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Université A. Mira de Béjaia,
Département de Génie Civil
Cours d’Elasticité 2008/2009
4èmeAnnée et Master I
Rappels de Mathématiques
(suite du chapitre 1)
A. Seghir
http://www.freewebs.com/seghir
Table des matières
1 Matrices 2
1.1 Determinant . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Opérations matricielles . . . . . . . . 3
1.3 Matrice de rotation . . . . . . . . . . 4
1.4 Somme de deux rotations . . . . . . 4
1.5 Inverse d’une rotation . . . . . . . . 5
1.6 Rotation 3D . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Transformation linéaire 6
3 Valeurs et vecteurs propres 7
3.1 Diagonalisation d’une matrice . . . 8
4 Tenseurs 9
4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Tenseur d’ordre 1 . . . . . . . . . . . 10
4.3 Tenseur d’ordre 2 . . . . . . . . . . . 11
4.4 Propriétés des tenseurs . . . . . . . . 12
5 Notation indicielle 13
5.1 Convention de somme . . . . . . . . 13
5.2 Indice libre . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3 Symbol de Kronecker . . . . . . . . . 15
5.4 Symbole de Permutation . . . . . . . 15
5.5 Identité E-δ.............. 16
6 Champ tensoriel et différentiation d’un
champ tensoriel 17
6.1 Différentiation d’un vecteur . . . . . 17
6.2 Gradient d’un scalaire . . . . . . . . 18
6.3 Divergence et rotationnel d’un vec-
teur ................... 20
6.4 Laplacien d’un scalaire . . . . . . . . 21
6.5 Gradient d’un vecteur et diver-
gence d’une matrice . . . . . . . . . 21
7 Théorèmes intégrales de Gauss et de
Stokes 22
7.1 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . 22
7.2 Théorème de Stokes . . . . . . . . . 23

1 Matrices
Une matrice m×nest une représentation de nombres sous forme d’un tableau de mlignes et n
colonnes.
A=
a11 a12 ···
a21 a22 ···
··· ··· ···
Chaque élément est désigné par deux indices i,jqui correspondent à sa position dans le tableau.
Si m=n, la matrice est dite carrée et si m=n=1, elle se réduit à un scalaire. Les matrices sont
très utiles pour résoudre simultanément les systèmes d’équations :
a11 x1+a12 x2+···+a1nxn=b1
a21 x1+a22 x2+···+a2nxn=b2
..........................
an1x1+an2x2+···+ann xn=bn
qui peuvent toujours se mettre sous forme matricielle comme suit :
a11 a12 ··· a1n
a21 a22 ··· a2n
··· ··· ··· ···
an1an2··· ann
x1
x2
···
xn
=
b1
b2
···
bn
ou sous forme compacte :
A X =B
A: est la matrice carrée d’ordre ncontenant les coefficients du système linéaire
X: est le vecteur des variables inconnues
B: est le vecteur des variables connues
donc on transforme le vecteur X, en un vecteur Bà l’aide de A, d’où la définition suivante :
Une matrice Mest une application linéaire qui associe à tout vecteur Vune image V0
VM
−−−−→ V0=M V
Une matrice est dite matrice identité si elle associe à tout vecteur Vle vecteur lui-même (elle ne
fait aucune transformation du vecteur), elle est notée I:
V0=I V =V
1.1 Determinant
Le déterminant d’une matrice carrée est un nombre tel que :
si A=a11 est d’ordre 1 (1×1):
det(A) = a11
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si A=ai jest d’ordre 2 (2×2):
det(A) = 
a11 a12
a21 a22
=a11a22 −a21 a12
si A=ai jest d’ordre 3 (3×3):
det(A) = 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=a11 
a22 a23
a32 a33−a12 
a21 a23
a31 a33
+a13 
a21 a22
a31 a32
si A=ai jest d’ordre n(n×n):
det(A) = 
a11 ··· a1n
··· ··· ···
an1··· ann
=a11 
a22 ··· a2n
··· ··· ···
an2··· ann
−···+···± a1n
a21 ··· a2n−1
··· ··· ···
an1··· ann−1
En élasticité, on se limite aux matrices d’ordre 3, (n=3).
