MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie Lexique anglais

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie-
Chapitre 6 - Distributions échantillonnales et estimation
ƒ Lexique anglais - français
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Lexique
anglais – français
• sample statistic ………. statistique échantillonnale
Constats et terminologie statistique
Distribution de la moyenne – théorème central- limite
Estimation : Intervalle de confiance pour la moyenne µ
Calcul de la taille échantillonnale n
Estimation : différence entre 2 moyennes µ 1 - µ 2
Estimation : variance σ2 - écart type σ
• sampling distribution ….. loi (distribution) d’échantillonnage
• sample mean …………….. moyenne échantillonnale
• estimator …………………. estimateur
• estimate …………………… estimation
• interval estimate ……….. estimation par intervalle
• point estimate …….…….. estimation ponctuelle
ƒ Loi d’échantillonnage : quotient de 2 variances σ12/σ22
ƒ Loi d’échantillonnage : étendue R et écart type S
ƒ Intervalle de tolérance pour une variable
• confidence level ………… niveau de confiance
• one-sided …………………... unilatéral
Hors programme : Estimation : paramètre θ d’une loi binomiale
(6.5 et 6.6)
Estimation : différence θ1 - θ2 entre 2 lois binomiales
• two-sided …………………… bilatéral
• paired samples ……………. échantillons appariés
6 -1
Bernard CLÉMENT, P h D
6- 2
Bernard CLÉMENT, P h D
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Constats et terminologie statistique
Constats et terminologie statistique
• les populations statistiques sont modélisées par des lois de probabilités
dont les paramètres sont toujours inconnus;
• le mieux que l’on puisse faire: estimer les paramètres avec des
données échantillonnales (observations ) provenant de la population;
• les données ( X1, X2, …) sont transformées en statistique Y par une fonction
Y = h ( X1, X2 ,…. ) et Y est une variable aléatoire
le choix de h dépend de l’application envisagée ( estimation ou test)
la loi de probabilité de Y s’appelle distribution d’échantillonnage;
exemple : 2 échantillons de taille n provenant de la même population
( X1, X2, …Xn) et ( X1’, X2’ , ….., Xn’ ) auront une moyenne ( xbar),
différente, un écart type s différent, un histogramme différent :
c’est l’influence de la variabilité de l’échantillonnage;
• on dispose toujours que d’un seul échantillon de taille n pour mettre
en œuvre une procédure statistique : estimation ou test
• paramètre statistique ξ : toute quantité associée à une loi de probabilité
ex. ξ = µ : moyenne loi gaussienne , ξ = σ : écart type loi quelconque
ξ = θ (1 - θ ) : moyenne loi Bernoulli ( θ)
Échantillon aléatoire : un ensemble de variables aléatoires X 1 , X 2 , , X n
telles que (a) les variables sont soumises à une même loi f(x)
(b) les variables sont indépendantes
donc la loi conjointe : g (X1, X2, …, Xn) = f( X1)* f(X2) * …* f(Xn)
Statistique : toute fonction aléatoire établie sur l’échantillon
remarque : Y est une v.a
Y = h (X1 , X2 , …., X n )
Estimateur : une statistique particulière conçue de façon à fournir
une estimation d’un paramètre d’une loi de probabilité
Estimation ponctuelle d’un paramètre ξ : est la valeur numérique ξ
prise par un estimateur sur la base d’un échantillon (x1, x2,…, xn)
ξ = h( x1, x2, … , xn )
Estimation par intervalle : d’un paramètre statistique ξ est un intervalle
(a,b) dont les valeurs a et b dépendent de l’échantillon (x1, x2,…, xn)
et une probabilité spécifiée 1 - α (appelée coefficient de confiance )
de telle sorte que :
P ( a ≤ ξ ≤ b) = 1- α
6- 3
Bernard CLÉMENT, P h D
6- 4
Bernard CLÉMENT, P h D
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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Loi d’échantillonnage ( ce concept est fondamental )
