QUANTA et RELATIVITÉ Nicolas TREPS, Charles ANTOINE et Claude FABRE

QUANTA et RELATIVITÉ
Nicolas TREPS, Charles ANTOINE et Claude FABRE
20 septembre 2013

Table des matières
Introduction 8
I Relativité 9
Espace, temps et mouvement en Physique 10
1 Mécanique classique et changement de référentiel galiléen 13
1.1 Mécanique newtonienne et principe de relativité galiléenne . . . . 13
1.1.1 Référentiels galiléens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2 Principe fondamental de la dynamique . . . . . . . . . . . 14
1.2 Changement de référentiel galiléen . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Notion d’évènement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Transformations de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Loi classique de composition des vitesses . . . . . . . . . . 17
2 Lumière classique et changement de référentiel galiléen 18
2.1 Description ondulatoire de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Caractéristiques de l’onde lumineuse . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Equation d’onde, principe de superposition . . . . . . . . 19
2.2 Lumière et changement de référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Changement de référentiel pour une onde plane : effet
Doppler non relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Changement de référentiel pour un faisceau lumineux li-
mité : aberration classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Changement de référentiel pour une particule classique :
loi classique de composition des vitesses . . . . . . . . . . 22
2.2.4 Changement de référentiel pour des champs électrique et
magnétique .......................... 23
2.3 Mesures de la vitesse de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Les premières mesures de la vitesse de la lumière . . . . . 24
2.3.2 Quelques ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3 Interféromètre de Michelson . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.3.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.3.2 Cas d’un interféromètre en mouvement . . . . . 27
2.3.4 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2

3 Principe de relativité restreinte
Transformations de Lorentz 31
3.1 Principe de relativité restreinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 Enoncé ............................ 32
3.1.2 Conséquence sur la définition du temps . . . . . . . . . . 32
3.1.3 Conséquence sur la vitesse des objets matériels . . . . . . 33
3.2 Transformations de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Synchronisation des horloges dans un référentiel galiléen . 34
3.2.2 Transformation des coordonnées spatio-temporelles dans
un changement de référentiel galiléen . . . . . . . . . . . . 34
3.2.3 Propriétés de groupe des transformations de Lorentz . . . 36
3.2.4 Représentations dans l’espace-temps . . . . . . . . . . . . 36
3.2.5 Invariants relativistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Effets relativistes sur le temps et l’espace 39
4.1 Intervalle temporel : relativité du passé, du futur et de la simul-
tanéité................................. 39
4.2 Intervalle d’espace-temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.1 Définition........................... 41
4.2.2 Classification des intervalles d’espace-temps . . . . . . . . 42
4.3 Longueur propre et contraction des longueurs . . . . . . . . . . . 43
4.4 Durée propre et dilatation des durées . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5 Les "jumeaux de Langevin" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.6 Des expériences de pensée aux expériences réelles : durée de vie
des particules et horloges en mouvement . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6.1 Durée de vie du muon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6.2 Horloges en mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5 Effets relativistes sur les vitesses 52
5.1 Composition des vitesses en relativité . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.1 Loi de composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.2 Loi de composition de vitesses parallèles . . . . . . . . . . 53
5.1.3 Emission de photons par une source en mouvement . . . . 53
5.2 Transformation de Lorentz pour une onde . . . . . . . . . . . . . 55
5.2.1 Invariance de la phase d’une onde . . . . . . . . . . . . . 55
5.2.2 Transformation du vecteur d’onde : aberration . . . . . . 56
5.2.3 Transformation de la pulsation : effet Doppler relativiste . 57
6 Deux exemples de phénomènes relativistes 58
6.1 Le GPS : un laboratoire relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.1 Description du système de positionnement . . . . . . . . . 58
6.1.2 Effets relativistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2 Rayonnement synchrotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2.1 Principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2.2 Détermination des caractéristiques du rayonnement émis . 61
3

7 Dynamique relativiste 63
7.1 Quelques rappels de dynamique classique . . . . . . . . . . . . . 63
7.1.1 Dynamique newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.1.2 Constantes du mouvement classiques . . . . . . . . . . . . 64
7.1.3 Et les lois de l’électromagnétisme ? . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 Quantité de mouvement relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2.1 Définition de la quantité de mouvement relativiste . . . . 65
7.2.2 Principe fondamental de la dynamique relativiste . . . . . 68
7.3 Énergierelativiste .......................... 69
7.3.1 Définition de l’énergie cinétique relativiste . . . . . . . . . 69
7.3.2 Application : accélérateur électrostatique de particules . . 70
7.3.3 Énergie interne d’un système composite au repos - Masse
aurepos............................ 71
7.3.4 Énergie totale relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.3.5 Invariants relativistes et notion de quadrivecteurs . . . . . 74
7.4 Collisions relativistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.4.1 Méthode générale : lois de conservation . . . . . . . . . . 75
7.4.2 Fusion de l’hydrogène («2 particules →1 particule ») . . . . 76
7.4.3 Désintégration du pion Π0(«1 particule →2 particules ») . 77
7.4.4 Diffusion Compton («2 particules →2 particules ») ..... 79
8 Réactions nucléaires et notions de radioactivité 81
8.1 Structure des noyaux atomiques, énergie de liaison . . . . . . . . 81
8.1.1 Rappels sur les constituants d’un noyau atomique . . . . 81
8.1.2 Défaut de masse, énergie de liaison . . . . . . . . . . . . . 83
8.2 De multiples réactions nucléaires ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.2.1 Lois de conservation, énergie de réaction . . . . . . . . . . 84
8.2.2 Réactions α,βet γ...................... 87
8.2.2.1 Réaction α..................... 87
8.2.2.2 Réactions β..................... 87
8.2.2.3 Réaction γ..................... 89
8.2.3 Fission,fusion ........................ 90
8.2.3.1 Fission ....................... 90
8.2.3.2 Fusion........................ 90
8.3 Radioactivité et dosimétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.3.1 Loi de décroissance exponentielle . . . . . . . . . . . . . . 91
8.3.2 Activité d’une source radioactive . . . . . . . . . . . . . . 93
8.3.3 Dose(s) radioactive(s) : effets de la radioactivité . . . . . 93
9 Les quatre interactions fondamentales, la relativité générale 96
9.1 Interaction gravitationnelle et notion de relativité générale . . . . 96
9.1.1 Force de gravitation, forces d’inertie . . . . . . . . . . . . 97
9.1.1.1 Interaction gravitationnelle . . . . . . . . . . . . 97
9.1.1.2 Loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.1.1.3 Un autre type de force : les forces inertielles . . 98
9.1.2 Deux masses différentes et pourtant égales ! . . . . . . . . 98
9.1.3 Un principe fondateur : le principe d’équivalence . . . . . 99
9.1.4 Effets de la gravité sur les mesures de longueurs et de durées101
9.1.5 Application : décalage vers le rouge d’origine gravitation-
nelle..............................103
4

9.1.6 Le principe de relativité générale . . . . . . . . . . . . . . 105
9.1.7 Relativité générale et géométrie : les géodésiques prennent
lepouvoir ..........................105
9.2 Interactions électromagnétique, forte et faible . . . . . . . . . . . 106
9.2.1 Interaction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.2.2 Interaction forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.2.3 Interaction faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.3 Unification des interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.3.1 Variation des constantes de couplage avec l’énergie . . . . 111
9.3.2 Théories d’unification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5