MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie ∑ C

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
LOI BI NOMIALE
définition
X = nombre de succès dans une suite de n essais de Bernoulli indépendants
avec une probabilité commune de succès de θ
Chapitre 4 Lois discrètes
ƒ Loi binomiale
X i la v.a de Bernoulli associée au i ème essai i = 1, 2, …, n
Xi =1
ƒ Loi de Poisson
avec probabilité θ
Xi =0
avec probabilité 1 - θ
X1, X2,…, X n sont indépendantes,
ƒ Loi hypergéométrique
X= ∑Xi
ƒ Applications : contrôle (maîtrise) statistique de la qualité
est appelée une variable aléatoire binomiale (loi binomiale)
notation : X ~ b( n, θ )
SQC Statistical Quality Control
:
X suit une loi binomiale de paramètres ( n, θ )
f onction de masse
Statistica : BINOM( x ; θ ; n)
f (x) = P(X = x) = Cnx θ x (1- θ ) n – x
a) introduction au SPC - cartes de contrôle
x = 0 , 1 , …., n
Statistica : IBINOM( x ; θ ;n)
fonction de répartition
carte np - carte p - carte c - carte u
x
∑
F(x) = P(X ≤ x) =
b) contrôle de la qualité des lots
k ( 1- θ ) n - k
Cnk θ
k=0
moyenne - variance – écart type
Plans d’échantillonnage pour accepter ou rejeter des lots
E[X] = n θ
1
Bernard CLÉMENT, PhD
ET[X] = [n θ ( l - θ ) ] 0,5
Var[X] = n θ ( l - θ )
2
Bernard CLÉMENT, PhD
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LOI
LOI
BI NOMIALE
au dessus d’un
paramètre indique
n=30 θ=0,5
Bar/Column Plot (ch3.sta 10v*31c)
n=30 θ=0,9
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
0.18
0.16
0.16
0.14
0.14
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
0.20
0.18
0.16
0.12
0.14
0.12
0.10
0.12
0.10
0.08
0.10
0.08
une estimation
0.08
0.06
0.06
0.06
0.04
0.04
0.04
0.02
0.02
propriétés
0.00
0
2
4
a) erreur systématique
= écart entre θ et E ( θ )
^
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
0.02
binom 0.00
BINOM-2
1
3
5
7
9
n=100 θ=0,3
= E ( θ ) - θ = E ( X / n ) – θ = ( E(X) / n ) - θ = ( n θ / n) - θ = 0
b) erreur aléatoire = Var ( θ )
13
15
17
19
21
23
25
27
29
BINOM-3
0.00
3
1
5
7
9
0.09
0.08
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
n= 100 θ=0,8
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
0.09
0.08
pour tout θ
11
n=100 θ=0,5
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
0.10
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
0.14
0.12
0.07
0.10
0.07
= Var( θ ) = θ ( 1 – θ ) / n ≤ 0,25 / n
B I N O M I A L E (n , θ=theta)
n =30 θ=0,3
n : taille de l’échantillon - paramètre contrôlable connu
θ : paramètre généralement inconnu
comment estimer θ ?
réponse : l’estimation de θ est θ = X / n
où X = nombre succès en n essais de Bernoulli
remarque : le symbole
ou
0.06
0.06
0.08
0.05
0.05
0.04
0.06
0.04
0.03
remarque : les notions de l’estimation seront développées au chapitre 6
0.03
0.04
0.02
0.02
0.01
3
Bernard CLÉMENT, PhD
0.02
0.01
BINOM-4 0.00
0.00
1
8
15
22
29
36
43
50
57
64
71
Bernard CLÉMENT, PhD
78
85
92
99
BINOM-5
1
9
17
25
33
41
49
57
65
73
81
89
97
0.00
1
9
17
25
33
41
49
57
65
73
81
89
97
4
BINOM-6
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LOI
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de P O I S S O N
LOI
Épreuve consiste à recenser le nombre de ‘’succès’’ relatifs à des événements
répartis dans le temps ou la masse ou l’espace.
