MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie • définition • fonction

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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Bernard CLÉMENT, P h D
•définition
•fonction de répartition
•variable aléatoire discrète
•moyenne - variance - écart type
•espérance mathématique
•variable aléatoire continue
•fonction d’une variable aléatoire : transformation
•combinaison linéaire de variables aléatoires
VARIABLES ALÉATOIRES
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Bernard CLÉMENT, P h D
Définition
E : expérience aléatoire S : espace échantillonnal associé
X fonction de S dans les nombres réels ( R )
X est une variable aléatoire ; X( o ) est un nombre réel
Exemple : lancement d’une pièce de monnaie 3 fois
X = nombre de fois « P I L E » X = 0, 1, 2, 3
SFFF
FFP
FPF
PFF
FPP
PFP
PPF
PPP
F : Face
P : Pile
0
1
2
3
Les probabilités
sur S
se transportent
sur R
R
3
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Fonction de répartition
X une v,a, x une valeur (réelle) prise par X
Événement : { X ≤x }
F X ( x ) = P X ( X ≤x ) : fonction de répartition
propriétés
1. 0 ≤F X( x ) ≤1
2. x -∞F X(x) 0
x ∞F X(x) 1
3. F X(x) non décroissante
4. F X(x) continue à droite
x
X discrète
1
X continue
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VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
X est une v,a, discrète si elle prend un nombre fini ou infini de
valeurs distinctes généralement des entiers 0, 1, 2, 3, 4, …
Exemples (comptages)
•nombre de défauts de surface ;
•nombre de versions d'un dessin de définition pendant une année;
•nombre de pièces non conformes dans un lot de 500 ;
•nombre de pièces en attente devant une machine;
•nombre de cotes ambiguës,
Fonction de masse p X(x) = PX ( X = x)
pX(x) ≥0
Fonction de répartition F x( u ) = ∑p X(x)
Distributions importantes Binomiale - Poisson - Hypergéométrique

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VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
Binomiale X le nombre de succès dans une suite de n essais de
Bernoulli avec une probabilité commune de succès de θ
X ila variable associée au i-ème succès
X 1, X 2 , …,, X nindépendantes X = ∑X i
X est une variable binomiale X ~ b (n , θ)
p x(x) = [ n! / x ! ( n- x) ! ] θx( 1 – θ) n – x
F X( x ) =∑[n! / k ! ( n- k ) ! ] θk( 1 – θ) n – k
k = 0
x
masse
répartition
étude détaillée - chapitre des lois discrètes
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F ∩ E 3
Exemple : n = 30 θ= 0,30
Bar/Column Plot (ch3.sta 10v*31c)
binom
024 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
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moyenne - variance - écart type
Moyenne : E [ X ] = µ = ∑x p X (x )
premier moment par rapport à l’origine – centre de masse
Exemple : X ~ b i nom ( n, θ)
E [ X ] = n θen général / n
n = 30 θ= 0,3 E [ X ] = 9
Variance : Var [ X ] = σ2 = ∑( x - µ )2p X(x ) = ∑x 2p X(x ) -µ2
Exemple : X ~ b i nom ( n, θ)
σ2= n θ( 1 - θ) en général
n = 30 θ= 0,3 Var [ X ] = σ2= 6,3
Écart type :ET [ X ]= σ= √Var [ X ]
Exemple : X ~ b i nom ( n = 30 , θ= 0,3 ) ET [ X ] = σ= 2,51
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Espérance mathématique
X v,a, discrète p X(x) sa fonction de masse associée
h fonction de R dans R h : R R
E [ h(X) ] = ∑h(x) p X(x) : espérance mathématique de h
Cas particuliers E [ h( X ) ]
h( x ) = x moyenne µ
h ( x ) = x 22 ième moment par rapport è l’origine 0
h ( x ) = ( x - µ ) 2variance
h ( x ) = x kk - ième moment par rapport à l’origine
h ( x ) = ( x – µ)
kk – ième moment par rapport à la moyenne µ

