Géométrie plane, transformations : translations, rotations, symétries

Géométrie plane, transformations : translations,
rotations, symétries orthogonales, homothéties
Denis Vekemans ∗
1 Les translations
On dit que M′est le transformé de Mpar la translation de AB (Aet Bétant deux points du plan
donnés) si le quadrilatère ABM′Mest un parallélogramme.
Remarque : pour être plus précis, il faudrait utiliser la notion de vecteur dont nous nous passerons dans
ce cours.
A
B
MM
M'
NN
N'
Théorème 1.1
Propriété spécifique de la translation relative aux droites. Une translation transforme une droite en une
droite parallèle.
NB : Pour d’autres propriétés, voir le théorème portant sur les isométries plus bas.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
1

2 Les rotations
On dit que M′est le transformé de Mpar la rotation de centre O, d’angle orienté α(la mesure de
αest comprise entre −180◦et 180◦) si
\
(~ OM, ~ OM′) = α
OM =OM′, pour M6=O
et M′=Opour M=O.
Remarque : la notion d’angle orienté n’a pas été vue précédemment, mais on admettra le fait sui-
vant :
\
(~ OM, ~ OM′) = \ MOM′si la rotation est effectuée dans le sens contraire des aiguilles d’une montre ;
\
(~ OM, ~ OM′) = −
\
MOM′si la rotation est effectuée dans le sens des aiguilles d’une montre.
O
M
O
M'
alpha=60°
N
N'
O
Théorème 2.1
Propriété spécifique de la rotation relative aux droites. Une rotation de centre Oet d’angle utransforme
une droite (MN)en une droite (M′N′)telle que si u=−180◦ou si u= 180◦(dans ce cas, la rotation
est appelée une symétrie centrale -de centre O-), alors les droites (MN)et (M′N′)sont parallèles ; si
u6=−180◦et si u6= 180◦, alors les droites (MN)et (M′N′)sont sécantes en un point nommé Stel que
\
MSM′=u.
NB : pour d’autres propriétés, voir le théorème portant sur les isométries plus bas.
3 Les symétries orthogonales
On dit que M′est le transformé de Mpar la symétrie orthogonale d’axe la droite dsi dest la
médiatrice du segment [MM′], pour Mn’appartenant pas à det M′=Mpour Mappartenant à d.
2

