2080exo

Bibliothèque d'exercices
version 4, octobre 2003
recueil réalisé par Arnaud Bodin
Introduction
An de faciliter le travail de tous, voici la quatrième version de ce recueil d'exercices. L'esprit
n'a pas changé : simplier le concoctage des feuilles d'exercices par un simple copier-coller.
Je n'ai pas saisi tous les exercices, loin de là, je remercie vivement les gros contributeurs :
- Éliane Cousquer ;
- François Gourio ;
- Pierre-Yves Legall ;
- Pascal Ortiz ;
- Franz Ridde.
Sans oublier tous ceux qui m'ont fourni leurs feuilles d'exercices : Jean-François Barraud, Cécile Drouet, Cornélia Drutu, Olivier Gineste, Vincent Guirardel, Jean-Marc Hécart, Arnaud
Hilion, Jean-Marie Lescure, Isabelle Liousse, Sylvain Maillot, Nicolas Marco, Bertrand Monthubert, Nadja Rebinguet, Sandrine Roussel, Marie-Helène Vignal. Qu'ils et elles en soient tous
remerciés.
La bibliothèque s'agrandie encore : environ
2000
exercices. Les chiers sources sont dispo-
AT X, et récupérables à l'adresse suivante :
nibles en L
E
http ://www-gat.univ-lille1.fr/ ∼bodin/
Sur ce site, une page permet de récupérer les exercices qui vous intéressent en saisissant leur
numéro. Certains exercices sont corrigés (environ
15%),
cependant an des sauver quelques
arbres les corrections ne sont pas incluses dans cette version papier. Bien sûr lorsque vous récupérez des exercices pour faire une feuille de
td les corrections existantes sont automatiquement
ajoutées en n de feuille.
Vous pouvez contribuer à ce recueil en m'envoyant vos chiers :
[email protected]
Donc n'hésitez pas à taper vos feuilles et corrections, ce sera fait une fois pour toutes et pour
tous !
Arnaud Bodin
Sommaire
I ALGÈBRE 1
1
1 Nombres complexes
1
2 Logique, ensembles, raisonnements
13
3 Injection, surjection, bijection
22
4 Relation d'équivalence, relation d'ordre
25
5 Dénombrement
26
6 Arithmétique dans
Z
30
7 Polynômes
42
8 Fractions rationnelles
50
II ANALYSE 1
52
9 Propriétés de
R
52
10 Suites
58
11 Limites de fonctions
70
12 Continuité et étude de fonctions
76
13 Dérivabilité
82
14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses
87
15 Calculs d'intégrales
90
16 Équations diérentielles
III ALGÈBRE 2
102
107
17 Espaces vectoriels
107
18 Applications linéaires
112
19 Espaces vectoriels de dimension nie
120
20 Matrices
127
21 Déterminants, systèmes linéaires
137
IV ANALYSE 2
153
22 Suites : compléments
153
23 Continuité et comparaison de fonctions
155
24 Dérivabilité : compléments
157
25 Développements limités
159
26 Intégrales (compléments), intégrales impropres
165
V ALGÈBRE 3
170
27 Groupes : généralités
170
28 Anneaux et corps
176
29 Groupes nis
180
30 Groupes quotients
187
31 Espaces euclidiens
190
32 Endomorphismes particuliers
199
33 Polynômes d'endomorphismes
210
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation
212
35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions
227
VI ANALYSE 3
238
36 Fonctions convexes
238
37 Notions de topologie
239
38 Fonctions de deux variables
245
39 Espaces métriques et espaces vectoriels normés
257
40 Suites dans
265
Rn
41 Intégrales multiples
266
42 Séries numériques, séries de Fourier
268
VII GÉOMÉTRIE
274
43 Géométrie ane
274
44 Isométries vectorielles
277
45 Géométrie ane euclidienne
278
46 Courbes paramétrées
289
47 Propriétés métriques des courbes planes
290
48 Coniques
291
49 Analyse vectorielle
291
VIII CORRECTIONS
293
IX QCM et FORMULAIRES
371
1 Nombres complexes
1
Première partie
ALGÈBRE 1
1 Nombres complexes
Exercice 1
1.1 Forme cartésienne, forme polaire
Mettre sous la forme
3 + 6i
3 − 4i
a + ib (a, b ∈ R)
;
1+i
2−i
2
+
les nombres :
3 + 6i
3 − 4i
2 + 5i 2 − 5i
+
.
1−i
1+i
;
[Exercice corrigé]
Exercice 2
Exercice 3
Écrire les nombres complexes suivants sous la forme
5 + 2i
1 − 2i
Écrire sous la forme
;
a + ib
√ !3
1
3
− +i
2
2
;
a + ib (a, b ∈ R)
:
(1 + i)9
.
(1 − i)7
les nombres complexes suivants :
1. Nombre de module
2
et d'argument
π/3.
2. Nombre de module
3
et d'argument
−π/8.
[Exercice corrigé]
Exercice 4
Exercice 5
Placer dans le plan cartésien, les points d'axes suivantes :
Mettre chacun des nombres complexes suivants sous la forme
b ∈ R.
1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :
3 + 3i, z2 = −1 −
√
2. Calculer
1.
a + ib, a ∈ R
et
−2
1
1 + 2i 2 + 5i 2 − 5i
√ ,
,
,
+
.
1+i
1 − i 3 (1 + 2i)(3 − i) 1 − 2i 1 − i
Exercice 6
Exercice 7
z1 = i, z2 = 1 + i, z3 = −2 +
√
4
3i, z3 = − i, z4 = −2, z5 = eiθ + e2iθ .
3
z1 =
( 1+i2 3 )2000 .
Eectuer les calculs suivants :
(3 + 2i)(1 − 3i).
2. Produit du nombre complexe de module
module
3
et d'argument
2
et d'argument
π/3
par le nombre complexe de
−5π/6.
3+2i
3.
.
1−3i
4. Quotient du nombre complexe de module
de module
3
et d'argument
2
et d'argument
π/3
par le nombre complexe
−5π/6.
[Exercice corrigé]
Exercice 8
Calculer le module et l'argument des nombres complexes suivants, ainsi que de
leurs conjugués :
1.
2.
√
1 + i(1 + 2).
p
√
√
10 + 2 5 + i(1 − 5).
1 Nombres complexes
3.
tan ϕ−i
où
tan ϕ+i
ϕ
2
est un angle donné.
[Exercice corrigé]
Exercice 9
Représenter sous forme trigonométrique les nombres :
√
1+i ;
1+i 3 ;
Exercice 10
Établir les égalités suivantes :
√
1−i 3
1. (cos(π/7) + i sin(π/7))(
)(1 + i) =
2
2.
3.
√
√
1+i 3
√
.
3−i
3+i ;
√
2(cos(5π/84) + i sin(5π/84)),
√
√
(1 − i)(cos(π/5) + i sin(π/5))( 3 − i) = 2 2(cos(13π/60) + i sin(13π/60)),
√
2(cos(π/12)+i sin(π/12))
1+i
[Exercice corrigé]
√
=
3−i
.
2
Exercice 11
√
Calculer le module et l'argument de
u
module et l'argument de w = .
v
u =
√
6−i 2
et
2
v = 1 − i.
En déduire le
[Exercice corrigé]
Exercice 12
Écrire sous la forme partie réelle-partie imaginaire, puis sous la forme module-
argument le nombre complexe :
Exercice 13
!2
√
1 + i − 3(1 − i)
.
1+i
Déterminer le module et l'argument des nombres complexes :
iα
ee
eiθ + e2iθ .
et
[Exercice corrigé]
Exercice 14
[Exercice corrigé]
Exercice 15
Exercice 16
Exercice 17
Exercice 18
1+i
. Calculer
1−i
Déterminer le module et l'argument de
√
Z = (1 + i 3)2000 .
√
√
(1 + i 3)5 + (1 − i 3)5
Calculer
Calculer
et
Calculer le module et l'argument de
n-ièmes
Calculer les puissances
Exercice 19
Exercice 20
Calculer
(z +
√
√
(1 + i 3)5 − (1 − i 3)5 .
z=
1
.
1+i tan α
des nombres complexes :
√
z1 =
1+i 3
1+i
;
( 1+i
)32 .
1−i
z2 = 1 + j
Comment choisir l'entier naturel
;
z3 =
1 + i tan θ
.
1 − i tan θ
√
n pour que ( 3+i)n soit un réel ? un imaginaire ?
Soit z un nombre complexe de module ρ, d'argument
z)(z 2 + z 2 ) . . . (z n + z n ) en fonction de ρ et θ.
θ,
et soit
z
son conjugué.
[Exercice corrigé]
Exercice 21 (partiel novembre 88)
iα
iβ
complexe z = e
+e
α−β
v = 2 ).
En déduire la valeur de
p=0
[Exercice corrigé]
α
et
β
deux nombres réels. Mettre le nombre
α+β
iγ
sous forme trigonométrique z = ρe
(indication : poser u =
,
2
n
X
Soient
Cnp cos[pα + (n − p)β].
1 Nombres complexes
Exercice 22
Exercice 23
3
(1 + cos φ + i sin φ)
(1 + cos φ + i sin φ)n .
Écrire l'expression
l'expression de
sous forme trigonométrique. En déduire
1 + eiθ
Mettre sous forme trigonométrique
où
θ ∈] − π, π[.
Donner une interpré-
tation géométrique.
[Exercice corrigé]
Exercice 24
Exercice 25
|1 + z | > 1
Exercice 26
|z| 6 k < 1
Montrer que si
alors
1 − k 6 |1 + z| 6 1 + k .
Faire un dessin et
montrer qu'il peut y avoir égalité.
2
|z| = 1
Montrer algébriquement et géométriquement que si
.
Résoudre l'équation
√
exp(z) =
alors
|1 + z| > 1
ou
3 + 3i.
1.2 Racines carrées, équation du second degré
Exercice 27
[Exercice corrigé]
Exercice 28
[Exercice corrigé]
Exercice 29
Calculer les racines carrées de
1, i, 3 + 4i, 8 − 6i,
Trouver les racines carrées de
3 − 4i
1. Calculer les racines carrées de
et de
et
7 + 24i.
24 − 10i.
1+i
√ . En déduire les valeurs de
2
cos(π/8)
et
sin(π/8).
cos(π/12)
2. Calculer les valeurs de
[Exercice corrigé]
Exercice 30
et
sin(π/12).
