cont limitr 4e a

Exercices 1LIMITES ET CONTINUITÉ
1 Limites - Rappels
1Calculer les limites suivantes :
1. lim
x→0
1
x2−px2. lim
x→+∞
1
x2−px
3. lim
x→+∞µ1
x−2−1¶×¡x+px¢
4. lim
x→2
1
x−2−1 x2−45. lim
x→+∞px−px+2
6. lim
x→1
x−1
px+3−2
2Déterminer l’ensemble de définition Dfde f
puis les limites de faux bornes de Df.
1. f(x)=−5x4+x2+15 2. f(x)=x2−5x+4
2x2+x
3. f(x)=x4−1
x−14. f(x)=3x3+2x2+1 2x4+3x2−5
5. f(x)=2x2−px6. f(x)=x+2
|x|−2
7. f(x)=p2x2−2x+3
x
3Soit fla fonction définie par
f(x)=x3−5x2+2x+7
x2−2x−3
On appelle Cfsa courbe représentative dans un re-
père orthogonal ¡O;#– ı,#– ¢.
1. Déterminer l’ensemble de définition Dfde fpuis
les limites de faux bornes de Df. Que peut-on en
déduire pour Cf?
2. Démontrer que la droite dd’équation y=x−3 est
asymptote à Cfen +∞ et en −∞.
3. Étudier les positions relatives de Cfet d.
4Soit fla fonction définie sur Df=R\{2} par :
f(x)=x3−3x2+3x−3
(x−2)2
On appelle Cfsa courbe représentative dans un re-
père orthogonal ¡O;#– ı,#– ¢.
1. Déterminer quatre réels a,b,cet dtels que :
∀x∈Df,f(x)=ax +b+c
x−2+d (x−2)2
2. Déterminer les limites de faux bornes de Df.
3. Déterminer les asymptotes à Cf.
5Soit fla fonction définie sur Rpar
f(x)=px2+1+x
1. Déterminer les limites de fen −∞ et +∞.
2. Démontrer que la droite d’équation y=2xest
asymptote à la courbe représentant f.
6Soit fla fonction définie par :
f(x)=2xpx−2x−4px+1
px−1
1. Déterminer Df, l’ensemble de définition de f.
2. Déterminer les limites de faux bornes de Df.
3. Déterminer trois réels a,bet ctels que :
∀x∈Df,f(x)=ax +b+c
px−1
4. Déterminer les asymptotes à Cfla courbe repré-
sentative de f.
7Soit fla fonction définie par :
f(x)=2x2+x+1
−x2+2x+3
1. Déterminer Df, l’ensemble de définition de f.
2. Déterminer les limites de faux bornes de Df.
3. Déterminer les asymptotes à Cfla courbe repré-
sentative de f.
8Soit fla fonction définie par :
f(x)=4x2−2x−3
4−2x
1. Déterminer Df, l’ensemble de définition de f.
2. Déterminer les limites de faux bornes de Df.
3. Démontrer que la droite dd’équation y= −2x−3
est asymptote à Cfla courbe représentative de f.
9Soit fla fonction définie par :
f(x)=x3+2x2−5x−9
x2−4
On appelle Cfsa courbe représentative dans un re-
père.
LIMITES ET CONTINUITÉ 1

