chapitre3

Chapitre 3
Matrices
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20 CHAPITRE 3. MATRICES
3.1 Op´erations sur les matrices
3.1.1 G´en´eralit´es
D´efinition. Soient p, n ≥1des entiers, une matrice p×nest un tableau de
nombres avec plignes et ncolonnes : A=(aij )=
a11 a12 · · · a1n
.
.
..
.
..
.
.
ap1ap2· · · apn
.
L’ensemble des matrices d´ecrites ci-dessus (i.e. matrices `a plignes et nco-
lonnes) sera not´e Mp,n(K). L’ensemble des matrices carr´ees sera not´e Mn(K).
Exemples : matrices 2 ×3.. a21 =..., vecteurs colonnes, vecteurs lignes...
D´efinition. On dit que 2 matrices Aet Bsont ´egales ssi aij =bij . Si Aet
Bsont deux matrices de Mp,n(K), on d´efinit la somme A+B=(aij +bij )
et le produit par un scalaire λA=(λaij ).
Exemples :...
Th´eor`eme. L’ensemble Mp,n(K)muni des deux lois que l’on vient de d´efinir
est un espace vectoriel.
Une base de cet espace vectoriel est donn´ee par la famille (Eij )(i,j)∈[1,p]×[1,n]
o`u la matrice Eij est la matrice qui ne comporte que des 0et un unique 1`a
l’intersection de la ieme ligne et de la jieme colonne.
On obtient alors dim Mp,n(K)=np.
D´efinition. (Produit matriciel) Si A∈Mq,p(K),B∈Mp,n(K)on d´efinit le
produit C=A·B∈Mq,n(K)par
cij =
p
'
k=1
aikbk,j .
Pr´esentation pratique :
(bkj ↓)
*aik
→+(cij )
Remarque : attention au taille des matrices. Le produit n’est d´efini que
si le nombre de colonne de Aest ´egal au nombre de la ligne de B!!!
Exemples :...
Proposition. Les op´erations sur les matrices v´erifient les r`egles suivantes :

3.1. OP ´ ERATIONS SUR LES MATRICES 21
1. (distributivit´e) A(B+C)=AB +AC et (A+B)C=AC +BC
2. (associativit´e) (AB)C=A(BC)
3. (compatibilit´e) α(AB) = (αA)B=A(αB).
Exemples : matrices nulle et identit´e.
D´efinition.
(i) (aij )est une matrice triangulaire sup´erieure ssi
i>j⇒aij =0, i.e.A =,...∗
0...-.
(ii) (aij )est une matrice triangulaire inf´erieure ssi
i<j⇒aij =0, i.e.A =,...0
∗...-.
Proposition. L’ensemble des matrices triangulaires sup´erieures est une sous-
alg`ebre de Mn(K)(en particulier, le produit de matrices triangulaires su-
p´erieures est triangulaire sup´erieure). Il en est de mˆeme pour les matrices
triangulaires inf´erieures.
Exercice : montrer la proposition pr´ec´edente.
D´efinition. Si A∈Mp,n(K), on d´efinit A#∈Mn,p(K), matrice transpos´ee
de Apar a#
ij =aji. Elle sera not´ee par ATou tA.
Proposition. L’application transpos´ee : A(→ ATest un isomorphisme de
Mp,n(K)sur Mn,p(K), i.e. :
(A+B)T=AT+BTet (λA)T=λAT.
C’est de plus une pseudo-involution (son carr´e est l’identit´e : (AT)T=A).
Proposition. (AB)T=BTAT.
Exercice : montrer les deux propositions pr´ec´edentes.
Remarque : Si Xet Ysont des matrices unicolonnes `a nlignes, le produit
matriciel YTX=.n
i=1 yixirepr´esente en fait le produit scalaire entre Xet
Y.
D´efinition. Dans Mn(K),Aest sym´etrique ssi AT=Aet Aest anti-
sym´etrique ssi AT=−A

