Alg`ebre 07 – Groupe linéaire d`un espace vectoriel de dimension

Alg`ebre 07 – Groupe lin´eaire d’un espace vectoriel de dimension finie E;
sous-groupes de GL(E). Applications.
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension n≥1.
1. Sous-groupes remarquables du groupe
lin´ eaire
D´efinition. Le groupe lin´eaire GL(E) de Eest le
groupe des endomorphismes inversibles de L(E).
On identifie GL(E) avec le groupe GLn(K) des matrices
A∈ Mn(K) inversibles i.e. de d´eterminant non nul.
Remarques. Si K=Rou Calors
–GLn(K) est un ouvert dense de Mn(K),
–A7→ A−1et (A, B)7→ AB sont continues.
Application. Si A, B ∈ Mn(R) alors χAB =χBA.
Remarque. GLn(C) est connexe par arcs mais
GLn(R) n’est pas connexe.
D´efinition. On appelle groupe sp´ecial lin´eaire de Eet
on note SL(E) le noyau de det : GL(E)→K∗i.e. le
groupe des endomorphismes de Ede d´eterminant 1.
On identifie SL(E) avec le groupe SLn(K) des matrices
A∈ Mn(K) de d´eterminant 1.
Remarque. La suite 1 →SLn(K)→GLn(K)→
K∗→1 est exacte et on a GLn(K)'SLn(K)o K∗.
D´efinition. On appelle respectivement groupes ortho-
gonal,sp´ecial orthogonal,unitaire et sp´ecial unitaire, les
groupes
–O(n) = {A∈GLn(R) ; tA=A−1},
–SO(n) = {A∈ O(n) ; det A= 1},
–U(n) = {A∈GLn(C) ; A∗=A−1}et
–SU(n) = {A∈ U(n) ; det A= 1}.
Remarque. O(n) et U(n) sont compacts mais pas
{A∈ Mn(C); tA=A−1}.
Proposition. Si A∈ O(n)alors il existe P∈ O(n)et
0< θ1≤ ··· ≤ θr< π tels que
P−1AP = diag(Ip,−Iq, Rθ1, . . . , Rθr)
o`u Rθj=cos θjsin θj
−sin θjcos θj.
Application. O(n) a deux composantes connexes :
SO(n) et O−(n).
Proposition. Si A∈ U(n)alors il existe P∈ U(n)
telle que P∗AP = diag(eiθ1, . . . , eiθn).
Application. U(n) et SU(n) sont connexes par arcs.
Th´eor`eme de Burnside-Schur. Soit Gun sous-
groupe de GLn(C)alors :
Gfini ⇐⇒ Gd’exposant fini
⇐⇒ Gde torsion et de type fini
Exemple. Si Gest un sous-groupe de GLn(C) d’expo-
sant 2 alors il existe k≤ntel que G'(Z/2Z)k.
Application. Si GLn(C)'GLm(C) alors n=m.
2. G´ en´ erateurs et centre
D´efinition. Soit f∈GL(E) avec f6= idEet Hun
hyperplan de Estable favec f|H= idH. On dit que f
est une dilatation d’hyperplan Het de rapport λ6= 1
s’il existe une base dans laquelle la matrice de fsoit
diag(1, . . . , 1, λ).
Proposition. Deux dilatations sont conjugu´ees dans
GL(E)si et seulement si elles ont mˆeme rapport.
D´efinition. Soit f∈GL(E) avec f6= idEet H= ker ψ
un hyperplan de Estable favec f|H= idH. On dit que
fest une transvection d’hyperplan Het de droite hai
s’il existe une base dans laquelle la matrice de fsoit
1
...1
1
i.e. si f(x) = x+ψ(x)apour tout x∈E.
Exemple. 1 1
0 1 est une matrice de transvection.
Proposition. Deux transvections sont conjugu´ees dans
GL(E)et, si n≥3, sont conjugu´ees dans SL(E).
