MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie Lexique anglais

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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Lexique anglais - français
Constats et terminologie statistique
Distribution de la moyenne – théorème central- limite
Estimation : Intervalle de confiance pour la moyenne µ
Calcul de la taille échantillonnale n
Estimation : différence entre 2 moyennes µ1-µ
2
Estimation : variance σ2- écart type σ
Loi d’échantillonnage : quotient de 2 variances σ12/σ22
Loi d’échantillonnage : étendue R et écart type S
Intervalle de tolérance pour une variable
Hors programme : Estimation : paramètre θd’une loi binomiale
(6.5 et 6.6) Estimation : différence θ1-θ2entre 2 lois binomiales
Bernard CLÉMENT, P h D
Chapitre 6 - Distributions échantillonnales et estimation
6 - 2
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie-
Bernard CLÉMENT, P h D
•sample statistic ………. statistique échantillonnale
•sampling distribution ….. loi (distribution) d’échantillonnage
•sample mean …………….. moyenne échantillonnale
•estimator …………………. estimateur
•estimate …………………… estimation
•interval estimate ……….. estimation par intervalle
•point estimate …….…….. estimation ponctuelle
•confidence level ………… niveau de confiance
•one-sided …………………... unilatéral
•two-sided …………………… bilatéral
•paired samples ……………. échantillons appariés
Lexique anglais – français
6 -
3
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Bernard CLÉMENT, P h D
Constats et terminologie statistique
•les populations statistiques sont modélisées par des lois de probabilités
dont les paramètres sont toujours inconnus;
• le mieux que l’on puisse faire: estimer les paramètres avec des
données échantillonnales (observations ) provenant de la population;
• les données ( X1, X2, …) sont transformées en statistique Y par une fonction
Y= h ( X
1, X2,…. ) et Y est une variable aléatoire
le choix de h dépend de l’application envisagée ( estimation ou test)
la loi de probabilité de Y s’appelle distribution d’échantillonnage;
exemple : 2 échantillons de taille n provenant de la même population
( X1, X2,…Xn) et ( X1’, X2’, ….., Xn’) auront une moyenne ( xbar),
différente, un écart type s différent, un histogramme différent :
c’est l’influence de la variabilité de l’échantillonnage;
• on dispose toujours que d’un seul échantillon de taille n pour mettre
en œuvre une procédure statistique : estimation ou test
•paramètre statistique ξ: toute quantité associée à une loi de probabilité
ex. ξ= µ: moyenne loi gaussienne , ξ= σ: écart type loi quelconque
ξ= θ(1 - θ) :moyenne loi Bernoulli ( θ)6 - 4
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Bernard CLÉMENT, P h D
Constats et terminologie statistique
Échantillon aléatoire : un ensemble de variables aléatoires X1, X2, , Xn
telles que (a) les variables sont soumises à une même loi f(x)
(b) les variables sont indépendantes
donc la loi conjointe : g (X1, X2, …, Xn) = f( X1)* f(X2) * …* f(Xn)
Statistique : toute fonction aléatoire établie sur l’échantillon
Y = h (X1, X2, …., X n) remarque : Y est une v.a
Estimateur : une statistique particulière conçue de façon à fournir
une estimation d’un paramètre d’une loi de probabilité
Estimation ponctuelle d’un paramètre ξ: est la valeur numérique ξ
prise par un estimateur sur la base d’un échantillon (x1, x2,…, xn)
ξ= h( x1, x2, … , xn)
Estimation par intervalle : d’un paramètre statistique ξest un intervalle
(a,b) dont les valeurs a et b dépendent de l’échantillon (x1, x2,…, xn)
et une probabilité spécifiée 1 - α(appelée coefficient de confiance )
de telle sorte que : P ( a ≤ξ ≤ b) = 1- α
6 -

5
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Bernard CLÉMENT, P h D
Loi d’échantillonnage ( ce concept est fondamental )
tout estimateur ξpossède une loi de probabilité appelée loi
(ou distribution) d’échantillonnage ; l’étude des propriétés de l’estimateur
repose sur l’étude des propriétés de cette distribution.
