +
Z
x
(1.2.25)
k (x; t) ' (t) dt;
0
où K(x; t) est une fonction continue pour 0
lorsque 0
x
x
a; 0
t
x; et f (x) est continue
a.
Dé…nition 1.2.10 (résolvante d’une équation intégrale): on appelle résolvante de l’équation
intégrale, toute fonction R(x; t; ) donnée par
R(x; t; ) =
1
X
n=1
10
n
kn+1 (x; t);
1.2. Les équations intégrales
où les Kn sont les noyaux itérés dé…nis par la relation de récurrence suivante
k1 (x; t) = k(x; t); et 8n N , kn (x; t) =
Zx
k(x; z)kn 1 (z; t)dz:
t
Théorème 1.2.1 [7]Soit K(x; t) une fonction continue pour 0
x
a; 0
t
x, et f (x)
est continue pour x 2 [0; a]. L’équation (1:2:25) admet une solution unique et continue par
la formule
Z
' (x) = f (x) +
x
R (x; t; ) f (t) dt:
0
Remarque 1.2.3 ce théorème est vrai pour les équations intégrales de Fredholm de seconde
espèce.
Théorème 1.2.2 [7]soit l’équation intégrale de Volterra de première espèce
Z
x
k (x; t) ' (t) dt = f (x) ;
(1.2.26)
a
telles que f , K sont des fonctions continues, dérivables sur [a; b],
Z bZ b
K(x; x) 6= 0; et
k (x; t) dxdt < 1:
a
a
alors, il existe une solution unique et continue de l’équation (1:2:26).
Preuve. On remarque d’abord qu’on a
f (a) =
Z
a
k (x; t) ' (t) dt = 0:
a
L’équation (1:2:26) peut être transformée en une équation de Volterra de deuxième espèce
en utilisant la dérivée:
Z x
Z x
@
@
k (x; t) '(t)dt = k (x; x) '(x) +
k (x; t) '(t)dt = f 0 (x)
@x a
a @x
comme K(x; x) 6= 0, alors
Z x 0
f 0 (x)
kx (x; t)
'(x) =
'(t)dt
k (x; x)
a k (x; x)
qui est une équation de Volterra de deuxième espèce, et par le théorème 1,2,1 on obtient
l’existence et l’unicité de la solution '.
11
1.2. Les équations intégrales
1.2.4
Méthodes de résolution approchée des équations intégrales
linéaires
Résolvante de l’équation intégrale de Volterra
Résolution des équations intégrales à l’aide des résolvantes au noyau itéré Soit
l’équation intégrale de Volterra de seconde espèce
Zx
'(x) = f (x) +
(1.2.27)
k(x; t)'(t)dt;
0
où k(x; t) est une fonction continue pour 0 6 x 6 a; 0 6 t 6 x et f (x) est continue pour
x 2 [0; a].
Cherchons la solution de cette équation sous la forme d’une série entière illimitée suivant
les puissances de
'(x) = '0 (x) + '1 (x) +
2
'2 (x) +
+
n
(1.2.28)
'n (x) +
Portons formellement cette série dans (1.2.27), il vient
'0 (x) + '1 (x) +
2
'2 (x) +
+
n
'n (x) +
: = f (x) +
Zx
k(x; t)['0 (x) + '1 (x)
0
2
+ '2 (x) +
+
n
'n (x) +
]dt;
En procédant par identi…cation nous obtenons
'0 (x) = f (x);
Zx
Zx
'1 (x) =
k(x; t)'0 (x)dt = k(x; t)f (t)dt;
'2 (x) =
0
x
Z
0
k(x; t)'1 (x)dt =
0
x
Z
0
12
Zt
k(x; t) k(t; t1 )f (t1 )dt1 dt;
0
(1.2.29)
1.2. Les équations intégrales
'n (x) =
Zx
Zt
Zt1
k(x; t) k(t; t1 ) k(t1 ; t2 ):::
0
tn
0
Z3
0
tZ
n
2
k(tn 3 ; tn 2 )
0
k(tn 2 ; tn 1 )f (tn 1 )dtn 1 dtn
2
: : : dt:
(1.2.30)
0
Moyennant les relations (1:2:29) on peut dé…nir successivement les fonctions 'n (x). On
montre que, sous les hypothèses faites sur f (x) et k(x; t), la série (1:2:30) ainsi obtenue
converge uniforment en x et
et x 2 [0; a] et que sa somme est la solution de l’équation
(1:2:27).
Ensuite, (1:2:29) entraîne
'1 (x) =
'2 (x) =
Zx
0
x
Z
0
Oũ
k(x; t)f (t)dt;
3
2x
Zx
Zx
Zx
Z
k(x; t) 4 k(t; t1 )f (t1 )dt1 5 dt = f (t1 )dt1 k(x; t)k(t; t1 )dt = k2 (x; t1 )f (t1 )dt1 :
0
0
k2 (x; t) =
Zx
0
0
k(x; t)k(t; t1 )dt:
0
On établit de façon analogue qu’en général
'n (x) =
Zx
kn (x; t)f (t)dt (n = 1; 2; : : :):
(1.2.31)
0
Les fonctions kn (x; t) s’appellent noyaux itérés et sont bien dé…nies, on le montre aisément, par les relations de récurrence, avec k1 (x; t) = k(x; t),
kn+1 (x; t) =
Zx
k(x; z)kn (z; t)dz
(n = 1; 2; :::):
0
Compte tenu de (1:2:31) et (1:2:32) l’égalité (1:2:30) peut s’écrire
13
(1.2.32)
1.2. Les équations intégrales
'(x) = f (x) +
'(x) = f (x) +
'(x) = f (x) +
1
X
v=1
1
X
v
'v+1 (x)
Z
x
kv+1 (x; t)f (t)dt
0
v=1
Z xX
1
0
'(x) = f (x) +
v
Z
0
v=1
1
xX
v
kv+1 (x; t)f (t)dt
R(x; t; )f (t)dt
v=1
Oũ
R(x; t; ) =
1
X
v
kv+1 (x; t):
(1.2.33)
v=1
est la résolvante (ou le noyau résolvant) de l’équation intégrale (1:2:27).
Proposition 1.2.1 1) Si le noyau k(x; t) est continu, la série (1:2:33) converge absolument
et uniformément.
