MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie ∑ C

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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Chapitre 4 Lois discrètes
Loi binomiale
Loi de Poisson
Loi hypergéométrique
Applications : contrôle (maîtrise) statistique de la qualité
SQC Statistical Quality Control
a) introduction au SPC - cartes de contrôle
carte np - carte p - carte c - carte u
b) contrôle de la qualité des lots
Plans d’échantillonnage pour accepter ou rejeter des lots
Bernard CLÉMENT, PhD
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Bernard CLÉMENT, PhD
définition
X= nombre de succès dans une suite de n essais de Bernoulli indépendants
avec une probabilité commune de succès de θ
X ila v.a de Bernoulli associée au i ème essai i = 1, 2, …, n
X i= 1 avec probabilité θou X i = 0 avec probabilité 1 - θ
X1, X2,…, X nsont indépendantes,
X = ∑X iest appelée une variable aléatoire binomiale (loi binomiale)
notation : X ~ b( n, θ):X suit une loi binomiale de paramètres ( n, θ)
f onction de masse Statistica : BINOM( x ; θ; n)
f (x) = P(X = x) = Cnxθx(1- θ) n – x x = 0 , 1 , …., n
fonction de répartition Statistica : IBINOM( x ; θ;n)
x
F(x) = P(X ≤x) = ∑Cnkθk( 1- θ) n - k
k = 0
moyenne - variance – écart type
E[X] = n θVar[X] = n θ( l - θ) ET[X] = [n θ( l - θ) ] 0,5
L O I B I N O M I A L E
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n: taille de l’échantillon - paramètre contrôlable connu
θ : paramètre généralement inconnu
comment estimer θ ?
réponse : l’estimation de θ est θ= X / n
où X = nombre succès en n essais de Bernoulli
remarque :le symbole au dessus d’un paramètre indique une estimation
propriétés
a) erreur systématique = écart entre θet E ( θ)
^
= E ( θ) - θ= E ( X / n ) – θ= ( E(X) / n ) - θ= ( n θ/ n) - θ= 0
b) erreur aléatoire = Var ( θ)
= Var( θ) = θ( 1 – θ) / n ≤0,25 / n pour tout θ
remarque : les notions de l’estimation seront développées au chapitre 6
L O I B I N O M I A L E
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Bar/Column Plot (ch3.sta 10v*31c)
binom
024 6 8 1012141618202224262830
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
BINOM-2
1357911131517192123252729
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
BINOM-3
135 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
Bernard CLÉMENT, PhD
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
BINOM-4
1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
BINOM-5
1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
BINOM-6
1917
25 33 41 49 57 65 73 81 89 97
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
n =30 θ=0,3 n=30 θ=0,5 n=30 θ=0,9
n=100 θ=0,3 n=100 θ=0,5 n= 100 θ=0,8
L O I B I N O M I A L E (n , θ=theta)

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L O I de P O I S S O N
Épreuve consiste à recenser le nombre de ‘’succès’’ relatifs à des événements
répartis dans le temps ou la masse ou l’espace.
Nombre d’essais n’est pas fixé à l’avance comme dans les essais de Bernoulli
Événements sont étudiés en tant que « présence » (ou ‘’apparition’’) sur un
intervalle continu : on compte le nombre d’apparition d’un événement spécifique.
Exemple: la présence d’un défaut sur une pièce fabriquée.
Définition (conditions) si
1. Stationarité : la probabilité d’une occurrence sur une unité d’épreuve
est la même pour toutes les unités;
2. Indépendance : le nombre d’occurrence sur une unité est indépendant
du nombre d’occurrence sur les autres unités
X = nombre d’occurrence est soumise à une loi de Poisson de paramètre λ
On écrit X ~ Poi (λ)
Fonction de masse
pX( x ) = e –λλx / x ! x= 0, 1, 2, ….
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L O I de P O I S S O N
Fonction de répartition k=x
F (x ) = ∑e –λλk/k !
k=0
Moyenne - variance - écart type
moyenne = E (X ) = λVar ( X ) = λET ( X ) = λ0,5
Un critère essentiel pour une distribution Poisson
moyenne = variance
Ce critère seul n’est pas suffisant pour caractériser la distribution Poisson.
Les conditions (page 5) doivent être vérifiées mais cela n’est pas
facile en pratique.
Les tests d’ajustement à une distribution (Poisson et autres) seront vus
au chapitre 7 pour traiter cette question.
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Exemples
•nombre d’appels téléphoniques que reçoit un central particulier
durant une période de temps (durant une heure par exemple)
•nombre d’accidents qui surviennent pendant l’heure de pointe à une intersection
• nombre de défauts dans un rouleau de papier, rouleau de tissus, une
plaque de métal ,…… (la surface est constante d’un échantillon à l’autre)
Important
- les conditions d’observation constituent une « fenêtre »
- définir précisément et maintenir constante
- le nombre d’occurrences est proportionnel à cette fenêtre
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Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c)
POI-1
12345678910
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c)
POI-5
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
Bernard CLÉMENT, PhD
L O I de P O I S S O N
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c)
POI-20
1 4 7 1013161922252831343740
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
lambda = 1
lambda = 5
lambda = 20