Fonction de répartition
k=x
F (x ) = ∑ e – λ λ
Nombre d’essais n’est pas fixé à l’avance comme dans les essais de Bernoulli
Événements sont étudiés en tant que « présence » (ou ‘’apparition’’) sur un
intervalle continu : on compte le nombre d’apparition d’un événement spécifique.
Exemple: la présence d’un défaut sur une pièce fabriquée.
Définition (conditions) si
1. Stationarité : la probabilité d’une occurrence sur une unité d’épreuve
Moyenne - variance - écart type
moyenne = E (X ) = λ
Var ( X ) = λ
ET ( X ) = λ0,5
Ce critère seul n’est pas suffisant pour caractériser la distribution Poisson.
du nombre d’occurrence sur les autres unités
Les conditions (page 5) doivent être vérifiées mais cela n’est pas
facile en pratique.
Les tests d’ajustement à une distribution (Poisson et autres) seront vus
au chapitre 7 pour traiter cette question.
X = nombre d’occurrence est soumise à une loi de Poisson de paramètre λ
On écrit X ~ Poi (λ )
Fonction de masse
λx/ x!
k=0
moyenne = variance
2. Indépendance : le nombre d’occurrence sur une unité est indépendant
λ
k/k!
Un critère essentiel pour une distribution Poisson
est la même pour toutes les unités;
pX ( x ) = e –
de P O I S S O N
x = 0, 1, 2, ….
5
6
Bernard CLÉMENT, PhD
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LOI
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de P O I S S O N
LOI
lambda = 5
de P O I S S O N
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c)
Exemples
0.20
lambda = 1
• nombre d’appels téléphoniques que reçoit un central particulier
0.18
0.16
0.14
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c)
durant une période de temps (durant une heure par exemple)
0.40
0.12
0.10
• nombre d’accidents qui surviennent pendant l’heure de pointe à une intersection
0.35
0.08
0.06
0.30
• nombre de défauts dans un rouleau de papier, rouleau de tissus, une
0.04
0.25
0.02
POI-5
0.00
plaque de métal ,…… (la surface est constante d’un échantillon à l’autre)
1
0.20
3
5
7
9
11
13
15
17
19
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c)
0.10
0.15
Important
0.09
- les conditions d’observation constituent une
- définir précisément
0.08
0.10
« fenêtre »
0.07
0.05
et maintenir constante
0.06
0.05
POI-1
0.00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
- le nombre d’occurrences est proportionnel à cette fenêtre
0.04
0.03
lambda = 20
0.02
0.01
POI-20
0.00
1
7
Bernard CLÉMENT, PhD
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
8
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LOI
de P O I S S O N
LOI
Exemple 1 : tissus en longueur de 50 mètres de long.
de POISSON
Exemple 2 : un composant critique d’une machine brise, en moyenne,
rouleaux contiennent (en moyenne) 2 zones inutilisables.
λ fois par période de temps. Combien ( k ) de composants devraient-on
On veut des longueurs de 10 mètres sans défauts.
stocker afin de s’assurer, avec une probabilité d’au moins de 1 – α
Achèteriez vos tissus de ce fabricant ?
(α = 0,05 et 0,01) de pouvoir faire les remplacements nécessaires en cas
Solution : hypothèses d’indépendance + probabilité proportionnelle surface
+ unité surface assez petite alors une seule occurrence
Solution :
Si oui, le processus est Poissonnien avec λ = 2 sur 50 mètres
Sur 10 mètres, le processus est Poissonnien avec lambda = 2 / 5 = 0,4
On cherche
P(X=0) = e
– 0,4
(0,4)
0/
de bris
sans attendre la livraison
de nouveaux composants ?
X nombre total de bris du composant
On suppose que X suit une loi de Poisson avec paramètre λ
à résoudre :
x=k
P( X ≤ k ) = ∑ e – λ λx / x ! = 1 - α
x=0
0! = 0,67
k=?