tout estimateur ξ possède une loi de probabilité appelée loi
(ou distribution) d’échantillonnage ; l’étude des propriétés de l’estimateur
repose sur l’étude des propriétés de cette distribution.
distribution d’échantillonnage
Soit X 1 , X 2,, ….. , X
E( Xi ) = µ i
et
Résultat 1
soient
a 1, a 2,, …. , a n des
i=n
E( ξ )
W =∑ a iX
soit
n1
ξ
Alors
n2 > n1
constantes et
une combinaison linéaire des X i
i
i=1
n2
des v. a. indépendantes telles que
Var ( Xi ) = σi2
i = 1, 2, …, n
n
E( W ) = µ W = ∑ a i µ i et Var ( W ) = σw2 = ∑ ai2 σi2
remarque 1 : aucune hypothèse est nécessaire sur les lois des X i
remarque 2 : si les X sont gaussiennes alors W est gaussienne
ξ
Résultat ( sous certaines conditions très générales ) : la distribution d ’échantillonnage
est approximativement en forme de cloche (gaussienne) et sa dispersion
(variance) diminue lorsque n augmente
Résultat 2
Soit ai = 1 / n
Var( X i ) = σ2
E(X ) = µ
i=n
W = X = Xbar = ∑ (1 / n ) X i
Estimateur sans biais ( sans erreur systématique ) : un estimateur
dont la moyenne est égale au paramètre à estimer : E( ξ ) = ξ
vérifie
alors
et Var( X ) = σ2 / n
E( X ) = µ
i=1
Propriété la plus importante d’un estimateur = Var( ξ )
Résultat 3
« bon » estimateur : a une petite variance
alors X
« meilleur » estimateur : est sans biais et à variance minimum 6 -
X i ~ N ( µ , σ2 )
Si les X i sont gaussiennes
N ( µ , σ2 / n )
est gaussienne
6- 6
5
Bernard CLÉMENT, P h D
Bernard CLÉMENT, P h D
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uniforme
Loi de X
POPULATION
exponentielle
gaussienne
H is t o g r a m ( c h a p 0 6 . s t a 3 1 v * 3 0 0 0 0 c )
H is t o g r a m ( c h a p 0 6 . s t a 3 1 v * 3 0 0 0 0 c )
H is t o g r a m ( c h a p 0 6 . s t a 3 1 v * 3 0 0 0 0 c )
8000
700
g a u s s ie n n e = 3 0 0 0 0 * 0 .1 7 1 5 * n o r m a l ( x ; - 0 . 0 0 1 8 ; 1 . 0 0 7 8 )
2400
7000
600
2200
2000
1800
500
1600
400
300
No of obs
n=1
No of obs
5000
No of obs
Distribution de la moyenne échantillonnale et théorème central limite
6000
4000
3000
1400
1200
1000
800
600
2000
200
400
100
théorème central – limite
0
- 1 .7 3 1 8
- 1 .1 7 7 6
- 1 .4 5 4 7
- 0 .6 2 3 4
- 0 .9 0 0 5
- 0 .0 6 9 1
0 .4 8 5 1
- 0 .3 4 6 2
0 .2 0 8 0
1 .0 3 9 3
0 .7 6 2 2
u n if o r m e
7 . 21 8 4
6 .1 9 1 1
9 .2 7 3 0
8 .2 4 5 7
0
- 3 .9 0 9 5
1 1 .3 2 7 6
1 0 .3 0 0 3
- 1 .1 6 5 4
- 1 .8 5 1 4
0.206 6
1 . 57 8 7
- 0 .4 7 9 4
0.892 6
2 .9 5 0 7
2 .2 6 4 7
4 .3 2 2 7
3 .6 3 6 7
g a u s s ie n n e
His to g r a m ( c h a p 0 6 .s t a 3 1 v *3 0 0 0 0 c )
no r m2 = 1 50 0 0*0 .10 3 2*n o r ma l( x ; - 0. 0 01 8 ; 0 .71 3 9)
10 00
1800
90 0
1600
80 0
600
1400
70 0
500
1200
400
60 0
No of obs
No of obs
No of obs
n=2
1000
800
300
200
2)
10 0
0
- 0 .9 9 6 1
- 1 .1 7 7 3
- 1 .4 5 3 0
- 0 .6 2 6 0
- 0 .9 0 1 7
- 0 .0 7 4 7
0 .4 7 6 5
- 0 .3 5 0 4
0 .2 0 0 9
1 .0 2 7 8
0 .7 5 2 2
1 .5 7 9 1
0 .2 4 9 1
- 0 .3 7 3 5
1 .3 0 3 5
1 .4 9 4 4
0 .8 7 1 7
2 .7 3 9 6
3 . 98 4 8
2 .1 1 7 0
3 .3 6 2 2
5 .2 3 0 1
4 .6 0 7 4
0
- 2 .6 4 9 6
6 .4 7 5 3
5 .8 5 2 7
no rm2
H is to g r a m ( c h a p 0 6 .s ta 3 1 v *3 0 0 0 0 c )
e x p o 5 = 6 0 0 0 *0 .0 7 7 4 *n o r ma l( x ; 0 .0 0 3 1 ; 0 .4 4 5 5 )
H is to g r a m ( c h a p 0 6 .s ta 2 1 v * 3 0 0 0 0 c )
His to g r a m ( c h a p 0 6 .s t a 3 1 v *3 0 0 0 0 c )
600
un if 5 = 6 0 00 * 0 .05 72 *n or m al ( x ; 7 .93 2 7E - 5 ; 0 .45 0 6)
n o r m5 = 6 00 0* 0.0 67 2 *no rma l( x ; - 0.0 0 18 ; 0 . 4 48 9)
40 0
350
500
300
200
30 0
25 0
No of obs
No of obs
No of obs
35 0
400
250
300
150
20 0
15 0
200
i
- 1 .8 2 3 7
- 0 .9 9 7 8
- 0 .1 7 1 9
0 . 65 4 1
1 .4 8 0 0
2 .3 0 5 9
- 2 .2 3 6 7
- 1 .4 1 0 7
- 0 .5 8 4 8
0.241 1
1 .0 6 7 0
1 .8 9 2 9
expo2
u n if 2
n=5
40 0
20 0
200
0
- 1 .7 2 8 6
50 0
30 0
400
100
100
10 0
100
50