Remarque. 1λ
0 1 et 1µ 0 1 sont conjugu´ees
dans SL2(K) si et seulement si λµ−1est un carr´e de K
Application. Z(GL(E)) est l’ensemble des ho-
moth´eties de rapport λ∈K∗;Z(SL(E)) est celui des
homoth´eties de rapport une racine n`e de l’unit´e dans K.
Remarque. Notons P GL(E) = GL(E)/Z(GL(E)) et
P SL(E) = SL(E)/Z(SL(E)) ; si Kest alg´ebriquement
clos alors P GL(E)'P SL(E)
Th´eor`eme. Toute matrice A∈GLn(K)s’´ecrit sous la
forme A=τ1···τqδτ1···τso`u les τisont des transvec-
tions et δest une dilatation de rapport det A.
Corollaire. Les transvections engendrent SL(E).
Les transvections et les dilatations engendrent GL(E).
Application. GLn(R) a deux composantes connexes
hom´eomorphes : GL+
n(R) = {A∈ Mn(R); det A > 0}et
GL−
n(R) = {A∈ Mn(R); det A < 0}. De plus, GL+ n(R)
et GL−
n(R) sont connexes par arcs.
Proposition. D(GL(E)) = D(SL(E)) = SL(E)sauf
D(GL(F2
2)) = D(SL(F2 2)) ' A3et D(SL(F2 3)) 'H8
Application. P SL(E) est simple si E6=F2
2et F2 3.
3. Le groupe orthogonal
Proposition (d´ecomposition polaire).L’application
O(n)×Sym++(n)→GLn(R),(O, S)7→ OS
est un hom´eomorphisme.
On a un r´esultat analogue pour (O, S)7→ SO. La
d´ecomposition persiste sur Mn(K) mais sans l’unicit´e.
Application. O(n) est un sous-groupe compact maxi-
mal de GLn(R).

Application. Deux matrices unitairement semblables
de Mn(R) sont orthogonalement semblables.
Application. L’enveloppe convexe de O(n) dans
Mn(R) est la boule unit´e ferm´ee (pour la norme ||| |||2
induite par la norme euclidienne de Rn).
Corollaire. Pour tout A∈GLn(R), il existe Ω1,Ω2
dans O(n)et Ddiagonale `a coefficients strictement po-
sitifs telles que A= Ω1DΩ2.
Application. d(M, O(n)) = 
√tMM −I 2
Proposition. Z(O(n)) = {±I}
Z(SO(n)) = {±I}si nest pair et {I}si nest impair
Remarque. SO(2) 'Uest commutatif ; cela permet
la d´efinition des angles orient´es.
Proposition. Tout ´el´ement de O(n)est produit d’au
plus nr´eflexions ; tout ´el´ement de SO(n)est produit
d’au plus nrenversements.
Application. SO(3) est simple.
Proposition. Tout sous-groupe compact de GLn(R)est
conjugu´e `a un sous-groupe de O(n).
Proposition. On a min
M∈SLn(R)|||M|||2=√net ce mini-
mum est r´ealis´e exactement en SO(n).
4. Quelques applications
4.1. Groupes d’isom´etries.
Proposition. Les sous-groupes finis de SO(3) sont iso-
morphes `a Z/nZ,Dn/2,A4,S4ou A5.
Remarque. A4est le groupe du t´etra`edre.
S4est le groupe du cube et de l’octa`edre.
A5est le groupe de l’icosa`edre et du dod´eca`edre.
4.2. Repr´esentations lin´eaires.
D´efinition. Soit Gun groupe et Eun C-e.v.
(i) Une repr´esentation lin´eaire de Gest un mor-
phisme ρ:G→GL(E) ; si dim E=nalors n
est appel´e degr´e de la repr´esentation.
(ii) Un sous-espace Fde Eest G-invariant si F
est stable par tout ρ(g) ; si on pose ρ|F=
ρ(g)|Falors ρ|F:G→GL(F) est une sous-
repr´esentation.
(iii)ρest irr´eductible si Eet {0}sont les seuls sous-
espaces G-invariants.