Montrer que les solutions de
az 2 + bz + c = 0
avec
a, b , c
réels, sont réelles ou
conjuguées.
[Exercice corrigé]
Exercice 31
Résoudre dans
C
z2 + z + 1 = 0 ;
les équations suivantes :
z 2 − (1 + 2i)z + i − 1 = 0 ;
z2 −
√
3z − i = 0 ;
z 2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0 ; z 2 − (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0 ; 4z 2 − 2z + 1 = 0 ;
z 4 + 10z 2 + 169 = 0 ;
z 4 + 2z 2 + 4 = 0.
[Exercice corrigé]
Exercice 32
Trouver les racines complexes de l'équation suivante :
x4 − 30x2 + 289 = 0.
Exercice 33
Pour
z ∈ C \ {2i},
on pose
f (z) =
2z − i
.
z − 2i
1. Résoudre l'équation
z 2 = i, z ∈ C.
2. Résoudre l'équation
f (z) = z, z ∈ C \ {2i}.
Exercice 34
1. Mettre
On note
j
et
2. Vérier que
j2
2π
j=e3.
sous forme algébrique.
1 + j + j 2 = 0.
1 Nombres complexes
4
z 3 − 8i.
3. Factoriser le polynôme
Exercice 35
1 + i, 7 + 24i, i, 5 + 12i,
1. Calculer les racines carrées de
√
1+i
√ 3.
3+i
2. Résoudre les équations suivantes :
(a)
z2 + z + 1 = 0
(b)
z2 + z − 2 = 0
(c)
z 2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0
(d)
z 2 + 4z + 5 = 0
(e)
z 2 − (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0
(f )
z 4 − (1 − i)z 2 − i = 0
(g)
z 4 + 4z 3 + 6z 2 + 4z − 15 = 0
Exercice 36
Résoudre dans
C
les équations suivantes :
1.
z 2 − (11 − 5i)z + 24 − 27i = 0.
2.
z 3 + 3z − 2i = 0.
[Exercice corrigé]
Exercice 37
On considère dans
(E)
l'équation
C
suivante :
z 2 − (1 + a) (1 + i) z + 1 + a2 i = 0,
où
a
est un paramètre réel.
1. Calculer en fonction de
a ∈ R
z1 et z2 de (E)
−2i(1 − a)2 ).
les solutions
déterminer les racines carées complexes de
(indication : on pourra
Z1 (resp. Z2 ) les points du plan complexe d'axe z1 (resp. z2 ) et par M le
[Z1 , Z2 ]. Tracer la courbe du plan complexe décrite par M lorsque a varie dans
2. On désigne par
milieu de
R.
Exercice 38
1. Pour
α ∈ R,
résoudre dans
C
l'équation
z 2 − 2 cos(α)z + 1 = 0.
En déduire
la forme trigonométrique des solutions de l'équation :
z 2n − 2 cos(α)z n + 1 = 0,
où
n
est un entier naturel non nul.
Pα (z) = z 2n − 2 cos(α)z n + 1.
(a) Justier la factorisation suivante de
Pα
:
α 2π
α 2(n − 1)π
2
2
+ 1 z − 2 cos
+
+ 1 . . . z − 2 cos
+
Pα (z) = z − 2 cos
n
n
n
n
n
2
α
(b) Prouver, à l'aide des nombres complexes par exemple, la formule suivante :
θ
1 − cos θ = 2 sin
,
2
2
(c) Calculer
Pα (1).
θ ∈ R.
En déduire
2 α
α
α
sin
π
α
(n
−
1)π
2
sin2
sin2
+
. . . sin2
+
=
.
2n
2n n
2n
n
4n−1
1 Nombres complexes
2. Pour tout
α
5
appartenant à
]0, π[,
et pour tout entier naturel
n > 2,
on pose :
α
α
α
π
2π
(n − 1)π
Hn (α) = sin
+
sin
+
. . . sin
+
.
2n 2n
2n
n
2n
n
(a) Montrer que, pour tout
α
non nul, on a :
2n−1 Hn (α) =
(b) Quelle est la limite de
Hn (α)
lorsque
α
sin
n
sin
2π
n
0?
tend vers
(c) En déduire que, pour tout entier naturel
π sin(α/2)
.
sin(α/2n)
n
. . . sin
supérieur ou égal à
(n − 1)π
n
=
2,
n
2n−1
on a
.
1.3 Racine n-ième
Exercice 39
1. Pour quelles valeurs de z ∈ C a-t-on |1 + iz| = |1 − iz|.
1+iz n
On considère dans C l'équation
= 1+ia
, où a ∈ R. Montrer, sans les calculer, que
1−iz
1−ia
les solutions de cette équation sont
√ réelles. Trouver alors les solutions.
3+i
Calculer les racines cubiques de √
.
3−i
Exercice 40
Pour tout nombre complexe
1. Factoriser
P (Z)
Z,
on pose
et en déduire les solutions dans
P (Z) = Z 4 − 1.
C
de l'équation
z
2. Déduire de 1. les solutions de l'équation d'inconnue
Exercice 41
Exercice 42
P (Z) = 0.
:
((2z + 1)/(z − 1))4 = 1
Résoudre dans
C
l'équation suivante :
Résoudre dans
C
l'équation
√ z 4 = (1 − i) / 1 + i 3 .
z 3 = 14 (−1 + i)
et montrer qu'une seule de ses solu-
tions a une puissance quatrième réelle.
[Exercice corrigé]
Exercice 43
[Exercice corrigé]
Exercice 44
Trouver les racines cubiques de
Calculer
π
π
5π
sin 12
, tan
, tan
.
12
12
[Exercice corrigé]
√
1+i 3
2
√
2(1+i)
2
2 − 2i
et de
11 + 2i.
algébriquement, puis trigonométriquement. En déduire
Résoudre dans
C
Exercice 45
[Exercice corrigé]
Exercice 46
l'équation
Trouver les racines quatrièmes de
1. Montrer que, pour tout
z 24 = 1.
81
n ∈ N∗
et de
−81.
et tout nombre
z ∈ C,
(z − 1) 1 + z + z 2 + ... + z n−1 = z n − 1,
et en déduire que, si
z 6= 1,
on a :
1 + z + z 2 + ... + z n−1 =
zn − 1
.
z−1
on a :
π
,
cos 12
1 Nombres complexes
6
2. Vérier que pour tout
3. Soit
n∈N
∗
x∈R
exp(ix) − 1 = 2i exp
x ∈ R la somme :
, on a
. Calculer pour tout
ix
2
sin
x
2
.
Zn = 1 + exp(ix) + exp(2ix) + ... + exp((n − 1)ix),
et en déduire les valeurs de
Xn = 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos((n − 1)x)
Yn = sin(x) + sin(2x) + ... + sin((n − 1)x).
[Exercice corrigé]
Exercice 47
[Exercice corrigé]
Exercice 48
Calculer la somme
1. Résoudre
1+j+
Sn = 1 + z + z 2 + · · · + z n .
z3 = 1
et montrer que les racines s'écrivent
2
j et en déduire les racines de 1 + z + z 2 = 0.
1, j , j 2 .
Calculer
z n = 1 et montrer que les racines s'écrivent 1, ε, . . . , εn−1 . En déduire les racines
1 + z + z 2 + · · · + z n−1 = 0. Calculer, pour p ∈ N, 1 + εp + ε2p + · · · + ε(n−1)p .
2. Résoudre
de
[Exercice corrigé]
Exercice 49
1.
2.
3.
4.
z5
z5
z3
z5
Résoudre dans
C
:
= 1.
= 1 − i.
= −2 + 2i.
= z̄.
Exercice 50
1. Calculer les racines
n-ièmes
de
−i
et de
1 + i.
z 2 − z + 1 − i = 0.
2n
déduire les racines de z
− z n + 1 − i = 0.
2. Résoudre
3. En
Exercice 51
Exercice 52
Exercice 53
Exercice 54
Soit
ε
une racine
n-ième
de l'unité ; calculer
S = 1 + 2ε + 3ε2 + · · · + nεn−1 .
Résoudre, dans
C,
l'équation
(z + 1)n = (z − 1)n .
Résoudre, dans
C,
l'équation
zn = z
où
n > 1.
Résoudre les équations suivantes :
√
1
+
i
3
√
z6 =
1−i 3
Exercice 55
z + 27 = 0 z ∈ C
Exercice 56 (partiel novembre 91)
Résoudre
6
. (
;
z4 =
1−i
√ .
1+i 3
)
1. Soient
z1 , z2 , z3 trois nombres complexes distincts
ayant le même cube.
Exprimer
z2
et
z3
en fonction de
z1 .
2. Donner, sous forme polaire, les solutions dans
C
de :
z 6 + (7 − i)z 3 − 8 − 8i = 0.
(Indication : poser
[Exercice corrigé]
Z = z3 ;
calculer
(9 + i)2 )
1 Nombres complexes
Exercice 57
Exercice 58
Exercice 59
7
Résoudre dans
27(z − 1)6 + (z + 1)6 = 0.
l'équation
C
Déterminer les racines quatrièmes de
Soit
β∈C
tel que
β7 = 1
et
β 6= 1.
−7 − 24i.
Montrer
β
β2
β3
+
+
= −2
1 + β2 1 + β4 1 + β6
Exercice
60
1.
2.
1.4 Géométrie
Déterminer l'ensemble des nombres complexes
z
tels que :
z − 3
z − 5 = 1,
√
z − 3
= 2.
z − 5
2
[Exercice corrigé]
Exercice 61
1. Résoudre dans
C l'équation (1) (z − 2)/(z − 1) = i. On donnera la solution
sous forme algébrique.
M, A, et B les points d'axes respectives z, 1, 2. On suppose que M 6= A et que
M 6= B . Interpréter géométriquement le module et un argument de (z − 2)/(z − 1) et
2. Soit
retrouver la solution de l'équation (1).
Exercice 62
Le plan
P
est rapporté à un repère orthonormé et identié à l'ensemble
C
des
nombres complexes par
M (x, y) 7→ x + iy = z,
z
z =
où
0
est appelé l'axe de
z−i
.
z+i
M.
Soit
1. Sur quel sous ensemble de
2. Calculer
0
|z |
pour
z
f : P rg P
P, f
qui à tout point
M
d'axe
z
associe
M0
d'axe
est-elle dénie ?