Terminale 7 S - 2010/2011
1. Déterminer l’ensemble de définition Dfde f.
2. Déterminer les limites de faux bornes de Df. En
déduire les asymptotes à Cfparallèles aux axes de
coordonnées.
3. Démontrer que la droite dd’équation y=x+2 est
asymptote à Cfen +∞ et −∞.
4. Étudier les positions relatives de det Cf.
10 Calculer lim
x→+∞ f(x) avec
f(x)=1
px2+x−px2−x
11 Soit fla fonction définie sur Rpar :
f(x)=p4x2+1−2x
On appelle Cfsa courbe représentative dans un re-
père.
1. Déterminer la limite de fen +∞. En déduire l’exis-
tence d’un asymptote à Cf.
2. Déterminer la limite de fen −∞. Démontrer que
la droite dd’équation y= −4xest asymptote à Cf
en −∞.
3. Étudier les positions relatives de det Cf.
2 Calculs sur les limites
12 Déterminer la limite de fen a:
1. f(x)=r3+1
x;a=0+et a=+∞.
2. f(x)=r8x+1
2x−4;a=2+et a=+∞.
3. f(x)=sinµπx2−1
4x2−1¶;a=+∞.
4. f(x)=xcosx;a=+∞.
5. f(x)=¡1+cos¡px+1−px−1¢¢10 ;a=+∞.
13 Déterminer la limite de fen a:
1. f(x)=2x−sinx
3x+1;a=+∞.
2. f(x)=x
2+sinx;a= +∞ et a=−∞.
3. f(x)=2+sinx
x;a=0+et a=0−.
4. f(x)=2px−sin(3x+1) ; a=+∞.
14 Soit fla fonction définie sur Rpar
f(x)=1
3−sinx
1. Démontrer que fest bornée sur R.
2. En déduire les limites suivantes :
a) lim
x→+∞
x−1
3−sinxb) lim
x→−∞
3x−sinx
3−sinx
15 Soit fdéfinie sur R\{1} par :
f(x)=x2−sinx
x−1
1. a) Montrer que pour tout x∈]1;+∞[, f(x)>x+1.
b) En déduire la limite de fen +∞.
2. Déterminer de même la limite de fen −∞.
16 Déterminer la limite de fen a:
1. f(x)=sin2x
3x;a=02. f(x)=sin(5px)
px;a=0.
3. f(x)=x2sinµ1
x¶;a=+∞.
4. f(x)=xsinµ1
x2¶;a=+∞.
5. f(x)=sinkx
sinx;a=0.
17 Soit fla fonction définie par :
f(x)=x+sin¡px¢
x
1. Déterminer l’ensemble de définition Dfde f.
2. Déterminer les limites de faux bornes de Df.
18 Calculer lim
t→0
1−cos(2t)
sin(2t)puis lim
x→0
1−cos(x)
sin(x).
19 Soit fla fonction définie par :
f(x)=xsin( 1
x)
x2+5
1. Quel est l’ensemble de définition de f?
2. Calculer, si possible : lim
x→0f(x), lim
x→+∞ f(x) et
lim
x→−∞ f(x).
20 Soit gla fonction définie sur R∗par :
g(x)=1−cosx
x2
1. Montrer que, pour tout xnon nul, on a :
g(x)=1
2µsin x
2
x
2¶2
2. En déduire lim
x→0g(x).
21 Soit fla fonction définie sur Rpar :
f(x)=cosx−x2
x2+9;
1. Montrer que ∀x∈R|f(x)+1|610
x2+9
2. En déduire les limite lim
x→+∞ f(x) et lim x→−∞ f(x).
2EXERCICES 1

Terminale 7 S - 2010/2011
3 Continuité
22 Soit fune fonction définie sur Rdont le tableau
de variations est donné ci-dessous :
x
Variations
de f
−∞ 04+∞
−∞−∞
66
−2−2
22
1. Déterminer le nombre de solutions de l’équation
f(x)=0.
2. Déterminer le nombre de solutions de l’équation
f(x)=men fonction des valeurs de m.
23 Démontrer que tout polynôme de degré 3 à co-
efficients réels admet au moins une racine dans R.
24 Soit (Eα) l’équation cosx=αoù αest un réel
de ]0;1[.
1. Démontrer que l’équation (Eα) admet deux solu-
tions dans i−π
2;π 2h.
2. Déterminer une valeur approchée à 10−2près de la
solution positive de E1
3.
25 Soit fune fonction continue sur [0;3]et à va-
leurs dans [1;2]. Démontrer que l’équation f(x)=x
admet au moins une solution dans [0;3].
26 Soit fla fonction définie sur I=]−∞;0[par :
f(x)=x3−5
x
1. Donner sans calcul les variations de fsur I.
2. Démontrer que l’équation f(x)=2 admet une
unique solution αdans I.
3. Donner un encadrement de αà 10−2.
27 Soit fla fonction définie sur Rpar :
f(x)=
sin2x
xsi x6=0
2 si x=0
Démontrer que fest continue sur R.
28 Soit fla fonction définie sur Rpar :
f(x)=
2−sin2x
x2si x6=0
1 si x=0
Démontrer que fest continue sur R.
29 Soit Lun réel et fla fonction définie sur Rpar :
f(x)=
2x2+|x|
xsi x6=0
Lsi x=0
Existe-t-il une valeur de Lpour laquelle fest continue
sur R?
30 Même exercice avec :
f(x)=(xsin¡π
x¢−π 2si x6=0
Lsi x=0
31 Partie entière
Définition Quel que soit le réel x, il existe un
unique entier relatif n tel que n 6x<n+1. Cet en-
tier n est appelé partie entière de x et se note E(x).
1. Calculer E(2,41), E(2), E(−3), E(−3,2), E(0,03),
E(−0,03).
2. Tracer la représentation graphique de E.
3. Démontrer que En’est pas continue en k,k∈Z.
4. Démontrer que Eest croissante sur R.
32 Soit fla fonction définie sur Rpar
f(x)=E(x)+(x−E(x))2
1. Démontrer que pour tout réel x,
f(x+1) =f(x)+1
2. Étudier la continuité de fsur R.
33 Soit fla fonction définie sur Rpar :
f(x)=(x−2)E(x)−2(E(x))2
1. Démontrer que fest continue en 0 mais n’est pas
continue en 1.
2. Soit n∈Z∗. Démontrer que fn’est pas continue en
n.
34 Soit fla fonction définie sur Rpar
f(x)=(−1)E(x)(x−E(x))
1. Démontrer que pour tout réel x,
f(x+2) =f(x)
2. Étudier la continuité de fsur R.
LIMITES ET CONTINUITÉ 3