Mécanique III : Mécanique Céleste

XSéquence 12
Mécanique III : Mécanique Céleste
Plan du cours
Chapitre I - Interactions gravitationnelles - Polycopié
Chapitre II - Forces centrales
1 - Définition
2 - Propriétés générales
3 - Exemples de forces centrales
4 - Étude du mouvement
Chapitre III - Problème à deux corps
1 - Interaction et énergie d’interaction
2 - Référentiel barycentrique
3 - Propriétés du mouvement dans R*
4 - Mobile fictif (ou particule réduite)
Chapitre IV - Champ de forces newtonien
1 - Généralités
2 - Étude qualitative des trajectoires
3 - Allures des trajectoires dans le cas attractif
4 - Trajectoires elliptiques : lois de Kepler
Documents complémentaires
•Chapitre polycopié sur l’interaction gravitationnelle ;
•TD sur les systèmes de deux points ;
•TD sur les forces centrales ;
•L’essentiel à retenir ;
•Fiche de colle.

Chapitre Mécanique IX - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2013
Interactions gravitationnelles
Buts du chapitre : Donner la loi de gravitation et constater rapidement, principalement en s’appuyant sur le
chapitre « Interaction électrostatique », qu’un grand nombre de résultats sont conservés. De plus, on remarquera
que tout découle une nouvelle fois de l’expression expérimentale de la force gravitationnelle, tous les autres résultats
étant des conséquences de théorèmes de maths.
I - Loi de gravitation universelle
A. Loi de Newton (1686)
Celle-ci stipule qu’une masse m, placée en A, exerce sur une autre masse M, placée en Bet située à une distance
r, une force −→
F=−K
r2
−−→
AB
AB =−K r2
−→
ur
où Kest une constante que l’on va étudier dans la section suivante et −→ urle vecteur unitaire orienté de Avers B.
La force est donc toujours attractive.
B. Masses gravitationnelle, grave et inerte
Plaçons successivement à une distance rd’une masse mdifférentes masses Mi, et mesurons la force fi. L’ex-
périence montre, comme en électrostatique, que le rapport de cette force par la masse correspondante, fi/Mi, est
une constante qui ne dépend que de r. De plus, le rapport de deux forces fi/fjvaut Mi/Mjet est indépendant de
met de r. Ces deux résultats permettent de définir les masses Micomme des caractéristiques de la force, appelées
masses gravitationelles ou encore masses graves. L’expérience montre alors que la force se met sous la forme
suivante, plus précise que la précédente :
−→
F=−GmM
r2
−→
ur
Gest la constante de gravitation universelle, elle vaut environ G= 6,67.10−11 kg−1.m3.s−2♡♡
Par ailleurs, le principe fondamental de la dynamique donne
m−→ a=∑−→ F
qui fait intervenir une autre masse, dite masse d’inertie, et qui est la grandeur définissant la capacité d’un système
à s’opposer à une modification de son mouvement : en effet, à force constante, l’accélération et donc la modification
du mouvement est plus petite lorsque la masse d’inertie est plus grande. On a donc définit deux masses :
la masse intervenant dans l’expression de la force gravitationnelle, et celle intervenant dans le principe d’inertie.
L’expérience montre que l’écart entre ces deux grandeurs est inférieur aux incertitudes des meilleurs appareils
existants jusqu’à présent. On postule donc que
Masse grave et masse inerte se confondent. C’est un POSTULAT.
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Chapitre Mécanique IX
Ainsi, en 1964, différents tests montrent que ces deux types de masse se confondent au plus à 10−11 près ... On
retient donc finalement
−→
FA→B=−GMm
r2
−→
ur♡♡♡♡
C. Propriétés
Par analogie avec la force électrostatique, la masse joue le rôle de la charge, la force est aussi en 1/r2, et G
remplace 1/4πε0. On a donc les mêmes propriétés que la force électrostatique !
1. Le théorème de superposition ♡
2. L’existence d’un champ de gravitation −→ G=−Gm
r2
−→
ur♡♡♡
qui est le champ gravitationnel créé par une masse mà une distance rde celle-ci. Ce champ n’a, comme
le champ électrostatique, aucune signification réelle concrète mais prend son sens lorsqu’on place une masse
Men un point, car la force est alors immédiatement obtenue comme valant −→ F=M−→ G. On retrouve ici
l’expression du poids ! En effet, −→ P=m−→ g, où gest la gravité à la surface de la Terre, c’est-à-dire la force
gravitationnelle exercée par la Terre sur la masse m.