Estimateur sans biais ( sans erreur systématique ) : un estimateur
dont la moyenne est égale au paramètre à estimer : E( ξ) = ξ
ξ
ξ
distribution d’échantillonnage E( ξ)
n1
n2 > n1
n2
Résultat (sous certaines conditions très générales ) : la distribution d ’échantillonnage
est approximativement en forme de cloche (gaussienne) et sa dispersion
(variance) diminue lorsque n augmente
Propriété la plus importante d’un estimateur = Var( ξ)
« bon » estimateur : a une petite variance
« meilleur » estimateur : est sans biais et à variance minimum
6 - 6
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Bernard CLÉMENT, P h D
Résultat 1 Soit X 1, X 2,, ….. , X ndes v. a. indépendantes telles que
E( Xi) = µ iet Var ( Xi)= σi2i = 1, 2, …, n
soient a 1,a
2,, …. , a ndes constantes et
i=n
soit W = ∑a iXiune combinaison linéaire des X i
i=1
Alors E( W ) = µ W= ∑a i µiet Var ( W ) = σw2= ∑ai2σi2
remarque 1 : aucune hypothèse est nécessaire sur les lois des X i
remarque 2 : si les X sont gaussiennes alors W est gaussienne
Résultat 3 Si les X isont gaussiennes X i~ N ( µ , σ2)
alors X est gaussienne N ( µ , σ2/ n )
Résultat 2 Soit ai= 1 / n E(X ) = µ Var( X i) = σ2 alors
i=n
W = X = Xbar = ∑ (1 / n ) X ivérifie E( X ) = µ et Var( X ) = σ2/ n
i=1
6 -
7
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Bernard CLÉMENT, P h D
Distribution de la moyenne échantillonnale et théorème central limite
Résultat 4 : théorème central – limite
Soit Y = ∑ X iavec E( X i) = µ i, Var ( X i) = σi2i = 1, 2, … , n
Si «n est assez grand »( au moins 30 )
Alors Y suit approximativement une loi gaussienne N ( µY , σY2 )
avec µ Y=∑ µ iet σY2=∑ σi2
Remarque : il n’y a aucune condition spécifique sur les lois des X i
Résultat 5 Si E( X i) = µ , Var ( X i)= σ2i = 1, 2 ,… , n
alors X suit approximativement loi gaussienne N ( µ , σ2/ n )
remarque on peut écrire le résultat sous la forme équivalente
_X -µ_ suit approximativement une loi N ( 0, 1)
σ/ √n
6 - 8
MTH 2301 Méthodes statistiques en in
g
énierie
(
6-8
)
Histogram (chap06.sta 31v*30000c)
-1.7318
-1.4547
-1.1776
-0.9005
-0.6234
-0.3462
-0.0691
0.2080
0.4851
0.7622
1.0393
1.3164
1.5935
uniforme
0
100
200
300
400
500
600
700
No of obs
Histogram (chap06.sta 21v *30000c)
unif2 = 15000*0.0689*normal(x; 7.9327E-5; 0.706)
-1.7286
-1.4530
-1.1773
-0.9017
-0.6260
-0.3504
-0.0747
0.2009
0.4765
0.7522
1.0278
1.3035
1.5791
unif2
0
100
200
300
400
500
600
700
No of obs
Histogram (chap06 .sta 21v*30000c )
unif5 = 6000*0.0572*normal(x; 7.9327E-5; 0.4506)
-1.4455
-1.2165
-0.9876
-0.7587
-0.5297
-0.3008
-0.0719
0.1570
0.3860
0.6149
0.8438
1.0727
1.3017
unif5
0
50
100
150
200
250
300
350
No of obs
Bernard CLÉMENT, P h D
Loi de X
Histogram (chap06 .sta 21v*30000c )
unif15 = 2000*0.0316*normal(x; 7.9327E-5; 0.2586)
-0.7560
-0.6298
-0.5035
-0.3772
-0.2510
-0.1247
0.0016
0.1278
0.2541
0.3804
0.5066
0.6329
0.7592
unif15
0
20
40
