Série d’exercices corrigés Prof Année Scolaire : Probabilités

Prof :Khammour.Khalil
Année Scolaire :2013/2014
Série d’exercices corrigés
Probabilités
4ème Sc-exp
Tunis ,Tél :27509639
Exercice n°1 :
Le centre National de la Transfusion sanguine a diffusé le tableau ci-contre donnant la répartition des
groupes sanguins en Tunisie.
Groupe
A
B
AB
O
Pourcentage
31%
18%
5%
46%
I) 1) Quelle est la probabilité qu’un tunisien ait un sang du groupe O ?
2) Quatre donneurs se présentent dans un centre de transfusion sanguine.
a) Quelle est la probabilité qu’un seul parmi les quatre ait un sang du groupe O?
b) Quelle est la probabilité de trouver les quatre groupes sanguins chez ces donneurs?
II) Indépendamment du groupe sanguin, le sang peut posséder le facteur Rhésus. Si le sang d'un individu
possède ce facteur, il est dit de Rhésus positif (Rh+), sinon il est dit de Rhésus négatif (Rh-).
Un individu ayant un sang de groupe O et de Rhésus négatif est appelé un donneur universel.
En Tunisie, 9% des individus du groupe O sont de Rhésus négatif.
1) Montrer que la probabilité qu’un tunisien soit un donneur universel est 0.0414.
2) Dans un centre de transfusion sanguine, n donneurs se présentent.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de donneurs universels parmi les n donneurs.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b)Déterminer l'espérance de X en fonction de n.
c) Déterminer le nombre moyen des donneurs universels parmi 5000 donneurs.
Exercice n°2 :
Une usine d’horlogerie fabrique une série de montres. Au cours de la fabrication peuvent apparaître deux types
de défauts, désignés par a et b. 2% des montres fabriquées présentent le défaut a et 10% le défaut b.
Une montre est tirée au hasard dans la production. On définit les événements suivants :
 A : « la montre tirée présente le défaut a » .
 B : « la montre tirée présente le défaut b » .
 C : « la montre tirée ne présente aucun des deux défauts » .
 D : « la montre tirée présente un et un seul des deux défauts ».
On suppose que les événements A et B sont indépendants.
1) Montrer que la probabilité de l’événement C est égale à 0,882.
2) Calculer la probabilité de l’événement D.
3) Au cours de la fabrication, on prélève au hasard successivement cinq montres.
On considère que le nombre de montres fabriquées est assez grand pour que l’on puisse supposer que les tirages
se font avec remise et sont indépendants.
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de cinq montres, associe le nombre de montres ne présentant
aucun des deux défauts a et b.
On définit l’événement E « quatre montres au moins n’ont aucun défaut ».
Calculer la probabilité de l’événement E. On en donnera une valeur approchée à 10-3 près.
Exercice n°3 :
Chaque matin de classe, Ahmed peut être victime de deux évènements indépendants :
 R : « il n’entend pas son réveil sonner » ;
 S : « Son scooter, mal entretenu, tombe en panne ».
II a observé que chaque jour de classe, la probabilité de R est égale 0,1 et que celle de S est égale à 0,05.
Lorsque qu’au moins l’un des deux évènements se produit, Ahmed est en retard au lycée sinon il est à l’heure.
1) Calculer la probabilité qu’un jour de classe donné, Ahmed entende son réveil sonner et que son scooter
tombe en panne.
2) Calculer la probabilité que Ahmed soit à l’heure au lycée un jour de classe donné.
3) Au cours d’une semaine, Ahmed se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu’il entende son réveil sonner
un jour de classe donné n’influe pas sur le fait qu’il l’entende ou non les jours suivants.
Quelle est la probabilité que Ahmed entende le réveil au moins quatre fois au cours d’une semaine ?
Arrondir le résultat à la quatrième décimale.
Exercice n°4 :
Une urne contient 4 houles blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher.
1) On effectue trois tirages successifs au hasard d’une boule selon la procédure suivante : après chaque
tirage si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans
l’urne. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues à l’issue
des trois tirages. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
a) Quelles sont les valeurs prises par X ?
b) Calculer p(X = 0).
c) On se propose de déterminer maintenant p(X = 1).Montrer que la probabilité que la seule boule noire tirée
8
soit obtenue au second tirage est égale à
.
45
En remarquant que la seule boule noire peut être tirée soit au premier, soit au deuxième, soit au
troisième tirage, calculer p(X = 1).
2) On reprend l’urne dans sa composition initiale : 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables
au toucher. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
On effectue maintenant n tirages successifs au hasard d’une boule dans l’urne selon la même procédure : après
chaque tirage, si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans
l’urne. Soit k un entier compris entre 1 et n.
Soit N l’événement : « la k-ième boule tirée est noire et toutes les autres sont blanches ».
Soit A l’événement : « on obtient une boule blanche dans chacun des k −1 premiers tirages et une boule noire au kième ».
Soit B l’événement : « on obtient une boule blanche dans chacun des (n −k) derniers tirages ».
Calculer P(A), PA ( B ) et P(N).
Exercice n°5 :
Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d’un pays. Elle touche 0,5% de ce cheptel .
1) On choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la probabilité qu’il soit malade ?
2) a) On choisit successivement et au hasard 10 animaux. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre
d’animaux malades parmi eux.
Montrer que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer son espérance mathématique.
b) On désigne par A l’événement « aucun animal n’est malade parmi les 10 ».
On désigne par B l’événement « au moins un animal est malade parmi les 10 ».
Calculer les probabilités de A et de B.
3) On sait que la probabilité qu’un animal ait un test positif à cette maladie sachant qu’il est malade
est 0,8.
Lorsqu’un animal n’est pas malade, la probabilité d’avoir un test négatif est 0,9. On note T l’événement
« avoir un test positif à cette maladie » et M l’événement « être atteint de cette maladie ».
a) Représenter par un arbre pondéré les données de l’énoncé.
b) Calculer la probabilité de l’événement T .
c) Quelle est la probabilité qu’un animal soit malade sachant que le test est positif ?
Exercice n°6 :
Le laboratoire de physique d'un lycée dispose d'un parc d'oscilloscopes identiques.
La durée de vie en années d'un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la loi de durée
de vie sans vieillissement ou encore loi exponentielle de paramètre >0.
1) Sachant que P(X>10) = 0,286 , montrer que = 0,125 au centième près.
Dans la suite de l'exercice, on prendra = 0,125.
2) Calculer la probabilité qu'un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6
mois.
3) Sachant qu'un appareil a déjà fonctionné 8 années, quelle est la probabilité qu'il ait une durée de
vie supérieure à 10 ans.
4) On considère que la durée de vie d'un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils.
Le responsable du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité
qu'au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans ?
Exercice n°7 :
Tous les résultats seront arrondis à 10-2 prés.
Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu'un stylo présente un défaut est égale à
0,1.
1) On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos.
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit
stylos prélèves.
a) On admet que X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.
b) Calculer la probabilité des événements suivants :
A « il n'y a aucun stylo avec un défaut »
B « il y a au moins un stylo avec un défaut »
C « il y a exactement deux stylos avec un défaut ».
2) En vue d'améliorer la qualité du produit vendu, on décide de mettre en place un contrôle qui accepte tous
les stylos sans défaut et 20 % des stylos avec défaut.
On prend au hasard un stylo dans la production. On note :
D l'événement « le stylo présente un défaut », et E l'événement « le stylo est accepte».
a) Construire un arbre traduisant les données de l'énonce.
b) Calculer la probabilité qu'un stylo soit accepte au contrôle.
c) Justifier que la probabilité qu'un stylo ait un défaut sachant qu’il a été accepte au contrôle est égale à
0,022 a 10-3 prés.
3) Apres le contrôle on prélève successivement et avec remise huit stylos parmi les stylos acceptes.
Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos.
Exercice n°8 :
On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d’un composant électronique. On modélise cette
situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle [0; +∞[ : la
probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t semaines est : P  0, t     e   x dx .
t
0
Une étude statistique, montrant qu’environ 50% d’un lot important de ces composants sont encore en
état de marche au bout de 200 semaines, permet de poser P([0; 200[) = 0,5.
ln 2
1) Montrer que  
.
200
2) Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à
300 semaines ? On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au centième près.
3) On admet que la durée de vie moyenne dm de ces composants est la limite quand A tend vers
de

