td03

◦1◦
Charlemagne
MPSI-2 / 2013
◦
♥
Mardi 17 septembre
Résolvez le système d'équation
x + y = 7, x2 + y 2 = 29
x + y = 7 et x3 + y 3 = 215.
A quelle condition sur les réels
a
Résolvez le système d'équations
et
b
le système
et
T D02 d'inconnues réelles
x+y = a
x3 + y 3 = b
x
et
◦
y.
d'inconnues réelles
x
et
y
admet il des solutions ?
◦
◦
◦2◦
] Que donne le script suivant en Python ? a,b='2','12' print(a+b)
◦3◦
f
◦
◦
est une application de
[0, 1]
dans
R
Complétez la proposition suivante avec les
∀ x ∈ [0, 1], 0 6 f (x) 6 2
f
f (0) = 0 et f (1) = 2.
mots si , seulement si vériant
ou si
et seulement si ◦
◦
◦4◦ Posez en base
2
la multiplication de
10110011
par
11001101.
√
◦
◦5◦
◦
♥ Résolvez cos4 (θ) − sin4 (θ) = 3 d'inconnue réelle θ.
◦
π
π
◦6◦ ♥ On demande de calculer cos(π/12). Un élève, passant par cos
−
arrive à
3 4
r√
3+2
2
élève, passant par 2. cos (π/12) − 1 = cos(π/6) arrive à
. Qui a raison ?
4
◦7◦
:
est monotone.
√
6+
4
√
◦
2
. Un autre
◦
◦
]
Toujours les deux jumeaux Ali et Ben (mais qui est qui ?). L'un ment (Ali ou Ben ?), l'autre est
sincère. Que vous apporte la question ton
Que vous apporte la question Ton
frère ment il ? .
frère s'appelle Ali et il ment.
Existe-t-il une question à poser pour savoir si le menteur est Ali ?
◦
◦8◦
◦
♥ Le polynôme X 3 − 4.X 2 + 3.X + 6 a pour racines a, b et c. Donnez le polynôme unitaire de degré
3
de racines
a.b, a.c
Même question avec
b.c.
(a.b)2 , (a.c)2
et
et
(b.c)2 .
2013
◦9◦ Pour quelles valeurs de
2014
λ
le polynôme
X 3 − 7.X 2 + 8.X + λ
◦
◦10◦
♣ Que pensez vous de l'élève qui écrit i = (e
i
i.π/2 i
) =e
◦
◦11◦ Factorisez le polynôme
5.X 3 − 67.X 2 + 244.X − 224,
i2 .π/2
admet il une racine double ?
1
=√ π
e
◦
?
◦
sachant qu'une de ses racines est le double d'une
autre.
◦
◦
cos(a) + cos(b)
◦12◦ ♥ Simpliez
.
sin(a) + sin(b)
◦
100 ◦13◦ Résolvez l'équation
est
k
◦
un multiple de
17
d'inconnue entière
k
entre
0
et
100.
◦
♣
◦
◦14◦
2013 en base 10 s'écrit 10111011111 en base 2 car on a 2013 = 2.103 + 1.101 +
0
10
8
7
3.10 = 2 + 2 + 2 + 26 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 . Mais comment s'écrit il en base −10 ?
◦15◦
♠
Le nombre appelé
◦
◦
32.x3 + 144.x2 + 210.x + 92 = 0 d'inconnue réelle x.
3
Ramenez la à la forme 32.y + p.y + q = 0 par translation convenable (y = x + . . .).
3
Ramenez la ensuite à la forme 4.z − 3.z = a par dilatation z = α.y .
Montrez qu'on ne peut pas poser z = cos(θ) pour résoudre cette équation.
On veut résoudre l'équation
1
u+
z=
On pose alors
2
1
u.
Montrez que
u
est alors racine d'une équation équation du sixième degré,
qui se ramène à une équation du second degré d'inconnue
Calculez alors
U,
puis
u
notée
U.
(combien de valeurs possibles ?).
z1 , z2
x3 .
calculez alors les trois racines réelle
Trouvez les trois racines
u3
x1 , x2
et
et
z3
(pourquoi seulement
3) ?
◦
◦
{1, 2, 3, 4, . . . 12} dans lui même par son tableau de valeurs :
k
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12
(que vous complèterez pour que ce soit
σ(k) 8 4 5 3 4 7 6 12 11 1
2
∗
une bijection). Déterminez alors σ ◦ σ , σ ◦ σ ◦ σ . Au bout de combien de termes aura-ton σ ◦ . . . ◦ σ = Id.