60
80
100
120
No of obs
Histogram (chap06.sta 21v *30000c)
unif30 = 1000*0.0249*normal(x; 7.9327E-5; 0.1825)
-0.6378
-0.5380
-0.4382
-0.3384
-0.2387
-0.1389
-0.0391
0.0607
0.1605
0.2603
0.3601
0.4599
0.5597
unif30
0
10
20
30
40
50
60
70
No of obs
n = 1
n = 2
n = 5
n = 15
n = 30
uniforme
Histogram (chap06.sta 31v*30000c)
-1.0000
0.0273
1.0546
2.0819
3.1092
4.1365
5.1638
6.1911
7.2184
8.2457
9.2730
10.3003
11.3276
exponentie lle
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
No of obs
exponentielle
Histogram (chap06.sta 31v*30000c)
-0.996 1
-0.3735
0.2491
0.8717
1.4944
2.1170
2.7396
3.3622
3.9848
4.6074
5.2301
5.8527
6.4753
expo2
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
No of obs
Histogram (chap06.sta 31v*30000c)
expo5 = 6000*0.0774*normal(x; 0.0031; 0.4455)
-0.9355
-0.6259
-0.3162
-0.0066
0.3030
0.6126
0.9222
1.2318
1.5414
1.8510
2.1606
2.4703
2.7799
expo5
0
100
200
300
400
500
600
No of obs
Histogram (chap06.sta 31v*30000c)
expo15 = 2000*0.0369*normal(x; 0.0031; 0.2567)
-0.6499
-0.5023
-0.3548
-0.2073
-0.0598
0.0878
0.2353
0.3828
0.5303
0.6778
0.8254
0.9729
1.1204
expo15
0
20
40
60
80
100
120
140
160
No of obs
Histogram (chap06.sta 31v*30000c)
expo30 = 1000*0.0242*normal(x; 0.0031; 0.1816)
-0.5145
-0.4176
-0.3208
-0.2239
-0.1270
-0.0302
0.0667
0.1636
0.2604
0.3573
0.4542
0.5510
0.6479
expo30
0
10
20
30
40
50
60
No of obs
gaussienne
P O P U L A T I O N
Histogram (chap06 .sta 31v*30000c )
gaussienne = 30000*0.1715*normal(x; -0.0018; 1.0078)
-3.909 5
-3.223 5
-2.5375
-1.851 4
-1.1654
-0.4794
0.2066
0.8926
1.5787
2.2647
2.9507
3.6367
4.3227
gaussienne
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
No of obs
Histogram (chap06.sta 31v *30000c)
norm2 = 15000*0.1032*normal(x ; -0.0018; 0.7139)
-2.6496
-2.2367
-1.8237
-1.4107
-0.9978
-0.5848
-0.1719
0.2411
0.6541
1.0670
1.4800
1.8929
2.3059
norm2
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
No of obs
Histogram (chap06.sta 31v *30000c)
norm5 = 6000*0.0672*normal(x; -0.0018; 0.448 9)
-1.6782
-1.4096
-1.1409
-0.8723
-0.6037
-0.3350
-0.0664
0.2022
0.4709
0.7395
1.0081
1.2767
1.5454
norm5
0
50
100
150
200
250
300
350
400
No of obs
Histogram (chap06.s ta 31v*30000 c)
norm15 = 2000*0.0361*normal(x ; -0.0018; 0.2586)
-1.0046
-0.8604
-0.7161
-0.5718
-0.4275
-0.2832
-0.1389
0.0054
0.1497
0.2940
0.4382
0.5825
0.7268
norm15
0
20
40
60
80
100
120
140
No of obs
Histogram (chap06.sta 31v *30000c)
norm30 = 1000*0.0238*normal(x; -0.0018; 0.1854)
-0.6652
-0.5701
-0.4750
-0.3799
-0.2848
-0.1897
-0.0946
0.0005
0.0956
0.1907
0.2858
0.3809
0.4760
norm30
0
10
20
30
40
50
60
No of obs

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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Bernard CLÉMENT, P h D
6 -
Exemple 1: approximation de la loi binomiale par une loi gaussienne ( voir chap. 5)
est un cas particulier de l’application du théorème central – limite.
