Alg`ebre 07 – Groupe linéaire d`un espace vectoriel de dimension

Algèbre 07
–
Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E ;
sous-groupes de GL(E). Applications.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n ≥ 1.
1. Sous-groupes remarquables du groupe
linéaire
Définition. Le groupe linéaire GL(E) de E est le
groupe des endomorphismes inversibles de L(E).
On identifie GL(E) avec le groupe GLn (K) des matrices
A ∈ Mn (K) inversibles i.e. de déterminant non nul.
Remarques. Si K = R ou C alors
– GLn (K) est un ouvert dense de Mn (K),
– A 7→ A−1 et (A, B) 7→ AB sont continues.
Application. Si A, B ∈ Mn (R) alors χAB = χBA .
Remarque. GLn (C) est connexe par arcs mais
GLn (R) n’est pas connexe.
Définition. On appelle groupe spécial linéaire de E et
on note SL(E) le noyau de det : GL(E) → K∗ i.e. le
groupe des endomorphismes de E de déterminant 1.
2. Générateurs et centre
Définition. Soit f ∈ GL(E) avec f 6= idE et H un
hyperplan de E stable f avec f|H = idH . On dit que f
est une dilatation d’hyperplan H et de rapport λ 6= 1
s’il existe une base dans laquelle la matrice de f soit
diag(1, . . . , 1, λ).
Proposition. Deux dilatations sont conjuguées dans
GL(E) si et seulement si elles ont même rapport.
Définition. Soit f ∈ GL(E) avec f 6= idE et H = ker ψ
un hyperplan de E stable f avec f|H = idH . On dit que
f est une transvection d’hyperplan H et de droite hai
s’il existe une base dans laquelle la matrice de f soit

1


..