(d)
MM'
NN'
Théorème 3.1
Propriété spécifique de la symétrie orthogonale relative aux droites. Une symétrie orthogonale d’axe ∆
transforme une droite (MN)en une droite (M′N′)telle que si les droites (MN)et ∆sont parallèles, alors
les droites (MN)et (M′N′)sont parallèles ; si les droites (MN)et ∆sont sécantes, alors les droites (MN)
et (M′N′)se coupent sur l’axe ∆.
NB : pour d’autres propriétés, voir le théorème portant sur les isométries plus bas.
4 Les isométries
Les translations, les rotations et les symétries sont des isométries. Ce qui veut dire qu’elles conservent
les distances. 1
Théorème 4.1
Les isométries conservent
1. les barycentres (et plus particulièrement les milieux 2) ;
2. l’alignement 3;
3. le parallélisme 4;
4. les angles (et plus particulièrement l’orthogonalité 5).
Théorème 4.2
Une isométrie transforme
1. Soit Met son transformé M′par une isométrie ; soit Net son transformé N′par cette même isométrie. Alors M N =
M′N′.
2. Soit Met son transformé M′par une isométrie ; soit Net son transformé N′par cette même isométrie. Alors le milieu
de [M′N′] est le transformé du milieu de [M N ].
3. Soit Met son transformé M′par une isométrie ; soit Net son transformé N′par cette même isométrie ;soit Pet son
transformé P′par cette même isométrie. Alors si M,Net Psont alignés, M′,N′et P′le sont aussi.
4. Soit une droite det sa transformée d′par une isométrie ; soit une droite δet sa transformée δ′par cette même isométrie.
Alors si det δsont parallèles, d′et δ′le sont aussi.
5. Soit une droite det sa transformée d′par une isométrie ; soit une droite δet sa transformée δ′par cette même isométrie.
Alors si det δsont perpendiculaires, d′et δ′le sont aussi.
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— un triangle en un triangle (de mêmes mesures que le triangle original),
— un carré en un carré (de même côté que l’original),
— un cercle en un cercle (de même rayon que l’original),
— ...,
— un demi-plan en un demi-plan.
5 Les homothéties
On dit que M′est le transformé de Mpar l’homothétie de centre O, de rapport ±k(kest un réel
positif ; kest signé positivement si On’appartient pas au segment [MM′] et négativement dans le cas
contraire) si 
M′appartient à la droite (OM)
k×OM =OM′, pour M6=O
et M′=Opour M=O.
Remarque : lorsque 0 < k < 1, l’homothétie est une réduction ; lorsque k > 1, l’homothétie est un
agrandissement.
O
M
k=3
M'
N
N'
Théorème 5.1
Les homothéties conservent
1. les barycentres (et plus particulièrement les milieux) ;
2. l’alignement ;
3. le parallélisme ;
4. les angles (et plus particulièrement l’orthogonalité).
Cependant, les homothéties, si elles possèdent de nombreuses propriétés en commun avec les isométries,
ne sont pas des isométries pour autant (c’est-à-dire qu’elles ne conservent pas les distances).
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On peut parler d’agrandissement/réduction dans le plan comme dans ce chapitre, mais aussi dans
l’espace. On a le théorème suivant :
Théorème 5.2
Un agrandissement/réduction de rapport k
1. multiplie par kles longueurs (dans le plan comme dans l’espace) ;
2. multiplie par k2les aires (dans le plan comme dans l’espace) ;
3. multiplie par k3les volumes (dans l’espace).
6 Les triangles et les transformations
Lorsqu’une isométrie transforme Aen A′,Ben B′, et Cen C′, on dit que les triangles ABC et A′B′C′
sont isométriques.
Théorème 6.1
Lorsque AB =A′B′,BC =B′C′et AC =A′C′, les triangles ABC et A′B′C′sont isométriques.
Théorème 6.2
Lorsque AB =A′B′,BC =B′C′et
[
ABC =\ A′B′C′, les triangles ABC et A′B′C′sont isométriques.
Théorème 6.3
Lorsque AB =A′B′,BC =B′C′et
[
BAC =\ B′A′C′, les triangles ABC et A′B′C′sont isométriques.
Théorème 6.4
Lorsque AB =A′B′,
[
ABC =\ A′B′C′et
[
BAC =\ B′A′C′, les triangles ABC et A′B′C′sont isométriques.
Théorème 6.5
Lorsque AB =A′B′,
[
ABC =\ A′B′C′et
[
ACB =\ A′C′B′, les triangles ABC et A′B′C′sont isométriques.
Théorème 6.6
Lorsqu’une isométrie envoie Asur A′,Bsur B′,Csur C′, on dit que les triangles ABC et A′B′C′sont
isométriques, et les propriétés suivantes sont évidentes, alors AB =A′B′,AC =A′C′,BC =B′C′,
[
BAC =\ B′A′C′,
[
ABC =\ A′B′C′et
[
ACB =\ A′C′B′.
Lorsqu’une isométrie composée avec une homothétie transforme Aen A′,Ben B′, et Cen C′, on dit
que les triangles ABC et A′B′C′sont semblables.
Théorème 6.7
Lorsque
[
BAC =\ B′A′C′,
[
ABC =\ A′B′C′et
[
ACB =\ A′C′B′, les triangles ABC et A′B′C′sont semblables
et AB
A′B′=AC A′C′=BC B′C′.
Réciproquement, lorsque AB
A′B′=AC A′C′=BC B′C′, les triangles ABC et A′B′C′sont semblables et
[
BAC =
\
B′A′C′,
[
ABC =\ A′B′C′et
[
ACB =\ A′C′B′.
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