50
0
- 1 .4 4 5 5
Var ( X i ) = σ2
- 0 .9 8 7 6
- 1 .2 1 6 5
Résultat 5
Si
E( X i ) = µ ,
i = 1, 2 ,… , n
alors X suit approximativement loi gaussienne N ( µ , σ2 / n )
- 0 .5 2 9 7
- 0 .7 5 8 7
- 0 .0 7 1 9
0 .3 8 6 0
- 0 .3 0 0 8
0 .1 5 7 0
0 .8 4 3 8
0 .6 1 4 9
0
- 0 .9 3 5 5
1 .3 0 1 7
- 0 .3 1 6 2
- 0 .6 2 5 9
1 .0 7 2 7
0 .3 0 3 0
0 .9 2 2 2
- 0 .0 0 6 6
0 .6 1 2 6
1 .5 4 1 4
1 .2 3 1 8
2 .1 6 0 6
1 .8 5 1 0
0
- 1 .6 7 8 2
2 .7 7 9 9
2 .4 7 0 3
- 1 .1 4 0 9
- 1 .4 0 9 6
- 0 .6 0 3 7
- 0 .8 7 2 3
- 0 .0 6 6 4
- 0 .3 3 5 0
ex po5
u n if 5
H is to g r a m ( c h a p 0 6 .s ta 2 1 v * 3 0 0 0 0 c )
u n if 1 5 = 2 0 0 0 * 0 .0 3 1 6 * n o r m a l( x ; 7 .9 3 2 7 E- 5 ; 0 .2 5 8 6 )
1.008 1
0.739 5
1.545 4
1.276 7
no rm1 5 = 20 00*0 .03 61*n ormal(x ; -0. 001 8; 0 .25 86)
160
140
140
100
0.470 9
His togram (chap06.sta 31v *30000 c)
e x p o 1 5 = 2 0 00 *0 .0 3 69 *n orm al( x ; 0 . 00 3 1 ; 0 .2 5 6 7 )
120
0.202 2
no r m5
His to g r a m ( c h a p 0 6 .s ta 3 1 v *3 0 0 0 0 c )
120
120
100
100
No of obs
n = 15
No of obs
80
60
40
80
60
40
20
on peut écrire le résultat sous la forme équivalente
_ X - µ_ suit approximativement une loi N ( 0, 1)
No of obs
Remarque : il n’y a aucune condition spécifique sur les lois des X
- 2 .5 3 7 5
- 3 .2 2 3 5
H is t o g r a m ( c h a p 0 6 . s t a 3 1 v * 3 0 0 0 0 c )
600
Alors Y suit approximativement une loi gaussienne N ( µY , σY
avec
µ Y = ∑ µ i et σY2 = ∑ σi2
80
60
40
20
20
0
- 0 .7 5 6 0
- 0 .5 0 3 5
- 0 .6 2 9 8
- 0 .2 5 1 0
- 0 .3 7 7 2
0 .0 0 1 6
0 .2 5 4 1
- 0 .1 2 4 7
0 .1 2 7 8
0 .5 0 6 6
0 .3 8 0 4
0 .7 5 9 2
0
- 0 .6 4 9 9
0 .6 3 2 9
-0 .3 5 4 8
-0 .5 0 2 3
u n if 1 5
-0 .0 5 9 8
- 0 .2 0 7 3
0 .2 3 5 3
0 .0 8 7 8
His to g r a m ( c h a p 0 6 .s ta 2 1 v *3 0 0 0 0 c )
0 .5 3 0 3
0 .3 8 2 8
0 .8 2 5 4
0 .6 7 7 8
1 .1 2 0 4
0
-1.0046
0 .9 7 2 9
ex po 15
u n if 3 0 = 1 0 0 0 *0 .0 2 4 9 *n o r ma l( x ; 7 .9 3 2 7 E- 5 ; 0 .1 8 2 5 )
-0.7161
-0.8604
H is to g r a m ( c h a p 0 6 .s ta 3 1 v *3 0 0 0 0 c )
70
-0.4275
-0.5718
-0.1389
-0.2832
0.1497
0.0054
0.4382
0.2940
0.7268
0.5825
His to g r a m ( c h a p 0 6 norm15
.s t a 3 1 v *3 0 0 0 0 c )
e x p o 3 0 = 1 0 00 *0 .0 2 42 *n or m al( x ; 0 . 00 3 1 ; 0 .1 8 1 6 )
no r m3 0 = 10 0 0*0 .02 3 8*n o r ma l( x ; - 0. 0 01 8 ; 0 .18 5 4)
60
60
60
σ/√n
50
50
40
40
40
No of obs
No of obs
50
n = 30
30
20
6- 7
30
10
10
0
- 0 .6 3 7 8
- 0 .4 3 8 2
- 0 .5 3 8 0
- 0 .2 3 8 7
- 0 .3 3 8 4
- 0 .0 3 9 1
- 0 .1 3 8 9
0 .1 6 0 5
0 .0 6 0 7
u n if 3 0
Bernard CLÉMENT, P h D
0 .3 6 0 1
0 .2 6 0 3
0 .5 5 9 7
0 .4 5 9 9
30
20
20
10
Bernard CLÉMENT, P h D
5 .1 6 3 8
4 .1 3 6 5
2000
700
i = 1, 2, … , n
3 .1 0 9 2
2 .0 8 1 9
e x p o n e n t ie lle
H is t o g r a m ( c h a p 0 6 . s t a 2 1 v * 3 0 0 0 0 c )
remarque
1 .0 5 4 6
0 .0 2 7 3
1 .5 9 3 5
1 .3 1 6 4
u n if 2 = 1 5 0 0 0 * 0 . 0 6 8 9 * n o rm a l( x ; 7 .9 3 2 7 E- 5 ; 0 .7 0 6 )
Soit Y = ∑ X i
avec E( X i ) = µ i , Var ( X i ) = σi2
Si « n est assez grand » ( au moins 30 )
200
0
- 1 .0 0 0 0
No of obs
Résultat 4 :
1000
0
- 0 .5 1 4 5
- 0 .3 2 0 8
- 0 .4 1 7 6
- 0 .1 2 7 0
- 0 .2 2 3 9
0 .0 6 6 7
- 0 .0 3 0 2
0 .2 6 0 4
0 .1 6 3 6
0 .4 5 4 2
0 .3 5 7 3
0 .6 4 7 9
0 .5 5 1 0
0
- 0 .6 6 5 2
- 0 .4 7 5 0
- 0 .5 7 0 1
ex po30
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie (6-8)
- 0 .2 8 4 8
- 0 .3 7 9 9
- 0 .0 9 4 6
- 0 .1 8 9 7
0.095 6
0.000 5
no rm3 0
0.285 8
0.190 7
8
0.476 0
0.380 9
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Exemple 1 :
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
approximation de la loi binomiale par une loi gaussienne ( voir chap. 5)
Exemple 3 : La demande quotidienne d’énergie électrique ( KWh ) pour un logement est
est un cas particulier de l’application du théorème central – limite.
