Variables aléatoires discrètes Samy Tindel Université de Lorraine Telecom Nancy - Module MAP Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 1 / 56 Plan 1 Définitions 2 Variables aléatoires discrètes usuelles 3 Moments des variables aléatoires 4 Vecteurs aléatoires discrets 5 Indépendance 6 Dépendance linéaire Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 2 / 56 Plan 1 Définitions 2 Variables aléatoires discrètes usuelles 3 Moments des variables aléatoires 4 Vecteurs aléatoires discrets 5 Indépendance 6 Dépendance linéaire Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 3 / 56 Introduction Expérience: lancer de 3 pièces non biaisées. Modélisation: Ω = {p, f }3 , P({ω}) = 1 8 Résultat de l’expérience: on s’intéresse à la quantité X (ω) = "Nombre de face obtenu quand ω est réalisée On obtient ω X (ω) (p, p, p) 0 (p, p, f ) 1 (p, f , p) 1 (p, f , f ) 2 Samy T. (IECL) ω X (ω) (f , p, p) 1 (f , p, f ) 2 (f , f , p) 2 (f , f , f ) 3 TN - V.a. discrètes Module MAP 4 / 56 Introduction (2) Type d’information d’intérêt: On s’intéresse souvent à X comme application, i.e. X : Ω → {0, 1, 2, 3}. On a alors X −1 ({2}) = {(p, f , f ), (f , p, f ), (f , f , p)} et 3 P X −1 ({2}) = . 8 On essaiera de formaliser ce genre de question. Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 5 / 56 Variable aléatoire discrète Définition Soit (Ω, A, P) un espace de probabilités. Soit E un ensemble dénombrable (N, Nd , Z, Zd , Q, Qd ). Une application X : Ω → E se nomme variable aléatoire discrète. Remarque: Ici encore, pour être rigoureux, il faudrait introduire la notion de mesurabilité. Exemple: nombre de face sur 3 lancers de pièce ,→ Ω = {p, f }3 et E = {0, 1, 2, 3}. Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 6 / 56 Mesure image Type d’information d’intérêt: pour x ∈ E , calcul de P({ω; X (ω) = x }) Abus de notation: on note P({ω; X (ω) = x }) = PX ({x })= P(X = x ) Définition: PX est une probabilité sur E . On la nomme mesure image. On a souvent accès à (E , PX ) au lieu de (Ω, P) Correspondance avec le monde réel: Ω = espace des expériences possibles X = résultat ou résumé de l’expérience Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 7 / 56 Loi d’une v.a. discrète Définition Soit X : Ω → E une v.a. discrète. On suppose que E = {xi ; i ≥ 1}. L’ensemble {P(X = xi ); i ≥ 1} se nomme loi de probabilités de X Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 8 / 56 Exemple Exemple: nombre de face sur 3 lancers de pièce ,→ Ω = {p, f }3 et E = {0, 1, 2, 3}. X (ω) ω (p, p, p) 0 (p, p, f ) 1 (p, f , p) 1 (p, f , f ) 2 ω X (ω) (f , p, p) 1 (f , p, f ) 2 (f , f , p) 2 (f , f , f ) 3 3 P(X = 1) = , 8 3 P(X = 2) = , 8 Loi de X : 1 P(X = 0) = , 8 Remarque: on a Samy T. (IECL) P3 i=0 P(X = 3) = 1 8 P(X = i) = 1 TN - V.a. discrètes Module MAP 9 / 56 Plan 1 Définitions 2 Variables aléatoires discrètes usuelles 3 Moments des variables aléatoires 4 Vecteurs aléatoires discrets 5 Indépendance 6 Dépendance linéaire Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 10 / 56 Loi de Bernoulli Notation: B(p) pour p ∈]0, 1[ Ensemble des valeurs: E = {0, 1} Loi: P(X = 0) = 1 − p, P(X = 1) = p Utilisation: (i) Succès dans un jeu binaire Exemple 1: pile/face. X = 1 si pile, X = 0 sinon ⇒ X ∼ B(1/2) Exemple 2: jeu de dé. X = 1 si résultat = 3, X = 0 sinon ⇒ X ∼ B(1/6) (ii) Réponse oui/non dans un sondage