A
0
 xe  x dt .
a) Montrer que

A
 xe   x dt 
 Ae   A  e   A  1
.

b) En déduire dm ; on donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale à la semaine près.
0
Correction :
Exercice n°1 :
I)
1) La probabilité qu’un tunisien ait un sang du groupe O est 0,46.
2) a) Soit P1 la probabilité qu’un seul parmi les quatre ait un sang du groupe O.
P1  C41 (0, 46)1 (1  0, 46)3  0, 29 .
b) Soit P2 la probabilité de trouver les quatre groupes sanguins chez ces donneurs.
P2  P( A)  P( B)  P( AB)  P(O)  4!  0,31 0,18  0, 05  0, 46  24 =0,03.
II)
1)
P(O  Rh )  P( Rh / O)  P(O)  0, 09  0, 46  0, 0414
2) a) X est une variable aléatoire qui suit la loi binomial de paramètres n et p=0,0414.
.
E(X)=n×p=n×0,0414 .
n=5000 ; E(X)=n×p=5000×0,0414=207 .Donc le nombre moyen des donneurs universels parmi 5000 est 207.
Exercice n°2 :
1) A et B sont indépendants, donc P(A∩B) = P(A)× P(B) = 0,02×0,1 = 0,002.
On a P(C) = 1− P(A∪B) = 1−[P(A)+ P(B)− P(A∩B)]= 1−0,02−0,1+0,002 =0,882.
2) On a P(Avoir le défaut a seul) = 0,02−0002 = 0,018.De même P(Avoir le défaut b seul) = 0,1−0002 = 0,098.
Donc P(D) = 0,018+0,098 = 0,116.
3) On a une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,882.
10-3.
Exercice n°3 :
1) Il faut calculer P( R  S )
Les évènements R et S étant manifestement indépendants, R et S le sont aussi.
Donc P( R  S )  P ( R ) × p(S) = (1−0,1)×0,05 = 0,9×0,05 = 0,045.
2) Il faut que Ahmed entende son réveil et que son scooter marche. La probabilité qu’il soit à l’heure est donc égale
à P( R  S ) .( R et S sont deux événements indépendants)
P( R  S )  P( R)  P( S ) = (1−0,1)×(1−0,05) = 0,9×0,95 = 0,855.
3) Si X est la variable aléatoire correspondant au nombre de fois où Ahmed entend son réveil, X suit une loi
binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,9.
La probabilité que Ahmed entende le réveil au moins quatre fois est :
.
Exercice n°4 :
1) a) On dresse l’arbre pondéré suivant :
Les valeurs prises par X sont (de haut en bas) : 0,1, 1, 2, 1, 2, 2.
3
2
b) P( X  0)  P( BBB)   
3
c) La probabilité demandée s’obtient en suivant la troisième branche. Elle est égale à :
2 1 4 8
1 4 4 16
2 2 1 4
; P( BBN )    
P( BNB)     . On a de même P( NBB)    
3 3 5 45
3 5 5 75
3 3 3 27
364
P(X=1)=P(BNB)+P(NBB)+P(BBN)=
.
675
2)
k 1
k 1
2
1 2
 P( A)        k
3
 3 3
 PA(B). On sait donc que l’on a tiré une noire au k-ième tirage. Il reste donc 4 blanches et
4
une noire. On tire (n − k) boules blanches avec une probabilité PA(B)=  
5
 Si seule la k-ième boule tirée est noire c’est que N = A∩B
nk
nk
.
2 k 1  4 
P(N)=P(A∩B)= PA(B) P(A)= k
  .
3
5
Exercice n°5:
5
1) La probabilité est de
 0, 005 .
1000
2) a) On suppose le cheptel assez important, donc le tirage successif de 10 animaux X suit une loi binomiale de
paramètres : n = 10 et de probabilité p = 0,005.
E[X]=n p=0,05.
b)
.
.
3) a) On a l’arbre suivant :
b) On P(T) = PM (T)+ PM T  = 0,005×0,8+0,995×0,1 = 0,004+0,0995 = 0,1035.
c) PT ( M ) 
P (T M ) 0, 005  0,8
 0, 038 .
=
P (T )
0,1035
Exercice n°6 :
1) X suit la loi exponentielle de paramètre λ; donc :
 ln 0,86
 0,125103 .
10
0,1250,5
 0, 061 .
2) 6 mois = 0,5 année. On a donc P( X  0,5)  1  e
3) L’appareil ayant déjà fonctionné 8 ans, la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure dix ans est
P[( X  8) ( X  10)] P( X  10) 1  e 0,12510


