Variables aléatoires continues - IECL

Variables aléatoires continues
Samy Tindel
Université de Lorraine
Telecom Nancy - Module MAP
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Module MAP
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Plan
1
Définitions
2
Variables aléatoires continues usuelles
3
Moments des variables aléatoires
4
Vecteurs aléatoires continus
5
Dépendance linéaire
6
Limites de v.a
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Plan
1
Définitions
2
Variables aléatoires continues usuelles
3
Moments des variables aléatoires
4
Vecteurs aléatoires continus
5
Dépendance linéaire
6
Limites de v.a
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Variable aléatoire
Définition
Soit (Ω, A, P) un espace de probabilités.
Soit E un espace vectoriel (R, Rd ).
Une application X : Ω → E se nomme variable aléatoire.
Remarque:
Ici encore, pour être rigoureux, il faudrait introduire la notion de
mesurabilité.
Remarque: Une variable aléatoire discrète est aussi une variable
aléatoire!
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Mesure image
Type d’information d’intérêt:
pour A ⊂ E , calcul de P({ω; X (ω) ∈ A})
Abus de notation: on note
P({ω; X (ω) ∈ A}) = PX (A)= P(X ∈ A)
Définition: PX est une probabilité sur E .
On la nomme mesure image.
On a souvent accès à (E , PX ) au lieu de (Ω, P)
Correspondance avec le monde réel:
Ω = espace des expériences possibles
X = résultat ou résumé de l’expérience
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Loi d’une v.a.
Définition
Soit X : Ω → E une v.a.
L’ensemble
{P(X ∈ A); A ⊂ E }
se nomme loi de probabilité de X
Problème: la famille {P(X ∈ A); A ⊂ E } est trop vaste pour pouvoir
la décrire de manière satisfaisante.
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Fonction de répartition
Définition
Soit X : Ω → R une v.a réelle.
La fonction de répartition FX de X est définie par
FX (x ) = PX (] − ∞, x ]) = P(X ≤ x )
Exemple: Soit X ∼ P(λ).
P
On pose pj = e −λ λj /j! et qk = kj=0 pj .
Alors
X
FX (x ) =
qk 1[k,k+1[ (x ).
k≥0
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Propriétés de la fonction de répartition
Théorème
Soit FX la f.r d’une v.a réelle X . Alors
(1) FX est croissante.
(2) limx →−∞ FX (x ) = 0 et limx →∞ FX (x ) = 1
(3) FX est continue à droite et admet une limite à gauche en tout
point x ∈ R.
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Fonction de répartition et loi de v.a
Théorème
Soit X une v.a réelle. Alors la loi de X est déterminée par
{FX (x ); x ∈ R}
Pseudo-démonstration: Les ensembles A mesurables
peuvent se décomposer comme
A = ∪i ∩j Aij ,
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avec Aij =] − ∞, xij ]
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V.a discrètes et continues
Définition
Soit FX la f.r d’une v.a réelle X . Alors
(1) Si FX est constante par morceaux, on dit que X est discrète.
(2) Si FX est continue, on dit que X est continue
(3) Cas particulier important: si FX peut s’écrire
FX (x ) =
Z x
−∞
fX (ξ) dξ,
avec fX positive, on dit que
La loi de X est absolument continue.
fX est la densité de X (ou de la loi de X ).
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Loi d’une v.a. à densité
Proposition
Soit X : Ω → R v.a. de densité fX .
Soit A ⊂ R. Alors
P(X ∈ A) =
Z
A
fX (ξ) dξ
Remarques:
(1) En particulier, la densité caractérise une loi.
(2) Certaines variables aléatoires sont continues sans densité
,→ Exemple typique: loi U(C ), où C = ensemble de Cantor.
(3) Une fonction
f : R → R définit une densité si
R
,→ f ≥ 0 et R f (x ) dx = 1.