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Espérance mathématique
Exemple 1 : soumission pour la réalisation d'un travail d’ingénierie
X v.a. « nombre de jours requis pour le travail »,
Vous estimez vos « probabilités »
x < 3 3 4 5 6 total
p(x) 0 1/8 4/8 2/8 1/8 1
Y = profit net = φ(X) dépend du nombre de jours X pris pour
réaliser le travail
x 3 4 5 6___
Y = φ(x) 10K$ 3K$ 0,7K$ -1,5K$
Profit net moyen = ?
E( Y ) = 10K$ *1/8 + 3K$ * 4/8 + 0,7K$ * 2/8 + (-1,5K$) * 1/8 = 2,73K$
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Exemple 2: - vous achetez des billets du spectacle des « RS » à 40,00$ dans
l'espoir de les revendre 70,00$ le soir du spectacle.,
- estimation de la demande billets X
0,080,120,180,320,160,080,040,02probabilité p(x)
3029282726252423nombre billets x
Combien de billets S acheter pour minimiser les pertes ?
-Vous perdez 40$/billet si vous stockez trop de billets: x ≤S
-Vous 30$/billet (profit) si vous ne stockez pas assez de billets: x ≥S+1
=+=
−+−=
s
xsx
XX xpsxxpxssXLE
23
30
1
)()(30)()(40)],([
Fonction de perte L (x, s):
L(x, s) = 40 (s - x ) si 23 ≤ x ≤ s stock excessif
L(x, s) = (70 - 40) (x – s) si s+1 ≤ x ≤ 30 stock manquant
perte moyenne
E(L)
Quelle valeur de S minimise E(L) ?
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Exemple 2:
suite S ∑40(s – x)p(x) ∑30(x –s)p(x) E [ L(X,s) ]
23 0,00 124,20 124,20
24 0,80 94,80 95,60
25 3,20 66,60 69,90
26 8,80 40,80 49,60
27 20,80 19,20 40,60 minimum
28 45,60 6,20 51,60
29 77,60 0,00 77,60
30 114,40 0,00 114,40
nouvelle distribution de probabilité
x 23 24 25 26 27 28 29 30
prob 0,30 0,20 0,15 0,12 0,10 0,08 0,04 0,01
solution optimale devient S = 24
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VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE ( v,a,c )
L'espace de la v,a, X est un intervalle sur les nombres réels
sa fonction de répartition FX( x ) est dérivable
La dérivée de FX( x ) notée f Xest la densité de X
Exemples (mesures)
- température réelle d'un recuit ;
- longueur extrudée avant perte de contrôle ;
- volume réel du réservoir
- temps requis pour finaliser une conception ;
- tension d'un hauban,

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VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE ( v,a,c )
[] 0)()(
0
lim
)( =−∆+
→∆
== xFxxF
x
xXP XXX
)()( xF
dx
d
xf XX =∫
∞
=
x
XX dttfxF )()(
xfX∫=
X
RXdxxf 1)(
∫
∞
==
x
XdttxfXE
µ )()( ∫
∞+
∞
−= dxxfxXVAR )()(][ 2 µ
22 )(
µ −= ∫
∞+
∞
dxxfx X
=≤≤
b
a
dxxfbxaP )()(
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Exemple : loi uniforme (équiprobabilité)
X
a b
fX( x ) = 0 si X ≤a ou X ≥b
= k si a ≤X ≤bk = ?
k = 1 /( b – a ) , E ( X ) = ( a + b ) / 2 , Var ( X ) = ( b – a ) 2/ 12
FX( x ) = 0 si X ≤a
= ( x – a ) / ( b – a ) si a ≤X ≤b
= 1 si X ≥b
Application générateurs de nombres (pseudo) aléatoires de la loi uniforme
méthode linéaire congruente : I i + 1 = ( a I i+ b ) mod m i = 0, 1, 2,…
À choisir : a, b, m , I 0( semence ) ; u i= I i/m
employé pour la SIMULATION : Statistica fonction Rnd
a b
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Fonction d’une variable aléatoire
X v,a, sur S et d’espace image R X ( réels )
Y = φ( X ) une transformation ( fonction ) est une v,a,
l’espace image est R Y ; E Y événement dans R Y
Alors PY( E Y) = PX( { x dans RX:φ( x ) dans E Y} )
Exemple: X diamètre d’un fil - distribution uniforme intervalle ( 1,00 à 1,01 )
f X( x ) = 100 1,00 ≤x ≤1,01
= 0 autrement
Y = aire de la section = π( X / 2) 2= 0,25 πX 2
varie dans l’intervalle ( 0,25 π, 0,255025 π)
Quelle est la probabilité que Y varie entre 0,252 πet 0,254 π?
réponse :P ( 0,252 π≤Y ≤0,254 π) = P ( 1,00399 ≤X ≤1,00797 )
= 100 ( 0,00398) = 0,398
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Fonction d’une variable aléatoire discrète
RXR Y
Y = φ(X)
x i1 .
x i2 .
x i3 .
.Y j
.
.
.
.
.
.
.
.
Ω∈
===
j
k
i
k
x
iXjYjY xPyYPyp )()()(