Quelques valeurs ( λ, α ) - utilisation de la fonction de répartition
λ
0.5
1
2
5_____
α
0,05
0,01 0,05
0,01 0,05 0,01 0,05 0,01_
k
3
4
4
5
5
6
10
12
Quelle votre décision ? ………
9
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10
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LOI
LOI de POISSON
Résultat :
Exemple 3 : confection de vêtements plein air : V = R + P + D
Poisson
- Revêtement extérieur ( R) + Pellicule imper ( P ) + Doublure iso (D)
X 1, X 2, …, X k des variables aléatoires indépendantes de
Soit
loi
addition de variables
Poisson
- 2 fournisseurs : fournisseur A et
de paramètres λ 1,, λ 2 , …, λ k respectivement.
Y = ∑ Xi
Alors
de POISSON
fournisseur B
- vêtement = pantalon + anorak
- pantalon exige 3 m.
est une variable de loi Poisson de
paramètre λ où
λ= ∑λi
Questions :
Anorak exige 2 m.
1. variables suivent-elles une loi Poisson ?
2 . Calculer la probabilité que l’ensemble pantalon + anorak
a) soit sans défectuosité ( X =0) ?
Résultat : approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson
Si
n ≥ 100
ET θ ≤ 0.10
ET
b) ait au plus une défectuosité ( X ≤ 1) ?
n θ ≤ 10 alors
avec les tissus du fournisseur A
on peut approximer la loi binomiale ( n, θ )
tableau : nombre de défectuosités – 6 variables
par une loi de Poisson de paramètre λ = n θ
(données page suivante)
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R-A
P-A
D-A
R-B
P-B
D-B
1
1
1
2
4
0
2
2
4
0
2
1
1
0
3
4
3
1
0
1
1
P-A
D-A
4
1
1
0
4
3
1
Moy
2,25
1,75
2,55
2,10
2,15
1,85
5
1
3
4
2
4
4
6
1
2
2
1
2
1
Var
2,60
1,99
2,68
1,57
2,24
1,92
7
6
4
3
3
0
2
8
4
3
6
1
2
1
2. Fournisseur A
lambda
Anorak
Exemple 3 : suite
Nombre de défectuosités
rouleau de 50 mètres
R = Revêtement
P = Pellicule imperméable
D = Doublure
A : fournisseur A
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LOI
de POISSON
Exemple 3 : suite
1. loi de Poisson ?
R-A
R-B
P-B
D-B
R-B ne semble pas suivre une loi de Poisson
9
4
2
4
3
0
0
B : fournisseur B
10
2
3
2
2
1
4
R-A : revêtement fourn. A
11
4
5
4
2
3
3
R
(2/ 50)*2,25
(3/50)*2,25
0,225
12
2
2
4
2
0
4
P
(2/ 50)*1,75
(3/ 50)*1,75
0,175
13
0
0
0
1
4
3
0
1
1
4
4
3
D
(2/ 50)*2,55
(3/ 50)*2,55
0,255
14
15
1
0
4
3
4
0
0,393
0,655
16
2
1
4
1
2
3
a) P ( X = 0, lambda = 0,655 ) = 0,5194
17
2
0
1
2
2
0
b) P ( X ≤ 1, lambda = 0,655 ) = 0,5194 + 0,3402 = 0,8594
18
3
1
1
3
4
2
19
2
2
2
0
3
2
20
1
1
4
3
3
1
P-A : pellicule fourn. A
D-A : doublure fourn. A
R-B : rev. fourn. B
P-B : pell. fourn . B
D-B : doub. fourn B
total
0,262
Panalon
total
13
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LOI
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LOI
HYPERGÉOMÉTRIQUE
Définition lot de N articles dont
D articles sont non conformes
Exemple : N = 1000
et
N – D articles sont
conformes
échantillonnage (sans remise ) de n articles
X = nombre d’articles conformes dans l’échantillon
X suit une loi hypergéométrique H (n ; N ; D)
Fonction de masse
f (x ) =
C Dx C N – Dn – x / C Nn
HYPERGÉOMÉTRIQUE
D = 50
n = 20
[ 50 ! / ( 0 ! 50 ! ) ] x [ 950 ! / ( 20 ! 930 ! ) ]
P(X=0) =
1000 ! / ( 20 ! 980 ! )
=
950 x 949 x …….. x 931_
1000 x 999 x ………x 981
x = 0, 1, … , n
= 0,3549
Moyenne = E( X) = n D / N
Variance = Var(x) = n D ( N – D ) ( N - n ) / ( N ( n – 1 ) )
approximation par loi binomiale : θ = 50 / 1000 = 0,05
n = 20
Approximation par une loi binomiale
Si n / N ≤ 0,05
et
θ=D/N
alors
P ( X = 0 ) = θ 0 ( 1 – θ ) 20 = 0,95 20 = 0,3585
H ( n ; N ; D ) ≈ b( n ; θ )
15
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16