. 1  i.e. si f (x) = x+ψ(x)a pour tout x ∈ E.
1
Exemple.
1
0
1
1
est une matrice de transvection.
Proposition. Deux transvections sont conjuguées dans
GL(E) et, si n ≥ 3, sont conjuguées dans SL(E).
1 λ
1 µ
et
sont conjuguées
Remarque. La suite 1 → SLn (K) → GLn (K) → Remarque.
0 1
0 1
K∗ → 1 est exacte et on a GLn (K) ' SLn (K) o K∗ .
−1
dans SL2 (K) si et seulement si λµ est un carré de K
Définition. On appelle respectivement groupes ortho- Application. Z(GL(E)) est l’ensemble des hogonal, spécial orthogonal, unitaire et spécial unitaire, les mothéties de rapport λ ∈ K∗ ; Z(SL(E)) est celui des
groupes
homothéties de rapport une racine nè de l’unité dans K.
t
−1
– O(n) = {A ∈ GLn (R) ; A = A },
Remarque. Notons P GL(E) = GL(E)/Z(GL(E)) et
– SO(n) = {A ∈ O(n) ; det A = 1},
P SL(E) = SL(E)/Z(SL(E)) ; si K est algébriquement
– U(n) = {A ∈ GLn (C) ; A∗ = A−1 } et
clos alors P GL(E) ' P SL(E)
– SU(n) = {A ∈ U(n) ; det A = 1}.
Théorème. Toute matrice A ∈ GLn (K) s’écrit sous la
Remarque. O(n) et U(n) sont compacts mais pas forme A = τ · · · τ δτ · · · τ où les τ sont des transvec1
q 1
s
i
{A ∈ Mn (C); t A = A−1 }.
tions et δ est une dilatation de rapport det A.
On identifie SL(E) avec le groupe SLn (K) des matrices
A ∈ Mn (K) de déterminant 1.
Proposition. Si A ∈ O(n) alors il existe P ∈ O(n) et
0 < θ1 ≤ · · · ≤ θr < π tels que
où Rθj
P −1 AP = diag(Ip , −Iq , Rθ1 , . . . , Rθr )
cos θj
sin θj
=
.
− sin θj cos θj
Corollaire. Les transvections engendrent SL(E).
Les transvections et les dilatations engendrent GL(E).
Application. GLn (R) a deux composantes connexes
homéomorphes : GL+
n (R) = {A ∈ Mn (R); det A > 0} et
+
GL−
(R)
=
{A
∈
M
n (R); det A < 0}. De plus, GLn (R)
n
−
et GLn (R) sont connexes par arcs.
Application. O(n) a deux composantes connexes : Proposition. D(GL(E)) = D(SL(E)) = SL(E) sauf
D(GL(F22 )) = D(SL(F22 )) ' A3 et D(SL(F23 )) ' H8
SO(n) et O− (n).
Application. P SL(E) est simple si E 6= F22 et F23 .
Proposition. Si A ∈ U(n) alors il existe P ∈ U(n)
telle que P ∗ AP = diag(eiθ1 , . . . , eiθn ).
3. Le groupe orthogonal
Application. U(n) et SU(n) sont connexes par arcs.
Théorème de Burnside-Schur. Soit G un sous- Proposition (décomposition polaire). L’application
groupe de GLn (C) alors :
O(n) × Sym++ (n) → GLn (R), (O, S) 7→ OS
G fini ⇐⇒ G d’exposant fini
est un homéomorphisme.
⇐⇒ G de torsion et de type fini
On a un résultat analogue pour (O, S) 7→ SO. La
Exemple. Si G est un sous-groupe de GLn (C) d’expo- décomposition persiste sur Mn (K) mais sans l’unicité.
sant 2 alors il existe k ≤ n tel que G ' (Z/2Z)k .
Application. O(n) est un sous-groupe compact maximal de GLn (R).
Application. Si GLn (C) ' GLm (C) alors n = m.
Application. Deux matrices unitairement semblables
de Mn (R) sont orthogonalement semblables.
Application. L’enveloppe convexe de O(n) dans
Mn (R) est la boule unité fermée (pour la norme ||| |||2
induite par la norme euclidienne de Rn ).
Exemple. Si G est fini et (eh )h∈G est une base de
E = C|G| , on pose ρ(g)(eh ) = egh , alors ρ est appelé
représentation régulière de G.
Exemple. Une représentation d’un groupe abélien est
irréductible si et seulement elle est de degré 1.
Corollaire. Pour tout A ∈ GLn (R), il existe Ω1 , Ω2
dans O(n) et D diagonale à coefficients strictement positifs telles que A = Ω1 DΩ2 .
√
Application. d(M, O(n)) = t M M − I
4.3. Utilisation des matrices transvections au
changement de base. On note Ei,j la matrice de
Mn (R) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui à
la place (i, j) qui vaut 1. Alors, multiplier A ∈ Mn (R)
2
par I + αEi,j
Proposition. Z(O(n)) = {±I}
– à droite permet de remplacer la colonne cj par cj +αci
Z(SO(n)) = {±I} si n est pair et {I} si n est impair
– à gauche permet de remplacer la ligne li par li + αlj
Remarque. SO(2) ' U est commutatif ; cela permet Pour échanger deux lignes k et `, on multiplie à gauche
par (δi,τ (j) )i,j où τ est la transposition (k `).
la définition des angles orientés.
Proposition. Tout élément de O(n) est produit d’au Application. Si Λ est un sous-réseau de rang m d’un
n
plus n réflexions ; tout élément de SO(n) est produit réseau Γ de R alors il existe e1 , . . . , en et d1 , . . . , dn ∈
∗
N , avec dj divise dj+1 , tels que Γ = Ze1 ⊕ · · · ⊕ Zen et
d’au plus n renversements.
Λ = Zd1 e1 ⊕ · · · ⊕ Zdm em .
Application. SO(3) est simple.
Application (méthode de Gauss). Si A ∈ Mn (R) alors
Proposition. Tout sous-groupe compact de GLn (R) est
il existe P ∈ GLn (R) avec P A triangulaire supérieure.
conjugué à un sous-groupe de O(n).
√
Proposition. On a
min |||M |||2 = n et ce mini- Application (factorisation LU ). Soit A = (ai,j )1≤i,j≤n
M ∈SLn (R)
telle que (ai,j )1≤i,j≤k ∈ GLk (R) pour tout 1 ≤ k ≤ n.
mum est réalisé exactement en SO(n).
Alors A = LU avec L triangulaire inférieure à coefficients diagonaux égaux à 1 et U triangulaire supérieure.
4. Quelques applications
4.4. Classification des réseaux du plan. On identifie le plan R2 à C, on note P le demi-plan {z ∈
4.1. Groupes d’isométries.
C; Im z > 0} et on considère le groupe modulaire
2 }. On
Proposition. Les sous-groupes finis de SO(3) sont iso- P SL2 (Z) ' SL
2 (Z)/{±I
rappelle
que SL2 (Z) est
0 −1
1 1
morphes à Z/nZ, Dn/2 , A4 , S4 ou A5 .
engendré par
et
.
1
0
0 1
Remarque. A4 est le groupe du tétraèdre.
Proposition. L’action de P SL2 (Z) sur P définie par
S4 est le groupe du cube et de l’octaèdre.
A5 est le groupe de l’icosaèdre et du dodécaèdre.
az + b
a b
·z =
c d
cz + d
4.2. Représentations linéaires.
Définition. Soit G un groupe et E un C-e.v.
(i) Une représentation linéaire de G est un morphisme ρ : G → GL(E) ; si dim E = n alors n
est appelé degré de la représentation.
(ii) Un sous-espace F de E est G-invariant si F
est stable par tout ρ(g) ; si on pose ρ|F =
ρ(g)|F alors ρ|F : G → GL(F ) est une sousreprésentation.
(iii) ρ est irréductible si E et {0} sont les seuls sousespaces G-invariants.
L
(iv) ρ est totalement décomposable si E =
Ei avec
i∈I
chaque Ei G-invariant et ρ|Ei irréductible.
Proposition (Maschke). Si ρ est une représentation
d’un groupe fini G et si F est G-invariant alors F admet un supplémentaire G-invariant.
Proposition (Schur). Si ρ est une représentation
irréductible de G alors les endomorphismes u ∈ L(E)
qui commutent avec tous les ρ(g) sont les homothéties.
Proposition (Weyl). Une représentation continue d’un groupe topologique compact est totalement
décomposable.
Exemple. Les représentations de degré 1 d’un groupe
fini G sont les morphismes G → U.
admet pour transversale le domaine D0 défini par
– soit − 12 ≤ Re z < 21 et |z| > 1,
– soit − 21 ≤ Re z ≤ 0 et |z| = 1.
Proposition. À C∗ -homothétie près, les réseaux du
plan sont en bijection avec D0 .
Développements
Théorème de Burnside-Schur.
Sous-groupes compacts de GLn (R).
Sous-groupes finis de SO(3).
Références
[1] M. Alessandri, Thèmes de géométrie. Groupes en situation
géométrique, Dunod, 1999.
[COM] F. Combes, Algèbre et géométrie, Bréal, 1998.
[2] R. Goblot, Algèbre commutative, Masson, 1996.
[3] R. Mneimné et F. Testard, Groupes de Lie classiques, Hermann, 1986.
[4] D. Perrin, Cours d’algèbre, Ellipses, 1996.
[5] J.-E. Rombaldi, Thèmes pour l’agrégation de mathématiques,
EDP Sciences, 1999.
[6] J.-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis, Hermann, 1998.