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Plan
1
Définitions
2
Variables aléatoires continues usuelles
3
Moments des variables aléatoires
4
Vecteurs aléatoires continus
5
Dépendance linéaire
6
Limites de v.a
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Loi uniforme
Notation: U([a, b]) pour −∞ < a < b < ∞
Ensemble des valeurs: E = [a, b]
Densité:
fX (x ) =
1
1[a,b] (x )
b−a
Utilisation:
U([0, 1]) est la seule v.a. accessible directement sur ordinateur
,→ fonction rand
Exemple de calcul: si X ∼ U([8, 10]), alors
1 Z 9.5
9.5 − 8
3
P(7.5 < X < 9.5) =
dx =
=
2 8
2
4
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Loi Exponentielle
Notation: E(λ), pour λ > 0
Ensemble des valeurs: E = R+
Densité:
fX (x ) = λe −λx 1R+ (x )
Utilisation: Temps d’attente entre
Arrivée de deux clients dans un magasin de 14h à 17h
Passage de deux bus à un arrêt sur une période de temps
Deux requêtes sur un serveur de minuit à 6h
Exemple de calcul: si X ∼ E(λ), alors pour x ≥ 0,
P(X > x ) =
Z ∞
λ e −λz dz = e −λx
x
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Loi exponentielle: illustration
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
Figure : Loi E(1), E(2), E(1/2). Abscisses: x . Ordonnées: fX (x )
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Loi gaussienne (ou normale)
Notation: N (µ, σ 2 ) pour µ ∈ R et σ 2 > 0
Ensemble des valeurs: E = R
Densité:
!
(x − µ)2
1
exp −
fX (x ) = √
2σ 2
2π σ 2
Utilisation:
Phénomènes dépendant d’un grand nombre de petits paramètres
Nombreux exemples en
Biologie
Physique et industrie
Economie
Problème: les primitives de fx ne sont pas directement calculables
,→ utilisation de tables pour les calculs de probabilité
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Loi normale: illustration
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
!5
!4
!3
!2
!1
0
1
2
3
4
5
Figure : Loi N (0, 1), N (1, 1), N (0, 9), N (0, 1/4).
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Plan
1
Définitions
2
Variables aléatoires continues usuelles
3
Moments des variables aléatoires
4
Vecteurs aléatoires continus
5
Dépendance linéaire
6
Limites de v.a
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Espérance mathématique
Définition
Soit X : Ω → R une v.a. réelle de densité fX .
Soit g : R → R. On pose
E[g(X )] =
Z
g(x )fX (x ) dx .
R
Cette quantité se nomme espérance de g(X ).
Remarque: Il faut en principe vérifier que l’intégrale définissant
E[g(X )] est absolument convergente, i.e.
Z
|g(x )|fX (x ) dx < ∞.
R
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Cas particuliers importants
Soit X : Ω → R une v.a. réelle de densité fX .
(1) Espérance de X :
E[X ] =
Z
x fX (x ) dx .
R
(2) Moment d’ordre r (resp. centré d’ordre r ) de X , pour r > 0:
Z
r
E[X ] =
x r fX (x ) dx
ZR
E [(X − E[X ])r ] =
(x − E[X ])r fX (x ) dx
R
(3) Variance de X :
h
2
Var(X ) = E (X − E[X ])
i
=
Z
(x − E[X ])2 fX (x ) dx .
R
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Exemple de calcul
Exemple: soit X ∼ U([a, b]) avec a < b. On a
E[X ] =
h ib
1
a+b
1 Zb
x dx =
x2 =
.
a
b−a a
2(b − a)
2
On a aussi
1 Zb
a+b
x−
Var(X ) =
b−a a
2
2
= (b − a)
Z 1/2
y 2 dy
−1/2
!2
dx
cv: y =
x − (a + b)/2
b−a
2
=
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(b − a)
12
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Interprétation
Espérance: Pour une v.a. X , l’espérance E[X ] représente
la valeur moyenne que prend X .
Variance: Pour une v.a. X , l’espérance Var(X ) représente
la dispersion de X autour de sa moyenne.
Plus Var(X ) est grande et
Plus le système représenté par X est aléatoire
Moins ce système est prévisible
Ecart type: pour des raisons d’unités physiques, il est plus clair de
raisonner en termes d’écart type σX , avec
σX :=
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q
Var(X ).
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22 / 51
Propriétés de l’espérance
Proposition
Soit X : Ω → R une variable aléatoire réelle.
Soient f , g : R → R et a, b ∈ R. Alors
(1) On a
E [a f (X ) + b g(X )] = a E [f (X )] + b E [g(X )]
(2) Dans le cas particulier affine, on a
E[aX + b] = a E[X ] + b,
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et Var(aX + b) = a2 Var(X )
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23 / 51
Propriétés de l’espérance (2)
Proposition
(1) Soit X : Ω → R une variable aléatoire. Alors
i
h
Var(X ) = E X 2 − (E[X ])2
(2) Soient d variables aléatoires réelles X1 , . . . , Xd . Alors


d
X
E  Xj 
j=1
=
d
X
E[Xj ]
j=1
Démonstration de (1): On a, si m := E[X ],
h
Var(X ) = E (X − m)2
h
i
= E X 2 − 2m X + m2
h
i
i
= E X 2 − m2
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24 / 51
Propriétés de l’espérance (3)
Définition: Soit A ⊂ R.
