cont limitr 4e a

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LIMITES ET
CONTINUITÉ
Exercices
1
1 Limites - Rappels
1
Calculer les limites suivantes :
1 p
1 p
− x
2. lim 2 − x
x→+∞ x
x2
µ
¶
¡
p ¢
1
3. lim
−1 × x + x
x→+∞ x − 2
p
p
1
1
5. lim x − x + 2
4. lim
− 2
x→+∞
x→2 x − 2
x −4
x −1
6. lim p
x→1 x + 3 − 2
1. lim
2. Déterminer les limites de f aux bornes de D f .
3. Déterminer les asymptotes à C f .
x→0
5
1. Déterminer les limites de f en −∞ et +∞.
2. Démontrer que la droite d’équation y = 2x est
asymptote à la courbe représentant f .
6
Déterminer l’ensemble de définition D f de f
puis les limites de f aux bornes de D f .
2
1. f (x) = −5x 4 + x 2 + 15
x4 − 1
x −1
p
5. f (x) = 2x 2 − x
p
2x 2 − 2x + 3
7. f (x) =
x
3. f (x) =
x 2 − 5x + 4
2x 2 + x
3x 3 + 2x 2 + 1
4. f (x) = 4
2x + 3x 2 − 5
x +2
6. f (x) =
|x| − 2
2. f (x) =
1.
2.
3.
4.
7
3
Soit f la fonction définie par
x 3 − 5x 2 + 2x + 7
x 2 − 2x − 3
On appelle C f sa
courbe
¡
¢ représentative dans un reı , #–
 .
père orthogonal O ; #–
f (x) =
1. Déterminer l’ensemble de définition D f de f puis
les limites de f aux bornes de D f . Que peut-on en
déduire pour C f ?
2. Démontrer que la droite d d’équation y = x − 3 est
asymptote à C f en +∞ et en −∞.
3. Étudier les positions relatives de C f et d .
4
Soit f la fonction définie sur D f = R \ {2} par :
x 3 − 3x 2 + 3x − 3
(x − 2)2
On appelle C f sa
courbe
représentative
dans un re¡
¢
père orthogonal O ; #–
ı , #–
 .
Soit f la fonction définie sur R par
p
f (x) = x 2 + 1 + x
Soit f la fonction définie par :
p
p
2x x − 2x − 4 x + 1
f (x) =
p
x −1
Déterminer D f , l’ensemble de définition de f .
Déterminer les limites de f aux bornes de D f .
Déterminer trois réels a, b et c tels que :
c
∀x ∈ D f , f (x) = ax + b + p
x −1
Déterminer les asymptotes à C f la courbe représentative de f .
Soit f la fonction définie par :
2x 2 + x + 1
−x 2 + 2x + 3
1. Déterminer D f , l’ensemble de définition de f .
2. Déterminer les limites de f aux bornes de D f .
3. Déterminer les asymptotes à C f la courbe représentative de f .
f (x) =
8
Soit f la fonction définie par :
4x 2 − 2x − 3
4 − 2x
1. Déterminer D f , l’ensemble de définition de f .
2. Déterminer les limites de f aux bornes de D f .
3. Démontrer que la droite d d’équation y = −2x − 3
est asymptote à C f la courbe représentative de f .
f (x) =
f (x) =
1. Déterminer quatre réels a, b, c et d tels que :
c
d
∀x ∈ D f , f (x) = ax + b +
+
x − 2 (x − 2)2
9
Soit f la fonction définie par :
x 3 + 2x 2 − 5x − 9
x2 − 4
On appelle C f sa courbe représentative dans un repère.
f (x) =
LIMITES ET CONTINUITÉ
1
Terminale 7 S - 2010/2011
1. Déterminer l’ensemble de définition D f de f .
2. Déterminer les limites de f aux bornes de D f . En
déduire les asymptotes à C f parallèles aux axes de
coordonnées.
3. Démontrer que la droite d d’équation y = x + 2 est
asymptote à C f en +∞ et −∞.
4. Étudier les positions relatives de d et C f .
10
Calculer lim f (x) avec
x→+∞
f (x) = p
1
p
x2 + x − x2 − x
11
Soit f la fonction définie sur R par :
p
f (x) = 4x 2 + 1 − 2x
On appelle C f sa courbe représentative dans un repère.
1. Déterminer la limite de f en +∞. En déduire l’existence d’un asymptote à C f .
2. Déterminer la limite de f en −∞. Démontrer que
la droite d d’équation y = −4x est asymptote à C f
en −∞.
3. Étudier les positions relatives de d et C f .
2 Calculs sur les limites
12
1.
2.
3.
4.
5.
Déterminer la limite de f en a :
r
1
f (x) = 3 + ; a = 0+ et a = +∞.
x
r
8x + 1
; a = 2+ et a = +∞.
f (x) =
2x
µ − 42
¶
πx − 1
f (x) = sin
; a = +∞.
4x 2 − 1
f (x) = x cos x ; a = +∞.
p
¡
¡p
¢¢10
f (x) = 1 + cos x + 1 − x − 1
; a = +∞.
13
1.
2.
3.
4.
Déterminer la limite de f en a :
2x − sin x
; a = +∞.
f (x) =
3x + 1
x
f (x) =
; a = +∞ et a = −∞.
2 + sin x
2 + sin x
f (x) =
; a = 0+ et a = 0− .
px
f (x) = 2 x − sin(3x + 1) ; a = +∞.
Soit f la fonction définie sur R par
1
f (x) =
3 − sin x
1. Démontrer que f est bornée sur R.
2. En déduire les limites suivantes :
x −1
3x − sin x
a) lim
b) lim
x→+∞ 3 − sin x
x→−∞ 3 − sin x
14
15
Soit f définie sur R \ {1} par :
x 2 − sin x
x −1
1. a) Montrer que pour tout x ∈]1; +∞[, f (x) > x + 1.
b) En déduire la limite de f en +∞.
2. Déterminer de même la limite de f en −∞.
f (x) =
µ ¶
1
3. f (x) = x sin
; a = +∞.
x
µ ¶
1
4. f (x) = x sin 2 ; a = +∞.
x
sin kx
5. f (x) =
; a = 0.
sin x
2
17
Soit f la fonction définie par :
¡p ¢
x + sin x
f (x) =
x
1. Déterminer l’ensemble de définition D f de f .
2. Déterminer les limites de f aux bornes de D f .
Calculer lim
19
Soit f la fonction définie par :
Déterminer la limite de f en a :
1. f (x) =
sin 2x
; a =0
3x
2. f (x) =
p
sin(5 x)
; a = 0.
p
x
t →0
f (x) =
x sin( x1 )
x2 + 5
1. Quel est l’ensemble de définition de f ?
2. Calculer, si possible : lim f (x), lim f (x) et
x→0
x→−∞
Soit g la fonction définie sur R∗ par :
1 − cos x
g (x) =
x2
1. Montrer que, pour tout x non nul, on a :
µ
x ¶2
1 sin 2
g (x) =
x
2
2
2. En déduire lim g (x).
20
x→0
Soit f la fonction définie sur R par :
f (x) =
cos x − x 2
;
x2 + 9
10
x2 + 9
2. En déduire les limite lim f (x) et lim f (x).
1. Montrer que ∀x ∈ R | f (x) + 1| 6
x→+∞
2
EXERCICES 1
x→+∞
lim f (x).
21
16
1 − cos(2t )
1 − cos(x)
puis lim
.
x→0 sin(x)
sin(2t )
18
x→−∞
Terminale 7 S - 2010/2011
3 Continuité
22 Soit f une fonction définie sur R dont le tableau
de variations est donné ci-dessous :
Démontrer que f est continue sur R.
29
x
Variations
de f
−∞
0
4
6
−∞
+∞
2
−2
Existe-t-il une valeur de L pour laquelle f est continue
sur R ?
1. Déterminer le nombre de solutions de l’équation
f (x) = 0.
2. Déterminer le nombre de solutions de l’équation
f (x) = m en fonction des valeurs de m.
30
23 Démontrer que tout polynôme de degré 3 à coefficients réels admet au moins une racine dans R.
31
Soit (E α ) l’équation cos x = α où α est un réel
de ]0 ; 1[.
24
1. Démontrerique l’équation
(E α ) admet deux soluπ πh
tions dans − ; .
2 2
2. Déterminer une valeur approchée à 10−2 près de la
solution positive de E 1 .
3
25 Soit f une fonction continue sur [0 ; 3] et à valeurs dans [1 ; 2]. Démontrer que l’équation f (x) = x
admet au moins une solution dans [0 ; 3].
26
Soit f la fonction définie sur I = ]−∞ ; 0[ par :
5
f (x) = x 3 −
x
1. Donner sans calcul les variations de f sur I .
2. Démontrer que l’équation f (x) = 2 admet une
unique solution α dans I .
3. Donner un encadrement de α à 10−2 .
27
Soit f la fonction définie sur R par :