Les noyaux itérés et la résolvante sont indépendants de la limite inférieure de l’intégrale
dans l’équation intégrale.
2) La résolvante R(x; t; ) satisfait à l’équation fonctionnelle suivante
Zx
R(x; t; ) = k(x; t) +
k(s; t)R(s; t; )ds:
0
La solution de l’équation intégrale (1:2:27) en fonction de la résolvante s’écrit comme
'(x) = f (x) +
Zx
R(x; t; )f (t)dt:
(1.2.34)
0
Résolvante de l’équation intégrale de Fredholm
Soit l’équation intégrale de Fredholm de seconde espèce
'(x) =
Zb
k(x; t)'(t)dt + f (x);
a
14
(1.2.35)
1.2. Les équations intégrales
où k 2 C([a; b]
[a; b]) et f (x) 2 C([a; b]). La solution de l’équation (1:2:35) est donnée
par la formule
'(x) = f (x) +
Zb
(1.2.36)
R(x; t; )f (t)dt;
a
où la fonction R(x; t; ) dite résolvante de Fredholm de l’équation (1:2:35) est dé…nie par
l’égalité
D(x; t; )
;
(1.2.37)
D( )
sous la condition D( ) 6= 0 . Ici D(x; t; ) et D( ) sont des séries de puissances de
R(x; t; ) =
D(x; t; ) = k(x; t) +
1
X
( 1)n
Bn (x; t)
n!
n=1
1
X
( 1)n
Cn
D( ) = 1 +
n!
n=1
n
n
;
(1.2.38)
(1.2.39)
;
avec les coé¢ cients ainsi dé…nis
k(x; t)
Bn (x; t) =
Zb
:::
Zb
|a {z a}
n
k(x; t1 )
:::
k(x; tn )
k(t1 ; t) k(t1 ; t1 ) : : : k(t1 ; tn )
dt1 : : : : : : dtn :
: : : : : : ::::::::::::::::::::::::: : : :
(1.2.40)
k(tn ; t) k(tn ; t1 ) : : : k(tn ; tn )
Les fonctions D( ) et D(x; t; ) sont respectivement le déterminant de Fredholm et le
mineur du déterminant de Fredholm, tels que B0 (x; t) = k(x; t) et
k(t1 ; t) k(t1 ; t2 ) ::: k(t1 ; tn )
Cn =
Zb
:::
Zb
|a {z a}
k(t2 ; t1 ) k(t2 ; t2 ) ::: k(t2 ; tn )
k(t3 ; t1 ) k(t3 ; t2 ) ::: k(t3 ; tn )
dt1 : : : : : : dtn :
: : : : : : ::::::::::::::::::::::::: : : :
n
k(tn ; t1 ) k(tn ; t2 ) : : : k(tn ; tn )
Remarque 1.2.4 si le noyau k(x; t) est borné ou si l’intégrale
Zb Zb
k 2 (x; t)dxdt < +1;
a a
15
(1.2.41)
1.2. Les équations intégrales
les séries (1:2:38) et (1:2:39) convergent quelque soit
lytiques entières de
les
: La résolvante R(x; t; )
et sont donc des fonctions ana-
est une fonction analytique de
, sauf
qui sont les Zéros de D( ). Ces derniers sont les pôles de la résolvante R(x; t; ):
Alternative de fredholm
Pour les équation intégrales de Fredholm on a les théorèmes suivants :
Théorème 1.2.3 [7](alternative de fredholm) : ou bien l’équation linéaire non homogène
de seconde espèce
'(x)
Zb
k(x; t)'(t)dt = f (x);
(1.2.42)
a
admet une solution unique quelle que soit f (x) (appartenant à une classe su¢ samment
vaste), ou bien l’équation homogène correspondante
Zb
'(x)
k(x; t)'(t)dt = 0;
(1.2.43)
a
a au moins une solution non triviale, i.e non identiquement nulle.
Dé…nition 1.2.11 on appelle équation transposée ou adjointe de l’équation de fredholm,
l’équation
(x) = f (x) +
Zb
k(x; t) (t)dt:
(1.2.44)
a
Remarquons que f et
sont transposées l’une de l’autre.
Théorème 1.2.4 [7]le premier cas de l’aternative a également lieu pour l’équation adjointe
de (1:2:42)
(x)
Zb
k(x; t) (t)dt = g(x);
(1.2.45)
a
et le nombre de solutions linéairement indépendantes de l’équation intégrale homogène
(1:2:43) et de l0 équation adjointe
(x)
Zb
k(x; t) (t)dt = 0;
a
16
(1.2.46)
1.2. Les équations intégrales
est …ni et le même pour les deux équations.
Remarque 1.2.5 si les fonctions '1 (x); '2 (x); :::; 'n (x) sont solutions de l’équation homogène (1:2:43); il en est également de leur combinaison linéaire
'(x) = c1 '(x) + c2 '2 (x) + ::: + cn 'n (x) =
n
X
ck 'k (x);
k=1
où ck (k = 1; 2; :::; n) sont des constantes arbitraires.
Théorème 1.2.5 [7]dans le second cas de l’alternative, une condition nécessaire et su¤isante pour que l’équation non homogène (1:2:42) admette une solution '(x) est que le
second membre de cette équation (la fonction f (x)) soit orthogonale à toute solution
(x)
de l’équation homogène (1:2:46) adjointe de (1:2:43) i.e
Zb
f (x) (t)dt = 0:
(1.2.47)
a
Remarque 1.2.6 dans la condition (1:2:47); l’équation (1:2:42) possède une in…nité de solutions puisqu’elle véri…e toute fonction de la forme '(x) + ' (x) avec '(x) une solution de
(1:2:42) et ' (x) toute solution de l’équation homogène correspondante (1:2:43).
17
Chapitre 2
TRANSFORMATION DE BESSEL
Les méthodes qui se rattachent aux transformations intégrales trouvent un vaste champ
d’application en analyse matématique ces derniers temps.
Elles ont été utilisées avec succès dans la résolution d’équations di¤érentielles et intégrales, dans l’étude des fonctions spéciales et le calcul d’intégrales. L’avantage de ces
méthodes est dans le fait qu’elles permettent de construire les tables des transformation
directes et inverses des diverses fonctions que l’on rencontre dans les applications.