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Exemple : tir de Bernoulli sur loi exponentielle
f x(x ) = λe –λxx ≥0
= 0 x < 0
[]
∫∫
∞∞
−−− =+
∞
−==
00
1
0
λ
λ
λλλ
dxexedxexXE xxx
[]
2
0
21
∫
∞
−=
λ
λ
λ
dxexXVar x= 1 / λ2
Le temps X jusqu'à la défaillance (ex, tube à rayons cathodiques)
X durée vie suit une loi exponentielle, λtaux de défaillance
Posons : Y variable Bernoulli définie par le fait que X excède ou non
sa durée moyenne 1/ λ
,
Y = 0 si X ≤1 / λ
= 1 si X > 1 / λ
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probabilités de Y
Exemple : tir de Bernoulli sur loi exponentielle (suite)
∫≈−=−== −−−
λ
λλ
λ
λ
/1
0
16321.01
0
/1
)0( eedtep tt
Y
3679.0
/1
)1(
/1
1≈=
∞
−== ∫
∞
−−−
λ
λλ
λ
λ
eedtep tt
Y
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Fonction continue d’une V,A, continue
X v.a.c densité f xφfonction continue Y = φ(X) Y est une v.a.c
Densité f Y = ? Pour la trouver la densité il faut :
1. Obtenir F Y (y) = P( Y ≤y ) par l'événement de R Xéquivalent à (Y ≤y) dans R y
2. Dériver F Y(y) par rapport à y pour obtenir la fonction de densité fy
3. Trouver l'espace image de cette v.a.c.
THÉORÈME Si est une v.a.c de densité f x telle que f x> 0 pour a < x < b
et y = φ(x ) est une fonction continue strictement monotone,
alors la v.a.c Y = φ( X) possède une densité
dy
dx
xfyf XY •=)()(
avec x = φ-1(y ) exprimé en terme de y
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Fonction continue d’une V,A, continue (suite)
dy
dx
xfyf XY •=)()(
Exemple: X diamètre d’un fil - distribution uniforme intervalle 1,00 à 1,01
f X( x ) = 100 1,00 ≤ x ≤ 1,01
= 0 autrement
Y = aire de la section = π( X / 2) 2= 0,25 πX 2varie dans l’intervalle
0,250000 π= 0,78540 quand x = 1,00
à 0,255025 π= 0,80118 quand x = 1,01
transformation inverse X = Y 0,5 /0,25 π
dx / dy = 1/(2 y 0,5 0,25 π) = ( 1/ 0,50 π) y -0,5= 0,6366 y -0,5
1,00 1,01 X
0
100
0
f y(y ) = 100 ( 0,6366 y -0,5)= 63,66 y-0,5
Y0
0,7854 0,80118
0
71,28
67,86