control 1 alg 2012 2013

Algèbre1. Contrôle N° 1. Durée 2 h.
2012-2013
Exercice 1 (Questions de cours)
(7 pts)
Question 1 (2 pts) :
1. Soit E l’ensemble défini par : E = {{a, b} , {a, b,c} , {a} , {e} , {g, h, k}}. Déterminer les éléments
minimaux et les éléments maximaux de E pour la relation d’ordre : ⊂ . (Justifier votre réponse).
2. Soit σ la permutation de I 6 définie par son graphe Γσ = {(1,3) , ( 2, 6 ) , ( 3, 2 ) , ( 4,1) , ( 5,5 ) , ( 6, 4 )} .
Déterminer le nombre des inversions de σ et calculer sa signature.
Question 2 (3 pts) :
Soit f : E → F une application entre deux ensembles E et F . Montrer les équivalences suivantes :
a. f est surjective.
b. ∀B ⊂ F , f ( f −1 ( B )) = B.
c. Il existe une application g : F → E , telle que fog = id F .
Question 3 (2 pts) :
Illustrer dans un tableau, la méthode d’Horner pour calculer P (3) du polynôme :
P( X ) = 1 − 2 X + 3 X 2 + X 4 .
Exercice 2
(3 pts)
Soit f : E → E , une application sur un ensemble E , telle que fofof = f .
Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective.
Exercice 3
(3 pts)
Soit (G ,.) un groupe multiplicatif, tel que : ∀x ∈ G, x = e, (e est l’élément neutre de G).
1. Montrer que ( x. y ) 2 = y 2 .x 2 , ∀x, y ∈ G.
3
2. En déduire que x. y 2 .x = y.x 2 . y, ∀x, y ∈ G. .
Exercice 4
(6 pts)
Soit (G ,.) un groupe multiplicatif d’élément neutre e . On rappelle qu’un élément x de G est d’ordre fini
égal à n ∈ ℕ , si n est le plus petit entier naturel vérifiant : x n = e.
Soit (a, b) ∈ G 2 . Montrer que :
1. Si a, b et a.b sont d’ordre 2 , alors : a.b = b.a .
2. Si a est d’ordre fini, alors a −1 est aussi d’ordre fini, et ils ont le même ordre.
3. Si a est d’ordre fini, alors b.a.b −1 est aussi d’ordre fini, et ils ont le même ordre.
4. Si a.b est d’ordre fini, alors b.a est aussi d’ordre fini, et ils ont le même ordre.
N.B. 1 point pour la présentation.
Pr : Amrani
Bonne chance