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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Brève introduction aux cartes de contrôle
APPLICATIONS : introduction au Contrôle Statistique de la Qualité (CSQ)
méthodes du CSQ
RESSOURCES
• les plans d’échantillonnage pour accepter/ refuser lot de produits sur la
APPROVISIONNEMENT
base d’un échantillonnage :
MATÉRIAUX
« Acceptance Sampling »
« CSP »
cartes de « contrôle » (= comportement) des processus : normal ou anormal ?
- chapitre 4: exemples -
chapitre 8 : développements détaillés
PARAMÈTRES
MESURABLES
et
CONTRÔLABLES
• l’analyse de capacité (chapitre 10)
• la planification d’expériences : DOE – Taguchi
Fonction de
transfert f
X1, X2, X 3, …
• autres : fiabilité – Quality Function Deployment ( QFD )
CARACTÉRISTIQUES
CRITIQUES
pour la
QUALITÉ :
- MESURES
- COMPTAGES
- ATTRIBUTS
VALEUR
AJOUTÉE
• l’analyse processus de mesure ( chapitre 9)
Y
Y =f (X1, X2,..)
cartes de contrôle s’appliquent
à ces variables Y
17
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18
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Brève introduction aux cartes de contrôle : cartes attributs / comptages
carte n p
et
carte p : base loi binomiale
carte c
et
carte u : base loi Poisson
Brève introduction aux cartes de contrôle : cartes attributs / comptages
carte
n
Remarque : p représente le paramètre θ de la loi binomiale
c représente le paramètre λ de la loi Poisson
Le BUT de la carte est de signaler la présence d’une « cause spéciale »
qui a produit un changement important dans comportement statistique du
processus.
Carte ATTRIBUT
p : fraction de pièces non-conforme échantillon de n pièces
( n peut être variable)
n p : nombre de pièces non conforme échantillon de n pièces
( n est fixe)
Carte COMPTAGES
c : nombre de non conformités (aire d'opportunité fixe)
u : nombre de non conformités (aire d'opportunité variable)
p
variable
np
constant
c
constant
u
variable
LIMITES de CONTRÔLE STATISTIQUE : en général
règle 3 sigma de Shewhart ( inventeur des cartes)
Ligne Centrale
CL = moyenne
Limite Supérieure UCL = moyenne + 3 * (variabilité)
Limite Inférieure
LCL = moyenne - 3 * (variabilité)
Formules limites de contrôle : attributs et comptages
carte
n p : n p bar ± 3 [ n p bar ( 1 – n p bar ) ] 0.5
carte
p : p bar
± 3 [n p bar ( 1 – n p ba r ) / n i ] 0.5
carte
c :
c bar
± 3 ( c bar ) 0.5
carte
u :
u bar
± 3 ( c bar / n i ) 0.5
Remarque : bar représente l’opération de faire la moyenne arithmétique
19
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PRODUIT
ou
SERVICE
ÉQUIPEMENTS
PERSONNEL
ENVIRONNEMENT
- chapitre 4 : introduction
• la maîtrise statistique des processus : « SPC » ou
PROCESSUS
étapes
méthodes
procédures
20
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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Brève introduction aux cartes de contrôle : cartes attributs / comptages
Exemple 1 : carte n p - 20 échantillons de n = 2500
Exemple 2 : carte p - 30 échantillons - n = variable
X = nombre défectueux
Inspection à 100 % - 1 lot au hasard choisi chaque jour
échantillonnage durant 15 jours = nombre d’échantillons
X = nombre de pièces non conformes dans le lot
La taille (n) du lot est variable d'une journée à l'autre
X : 23 – 43 – 22 – 34 – 21 – 33 – 29 – 31 – 34 – 31
46 – 39 – 28 – 33 – 20 – 41 – 13 – 27 – 22 – 40
Np Chart; variable: x-déf
Histogram of Np
Np: 30.500 (30.500); Sigma: 5.4889 (5.4889); n: 2500.