M
axe d'un point
situé dans le demi plan ouvert
H := {M (x, y) ∈ P | y > 0.}?
3. En déduire l'image par
Exercice 63
Le plan
nombres complexes
C
P
f
de
H.
est rapporté à un repère orthonormé et on identie
P
à l'ensemble des
par
M (x, y) 7→ x + iy = z,
est appelé l'axe de M. Soit
1−z
0
d'axe z =
.
1+z
0
¯0 pour |z| = 1.
1. Calculer z + z
où
z
g : P rg P
2. En déduire l'image du cercle de rayon
par l'application
Exercice 64
orthonormé.
Soit
C
qui à tout point
M
d'xe
z 6= −1
associe
g(M )
1 de centre 0 privé du point de coordonnées (−1, 0)
g.
la courbe d'équation
x2 − xy + y 2 = 0 dans le plan P
rapporté à un repère
1 Nombres complexes
1. La courbe
C
8
a-t-elle des points d'intersection avec le rectangle ouvert
R dont les sommets
sont :
A
B
C
D
2. Même question pour le rectangle fermé
=
=
=
=
R0
A0
B0
C0
D0
Exercice 65
z−3 z−5 = 1.
(−3, 2)
(4, 2)
(4, −1)
(−3, −1).
de sommets :
=
=
=
=
(−1, 4)
(2, 4)
(2, 1)
(−1, 1).
Déterminer par
le calcul et géométriquement les nombres complexes
Généraliser pour
[Exercice corrigé]
Exercice 66
z
tels que
z
tels que
z−a z−b = 1.
Déterminer par le calcul et géométriquement
z−3 = k.
z−5 = k (k > 0, k 6= 1). Généraliser pour z−a
z−b les nombres complexes
[Exercice corrigé]
Exercice 67
ment
(j et
1. Soit A, B , C trois points du plan complexe dont les axes sont respectivea, b, c. On suppose que a+jb+j 2 c = 0 ; montrer que ABC est un triangle équilatéral
√
3
j 2 sont les racines cubiques complexes de 1 plus précisément j = −1+i
). Réci2
proque ?
2.
ABC
étant un triangle équilatéral direct du plan complexe, on construit les triangles
équilatéraux directs
BOD
et
OCE ,
OBC , DBA
[Exercice corrigé]
Exercice 68
Soit
le cercle de centre
et
D et E (O est l'origine
ADOE ? Comparer les triangles
ce qui détermine les points
du plan complexe). Quelle est la nature du quadrilatère
EAC .
H une hyperbole
M qui passe par
équilatère de centre
le symétrique de
M
O,
et
M
un point de
par rapport à
O
H.
Montrer que
recoupe
H
en trois
points qui sont les sommets d'un triangle équilatéral.
Indications :
a une équation du type xy = 1, autrement
2
2
au plan complexe, z − z̄ = 4i. En notant a l'axe de M , le
en choisissant un repère adéquat,
H
|z − a|2 = 4aā.
dit en identiant le plan de
H
Z = z − a et on élimine Z̄ entre les équations
du cercle et de l'hyperbole. En divisant par Z + 2a pour éliminer la solution déjà connue du
3
symétrique de M , on obtient une équation du type Z − A = 0.
cercle a pour équation
Exercice 69
[Exercice corrigé]
Exercice 70
Montrer que pour
Soient
z, z 0 ∈ C
On pose
u, v ∈ C,
on a
tels que Arg (z)
|u + v|2 + |u − v|2 = 2(|u|2 + |v|2 ).
− Arg(z 0 ) =
1. Montrer que
zz 0 + zz 0 = 0.
2. Montrer que
|z + z 0 |2 = |z − z 0 |2 = |z|2 + |z 0 |2 .
π
.
2
1 Nombres complexes
Exercice 71
9
1. Déterminer l'ensemble des points
M
z
du plan complexe, d'axe
tels que :
z(z − 1) = z 2 (z − 1).
2. Déterminer l'ensemble des points
1, z , 1 + z 2 soient alignées.
Exercice 72
Soit
M
du plan complexe, d'axe
2. Déterminer l'ensemble des images des nombres complexes
points
un point du plan d'axe α = a
2
du plan dont l'axe z vérie |z| = αz̄ + ᾱz.
1. Soit
M
tels que les images de
s = (1 − z)(1 − iz).
1. Déterminer l'ensemble des images des nombres complexes
Exercice 73
z
A
2. Quelles conditions doivent vérier les points
M1
et
M2
z
z
tel que
tel que
+ ib.
s
soit réel.
s soit imaginaire pur.
Déterminer l'ensemble des
d'axes
z1
et
z2
z1
soit
z2
pour que
réel ?
z
3. Déterminer les nombres complexes
i
tels que les points du plan complexe d'axes
z, iz,
forment un triangle équilatéral.
4. Soit
z = a + ib,
points du plan complexe d'axe
Exercice 74
Exercice 75
(1 − z)
Exercice 76
z−1
sous forme A + iB , . Déterminer l'ensemble des
z+1
z−1
π
telle que l'argument de
soit
.
z+1
2
mettre l'expression
z
Déterminer les nombres complexes z tels que le triangle ayant pour sommets les
2 3
points d'axes z, z , z soit rectangle au point d'axe z .
Déterminer les nombres complexes
z ∈ C∗
tels que les points d'axes
z, z1
et
soient sur un même cercle de centre O.
Résoudre dans
C
le système :
|z − 1| 6 1, |z + 1| 6 1.
Exercice 77 (Comment construire un pentagone régulier?)
pentagone régulier. On note
−−→
−
→
u = OA0 ,
O
(A0 , A1 , A2 , A3 , A4 ) un
→
→
(O, −
u ,−
v ) avec
nombres complexes C.
qui nous permet d'identier le plan avec l'ensemble des
ω0 , . . . , ω4 des points A0 , . . . , A4 . Montrer
{0, 1, 2, 3, 4}. Montrer que 1 + ω1 + ω12 + ω13 + ω14 = 0.
1. Donner les axes
cos( 2π
)
5
cos( 2π
)
.
5
2. En déduire que
la valeur de
Soit
son centre et on choisit un repère orthonorm'e
est l'une des solutions de l'équation
que
ωk = ω1 k
4z 2 + 2z − 1 = 0.
pour
k ∈
En déduire
π
d'axe −1. Calculer la longueur BA2 en fonction de sin
puis
10
π
2π
de
5 (on remarquera que sin 10 = cos 5 ).
i
1
, le cercle C de centre I de rayon
et enn le point
4. On considère le point I d'axe
2
2
J d'intersection de C avec la demi-droite [BI). Calculer la longueur BI puis la longueur
3. On considère le point
√
B
BJ .
5.
Application :
[Exercice corrigé]
Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.
1 Nombres complexes
Exercice 78
10
1.5 Trigonométrie
On rappelle la formule ( θ
∈ R)
:
eiθ = cos θ + i sin θ.
1. Etablir les formules d'Euler ( θ
cos θ =
∈ R)
:
eiθ + e−iθ
2
et
sin θ =
eiθ − e−iθ
.
2i
2. En utilisant les formules d'Euler, linéariser (ou transformer de produit en somme) (
R)
2 cos a cos b ;
5.
2 sin a sin b ;
cos2 a ;
eix eiy = ei(x+y) (x, y ∈ R),
3. A l'aide de la formule :
4.
a, b ∈
:
sin2 a.
retrouver celles pour
sin(x + y),
cos(x + y) et tan(x + y) en fonction de sinus, cosinus et tangente de x ou de y ; en déduire
les formules de calcul pour sin(2x), cos(2x) et tan(2x) (x, y ∈ R).
x
Calculer cos x et sin x en fonction de tan
(x 6= π + 2kπ , k ∈ Z).
2
Etablir la formule de Moivre ( θ ∈ R) :
(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ).
6. En utilisant la formule de Moivre, calculer
Exercice 79
cos(3x) et sin(3x) en fonction de sin x et cos x.
1. Calculer cos 5θ , cos 8θ , sin 6θ , sin 9θ , en fonction des lignes trigonométriques
θ.
3
4
5
6
Calculer sin θ , sin θ , cos θ , cos θ , à l'aide des lignes trigonométriques des multiples
entiers de θ .
de l'angle
2.
Exercice 80
et
cos 5θ
en fonction de
cos θ
A l'aide de la formule de Moivre exprimer en fonction de
cos θ
En utilisant les nombres complexes, calculer
et
sin 5θ
sin θ.
[Exercice corrigé]
Exercice 81
et de
(a)
(b)
1. Soit
sin θ
θ ∈ R.
:
cos(2θ) et sin(2θ).
cos(3θ) et sin(3θ). En déduire
π
lution cos( ) et la résoudre.
3
une équation du troisième degré admettant pour so-
2. Linéariser les polynomes trigonométriques suivants :
Exercice 82
(cos 5x)(sin 3x)
Exercice 83 x
P
S = sin x + sin 2x + . . . + sin nx =
Exercice 84
R
Exprimer
Soit
et
en fonction de
1 + cos2 x, cos3 x + 2 sin2 x.
sin x
et
cos x.
un nombre réel. On note C = 1+cos x+cos 2x+. . .+cos nx
n
k=0 sin kx. Calculer C et S .
Résoudre dans
=
Pn
k=0
cos kx,
les équations :
sin x =
1
1
, cos x = − , tan x = −1,
2
2
et placer sur le cercle trigonométrique les images des solutions ; résoudre dans
cos(5x) = cos
2π
−x .
3
R
l'équation
1 Nombres complexes
Exercice 85
Exercice 86
2>0
Exercice 87
Exercice 88
Exercice 89
Calculer
11
sin(25π/3), cos(19π/4), tan(37π/6).
2 sin2 x−3 sin x−2 = 0, puis l'inéquation : 2 sin2 x−3 sin x−
Résoudre l'équation :
.
partenant à
1.
2.
3.
f (x) = cos 3x + cos 5x.
√
x ∈ [−π, π], l'expression 1 + cos x + | sin x/2|.
Etudier le signe de la fonction donnée par
Simplier, suivant la valeur de
Résoudre dans
]−π, π]
R
les équations suivantes : (donner les valeurs des solutions ap-
et les placer sur le cercle trigonométrique).
sin (5x) = sin 2π
+x ,
3
sin 2x − π3 = cos x3 ,
cos (3x) = sin (x).