La fonction 1A : R → {0, 1} est définie par
1A (x ) = 1 si x ∈ A,
et 1A (x ) = 0 si x 6∈ A
Proposition
Soit X : Ω → R une variable aléatoire.
Soit A ⊂ R. Alors
E[1A (X )] = P(X ∈ A)
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25 / 51
Valeurs pour les v.a. usuelles
Tableau récapitulatif:
Loi
E[X ] Var(X )
(b−a)2
U([a, b]) a+b
2
12
1
1
E(λ)
λ
λ2
N (µ, σ 2 )
µ
σ2
Calculs: au tableau (et à savoir faire)
Remarque: La loi N (0, 1) se nomme gaussienne centrée réduite.
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26 / 51
Caractérisation de la loi par l’espérance
Notation:
Cb (R) ≡ ensemble des fonctions continues et bornées sur R.
Théorème
Soit X une v.a. réelle. On suppose que
E[ϕ(X )] =
Z
ϕ(x ) f (x ) dx ,
pour toute fonction ϕ ∈ Cb (R).
R
Alors X est absolument continue, de densité f .
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27 / 51
Application: changements de variable
Problème: Soit X une variable aléatoire de densité f .
On pose Y = h(X ) avec h : R → R.
On aimerait trouver la densité de Y .
Recette: on procède selon les étapes suivantes.
1
Pour ϕ ∈ Cb (R), on écrit
E[ϕ(Y )] = E[ϕ(h(X ))] =
Z
ϕ(h(x )) f (x ) dx .
R
2
On fait le changement de variable y = h(x ) dans l’intégrale.
Après calcul, on obtient
E[ϕ(Y )] =
Z
ϕ(y ) g(y ) dy .
R
3
Ceci caractérise la loi de Y , qui admet g pour densité.
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28 / 51
Exemple 1
Proposition
Soit X ∼ N (0, 1). Soient µ ∈ R et σ > 0.
On pose Y = σX + µ. Alors Y ∼ N (µ, σ 2 ).
Démonstration: pour ϕ ∈ Cb (R), on écrit
2
e −x /2
dx .
E[ϕ(Y )] = E[ϕ(σX + µ)] = ϕ(σx + µ) √
R
2π
Z
Changement de variable: y = σx + µ:
E[ϕ(Y )] =
Z
R
2
ϕ(y ) g(y ) dx ,
2
e −(y −µ) /(2σ )
√
avec g(y ) =
.
2πσ 2
Donc Y admet g pour densité, et Y ∼ N (µ, σ 2 ).
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29 / 51
Exemple 2
Question 1: Le temps d’attente (en mn) des patients chez le docteur
Mutzig peut se modéliser par une v.a Y de la forme Y = 5 + X , où
X ∼ E(λ) avec λ = 1/2. Quelle est la densité de Y ?
On trouve fY (y ) = λe −λ(y −5) 1[5,∞[ (y ).
Question 2: Le mécontentement des patients peut se mesurer par la
v.a. Z = ln(X ). Quelle est la densité de Z ?
On trouve fZ (z) = λ exp(−λe z + z).
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30 / 51
Plan
1
Définitions
2
Variables aléatoires continues usuelles
3
Moments des variables aléatoires
4
Vecteurs aléatoires continus
5
Dépendance linéaire
6
Limites de v.a
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31 / 51
Définitions de base
Définition
Soient d v.a. réelles X1 , . . . , Xd définies sur (Ω, A, P).
(1) On pose X = (X1 , . . . , Xd ).
X se nomme vecteur aléatoire de Rd .
(2) La fonction de répartition de X est FX : Rd → R, définie par
FX (x1 , . . . , xd ) = P (X1 ≤ x1 , . . . , Xd ≤ xd )
(3) Soit X un vecteur aléatoire de Rd .
On dit que X admet une densité fX : Rd → R+ si
FX (x1 , . . . , xd ) =
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Z x1
−∞
···
Z xd
−∞
fX (u1 , . . . , ud ) du1 · · · dud
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32 / 51
Loi marginale et indépendance
Définition
Soit X un vecteur aléatoire de Rd défini sur (Ω, A, P).
On suppose que X admet une densité fX .
(1) La loi marginale de X1 est donnée par la densité
fX1 (x1 ) =
Z
Rd−1
fX (x1 , u2 , . . . , ud ) du2 · · · dud
(2) Les v.a X1 , . . . , Xd sont indépendantes si
fX (u1 , . . . , ud ) =
d
Y
fXi (ui ),
pour tout (u1 , . . . , ud ) ∈ Rd .
i=1
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33 / 51
Application (1)
Expérience: tirage de nombre au hasard dans [0, 1]2 .