une variable de moyenne 200 et d’écart type 20. Soit D la demande totale d’énergie
X = nombre de succès dans une suite de n essais de Bernoulli indépendants
X i v. a. de Bernoulli associée au i -ème essai
i = 1, 2,…, n
1 avec probabilité θ
Xi =
0 avec probabilité 1 - θ
E(Xi) = 0*(1-θ) + 1*θ =θ
X = ∑ X i est une v. a binomiale b( n, θ )
On applique le résultat 4 :
Donc
X – n θ__
X suit
√ n θ ( 1- θ )
solution :
P ( D ≤ D 0 ) = 0.99
- θ____
Donc
et
et σ2 = 500 * 202 = 200 000 = ( 447.2 )2
Φ ( (D 0 - 100 000 ) / 447.2 ) ) = 0.99
Exemple 4 : la durée de vie X d’un composant électronique suit une loi exponentielle
√ θ ( 1- θ ) / n
X suit loi b( n, θ = 0.1)
une loi gaussienne N ( µ , σ 2 )
D 0 = 100 000 + z 0.99 * 447.2 = 100 00 + 2.33 * 447.2 = 101 042
suit approximativement loi N ( 0, 1)
de moyenne 100 heures
P ( 0.05 ≤ X / n ≤ 0.15 ) = 0.95 ( * )
( * ) s’écrit
ou X i est la demande du logement i = 1, 2, …., 500
approximativement
µ = 500 * 200 = 100 000
Var ( X i ) = θ ( 1 – θ )
Exemple 2 : dans un contrôle de la qualité en cours de réception, on doit prélever un
échantillon de taille n dans un lot contenant 10% de non- conformes. Déterminer n pour
que le nombre X d’articles non- conformes dans l’échantillon vérifie l’équation:
solution
D=∑Xi
D suit
approximativement loi N ( n θ , n θ ( 1 - θ ) )
X
=
électrique dans un arrondissement de 500 logements. Calculer une limite supérieure D 0
pour D qui ne serait pas dépassée avec probabilité 0.99
X suit approximativement loi N ( 0.1*n, 0.09*n )
Φ ( ( 0.15n – 0.1*n + 0.5 ) / 0.3 √ n ) ) - Φ ( ( 0.05n – n*0.1 - 0.5 ) / 0.3 √ n ) ) = 0.95
(a) Quelle est la probabilité que la durée moyenne X de 36
composants dépasse 125 heures (b) Combien de composants doit- on avoir fin que la
différence entre X et 100 n’excède pas 10 avec une probabilité de 0.95 ?
solution : si X suit une loi exponentielle l’écart type ( X ) = moyenne ( X ) = 100 ( chap. 5)
alors X suit approximativement une loi N ( 100, 100 2 / 36 )
( a ) P ( X > 125 ) = 1 – Φ ( ( 125 – 100) / (100 / 6 ) = 1 - Φ ( 1.5 ) = 1 - 0.933 = 0. 067
( b ) P ( │ X - 100 │ < 10 ) = 0.95
alors
100 / √ n
Φ ( ( 0.05n + 0.5 ) / 0.3 √ n ) ) = 0.975 alors ( 0.05n + 0.5 ) / 0.3 √ n ) ) = 1.96
n 2 -118.3n + 100 = 0
et
P ( │ X - 100 │ <
2 Φ ( √ n / 10 ) - 1 = 0.95
n = 118
donne
10 __ ) = 0.95
100 / √ n
n = 384
6- 9
Bernard CLÉMENT, P h D
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Estimation de la moyenne µ d’une population : méthode de l’intervalle de confiance
Cas A : population gaussienne et variance σ
soit X 1 , X 2, …, X n
un échantillon
de X
2
connue
alors
X
~
N(µ, σ
( X–µ ) /(σ /√n)
P( -z1–α/2 ≤ ( X–µ ) /(σ /√n) ≤ z 1–α/2 ) = 1 - α
alors
2)
~ N ( 0, 1 )
(*)
0.14
N ( 0, 1) :
0.12
0.10
GAUSS
1-α
0.06
gaussienne
α/ 2
0.08
centrée – réduite
1 - α : coefficient
0.04
de confiance
0.02
0.00
-0.02
-2
0
2
4
6
8
10
-z1–α/2
On isole le paramètre µ
12
14
16
0
de l’équation (
√n
≤
18
20
22
24
26
Z = ( X – µ ) / (σ / √ n )
z 1–α/2
U
X - z 1–α/2 σ
Bernard CLÉMENT, P h D
6 - 10
Bernard CLÉMENT, P h D
*)
µ
Exemple 5 : supposons que la durée ( heures) de vie X d’ampoules électriques d’une
certaine marque est une loi gaussienne de moyenne µ ( inconnue) et écart type de 100 h
(a) Déterminer un intervalle de confiance avec coefficient de confiance de 0.95 pour µ si
un échantillon de n = 20 ampoules a donné les durées de vie : 1076.2 - 989.2 - 1013.9
1152.5 - 1076.8 - …… 1028.7 - 946.2 - 1111.8 - 1060.5 de moyenne X = 1028.5 h
(b) Refaire ( a ) avec une coefficient de confiance de 0.99
(c) Combien d’ampoules doit –on échantillonnées si on veut un intervalle de confiance
à 0.95 de longueur égale à 30 ?
1028.5 - ( 1.96 * 100 / √ 20 ) ≤ µ ≤ 1028.5 + ( 1.96 * 100 ) / √ 20 )
Solution : (a)
1028.5 – 43.8 ≤ µ ≤ 1028.5 + 43.8
984.7 ≤ µ ≤ 1072.3
( b ) avec un coefficient de confiance de 0.99 le percentile 1.96 change pour 2.576
et l’intervalle de confiance devient
970.9 ≤ µ ≤ 1086.1
(c) la longueur de l’intervalle en (a) est de 2*43.8 = 87.6 avec n = 20
on veut 2 * 1.96 * 100 / √ n = 30
donc n = 171
Détermination de la taille de l’échantillon : calcul de n
pour obtenir l’intervalle de confiance de µ
coefficient de confiance = 1 - α
( avec σ connu )
longueur de l’intervalle = 2∆
on connaît σ
≤ X + z 1–α/2 σ
√n
on spécifie :
n
6 - 11
=
(z 1–α/2 σ / ∆ ) 2
6 - 12
Bernard CLÉMENT, P h D
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Exemple 6 : suite de l’ex. 5 - Un deuxième échantillon de 20 ampoules a donné une vie
moyenne de 981 h. L’intervalle de confiance à 0.95 est : 937.2 ≤ µ ≤ 1024.8
intervalles de confiance : échantillons 1-50 de 5 obs.