55
50
46.967
45
40
35
30.500
30
25
20
15
14.033
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
21
Bernard CLÉMENT, PhD
jour
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
P Chart; variable: n-def
n
X_
3350 31
3354 113
1509 28
2190 20
2678 35
3252 68
4641 139
3782 12
2993
3
3382 17
3694 14
3052
8
3477 27
4051 44
3042 70
P: .01298 (.01298); Sigma: .00199 (.00199); n: 3229.8
Hi stogram of P
0.0 40
0.0 35
0.0 30
0.0 25
0.0 20
.01914
0.0 15
.01298
0.0 10
.00683
0.0 05
0.0 00
-0.005
0
1
2
3
4
2
4
6
8
10
12
14
22
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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Exemple 3 : carte c - 26 échantillons - X = nombre de non conformités
Exemple 4 : carte u - 10 échantillons tissus - X = nombre imperfections
X : 21 - 24 - 16 - 12 - 15 - 5 - 28 - 20 - 31 - 25 - 20 - 24 - 16
19 - 10 - 17 - 13 - 22 - 19 - 39 - 30 - 24 - 16 - 19 - 17 - 25
Histogram of C
Echant. 1
Aire
10
X
14
C: 20.269 (20.269); Sigma: 4.5021 (4.5021)
45
2
12
18
3 4
5 6
20 11 7 10
30 13 5 10
7
8 9 10
21 16 19 26
39 24 34 49
U Chart; variable: N_IMPERF
40
Histogram of U
U: 1.5526 (1.5526); Sigma: .31960 (.31960); n: 15.2
3.5
35
33.776
3.0
30
2.5
2.2857
25
2.0
20.269
20
1.5526
1.5
15
1.0
.81952
10
0.5
6.7628
5
0.0
0
0
2
1
4
3
6
5
8
7
9
10
11
5
10
15
20
25
-0.5
0
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2
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4
5
1
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3
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6
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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
OÙ FAIRE DE L'INSPECTION DES LOTS PAR ÉCHANTILLONAGE ?
Brève introduction aux plans d’échantillonnage des lots
Produits regroupés en lots
ƒ Réception de lots de matières premières ou de
produits semi-fini provenant de fournisseurs
externes.
(critère opérationnel à définir selon les circonstances et les besoins)
les plans d’échantillonnage (« acceptance sampling ») réfère à
l’inspection d’une partie du lot (échantillon) d’articles (produits, composants)
dans le but d’obtenir une information servant de base à :
ƒ En cours de fabrication à des points de
juger le lot
contrôle fixés par le processus.
- accepter le lot en le déclarant de « qualité satisfaisante »
- rejeter le lot ; continuer l’ inspection ? inspection rectificatrice ?
ƒ Avant l'expédition des produits.
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NOTATION - TERMINOLOGIE
A V A N T A G E S de l’inspection par échantillonnage
ƒ
Si le coût d'une inspection à 100% est élevé.
N : nombre d’unités dans le lot = taille du lot
ƒ
Moins de manipulations du produit : moins de dommages potentiels.
n : nombre d’unités dans l’échantillon
ƒ
C'est la seule alternative si le test est destructif .