,→ X vecteur aléatoire de R2 , de densité fX (x1 , x2 ) = 1[0,1]2 (x1 , x2 ).
Fonction de répartition: pour (x1 , x2 ) ∈ R2 ,
FX (x1 , x2 ) =
=
Z x1 Z x2
−∞
Z x1
−∞
Z x2
−∞
−∞
fX (u1 , u2 ) du1 du2
1[0,1] (u1 ) 1[0,1] (u2 ) du1 du2
= (x1 ∧ 1) (x2 ∧ 1) 1R2+ (x1 , x2 ).
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34 / 51
Application (2)
Lois marginales:
fX1 (x1 ) =
Z 1
0
fX (x1 , u2 ) du2 =
= 1[0,1] (x1 )
Z 1
0
Z 1
0
1[0,1] (x1 ) 1[0,1] (u2 ) du2
1[0,1] (u2 ) du2 = 1[0,1] (x1 ).
Donc X1 ∼ U([0, 1]). De même, X2 ∼ U([0, 1]).
Indépendance: on a
fX (x1 , x2 ) = 1[0,1]2 (x1 , x2 ) = 1[0,1] (x1 ) 1[0,1] (x2 )= fX1 (x1 ) fX2 (x2 ).
Donc X1 ⊥
⊥ X2 .
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35 / 51
Indépendance et espérance
Proposition
Soient d v.a. indépendantes X1 , . . . , Xd : Ω → E .
Soient d fonctions f1 , . . . , fd : E → R. Alors
(1) On a
"
#
E
d
Y
fi (Xi ) =
i=1
d
Y
E [fi (Xi )]
i=1
(2) Corrollaire: on a aussi
Var
d
X
i=1
!
Xi
=
d
X
Var (Xi )
i=1
Remarque:
Le point (1) estR un analogue Rprobabiliste de:
R
R2 ϕ1 (x1 ) ϕ2 (x2 ) dx1 dx2 = R ϕ1 (x1 ) dx1 R ϕ2 (x2 ) dx2
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36 / 51
Plan
1
Définitions
2
Variables aléatoires continues usuelles
3
Moments des variables aléatoires
4
Vecteurs aléatoires continus
5
Dépendance linéaire
6
Limites de v.a
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Module MAP
37 / 51
Covariance
Définition
Soient X1 , X2 : Ω → R, de loi conjointe P.
On suppose que X = (X1 , X2 ) admet une densité fX
La covariance de X1 et X2 est définie par
Cov(X1 , X2 ) = E [(X1 − m1 ) (X2 − m2 )]
=
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Z
R2
(x1 − m1 ) (x2 − m2 ) fX (x1 , x2 ) dx1 dx2
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38 / 51
Covariance (2)
Proposition
Expression alternative pour la covariance:
Cov(X1 , X2 ) = E [X1 X2 ] − m1 m2
=
Z
R2
x1 x2 fX (x1 , x2 ) dx1 dx2 − m1 m2
Démonstration: comme pour la variance.
Remarque: Si X1 ⊥⊥ X2 , on a Cov(X1 , X2 ) = 0.
En effet:
E [(X1 − m1 ) (X2 − m2 )] = E [X1 − m1 ] E [X2 − m2 ] = 0.
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39 / 51
Corrélation
Définition
Soient X1 , X2 : Ω → E , de loi conjointe P.
On note σX1 et σX2 les écarts-type de X1 et X2 .
Le coefficient de corrélation de X1 et X2 est défini par
ρX1 ,X2 =
Cov(X1 , X2 )
Cov(X1 , X2 )
=q
σX1 σX2
Var(X1 ) Var(X2 )
Interprétation: on a toujours −1 ≤ ρX1 ,X2 ≤ 1 et
Si ρX1 ,X2 ' 1: dép. linéaire positive forte entre X1 et X2
Si ρX1 ,X2 ' −1: dép. linéaire négative forte entre X1 et X2
Si ρX1 ,X2 ' 0: indépendance linéaire entre X1 et X2
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Module MAP
40 / 51
Plan
1
Définitions
2
Variables aléatoires continues usuelles
3
Moments des variables aléatoires
4
Vecteurs aléatoires continus
5
Dépendance linéaire
6
Limites de v.a
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TN - V.a. continues
Module MAP
41 / 51
n-échantillon
Définition
Soit (X1 , . . . , Xn ) une famille de n variables aléatoires i.i.d.