3. En terme de symétries, c’est un vrai vecteur (vecteur polaire) ♡♡
Cas particulier Le champ d’une distribution à symétrie sphérique est radial, comme on l’a vu dans le
chapitre « Symétries et invariances », sans qu’ici d’ailleurs le caractère polaire du champ soit nécessaire. Ce
cas est très important car la plupart des systèmes massiques qui seront étudiés seront des astres, qui seront
considérés comme étant à symétrie sphérique !
4. Le champ dérive du potentiel scalaire Gp(r) = −Gm
r♡♡
mais surtout, la force dérive de l’énergie potentielle Ep(r) = −GMm
r♡♡♡♡
5. On a le théorème de Gauss
ΦSf (−→ G)=⃝
∫∫Sf
−→
G·d
−→
S=−4πGMintérieure ♡♡♡♡
où Mintérieure est la masse intérieure à la surface. Rappelons que,
pour le dessin ci dessous, le champ gravitationnel que subit le
personnage au fond d’un trou ne dépend que de la masse de la
partie grisée. Les autres « masses » de la partie non hachurée
exercent pourtant bien une force sur le personnage, mais de résul-
tante nulle ; c’est ce que dit le théorème de Gauss entre autres.
Conséquence Le champ d’une distribution à symétrie sphérique
est équivalent, vu de loin, à celui d’une masse ponctuelle portant
toute la masse du volume sphérique considéré.
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Chapitre Mécanique IX - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2013
II - Champ de pesanteur terrestre
Par symétrie sphérique, les lignes de champs sont radiales, et
donc les équipotentielles sont des cercles concentriques. Comme
le champ descend des potentiels, on a les allures ci-contre. Toute-
fois, la Terre tourne sur elle-même en réalité, on va donc définir
le poids autrement que comme la seule force gravitationnelle.
Le poids est défini comme la résultante de la force de gravitation et des forces
d’inertie dues à la rotation terrestre, pour un point à l’équilibre dans le référentiel terrestre.
Or, on a vu que pour un point à l’équilibre dans un référentiel non galiléen, la force de Coriolis est nulle (puisque
la vitesse relative est nulle et que −→ Fc=−2m−→ Ω∧−→ Vr). Le mouvement étant une rotation pure, la force d’entraînement
est de la forme −→ Fe=mω2−−→ HM, et on a le dessin suivant, dans lequel les normes sont délibérement exagérées (la
force d’entraînement étant en fait très faible par rapport à la force de gravitation). On constate que la valeur de
HM dépend de la latitude, la force d’entraînement sera d’autant plus grande que l’on est proche de l’équateur
et éloigné des pôles. C’est pour cela que l’on lance des fusées à l’équateur : c’est là que la force d’entraînement
s’oppose le plus à la force gravitationnelle, et donc c’est à où le poids est « le plus faible ». Pour maigrir, allez à
l’équateur ! Sachant que vous reprendrez votre poids à votre retour en métropole ... La verticale est donc définie
comme la direction du poids, qui n’est pas tout à fait rigoureusement la droite vous reliant au centre de la Terre.
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Chapitre Mécanique IX
Un petit calcul montre en effet que, pour une masse msituée à la surface de la Terre, le rapport entre la force
de gravitation GmMT/RT
2(MTmasse de la Terre et RTrayon de celle-ci) et celle d’inertie d’entraînement
mω2HM (HM étant égale à la distance à l’axe de rotation, donc au plus le rayon terrestre, lorsque la
masse est à l’équateur) vaut
GmMT
RT
2
1
mω2RT
=GMT
ω2RT
3= 4.106
puisque MT= 6.1024 kg,RT= 6400.103met, pour la Terre qui parcourt 2πradians en 24h, ω=
7.10−5rad.s−1.
Dernière remarque : à la surface de la Terre, même pour des distances de l’ordre de l’épaisseur de l’atmosphère,
c’est-à-dire 10km, on est bien en deça de la valeur du rayon terrestre. Dans l’expression du champ de gravitation, on
a donc r≃RT, et donc le champ de gravitation est quasi constant dans l’atmosphère. C’est la valeur de ce champ
que l’on appelle g, ou accélération de la pesanteur, et qui vaut environ 9,81 m.s−2: c’est bien approximativement
la valeur de GMT/RT
2.
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