control 1 alg 2012 2013

Algèbre1. Contrôle N° 1. Durée 2 h. 2012-2013
Exercice 1 (Questions de cours) (7 pts)
Question 1 (2 pts) :
1. Soit
E
l’ensemble défini par :
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
E a,b , a,b,c , a , e , g,h,k .
= Déterminer les éléments
minimaux et les éléments maximaux de
E
pour la relation d’ordre :
⊂
. (Justifier votre réponse).
2. Soit
σ
la permutation de
6
I
définie par son graphe
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
1,3 , 2,6 , 3,2 , 4,1 , 5,5 , 6,4 .
σ
Γ =
Déterminer le nombre des inversions de
σ
et calculer sa signature.
Question 2 (3 pts) :
Soit
:
f E F
→
une application entre deux ensembles
E
et
F
. Montrer les équivalences suivantes :
a.
f
est surjective.
b.
1
, ( ( )) .
B F f f B B
−
∀ ⊂ =
c. Il existe une application :
g F E
→
, telle que
F
fog id
=.
Question 3 (2 pts) :
Illustrer dans un tableau, la méthode d’Horner pour calculer
(3)
P
du polynôme :
2 4
( ) 1 2 3
P X X X X
= − + + .
Exercice 2 (3 pts)
Soit
: ,
f E E
→
une application sur un ensemble
E
, telle que
.
fofof f
=
Montrer que
f
est injective si et seulement si
f
est surjective.
Exercice 3 (3 pts)
Soit
( ,.)
G
un groupe multiplicatif, tel que :
3
, ,(
x G x e e
∀ ∈ = est l’élément neutre de G).
1. Montrer que
2 2 2
, .
( . ) . ,x y y x
x y G
∀ ∈
=
2. En déduire que
2 2
. . . . ,
, .
x y x y x y
x y G
∀ ∈
=.
Exercice 4 (6 pts)
Soit
( ,.)
G
un groupe multiplicatif d’élément neutre
e
. On rappelle qu’un élément
x
de
G
est d’ordre fini
égal à n
∈
ℕ
, si
n
est le plus petit entier naturel vérifiant :
.
n
x e
=
Soit
2
( , ) .
b
G
a∈ Montrer que :
1. Si
,
a b
et
.
ab
sont d’ordre
2
, alors :
. .
ab ba
=
.
2. Si
a
est d’ordre fini, alors
1
a
−
est aussi d’ordre fini, et ils ont le même ordre.
3. Si
a
est d’ordre fini, alors
1
. .
b a b
−
est aussi d’ordre fini, et ils ont le même ordre.
4. Si
.
ab
est d’ordre fini, alors
.
b a
est aussi d’ordre fini, et ils ont le même ordre.
N.B. 1 point pour la présentation.
Pr : Amrani Bonne chance