2.1
Transformation de Fourier
Dé…nition 2.1.1 la transformée de Fourier de f (x) est désignée par F[f (x)] = f (u) et
dé…nie par l’intégrale
1
F[f (x)] = f (u) = p
2
Z1
f (t)e
iut
dt;
(2.1.1)
1
la transformaée inverse de Fourier est dé…nie par les propriétés fondamentales
F
1
1
[f (r)] = f (u) = p
2
Z1
f (t)eiut dt;
1
(2.1.2)
où l’intégrale du second membre est prise dans sa valeur principale. i.e. comme la limite
lim
Zl
f (u)eitu du
l!1
l
18
2.1. Transformation de Fourier
La fonction f (u) porte le nom de transformée de Fourier de f (t). Si la fonction f (t) est
intégrable sur l’intervalle] 1; +1[, la fonction f (u) existe pour tous les t.
2.1.1
Transformées multiples de Fourier
On a par dé…nition
1
F (!; ) = F [f (x; y)] =
2
Z1 Z1
f (x; y)e
i(!x+ y)
dxdy ;
(2.1.3)
1 1
la fonction F (!; ) s’appelle la transformée de Fourier de la fonction de deux variables
f (x; y). Si les fonctions f (x; y) et F (!; ) appartiennent à L2 , on a la formule d’inversion
suivante
1
f (x; y) = F 1 [F (!; )] =
2
Z1 Z1
F (!; )ei(!x+
y)
d!d :
(2.1.4)
1 1
2.1.2
Fonction de Bessel
Dé…nition 2.1.2 (fonction de Bessel): ces fonctions sont les solutions canoniques y(x) de
l’équation di¤érentielle de Bessel
x2
dy
d2 y
+ x + (x2
2
dx
dx
2
)y = 0;
pour tout nombre réel ou complexe . Le plus souvent,
est un entier naturel (on dit alors
que c’est l’ordre de la fonction), ou un demi-entier.
Il existe deux sortes de fonctions de Bessel :
i) les fonctions de Bessel de première espèce Jn , solutions de l’équation di¤érentielle
ci-dessus qui sont dé…nies en 0 ,
ii) les fonctions de Bessel de seconde espèce Yn , solutions qui ne sont pas dé…nies en 0
(mais qui ont une limite in…nie en 0).
19
2.1. Transformation de Fourier
2.1.3
Expression des fonctions de Bessel
Pour les valeurs entières de
= n, les fonctions de Bessel de première espèce sont dé…nies
par la série entière (de rayon de convergence in…ni) suivante
Jn (x) =
1
X
p=0
Plus généralement, pour
non entier, on a le développement analogue
J (x) =
+1
X
x
( 1)p
( )2p+ ;
p! (p + + 1) 2
p=0
où
( 1)p x 2p+n
( )
;
p!(n + p)! 2
(z) est la fonction gamma, généralisant la fonction factorielle à des valeurs non
entières.
Les fonctions de Bessel de deuxième espèce ou fonctions de Neumann sont dé…nies par :
J (x) cos( ) J
!n
sin( )
Yn (x) = lim
2.1.4
(x)
:
Intégrales de Bessel
Pour les valeurs entières de
= n, les fonctions de Bessel peuvent être représentées par les
intégrales
Jn (x) =
1
Z
+1
cos(n
x sin( ))d ;
0
ou encore par
1
Jn (x) =
2
2.1.5
Z
e
Propriétés
Relations de récurrence
20
i(n
x sin( ))
d :
2.2. Transformation de Bessel
nJn (x)
Jn0 (x);
x
2n
Jn+1 (x) + Jn 1 (x) =
Jn (x);
x
Jn+1 (x) Jn 1 (x) =
2Jn0 (x);
Jn+1 (x) =
on en déduit
J1 (x) = J00 (x);
d n
(x Jn (x)) = xn Jn 1 (x):
dx
2.2
Transformation de Bessel
Dé…nition 2.2.1 on appelle transformation de Bessel une transformation intégrale de la
forme
f( ) =
Z1
f (t)K ( t)tdt;
(2.2.1)
0
où K (z) est une fonction de Bessel modi…ée.
Dé…nition 2.2.2 les transformations de Hankel, Meijer, Kontorovitch-Lébédev, ...etc. sont
des transformations de Bessel.
Parmi ces développements, mentionnons le développement suivant des fonctions cylindriques, connu sous le nom d’intégrale de Fourier-Bessel
f (x) =
Z1
Jv (xu)udu
0
Z1
f (t)Jv (ut)tdt (O < x < +1);
0
où Jv (x) est une fonction de Bessel, et v >
1
:
2
Théorème 2.2.1 [8]soit f (x) une fonction bornée sur l’intervalle …ni ]0; R[ et
Z1
1
jf (x)j x 2 dx < 1:
0
21
(2.2.2)
2.2. Transformation de Bessel
si v >
1
;
2
on a
1
ff (x + 0) + f (x
2
0)g =
Z1
Jv (xu)udu
0
Z1
f (t)Jv (ut)tdt:
(2.2.3)
0
Aux points de continuité, on a la formule (2.2.2).
2.2.1
Transformation de Hankel
dé…nition
soit f (t) une fonction dé…nie pour t
0, on appelle transformation de Hankel d’ordre n de
la fonction f , l’intégrale
fn (u) = =`n [f (t)] =
Z1
(2.2.4)
f (t)Jn (ut)tdt :
0
Le développement (2:2:2) entraîne la formule d’inversion
1
f (t) = =`v [fv (u)] =
Z1
fv (u)Jv (ut)udu:
(2.2.5)
0
Remarquons que si la fonction f (t) est telle que f (t) =
+ v + 2 > 0 et f (t) = (t ) lorsque t ! 1, pour
+
3
2
(t ) lorsque t ! 0, pour
< 0, alors l’intégrale (2:2:4) est
convergente.
Relation entre la transformation de Hankel et la transformation de Fourier
Citons le lien existant entre la transformation de Hankel et les transformations multiples de
Fourier.
