session de rattrapage 1er trimestre 3m

Session de rattrapage 1er trimestre 3M
1. a- Donner la mesure principale de :
17
4
et de
34
3
.
b- Calculer
17
cos 4
et
34
sin 3
.
2. a- Calculer
2
12
.
b- Montrer que :
41
sin ( ) 3 4cos(2 ) cos(4 )
8
x x x  
c- Déduire que :
22
sin 82
.
3. Soit f la fonction définie par :
1 cos(2 )
f( ) sin(2 )
x
xx
a- Déterminer le domaine de définition de f.
b- Montrer que : f(x) = tan(x)
c- En déduire que :
tan( ) 2 3
12
.
Soit f la fonction définie par :
x²-3x+1 si x -2
x-1
x 2 2
f(x)= si x >-2 et x 2
x² 4
1
f(2)=
16
1. Déterminer le domaine de définition de f.
2. Calculer :
-2
lim f(x)
x
. Interpréter graphiquement le résultat.
3. Etudier la continuité de f en 2.
4. Déterminer le domaine de continuité de f.

La courbe si contre est la représentation graphique de
la fonction f(x)= x3  3x + 1.
1. Justifier la continuité de f sur .
2. Dresser le tableau de variation de f
3. Déterminer : f( [ -1,1 ]) , f( ]0,+[).
4. 
solutions  ,  et  appartenant
respectivement à ] -2 ,0 [ , ] 0 , 1 [ et ] 1 , 2 [.
5. Donner une valeur approchée de  à 10-1
près.
6. Donner en fonction de  et  :
3
x 3 1
lim
x
x
x
orthogonal de A sur (BC), H se projette orthogonalement en I sur (AB) et en J sur (AC). ( voir figure)
1. a- Montrer que :
AB.HA=AB.IJ et AC.AH=AC.IJ
b- En remarquant que :
1
AA' AB AC
2
montrer
que :
IJ AA'
c- 
M P tel que: MA.MB MA.MC 0
2. On suppose que le point I vérifie :
AI 2BI 0
.
On donne : AB=3 et IH=2
a- Construire les points A,B,I et H.
b- Montrer que :
HA²+2HB²=18
.
c- Montrer que pour tout point M du plan on a :
MA²+2MB²-3MH²=18+6MH.HI
.
3. 
= M P tel que: MA²+2MB²-3MH²=42
Montrer que  est une droite dont on précisera la direction.
A
B
C
A'
H
I
J

Soit f la fonction définie sur  par :
2
23
:1
1
² 1 : 1
x ax si x
x
x x si x
1) a) Déterminer
lim ( )
xfx
et
lim ( ) 2
xf x x
. Interpréter graphiquement le résultat.
b) Calculer :
lim ( )
xfx
. Interpréter graphiquement le résultat.
c) Etudier suivant les valeurs de a , la limite à gauche en 1 .
d) Pour quel valeur de a f est-elle continue en 1.
2) On prendra : a = 5
a) f est-elle dérivable en 1 ?
te ou les demi-tangentes à ζf 
3) Etudier la dérivabilité de f sur son domaine de définition.
On pose f(x)=
1 cos(2 ) 3sin(2 )xx
1) a) Montrer que :
cos( ) 3sin( ) 2sin( )
6
x x x
.
b) En déduire que :
( ) 4cos( ).sin( )
6
f x x x
, puis déduire la valeur de
cos( )
12
.
c) Résoudre dans  puis dans :
,
22
 : f(x)=0.
2) Soit
:,
22
1 cos(2 )
1 cos(2 ) 3sin(2 )
g
x
xxx
a) Montrer que pour tout
,\
2 2 6
x
, g(x)=
cos( )
2sin( )
6
x
x
.
b) déduire que :
tan( ) 2 3
12
c) Résoudre alors dans  :
2 3 cos( ) sin( ) 0.xx  

h définie sur .
1) Déterminer graphiquement le
domaine de dérivabilité de
2) déterminer :
lim ( )
xhx
,
( ) 1
lim
x
hx
x
,
1
()
lim 1
x
hx
x
.
3) On suppose que h est la fonction
H dérivable sur .
a) sachant que la courbe de (H) passe
par le point A(1,-1) 
de la tangente à (CH) en A.
b) Donner une estimation de H(0,9999).
Soit ABCD un rectangle direct tel que AB=2AD et J le point tel que
1
4
CJ CD
.
1. a- Calculer :
CA.CB
et
CJ.CA
.
b- En déduire que : (BJ) et (AC) sont perpendiculaires.
2. a- 1 des points M du plan vérifiant :
85AM.AC 
.
b- 2 des points M du plan vérifiant :
MA.MC .MD MC².MD
3. 
considère le repère
A, i , j
où
11
84
i AB et j= AD
.
a- Déterminer les coordonnées de H.
b- Calculer la distance du point H à la droite (AC).
Soit ABCD un rectangle direct tel que AB=2AD et J le point tel que
1
4
CJ CD
.
1. a- Calculer :
CA.CB
et
CJ.CA
.
b- En déduire que : (BJ) et (AC) sont perpendiculaires.
2. a- Déterminer 1 des points M du plan vérifiant :
85AM.AC 
.
b- 2 des points M du plan vérifiant :
MA.MC .MD MC².MD
On considère le cercle () de diamètre [AB] tel que AB=8 et soit E le point de () tel que :
1
2
AE AB
et P le
point tel que :
5
2
AP AE
. (BP) recoupe () en F. Les droites (AF) et (BE) se coupent en I.
1. a- Montrer que :
0PI.AB 
.
b- Montrer que :
AB² AE.AP BF.BP
.
2. a- Calculer BP.
b- Calculer :
cos(ABP)
.
3. P / MA²-5ME²=70} (ie : on introduira le barycentre des point
pondérés (A,1) et (E,-5).

O,i,J
On donne la fonction f(x)=
12 3 1
22 2 1 3
1 3 3
(x )² si x ,
x E(x) si x ,
x si x ,
1- déterminer le domaine de définition de f.
2- Etudier la continuité de f en -1 et en 3.
3- Soit h(x) la restriction de f sur ]-1, 
4- Donner le domaine de continuité de f.
5- Montrer que f admet un minimum sur ]-,-1] dont on déterminera.
Dans le plan P, on considère le triangle ABC équilatéral de côté a >0 et on note I le milieu de [BC].
1- Soit G le point définie par :
20GA GB GC  
.Montrer que G est le milieu de [AI].
2- Calculer : GI² en fonction de a .
3- Soit ={ MP tel que : 2MA²+MB²+MC²=2a²}
a- Vérifier que : A  .
b- Déterminer et construire .
4- pour tout point M du plan on pose : (M)=
2MA² MA.MB MA.MC
.
a- Calculer en fonction de a (B).
b- Montrer que : (M)=4(MJ²-JA²) où J est le milieu de [AG].
5
2
M P / (M) a²
1- Vérifier que pour tout x, on a : cos(x) + sin(x) =
24
cos(x )
.
2- Soit f(x) = 1  cos(2x) + sin(2x) pour : x.
a- Calculer :
5
8
f( )
et
49
6
f( )
.
b- Montrer que : f(x)=
22 4
sin(x)cos(x )
.
c- En déduire :
12
sin( )
.
3- Soit g(x)=
244 sin(x ).cos(x )
. Montrer que : g(x)= 1 + sin(2x).
4- Soit h(x)=
12
1 2 2
sin( x)
cos( x) sin( x)
.
a- Déterminer le domaine de définition de h.
b- Simplifier h(x).
c- En déduire que :
21
8
tan( )