Centre Universitaire de Mila Année universitair e 2023 / 2024 Institut des Mathématiques et Informatique Semestre Domaine: LMD-Math (1"'année) Analyse I Durée 1 â 30 I Examen 1010712024 Exercice 1: (6 pts) Soient (u") et (u,) deux suites numériques définies par la donnée de zs, u6 âvêc 0 ( uo ( u6 et les formules de récurrence: 2unun un*r: ,t!,n et unrr:u*!'n. t'-L l,un 1) Montrer que 2 <,un. vn € N, o l,trn @ 2) Montrer que les deux suites (2,) et (u,) sont convergentes. --=\ (Qg 3) En déduire qu'elles convergent vers la même limite. Calculer cette lim ite. @ Exercice 2: (7.5 pts) L) Calculer les limites suivantes: @ ,ê\ ,irr, @' : ,r_ ;';î) \fr + r _ \Æ=n' 2) Soit g une fonction définie sur IR par (cos gr) [m ln avec a)b e IR.. ;a'ô h(cosbr) : ( , \ : | r- 1 g\r) \ lclnr*ô @ si r<e si r)e - Déterminer les nombres réels a et b pour que g soit dérivable sur IR. Calculer o'(r). Exercice 3: (6.5 pts) 1) Montrer que: #< 2) Montrer q"" i# h(n+ 1) - ln(n) 1 <-tm Vn, € N". est irrationnel. 3) Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure; si elles existent, de la partie A de R définie par: A:{,i, H; nez} Bon courage 4n h,*AæT f:la,l,â, ; ;;, M,}*Lo.n",,.'-,eal,t*né.unt'',e*,*'f-,*:Vn".t'a|a1Ù-n(*n I 1to Qil, *l-V^A.tl'q.l^.t-- çt4* A(Urn 11 4^, u,)a /+æ^Do olrç,^c- u-n+,=?#:fr,> a "Lar -*W-2o >-^rr,*Êù2.,1,-> Quæ z" A ,nt/t .'''''''''''''''''''''''.''''.'.''.''.^V,^zi.:. &) m4g*J-arro,,^,- f* (Ur) el (U" !*u,r{-""=lfr#t.-4 ) ggwL A!""rue,*Wl*sz 1(J ": n + Xln Xil9nn,*?9^=!"3iln'-u"=q<o(ea*Z/^>,)',>4 * &U.L (u")oll- hun),= ,!^"- g;L - (u^l wL umr"t*jn V* *tr "!fr* (w^:l 8^ >**L "t/- J;* (wn)& MÆ+l^2v1* Uo t !Lu" =€) ^l 'r1 ê t ,ffiuL .>o Un+.t.U,1l.,uE, ,eL ,r^.--,pa3-^,e"L l'/,-t9-0--)'t---lÆ Ê; , fru"*. ^'t* /-tpr.rrr*n^,^.^ t{4 44 Wr*. {J-1"*4.* JE) ; -/I .C,*L^-\ çÇu 4= o1n e*'- 8'=J a.: 4 'ôt*' ,^à a . . = A'\ - L n>-e"* 4- = a.* L .*- k* ^(oTi:fr;i:i; z1*.-4 ë ï-.ffi A Kjl &/ .... 7-7e...'.*......-..e ?. L.*4 -c'-L - L':-{-.d -e"d*{-jL îbta^ -Zt? =-.-*n uae ',,\-- e;5-.e* @9 ^-t\ -(_:-__ * o LLr q\c^r ô r< ^^,à 'd 'd - /) ,7 L lè "11^ *iL-,l'L^c 4^,u f,n,rr*4@L yL J;;. 'JL )o.*u\n, n+4f "rr!n;* s,e^',u' l^!*h A c'=''ot/I A/r!^ Jb"'à Z"f -n'F,) e I*oLp,' {W =Q^*àhyh;h 1.; l â.eJhtn*4L,@=tLe)=L@ a û@ û- :) 31 +gP @ >4,^,!^31 Z = 3 t.-tteSS"2l{z pî^z_ ) f" z1 =, A{ -\ -^ Tu'1 &f@ t/*< ,2{,w^{,v"-qi_ç fr."=" 4