Fondements de Logique pour l`Informatique

Éléments de Logique
pour le cours de 2ème année Ensimag:
Fondements de Logique pour l’Informatique
Thierry Boy de la Tour Mnacho Echenim
Année 2015-2016

Table des matières
1 Inférences et logiques 9
1.1 Introduction................................ 9
1.2 Systèmes d’inférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Logiques.................................. 15
1.4 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Logique propositionnelle 23
2.1 Définitions................................. 23
2.2 Un système d’inférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Formeclausale .............................. 30
2.4 Renommage................................ 34
2.5 Résolution................................. 36
2.6 DPLL ................................... 41
2.7 Compacité................................. 45
3 La logique du premier ordre 47
3.1 Termes, atomes et formules du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Interprétations, valuations, substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 La relation de satisfaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Le théorème de Herbrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5 Formes normales et skolemisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6 Conséquences générales du théorème de Herbrand . . . . . . . . . . . 74
3.7 Unification................................. 77
3.8 Formeclausale .............................. 83
3.9 Résolution et factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4 Exercices corrigés 93
3

4TABLE DES MATIÈRES
Ce polycopié est constitué des définitions et preuves des résultats qui seront étu-
diés dans le cours de Logique au premier semestre de la deuxième année à l’Ensimag.
C’est un support de cours qui doit servir de référence aux étudiants et qui n’est pas
destiné à remplacer la présence en classe. Il est divisé en trois chapitres :
Inférences et logiques. Ce chapitre permet de comprendre comment des énoncés
peuvent être engendrés à partir d’autres énoncés (systèmes d’inférence), com-
ment attribuer une valeur de vérité à ces énoncés (logiques), et les liens entre
ces deux notions. Ce chapitre assez abstrait sert de base pour tout ce qui suit
dans le cours de logique.
La logique propositionnelle. Ce chapitre définit dans un cadre général les notions
connues de variables booléennes, de tables de vérité... Puis différents systèmes
d’inférence permettant de tester efficacement la satisfaisabilité d’une formule
sont présentés, ainsi que le théorème fondamental de compacité de la logique
propositionnelle.
La logique du premier ordre Ce chapitre définit de façon formelle la logique du
premier ordre, puis présente les théorèmes de Herbrand et de Löwenheim-
Skolem avant d’introduire l’opération d’unification qui est très utilisée dans
de nombreux domaines (Bases de Données, IA...), et la règle de résolution
pour la logique du premier ordre.
Ceci est la deuxième version du polycopié, il est certain qu’il contient encore des
coquilles. Nous sommes reconnaissants à Cyril Lorenzetto pour sa relecture de la
première version et la détection de nombreuses coquilles ; nous serons reconnaissants
à tout lecteur qui nous signalera les coquilles restantes.

TABLE DES MATIÈRES 5
Prolégomènes sur les ensembles
Ce cours de logique s’appuye sur certaines notions issues des mathématiques
modernes qui ne sont plus systématiquement enseignées et font parfois défaut aux
étudiants. S’il n’est pas question de faire de tout ingénieur un mathématicien, il faut
bien constater que l’informatique fait un usage intensif de notions comme les entiers,
les nombres réels, les tableaux (qui ressemblent étrangement à des fonctions), les
listes, les mots, les pointeurs (qui permettent de former des graphes), etc. Ce n’est
pas un hasard si ces objets sont tous de nature mathématique. Écrire un algorithme
c’est décrire une infinité de calculs possibles et les mathématiques sont le seul outil
intellectuel permettant d’assoir les raisonnements indispensables à une tâche aussi
complexe. Une des causes de cette complexité est la nécessité de penser l’infini.
Or cette notion est historiquement l’une des plus controversée depuis l’antiquité
et celle qui a fait dire le plus d’âneries teintées de mysticisme à des penseurs pourtant
brillants, au point que Galilée considérait qu’il fallait l’éviter dans les raisonnements
car elle menait inévitablement à des contradictions. Il est donc illusoire d’espérer
faire mieux que ces antiques génies sans se donner des moyens dont ils ne disposaient
pas.
Car ces moyens existent, ils ont été découverts au XIXème siècle par Georg Can-
tor et ils ont permis dans une large mesure de résoudre le problème de l’infini. Et
l’outil qui permet de penser l’infini est précisément celui qui est au centre des ma-
thématiques modernes, c’est la théorie des ensembles. S’il n’est pas question ici de
développer cette théorie puisqu’on ne saurait le faire en quelques pages, il nous a ce-
pendant semblé utile pour la compréhension du cours d’en décrire certains aspects.
La notion d’ensemble fait partie de celles qui sont considérées comme suffisam-
ment simples pour ne pas être définies bien qu’on y ait constamment recours. Tout le
monde connaît l’ensemble vide ∅, l’ensemble Ndes entiers naturels et sait qu’une fi-
gure géométrique est (ou peut être vue comme) un ensemble de points. Les ensembles
sont ainsi perçus comme des boîtes contenant divers objets mathématiques et notre
expérience du monde physique est censée nous fournir une intuition suffisante de ce
que sont les propriétés de ces boîtes.
Pourtant, s’il est évident que l’ensemble Ades multiples de 2 et l’ensemble Bdes
multiples de 3 sont distincts, ces boîtes contiennent toutes deux l’entier 6 (qui ne
s’est pas dédoublé lorsqu’on a défini Aet B). C’est même la boîte des multiples de 6
qui est entièrement contenue dans les boîtes Aet B. On voit ainsi que les frontières
de ces boîtes s’interpénètrent, ce qui nous éloigne radicalement du monde physique
et laisse notre intuition un peu en déshérence 1. Sommes-nous alors libres d’imaginer
et de définir ces frontières comme bon nous semble ?
C’est ce qu’on a pu croire au XIXème siècle, mais la découverte du paradoxe
de Russell au début du XXème siècle a montré que c’était une impasse. Il consiste
1. on utilise aussi les diagrammes de Venn comme support géométrique à l’intuition, mais ils
deviennent vite illisibles ; on dépasse rarement le diagramme à quatre ensembles.