Etude des chocs

Physique - 6 ème année - Ecole Européenne
Chapitre n° 3 : ETUDE DES CHOCS
Ce chapitre constitue avant tout une application de la définition de la quantité de mouvement.
Nous verrons que les exercices sur les chocs traités en 6ème année sont souvent beaucoup plus
simples que la théorie du cours ne le laisse paraître. En 7ème année nous retrouverons une
application de cette leçon lors de l'étude de la dualité onde corpuscule et de l'effet Compton.
I) Choc ponctuel entre particules :
1) Choc ou collision :
On appellera choc ou collision l'interaction entre deux
corps, lorsque cette interaction a une durée brève, une
étendue réduite et se traduit par une modification
importante des vecteurs vitesses des deux corps.
Exemple : - Interaction de contact entre deux boules de
billard.
- Interaction électromagnétique à courte portée
entre une particule α et un noyau d'or dans
l'expérience de Rutherford.
- Interaction entre un astéroïde et une planète.
2) Modèle du choc ponctuel :
L'étendue
spatiale
où se manifeste le
choc est supposée
suffisamment réduite
pour être assimilée à
un point.
→
→
On notera v 1 et v 2 les vitesses
des corps (particules) avant le
choc
→
→
On notera v 1' et v 2 ' les vitesses des corps (particules) après le choc mesurées dans le
référentiel d'étude (R).
II) Lois de conservation au cours d'un choc :
1) Conservation de la quantité de mouvement :
a) Système isolé ou pseudo isolé :
D'après le principe d'inertie, nous savons que pour un système isolé ou pseudo isolé la
quantité de mouvement se conserve dans un référentiel (R) galiléen.
→
→
p = p'
Au cours du choc entre deux particules (corps) de masses m1 et m2, isolées ou pseudo
isolées, la quantité de mouvement totale du système formé des deux particules reste
constante dans un référentiel galiléen (R) :
→
→
→
→
→
→
p = p1 + p 2 = p' = p1' + p1'
→
→
→
→
m1. v 1 + m2. v 2 = m1. v 1' + m2. v 2 '
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b) Système non pseudo isolé :
Nous admettrons qu'au cours du choc entre deux particules de masses m1 et m2, non
pseudo isolées, la quantité de mouvement mesurée dans le référentiel d'étude (R), du
système formé des deux particules immédiatement avant le choc est égale à la quantité
de mouvement du système immédiatement après le choc :
→
→
→
→
→
→
p = p1 + p 2 = p' = p1' + p1'
→
→
→
→
m1. v 1 + m2. v 2 = m1. v 1' + m2. v 2 '
c) Etude expérimentale :
On étudie le choc de deux palets sur la table à air parfaitement horizontale.
On enregistre le mouvement du
centre d'inertie des deux palets
sur une feuille spéciale fixée à la
table.
Connaissant la durée ∆t entre deux
étincelles, on peut tracer les
représentants des vecteurs vitesse.
Connaissant les masses m1 et m2 des
deux palets, on peut tracer les représentants des vecteurs quantité de mouvement.
→
→
→
→
p1 + p 2 = p1' + p1'
→
→
p = p'
On vérifie expérimentalement, dans ce cas, la conservation de la quantité de mouvement
avant le choc et après le choc.
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2) Choc élastique :
Le choc entre particules est élastique, si l'énergie cinétique EC du système formé par les
deux particules se conserve dans le référentiel d'étude (R) :
1
.m1.v12 + 21 .m2.v22 = 21 .m1.v1'2 + 21 .m2.v2'2
2
Remarque : Si le système n'est pas pseudo isolé la conservation de l'énergie cinétique, lors
d'un choc élastique, n'est valable qu'immédiatement avant et immédiatement
après le choc.
Remarque : Le choc élastique suppose l'absence de toute déformation des surfaces des
particules en interaction, ainsi que l'absence de variation de l'énergie interne
des particules.
3) Choc inélastique :
Au cours du choc inélastique entre deux particules, seule la quantité de mouvement se
conserve dans le référentiel d'étude (R) :
Remarque : Le choc entre deux corps macroscopiques ne peut pas être rigoureusement
élastique, car une petite fraction de l'énergie cinétique du système est
transformée en énergie interne (échauffement ou déformation).
Remarque : Dans le cas de deux particules à l'échelle atomique, un choc inélastique se
traduira par le fait qu'une partie de l'énergie cinétique est transformée en
énergie d'excitation électronique ou nucléaire.
III) Choc élastique :
1) Indétermination du problème :
Dans le référentiel d'étude (R), la conservation de la quantité de mouvement se traduit par :
→
→
→
→
m1. v 1 + m2. v 2 = m1. v 1' + m2. v 2 '
Ce qui donne trois équations scalaires :
m1.vx1 + m2.vx2 = m1.v'x1 + m2.v'x2 [1]
m1.vy1 + m2.vy2 = m1.v'y1 + m2.v'y2 [2]
m1.vz1 + m2.vz2 = m1.v'z1 + m2.v'z2 [3]
La nature élastique du choc, impose :
1
.m1.v12 + 21 .m2.v22 = 21 .m1.v1'2 + 21 .m2.v2'2 [4]
2
Supposons qu'on connaisse les vitesses
→
→
v 1 et v 2 des particules avant le choc.