[Exercice corrigé]
Exercice 90
solution réelle ? Résoudre cette équation
[Exercice corrigé]
Exercice 91
√
m l'équation
√
pour m =
2.
A quelle condition sur le réel
Résoudre dans
R
3 cos(x) + sin(x) = m
a-t-elle une
les inéquations suivantes :
cos(5x) + cos(3x) 6 cos(x)
2 cos2 (x) − 9 cos(x) + 4 > 0.
[Exercice corrigé]
Exercice 92
Résoudre dans
R
les équations suivantes :
1.
cos2 (x) − sin2 (x) = sin(3x).
2.
cos4 (x) − sin4 (x) = 1.
[Exercice corrigé]
Exercice 93
Exercice 94
Exercice 95
la forme
1.6 Divers
Montrer que tout nombre complexe
1+ir
, où r ∈ R.
1−ir
z
non réel de module
Soit u, v des nombres complexes non réels tels que
u+v
Montrer que
est réel.
1+uv
peut se mettre sous
|u| = |v| = 1
et
uv 6= −1.
Calculer les sommes suivantes :
n
X
n
X
cos(kx) ;
k=0
Exercice 96 (Entiers de Gauss)
1. Montrer que si
α
et
β
avec
Cnk cos(kx).
k=0
Soit
sont dans
Z[i] = {a + ib ; a, b ∈ Z}.
Z[i]
2. Trouver les élements inversibles de
β ∈ Z[i]
1
alors
Z[i],
α+β
et
αβ
le sont aussi.
c'est-à-dire les éléments
α ∈ Z[i]
αβ = 1.
3. Vérier que quel que soit
ω∈C
il existe
z ∈ Z[i]
tel que
|ω − z| < 1.
tels qu'il existe
1 Nombres complexes
12
4. Montrer qu'il existe sur
et
β
dans
Z[i]
il existe
q
Z[i] une division euclidienne,
et r dans Z[i] vériant :
α = βq + r
α
)
β
[Exercice corrigé]
Montrer que
∀z ∈ C
α
|r| < |β|.
avec
(Indication : on pourra considérer le complexe
Exercice 97
c'est-à-dire que, quels que soient
|<(z)| + |=(z)|
√
6 |z| 6 |<(z)| + |=(z)|.
2
Étudier les cas
d'égalité.
Exercice 98
=(
Soit
(a, b, c, d) ∈ R4
tel que
ad − bc = 1
et
c 6= 0.
Montrer que si
z 6= −
az + b
=(z)
.
)=
cz + d
|(cz + d)|2
Exercice 99
Exercice 100
Que dire de trois complexes
1. Étudier la suite
l'application de
C
a, b , c
(zn )n∈N
non nuls tels que
dénie par :
d
c
alors
|a + b + c| = |a| + |b| + |c|.
z0 = 4, zn+1 = f (zn )
où
f
est
sur lui-même dénie par :
√
1
∀z ∈ C, f (z) = i + (1 − i 3)z.
4
Indication
α
tel que
: on commencera par rechercher les coordonnées cartésiennes de l'unique point
f (α) = α,
puis on s'intéressera à la suite
(xn )n∈N
dénie par :
∀n ∈ N, xn = zn − α.
2. On pose
∀n ∈ N, ln = |zn+1 − zn |.
Calculer
lim
n→∞
n
X
lk
k=0
et interpréter géométriquement.
Exercice 101 (Examen octobre 1999)
On dénit une fonction
f
de
C − {i}
dans
C − {1}
en posant
z+i
.
z−i
On suppose z réel. Quel est le module de f (z) ?
Trouver les nombres complexes z tels que f (z) = z .
f (z) =
1.
2.
Exercice 102 (Examen novembre 2001)
Soit
f
la fonction de
C dans C dénie par f (z) =
1+z
.
1−z
1. Calculer les points xes de la fonction
f,
c'est à dire les nombres complexes
z
tels que
f (z) = z .
2. Déterminer les nombres complexes
Exercice 103
1. Montrer que si
z sont solutions de l'équation
a = b = 0 et c = −8.
z
pour lesquels
f (z)
x + y + z = a, yz + zx + xy = b, xyz = c, alors x, y et
Z 3 − aZ 2 + bZ − c = 0. Trouver x, y et z si on suppose
2. Résoudre le système


[Exercice corrigé]
est réel.
x+y+z = 4
x + y2 + z2 = 4
 3
x + y3 + z3 = 1
2
2 Logique, ensembles, raisonnements
13
2 Logique, ensembles, raisonnements
2.1 Logique
Exercice 104
Exercice 105
[Exercice corrigé]
Exercice 106
Soient
R
et
S
des relations. Donner la négation de
Démontrer que
R ⇒ S.
(1 = 2) ⇒ (2 = 3).
Soient les quatre assertions suivantes :
(a) ∃x ∈ R ∀y ∈ R x + y > 0 ;
(b) ∀x ∈ R ∃y ∈ R x + y > 0 ;
(c) ∀x ∈ R ∀y ∈ R x + y > 0 ;
1. Les assertions
a, b , c , d
(d) ∃x ∈ R ∀y ∈ R y 2 > x.
sont-elles vraies ou fausses ?
2. Donner leur négation.
[Exercice corrigé]
Exercice 107
Soit
f
une application de
R dans R. Nier, de la manière la plus précise possible,
les énoncés qui suivent :
1. Pour tout
x ∈ R f (x) 6 1.
2. L'application
f
est croissante.
3. L'application
f
est croissante et positive.
4. Il existe
x ∈ R+
tel que
f (x) 6 0.
On ne demande pas de démontrer quoi que ce soit, juste d'écrire le contraire d'un énoncé.
[Exercice corrigé]
Exercice 108
Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s'impose :
⇔, ⇐, ⇒ .
2
1.
x ∈ R x = 4 ...... x = 2;
2.
z ∈ C z = z ...... z ∈ R;
3.
x ∈ R x = π . . . . . . e2ix = 1.
[Exercice corrigé]
Exercice 109
Dans
2
R , xy > 1, x > 0}.
R2 ,
on dénit les ensembles
F1 = {(x, y) ∈ R2 , y 6 0}
et
F2 = {(x, y) ∈
Évaluer les propositions suivantes :
1.
∀ε ∈]0, +∞[ ∃M1 ∈ F1 ∃M2 ∈ F2
2.
∃M1 ∈ F1 ∃M2 ∈ F2
3.
∃ε ∈]0, +∞[ / ∀M1 ∈ F1 ∀M2 ∈ F2
4.
∀M1 ∈ F1 ∀M2 ∈ F2
/
/ ∀ε ∈]0, +∞[
∃ε ∈]0, +∞[ /
−−−→
||M1 M2 || < ε
−−−→
||M1 M2 || < ε
−−−→
||M1 M2 || < ε
−−−→
||M1 M2 || < ε
Quand elles sont fausses, donner leur négation.
[Exercice corrigé]
Exercice 110
Nier la proposition : tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux
bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans.
[Exercice corrigé]
Exercice 111
1.
P ⇒ Q,
2.
P
et non
Écrire la négation des assertions suivantes où
Q,
P, Q, R, S
sont des propositions.
2 Logique, ensembles, raisonnements
3.
P
et ( Q et
4.
P
ou (Q et
5. (P et
14
R),
R),
Q) ⇒ (R ⇒ S).
[Exercice corrigé]
Exercice 112
Nier les assertions suivantes :
1. tout triangle rectangle possède un angle droit ;
2. dans toutes les écuries, tous les chevaux sont noirs ;
3. pour tout entier
x,
implique le relation
4.
il existe un entier
y
tel que, pour tout entier
z,
la relation
z < x
z < x + 1;
∀ε > 0 ∃α > 0 / |x − 7/5| < α ⇒ |5x − 7| < ε.
[Exercice corrigé]
Exercice 113 (Le missionnaire et les cannibales)
Les cannibales d'une tribu se préparent
à manger un missionnaire. Désirant lui prouver une dernière fois leur respect de la dignité et de
la liberté humaine, les cannibales proposent au missionnaire de décider lui-même de son sort
en faisant une courte déclaration : si celle-ci est vraie, le missionnaire sera rôti, et il sera bouilli
dans le cas contraire. Que doit dire le missionnaire pour sauver sa vie ? (d'après Cervantès)
Exercice 114
Exercice 115
La proposition
On suppose que la proposition
1.
(¬Q) ∧ P V ¬S .
2.
S V (¬P ) ∨ Q.
3.
P V R ∨ S.
4.
S ∧ Q V ¬P .
5.
R ∧ ¬(S ∨ Q) V T .
6.
R V (¬P ) ∨ (¬Q).
La proposition
Exercice 116
P ∧ Q V (¬P ) ∨ Q
T
P
est-elle vraie ?
est vraie ainsi que les propositions suivantes :
est-elle vraie ?
Ecrire la négation des phrases suivantes :
1.
(∀x)(∃n)/(x 6 n).
2.
(∃M )/(∀n)(|un | 6 M ).
3.
(∀x)(∀y)(xy = yx).
4.
(∀x)(∃y)/(yxy −1 = x).
5.
(∀ε > 0)(∃N ∈ N)/(∀n > N )(|un | < ε).
6.
(∀x ∈ R)(∀ε > 0)(∃α > 0)/(∀f ∈ F)(∀y ∈ R)(|x − y| < α V |f (x) − f (y)| < ε).
Exercice 117
Comparer les diérentes phrases (sont-elles équivalentes, contraires, quelles sont
celles qui impliquent les autres...)
1.
(∀x)(∃y)/(x 6 y).
2.
(∀x)(∀y)(x 6 y).
3.
(∃x)(∃y)/(x 6 y).
4.
(∃x)/(∀y)(x 6 y).
5.
(∃x)/(∀y)(y < x).
2 Logique, ensembles, raisonnements
6.
(∃x)(∃y)/(y < x).
7.
(∀x)(∃y)/(x = y).
Exercice 118 P (x)
P
Exercice 119
[Exercice corrigé]
Exercice 120 f, g
Si
15
x ∈ X , on note P = {x ∈ X/P (x)
¬P , P ∧ Q, P ∨ Q, P V Q, P ⇔ Q.
est une proposition dépendant de
Exprimer en fonction de
et
Montrer que
Soit
Q
les ensembles
∀ε > 0 ∃N ∈ N
deux fonctions de
R
tel que
dans
2n+1
n+2
(n > N V 2 − ε <
R.
est vraie }.
