Fonctions - mathsenligne

FONCTIONS
Sujets
mai 2012 Amérique du Nord
juin 2012 Antilles-Guyane
juin 2012 Centres étrangers
novembre 2012 Amérique du Sud
Formulaire↓

FONCTIONS 1
Amérique du Nord mai 2012 . EXERCICE 2↑→
On considère la fonction fdéfinie sur [1 ; +∞[par f(x) = x−ln x
x
On note Csa courbe dans un repère orthonormal O , −→ i , −→ j.
On note Dla droite d’équation y=x
1. Soit gla fonction définie sur [1 ; +∞[par g(x) = x2−1 + ln(x)
Montrer que la fonction gest positive sur [1 ; +∞[
2. a) Montrer que pour tout xde [1 ; +∞[:f0(x) = g(x)
x2
b) En déduire le sens de variations de fsur [1 ; +∞[
3. a) Représenter graphiquement à l’aide de la calculatrice la courbe Cet la droite D.
Proposer une conjecture concernant la position relative de Cet de D.
b) Démontrer la conjecture faite à la question précédente.
4. Dans cette question, on appelle Mket Nkles points de Cet de Dd’abscisse koù kest un
entier naturel supérieur ou égal à 2.
a) Justifier que la distance MkNkentre ces deux points est égale à ln k
k
Quelle est la limite de cette distance MkNklorsque ktend vers l’infini ?
b) Écrire un algorithme qui affiche le plus petit entier k0supérieur ou égal à 2 tel que la
distance MkNksoit inférieure à 10−2

FONCTIONS 2
Antilles-Guyane juin 2012 . EXERCICE 1↑→
On considère la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = xex−1+ 1
On note Csa courbe dans un repère orthonormé O , −→ i , −→ j.
Partie A
1. Déterminer la limite de fen −∞.
Que peut-on en déduire pour la courbe C?
2. Déterminer la limite de fen +∞
3. On admet que fest dérivable sur R.
Montrer que pour tout xréel : f0(x)=(x+ 1)ex−1
4. Étudier les variations de fet dresser le tableau de variations de cette fonction.
Partie B
Soit aun réel strictement positif.
Le but de cette partie est de rechercher s’il existe une tangente à la courbe Cau point d’abscisse
aqui passe par l’origine du repère.
1. On appelle Tala tangente à Cau point d’abscisse a. Donner une équation de Ta.
2. Démontrer qu’une tangente à Cen un point d’abscisse astrictement positive passe par
l’origine du repère si et seulement si avérifie l’égalité
1−a2ea−1= 0
3. On cherche dans cette question à résoudre l’équation 1−x2ex−1= 0 où x > 0
a) Vérifier que 1 est solution de cette équation.
b) Montrer qu’il n’y a pas d’autre solution sur ]0 ; +∞[
4. Donner une équation de la tangente recherchée.

FONCTIONS 3
Centres étrangers juin 2012 . EXERCICE 3↑→
On considère l’équation (E) d’inconnue xréelle : ex= 3(x2+x3)
Partie A : conjecture graphique
Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de
la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = 3(x2+x3)telles que les affiche une calculatrice dans un
même repère orthogonal.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
À l’aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E) et leur
encadrement par deux entiers consécutifs.
Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique
1. a) Étudier selon les valeurs de xle signe de x2+x3
b) En déduire que l’équation (E) n’a pas de solutions sur l’intervalle ]− ∞ ;−1]
c) Vérifier que 0 n’est pas solution de (E)
2. On considère la fonction hdéfinie pour tout nombre réel de ]−1 ; −0[∪]0 ; +∞[par
h(x) = ln 3 + ln(x2) + ln(1 + x)−x
Montrer que sur ]−1 ; −0[∪]0 ; +∞[l’équation (E) équivaut à h(x)=0
3. a) Montrer que pour tout xappartenant à ]−1 ; −0[∪]0 ; +∞[, on a :
h0(x) = −x2+ 2x+ 2
x(x+ 1)
b) Déterminer les variations de la fonction h

FONCTIONS 4
c) Déterminer le nombre de solutions de l’équation h(x)=0et donner une valeur arrondie
au centième de chaque solution.
d) Conclure quant à la conjecture de la partie A