→
→
Nous devons déterminer les vitesses v 1' et v 2 ' des particules après le choc.
Il y a donc 6 inconnues (v'x1, v'x2, v'y1, v'y2, v'z1 et v'z2) pour 4 équations :
Le problème général sera indéterminé, il faudra donner des informations supplémentaires.
2) Choc élastique dans le référentiel du laboratoire :
a) Choc frontal :
- On considère un objet sphérique de masse m1, de centre d'inertie G1, animée d'un
→
mouvement rectiligne uniforme de vitesse v 1 , qui arrive sur un objet sphérique
→
→
initialement au repos ( v 2 = 0 ), de centre d'inertie G2.
→
- L'axe Ox, lié au laboratoire, est porté par v 1 et passe par le centre d'inertie G2 de
l'objet au repos.
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Exemple : Boule de "pétanque" qui percute de plein fouet, une autre boule au repos.
→
- Le choc étant frontal ( v 1 passe par le centre d'inertie G2), les deux boules repartent avec
→
→
des vitesses v 1' et v 2 ' qui sont portées par l'axe Ox.
On note v'1 = v'x1 et v'2 = v'x2, les deux seules mesures algébriques (inconnues) sur l'axe
Ox, des vitesses des boules après le choc.
Equations de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique :
m1.v1 = m1.v'1 + m2.v'2
[1]
2
2
2
1
1
1
.m1.v1 = 2 .m1.v1' + 2 .m2.v2'
[2]
2
1 − m2
m1 .v et v' =
2 .v1
La résolution du système donne : v'1 =
1
2
m
2
1 + m2
1+
m1
m1
- Si m2 > m1 : v'1 et v1 sont de signes contraires : la boule G1 repart en sens inverse.
- Si m2 = m1 : v'1 = 0 et v'2 = v1 ; les boules échangent leurs vitesses (carreau !).
- Si m2 < m1 : v'1 et v1 sont de même signe : la boule G1 suit la boule G2.
Remarque : Lorsque m2 >> m1 : nous avons v'1 = − v1 et v'2 = 0. La boule G1 rebondit sur
la boule G2 qui reste pratiquement immobile (choc élastique sur une paroi).
b) Choc latéral :
- On considère une particule de masse m1, de centre d'inertie G1, animée d'un
→
mouvement rectiligne uniforme de vitesse v 1 , qui arrive sur une particule initialement au
→
→
repos ( v 2 = 0 ), de centre d'inertie G2.
→
- v 1 et ne passe pas exactement par le centre d'inertie G2 de la particule au repos.
Exemple : Boule de billard qui percute sur le coté une boule au repos.
- C'est un problème à deux dimensions.
Equations de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique :
→
→
→
m1. v 1 = m1. v 1' + m2. v 2 '
Ce qui donne deux équations scalaires :
[1]
m1.vx1 = m1.v'x1 + m2.v'x2
m1.vy1 = m1.v'y1 + m2.v'y2
[2]
La nature élastique du choc, impose :
1
.m1.v12 = 21 .m1.v1'2 + 21 .m2.v2'2
[3]
2
Il y a donc 4 inconnues (v'x1, v'x2, v'y1, et v'y2) pour 3 équations :
Le problème général est indéterminé, il faut donner des informations supplémentaires.
- Dans le cas très particulier où m1 = m2 = m (boules de billard), on a :
→
→
→
m. v 1 = m. v 1' + m. v 2 '
1
.m.v12 = 21 .m.v1'2 + 21 .m.v2'2
2
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[1']
[2']
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→
Soit
→
→
v 1 = v 1' + v 2 '
v12 = v1'2 + v2'2
→
[1"]
[2"]
→
v12 = v1'2 + v2'2 + 2. v 1' . v 2 '
En élevant [1"] au carré
→
→
v 1' . v 2 ' = 0
Et en comparant avec [2"]
→
→
v 1' est orthogonale à v 2 '
3) Choc élastique dans le référentiel barycentrique :
- On considère, à nouveau, le choc d'une particule de masse m1, de centre d'inertie G1,
→
animée d'un mouvement rectiligne uniforme de vitesse v 1 , qui arrive sur une particule au
→
→
repos ( v 2 = 0 ), de centre d'inertie G2, dans le référentiel du laboratoire (Rl).
La quantité de mouvement du système formé des deux particules est :
→
→
→
P = m1. v 1 = (m1 + m2). v G où G est le centre d'inertie du système.
→
m1 . v→1
Soit
vG =
m1 + m2
→
→
La vitesse v G reste constante au cours du choc, comme la quantité de mouvement P du
système des deux particules.
- Plaçons nous dans le référentiel barycentrique (R*) qui est animé de la vitesse de
→
translation v G par rapport au référentiel (Rl).