1250
Remarque : dans toute étude statistique on a toujours qu’un seul échantillon de taille n qui
est prélevé. Toute décision à prendre repose sur cet échantillon uniquement.
Dans l’exemple 6, on a prélevé un deuxième échantillon pour des fins d’illustration
mais si c’était le cas réel, on aurait combiné les deux en un seul échantillon de taille 40.
1200
1150
Interprétation d’un intervalle de confiance
1100
Le coefficient de confiance se rapporte à la procédure à long terme : ( 1 - α ) 100% des
intervalles calculés avec la formule génèrent des intervalles qui contiendront µ. On ne sait
jamais si l’intervalle calculé avec l’échantillon observé contient µ mais notre degré de
confiance est de ( 1 - α ) 100% qu’il fait partie de ceux qui contienne µ
( les ‘ bons ‘ )
1050
µ =1000
1000
L’interprétation peut être comprise et illustrée seulement avec des données simulées
provenant d’une population gaussienne dont la moyenne est connue : exemple 7
950
900
Exemple 7 : simulation de 100 échantillons de taille n = 5
provenant d’une population gaussienne
µ = 1000
et
850
σ = 100
7 échantillons : # 14 – 23 – 25 – 49 – 71 – 73 – 79 ne contiennent pas 1000
800
#14 – 23 - 25 – 49 : intervalles excluant 1000
graphiques : page suivantes
moy-de-5
750
6 - 13
Bernard CLÉMENT, P h D
6 - 14
Bernard CLÉMENT, P h D
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Définition
d’ une
loi de Student
échantillons 51 à 100 : groupe de 5 obs
1250
Une
variable aléatoire T
dont la densité
de probabilité
est définie par
f T ( t ) = c (ν ) ( 1 + t /
<t<∞
s’appelle une variable de Student avec ν degrés de liberté , ν = 1, 2, 3,…., ∞
c (ν ) est une constante qui dépend de ν
2
1200
1150
1100
ν)-(ν+1)/2
-∞
remarque : une autre définition d’une v. a. de Student sera donnée plus loin dans ce chapitre
Propriétés
1050
• densité symétrique p.r à 0
• E(T) =0
µ = 1000
1000
• Var ( T ) = ν / ( ν -2 )
950
(ν>2)
• si ν = ∞ la variable de
900
Student est une variable
gaussienne centrée réduite
850
• si > 30 la loi de Student
800
750
est quasi identique à
une loi gaussienne
centrée réduite
71 – 73 - 79
moy-de-5
6 - 15
Bernard CLÉMENT, P h D
6 - 16
Bernard CLÉMENT, P h D
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table
des
quantiles d’une loi de Student
Résultat 6
l o i de S t u d e n t
Soit
Annexe H
OTHM
Alors T =
tp,ν
X =
X - µ_
s/√n
p. 535
( W. Gossett)
Var ( X i ) = σ2
E ( Xi ) = µ ,
Soit
∑Xi/n
i = 1, 2 ,… , n
S2 = ∑ ( X i – X ) 2 / ( n - 1 )
et
suit une loi de Student avec ν = n – 1 degrés de liberté
Remarque : la lettre T est généralement consacrée pour représenter la variable de cette loi
:
Cas B : population gaussienne et variance σ 2
quantile d’ordre p
X ~ N(µ, σ2=?)
inconnue
intervalle de confiance de la moyenne
loi Student Tν
X - t 1 – α / 2, n - 1 s ≤ µ ≤ X + t 1 – α / 2, n - 1 s
√n
√n
ν degrés de liberté
P ( Tν ≤ t p , ν ) = p
Exemple 8 :
6 observations de la durée de vie d’ampoules a donné
863.0 - 1016.2
Exemple :
- 945.8 - 992.5 - 943.8
X = 961.3
P ( T5 ≤ 2.015 ) = 0.95
et
- 1006.4
s = 57.0
Int. confiance à 0.90 pour µ : 961.3 ± 2.015 * 57 / √ 6 = ( 914.4 , 1008.2 )
6 - 17
6 - 18
Bernard CLÉMENT, P h D
Bernard CLÉMENT, P h D
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Estimation de la moyenne µ d’une population : méthode de l’intervalle de confiance
C :
population quelconque et
n
Loi d’échantillonnage de la différence entre 2 moyennes avec variances connues
au moins 30
0.14
0.14
X ~ N ( µX, σX2)
0.12
intervalle de confiance approximatif pour la moyenne
0.10
X - z1 – α / 2 s ≤ µ ≤ X + z1 – α / 2 s
√n
√n
0.10
σX
GAUSS
0.08
0.08
0.06
0.02
0.02
0.00
0.00
Exemple 9 : la durée de vie de 50 ampoules électriques d’une certaine marque a
donné
Intervalle
X = 1014
et
s = 98.7
de confiance à 0.90 pour µ
-0.02
-0.02
-2
0
2
4
6
8
10
12
µX
14
16
18
X = ∑ X i / n1
