TD3 : Intégration - LMPT

Université de Tours “François Rabelais”
Faculté de Sciences et Techniques
Licence de Physique 2008–2009
UE404PModélisation, Simulations, Outils Informatiques
TD3 : Intégration
Dans cet exercice on veut enquêter sur le phénomène de diffusion d’une particule par le
champ de forces exercées par une autre. Il s’agit d’une continuation de l’étude du système à
deux corps en interaction à travers un potentiel central, où l’on s’intéresse, cette fois-ci, au cas
où les deux corps peuvent s’éloigner à l’infini, l’un de l’autre.
Le cas concret est le suivant : le corps, de masse m1 , est une boule, de rayon R, uniformément
chargée, ρ(r) = ρ0 pour r ≤ R et ρ(r) = 0 pour r > R, ainsi de charge totale, q1 = 4πR3 ρ0 /3.
La masse m2 est une charge ponctuelle (un électron, par exemple), de charge q2 .
On se place dans le référentiel du centre de masse.
La charge ponctuelle s’approche de la boule avec une vitesse initiale v∞ dans la direction qui
les relie et d’une distance b, appelée distance de visée, du centre de la boule. Seulement à une
distance infinie les deux charges n’intéragissent pas ; à toute distance finie, r, leur interaction
est donnée par le potentiel effectif,
Veff (r) = q2 Vboule (r) +
L2
L2
≡ U(r) +
2mr 2
2mr 2
avec m ≡ m1 m2 /(m1 + m2 ).
L’angle de rotation de la trajectoire de la particule m1 est déterminé de la façon suivante
r Z
Z t
Z
L
L
L m r
du
dτ 1
p
L = mr 2 θ̇ ⇒ θ(t) = θ(0)+ dτ
=
θ(0)+
dr
=
θ(0)+
mr(τ )2
m
dr r 2
m 2 r(0) u2 E − Veff (u)
0
Pour le cas qui nous intéresse, les deux corps vont se rapprocher jusqu’à une distance rmin ,
déterminée par E = Veff (u), pour, par la suite, s’éloigner. L’angle de déviation, φ, est donné
par l’expression
φ = |π − 2θ∗ |
où θ∗ est donné par l’expression
θ∗ = L
Z
du
∞
rmin
u2
q
2m(E − U(u)) −
L2
u2
Si l’on varie la distance b, l’angle φ variera également. Si la particule possède une distance de
visée entre b et b+ db, son angle de déviation variera entre φ et φ + dφ. Par conéquent, toutes les
particules incidentes de la “couronne” de rayon b et d’épaisseur db seront déviées dans le cône
de direction φ et de largeur dφ. L’aire de cette couronne nous donne, par conséquent, la fraction
des particules incidentes qui seront “observées” entre les directions φ et φ + dφ et s’appelle la
section efficace (différentielle).
Comment calculer φ comme fonction de b ? L’énergie E = m2 v(∞)2 /2 et L = m2 v(∞)b, où
v(∞) est la vitesse de la sonde m2 à l’infini.
1. En employant la loi de Gauß montrer que le potentiel de la boule est égal à
 ρ
0

(3R2 − r 2 )
r<R


 6ε0
Vboule (r) =
3


 ρ0 R

r>R
3ε0 r
2. En introduisant cette expression dans l’intégrale pour l’angle, déterminer si l’intégrale
peut être calculée analytiquement, ou si l’on doit la calculer par la méthode de Simpson.
Tracer φ comme fonction de la distance de visée et discuter quelle est la “taille” de la
boule “aperçue” par le faisceau.
3. OPTIONNEL : Quelle fraction des particules incidentes est captée par la boule ?
4. OPTIONNEL : Quelle fraction des particules traverse l’intérieur de la boule et quelle
est la perte d’énergie ?