→
D'après la formule de composition des vitesses, la vitesse v 1* de la particule G1 dans le
→
→
→
référentiel barycentrique est donnée par : v 1 = v 1* + v G
→
→
→
→
Sa quantité de mouvement est : p1* = m1. v 1* = m1.( v 1 − v G )
→
→
m1 ) = ( m1.m2 ). v→1
p1* = m1. v 1 (1 −
m1 + m2
m1 + m2
→
→
Soit p1* = µ. v 1 où µ = m1.m2 est la masse réduite du système.
m1 + m2
→
- Par définition, le point G est fixe dans (R*), la quantité de mouvement totale P* est nulle
→
→
→
dans ce référentiel, avant et après le choc : P* = (m1 + m2). v G* = 0
→
→
→
→
→
Soit
p1* + p 2* = p1' * + p 2' * = 0
Pour un choc élastique, dans le référentiel barycentrique, on peut écrire :
p *2
p *2
p'* 2
p '* 2
EC* = 1
+ 2
= 1
+ 2
2.m1
2.m2
2.m1
2.m2
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[1]
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→
→
→
→
On en déduit les relations : p 2* = − p1* soit p1*2 = p2*2 et p 2' * = − p1' * soit p1'*2 = p2'*2
2
2
2
2
On en déduit :
p1* = p1'* et p2* = p2'*
D'où
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→
→
→
→
→
p1*  = p 2*  = p1' *  = p 2' *  = µ.v 1 
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A RETENIR
I) Choc ponctuel entre particules :
On appellera choc ou collision l'interaction entre deux corps, lorsque cette interaction a une
durée brève, une étendue réduite et se traduit par une modification importante des vecteurs
vitesses des deux corps.
II) Lois de conservation au cours d'un choc :
1) Conservation de la quantité de mouvement :
Au cours du choc entre deux particules (corps) de masses m1 et m2, isolées ou pseudo
isolées, la quantité de mouvement totale du système formé des deux particules reste
constante dans un référentiel galiléen (R) :
→
→
→
→
m1. v 1 + m2. v 2 = m1. v 1' + m2. v 2 '
Nous admettrons qu'au cours du choc entre deux particules de masses m1 et m2, non
pseudo isolées, la quantité de mouvement mesurée dans le référentiel d'étude (R), du
système formé des deux particules immédiatement avant le choc est égale à la quantité de
mouvement du système immédiatement après le choc :
→
→
→
→
m1. v 1 + m2. v 2 = m1. v 1' + m2. v 2 '
2) Choc élastique :
Le choc entre particules est élastique, si l'énergie cinétique EC du système formé par les
deux particules se conserve dans le référentiel d'étude (R) :
1
.m1.v12 + 21 .m2.v22 = 21 .m1.v1'2 + 21 .m2.v2'2
2
III) Choc élastique :
2) Choc élastique dans le référentiel du laboratoire :
a) Choc frontal :
1 − m2
m1 .v et v' =
2 .v1
v'1 =
1
2
m
1 + m2
1+ 2
m1
m1
- Si m2 > m1 : v'1 et v1 sont de signes contraires : la particule G1 repart en sens inverse
après le choc.
- Si m2 = m1 : v'1 = 0 et v'2 = v1 ; les particules échangent leurs vitesses (carreau !).
- Si m2 < m1 : v'1 et v1 sont de même signe : la particule G1 suit la particule G2.
b) Choc latéral :
→
On démontre que
→
→
v 1' . v 2 ' = 0
→
v 1' est orthogonale à v 2 '
3) Choc élastique dans le référentiel barycentrique :
On montre que
→
→
→
→
→
p1*  = p 2*  = p1' *  = p 2' *  = µ.v 1 
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POUR S'ENTRAÎNER
I) Identification d'un noyau.
Un proton de masse mp, lancé à la vitesse de mesure vp = 2 km.s-1 entre en collision avec un
noyau, au repos (vnoyau = 0 km.s-1), constitué de protons et de neutrons (mn ≈ mp).
Le proton rebondit sur le noyau et revient à la vitesse de mesure v'p = 1 km.s-1 alors que le
noyau est projeté à la vitesse de mesure v'noyau = 0,25 km.s-1.
a) Déterminer le nombre de masse du noyau.
b) Le choc est-il élastique ?
II) Recul d'une arme.
Une balle de masse mb = 30 g est tirée avec un fusil de masse mf = 5 kg.
La balle est éjectée avec une vitesse de mesure vb = 600 m.s-1.
a) Déterminer la mesure vf de la vitesse initiale de recule du fusil.
b) Y a-t-il conservation de l'énergie cinétique ? Expliquer.
III) Obus et blindage.
-1
Un obus de masse mo ≈ 100 g, percute à la vitesse de mesure vo = 600 m.s , une plaque de
blindage de masse mb = 5 kg, immobile. L'obus traverse la plaque de blindage en perdant 2/3
de son énergie cinétique.
a) Calculer la mesure v'o de la vitesse de l'obus à la sortir de la plaque de blindage.
b) Calculer la mesure v'b de la vitesse de plaque de blindage après la percussion.
c) Déterminer la mesure moyenne F de la force de frottement qui a agit sur l'obus sur une
longueur L = 10 cm, lors de la perforation.
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