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L O I de P O I S S O N
Exemple 1 : tissus en longueur de 50 mètres de long.
rouleaux contiennent (en moyenne) 2 zones inutilisables.
On veut des longueurs de 10 mètres sans défauts.
Achèteriez vos tissus de ce fabricant ?
Solution : hypothèses d’indépendance + probabilité proportionnelle surface
+ unité surface assez petite alors une seule occurrence
Si oui, le processus est Poissonnien avec λ= 2 sur 50 mètres
Sur 10 mètres, le processus est Poissonnien avec lambda = 2 / 5 = 0,4
On cherche P ( X = 0 ) = e –0,4 (0,4) 0/ 0! = 0,67
Quelle votre décision ? ………
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Exemple 2 : un composant critique d’une machine brise, en moyenne,
λfois par période de temps. Combien ( k ) de composants devraient-on
stocker afin de s’assurer, avec une probabilité d’au moins de 1 – α
(α= 0,05 et 0,01) de pouvoir faire les remplacements nécessaires en cas
de bris sans attendre la livraison de nouveaux composants ?
Solution : X nombre total de bris du composant
On suppose que X suit une loi de Poisson avec paramètre λ
à résoudre : x=k
P( X ≤k ) = ∑e –λλx/ x ! = 1 - αk = ?
x=0
Quelques valeurs ( λ, α) - utilisation de la fonction de répartition
λ0.5 1 2 5_____
α0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01_
k 3 4 4 5 5 6 10 12
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Résultat : addition de variables Poisson
Soit X 1, X 2, …, X kdes variables aléatoires indépendantes de
loi Poisson de paramètres λ1,, λ2, …, λkrespectivement.
Alors Y = ∑X iest une variable de loi Poisson de
paramètre λoù λ= ∑λi
Résultat : approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson
Si n ≥100 ET θ≤0.10 ET n θ≤10 alors
on peut approximer la loi binomiale ( n, θ)
par une loi de Poisson de paramètre λ= n θ
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L O I d e P O I S S O N
Exemple 3:confection de vêtements plein air : V = R + P + D
- Revêtement extérieur ( R) + Pellicule imper ( P ) + Doublure iso (D)
- 2 fournisseurs : fournisseur A et fournisseur B
- vêtement = pantalon + anorak
- pantalon exige 3 m. Anorak exige 2 m.
Questions : 1. variables suivent-elles une loi Poisson ?
2 . Calculer la probabilité que l’ensemble pantalon + anorak
a) soit sans défectuosité ( X =0) ?
b) ait au plus une défectuosité ( X ≤1) ?
avec les tissus du fournisseur A
tableau : nombre de défectuosités – 6 variables
(données page suivante)