Soient
1
f (x; y) =
2
f ( ; !) =
1
2
Z1 Z1
eikr f ( ; l)d dl:
1 1
1
Z Z1
e
1 1
22
ikr
f (x; y)dxdy:
(2.2.6)
(2.2.7)
2.2. Transformation de Bessel
avec r = (x; y) et k = ( ; l):
En passant aux coordonnées polaires moyennant les formules (x; y) = r(cos ; sin ) et
) on trouve et on établit que les fonctions f (x; y) et
( ; l) = k(cos ; sin ); kr = r cos(
f (r; ) sont liées entre elles par la relation
1
f ( ; )=
2
Z1
rdr
0
Z2
i r cos(
e
)
(2.2.8)
f (r; )d :
0
En supposant que
f (r; ) = ein f (r):
et en Posant
=
2
1
f ( ; )=
2
alors (2.2.8) sera de la forme
Z1
rf (r)dr
r=0
avec
0
= (2
2 Z+
0
e
in(
2
)+i(n
r sin )
d ;
(2.2.9)
0
);
et comme
1
Jn ( r) =
2
Z2
ei(n
r sin )
d ;
(2.2.10)
0
on aura
f ( ; ) = ein(
2
)
Z1
rJn ( r)f (r)dr:
(2.2.11)
0
in(
= e
)
2
avec fn ( ) = =`n [f (r)]
23
fn ( );
(2.2.12)
2.2. Transformation de Bessel
De même, en termes de variables polaires avec l’hypothèse f (x; y) = f (r; ) = ein f (r)
avec( 2.2.12), l’inverse de la transformation de Fourier ( 2.2.6) devient
ein
1
f (r) =
2
Z1
1
=
2
Z1
d
0
Z2
ei
r cos(
Z2
fn ( )d
ein(
2
)+i r cos(
)
(2.2.14)
d
0
En utilisant le changement de variables
=
Z1
fn ( )d
Z1
Jn ( r)fn ( )d ;
0
= ein
(2.2.13)
f (r; )d
0
0
1
=
2
)
2 Z+
( + 2 ) et
0
=
( 2 + ),
0
ein(
+ ) i r sin( )
d
(2.2.15)
par (2.2.10)
(2.2.16)
0
0
alors la transformée de Hankel inverse est dé…nie par
1
=`n [fn ( )] = f (r) =
Z1
Jn ( r)fn ( )d :
0
Propriétés de la transformation de Hankel
Théorème 2.2.2 [11]si =`v [f (t)] = fv (u) alors
=`v [f ( t)] =
1
u
fv ( ):
2
a
a
Preuve. on a par dé…nition
=`v [f (at)] =
Z1
f (at)Jv (ut)tdt
0
1
= 2
a
Z1
u
1
u
sf (s)Jv ( s)ds = 2 fv ( ):
a
a
a
0
24
(2.2.17)
2.2. Transformation de Bessel
Théorème 2.2.3 [11]soit f (r) arbitraire avec la propriété que lim f (r) = 0; alors
r!1
=`v
v2
f =
t2
d2 f
1 df
+
2
dt
t dt
u2 =`v [f (t)] :
Preuve. Une intégration par partie donne
=`v
d2 f
1 df
+
2
dt
t dt
v2
f
t2
=
Z1
d df
(t )
dt dt
=
Z1
u
u2 Jv00 (ut) + Jv0 (ut)
t
v2
f (t) Jv (ut)tdt
t2
0
v2
Jv (ut) f (t)tdt
t2
0
=
u2
=
2
Z1
f (t)Jv (ut)tdt
0
u =`v [f (t)] :
Théorème 2.2.4 [11](égalité de Parseval ): soit
=`v [f (t)] = fv (u);
alors
Z1
ufv (u)gv (u)du =
0
=`v [g(t)] = gv (u):
Z1
tf (t)g(t)dt; (v >
1
):
2
0
Preuve. nous procédons formellement pour obtenir
Z1
ufv (u)gv (u)du =
0
Z1
ufv (u)du
0
Z1
tJv (ut)g(t)dt
0
=
Z1
Z1
tg(t)dt uJv (ut)fv (u)du
=
Z1
tf (t)g(t)dt :
0
0
0
25
2.2. Transformation de Bessel
2.2.2
Transformation de Meijer
Fonction de Mac-Donald
Fonctions Is ( fonction de Bessel modi…ée)
1) On dé…nit, si n 2 Z; si z 2 C
In (z) = i
n
Jn (iz) =
1
X
(z=2)n+2r
:
r!(n
+
r)!
r=0
Si s non entier; et si z 2 C on dé…nit
s
Is (z) = i Js (iz) =
1
X
r=0
(z=2)s+2r
:
r! (s + r + 1)
Ces fonctions satisfont à l’équation di¤érentielle
d2 Is (z) dIs (z)
+
dz 2
dz
(1 +
s2
)Is (z) = 0:
z2
2) elles véri…ent les relations de récurrence
Is 1 (z)
2s
Is (z);
z
Is+1 (z) =
d s
d
fz Is (z)g = z s Is 1 (z); fz s Is (z)g = z s Is+1 (z):
dz
dz
3) si s non entier, on dé…nit la fonction de Mac-Donald Ks ( fonction de Bessel modi…ée)
Ks (z) =
2 sin s
(I s (z))
Is (z)):
Dé…nition de la transformée de Meijer
Dé…nition 2.2.3 la transformation intégrale de Meijer joue un rôle important dans la résolution des équations di¤érentielles de type Bessel. Elle est dé…nie par la formule
~
f (s) =
r Z1
2
1
K (st)(st) 2 f (t)dt;
0
où K (t) est une fonction de Mac-Donald.
26
(2.2.18)
2.2. Transformation de Bessel
La formule d’inversion s’écrit
1
f (t) = p lim
i 2 !1
Z+i
~
1
(2.2.19)
I (ts)(ts) 2 f (s)ds:
i
Les égalités (2:2:18), (2:2:19) découlent immédiatement du développement correspondant
d’une fonction arbitraire en intégrale de Fourier généralisée.