D : nombre d’unités non conformes dans le lot
ƒ
Si les lots sont de "grande" taille, disons plusieurs milliers d'unités.
p = D / N : proportion d’unités non conformes dans le lot
ƒ
Décision plus rapide pour disposer du produit.
X : nombre d’unités non conformes dans l’échantillon
ƒ
Beaucoup de lots ( flux de lots ) à inspecter.
X / n : proportion d’unités non conformes dans l’échantillon
ƒ
Les conséquences économiques de livrer un lot de "mauvaise" qualité
ne sont pas élevées.
DÉSAVANTAGES
c = Ac : nombre d’acceptation (plan simple)
si X <= c alors on accepte le lot
• risque du producteur = probabilité de rejeter un lot de
si X > c alors on rejette le lot
qualité satisfaisante = alpha
P a ( p ) : probabilité d’accepter un lot de non qualité p
• risque du consommateur = probabilité d'accepter un lot de
mauvaise qualité = beta
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α = alpha = risque du producteur : rejeter lot bonne qualité
β = beta = risque consommateur : accepter lot mauvaise qualité
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NOTATION - TERMINOLOGIE
RISQUES DE MAUVAISES DÉCISIONS
AQL ( « Acceptable Quality Level »)
QUALITÉ LOT
proportion maximale d'articles défectueux (ou non-conformes) qui peut être
considéré comme moyenne satisfaisante par le producteur et le consommateur
(client).
bonne
c’est une convention pour concevoir un plan d'échantillonnage.
Accepter lot
RQL ( « Rejectable quality level » )
mauvaise
1-α
β
DÉCISION
proportion minimale d'articles défectueux (non-conformes)
qui peut être considéré comme moyenne non-satisfaisante
par le consommateur.
Rejeter lot
c’est une convention pour concevoir le plan d’échantillonnage.
α
1- β
α : risque du producteur
Plan d'échantillonnage : ( n, Ac, Re )
β : risque du consommateur
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courbe caractéristique plan d’échantillonnage
Calcul de la probabilité d’accepter : P a ( p )
P a ( p ) : probabilité accepter lot
Plan simple : un seul échantillon de taille n est prélever
1
Plan ( N , n , c ) : échantillonnage sans remise
1- α
p = D/N qualité du lot
(D=pN)
X : nombre de pièces non conformes dans l’échantillon
X distribuée selon une loi de probabilité
β
0
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Hypergéométrique ( N, D, n )
p
0
AQ L
RQ L
proportion
non conforme
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Calcul de la probabilité d’accepter P a ( p )
 pN   N (1 − p ) 



x   n − x 

Pa ( p ) = ∑
N
x =0
 
n 
EXEMPLE
C
=
hypergéométrique (exacte)
 n x
  p (1 − p) n − x
x =0  x 
APPROXIMATION
C
c
=∑
e
− np
x =0
(np)
x!
P
Pa
0,005
0,990
0,010
0,940
0,020
0,737
0,030
0,498
0,040
0,304
P
Pa
0,050
0,172
0,060
0,091
0,070
0,047
0,080
0,023
0,090
0,01
Binomiale : si n / N < 0.1
 89 
Pa = ∑   p d (1 − p) 89−d
d =0  d 
2
x
Poisson : si p " petit " et n est " grand "
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n = 89 c = 2
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Courbe caractéristique plan n = 89 c = 2
design d’un plan d’échantillonnage (n, c) : n= ?
Line Plot (ch4-SPC-v5.sta 24v*204c)
1.2
trouver n et c tels que
1
P a ( p1 ) = 1 - α
1–α
1.0
c=?
P a ( p2 ) = β
0.8
Pa : fonction répartition (page 33)
Pa-p
0.6
0.4
β
0.2
0
p1
0.0
p2
p proportion
d’articles
non conformes
-0.2
0.005
0.015
0.025
0.035
0.045
0.055
0.065
0.075
0.085
0.095
0.105
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