1.2 Opérations matricielles
Aet Bsont deux matrices de composantes ai j et bi j et mest un scalaire.
1. Egalité
Deux matrices du même ordre sont égales si et seulement si toutes leurs composantes sont
égales une à une :
A=B:ai j =bi j
2. Transposée
B=AT:bi j =aji
3. Multiplication par un scalaire
B=mA:bi j =maji
4. Multiplication matricielle
C=AB :ci j =X
k
aik bk j
5. Inversion matricielle
A−1inverse de A:A A−1=I
Remarques
1. A B 6=B A
2. det(A B) = det(A)det(B)
3. (A B)T=BTAT
4. det(mA)6=mdet(A)
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1.3 Matrice de rotation
Un point Pde coordonnées (x,y)exprimées dans un repère X Y s’exprime par les coordonnées
(x0,y0)lorsque le repère subi une rotation d’angle θet devient X0Y0.
Les nouvelles coordonnées s’expriment en fonctions des anciennes coordonnées comme suit :
x0=xcos θ+ysin θ
y0=ycos θ−xsin θ
soit sous forme matricielle :
¨x0
y0«=cos(θ)sin(θ) −sin(θ)cos(θ)¨x y«
ou encore, en plus compacte : V0=AV
Aest la matrice de rotation de repère, elle contient les cosinus directeurs des nouveaux axes par
rapport aux anciens axes. Si on note les vecteurs unitaires des axes originaux e1et e2, ceux des
nouveaux axes e0
1et e0 2alors :
ai j =e0
i·ej
Y
X’
Y’
X
θ
x’
y
x
y’
P
e1
e’
1
e2
e’
2
1.4 Somme de deux rotations
Lorsque le repère X0Y0subit lui aussi une rotation d’angle φ, les coordonnées (x0,y0)deviennent
(x00,y00)tel que :
¨x00
y00«=cos(φ)sin(φ) −sin(φ)cos(φ)¨x0 y0«
V00 =BV0
Best la matrice de la seconde rotation.
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En fonction des coordonnées origines (x,y):
¨x00
y00«=cos(φ)sin(φ) −sin(φ)cos(φ) cos(θ)sin(θ) −sin(θ)cos(θ)¨x y«
soit :
V00 =BAV
Le produit matricielle donne :
¨x00
y00«=cos(θ+φ)sin(θ+φ) −sin(θ+φ)cos(θ+φ)¨x y«
1.5 Inverse d’une rotation
Si le repère (X0Y0)subit une rotation d’angle −θ, on retrouve le repère initial (X Y ), d’où :
¨x
y«=cos(−θ)sin(−θ) −sin(−θ)cos(−θ)¨x0 y0«=cos(θ)−sin(θ) sin(θ)cos(θ)¨x0 y0«
V=C V0;C=AT
L’inverse d’une matrice de rotation est égale à sa transposée.
1.6 Rotation 3D
La rotation 2D fait changer les coordonnées xet y, la coordonnées zreste telle qu’elle (z0=z).
On dit que la rotation 2D se fait par rapport à l’axe Zet on écrit le changement de coordonnées
en incluant zcomme suit :
x0
y0
z0
=
cos(θ)sin(θ)0
−sin(θ)cos(θ)0
0 0 1
x
y
z
V0=AzV
De même on écrit les matrices de rotations d’angles θxet θypar rapport aux axes Xet Ycomme
suit :
Ax=
1 0 0
0 cos(θx)sin(θx)
0−sin(θx)cos(θx)
Ay=
cos(θy)0 sin(θy)
0 1 0
−sin(θy)0 cos(θy)
Remarque
Une rotation Ax par rapport à X suivie d’une rotation Ay par rapport à Y est différente de la
rotation Ay suivie de la rotation Ax :
AyAx6=AxAy
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