< 2 + ε).
Traduire en termes de quanticateurs les
expressions suivantes :
1.
f
est majorée ;
2.
f
est bornée ;
3.
f
est paire ;
4.
f
est impaire ;
5.
f
ne s'annule jamais ;
6.
f
est périodique ;
7.
f
est croissante ;
8.
f
est strictement décroissante ;
9.
f
n'est pas la fonction nulle ;
10.
f
n'a jamais les mêmes valeurs en deux points distcincts ;
11.
f
atteint toutes les valeurs de
12.
f
est inférieure à
13.
f
n'est pas inférieure à
N;
g;
g.
[Exercice corrigé]
Exercice 121
Exercice 122
2.2 Ensembles
Montrer que
∅ ⊂ X,
pour tout ensemble
X.
Montrer par contraposition les assertions suivantes,
1.
∀A, B ∈ P(E) (A ∩ B = A ∪ B) ⇒ A = B ,
2.
∀A, B, C ∈ P(E) (A ∩ B = A ∩ C
et
E
étant un ensemble :
A ∪ B = A ∪ C) ⇒ B = C .
[Exercice corrigé]
Exercice 123
[Exercice corrigé]
Exercice 124
Soit
A, B
deux ensembles, montrer
{(A ∪ B) = {A ∩ {B
E et F deux ensembles, f : E → F .
∀A, B ∈ P(E) (A ⊂ B) ⇒ (f (A) ⊂ f (B)),
∀A, B ∈ P(E) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B),
∀A, B ∈ P(E) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B),
∀A, B ∈ P(F ) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B),
∀A ∈ P(F ) f −1 (F \ A) = E \ f −1 (A).
Soient
et
{(A ∩ B) = {A ∪ {B .
Démontrer que :
[Exercice corrigé]
Exercice 125 A
et
B
étant des parties d'un ensemble
{A ∪ {B = {(A ∩ B)
et
E,
démontrer les lois de Morgan :
{A ∩ {B = {(A ∪ B).
2 Logique, ensembles, raisonnements
Exercice 126
16
Démontrer les relations suivantes :
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Exercice 127
Montrer que si
F
et
G
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
et
sont des sous-ensembles de
(F ⊂ G ⇐⇒ F ∪ G = G)
E
:
et
(F ⊂ G ⇐⇒ {F ∪ G = E).
et
(F ⊂ G ⇐⇒ F ∩ {G = ∅).
En déduire que :
(F ⊂ G ⇐⇒ F ∩ G = F )
Exercice 128 E F
A⊂E
B⊂F
Exercice 129 A = {a , a , a , a } B = {b , b , b , b , b }
A×B
A×B
Exercice 130 E
n
E
Exercice 131 x y z
Soit
et
Soit
des ensembles. Si
1
2
3
et
et
4
1
. Quel est le nombre de parties de
Soit
un ensemble à
p
est le nombre de parties de
?
,
,
2
montrer que
3
4
A × B ⊂ E × F.
5 . Écrire le produit cartésien
?
éléments. Quel est le nombre d'éléments de
Ep ?
Quel
étant des nombres réels, résoudre le système :
(x − 1)(y − 2)z = 0
(x − 2)(y − 3) = 0
Représenter graphiquement l'ensemble des solutions.
Exercice 132
de
E
Soit
dans
A une partie de E , on appelle fonction caractéristique de A l'application f
l'ensemble à deux éléments {0, 1}, telle que :
(
0 si x ∈
/A
f (x) =
1 si x ∈ A
A et B
Soit
deux parties de
E, f
et
g
leurs fonctions caractéristiques. Montrer que les fonctions
suivantes sont les fonctions caractéristiques d'ensembles que l'on déterminera :
1.
1 − f.
2.
f g.
3.
f + g − f g.
Exercice 133
Soit un ensemble E et deux parties A et B de E . On désigne par A4B l'ensemble
(A ∪ B) \ (A ∩ B). Dans les questions ci-après il pourra être commode d'utiliser la notion de
fonction caractéristique.
1. Démontrer que
A4B = (A \ B) ∪ (B \ A).
2. Démontrer que pour toutes les parties
A, B , C
3. Démontrer qu'il existe une unique partie
X
de
de
E
E
on a
(A 4 B) 4 C = A4(B4C).
telle que pour toute partie
A
de
E,
A4X = X4A = A.
4. Démontrer que pour toute partie
0
0
que A4A = A 4A = X .
Exercice 134
vantes :
x 7→
2. Simplier
A
de
E,
il existe une partie
A0
de
E
et une seule telle
1. Écrire l'ensemble de dénition de chacune des fonctions numériques sui√
√
1
1
x, x 7→ x−1
, x 7→
x + x−1
.
[1, 3] ∩ [2, 4]
et
[1, 3] ∪ [2, 4].
2 Logique, ensembles, raisonnements
3. Pour tout
Z}.
17
n ∈ N, on note nZ l'ensemble des entiers relatifs multiples de n : nZ = {np | p ∈
2Z ∩ 3Z.
Simplier
Exercice 135
On dénit les cinq ensembles suivants :
A1
A2
A3
A4
A5
=
=
=
=
=
(x, y) ∈ R2 ,
(x, y) ∈ R2 ,
(x, y) ∈ R2 ,
(x, y) ∈ R2 ,
(x, y) ∈ R2 ,
x+y <1
|x + y| < 1
|x| + |y| < 1
x + y > −1
|x − y| < 1
1. Représenter ces cinq ensembles.
2. En déduire une démonstration géométrique de
Exercice 136
(|x + y| < 1
|x − y| < 1) ⇔ |x| + |y| < 1.
et
Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, éventuellement
vide ou réduit à un point
+∞
\
1
I1 =
3, 3 + 2
n
n=1
et
+∞
\
1
2
I2 =
−2 − , 4 + n .
n
n=1
[Exercice corrigé]
Exercice 137
Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, éventuellement
vide ou réduit à un point
+∞
\
1
1
I1 =
− ,2 +
n
n
n=1
et
+∞
[
1
I2 =
1 + ,n .
n
n=1
[Exercice corrigé]
Exercice 138
E
A, B, C
E
A∪B = A∪C
A∩B =A∩C
B=C
Exercice 139
E
A, B, C
E
(A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪ A) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A)
Exercice 140
A, B, C ⊂ E A ∪ B = B ∩ C
Exercice 141
P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B)
P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B)
Exercice 142
A ∩ B = A ∩ C ⇔ A ∩ {B = A ∩ {C
Exercice 143
P(P({1, 2}))
Exercice 144
A, B ⊂ E
X⊂E
Soient
et
un ensemble et
. Montrer que
Soient
trois parties de
telles que
.
un ensemble et
trois parties de
.
Montrer que
.
Donner les positions relatives de
si
Est-il vrai que
? Et
Montrer que
1.
2.
?
.
Donner la liste des éléments de
Soient
.
.
. Résoudre les équations à l'inconnue
A ∪ X = B.
A ∩ X = B.
[Exercice corrigé]
Exercice 145
E, F, G
Exercice 146
E, F, G, H
(E ∩ G) × (F ∩ H)
Exercice 147 E
Soient
trois ensembles. Montrer que
Soient
et
(E × G) ∪ (F × G) = (E ∪ F ) × G.
quatre ensembles. Comparer les ensembles
(E × F ) ∩ (G × H)
.
Soit
l'ensemble des fonctions de
Ai = {f ∈ E/f (0) = i}.
Montrer que les
Ai
N
dans
{1, 2, 3}.
forment une partition de
Pour
E.
i = 1, 2, 3
on pose
2 Logique, ensembles, raisonnements
18
2.3 Absurde et contraposée
Exercice 148
Exercice 149
Montrer que
√
2∈
/ Q.
Soit X un ensemble et f une application de X dans l'ensemble P(X) des parties
X . On note A l'ensemble des x ∈ X vériant x ∈
/ f (x). Démontrer qu'il n'existe aucun x ∈ X
tel que A = f (x).
de
Exercice 150
(fn )n∈N une suite d'applications de l'ensemble N dans lui-même. On dénit
f de N dans N en posant f (n) = fn (n) + 1. Démontrer qu'il n'existe aucun
f = fp .
Soit
une application
p∈N
tel que
[Exercice corrigé]
Exercice 151
1
1. Soit
p1 , p2 , . . . , pr r nombres premiers. Montrer que l'entier N = p1 p2 . . . pr +
pi .
n'est divisible par aucun des entiers
2. Utiliser la question précédente pour montrer par l'absurde qu'il existe une innité de
nombres premiers.
[Exercice corrigé]
Exercice 152
111
Exercice
153
X
par
Démontrer, en raisonnant par récurrence, que
quel que soit
n
k=
1.
2.
2.4 Récurrence
k=1
n
X
n ∈ N.
k=1
1000 = 9 × 111 + 1
est divisible
).
Montrer :
n(n + 1)
2
k2 =
(Indication :
106n+2 + 103n+1 + 1
∀n ∈ N∗ .
n(n + 1)(2n + 1)
6
∀n ∈ N∗ .
[Exercice corrigé]
Exercice 154 En quoi le raisonnement suivant est-il faux?
P(n) : n crayons de couleurs sont tous de la même couleur.
P(1) est vraie car un crayon de couleur est de la même couleur que lui-même.
Supposons P(n). Soit n + 1 crayons. On en retire 1. Les n crayons restants sont
Soit
de la même
couleur par hypothèse de récurrence.
Reposons ce crayon et retirons-en un autre ; les
n
nouveaux crayons sont à nouveau de la
même couleur. Le premier crayon retiré était donc bien de la même couleur que les
La proposition est donc vraie au rang
n
autres.
n + 1.
On a donc démontré que tous les crayons en nombre inni dénombrable sont de la même
couleur.
Exercice 155
Soit la suite
(xn )n∈N
dénie par
x0 = 4
1. Montrer que :
∀n ∈ N xn > 3.
2. Montrer que :
∀n ∈ N xn+1 − 3 > 32 (xn − 3).
n
∀n ∈ N xn > 23 + 3.