Exemple: X = 1 si une personne approuve la réforme des retraites, X = 0 sinon ⇒ X ∼ B(p), avec p inconnu Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 11 / 56 Loi Binomiale Notation: Bin(n, p), pour n ∈ N∗ , p ∈]0, 1[ Ensemble des valeurs: E = {0, 1, . . . , n} Loi: ! n k P(X = k) = p (1 − p)n−k , k 0≤k≤n Utilisation: (i) Nombre de succès dans une épreuve de Bernoulli répétée n fois indépendemment Exemple: On lance un dé 9 fois. X = nombre de 3 obtenus ⇒ X ∼ Bin(9, 1/6), P(X = 2) = 0.28 (ii) Comptage d’un caractère dans un tirage avec remise Exemple: lot de 1000 pantalons dont 10% défectueux On tire 15 pantalons avec remise. X = nombre de pantalons défectueux obtenus ⇒ X ∼ Bin(15, 1/10) Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 12 / 56 Loi Binomiale: illustration (1) 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0 1 2 3 4 5 6 Figure : Loi Bin(6; 0.5). Abscisses: k. Ordonnées: P(X = k) Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 13 / 56 Loi Binomiale: illustration (2) 0.15 0.10 0.05 0.00 0 5 10 15 20 25 30 Figure : Loi Bin(30; 0.5). Abscisses: k. Ordonnées: P(X = k) Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 14 / 56 Loi géométrique Notation: G(p) pour p ∈]0, 1[ Ensemble des valeurs: E = N∗ Loi: P(X = k) = p (1 − p)k−1 , k≥1 Utilisation: Instant de 1er succès dans un jeu binaire Exemple 2: jeu de dé. X = 1er lancer pour lequel résultat = 6 ⇒ X ∼ G(1/6), P(X = 5) = 0.08 Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 15 / 56 Loi de Poisson Notation: P(λ) pour λ ∈ R+ Ensemble des valeurs: E = N Loi: P(X = k) = e −λ Samy T. (IECL) λk , k! TN - V.a. discrètes k≥0 Module MAP 16 / 56 Loi de Poisson (2) Utilisation de la Nombre de Nombre de Nombre de loi de Poisson (exemples): clients entrant dans un magasin de 14h à 17h bus passant à un arrêt en 35 mn requêtes sur un serveur de minuit à 6h Règle empirique: Si n → ∞, p → 0 et np → λ, on approche Bin(n, p) par P(λ). En pratique, cette règle est appliquée pour p ≤ 0.1 et np ≤ 5 Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 17 / 56 Loi de Poisson: illustration (1) 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0 5 10 15 Figure : Loi P(2). Abscisses: k. Ordonnées: P(X = k) Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 18 / 56 Loi de Poisson: illustration (2) 0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0 5 10 15 Figure : Loi P(5). Abscisses: k. Ordonnées: P(X = k) Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 19 / 56 Plan 1 Définitions 2 Variables aléatoires discrètes usuelles 3 Moments des variables aléatoires 4 Vecteurs aléatoires discrets 5 Indépendance 6 Dépendance linéaire Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 20 / 56 Espérance mathématique Définition Soit X : Ω → E une v.a. discrète. On suppose que E = {xi ; i ≥ 1}. Soit f : E → R. On pose E[f (X )] = X f (xi ) P(X = xi ). i≥1 Cette quantité se nomme espérance de f (X ). Remarque: Il faut en principe vérifier que la série définissant E[f (X )] est absolument convergente, i.e. X |f (xi )| P(X = xi ) < ∞. i≥1 Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 21 / 56 Cas particuliers importants Soit X : Ω → E une v.a. discrète. On suppose que E = {xi ; i ≥ 1}. (1) Espérance de X : E[X ] = X xi P(X = xi ). i≥1 (2) Moment d’ordre r (resp. centré d’ordre r ) de X , pour r > 0: E[X r ] = X r X xir P(X = xi ) i≥1 E [(X − E[X ]) ] = (xi − E[X ])r P(X = xi ). i≥1 (3) Variance de X : h i Var(X ) = E (X − E[X ])2 = (xi − E[X ])2 P(X = xi ). X i≥1 Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 22 / 56 Exemple de calcul Exemple: soit X ∼ B(p) avec p ∈]0, 1[. On a E = {0, 1} et E[X ] = 1 X i P(X = i) = 0 × P(X = 0) + 1 × P(X = 1)= p. i=0 On a aussi Var(X ) = 1 X (i − E[X ])2 P(X = i) = p 2 (1 − p) + (1 − p)2 p i=0 = p(1 − p)[p + 1 − p]= p(1 − p) Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 23 / 56 Interprétation Espérance: Pour une v.a. X , l’espérance E[X ] représente la valeur moyenne que prend X . Variance: Pour une v.a. X , l’espérance Var(X ) représente la dispersion de X autour de sa moyenne. Plus Var(X ) est grande et Plus le système représenté par X est aléatoire Moins ce système est prévisible Ecart type: pour des raisons d’unités physiques, il est plus clair de raisonner en termes d’écart type σX , avec σX := Samy T. (IECL) q Var(X ). TN - V.a. discrètes Module MAP 24 / 56 Interprétation (2) Illustration (de stat descriptive): On veut comparer les performances de 2 joueurs de foot sur les 5 derniers match (de difficulté similaire). Ribéry Messi 5 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Rappel: pour des données {xi ; i ≤ n}, on a P Moyenne empirique: x̄n = n1 ni=1 xi P Variance empirique: s 2 = n1 ni=1 (xi − x̄n )2 q n Ecart type: sn = sn2 Sur nos données: x̄R = x̄M = 1 but/match ,→ Même rendement moyen En revanche, sR = 2 buts/match alors que sM = 0 but/match ,→ M plus fiable (moins aléatoire) que R Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 25 / 56 Interprétation (3) Illustration 2: Soit X ∼ B(p). On a vu que Var(X ) = p(1 − p) := ϕ(p) La fonction ϕ : [0, 1] → R+ est telle que ϕ est minimum et nulle en p = 0 et p = 1 ϕ est maximum et vaut 1/4 en p = 1/2 Or p = 0 ou 1 représente le résultat le plus déterministe alors que p = 1/2 représente le résultat le plus incertain. Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 26 / 56 Propriétés de l’espérance Proposition Soit X : Ω → E une variable aléatoire. Soient f , g : E → R et a, b ∈ R. Alors (1) On a E [a f (X ) + b g(X )] = a E [f (X )] + b E [g(X )] (2) Dans le cas particulier affine, on a E[aX + b] = a E[X ] + b, Samy T. (IECL) et Var(aX + b) = a2 Var(X ) TN - V.a. discrètes Module MAP 27 / 56 Propriétés de l’espérance (2) Proposition (1) Soit X : Ω → E une variable aléatoire. Alors i h Var(X ) = E X 2 − (E[X ])2 (2) Soient d variables aléatoires X1 , . . . , Xd . Alors d X E Xj j=1 = d X E[Xj ] j=1 Démonstration de (1): On a, si m := E[X ], h Var(X ) = E (X − m)2 h i = E X 2 − 2m X + m2 h i i = E X 2 − m2 Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 28 / 56 Propriétés de l’espérance (3) Définition: Soit A ⊂ E . La fonction 1A : E → {0, 1} est définie par 1A (x ) = 1 si x ∈ A, et 1A (x ) = 0 si x 6∈ A Proposition Soit X : Ω → E une variable aléatoire. Soit A ⊂ E . Alors E[1A (X )] = P(X ∈ A) Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 29 / 56 Valeurs pour les v.a. usuelles Tableau récapitulatif: Loi E[X ] Var(X ) B(p) p p(1 − p) Bin(n, p) n p n p(1 − p) 1−p 1 G(p) p p2 P(λ) λ λ Calculs: au tableau (et à savoir faire) Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 30 / 56 Plan 1 Définitions 2 Variables aléatoires discrètes usuelles 3 Moments des variables aléatoires 4 Vecteurs