X = nombre de succès dans une suite de n essais de Bernoulli indépendants
X iv. a. de Bernoulli associée au i -ème essai i = 1, 2,…, n
1 avec probabilité θ
X i=
0 avec probabilité 1 - θ
E ( X i) = 0 * ( 1 - θ ) + 1 * θ = θ Var ( X i) = θ ( 1 – θ )
X = ∑ X i est une v. a binomiale b( n, θ )
On applique le résultat 4 : X suit approximativement loi N ( n θ , n θ ( 1 - θ ) )
Donc X – n θ__ =X-θ____ suit approximativement loi N ( 0, 1)
√n θ ( 1- θ ) √θ ( 1- θ ) / n
Exemple 2 : dans un contrôle de la qualité en cours de réception, on doit prélever un
échantillon de taille n dans un lot contenant 10% de non- conformes. Déterminer n pour
que le nombre X d’articles non- conformes dans l’échantillon vérifie l’équation:
P ( 0.05 ≤X / n ≤0.15 ) = 0.95 ( * )
solution X suit loi b( n, θ = 0.1) et X suit approximativement loi N ( 0.1*n, 0.09*n )
( * ) s’écrit Φ( ( 0.15n – 0.1*n + 0.5 ) / 0.3 √ n ) ) - Φ( ( 0.05n – n*0.1 - 0.5 ) / 0.3 √ n ) ) = 0.95
Donc Φ( ( 0.05n + 0.5 ) / 0.3 √ n ) ) = 0.975 alors ( 0.05n + 0.5 ) / 0.3 √ n ) ) = 1.96
n 2 -118.3n + 100 = 0 et n = 118
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Bernard CLÉMENT, P h D
6 -
Exemple 3: La demande quotidienne d’énergie électrique ( KWh ) pour un logement est
une variable de moyenne 200 et d’écart type 20. Soit D la demande totale d’énergie
électrique dans un arrondissement de 500 logements. Calculer une limite supérieure D 0
pour D qui ne serait pas dépassée avec probabilité 0.99
solution : D = ∑X i ou X i est la demande du logement i = 1, 2, …., 500
D suit approximativement une loi gaussienne N ( µ , σ2)
µ = 500 * 200 = 100 000 et σ2=500 * 202= 200 000 = ( 447.2 )2
P ( D ≤D 0 ) = 0.99 Φ( (D 0- 100 000 ) / 447.2 ) ) = 0.99
D0= 100 000 + z 0.99 *447.2 = 100 00 + 2.33 * 447.2 = 101 042
Exemple 4 : la durée de vie X d’un composant électronique suit une loi exponentielle
de moyenne 100 heures (a) Quelle est la probabilité que la durée moyenne X de 36
composants dépasse 125 heures (b) Combien de composants doit- on avoir fin que la
différence entre X et 100 n’excède pas 10 avec une probabilité de 0.95 ?