3. Montrer que :
4. La suite
(xn )n∈N
[Exercice corrigé]
Exercice 156
est-elle convergente ?
et
xn+1 =
2x2n − 3
.
xn + 2
2 Logique, ensembles, raisonnements
19
1. Dans le plan, on considère trois droites
∆1 , ∆2 , ∆3
formant un vrai triangle : elles ne
sont pas concourantes, et il n'y en a pas deux parallèles. Donner le nombre
R3
de régions
(zones blanches) découpées par ces trois droites.
2. On considère quatre droites
∆1 , . . . , ∆4 , telles qu'il n'en existe pas trois concourantes,
R4 de régions découpées par ces quatre droites.
ni
deux parallèles. Donner le nombre
n droites ∆1 , . . . , ∆n , telles qu'il n'en existe pas trois concourantes, ni deux
Rn le nombre de régions délimitées par ∆1 . . . ∆n , et Rn−1 le nombre de
délimitées par ∆1 . . . ∆n−1 . Montrer que Rn = Rn−1 + n.
3. On considère
parallèles. Soit
régions
4. Calculer par récurrence le nombre de régions délimitées par
n droites en position générale,
c'est-à-dire telles qu'il n'en existe pas trois concourantes ni deux parallèles.
[Exercice corrigé]
Exercice 157
pour
n∈Nf
X un ensemble.
= fn ◦ f.
Soit
n+1
1. Montrer que
Pour
f ∈ F(X, X),
on dénit
f 0 = id
et par récurrence
∀n ∈ N f n+1 = f ◦ f n .
f
2. Montrer que si
est bijective alors
∀n ∈ N (f −1 )n = (f n )−1 .
[Exercice corrigé]
Exercice 158
Exercice 159
Montrer que
∀n > 2, n! 6
Pour tout entier naturel
n,
n+1
2
n
.
on pose
Sn = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + (n − 1) · n
Démontrer que l'on a
Exercice 160
1
Sn = n(n − 1)(n + 1)
3
Pour
n∈N
on considère la propriété suivante :
2n > n2
Pn :
1. Pour quelles valeurs de
n
l'implication
2. Pour quelles valeurs de
n
la propriété
Exercice 161
1. Pour tout
Pn =⇒ Pn+1
Pn
est-elle vraie ?
est-elle vraie ?
Que pensez-vous de la démonstration suivante ?
n > 2,
on considère la propriété :
P (n) :
2. Initialisation :
P (2)
n
points distincts du plan sont toujours alignés
est vraie car deux points distincts sont toujours alignés.
P (n) est vraie et on va démontrer P (n + 1).
Soit donc A1 , A2 , . . . , An , An+1 des points distincts. D'après l'hypothèse de récurrence,
A1 , A2 , . . . , An sont alignés sur une droite d, et A2 , . . . , An , An+1 sont alignés sur une
0
0
droite d . Les deux droites d et d ayant n−1 points communs A2 , . . . , An sont confondues.
Donc A1 , A2 , . . . , An , An+1 sont alignés, ce qui montre l'hérédité de la propriété.
3. Hérédité : On suppose que
4. Conclusion : la propriété
Exercice 162
P (n)
est vraie pour tout
n > 2.
1. Démontrer que pour tout entier naturel
n, 9
divise
10n − 1.
2 Logique, ensembles, raisonnements
2. Soit
n, k
20
k un entier strictement positif. Étudier la propriété suivante : pour tout entier naturel
n
divise (k + 1) + 2.
Exercice 163
Exercice 164
Démontrer que pour
n > 1, le produit de n entiers impairs est un entier impair.
On considère une suite
u0 = 0
et
(un )n∈N
u1 = 1
telle que
:
∀n > 1, un+1 = un + 2un−1
et
Démontrer que :
1.
∀n ∈ N, un ∈ N,
2.
∀n ∈ N, un = 31 (2n − (−1)n ).
Exercice 165
n∈N
et des
b > 2 un entier xé. Démontrer que pour tout N ∈ N∗ ,
entiers a0 , a1 , . . . , an appartenant à { 0, 1, . . . , b − 1 } tels que ;
Soit
N = a0 + a1 b + · · · + an bn
N,
Démontrer que pour chaque
et
an 6= 0
(n, a0 , a1 , . . . , an )
le système
il existe un entier
est déterminé par la propriété
ci-dessus.
On dit que
a0 , a1 , . . . , an
Exercice 166
sont les chires de l'écriture du nombre
Démontrer par récurrence que pour tout
N
suivant la base
b.
k ∈ N, k! divise le produit de k
entiers
consécutifs :
Exercice 167
∀n ∈ N, k! | n(n + 1) · · · (n − k + 1)
Les propriétés
Pn : 3 | 4n − 1 , ∀n ∈ N,
et
Qn : 3 | 4n + 1 , ∀n ∈ N,
sont-elles vraies ou fausses ?
Exercice 168
1. Calculer les restes de la division euclidienne de
1, 4, 42 , 43
par
3.
2. Formuler, pour tout n ∈ N, une hypothèse P(n) concernant le reste de la division euclin
dienne de 4 par 3. Démontrer que P(n) est vériée pour tout n ∈ N.
3. Pour tout
n ∈ N,
Exercice 169
n∈N
Exercice 170
le nombre
16n + 4n + 3
est-il divisible par
Démontrer, en raisonnant par récurrence, que
quel que soit
32n+2 − 2n+1
.
1. Démontrer par récurrence :
n
X
k=
k=0
n(n + 1)
2
2. Calculer de deux manières diérentes :
n+1
X
k=1
3. En déduire :
n
X
3
k −
n
X
3.
(k + 1)3 .
k=0
1
k 2 = (2n3 + 3n2 + 3n).
6
k=0
est divisible par
7
2 Logique, ensembles, raisonnements
Exercice 171
Exercice 172
Exercice 173
21
Montrer que pour tout entier
n>1
:
1
1
1
n
+
+ ... +
=
.
1.2 2.3
n.(n + 1)
n+1
Démontrer, en le déterminant qu'il existe un entier
n0
tel que
∀n > n0 , 2n > (n + 2)2 .
Démontrer par récurrence sur
n
que pour tout
n>2
l'implication
[x > −1, x 6= 0] ⇒ [(1 + x)n > 1 + nx]
est vraie.
Exercice 174
1. Soit
n ∈ N;
montrer que pour tout entier
k>1
on a
nk + knk−1 6 (n + 1)k .
2. Soit
b
un réel positif ou nul. Montrer par récurrence, que pour tout
Exercice 175
(1 + b)n 6 1 +
on a
(nb)n
nb (nb)2
+
+ ... +
.
1!
2!
n!
Montrer par récurrence que pour tout entier
(a + b)n =
n>1
n
X
n ∈ N,
Cnk ak bn−k ,
k=0
pour tout réel
Exercice 176
a
et
b.
(Fn )
On dénit une suite
de la façon suivante :
Fn+1 = Fn + Fn−1 ;
1. Calculer
Fn
pour
1 < n < 10.
2. Montrer que l'équation
x2 = x+1 admet une unique solution positive a que l'on calculera.
3. Montrer que, pour tout
Exercice 177
Exercice 178
Exercice 179
F0 = 1, F1 = 1 .
n > 2,
on a
an−2 < Fn < an−1 .
Montrer que :
π
cos n =
2
Pour
n ∈ N, n > 2,
r
2+
q
2 + ...
√
2.
trouver une loi simpliant le produit :
1
1
(1 − )...(1 − ).
4
n
Pour
n ∈ N, soient a0 , . . . , an
des nombres réels de même signe tel que
montrer que :
(1 + a0 )...(1 + an ) > 1 + a0 + . . . + an .
ai > −1,
3 Injection, surjection, bijection
Exercice 180
Exercice 181
22
2.5 Divers
Quels sont les entiers
n
4n 6 n! ?
tels que
Montrer que :
∀n > 2, un =
Indication
n
X
1
k=1
k
∈
/ N.
: montrer que
Exercice 182
2pn + 1
.
2qn
∀n > 2, ∃(pn , qn ) ∈ (N∗ )2 , un =
Soit
f : N ∗ → N∗
une application vériant :
∀n ∈ N∗ , f (n + 1) > f (f (n)).
f = IdN∗ . Indications : que dire de k ∈ N tel que f (k) = inf{f (n)|n ∈ N} ? En
∀n > 0, f (n) > f (0). Montrer ensuite que ∀n ∈ N, on a : ∀m > n, f (m) > f (n) et
∀m 6 n, f (m) > m (on pourra introduire k tel que f (k) soit le plus petit entier de la forme
f (m) avec m > n). En déduire que f est strictement croissante et qu'il n'existe qu'une seule
Montrer que
déduire que
solution au problème. Laquelle ?
Exercice 183
p ∈ {1, 2, 3}
Pour
on note
Sp =
n
P
kp.
k=0
1. A l'aide du changement d'indice
i=n−k
S2 . Que se passe-t-il ?
Faire de même avec S3 pour l'exprimer en
En utilisant l'exercice 153, calculer S3 .
dans
S1 ,
calculer
S1 .
2. Faire de même avec
3.
Exercice 184
4.
fonction de
n
et
S2 .
Pour calculer des sommes portant sur deux indices, on a intérêt à représenter la
zone du plan couverte par ces indices et à sommer en lignes, colonnes ou diagonales... Calculer :
1.
P
ij .
P
i(j − 1).
P
(i − 1)j .
P
(n − i)(n − j).
P
(p + q)2
16i6j6n
2.
16i<j6n
3.
16i<j6n
4.
16i6j6n
5.
(on posera
k = p + q ).
16p,q6n
3 Injection, surjection, bijection
Exercice 185
3.1 Application
Soient
f : R → R et g : R → R telles que f (x) = 3x + 1 et g(x) = x2 − 1. A-t-on
f ◦g =g◦f?
[Exercice corrigé]
Exercice 186
Soit l'application de
R
1. Déterminer les ensembles suivants :
[−2, 1]).
R, f : x 7→ x2 .
f ([−3, −1]), f ([−2, 1]), f ([−3, −1]∪[−2, 1]) et f ([−3, −1]∩
dans
Les comparer.
2. Mêmes questions avec les ensembles
−1
et f
(]−∞, 2] ∩ [1, +∞[).
f −1 (]−∞, 2]), f −1 ([1, +∞[), f −1 (]−∞, 2] ∪ [1, +∞[)
3 Injection, surjection, bijection
Exercice 187
Exercice 188
f
Exercice 189
23
3.2 Injection, surjection
Donner des exemples d'applications de
R
dans
R
(puis de
R2
dans
R)
injective
et non surjective, puis surjective et non injective.
