1 Moment cin´ etique en m´ ecanique quantique - rappels *

M1 Physique Atomique – PHY4222 – Semestre 2 2013-2014
Rappels de m´ecanique quantique - Atome d’hydrog`ene - Th´eor`eme du viriel
TD 01
Cours : Signe SEIDELIN, TD : Aurore BACMANN
1 Moment cin´etique en m´ecanique quantique - rappels *
A. Si ~ Lest un moment cin´etique, montrer que
[Lz, x] = i~y[Lz, y] = −i~x[Lz, z]=0
[Lz, px] = i~py[Lz, py] = −i~px[Lz, pz]=0
B. Utiliser ces r´esultats pour montrer que [Lz, Lx] = i~Ly.
C. Evaluer les commutateurs [Lz, r2] et [Lz, p2] (o`u r2=x2+y2+z2et p2=p2
x+p2 y+p2 z).
D. Montrer que le hamiltonien H=p2/(2m) + Vcommute avec les trois composants de ~ Lsi V
ne d´epend que de r. Que peut-on conclure sur l’ensemble H,L2et Lz?
2 Fonction d’onde pour l’hydrog`ene - rappels *
Un atome d’hydrog`ene se trouve `a un instant t= 0 dans une superposition des ´etats stationnaires
ψnlm(~r)
Ψ(~r, t = 0) = 1
√14[2ψ100(~r)−3ψ200(~r) + ψ322 (~r)]
A. La fonction d’onde est-elle fonction propre de l’op´erateur parit´e ?
B. Quelle est la probabilit´e de trouver le syst`eme dans l’´etat 100 ? 200 ? 322 ? Et dans un autre
´etat ?
C. Quelle est la valeur moyenne de l’´energie ? De l’op´erateur ~ L2? De l’op´erateur ~ Lz?
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3 Th´eor`eme du viriel - hydrog`ene *
A. Utilisant la formule pour la valeur moyenne hrkinlm (en terme de Z,net a0), d´eterminer la
valeur moyenne de l’´energie potentielle hVinlm pour l’hydrog`ene .
B. Exprimer hVinlm en fonction de l’´energie totale de l’atome d’hydrog`ene.
C. Utilisant ce r´esultat, ´ecrire la relation entre la valeur moyenne de l’´energie cin´etique hTinlm
et l’´energie potentielle pour l’hydrog`ene.
4 Th´eor`eme du viriel - cas g´en´eral **
A. Montrer que si ψnest un ´etat stationnaire et Aun op´erateur ind´ependant du temps
hψn[A, H]ψninlm = 0
B. Pour A=~r ·~p, ´ecrire hψn[A, H]ψninlm en fonction de l’´energie cin´etique et la quantit´e ~r ·∇V.
C. Ecrire la relation entre hTiet h~r · ∇Vi. Ceci est le th´eor`eme du viriel pour le cas g´en´eral.
D. V´erifier que ce th´eor`eme donne le r´esultat trouv´e dans l’exercice 2 pour le potentiel de l’hy-
drog`ene.
E. D´eterminer le rapport entre hTiet hVipour l’oscillateur harmonique de sym´etrie sph´erique.
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