aléatoires discrets 5 Indépendance 6 Dépendance linéaire Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 31 / 56 Définitions de base Définition Soient d v.a. discrètes X1 , . . . , Xd définies sur (Ω, A, P). (1) On pose, pour ω ∈ Ω, X (ω) = (X1 (ω), . . . , Xd (ω)) X se nomme vecteur aléatoire discret de dimension d (2) Soit Ei l’ensemble des valeurs prises par Xi . La loi de probabilité conjointe de X est donnée par {P (X = (x1 , . . . , xd )) ; (x1 , . . . , xd ) ∈ E1 × E2 × · · · × Ed } (3) Soit X un vecteur aléatoire discret de dimension d. La loi marginale de X1 est donnée par P (X1 = x1 ) = X P (X = (x1 , x2 , . . . , xd )) (x2 ,...,xd )∈E2 ×···×Ed Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 32 / 56 Application (1) Expérience: lancer de 3 pièces non biaisées. ,→ Ω = {p, f }3 , P({ω}) = 18 Vecteur aléatoire: on pose X (ω) = (X1 (ω), X2 (ω)) avec X1 (ω) = 1A (ω) et A = "On obtient au plus une fois pile" X2 (ω) = 1B (ω) et B = "On obtient au moins une fois pile et au moins une fois face" On obtient ω (p, p, p) (p, p, f ) (p, f , p) (p, f , f ) Samy T. (IECL) X (ω) (0, 0) (0, 1) (0, 1) (1, 1) ω (f , p, p) (f , p, f ) (f , f , p) (f , f , f ) TN - V.a. discrètes X (ω) (0, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 0) Module MAP 33 / 56 Application (2) Loi de probabilité conjointe de X : 1 , 8 1 P (X = (1, 0)) = , 8 P (X = (0, 0)) = 3 8 3 P (X = (1, 1)) = 8 P (X = (0, 1)) = Loi de probabilité marginale de X1 : P(X1 = 0) = 1 X P (X = (0, i)) i=0 = P (X = (0, 0)) + P (X = (0, 1)) 1 1 3 = + = 8 8 2 1 P(X1 = 1) = 2 Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 34 / 56 Application (3) Loi de probabilité marginale de X2 : 1 P(X2 = 0) = , 4 P(X2 = 1) = 3 4 Remarque: On a X1 ∼ B(1/2) et X2 ∼ B(3/4) Tableau récapitulatif: 0 1 X1 \X2 0 1/8 3/8 1 1/8 3/8 Marg. X2 1/4 3/4 Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Marg. X1 1/2 1/2 1 Module MAP 35 / 56 Plan 1 Définitions 2 Variables aléatoires discrètes usuelles 3 Moments des variables aléatoires 4 Vecteurs aléatoires discrets 5 Indépendance 6 Dépendance linéaire Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 36 / 56 Indépendance Définition Soient d v.a. discrètes X1 , . . . , Xd définies sur (Ω, A, P). On suppose que Xi : Ω → Ei On dit que X1 , . . . , Xd sont indépendantes si P (X1 = x1 , . . . , Xd = xd ) := P ((X1 = x1 ) ∩ · · · ∩ (Xd = xd )) = d Y P(Xi = xi ), i=1 pour tout d-uplé (x1 , . . . , xd ) ∈ E1 × · · · × Ed . Remarque: Les v.a. sont indépendantes si les événements {ω ∈ Ω; Xi (ω) = xi } , (x1 , . . . , xd ) ∈ E1 × · · · × Ed sont indépendants Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 37 / 56 Application (1) Expérience: lancer de 3 pièces non biaisées. ,→ Ω = {p, f }3 , P({ω}) = 18 Vecteur aléatoire: on pose X (ω) = (X1 (ω), X2 (ω)) avec X1 (ω) = 1A (ω) et A = "On obtient au plus une fois pile" X2 (ω) = 1B (ω) et B = "On obtient au moins une fois pile et au moins une fois face" On a vu: X1 \X2 0 1 Marg. X1 0 1/8 3/8 1/2 1 1/8 3/8 1/2 Marg. X2 1/4 3/4 1 Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 38 / 56 Application (2) On vérifie (avec le tableau) que P (X = (i, j)) = P (X1 = i) P (X2 = j) , pour tout i, j ∈ {0, 1} On a donc bien X1 ⊥⊥ X2 . Remarque: Cette indépendance est due au fait que A ⊥⊥ B. ,→ cf. Probabilités Elémentaires, Section 5, Exemple 2. Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 39 / 56 Somme de v.a. indépendantes Théorème Soient X1 , X2 : Ω → N deux v.a. indépendantes. On pose S = X1 + X2 . Alors S est une v.a. dans N, de loi P(S = s) = X P(X1 = j) P(X2 = s − j). j≤s Démonstration: On a P(S = s) = P (X1 + X2 = s) = P [ ((X1 = j) ∩ (X2 = s − j)) j≤s = X P (X1 = j, X2 = s − j) j≤s = X P(X1 = j) P(X2 = s − j) (Indépendance) j≤s Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 40 / 56 Sommes de v.a. de Bernoulli Proposition Soit {Xi ; 1 ≤ i ≤ n} v.a. indépendantes, de loi B(p). P On pose Sn = ni=1 Xi . Alors S ∼ Bin(n, p) Démonstration: par récurrence. Supposons que ! P(Sn−1 n−1 k = k) = p (1 − p)n−1−k , k 0 ≤ k ≤ n − 1. On utilise la décomposition Sn = Sn−1 + Xn , Samy T. (IECL) avec Sn−1 ⊥⊥ Xn TN - V.a. discrètes Module MAP 41 / 56 Démonstration Calcul: Pour 1 ≤ k ≤ n − 1, P(Sn = k) = P (Sn−1 + Xn ) = k X P (Sn−1 = j) P (Xn = k − j) j=0 = P (Xn = 0) P (Sn−1 = k) + P (Xn = 1) P (Sn−1 = k − 1) ! ! n−1 k n − 1 k−1 = (1 − p) p (1 − p)n−1−k + p p (1 − p)n−k k k −1 ! n k = p (1 − p)n−k k Pour k = 0 et n: même type de raisonnement. L’hypothèse de récurrence est vérifiée pour n = 1 (car S1 ∼ B(p)) ,→ Proposition démontrée. Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 42 / 56 Somme de v.a. de Poisson Proposition Soient X1 , X2 deux v.a. indépendantes. On suppose X1 ∼ P(λ1 ) et X2 ∼ P(λ2 ). Soit X = X1 + X2 . Alors X ∼ P(λ) avec λ = λ1 + λ2 . Exemple type d’application: Soit un arrêt où passent les bus 156 et 354. On pose X1 := Nombre de 156 passés en 20 mn X2 := Nombre de 354 passés en 20 mn X := Nombre de bus passés en 20 mn Sous les hypothèses de la proposition on a X ∼ P(λ) avec λ = λ1 + λ2 . Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 43 / 56 Indépendance et espérance Proposition Soient d v.a. indépendantes X1 , . . . , Xd : Ω → E . Soient d fonctions f1 , . . . , fd : E → R. Alors (1) On a " # E d Y fi (Xi ) = i=1 d Y E [fi (Xi )] i=1 (2) Corrollaire: on a aussi Var d X i=1 ! Xi = d X Var (Xi ) i=1 Remarque: Le point (1) estR un analogue Rprobabiliste de: R R2 ϕ1 (x1 ) ϕ2 (x2 ) dx1 dx2 = R ϕ1 (x1 ) dx1 R ϕ2 (x2 ) dx2 Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 44 / 56 Démonstration Démonstration du point (2): posons mi = E[Xi ]. Alors Var d X ! Xi (Xi − mi ) = E i=1 = d X E (Xi d X − mi )2 + h d X i E (Xi − mi )2 + d X (Xi − mi ) (Xj − mj ) X E [(Xi − mi ) (Xj − mj )] i6=j Var (Xi ) + i=1 = X i6=j i=1 = i=1 i=1 = !2 d X X E [(Xi − mi )] E [(Xj − mj )] i6=j Var (Xi ) . i=1 Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 45 / 56 Application Espérance et variance de la binomiale: Soit X ∼ Bin(n, p). On retrouve E[X ] = n p, Var(X ) = n p (1 − p). En effet, on utilise la décomposition X = ni=1 Xi , avec {Xi ; 1 ≤ i ≤ n} v.a. i.i.d, de loi B(p). Alors P n X E[X ] = E Xj = j=1 n X E[Xj ] = j=1 n X p = np j=1 De même (Indépendance des Xi ) Var(X ) = Var n X i=1 Samy T. (IECL) ! Xi = n X Var (Xi ) = i=1 TN - V.a. discrètes n X p (1 − p) = n p (1 − p) j=1 Module MAP 46 / 56 Plan 1 Définitions 2 Variables aléatoires discrètes usuelles 3 Moments des variables aléatoires 4 Vecteurs aléatoires discrets 5 Indépendance 6 Dépendance linéaire Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 47 / 56 Covariance Définition Soient X1 , X2 : Ω → E , de loi conjointe P. On note E = {xi ; i ≥ 1} et E[Xl ] = ml La covariance de X1 et X2 est définie par Cov(X1 , X2 ) = E [(X1 − m1 ) (X2 − m2 )] X (xi − m1 ) (xj − m2 ) P(X1 = xi , X2 = xj ) = i,j≥1 Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 48 / 56 Covariance (2) Proposition Expression alternative pour la covariance: Cov(X1 , X2 ) = E [X1 X2 ] − m1 m2 X = xi xj P(X1 = xi , X2 = xj ) − m1 m2 i,j≥1 Démonstration: comme pour la variance. Remarque: Si X1 ⊥⊥ X2 , on a Cov(X1 , X2 ) = 0. En effet: E [(X1 − m1 ) (X2 − m2 )] = E [X1 − m1 ] E [X2 − m2 ] = 0. Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 49 / 56 Corrélation Définition Soient X1 , X2 : Ω → E , de loi conjointe P. On note σX1 et σX2 les écarts-type de X1 et X2 . Le coefficient de corrélation de X1 et X2 est défini par ρX1 ,X2 = Cov(X1 , X2 ) Cov(X1 , X2 ) =q σX1 σX2 Var(X1 ) Var(X2 ) Interprétation: on a toujours −1 ≤ ρX1 ,X2 ≤ 1 et Si ρX1 ,X2 ' 1: dép. linéaire positive forte entre X1 et X2 Si ρX1 ,X2 ' −1: dép. linéaire négative forte entre X1 et X2 Si ρX1 ,X2 ' 0: indépendance linéaire entre X1 et X2 Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 50 / 56 Exemple 1 (1) Expérience: lancer de 3 pièces non biaisées. ,→ Ω = {p, f }3 , P({ω}) = 18 Vecteur aléatoire: on pose X (ω) = (X1 (ω), X2 (ω)) avec X1 (ω) = 1A (ω) et A = "On obtient au plus une fois pile" X2 (ω) = 1B (ω) et B = "On obtient au moins une fois pile et au moins une fois face" On a vu: X1 \X2 0 1 Marg. X1 0 1/8 3/8 1/2 1 1/8 3/8 1/2 Marg. X2 1/4 3/4 1 Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 51 / 56 Exemple 1 (2) Calcul: On a 3 3 1 × 0 × 0 + ··· + × 1 × 1 = 8 8 8 3 1 3 Cov(X1 , X2 ) = E [X1 X2 ] − E [X1 ] E [X2 ] = − × = 0 8 2 4 E[X1 X2 ] = Donc ρX1 ,X2 = 0. Remarque: ce résultat était prévisible, puisque X1 ⊥⊥ X2 . Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 52 / 56 Exemple 2 (1) Expérience: lancer de 3 pièces non biaisées. ,→ Ω = {p, f }3 , P({ω}) = 18 Vecteur aléatoire: on pose Y = (Y1 , Y2 ) avec Y1 = Nombre de face obtenu Y2 = Nombre de pile obtenu Loi de Y : Y1 \Y2 0 1 2 3 Marg. Y1 0 0 0 0 1/8 1/8 1 0 0 3/8 0 3/8 2 0 3/8 0 0 3/8 3 1/8 0 0 0 1/8 Marg. Y2 1/8 3/8 3/8 1/8 1 Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 53 / 56 Exemple 2 (2) Calcul: On a Y1 , Y2 ∼ Bin(3, 1/2). Donc: 3 E[Y1 ] = E[Y2 ] = , 2 Var(Y1 ) = Var(Y2 ) = 3 4 De plus: E[Y1 Y2 ] = 3 3 3 ×1×2+ ×2×1= 8 8 2 Cov(Y1 , Y2 ) = E [Y1 Y2 ] − E [Y1 ] E [Y2 ] = Donc ρY1 ,Y2 = − q 3/4 3/4 × 3/4 3 3 3 3 − × =− 2 2 2 4 = −1. Remarque: ce résultat était prévisible, puisque Y2 = 3 − Y1 . Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 54 / 56 Exemple 3 (1) Expérience: On tire deux boules parmi 3, Rouge, Noire, Verte, avec remise. ,→ Ω = {R, N, V }2 , P({ω}) = 19 Vecteur aléatoire: on pose Z = (Z1 , Z2 ) avec Z1 = Nombre de rouge obtenu Z2 = Nombre de noir obtenu Loi de Z : Samy T. (IECL) Y1 \Y2 0 1 2 Marg. Z2 0 1 2 1/9 2/9 1/9 2/9 2/9 0 1/9 0 0 4/9 4/9 1/9 TN - V.a. discrètes Marg. Z1 4/9 4/9 1/9 1 Module MAP 55 / 56 Exemple 2 (2) Calcul: Z1 et Z2 ont même loi, et 2 E[Z1 ] = , 3 8 E[Z12 ] = , 9 σZ1 = 2 3 De plus: E[Z1 Z2 ] = 2 2 ×1×1= 9 9 Cov(Z1 , Z2 ) = E [Z1 Z2 ] − E [Z1 ] E [Z2 ] = Donc ρZ1 ,Z2 = − 2 4 2 − =− 9 9 9 1 2/9 =− . 2/3 × 2/3 2 Remarque: On s’attendait bien à une dépendance linéaire négative entre Z1 et Z2 , mais elle est modérée car il manque l’information sur V . Samy T. (IECL) TN - V.a. discrètes Module MAP 56 / 56