1014 ± 1.96 * 98.7 / √ 50
1014 ± 27.4
20
22
24
26
-2
0
2
4
échantillons
indépendants
moyennes
Résultat 7 : ( a ) E ( X - Y ) = µX - µY
( 986.6 , 1041.4 )
6
8
10
( b ) Var ( X - Y ) = σX2 / n1 + σY 2 / n2
12
µY
14
16
18
20
22
24
U
U
X1, X2, … , Xn1
est
σY
0.06
0.04
0.04
Remarque : la formule repose sur le théorème central - limite
Y ~ N ( µY, σY2)
0.12
GAUSS
Cas
Y1, Y2, … , Yn2
Y = ∑ Y i / n2
vrai sans aucune
hypothèse sur les lois
( c ) X - Y ~ N ( µX - µY , σX2 / n1 + σY2 / n2 )
( d ) le résultat ( c ) est approximatif
si n1 et n2 sont plus grands que 30
6 - 19
Bernard CLÉMENT, P h D
6 - 20
Bernard CLÉMENT, P h D
26
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Cas D : intervalle de confiance - différence de 2 moyennes
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
µX - µY
Loi d’échantillonnage de la différence entre 2 moyennes avec variances inconnues égales
variances connues
0.14
X ~ N ( µX,
0.10
0.12
σ2)
pour la différence de vie ( heures ) moyenne de deux types ( X et Y)
d’ampoules électriques à l’aide des
X :
solution
n = 16
informations suivantes :
σ = 128
0.08
σ
0.06
X = 1050
0.04
0.02
0.02
0.00
µX
-0.02
-2
0
2
4
6
8
10
12
-0.02
14
16
18
20
22
26
-2
0
2
4
6
8
µY
10
12
14
16
18
20
SY2 = ∑ ( Y i – Y ) 2 / ( n2 - 1 )
variances
[ ( n1 -1 ) SX2 + ( n2 – 1) SY2 ] / ( n1 + n2 -2)
« pooled »
les ampoules de type X durent elles ( en moyenne ) plus longtemps
Résultat 8 :
( X - Y ) - ( µX - µY )
Sp √ 1/ n1 + 1 / n2
= T ~ Student avec n1 + n2 -2 ddl
6 - 21
Bernard CLÉMENT, P h D
6 - 22
Bernard CLÉMENT, P h D
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intervalle de confiance - différence de 2 moyennes
variances inconnues mais égales
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Résultat 9 :
µ X - µY
Exemple 11 :
et la méthode nouvelle. On croit que la nouvelle méthode
Cas F :
Sp2
2
2
n1 = 10
X = 55
sX = 10
n2 = 12
Y = 40
sY = 7
= ( 9 x 10 + 11 x 7 ) / 20 = 8.48
ν = min ( n1-1, n2 -1)
µX - µY : X - Y ± t 1 – α/2, ν [ sx2 / n1 + sY2 / n2 ] 0.5
à 95 % pour la différence de temps moyen d’assemblage entre les 2 méthodes.
méthode nouvelle :
= T ~ Student avec ν ddl
intervalle de confiance - différence de 2 moyennes µX - µY
variances inconnues et inégales ν = min ( n1-1, n2 -1)
n’affecte pas sensiblement la variabilité. Déterminer un intervalle de confiance
Y
sont inconnues et inégales alors
(méthode Hsu)
on a modifié la séquence d’opération pour faire l’assemblage de
données : X méthode actuelle :
les variances
√sX2 / n1 + sY2 / n2
plusieurs composants. Les données suivantes furent obtenues pour comparer la
la méthode actuelle
si
( X - Y ) - ( µX - µ Y )
µX - µY : X - Y ± T1 – α/2, n1 + n2 - 2 Sp [ 1/ n1 + 1/ n2 ] 0.5
solution :
24
Y = ∑ Yi / n2
moyennes
SX2 = ∑ ( X i – X ) 2 / ( n1 - 1 )
que les ampoules de type Y ?
Cas E :
22
U
Y1, Y2, … , Yn2
échantillons indépendants
X = ∑ Xi / n1
S p2 =
24
U
X1, X2, … , Xn1
Y : n=9
σ = 81
Y = 970
selon la formule ci haut et la table de la gaussienne centrée réduite
et z 0.975 = 1.96
σ
0.06
0.04
0.00
µX - µY : 1050 – 970 ± 1.96 ( 1282 / 16 + 812 / 9 )0.5 = 80 ± 82.1 = ( - 2.1, 162.9 )
question
GAUSS
0.08
Exemple 10 : calculer un intervalle de confiance avec coefficient de confiance 0.95
Y ~ N ( µY, σ2)
0.10
GAUSS
µX - µY : X - Y ± Z 1 – α /2 [σX2 / n1 + σY2 / n2 ]
0.14
0.12
0.5
Exemple 12 : OTHM ex. 6.25 p 195 comparaison de la force de tension de
rupture ( psi x1000) de 2 types d’acier
2
données
t 0.975, 20 = 2.08
acier X : n1 = 16
X = 74.6
sx2 = 3.5
acier Y : n2 = 13
Y = 70.2
sY2 = 19.2
intervalle de confiance à 90%
µX - µY : ( 55 – 40 ) ± 2.08 * 8.48 ( 1 / 10 + 1 / 7 ) 0.5 = 15 ± 4.08 = (10.92, 19.08 )
ν = min ( 15, 12) = 12
µX - µY : ( 74.6 – 70.2 ) ± 1.78 ( 3.5 / 16 + 19.2 / 13 ) 0.5
intervalle de confiance à 99%
question : la nouvelle méthode réduit- elle le temps moyen d’assemblage ?