Soit
f (x) = x3 − x.
−1
Déterminer f
([−1, 1]) et f (R+ ).
f :R→R
dénie par
est-elle injective ? surjective ?
Exercice(190
1.
2.
3.
4.
f:
f : Z → Z, n 7→ 2n ;
f : Z → Z, n 7→ −n
f : R → R, x 7→ x2
f : R → R+ , x 7→ x2
;
f : C → C, z 7→ z 2 .
Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?
N→N
n 7→ n + 1
(
Z→Z
g:
n 7→ n + 1
(
R2 → R2
h:
(x, y) 7→ (x + y, x − y)
(
R − {1} → R
k:
x+1
x 7→ x−1
Exercice 191
1.
Les fonctions suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?
f
Soit
f :R→R
dénie par
f (x) = 2x/(1 + x2 ).
est-elle injective ? surjective ?
2. Montrer que
f (R) = [−1, 1].
3. Montrer que la restriction
g : [−1, 1] → [−1, 1] g(x) = f (x)
est une bijection.
f.
4. Retrouver ce résultat en étudiant les variations de
[Exercice corrigé]
Exercice 192
L'application
f : C \ {0} → C, z 7→ z + 1/z
est-elle injective ? surjective ?
bijective ?
Donner l'image par
f
du cercle de centre
Donner l'image réciproque par
Exercice 193
f
0
et de rayon
de la droite
A, B, C
On considère quatre ensembles
g : B → C , h : C → D.
1.
iR.
et
D
et des applications
Montrer que :
g◦f
g◦f
injective
⇒f
injective,
surjective
⇒g
surjective.
Montrer que :
g◦f
[Exercice corrigé]
et
h◦g
sont bijectives
⇔ f, g
et
h
sont bijectives
.
f : A → B,
3 Injection, surjection, bijection
Exercice 194
f :X →Y.
Soit
−1
24
Montrer que
1.
∀B ⊂ Y f (f
2.
f
est surjective ssi
3.
f
est injective ssi
∀A ⊂ X f −1 (f (A)) = A.
4.
f
est bijective ssi
∀A ⊂ X f ({A) = {f (A).
Exercice 195
f
i.
Soit
(B)) = B ∩ f (X).
∀B ⊂ Y f (f −1 (B)) = B .
f : X → Y . Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes :
est injective.
∀A, B ⊂ X f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
ii.
∀A, B ⊂ X A ∩ B = ∅ V f (A) ∩ f (B) = ∅.
(
P(X) → P(Y )
Soit f : X → Y .On note fˆ :
A 7→ f (A)
iii.
Exercice 196
et
(
P(Y ) → P(X)
f˜ :
B 7→ f −1 (B)
.
Montrer que :
fˆ est injective.
ssi f˜ est injective.
1.
f
est injective ssi
2.
f
est surjective
Exercice 197 (Exponentielle complexe)
1. Déterminer le module et l'argument de
2. Calculer
0
ez+z , ez , e−z , (ez )n
3. L'application
Si
z = x + iy , (x, y) ∈ R2 ,
on pose
ez = ex × eiy .
ez .
n ∈ Z.
pour
z
exp : C → C, z 7→ e
, est-elle injective ?, surjective ?
[Exercice corrigé]
Exercice 198
que
fa,b
3.3 Bijection
Soient
a, b ∈ R avec a 6= 0, et fa,b : R → R telle que fa,b (x) = ax+b. Démontrer
est une permutation et déterminer sa réciproque.
[Exercice corrigé]
Exercice 199
Soit
f : [0, 1] → [0, 1]
telle que
(
x
f (x) =
1−x
Démontrer que
si
x ∈ [0, 1] ∩ Q,
sinon.
f ◦ f = id.
[Exercice corrigé]
Exercice 200
Soit
f : R → C t 7→ eit .
Montrer que
f
est une bijection sur un ensemble à
préciser.
[Exercice corrigé]
Exercice 201
demi-plan de Poincaré l'ensemble P des nombres complexes z tels
que Im z > 0, et disque unité l'ensemble D des nombres complexes z tels que |z| < 1. Démontrer
que
z 7→
On appelle
z−i
est une bijection de
z+i
Exercice 202
[Exercice corrigé]
Exercice 203
Soit
h
sur
D.
f : [1, +∞[→ [0, +∞[
Soient
et
P
f
g
h
A−
→B −
→C −
→ D.
le sont également.
telle que
f (x) = x2 − 1. f
Montrer que si
g◦f
et
est-elle bijective ?
h◦g
sont bijectives alors
f, g
4 Relation d'équivalence, relation d'ordre
Exercice 204
f ◦h◦g
Exercice 205
h
X un ensemble. Si A ⊂ X
P(X) → F(X, {0, 1})
est
A 7→ χA
Soit
(
Φ:
Exercice 206
g
A−
→B −
→C −
→ A. Montrer
alors f, g et h sont bijectives.
Soient
surjective
Montrer que
f
25
que si
on note
h◦g◦f
χA
et
g◦f ◦h
sont injectives et
la fonction caractéristique associée.
bijective.
E un ensemble non vide. On se donne deux parties A et B de E et on
c
dénit l'application f : ℘(E) → ℘(E), X 7→ (A ∩ X) ∪ (B ∩ X ). Discuter et résoudre l'équation
f (X) = ∅. En déduire une condition nécessaire pour que f soit bijective.
c
On suppose maintenant B = A . Exprimer f à l'aide de la diérence symétrique ∆. Montrer que
f est bijective, préciser f −1 . f est-elle involutive (i.e. f 2 = id) ? Quelle propriété en déduit-on ?
Soit
4 Relation d'équivalence, relation d'ordre
4.1 Relation d'équivalence
Exercice 207
que
R
E = N×N, on dénit R par : (a, b)R(a0 , b0 ) ⇔ a+b0 = b+a0 . Montrer
relation d'équivalence. Identier E/R.
1. Soit
est une
2. Mêmes questions avec
Exercice 208
Dans
R2
E = Z × N∗
et
(p, q)R(p0 , q 0 ) ⇔ pq 0 = p0 q .
on dénit la relation
R
par :
(x, y)R(x0 , y 0 ) ⇔ y = y 0 .
1. Montrer que
R
est une relation d'équivalence.
2. Déterminer la classe d'équivalence de
Exercice 209
Dans
C
(x, y) ∈ R2 .
on dénit la relation
R
par :
zRz 0 ⇔ |z| = |z 0 |.
1. Montrer que
R
est une relation d'équivalence.
2. Déterminer la classe d'équivalence de
z ∈ C.
[Exercice corrigé]
Exercice 210
Soit
R
une relation binaire sur un ensemble
E,
symétrique et transitive. Que
penser du raisonnement suivant ?
⇒ yRx car R est symétrique,
(xRy et yRx) ⇒ xRx car R est transitive,
donc R est réexive.
xRy
or
[Exercice corrigé]
Exercice 211
Étudier la relation
<
dénie sur
RR
(l'ensemble des applications de
R
dans
R)
par :
Exercice 212
f <g ⇐⇒ ∃A > 0, ∀x ∈ R, |x| > A ⇒ f (x) = g(x).
Montrer que la relation
<
dénie sur
R
par :
x<y ⇐⇒ xey = yex
est une relation d'équivalence. Préciser, pour
de
x
modulo
<.
x
xé dans
R,
le nombre d'éléments de la classe
5 Dénombrement
26
4.2 Relation d'ordre
Exercice 213
Exercice 214
La relation divise est-elle une relation d'ordre sur
N?
sur
Z?
Si oui, est-ce
une relation d'ordre total ?
Étudier les propriétés des relations suivantes. Dans le cas d'une relation d'équi-
valence, préciser les classes ; dans le cas d'une relation d'ordre, préciser si elle est totale, si
l'ensemble admet un plus petit ou plus grand élément.
1. Dans
P(E) : AR1 B ⇔ A ⊂ B
2. Dans
Z : aR3 b ⇔ a et b ont la même parité
est divisible par 3.
a−b
Exercice 215
AR2 B ⇔ A ∩ B = ∅.
;
aR4 b ⇔ ∃n ∈ N a−b = 3n ;
;
aR5 b ⇔
(X, 6) et (Y, 6) deux ensembles ordonnés (on note abusivement les deux
0 0
0
0
ordres de la même façon). On dénit sur X ×Y la relation (x, y) 6 (x , y ) ssi (x < x ) ou (x = x
0
et y 6 y ). Montrer que c'est un ordre et qu'il est total ssi X et Y sont totalement ordonnés.
Soient
Exercice 216
Un ensemble est dit bien ordonné si toute partie non vide admet un plus petit
élément.
1. Donner un exemple d'ensemble bien ordonné et un exemple d'ensemble qui ne l'est pas.
2. Montrer que bien ordonné implique totalement ordonné.
3. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 217
XRY
ssi
(E, 6) un ensemble ordonné. On dénit sur P(E) \ {∅} la relation R
(X = Y ou ∀x ∈ X ∀y ∈ Y x 6 y). Vérier que c'est une relation d'ordre.
Soit
Exercice 218
a∗b =
Montrer que
a+b
1 + ab
est une l.c.i sur
par
] − 1, 1[ et déterminer ses propriétés.
5 Dénombrement
5.1 Binôme de Newton et
Exercice 219
Exercice 220
Démontrer que si
p
est un nombre premier,
En utilisant la fonction
n
X
Cnk
;
x 7→ (1 + x)n ,
n
X
kCnk
;
k=1
k=0
p
Cnp
divise
Cpk
pour
1 6 k 6 p − 1.
calculer :
n
X
k=1
1
Cnk .
k+1
[Exercice corrigé]
Exercice 221
Démontrer que
p−k
Cnk Cn−k
= Cpk Cnp
n
X
2n + 1
2.
2n+1
3
0 6 k 6 p 6 n).
p−k
Cnk Cn−k
= 2p Cnp .
k=0
Exercice 222
1.
(pour
En utilisant la formule du binôme, démontrer que :
est divisible par
4n+2
+2
3
si et seulement si
est divisible par
n
est impair ;
7.
[Exercice corrigé]
Exercice 223
Démontrer que
p−1
p
Cnp = Cn−1
+ Cn−1
pour
1 6 p 6 n − 1.