solution : si X suit une loi exponentielle l’écart type ( X ) = moyenne ( X ) = 100 ( chap. 5)
alors X suit approximativement une loi N ( 100, 100 2/ 36 )
( a ) P ( X > 125 ) = 1 – Φ( ( 125 – 100) / (100 / 6 ) = 1 - Φ( 1.5 ) = 1 - 0.933 = 0. 067
( b ) P ( │X - 100 │< 10 ) = 0.95 alors P ( │ X - 100 │< 10 __ ) = 0.95
100 / √n 100 / √ n
2 Φ( √ n / 10 ) - 1 = 0.95 donne n = 384
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Bernard CLÉMENT, P h D
6 -
Estimation de la moyenne µ d’une population : méthode de l’intervalle de confiance
Cas A : population gaussienne et variance σ2connue X ~N ( µ , σ2 )
soit X 1, X 2, …, X nun échantillon de X alors ( X – µ ) / ( σ/ √ n ) ~N ( 0, 1 )
alors P ( - z1 – α/ 2 ≤( X – µ ) / ( σ/ √ n ) ≤z1 – α/ 2 ) = 1 - α(*)
-2 0 2 4 6 8 101214161820222426
U
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
GAUSS
N ( 0, 1) :
gaussienne
centrée – réduite
1 - α: coefficient
de confiance
-z1 – α/ 2 0 z 1 – α/ 2
α/ 2
1 - α
Z = ( X – µ ) / (σ/ √ n )
On isole le paramètre µ de l’équation ( *) pour obtenir l’intervalle de confiance de µ
X-z
1 – α/ 2 σ ≤ µ≤ X + z 1 – α/ 2 σ
√n √n12
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Bernard CLÉMENT, P h D
6 -
Exemple 5: supposons que la durée ( heures) de vie X d’ampoules électriques d’une
certaine marque est une loi gaussienne de moyenne µ ( inconnue) et écart type de 100 h
(a) Déterminer un intervalle de confiance avec coefficient de confiance de 0.95 pour µ si
un échantillon de n = 20 ampoules a donné les durées de vie : 1076.2 - 989.2 - 1013.9
1152.5 - 1076.8 - …… 1028.7 - 946.2 - 1111.8 - 1060.5 de moyenne X = 1028.5 h
(b) Refaire ( a ) avec une coefficient de confiance de 0.99
(c) Combien d’ampoules doit –on échantillonnées si on veut un intervalle de confiance
à 0.95 de longueur égale à 30 ?
Solution : (a) 1028.5 - ( 1.96 * 100 / √20 ) ≤µ≤1028.5 + ( 1.96 * 100 ) / √ 20 )
1028.5 – 43.8 ≤ µ ≤ 1028.5 + 43.8
984.7 ≤ µ ≤ 1072.3
( b ) avec un coefficient de confiance de 0.99 le percentile 1.96 change pour 2.576
et l’intervalle de confiance devient 970.9 ≤ µ ≤ 1086.1
(c) la longueur de l’intervalle en (a) est de 2*43.8 = 87.6 avec n = 20
on veut 2 * 1.96 * 100 / √ n = 30 donc n = 171
Détermination de la taille de l’échantillon : calcul de n ( avec σconnu )
on spécifie : coefficient de confiance = 1 - αlongueur de l’intervalle = 2∆
on connaît σ
n= (z1 – α/ 2 σ/ ∆) 2

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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Bernard CLÉMENT, P h D
6 -
Exemple 6: suite de l’ex. 5 - Un deuxième échantillon de 20 ampoules a donné une vie
moyenne de 981 h. L’intervalle de confiance à 0.95 est : 937.2 ≤ µ ≤ 1024.8
Remarque : dans toute étude statistique on a toujours qu’un seul échantillon de taille n qui
est prélevé. Toute décision à prendre repose sur cet échantillon uniquement.
Dans l’exemple 6, on a prélevé un deuxième échantillon pour des fins d’illustration
mais si c’était le cas réel, on aurait combiné les deux en un seul échantillon de taille 40.
Interprétation d’un intervalle de confiance
Le coefficient de confiance se rapporte à la procédure à long terme : ( 1 - α) 100% des
intervalles calculés avec la formule génèrent des intervalles qui contiendront µ. On ne sait
jamais si l’intervalle calculé avec l’échantillon observé contient µ mais notre degré de
confiance est de ( 1 - α) 100% qu’il fait partie de ceux qui contienne µ ( les ‘ bons ‘ )
L’interprétation peut être comprise et illustrée seulement avec des données simulées
provenant d’une population gaussienne dont la moyenne est connue : exemple 7
Exemple 7: simulation de 100 échantillons de taille n = 5
provenant d’une population gaussienne µ = 1000 et σ= 100
7 échantillons : # 14 – 23 – 25 – 49 – 71 – 73 – 79 ne contiennent pas 1000
graphiques : page suivantes
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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Bernard CLÉMENT, P h D
6 -
intervalles de confiance : échantillons 1-50 de 5 obs.