 sin 2x si x 6= 0
f (x) =
x

2
si x = 0
Démontrer que f est continue sur R.
28
Soit f la fonction définie sur R par :

sin2 x

2−
si x 6= 0
f (x) =
x2

1
si x = 0
Soit L un réel et f la fonction définie sur R par :
 2
 2x + |x|
si x 6= 0
f (x) =
x

L
si x = 0
Même exercice avec :
(
¡ ¢
x sin πx − π2
f (x) =
L
si x 6= 0
si x = 0
Partie entière
Définition
Quel que soit le réel x, il existe un
unique entier relatif n tel que n 6 x < n + 1. Cet entier n est appelé partie entière de x et se note E (x).
1. Calculer E (2,41), E (2), E (−3), E (−3,2), E (0,03),
E (−0,03).
2. Tracer la représentation graphique de E .
3. Démontrer que E n’est pas continue en k, k ∈ Z.
4. Démontrer que E est croissante sur R.
32
Soit f la fonction définie sur R par
f (x) = E (x) + (x − E (x))2
1. Démontrer que pour tout réel x,
f (x + 1) = f (x) + 1
2. Étudier la continuité de f sur R.
33
Soit f la fonction définie sur R par :
f (x) = (x − 2)E (x) − 2(E (x))2
1. Démontrer que f est continue en 0 mais n’est pas
continue en 1.
2. Soit n ∈ Z∗ . Démontrer que f n’est pas continue en
n.
34
Soit f la fonction définie sur R par
f (x) = (−1)E (x) (x − E (x))
1. Démontrer que pour tout réel x,
f (x + 2) = f (x)
2. Étudier la continuité de f sur R.
LIMITES ET CONTINUITÉ
3
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