Théorème 2.2.5 [5]soit f (t) une fonction de la variable réelle t, 0
sur tout intervalle …ni 0 < T1
t < +1, intégrable
T2 et à variation bornée au voisinage du point t = x;
t
supposons par ailleurs que l’intégrale
Z1
e
t
jf (t)j dt:
>
0;
0
est convergente. Sous ces conditions, on a le développement
f (x + 0) + f (x
2
0)
1
=
lim
i !1
Z+i
1
2
I (xs) (xs) ds
Z1
1
K (st)(st) 2 f (t)dt:
(2.2.20)
0
i
La fonction K (z) est une fonction paire de , donc la formule (2.2.20) peut encore
s’écrire
f (x + 0) + f (x
2
0)
Z+i
1
=
lim
2 i !1
Z1
1
fI (xs) + I (xs)g (xs) 2 ds
i
1
K (st)(ts) 2 f (t)dt:
0
En particulier, puisque
I 1 (z) = (
2
2 1
) 2 sh z;
z
K
1
2
I
(z) = (
27
1
2
(z) = (
1
2z
) 2 e z;
2 1
) 2 ch z;
z
(2.2.21)
2.2. Transformation de Bessel
il s’ensuit que lorsque
=
1
2
la formule (2:2:21) s’écrit
f (x + 0) + f (x
2
0)
1
=
lim
2 i !1
Z+i
i
Z1
exs ds e
st
f (t)dt:
(2.2.22)
0
Théorème 2.2.6 [5]supposons qu’une fonction f (s), analytique dans le demi-plan Re(s) >
0, véri…e les conditions
1) Pour tous les t
0 et
existe
>
lim
!1
1
2
où
Re( )
1
;la
2
Z+i
1
~
I (tz)(tz) 2 f (z)dz;
i
convergence étant uniforme en t (0
t
b).
2) l’intégrale
~
Z+i f (s)
jzj
i
jd(z)j ;
est convergente.
~
3) la fonction f (s) est bornée dans le demi-plan Re(s)
, i.e,
~
f (s) < A;
où A est une constante positive ne dépendant pas de s.
4) existe
~
lim f (x + iy) = 0;
x!1
où la convergence est uniforme en toutes les valeurs réelles de y. Sous ces conditions, lorsque
Re(s) > , on a l’égalité (2:2:18), où la fonction f (t) est dé…nie par (2:2:19).
~
Théorème 2.2.7 [5]soit une fonction g(s) telle que
Xn
g(s) = f (s) +
c i si ;
~
~
i=1
~
où f (s) remplit les conditions du théorème précédent, Re(i) < 0. Alors on a
~
g(s) =
r Z1
2
1
K (st)(ts) 2 g(t)dt; Res > ;
0
28
2.2. Transformation de Bessel
où
1
g(t) = p lim
i 2 !1
Z+i
1
~
I (ts)(ts) 2 g(s)ds:
i
La convolution et le calcul opérationnel ont été construits pour la transformation de Meijer
d’après le schéma de Mikusinski.
2.2.3
Transformation de Kontoroviteh-Lébédev
Les transformations intégrales dans lesquelles l’intégration s’e¤ectue sur l’ordre des fonctions
de Bessel jouent un rôle très important dans la résolution de certains problèmes de physique
mathématique. Cette forme de transformations intégrales a été étudiée pour la première fois
par Kontorovitch et Lébédev en 1938. Elle porte aujourd’hui le nom de transformation de
Kontorovitch-Lébédev. Elle a été appliquée avec succès à la résolution de nombreux problèmes intéressants. Dans les transformations de Kontorovitch-Lébédev, le développement
de type intégrale de Fourier
xf (x) =
2
2
Z1
Ki (x) sh
0
d
Z1
Kis ( )f ( )d ;
(2.2.23)
0
où K (x) est une fonction de Macdonald, x > 0, f (x) une fonction arbitraire continue avec sa dérivée et telle que x2 f (x), xf (x) 2 L ]0; +1[ joue un rôle fondamental. Le
développement (2:2:23) est valable pour des fonctions appartenant à une classe plus large.
Soit
F( ) =
Z1
(2.2.24)
f (x)Ki (x)dx :
0
L’intégrale (2:2:24) dé…nit la transformation de Kontorovitch-Lébédev. De (2:2:23) il
vient immédiatement la formule d’inversion
2
f (x) = 2
x
Z1
Ki (x) sh
F ( )d
(x > 0):
0
Sous une forme plus symétrique, (2:2:24) et (2:2:25) s’écrivent
29
(2.2.25)
2.2. Transformation de Bessel
F( ) =
Z1
Ki (x)
f (x) p dx ;
x
f (x) =
Z1
F( )
(0
< +1);
(2.2.26)
0
2 sh
Ki (x)
p d ;
x
2
(0 < x < +1):
(2.2.27)
0
Parfois (2:2:24) et (2:2:25) se rencontrent sous la forme suivante
2
F( ) =
2
Z1
sh
f (x)
Ki (x)
dx;
x
(2.2.28)
0
f (x) =
Z1
F ( )Ki (x)d :
(2.2.29)
0
Les formules analogues aux formules de Parseval de la théorie des séries et des intégrales
de Fourier sont très utiles au calcul de certains types d’intégrales dé…nies.
Théorème 2.2.8 [5]soit g(x) une fonction réelle arbitraire telle que
1) g(x)x
3
4
2 L ]0; +1[, 2) g(x) 2 L2 ]0; +1[,
p
Z1
2 sh
G( ) = g(x)
Ki (x)
p dx;
x
(2.2.30)
0
alors
Z1
[G( )]2 d =
0
Z1
[g(x)]2 dx:
(2.2.31)
0
Théorème 2.2.9 [5]soient gl (x) et g2 (x) des fonctions réelles arbitraires, véri…ant les conditions 1) et 2) du théorème précédent, G1 ( ) et G2 ( ) les images respectivement de gl et g2
par la transformation (2:2:30).
Z1
G1 ( )G2 ( )d =
0
Z1
g1 (x)g2 (x)dx:
(2.2.32)
0
D’autres transformations intégrales dans lesquelles l’intégration s’e¤ectue sur l’ordre des
fonctions cylindriques.
30
Chapitre 3
Application
Dans ce chapitre nous allons présenter une application d’une transformation de Bessel pour
résoudre une problème au limite très important dans la physique et la mécanique des ‡uides.
