ProbSupp 1 Algèbre vectorielle et matricielle-8Mat142

ProbSupp 1
Algèbre vectorielle et matricielle-8Mat142-Hiver 2011
Professeur : : Pierre Joyal
a) Trouvez une solution particulière à l’équation x − 2y + z = 1.
b) Trouvez sa solution générale.


1 −1
0
−
*
−
*
2. Soit A =  0
2
2  et b = [1, 1, 1]T . Calculez A b .
3
0 −1
1.
3. Écrivez l’expression

2
2
1
   
−1 1
x
1
0 2y = 0.
2 3
z
3
comme une combinaison linéaire de colonnes d’une matrice.
4. Résolvez le système

  

1 0 1
x
1
 0 2 1   y  =  −1 
−2 4 0
z
−4
à l’aide de l’algorithme de Gauss (sans l’opération mixte).
5. Résolvez le système du numéro précédent avec l’algorithme de Gauss-Jordan (sans l’op. mixte).
6. Montrez que pour que soit compatible le système associé à la matrice augmentée
1 −2 | a
−3
6 | b
il faut que b = −3a.
7. Pour quelles valeurs de a le système associé à la matrice suivante a-t-il une infinité de solutions,
aucune, une seule : ?


1 −2
1 |
1
 3 −1
0 |
2
2
4 −3 a − 3 | a + 1
8. Sans résoudre le système, peut-on lui trouver une solution unique quel que soit le membre de droite : ?
   

b1
x
1 −1 2
0
2 1   y  =  b2 
z
b3
0
2 3
9. Peut-on exprimer l’un des triplets [1, 0, 0], [1, 1, 1] et [0, 2, 1] comme une combinaison linéaire des deux
autres. Si oui, donnez l’expression. Vous devez utiliser l’algorithme de Gauss ou Gauss-Jordan.
10. Déterminez si [1, −2, 3], [2, −1, 1] et [−4, −7, 9] sont linéairement indépendants. Si ce n’est pas le cas,
exprimez l’un des triplets en fonction des autres.
11. Calculez


1
1 1
dét  1
0 1
0 −1 1
à l’aide de développements de Laplace.
12. Calculez le déterminant du numéro 11 avec
colonnes.
13. Solutionnez le système

1 2
3 2
1 0
à l’aide de la règle de Cramer.
seulement des opérations a) sur les lignes et b) sur les
  

0
x
1
1   y  =  −1 
1
z
2