-
-
ν = min ( 15, 12) = 12
t 0.95, 12 = 1.78
= 4.4 ± 2.3 = ( 2.1, 6.7 )
t 0.995, 12 = 3.05
µX - µY : ( 74.6 – 70.2 ) ± 3.05 ( 3.5 / 16 + 19.2 / 13 ) 0.5 = 4.4 ± 4.0 = ( 0.4, 8.4 )
6 - 23
Bernard CLÉMENT, P h D
6 - 24
Bernard CLÉMENT, P h D
26
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Définition d’un loi du Khi-deux
Une variable aléatoire
χ2
Table des quantiles d’une loi Khi-deux
dont la densité de probabilité est définie par
f χ2 ( u ) = c( ν ) u ( ν / 2) - 1 exp ( - u / 2 )
Quantile de la loi Khi-deux
0 <u<∞
s’ appelle une variable khi-deux avec ν degrés de liberté (ddl),
ν = 1, 2,3, …, ∞
------------------------------------
c( ν ) est une constante qui dépend de ν
OTHM annexe F
Propriétés
p. 531
• E ( χ2 ) = ν
et
Var ( χ2 ) = 2 ν
Notation
• si Z ~ N( 0,1 ) alors Z 2 suit une loi Khi-deux avec 1 ddl
• la somme de variables Khi-deux indépendantes est une Khi-deux
• si Z i ~ N ( 0, 1 ) i = 1, 2, …, n alors
∑ Z i2 ~ Khi- deux
• si X i ~ N ( µ, σ2 ) i = 1, 2, …, n alors ∑ [ (X – µ )/ σ]
2
avec n ddl
~ Khi- deux
avec n ddl
χ2 p, ν :
quantile d’ordre p
d’une variable χ ν
avec ν degré de liberté
P ( χ 2 ν ≤ Χ 2p, ν ) = p
Exemple
P ( χ210 ≤ 15.987 ) = 0.90
densité de probabilité loi khi-deux
6 -25
Bernard CLÉMENT, P h D
6 -26
Bernard CLÉMENT, P h D
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Définition d’une loi F(v1, v2) de Fisher-Snedecor
Résultat 10 : soit X i i = 1, 2,…, n un échantillon aléatoire d’une population N( µ, σ2 )
Une variable aléatoire X dont la densité de probabilité f est définie par
soit S 2 = 1 /( n – 1 ) ∑ ( X i – X ) 2 la variance échantillonnale
alors (n-1) S 2 / σ2 = ∑ ( X i – X ) 2 / σ2 suit une loi Khi-deux avec (n – 1) ddl
Résultat 11 :
E ( S 2 ) = σ2
f X ( x) = c(ν1,ν2) x ( ν1 / 2 ) - 1 [ 1 + ( ν1/v2 )x ] - ( v1 + v2 ) /2
c’est - à- dire S2 est une estimation sans biais de σ2
0 <x<∞
est appelée une variable aléatoire distribuée selon une loi de Fisher-Snedecor avec
v1 ddl au numérateur
et v2 ddl au dénominateur; c(v1,v2) est une constante
remarque: ce résultat est la justification du diviseur n – 1 employé dans la définition de S 2
Propriétés
Cas G : intervalle de confiance pour σ2
soit X i
Alors
/ coefficient de confiance = 1 - α
• E ( F ) = v2 / ( v2 – 2 )
• si X1 suit une loi Khi-deux avec v1 ddl
X2 suit une loi Khi-deux avec v2 ddl
X1 et X2 sont indépendantes alors
i = 1, 2,…, n un échantillon aléatoire d’une population N( µ, σ2 )
(n–1)s2
Χ2
≤ σ2 ≤
1- α /2, n-1
(n – 1 ) s 2
Χ2 α /2, n-1
( X1 / v1 ) / ( X2 / v2 ) suit une loi F(v1,v2)
• T2v = F (1, v) : le carré d’une loi de Student
avec v ddl est une loi F(1,v)
remarque : cette formule fournit un intervalle de confiance pour σ en prenant les racines carrées
Exemple 13 : un échantillon de 20 ampoules électriques a donné une durée moyenne
de 1014 et une variance échantillonnale de 625. Un intervalle de confiance pour σ2
et σ avec un coefficient de confiance de 95% est donné par
19 * 625 / 32.85 ≤ σ2 ≤ 19 * 625 / 8.91
361.49 ≤ σ2
19.01 ≤ σ
≤ 1332.77
≤ 36.51
6 -27
Bernard CLÉMENT, P h D
Loi de probabilité de Fisher-Snedecor
Bernard CLÉMENT, P h D
6 -28
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Quantiles d’une
loi F de
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Fisher-Snedecor
loi d’échantillonnage du quotient de 2 variances
Annexe I - OTHM p. 536-545
0.14
0.14
0.12
:
0.10
σX
0.08
GAUSS
F p, v1, v2
quantile d’ordre p d‘une
variable de Fischer- Snedecor
avec
F v1 , v2
0.08
0.06
0.02
0.02
0.00
0.00
µX
-0.02
-2
0
2
4
6
8
10
12
-0.02
14
16
18
20
22
24
-2
26
0
2
4
6
8
10
Exemple
échantillons
≤ 5.25 ) = 0.90
( SX2
Résultat 12
/ σX2 )
/ σY2)
18
20
22
24
SY2 = 1/( n2 – 1 ) ∑ ( Yi – Y )2
variances
/ (SY2
16
Y = ∑ Yi / n2
moyennes
SX2 = 1/( n1 – 1 ) ∑ ( Xi – X )2
14
Y1, Y2 , … , Yn2
indépendants
X = ∑ Xi / n1
12
µY
U
U
X1, X2 , … , Xn1
P(F8,3
σY
0.06
0.04
0.04
v1 ddl au numérateur
v2 ddl au dénominateur
Y ~ N ( µY, σY2)
0.12
X ~ N ( µX, σX2)
0.10
GAUSS
Notation
suit
une loi
F n1-1 , n2-1
Remarque : ce résultat est une conséquence du résultat 10
6 -29
Bernard CLÉMENT, P h D
6 - 30
Bernard CLÉMENT, P h D
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Distribution d’échantillonnage de l’étendue R
cas H : intervalle de confiance pour le quotient de 2 variances / coeff. conf. = 1 - α
( SX2 / SY2 ) Fα /2, n1 -1, n2 -1 ≤ σX2 / σY2 ≤
remarque :
( SX2/SY2 ) F1
– α /2, n1-1 , n2 -1
Résultat 13 : soit X i un échantillon de n observations d’une population N ( µ, σ2 )
R = max ( X i ) - min ( X i ) : étendue échantillonnale
alors
E(R)=d2σ
et
Var ( R ) = d 32 σ2
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
25
d 2 1.128 1.693 2.059 2.326 2.534 2.704 2.847 2.970 3.078 3.472 3.735 3.931
d 3 0.853 0.888 0.880 0.864 0.848 0.833 0.820 0.808 0.797 0.755 0.729 0.709
ce résultat fournit l’intervalle de confiance pour le quotient des écart
types en prenant les racines carrées de l’inéquation
table complète : OTHM annexe G p. 532
Exemple 14 :
OTHM ex. 6.49 p. 209
échantillon X : n1 = 25
échantillon Y : n2 = 25
coefficient de confiance = 0.95
remarque: il n’est pas recommandé d’utiliser R pour estimer σ
SX2 = 0.012
SY2 = 0.020
F 0.025 , 24 , 24 = 0.44
l’écart type s est préférable car il est plus précis (moins variable)
F 0.975 , 24 , 24 = 2.27
Résultat 14 : application - cartes de contrôle de Shewhart ( chapitre 8 OTHM )
0.60 x 0.44 ≤ σX2 / σY2 ≤ 0.6 x 2.27
0.26
≤ σX2 / σY2 ≤ 1.36
0.51
≤ σX / σY ≤ 1.17
(a) σ =R/d2
est une estimation sans biais de σ :
( b ) soit k groupes de n données,
question : les variances ( ou les écart types ) sont – elles différentes ?