Ce problème consiste à trouver la solution d’une équation aux valeurs propres avec un
potentiel dé…ni sur un disque. Ceci veut dire que le problème que nous étudions est un
problème à deux dimensions. L’équation aux valeurs propres est transformée en une équation
intégrale dont la fonction cherchée est la fonction de Green du problème. Appliquée à cette
équation intégrale, la transformation de Bessel permet de trouver la solution au probleme:
3.1
Problème d’un puits …ni (-V0 sur un disque):
L’éq. de Schrödinger relative au potentiel
V0 (V0 > 0) à l’intérieur et nul en dehors disque
i,e
4
+ V (r)
2m
4
2m
E g r; r
E g r; r
0
0
0
=
(r
r );
=
(r
r)
0
(3.1.1)
0
V (r)g(r; r )
0
g(r; r ) est continue en r = a;
0
0
0
gr (r; r ) est continue en r = r = a;
31
(r
0
0
r ) + q(r; r );(3.1.2)
3.1. Problème d’un puits …ni (-V0 sur un disque):
V0 ;
V (r; ) =
r a
r>a
0;
Soit l’équation
4r
2m
sa solution g0 r; r
0
E g0 r; r
0
0
= (r
r );
permet de trouver la solution de (3.1.2)comme :
g r; r
0
= g0 r; r
0
+
Z
g0 r; r
00
00
q r ;r
0
00
(3.1.3)
dr ;
En e¤et appliquons aux deux membres de cette dernière équation l’opérateur
4r
2m
E g r; r
0
=
=
4r
2m
4r
2m
E g r; r
E + V (r) g r; r
0
0
4r
2m
=
=
4r
2m
E :
Z
4r
00
00
0
00
E g0 r; r +
E g0 r; r q r ; r dr
2m
Z
00
0
0
0
00
00
0
r )+
(r r )q r ; r dr = (r r ) + q r; r ;
(r
0
V (r)g r; r
0
+ (r
0
r );
0
(r
r );
ceci montre que l’équation di¤érentielle (3.1.1) est équivalente à l’équation intégrale
suivante
g r; r
0
= g0
Z
Z
00
0
00
0
00
r; r + g0 r; r q r ; r dr = g0 r; r
0
g0 r; r
00
00
00
V (r )g r ; r
0
00
dr :
Dans notre cas de potentiel, nous avons alors à ré soudre l’équation intégral suivante:
gl r; r
0
= g0 r; r
0
+ V0
Za
g0 (r; ) gl
;r
0
(3.1.4)
d ;
0
pour résoudre on a la considération suivante
g
+
r; r
0
0
=
g r; r ;
0;
r a
r>a
,g
32
r; r
0
=
0;
g (r; r0 ) ;
r
a
r>a
(3.1.5)
3.1. Problème d’un puits …ni (-V0 sur un disque):
d’après ces considérations l’équation (3.1.4) s’écrit
gl+
r; r
0
gl
r; r
0
= g0 r; r
0
+ V0
Z1
g0 (r; ) gl+
;r
0
d ;
(3.1.6)
0
on dé…nit la transformation de Bessel d’une fonction gl comme
^ l p; r0 =
G
Z1
0
rJl (pr) gl r; r dr;
(3.1.7)
0
la transformation de Bessel de l’équation (3.1.6) est dé…nie par
Z1
0
rJl (pr) gl+ r; r dr
Z1
rJl (pr) gl
0
r; r
0
dr
0
Z1
Z1
Z1
0
g0 (r; ) gl+
= rJl (pr) g0 r; r dr + V0 rJl (pr) dr
0
0
On dé…nit g0 r; r
0
;r
0
d :
(3.1.8)
du
u
(3.1.9)
0
par
g0 r; r
0
=
Z1
0
exp
r2 + r 2
u
2
+
u
Il 4
2
rr
u
0
0
la substitution de (3.1.9) à (3.1.8) d’après certain calcul et d’après la formule 6.633.4
[6] on obtient
^ + p; r0
G
l
^+
G
l
p; r
p2
p2
0
^
G
l
2
1
k2
p; r
^
G
l
p; r
0
0
2Jl pr
2V0 ^ +
0
= 2
+ 2
Gl p; r ;
2
2
p
k
p
k
0
2Jl pr
= 2
p
k2
0
B (p) ; ou
2
1
(3.1.10)
= k 2 + 2V0 ;
(3.1.11)
p+k
;
p+ 1
(3.1.12)
et la décomposition de
p2
p2
2
1
k2
qui est F + (p) =
p
p
1
k
;
et
F (p) =
^ sont détérminées par
^ + et G
d’après le théorème [13] les fonctions G
l
l
pour r
0
a
^ + p; r0 = F (p)
G
l
2 i
Z
B ( )d
;
( )(
p)
F+
L
33
où L est un contour fermé,
(3.1.13)
3.1. Problème d’un puits …ni (-V0 sur un disque):
p+k
=
2 i(p + 1 )
Z
p+k
=
2 i(p + 1 )
Z
(
2
0
2Jl
r d
k2)
k
(
p)
r d
1) (
p)
1
L
2Jl
( + k) (
L
0
en appliquant le théorème des résidus aux points (
=
et
1
(3.1.14)
;
= p sont à l’intérieur du
contour) on obtient
^ + p; r0 = 2 ( 1 ; k; a) (p k) Jl 1 r
G
l
2
( 1 + k) (p2
1)
la réciproque pour r
g
+;+
r; r
0
r
0
0
0
2Jl pr
+ 2
;
2
p
1
(3.1.15)
a
2 ( 1 ; k; a) Jl
=
1+k
1r
0
Z+1
p (p
0
k) Jl (pr) dp
+2
2
(p2
1)
Z+1
0
pJl pr Jl (pr) dp
;
2
(p2
1)
0
pour le premier intégrale en appliquant le théorème des résidus au point (
=
1
) ,pour
le deuxième intégrale d’après la formule 6.633.4 [6] on obtient
0
2 (k; ; a) Jl 1 r Jl ( 1 r)
=
( 1 + k)
Jl
1r
0
Yl ( 1 r) ;
(3.1.16)