 0, 779 .
égale à : P( X 8) ( X  10) 
P ( X  8)
P ( X  8) 1  e 0,1258
4) On a ici un schéma de Bernoulli, avec comme succès le fait pour un oscilloscope d’avoir une durée
de vie supérieure à 10 ans, dont la probabilité est égale à 0,286 et un nombre d’appareils égal à 15.
La probabilité de n’avoir aucun oscilloscope en état de marche au bout de 10 ans est donc : (1−0,286)15 = 0,71415.
Donc inversement la probabilité d’avoir au moins un oscilloscope en état de marche au bout de 10 ans
est égale à : 1−(0,714)15 = 0,994.
Exercice n°7 :
1) a) X suit à la loi binomiale de deux paramètres n=8 et p=0,1.
b)
P  X  10   e10 =0, 286  10  ln 0,86   
P( A)  P( X  0)  C80  0,1 (0,9)8  0, 4310 2
0
P( B)  P( X  1)  1  P ( X  0)  0,5710 2
P(C )  P( X  2)  C82  0,1 (0,9) 6  0,1510 2
2) a) On a l’arbre de probabilité suivant :
2
b) P( E)  PD ( E)  P( D)  P( D)  PD ( E)  0,1 0, 2  0,8 1  0,92 .
P( E D) 0, 02

 0, 0217  0, 022103 .
P( E )
0,92
3) On a à nouveau une épreuve binomiale de paramètre n = 8 et p = 1−0,022 = 0,978.
La probabilité qu’il n’y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos est :
8
C80  0,978 (0,022)0  0,8369  0,84102 .
c) PE ( D) 
Exercice n°8 :
1) P [0, 200[   0,5  
200
0
200
e x dx  0,5   e x  0  0,5  1  e200 
 200   ln 2   
1
1
 e200 
2
2
ln 2
.
200
2) La probabilité cherchée est : 1  
300
0
300
e x dx  1  e x  0  e300  e
300
ln 2
200
 0,35102 .
3) a) Pour calculer l’intégrale on pose :
u ( x)  x  u '( x)  1
v '( x)  e x  v( x)  e x

A
0

 xe
 x
dt    xe
 x
 Ae   A  e   A  1

A
   e
0
0
A
A
 x
dx   Ae
 A
1
1
 1

  e  x   Ae   A  e  A 


 
0
.
b) Comme Lim e A  0 (car  0) alors Lim
A
dm 
A
200
 289 semaines à une semaine prés.
ln 2
 Ae   A  e   A  1


1


200
ln 2