Rj
E ( R / d 2) = σ
l’étendue du groupe j = 1, 2,..., k
R= ∑ Rj/k
l a moyenne des étendues
σ =R/d2
est une estimation sans biais de σ
fR
6 -31
Bernard CLÉMENT, P h D
avec n > 10
Bernard CLÉMENT, P h D
distribution d’échantillonnage de R : n fixé
0
E( R )
R
6 -32
26
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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Distribution d’échantillonnage de l’étendue S
Intervalle de tolérance ( prédiction) pour une variable aléatoire X
Résultat 15 : soit X i un échantillon de n observations d’une population N ( µ, σ2 )
S = [ (1 / ( n – 1 )) ∑ ( Xi – X ) 2 ] 0.5
: l’écart type échantillonnal
alors
E(S)=c4σ
et
p:
σ
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
25
c 4 0.798 0.886 0.921 0.940 0.952 0.959 0.965 0.969 0.973 0.982 0.987 0.990
c 5 0.603 0.463 0.389 0.341 0.308 0.282 0.262 0.246 0.232 0.187 0.161 0.144
table complète : OTHM annexe G p. 533
remarque :
si n >= 10
c4 ≈ 1
a
µ
( a ) σ = S / c 4 est une estimation sans biais de σ
( b ) soit k groupes de n données,
:
E( X ) = µ
Var ( X ) = σ2
couverture
X
b
déterminer a et b tel que :
a
X
b
P ( a ≤X≤ b ) = p
ex. 0.95, 0.99
( a, b ) : intervalle de tolérance (prédiction) ( bilatéral ) pour X
Résultat 16 : application - cartes de contrôle de Shewhart ( chapitre 8 OTHM )
Cas 1 : N( µ, σ2) µ, σ connus
E ( S /c 4 ) = σ
S j l’écart type du groupe j = 1, 2,..., k
a = µ - z (1 - p) / 2 σ
b = µ + z (1 - p) / 2 σ
remarque : on est certain à 100% de la couverture p
S = ∑ S j / k la moyenne des écart types
σ = S / c 4 est une estimation sans biais de σ
fS
X : distribution quelconque
N (µ, σ2)
Var ( S ) = c 52 σ2
Cas 2 : N( µ, σ2) µ, σ inconnus
a = x - K p, n s
b = x + K p, n s
où x et s proviennent des données x1, x2, …, x n
distribution d’échantillonnage de S : n fixé
K dépend de n et p et d’un coefficient de confiance 1- α
voir annexe J-1
S
0
E( S )
OTHM p. 546
Remarque : - on peut aussi construire des intervalles unilatéral - l’annexe J – 2 ( OTHM p. 547 )
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Bernard CLÉMENT, P h D
- ne pas confondre la valeur de p et celle de 1 – α ; elles ne sont pas reliées
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Bernard CLÉMENT, P h D
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Exemple 15 : ex 6.26 OTHM p. 196
intervalle de tolérance avec couverture p = 0.95 et 0.99
n = 12
x = 1.50 s = 0.10
tableau J-1
coefficient de confiance
0.90
0.95
couverture p
0.95
0.99
0.95
0.99
K p, ,n
2.863
3.758
3.162
4.150
intervalle a
1.21
1.12
1.18
1.085
b
1.79
1.88
1.82
1.915
Annexe J-1
Tableau des
Constantes K
p = couverture
1–α=
coefficient
Cas 3 : aucune hypothèse sur la forme de la distribution de X
de confiance
soit x1, x2, …, x n ; a = min ( X i ) b = max ( X i )
alors (a, b) est un intervalle de tolérance (bilatéral) de couverture p
avec un coefficient de confiance = 1 – α = 1 – n p n-1(1- p) - p n (
*)
remarque : - l’équation ( ) peut être employée avec n et p spécifiées
*
- trouver n si on spécifie p et 1 - α , n = n( p,1 – α )
annexe K-1 (p. 548 OTHM)
Exemple 16 : exemple 6. 26 p. 197 OTHM
n = 100
couverture p = 0.95
b = X max = 0.5069
1 – α = 1 – 100 * 0.95 99( 1- 0.95) – 0.95 100 = 0.96
Remarque : on peut aussi construire des intervalles unilatéral
voir l’annexe K – 2 ( p. 549 OTHM )
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Bernard CLÉMENT, P h D
a = X min = 0.5018
Bernard CLÉMENT, P h D
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