moy-de-5
750
800
850
900
950
1000
1050
1100
1150
1200
1250
#14 – 23 - 25 – 49 : intervalles excluant 1000
µ =1000
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Bernard CLÉMENT, P h D
6 -
échantillons 51 à 100 : groupe de 5 obs
moy-de-5
750
800
850
900
950
1000
1050
1100
1150
1200
1250
71 – 73 - 79
µ = 1000
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Bernard CLÉMENT, P h D
6 -
Définition d’ une loi de Student
Une variable aléatoire T dont la densité de probabilité est définie par
f T( t ) = c (ν) ( 1 + t 2/ν) -( ν+ 1 ) / 2 -∞< t < ∞
s’appelle une variable de Student avec νdegrés de liberté , ν= 1, 2, 3,…., ∞
c (ν) est une constante qui dépend de ν
Propriétés
•densité symétrique p.r à 0
•E ( T ) = 0
•Var ( T ) = ν/ ( ν-2 )
( ν> 2 )
•si ν= ∞ la variable de
Student est une variable
gaussienne centrée réduite
•si > 30 la loi de Student
est quasi identique à
une loi gaussienne
centrée réduite
remarque :une autre définition d’une v. a. de Student sera donnée plus loin dans ce chapitre

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Bernard CLÉMENT, P h D
6 -
Annexe H
OTHM
p. 535
table des quantiles d’une loi de Student
tp , ν:
quantile d’ordre p
loi Student Tν
νdegrés de liberté
P ( Tν≤ tp , ν) = p
Exemple :
P ( T5 ≤ 2.015 ) = 0.95
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6 -
Cas B : population gaussienne et variance σ2inconnue X ~ N ( µ , σ2= ? )
intervalle de confiance de la moyenne
X - t 1 – α/ 2, n - 1 s ≤ µ ≤X + t 1 – α/ 2, n - 1 s
√ n √ n
Résultat 6 l o i de S t u d e n t ( W. Gossett)
Soit E ( X i) = µ , Var ( X i) = σ2i = 1, 2 ,… , n
Soit X = ∑Xi / n et S2 = ∑( X i–X ) 2 / ( n - 1 )
Alors T= X - µ_ suit une loi de Student avec ν=n – 1 degrés de liberté
s / √n
Exemple 8 : 6 observations de la durée de vie d’ampoules a donné
863.0 - 1016.2 - 945.8 - 992.5 - 943.8 - 1006.4
X = 961.3 et s = 57.0
Int. confiance à 0.90 pour µ : 961.3 ± 2.015 * 57 / √ 6 = ( 914.4 , 1008.2 )
Remarque : la lettre T est généralement consacrée pour représenter la variable de cette loi
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Bernard CLÉMENT, P h D
6 -
Estimation de la moyenne µ d’une population : méthode de l’intervalle de confiance
Cas C : population quelconque et n au moins 30
intervalle de confiance approximatif pour la moyenne
X -z1 – α/ 2 s ≤ µ ≤ X + z1 – α/ 2 s
√ n √ n
Remarque : la formule repose sur le théorème central - limite
Exemple 9 : la durée de vie de 50 ampoules électriques d’une certaine marque a
donné X = 1014 et s = 98.7
Intervalle de confiance à 0.90 pour µ est
1014 ± 1.96 * 98.7 / √ 50
1014 ± 27.4
( 986.6 , 1041.4 )
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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
-2 0 2 4 6 8 101214161820222426
U
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
GAUSS
Bernard CLÉMENT, P h D
6 -
Résultat 7: ( a ) E ( X - Y ) = µX -µ
Y
( b ) Var ( X - Y ) = σX2 / n1 + σY2/ n2
( c ) X - Y ~ N ( µX-µ
Y, σX2/ n1 + σY2/ n2 )
( d ) le résultat ( c ) est approximatif
si n1 et n2 sont plus grands que 30
-2 0 2 4 6 8 101214161820222426
U
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
GAUSS
X1, X2, … , Xn1
X ~ N ( µX,σX2)Y ~ N ( µ
Y, σY2)
σXσY
µXµY
Y1, Y2, … , Yn2
Loi d’échantillonnage de la différence entre 2 moyennes avec variances connues
échantillons
indépendants
X = ∑X i / n1 Y = ∑Yi/ n2
moyennes
vrai sans aucune
hypothèse sur les lois