06extrait maths appliquees

MATHEMATIQUES APPLIQUEES
Equations aux dérivées partielles
Cours et exercices corrigés
Département GPI Xuân MEYER
1ère année Avril 2005
INPT-ENSIACET 118 route de Narbonne 31077 Toulouse cedex 4
Mail : Xuan.Mey[email protected]

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Xuân MEYER APAD - Mathématiques Appliquées

Table des matières
I Différentielles totales - Facteurs intégrants 5
I.1 Rappel sur les dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.1.1 Définition......................................... 5
I.1.2 dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.1.3 Dérivées d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.1.4 Dérivées d’une fonction composée de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.2 Différentiellestotales....................................... 7
I.2.1 Définition......................................... 7
I.2.2 Formes différentielles totales exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.2.3 Application à l’intégration d’équation différentielles du premier ordre . . . . . . . . 8
I.3 FacteursIntégrants........................................ 8
I.3.1 Introduction ....................................... 8
I.3.2 Définition......................................... 9
I.3.3 Détermination de facteurs intégrants monovariables . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.4 Généralisation aux fonctions de plus de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.5 Différentielles totales et fonctions d’Etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II Equations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre 15
II.1 Généralités ............................................ 15
II.2 Intégrales premières d’un système différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
II.2.1 Généralités sur les éq. lin. et homo. aux dérivées partielles du 1er ordre . . . . . . . 18
II.3 Eq. lin. et hom. aux dérivées partielles du 1er ordre : cas d’une fonction de 2 var. . . . . . 19
II.4 Facteur intégrant d’une forme différentielle du premier ordre à deux variables . . . . . . . 20
II.4.1 Détermination d’un facteur intégrant de la forme µ(x, y)............... 20
III Eq. aux dérivées partielles d’ordre n à 2 variables, linéaires, homogènes, à coeff. csts 23
III.1Définition ............................................. 23
III.2Intégration ............................................ 24
III.3Généralisation........................................... 27
III.4 Eq. aux dérivées partielles à 3 variables, linéaires et homogènes, à coeff. csts . . . . . . . . 27
IV Equations non linéaires aux dérivées partielles du premier ordre 31
IV.1 Méthode d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Xuân MEYER APAD - Mathématiques Appliquées

4 TABLE DES MATIÈRES
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Chapitre I
Différentielles totales - Facteurs
intégrants
I.1 Rappel sur les dérivées partielles
I.1.1 Définition
Soit une fonction f(x, y)de deux variables réelles définie dans un voisinage de A = [a, b]; si la fonction
f(x, b)fonction de xseulement a une dérivée pour la valeur ade x, on la note f′
x(a, b)et on l’appelle
dérivée partielle de f(x,y) par rapport à xau point (a,b).
Si en tout point d’un voisinage de A, f′
x(x, y)existe, on définit ainsi une nouvelle fonction, la dérivée
partielle de f(x,y) par rapport à x. On définit de même la dérivée partielle par rapport à y. On note :
f′
x=∂f(x, y)
∂x
et
f′
y=∂f(x, y)
∂y
I.1.2 dérivées successives
De la même façon que précédemment, on peut étudier l’existence de la dérivée par rapport à xde
f′
x(x, y)et de f′
y(x, y); on définit ainsi les dérivées secondes que l’on note f′′
x2=∂2f
∂x2et f′′
xy =∂2f
∂y∂x . On
peut de même définir les dérivées secondes par rapport à y :f′′
y2=∂2f
∂y2et f′′
yx =∂2f
∂x∂y .
Théorème 1 (Théorème de Schwarz) Si en un point de A = [a, b], les dérivées successives f′′
xy et f′′ yx
existent et sont continues, en ce point ces dérivées sont égales :
f′′
xy =f′′
yx soit ∂2f
∂x∂y =∂2f ∂y∂x
Exercice I.1 Déterminer ∂2z
∂x2,∂2z ∂y2,∂2z ∂x∂y ,∂2z ∂y∂x de la fonction z(x, y), :
z=x3 −5xy +y2
solution :
∂z
∂x = 3x2−5y⇒∂2z ∂x2= 6x;∂2z ∂y∂x =−5
∂z
∂y =−5x+ 2y⇒∂2z ∂y2= 2 ; ∂2z ∂x∂y =−5
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