ProbSupp 1 Algèbre vectorielle et matricielle-8Mat142

ProbSupp 1
Algèbre vectorielle et matricielle-8Mat142-Hiver 2011
Professeur : : Pierre Joyal
1. a) Trouvez une solution particulière à l’équation x−2y+z= 1.
b) Trouvez sa solution générale.
2. Soit A=
1−1 0
022
3 0 −1
et −*
b= [1,1,1]T. Calculez A
−*
b.
3. Écrivez l’expression
2−1 1
2 0 2
1 2 3
x
y
z
=
1
0
3
.
comme une combinaison linéaire de colonnes d’une matrice.
4. Résolvez le système
101
021
−240
x
y
z
=
1
−1
−4
à l’aide de l’algorithme de Gauss (sans l’opération mixte).
5. Résolvez le système du numéro précédent avec l’algorithme de Gauss-Jordan (sans l’op. mixte).
6. Montrez que pour que soit compatible le système associé à la matrice augmentée
1−2|a
−3 6 |b
il faut que b=−3a.
7. Pour quelles valeurs de ale système associé à la matrice suivante a-t-il une infinité de solutions,
aucune, une seule : ?
1−2 1 |1
3−1 0 |2
4−3a2−3|a+ 1
8. Sans résoudre le système, peut-on lui trouver une solution unique quel que soit le membre de droite : ?
1−1 2
0 2 1
0 2 3
x
y
z
=
b1
b2
b3
9. Peut-on exprimer l’un des triplets [1,0,0],[1,1,1] et [0,2,1] comme une combinaison linéaire des deux
autres. Si oui, donnez l’expression. Vous devez utiliser l’algorithme de Gauss ou Gauss-Jordan.
10. Déterminez si [1,−2,3],[2,−1,1] et [−4,−7,9] sont linéairement indépendants. Si ce n’est pas le cas,
exprimez l’un des triplets en fonction des autres.
11. Calculez
d´et 
1 1 1
1 0 1
0−1 1
à l’aide de développements de Laplace.
12. Calculez le déterminant du numéro 11 avec seulement des opérations a) sur les lignes et b) sur les
colonnes.
13. Solutionnez le système
120
321
101
x
y
z
=
1
−1
2
à l’aide de la règle de Cramer.