22 CHAPITRE 3. MATRICES
Proposition. On a Mn(K)=Sn⊕An, o`u Snd´esigne l’ensemble des ma-
trices sym´etriques et And´esigne l’ensemble des matrices anti-sym´etriques.
Exercices :
(i) Si A=
α1 0 0
0α00
00β1
0 0 1 β
et B=
α0 0 0
1α00
00β0
0 0 1 β
, calculer A2,ABA et
B3.
(ii) Si M=*12
01
+et N=MTalors prouver que MαNβ=I2o`u
(α,β)∈Z2implique α=β= 0.
3.1.2 Syst`eme d’´equations et inversion de matrice
D´efinition. Soit M∈Mn(K). On dit que Mest inversible ssi il existe
N∈Mn(K)tel que MN =NM =In. On note alors N=M−1.
Th´eor`eme. L’ensemble des matrices carr´ees d’ordre nsur Kinversible est
un groupe pour la multiplication des matrices.
Cet ensemble est not´e GL n(K).
Les matrices permettent de compacter des formules et donc de manipuler
de fa¸con plus efficace. Consid´erons un syst`eme d’´equation du type
a11x1+. . . +a1nxn=b1
. . .
ap1x1+. . . +apnxn=bp
On peut r´e´ecrire un tel syst`eme sous forme de matrice en posant :
A:= (aij ,X:= 
x1
.
.
.
xn
et b:= 
b1
.
.
.
bp
et le syst`eme est alors ´equivalent `a :
AX =b.
Un int´erˆet clair du calcul de l’inverse d’une matrice (quand il existe) est
la r´esolution de ce syst`eme lin´eaire. En effet, si Aest inversible, la solution
de AX =best donc X=A−1b.

3.2. MATRICES ET APPLICATIONS LIN´ EAIRES 23
Remarque : Calcul pratique de M−1.Soit M∈Mn(K), on prend
xet ydes vecteurs dans Kntels que Mx =y. On r´esout alors n´equations
`a ninconnues (x1,x
2, . . . , xn) pour trouver xen fonction de y(par pivot de
Gauss). On trouve alors une matrice Ntelle que Ny =xet nous avons alors
M−1=N.
Exercice : si M=
0 1 1
1 0 1
1 1 0
, calculer M−1.
3.2 Matrices et applications lin´eaires
3.2.1 Repr´esentation matricielle
La repr´esentation matricielle n’est pas canonique, elle d´epend des bases
choisies.
– Syst`emes de vecteurs : si xj=.p
i=1 aij ei, alors A=(aij ) est la matrice
des vecteurs (xj) dans la base des (ei) (on ´ecrit les composantes des
vecteurs xjdans chaque colonne).
– Application lin´eaire : si f(ej)=.p
i=1 aij e#
io`u (ej) est une base de E,
(e#
i) est une base de F, alors Aest la matrice de fdans les bases (ej)
et (e#
i) que l’on peut ´ecrire M(f,(ej),(e# i)).
– Traduction de y=f(x), o`u y∈F,x∈E,f∈LK(E, F ), les bases de
Eet F´etant choisies, on peut ´ecrire Y=AX avec A=M(f,(ej),(e#
i)),
Y=M(y, (e#
i)) et X=M(x, (ej)).
Proposition. L’application f∈L(E, F )(→ M(f,(ej),(e#
i)) ∈Mp,n(K)est
un isomorphisme.
Th´eor`eme. M(f)est inversible ssi f∈GL (E)et M(f−1)=M(f)−1.
En g´en´eral, M(f◦g)=M(f)·M(g).
Application : une matrice est inversible ssi la famille des vecteurs co-
lonnes (ou vecteurs lignes) est libre.
3.2.2 Changement de base
D´efinition. Si εj=.n
i=1 pij eialors P=(pij )est la matrice de passage de
la base (ei)i∈[1,n]`a la base (εj)j∈[1,n]. Les colonnes de Psont les composantes
de la nouvelle base dans l’ancienne.
Th´eor`eme. Soit Xla matrices des coordonn´ees de xdans la base (ei),X#
la matrice des coordonn´ees de xdans la base (εj)alors on a la relation