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133411
20
230222
19
243113
18
022102
17
321412
16
043401
15
344110
14
341000
13
402422
12
332454
11
412232
10
003424
9
121634
8
203346
7
121221
6
442431
5
134011
4
110134
3
011204
2
204211
1
D-BP-BR-BD-AP-AR-A
Exemple 3 : suite
Nombre de défectuosités
rouleau de 50 mètres
R = Revêtement
P = Pellicule imperméable
D = Doublure
A : fournisseur A
B : fournisseur B
R-A : revêtement fourn. A
P-A : pellicule fourn. A
D-A : doublure fourn. A
R-B : rev. fourn. B
P-B : pell. fourn . B
D-B : doub. fourn B
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L O I d e P O I S S O N
Exemple 3 : suite
1. loi de Poisson ? R-A P-A D-A R-B P-B D-B
Moy 2,25 1,75 2,55 2,10 2,15 1,85
Var 2,60 1,99 2,68 1,57 2,24 1,92
R-B ne semble pas suivre une loi de Poisson
2. Fournisseur A
lambda Anorak Panalon total
R (2/ 50)*2,25 (3/50)*2,25 0,225
P (2/ 50)*1,75 (3/ 50)*1,75 0,175
D (2/ 50)*2,55 (3/ 50)*2,55 0,255
total 0,262 0,393 0,655
a) P ( X = 0, lambda = 0,655 ) = 0,5194
b) P ( X ≤1, lambda = 0,655 ) = 0,5194 + 0,3402 = 0,8594
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L O I H Y P E R G É O M É T R I Q U E
Définition lot de N articles dont D articles sont non conformes
et N – D articles sont conformes
échantillonnage (sans remise ) de n articles
X = nombre d’articles conformes dans l’échantillon
X suit une loi hypergéométrique H (n ; N ; D)
Fonction de masse f (x ) = CDxC N – Dn – x / C Nnx = 0, 1, … , n
Moyenne = E( X) = n D / N
Variance = Var(x) = n D ( N – D ) ( N - n ) /( N ( n – 1 ) )
Approximation par une loi binomiale
Si n / N ≤0,05 et θ= D / N alors
H ( n ; N ; D ) ≈b( n ; θ)
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L O I H Y P E R G É O M É T R I Q U E
Exemple :N = 1000 D = 50 n = 20
[ 50 ! / ( 0 ! 50 ! ) ] x [ 950 ! / ( 20 ! 930 ! ) ]
P ( X = 0 ) =
1000 ! / ( 20 ! 980 ! )
= 950 x 949 x …….. x 931_
1000 x 999 x ………x 981
= 0,3549
approximation par loi binomiale : θ= 50 / 1000 = 0,05 n = 20
P ( X = 0 ) = θ0 ( 1 – θ) 20 = 0,95 20 = 0,3585

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APPLICATIONS : introduction au Contrôle Statistique de la Qualité (CSQ)
méthodes du CSQ
•les plans d’échantillonnage pour accepter/ refuser lot de produits sur la
base d’un échantillonnage : « Acceptance Sampling »
-chapitre 4 : introduction
•la maîtrise statistique des processus : « SPC » ou « CSP »
cartes de « contrôle » (= comportement) des processus : normal ou anormal ?
-chapitre 4: exemples -chapitre 8 : développements détaillés
•l’analyse de capacité (chapitre 10)
•la planification d’expériences : DOE – Taguchi
•l’analyse processus de mesure ( chapitre 9)
•autres : fiabilité – Quality Function Deployment ( QFD )
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Brève introduction aux cartes de contrôle
RESSOURCES
APPROVISIONNEMENT
MATÉRIAUX
ÉQUIPEMENTS
PERSONNEL
ENVIRONNEMENT
PROCESSUS
étapes
méthodes
procédures
PRODUIT
ou
SERVICE
PARAMÈTRES
MESURABLES
et
CONTRÔLABLES
VALEUR
AJOUTÉE
CARACTÉRISTIQUES
CRITIQUES
pour la
QUALITÉ :
- MESURES
-COMPTAGES
-ATTRIBUTS
X1, X2, X3,…Y
Fonction de
transfert f
Y =f (X1, X2,..)
cartes de contrôle s’appliquent
à ces variables Y
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Brève introduction aux cartes de contrôle : cartes attributs / comptages
carte n p et carte p : base loi binomiale
carte c et carte u : base loi Poisson
Le BUT de la carte est de signaler la présence d’une « cause spéciale »
qui a produit un changement important dans comportement statistique du
processus.
Remarque : p représente le paramètre θde la loi binomiale
c représente le paramètre λde la loi Poisson
Carte ATTRIBUT
p : fraction de pièces non-conforme échantillon de n pièces
( n peut être variable)
n p : nombre de pièces non conforme échantillon de n pièces
( n est fixe)
Carte COMPTAGES
c : nombre de non conformités (aire d'opportunité fixe)
u : nombre de non conformités (aire d'opportunité variable)
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Brève introduction aux cartes de contrôle : cartes attributs / comptages
carte p np c u
n variable constant constant variable
LIMITES de CONTRÔLE STATISTIQUE : en général
règle 3 sigma de Shewhart ( inventeur des cartes)
Ligne Centrale CL = moyenne
Limite Supérieure UCL = moyenne + 3 * (variabilité)
Limite Inférieure LCL = moyenne - 3 * (variabilité)
Formules limites de contrôle : attributs et comptages
carte n p : n p bar ± 3 [ n p bar ( 1 – n p bar ) ] 0.5
carte p : p bar ± 3 [n p bar ( 1 – n p ba r ) / n i]0.5
carte c : c bar ± 3 ( c bar ) 0.5
carte u : u bar ± 3 ( c bar / n i) 0.5
Remarque : bar représente l’opération de faire la moyenne arithmétique