(X1 , . . . , Xn ) se nomme n-échantillon.
Exemple: On fait n = 50 tirages de dé.
Au i ème tirage, on pose Xi = 1 si on obtient 6, et Xi = 0 sinon.
Alors (X1 , . . . , X50 ) est un 50-échantillon de loi B(1/6).
Notation: Soit (X1 , . . . , Xn ) un n-échantillon. La v.a
n
1X
X̄n :=
Xi
n i=1
se nomme moyenne empirique du n-échantillon.
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TN - V.a. continues
Module MAP
42 / 51
Loi forte des grands nombres
Théorème
Soit (Xn ; n ≥ 1) un n-échantillon de v.a. à valeurs dans R
On suppose E [|X1 |] < ∞, E [X1 ] = m ∈ R.
Alors
X̄n (ω) −→ m, quand n → ∞, pour tout ω ∈ Ω
sauf sur un ensemble de probabilité nulle.
Définition
La convergence pour tout ω ci-dessus se nomme
convergence presque sûre.
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TN - V.a. continues
Module MAP
43 / 51
Théorème central de la limite
Théorème
Soit (Xn ; n ≥ 1) un n-échantillon de v.a. à valeurs dans R
On suppose E [|X1 |2 ] < ∞
Soit m ∈ R la moyenne de X1 , σ 2 > 0 sa variance.
Alors
√ X̄n − m (d)
n
−→ N (0, 1)
σ
lorsque n → ∞, c’est-à-dire que pour tout x ∈ R,
lim P
n→∞
√
X̄n − m
n
σ
!
!
≤x
=
Z x
−∞
2
e −z /2
√
dz.
2π
Interprétation: X̄n converge vers m à vitesse n1/2
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Module MAP
44 / 51
Exemple: loi de Bernoulli
Corollaire
Soit (Xn ; n ≥ 1) suite i.i.d de v.a. B(p)
Alors
!
√
X̄n − p
(d)
−→ N (0, 1).
n
1/2
[p(1 − p)]
Remarque:
En pratique dès que np > 15, on approche la loi de
X1 + · · · + Xn − np
√
npq
par N1 (0, 1). Notons que X1 + · · · + Xn suit une loi Bin(n, p).
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45 / 51
Loi Binomiale: illustration (1)
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
1
2
3
4
5
6
Figure : Loi Bin(6; 0.5). Abscisses: k. Ordonnées: P(X = k)
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Module MAP
46 / 51
Loi Binomiale: illustration (2)
0.15
0.10
0.05
0.00
0
5
10
15
20
25
30
Figure : Loi Bin(30; 0.5). Abscisses: k. Ordonnées: P(X = k)
Samy T. (IECL)
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Module MAP
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Application
Exemple: On considère des rouleaux de pièces contenant
théoriquement 25 pièces.
La distribution réelle du nombre X de pièces par rouleau est plutôt:
P(X = 24) = 0.03,
P(X = 25) = 0.96,
P(X = 26) = 0.01
Question:
Calculer de manière approchée la proba que sur 400 rouleaux il y ait:
(1) Moins de 10000 pièces. (2) Moins de 9990 pièces.
Samy T. (IECL)
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Module MAP
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Application (2)
Calcul de E[X ] et Var(X ): On a
E[X ] =
E[X 2 ] =
26
X
i=24
26
X
i P(X = i) = 24.98 := m
i 2 P(X = i) = 624.04
i=24
Var(X ) = E[X 2 ] − E2 [X ] = 0.0396
σ(X ) =
Samy T. (IECL)
q
Var(X ) = 0.2
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Application (3)
Modélisation: On considère n = 400 rouleaux.
Soit Xi ≡ nombre de pièces dans le ième rouleau.
Hypothèse: (X1 , . . . , Xn ) est un n-échantillon de même loi que X .
Position du problème: On cherche P(
M = 10000, M = 9990.
Comme n est grand, on utilise:
Y :=
Samy T. (IECL)
Pn
i=1
Xi ≤ M), avec
√ X̄n − m
n
≈ Z ∼ N (0, 1)
σ
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Application (4)
Calcul:
P
n
X
!
Xi ≤ M
i=1
√ M/n − m
= P X̄n ≤ M/n = P Y ≤ n
σ
!
√ M/n − m
' P Z≤ n
σ
!
Applications numériques: On obtient
P
P
n
X
!
Xi ≤ 10000
i=1
n
X
' P(Z ≤ 2) = 0.9772
!
Xi ≤ 9990
' P(Z ≤ −0.5) = 0.3085
i=1
Samy T. (IECL)
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