0
de même manière pour r > a
^
G
l
p; r
0
F + (p)
=
2 i
Z
B ( )d
;
( )(
p)
F+
où L est un contour fermé
(3.1.17)
L
p
=
2 i(p
1
k)
Z
0
2Jl
( + k) (
r d
1) (
L
en appliquant le théorème des résidus aux points (
p)
k et
=
(3.1.18)
;
= p sont à l’intérieur au
contour) on obtient
^
G
l
p; r
0
2 ( 1 ; k; a) (p
=
( 1 + k) (p2
1 ) Jl
k2)
kr
0
0
2Jl pr
+ 2
;
p
k2
(3.1.19)
0
la réciproque pour r > r > a
g
;
r; r
0
2 ( 1 ; k; a) Jl kr
=
1+k
0
Z+1
p (p
1 ) Jl (pr) dp
+2
2
(p
k2)
0
Z+1
0
pJl pr Jl (pr) dp
(3.1.20)
(p2 k 2 )
0
34
3.1. Problème d’un puits …ni (-V0 sur un disque):
0
2 ( 1 ; k; a) Jl kr Jl (kr)
0
=
Jl kr Yl (kr) ;
(3.1.21)
( 1 + k)
d’après la symétrie de la fonction de Green on prend ; en fonction de a; donc on a le
0
système au point r = r = a
gl+;+ (a; a) = gl ; (a; a)
k
k
dgl+;+ (r;a)
dgl ; (r;a)
=
dr
dr
r=a
(
1
= 2 (k;
(
1 ; a) Jl
0
( 1 a) Jl ( 1 a)
(
1
(ka) Jl (ka)
+ k) Jl ( 1 a) Yl ( 1 a)
1
(3.1.22)
0
1 + k) Yl (ka) Jl (ka) + 2k (k;
(k;
1
( 1 a) Jl ( 1 a)
1 ; a) Jl
0
k(
=2
r=a
+ k) Jl (ka) Yl (ka) + 2 (k;
1 ; a) Jl
,
1 ; a) Jl (ka) Jl (ka)
0
+ k) Yl ( 1 a) Jl ( 1 a)
1
d’après un certain calcul on trouve
0
(k;
1 ; a)
=(
+ k)
1
0
2Jl (ka) + aJl ( 1 a) kJl (ka) Y ( 1 a)
1 Jl (ka) Yl ( 1 a)
0
0
2aJl ( 1 a) 1 Jl (ka) Jl ( 1 a) kJl (ka) Jl ( 1 a)
(3.1.23)
et
0
(k;
1 ; a)
=(
1
+ k)
donc
g +;+ r; r
0
et
g
;
r; r
0
=
2
6
4
=
2
Yl ( 1 r) Jl
2Jl (ka)+ aJl (
aJl (
1 a)
(
1 a)
0
kJl (ka)Yl (
0
1 Jl (ka)Jl ( 1 a)
1r
0
0
1 Jl (ka)Yl ( 1 a)
1 a)
0
kJl (ka)Jl (
1 a)
)
Jl ( 1 r) Jl
1r
0
3
7
5
(3.1.25)
Yl (kr) Jl kr
6
4
0
2Jl ( 1 a) + aJl (ka) 1 Jl ( 1 a) Yl (ka) kJl ( 1 a) Yl (ka)
;
0
2aJl (ka) kJl0 (ka) Jl ( 1 a)
1 Jl (ka) Jl ( 1 a)
(3.1.24)
2Jl (
1 a)+
aJl (ka)
0
1 Jl ( 1 a)Yl (ka)
0
aJl (ka)(kJl (ka)Jl (
1 a)
0
kJl (
0
1 a)Yl (ka)
0
1 Jl (ka)Jl ( 1 a)
)
Jl (kr) Jl kr
0
Les cas mixtes:
3
7
5 (3.1.26)
0
le cas r < a < r :
d’après l’égalité (3.1.18) on prend le pole
^
G
l
p; r
0
= Jl
ou f (p) =
(p
1r
0
=
1
on a
2C (k; 1 ; a)
f (p) +
p k
(
1) ( 1
+ k)
p+k
35
et
h (p) =
h (p)
1 + k) (p
k)
( p)l ( 1 + k)
k l (p + k)
;
(3.1.27)
3.1. Problème d’un puits …ni (-V0 sur un disque):
la réciproque est donnée par
2
gl
;+
r; r
0
= Jl
1r
0
42C (k;
= Jl
3
Z+1 l+1
p Jl (pr) dp 5
2
1 ) Jl (pr) dp
+
l
2
2
p
k
p2 k 2
( k)
Z+1
p (p
1 ; a)
0
0
(3.1.28)
1r
0
[ Yl (kr) + C (k;
1 ; a) Jl
(3.1.29)
(kr)]
D’après la continuité de la fonction de Green au point r = a on a
gl
Jl ( 1 a) [ Yl (ka) + C (k;
;+
(a; a) = gl
2
6
1 ; a) Jl (ka)] = 4
;
(a; a) ,
Yl (ka) +
1 a)+
2Jl (
0
1 Jl ( 1 a)Yl (ka)
aJl (ka)
0
aJl (ka)(kJl (ka)Jl (
1 a)
0
1 a)Yl (ka)
kJl (
0
1 Jl (ka)Jl ( 1 a)
)
3
7
5 Jl (ka)
(3.1.30)
0
2Jl ( 1 a) + aJl (ka) 1 Jl ( 1 a) Yl (ka) kJl ( 1 a) Yl (ka)
Yl (ka) Yl (ka)
C (k; ; a) =
+
0
0
Jl (ka) Jl ( 1 a)
aJl ( 1 a) kJl (ka) Jl ( 1 a)
1 Jl (ka) Jl ( 1 a)
Yl (ka)
Jl (ka)
C (k; ; a) =
a
0
4
Jl (ka) Jl ( a)
0
(3.1.31)
0
kJl (ka) Jl ( a)
en…n
gl
;+
r; r
0
=
2
Yl (kr) Jl
6
4
Yl (ka)
Jl (ka)
1r
0
4
a[
0
1 Jl (ka)Jl ( 1 a)
0
kJl (ka)Jl (
1 a)
Jl (kr) Jl
]
1r
0
0
3
7
5 (3.1.32)
le cas r < a < r :
d’après la formule (3.1.14) on prend le pole au point
^ + p; r0
G
l
=
où T (p) =
Jl kr
(k
la réciproque est donnée par
2
gl+;
r; r
0
= Jl kr
0
42D (k;
= Jl kr
0
k
2D (k; 1 ; a)
T (p) +
( 1 + k) (p + 1 )
(
0
p) (
(p
=
+ k)
( p)l 1 (
; et n (p) =
k l (p
1)
1
1 ; a)
Z+1
p (p
0
n (p)
1 + k) (p +
1
1)
(3.1.33)
+ k)
1)
3
Z+1 l+1
p Jl (pr) dp 5
k) Jl (pr) dp
2
+
2
2
l
2
p
p2
( k)
1
1
0
(3.1.34)
[ Yl ( 1 r) + D (k;
36
1 ; a) Jl
( 1 r)]
(3.1.35)
3.1. Problème d’un puits …ni (-V0 sur un disque):
D’après la continuité de la fonction de Green au point r = a on a
gl+; (a; a) = gl+;+ (a; a) ,
Jl (ka) [ Yl ( 1 a) + D (k;
1 ; a) Jl
( 1 a)] = Jl ( a) Yl ( a)
0
0
2Jl (ka) + aJl ( 1 a) kJl (ka) Yl ( 1 a)
