en vue de l'obtention du grade de philosophiae doctor (Ph.D.)

Conjectures homologiques, catégories stables et représentations
de carquois infinis.
par
Charles Paquette
thèse présentée au Département de mathématiques
en vue de l'obtention du grade de philosophiae doctor (Ph.D.)
FACULTÉ DES SCIENCES
UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE
Sherbrooke, Québec, Canada, août 2010

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14-1
Canada

Le 17 septembre 2010
le jury a accepté la thèse de Monsieur Charles Paquette
dans sa version finale.
Membres du jury
Professeur Shiping Liu
Directeur de recherche
Département de mathématiques
Professeur Thomas Brustle
Membre
Département de mathématiques
Professeur Kiyoshi Igusa
Membre externe
Brandeis university
Professeur Ibrahim Assem
Président rapporteur
Département de mathématiques

SOMMAIRE
Cette thèse comprend les résultats de trois articles dont deux sont publiés. L'un a été
rédigé par l'auteur et l'autre par l'auteur ainsi que son directeur. Le dernier article est en
cours de rédaction. Les résultats de cette thèse qui apparaissent dans ce dernier article
ont tous été travaillés par l'auteur. Cette thèse comprend donc des résultats qui touchent
des sujets de l'algèbre légèrement différents.
La première partie de la thèse s'intéresse aux algebres strictement stratifiées. Nous mon-
trons qu'une algèbre strictement stratifiée a toujours une dimension finitiste injective
finie et nous donnons une borne pour celle-ci. Nous montrons également que tout module
simple de dimensions injective et projective finies n'admet pas d'auto-extension non nulle.
Ceci montre une version plus faible de la conjecture forte d'abscence de boucles ( Strong
no loop conjecture, en anglais). Finalement, nous montrons qu'une algèbre strictement
stratifiée a toujours un déterminant de Cartan positif. De plus, nous montrons que ce
déterminant vaut un si et seulement si la dimension globale de l'algèbre est finie. Cela
montre, en particulier, la conjecture du déterminant de Cartan et sa réciproque pour la
classe des algebres strictement stratifiées.
Dans la seconde partie, nous nous intéressons à la catégorie stable injective (ou projec-
tive) d'une algèbre d'Artin. Nous montrons qu'elle est triangulée si et seulement si A
est stablement équivalente à une algèbre auto-injective, si et seulement si A est auto-
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injective ou de Nakayama de longueur de Loewy deux. Nous montrons également que ces
conditions sont équivalentes à demander que la catégorie stable injective soit faiblement
abélienne. Ce résultat montre la réciproque d'un résultat de Happel (voir [22, théorème
2.6]) affirmant que si A est auto-injective, alors la catégorie stable injective est triangulée.
Finalement, la dernière partie de cette thèse s'intéresse aux représentations localement de
dimension finie d'un carquois Q sur un corps algébriquement clos. Nous supposons que Q
est infini, connexe, localement fini et fini par intervalle. Nous nous intéressons à l'existence
de suites presque scindées dans la catégorie qui contient ces représentations, notée rep(Q).
Nous montrons, en particulier, que pour tout objet X de rep+(Q), la sous-catégorie pleine
de rep(Q) des représentations de présentation finie, il existe une suite presque scindée
dans rep(Q) se terminant en X. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes
pour que la catégorie rep+(Q) admette des suites presque scindées à droite ainsi que
des suites presque scindées. Sous l'hypothèse que rep+(<5) admette des suites presque
scindées à droite, nous étudions les composantes du carquois d 'Auslander- Reiten de la
catégorie rep+(Q). Nous donnons une description complète de ces composantes. Nous
montrons qu'il existe deux types de composantes régulières. Celles de type ZA00 et celles
de type N-A00. Nous montrons également que le nombre de telles composantes est fini si
et seulement si le carquois Q est de type Dynkin infini. Nous montrons finalement que si
le carquois Q satisfait à une certaine condition sur ses marches acycliques infinies, alors
toutes les composantes régulières du carquois d'Auslander- Reiten sont de type N-A00.
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