(iv)ρest totalement d´ecomposable si E=L
i∈I
Eiavec
chaque EiG-invariant et ρ|Eiirr´eductible.
Proposition (Maschke).Si ρest une repr´esentation
d’un groupe fini Get si Fest G-invariant alors Fad-
met un suppl´ementaire G-invariant.
Proposition (Schur).Si ρest une repr´esentation
irr´eductible de Galors les endomorphismes u∈ L(E)
qui commutent avec tous les ρ(g)sont les homoth´eties.
Proposition (Weyl).Une repr´esentation conti-
nue d’un groupe topologique compact est totalement
d´ecomposable.
Exemple. Les repr´esentations de degr´e 1 d’un groupe
fini Gsont les morphismes G→U.
Exemple. Si Gest fini et (eh)h∈Gest une base de
E=C|G|, on pose ρ(g)(eh) = egh, alors ρest appel´e
repr´esentation r´eguli`ere de G.
Exemple. Une repr´esentation d’un groupe ab´elien est
irr´eductible si et seulement elle est de degr´e 1.
4.3. Utilisation des matrices transvections au
changement de base. On note Ei,j la matrice de
Mn(R) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui `a
la place (i, j) qui vaut 1. Alors, multiplier A∈ Mn(R)
par I + αEi,j
– `a droite permet de remplacer la colonne cjpar cj+αci
– `a gauche permet de remplacer la ligne lipar li+αlj
Pour ´echanger deux lignes ket `, on multiplie `a gauche
par (δi,τ(j))i,j o`u τest la transposition (k `).
Application. Si Λ est un sous-r´eseau de rang md’un
r´eseau Γ de Rnalors il existe e1, . . . , enet d1, . . . , dn∈
N∗, avec djdivise dj+1, tels que Γ = Ze1⊕···⊕Zenet
Λ = Zd1e1⊕ ··· ⊕ Zdmem.
Application (m´ethode de Gauss).Si A∈ Mn(R) alors
il existe P∈GLn(R) avec P A triangulaire sup´erieure.
Application (factorisation LU).Soit A= (ai,j )1≤i,j≤n
telle que (ai,j )1≤i,j≤k∈GLk(R) pour tout 1 ≤k≤n.
Alors A=LU avec Ltriangulaire inf´erieure `a coeffi-
cients diagonaux ´egaux `a 1 et Utriangulaire sup´erieure.
4.4. Classification des r´eseaux du plan. On iden-
tifie le plan R2`a C, on note Ple demi-plan {z∈
C; Im z > 0}et on consid`ere le groupe modulaire
P SL2(Z)'SL2(Z)/{±I2}.On rappelle que SL2(Z) est
engendr´e par 0−1
1 0 et 1 1 0 1 .
Proposition. L’action de P SL2(Z)sur Pd´efinie par
a b
c d ·z=az +b
cz +d
admet pour transversale le domaine D0d´efini par
– soit −1
2≤Re z < 1 2et |z|>1,
– soit −1
2≤Re z≤0et |z|= 1.
Proposition. ` AC∗-homoth´etie pr`es, les r´eseaux du
plan sont en bijection avec D0.
D´ eveloppements
Th´eor`eme de Burnside-Schur.
Sous-groupes compacts de GLn(R).
Sous-groupes finis de SO(3).
R´ ef´ erences
[1] M. Alessandri, Th`emes de g´eom´etrie. Groupes en situation
g´eom´etrique, Dunod, 1999.
[COM] F. Combes, Alg`ebre et g´eom´etrie, Br´eal, 1998.
[2] R. Goblot, Alg`ebre commutative, Masson, 1996.
[3] R. Mneimn´e et F. Testard, Groupes de Lie classiques, Her-
mann, 1986.
[4] D. Perrin, Cours d’alg`ebre, Ellipses, 1996.
[5] J.-E. Rombaldi, Th`emes pour l’agr´egation de math´ematiques,
EDP Sciences, 1999.
[6] J.-P. Serre, Repr´esentations lin´eaires des groupes finis, Her-
mann, 1998.