1 Jl (ka) Yl ( 1 a)
Jl ( a)
0
0
a 1 Jl (ka) Jl ( 1 a) kJl (ka) Jl ( 1 a)
D (k; ; a) =
Yl ( a)
Jl ( a)
Yl ( a)
+
Jl (ka)
0
0
2Jl (ka) + aJl ( 1 a) kJl (ka) Yl ( 1 a)
1 Jl (ka) Yl ( 1 a)
0
0
aJl (ka) 1 Jl (ka) Jl ( 1 a) kJl (ka) Jl ( 1 a)
D (k; ; a) =
Yl ( a)
Jl ( a)
4
a kJl (ka) Jl ( 1 a)
0
(3.1.36)
0
Jl (ka) Jl ( 1 a)
d’où
gl+;
r; r
0
=
2
6
4
0
Jl kr Yl ( 1 r)
Yl (
Jl (
1 a)
1 a)
4
0
a[kJl (ka)Jl ( 1 a)
37
0
1 Jl (ka)Jl ( 1 a)
]
0
Jl kr Jl ( 1 r)
3
7
5 (3.1.37)
3.1. Problème d’un puits …ni (-V0 sur un disque):
CONCLUSION GENERALE
Dans notre travail, nous nous sommes intéressées aux équations intégrales et les transformations de Bessel: Transformation de Hankel, Tranformations de Meijer et la transformation de Kontorovich-Lebedev. Pour chacune de ces transformations, nous avons présenté
les propriétés fondamentales. Nous avons également exposé la méthode de calcul de la fonction de Green pour la résolution de certains problèmes de physique mathématique. En…n
nous avons appliqué les transformations de Bessel sur les équations intégrales pour calculer
la fonction de Green d’un potentiel dé…ni sur un disque. Comme perspective, nous allons
aussi prolonger cette méthode à l’étude des autres problèmes des potentiels.
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،Meijer ،Hankel) ‫ وﻣﻦ ﺛﻢ ﻋﺮﻓﻨﺎ ﺗﺤﻮﻳﻞ ﺑﻴﺴﻞ ﺑﺄﻧﻮاﻋﻪ‬،‫ وﻗﺪ أﺑﺮزﻧﺎ أﻫﻢ أﻧﻮاﻋﻬﺎ‬،‫ﻓﻲ ﻫﺬﻩ اﻟﻤﺬﻛﺮة ﻗﺪﻣﻨﺎ ﻟﻤﺤﺔ ﺣﻮل داﻟﺔ ﻗﺮﻳﻦ واﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻜﺎﻣﻠﻴﺔ‬
.Fourier ‫ ﺑﺘﺤﻮﻳﻞ‬Hankel ‫( وﻛﺬأﻟﻚ أوﺿﺤﻨﺎ ﻋﻼﻗﺔ ﺗﺤﻮﻳﻞ‬Kontorovitch-Lébédev
.‫وﻓﻲ اﻷﺧﻴﺮ ﻋﺎﻟﺠﻨﺎ ﻣﺴﺄﻟﺔ ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ وذﻟﻚ ﺑﺤﺴﺎب داﻟﺔ ﻗﺮﻳﻦ ﻣﻦ ﺧﻼل ﺗﺤﻮﻳﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ اﻟﺤﺪﻳﺔ إﻟﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻜﺎﻣﻠﻴﺔ وﺣﻠﻬﺎ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺗﺤﻮﻳﻞ ﺑﻴﺴﻞ‬
:‫اﻟﻜﻠﻤﺎت اﻟﻤﻔﺘﺎﺣﻴﺔ‬
.‫ داﻟﺔ ﻣﺎﻛﺪوﻧﺎل‬-‫ﺗﺤﻮﻳﻞ ﺑﻴﺴﻞ‬-‫داﻟﺔ ﺑﻴﺴﻞ‬- ‫ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻓﺮﻳﺪﻫﻮﻟﻢ– ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻮﻟﺘﺮا– ﺗﺤﻮﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻲ‬-‫داﻟﺔ ﻗﺮﻳﻦ‬-‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻠﻴﺔ‬
Dans ce mémoire, nous avons présenté un rappel sur la fonction de Green, les équations intégrales, et nous
avons montré les types les plus importants des équations intégrales, aussi nous avons défini la transforme
de Bessel et leurs types (Hankel ، Meijer ، Kontorovitch-Lébédev), ainsi nous avons montré la relation entre
transformée de Hankel et transformée de Fourier. Enfin, Nous avons abordé un problème physique en
calculant la fonction de Green à partir de la transformation du problème aux limite en équation intégrale
et nous avons utilisé transformation de Bessel pour résoudre cette équation.
Les mots clés:
équation intégrale - Fonction de Green – équation de Fredholm - équation de Volterra -Transformation de
Fourier - Fonction de Bessel - Transformation de Bessel-Fonction de Mac Donald.
In this paper, we have presented a reminder of the Green's function, integral equations, and we showed
the most important types of integral equations, as we have defined the Bessel transforms and their types
(Hankel, Meijer, Kontorovitch-Lebedev ), and we have shown the relationship between the Hankel
transform and Fourier transform. In the end, we approached a physical problem by calculating the Green
function from the transformation of the problem limited to integral equation and we use Bessel transforms
to solve this equation.
Keywords:
Integral equation – function of Green – equation of Fredholm - equation of Volterra - transformation of
Fourier – Function of Bessel –Transformation of Bessel – Function of Mac Donald.