σ
de
a, b, c, d
et
◦16◦ On dénit
◦
◦17◦ Si
◦
e
sont cinq réels distincts, combien de valeurs diérentes peut prendre la fonction
presque symétrique
a.b + b.c + c.d + d.e + e.a ?
2013
◦18◦
♥j
2014
est le complexe
Calculez
Calculez
Calculez
Calculez
A=
C=
E=
2013
X
e2.i.π/3 .
jk.
k=0
2013
X
p=0
2013
X
j 2013 .
2013
X 2013 Calculez
Calculez
B=
k=0
2013 k
.j .
k
2013 .j k .
Calculez
Calculez
k
D=
F =
.j k (menez bien le calcul jusqu'au bout).
2013
X
k=0
2013
X
2013 p
.j .
k
2013 p
.j .
p
p
k=0
k=0
X 2013 k
.j (attention déjà au nombre de termes, il y en a 20142 ).
p
p≤2013
k≤2013
◦
◦
a le réel d'écriture décimale 0, 123412341234 . . . (le motif 1234 se répète périodiquement). Cal1000.a − a. Déduisez l'écriture de a sous forme rationnelle p/q avec p et q entiers premiers entre
◦19◦ On note
culez
eux.
◦
◦
◦20◦
♥ Soit P un polynôme réel de degré 4 admettant un maximum local en 3 et ses minima locaux en 1 et
6. On sait aussi : P 0 (0) = −3. Donnez P 0 sous forme factorisée puis sous forme développée. Explicitez
P (il vous restera dans la formule un paramètre inconnu : P (0)). Calculez la somme des racines de P et la
somme des carrés de ses racines.
◦
◦21◦ Calculez module et argument de
◦
(1 + 5.i)4
.
1 + 239.i
2013
2014
◦22◦
♥ Combien l'équation 6. cos2 (x) − 5. cos(x) + 1 = 0
2.π ? Même question entre −2.π et 5.π .
♣ Calculez la somme des racines sur cet intervalle.
◦23◦
♣
d'inconnue réelle
x
a-t-elle de solutions entre
◦
0
et
◦
On dénit la relation
α
par
(aαb) ⇔ (tan(a) ≤ tan(b)).
Montrez que c'est, sur
Z
, une relation
d'ordre, c'est à dire prouvez :
• ∀ a ∈ Z, aαa (réexivité)
•∀ (a, b) ∈ Z2 , (aαb) et (bαa) ⇒ (a = b) (antisymétrie)
•∀ (a, b, c) ∈ Z3 , (aαb) et (bαc) ⇒ (aαc) (transitivité)
Classez les entiers de -3 à 8 pour cette relation (calculatrice autorisé).
◦
◦
2
◦24◦
♥ L'application (a, b) −→ (2.a + b, a − b) est elle injective de Z × Z dans lui même ? Est elle surjective ?
(par exemple, cherchez les antécédents de (1, 1))
Mêmes questions avec (a, b) −→ (2.a + 3.b, a + b).
L'application (a, b) −→ (M in(a, b), a + 2.b) est elle injective de N × N dans lui même ?
Rappel : une application f de A dans B est surjective si tous les éléments de B sont eectivement
atteints, c'est à dire si ∀b ∈ B, ∃a ∈ A, f (a) = b.
◦
◦
◦25◦
♣
Montrez :
6
Y
(k k ).k! = (6!)7 .
k=0
Qui l'emporte :
(n!)2
ou
(2.n)! ?
◦
◦
◦26◦
♠♣
On note
a , b, c
et
d
les quatre racines du polynôme
fonction symétrique des racines la quantité
•
•
•
a2 .b2
X 4 − 4.X 3 + 2.X 2 − X + 1.
Complétez en
et calculez sa valeur.
Combien de valeurs diérentes peut prendre la fonction non symétrique des racines
a.b.c ?
Calculez la somme et le produit de ces valeurs.
Existe-t-il des fonctions non-symétriques des racines pouvant prendre six valeurs diérentes sous
l'action des vingt quatre permutations ? Même question avec cinq valeurs.
◦
◦
◦27◦
♣ Résolvez l'équation 2014 divise n!. Résolvez l'équation 2014
014
divise n!. Résolvez l'équation 2
divise n!.
3
divise
n!. Résolvez l'équation 2014