En déduire que
5 Dénombrement
Exercice 224
27
Montrer que, pour
p
et
n
entiers naturels non nuls tels que
1 6 p 6 n,
on a :
p−1
pCnp = nCn−1
.
Exercice 225
1. Montrer que :
p
X
p−k
Cnk Cn−k
= 2p Cnp ,
k=0
où
p
et
n
0 6 p 6 n.
sont des entiers naturels avec
2. Avec les mêmes notations, montrer que
p
X
p−k
= 0.
(−1)k Cnk Cn−k
k=0
Exercice 226
n, p
1. Soient
p
2. Montrer que l'on a Cn
=
q
et
des entiers naturels tels que
Cnq si et seulement si
3. Résoudre l'équation
Exercice 227
m
+n
Exercice 228
2p+1
2p+1
p=q
ou
0 6 p, q 6 n.
p + q = n.
2
3n−1
n −2n+3
C2n+4
= C2n+4
.
m, n ∈ N∗ et p ∈ N.
divisible par m + n.
Soient
est
En utilisant la formule du binôme, démontrer que
En utilisant la formule du binôme montrer :
(a)
n
X
k
(−1)
Cnk
=0
(b)
n
X
k 2 Cnk = n(n − 1)2n−2 + n2n−1 .
k=0
k=0
[Exercice corrigé]
Exercice 229
Calculer le module et l'argument de
(1 + i)n .
En déduire les valeurs de
S1 = 1 − Cn2 + Cn4 − Cn6 + · · ·
S2 = Cn1 − Cn3 + Cn5 − · · ·
[Exercice corrigé]
Exercice 230
1.
Démontrer les formules suivantes :
n−m
Cnm = Cm
m
2. Cn
m
3. Cn
=
=
m
Cn−1
m
Cn−2
(on pourra utiliser le fait que
+
+
m−1
Cn−1
,
m−1
2Cn−2
P(E) −→ P(E)A 7→ Ac
est une bijection.)
m−2
+ Cn−2
.
[Exercice corrigé]
Exercice 231
Soient
E
un ensemble non vide et
X, Y
une partition de
1. Montrer que l'application suivante est une bijection :
P(E) −→ P(X) × P(Y )
A 7→ (A ∩ X, A ∩ Y )
2. Montrer que pour
p, q, r ∈ N
r 6 p + q on a :
X
r
Cpi Cqj = Cp+q
.
tel que
i+j=r
E.
5 Dénombrement
28
3. En déduire que :
n
X
n
(Cnk )2 = C2n
.
k=0
Exercice 232
Soit
1. Montrer que
E
f
un ensemble,
et
est une bijection.
(E) = n. On pose P0 (E) l'ensemble des
P1 (E) l'ensemble des parties de E de cardinal impair.
Montrer que Card (P0 (E)) = Card (P1 (E)).
n
P
Calculer ces cardinaux et en déduire la valeur de
(−1)k Cnk .
2. On suppose désormais que
parties de
3.
a∈E


P(E) → P(E)
f : X 7→ X ∪ {a} si a ∈
/X


X 7→ X − {a} si a ∈ X
Exercice 233
E
est ni et Card
k=0
En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que
n
P
(−1)k Cnk = 0. En
k=0
P
déduire la valeur de
Exercice 234
E
de cardinal pair et
Cn2k .
062k6n
Soient
0 6 p 6 n.
1. Montrer par récurrence sur
n
que
n
P
p+1
Ckp = Cn+1
.
k=p
2. Écrire ces égalités pour
p=2
et
p = 3.
3. En déduire les sommes
S20 = 1.2 + 2.3 + . . . + (n − 1).n
S2 = 12 + 22 + . . . + n2
S30 = 12 .2 + 22 .3 + . . . + (n − 1)2 .n
Exercice 235
Exercice 236
S3 = 13 + 23 + . . . + n3
5.2 Cardinal
Montrer que
Z
est dénombrable en utilisant l'application :
(
n 7→ 2n − 1
φ:N→Z
n 7→ −2n
Pour
A, B
deux ensembles de
E
n > 0;
sinon.
si
on note
A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Pour
E
un
ensemble ni, montrer :
Card A∆B
= Card A + Card B − 2Card A ∩ B.
[Exercice corrigé]
Exercice 237
Soit
E
un ensemble à
Quel est le nombre de parties de
[Exercice corrigé]
Exercice 238
E
n
éléments, et
A ⊂ E
un sous-ensemble à
qui contiennent un et un seul élément de
p
éléments.
A?
Déterminer le nombre de mots distincts que l'on peut former avec
6
voyelles et
20 consonnes, chaque mot étant composé de 3 consonnes et 2 voyelles, en excluant les mots qui
renferment 3 consonnes consécutives.
5 Dénombrement
Exercice 239
29
On considère les mains de
5
cartes que l'on peut extraire d'un jeu de
32
cartes.
1. Combien y a-t-il de mains diérentes ?
2. Combien y a-t-il de mains comprenant un as ?
3. Combien y a-t-il de mains comprenant au moins un valet ?
4. Combien y a-t-il de mains comprenant (à la fois) au moins un roi et au moins une dame ?
Exercice 240
A, A0 , B, B 0
Soient
Card (A)
quatre ensembles tels que :
= Card (A0 ) = a
et Card
A×B
1. Déterminer le nombre de bijections de
(B) = Card (B 0 ) = b.
sur
A0 × B 0 .
{A, B}, {A0 , B 0 } forment deux partitions de E , un ensemble.
0
0
bijections f : E −→ E telles que f (A) = A et f (B) = B .
2. Supposons maintenant que
Déterminer le nombre de
Exercice 241
A
Soient
et
1. Montrer que : Card
B
deux sous ensembles nis d'un ensemble
(A ∪ B) = Card (A) + Card (B) − Card (A ∩ B).
2. Montrer par récurrence que si
(Fi )16i6n
Card (
n
[
est une famille de sous-ensembles nis de E alors :
Fi ) 6
i=1
avec égalité si les
Exercice 242
Fi
n
X
Card (Fi )
i=1
sont deux à deux disjoints.
1 6 k 6 n.
Soient
E.
Déterminer le nombre de
k -uplets (i1 , . . . , ik )
tels que
16
i1 < . . . < ik 6 n.
5.3 Divers
Exercice 243
et
f
1. (
principe des bergers )
une surjection de
E
sur
F
Soient
E, F
F
ensemble ni,
vériant :
∀y ∈ F,
Card (f
−1
Montrer que E est alors un ensemble ni et Card
2. (
deux ensembles avec
(y)) = p
(E) = pCard (F ).
principe des tiroirs ) Soient α1 , α2 , . . . , αp , p élements distincts d'un ensemble E , répartis
entre une famille de
n
sous-ensembles de
E.
Si
n<p
montrer qu'il existe au moins un
ensemble de la famille contenant au moins deux éléments parmi les
αi .(on pourra raisonner
par l'absurde)
Exercice
244 P
P
Montrer par récurrence sur
n
(−1)k+1
Exercice 245
k=1
Card (Ai1
n que si A1 , . . . , An ⊂ E
alors Card
(A1 ∪. . .∪An ) =
∩ . . . ∩ Aik ).
16i1 <...<ik 6n
alors que :
Soit
pn (k) le nombre de permutations de {1, ..., n} ayant k
n
X
k=0
Interpréter.
kpn (k) = n!.
points xes, montrer
6 Arithmétique dans
Exercice 246
30
Z
Soit
E
un ensemble de cardinal
E
en
n
des partitions de
parties à
m
nm ∈ N∗ ,
Indication
(n, m) ∈ (N∗ )2 ,
et
Pn,m l'ensemble
éléments chacune. Montrer que :
Nn,m = card(Pn,m ) =
(
où
(nm)!
.
n!(m!)n
: on peut procéder par récurrence.)
Exercice 247
L'histoire :
n personnes apportent chacune un cadeau à une fête, et chacun tire
au sort un cadeau dans le tas formé par tous les présents apportés. Quelle est la probabilité
qu'au moins une personne reparte avec son cadeau ? Que devient cette probabilité quand le
nombre de personnes devient très grand, i.e. :
n → ∞?
(On remarquera que l'intuition met en
évidence deux eets contradictoires : plus de personnes c'est plus de proba qu'une personne ait
son cadeau car... il y a plus de personnes, mais c'est aussi plus de cadeaux, donc une proportion
plus élevée de cadeaux acceptables).
Soit
Sn = σ({1, . . . , n}). On dit
Ai = {σ ∈ Sn /σ(i) = i}
On note
1. Calculer Card
2. Exprimer
(Ai ).
Sn − Dn
3. En déduire Card
Ai .
en fonction des
(Dn )
(on pourra utiliser l'exercice 244).
4. Déterminer la limite de
Exercice 248
σ ∈ Sn est un dérangement si ∀i ∈ {1, . . . , n} σ(i) 6= i.
Dn l'ensemble des dérangements.
que
et
Card Dn
Card Sn
. (on rappelle que
xn
)
n!
lim (1 + x + . . . +
n→+∞
= ex ).
un ensemble de cardinal n, < une relation d'équivalence sur
2
2
classes d'équivalences et r couples (x, y) ∈ E tels que x<y. Montrer que n 6 kr.
Soit
E
6 Arithmétique dans
Combien
15!
Z
13
du nombre
1001000 .
96842 = 256 × 375 + 842, déterminer, sans
96842 par chacun des nombres 256 et 375.
Sachant que l'on a
le reste de la division du nombre
[Exercice corrigé]
Soient
1.
n − 1|nm − 1 ;
2.
(n − 1)2 |nm − 1
généralement,
Soit
2n
m>1
et
n>2
si et seulement si
n − 1|m.
a un entier relatif quelconque,
− 1) est divisible par 6.
pair, donner le reste de sa division par
[Exercice corrigé]
Exercice 255
7n + 1
8.
démontrer que le nombre
est divisible par
Quel est le plus petit entier naturel qui, divisé par
tivement pour reste
7, 14, 17
et
23 ?
faire la division,
des entiers ; montrer que :
Démontrer que le nombre
n
k
admet-il de diviseurs ?
Trouver le reste de la division par
Exercice 253
a(a
Exercice 254
avec
6.1 Divisibilité, division euclidienne
Exercice 249
[Exercice corrigé]
Exercice 250
[Exercice corrigé]
Exercice 251
Exercice 252
E,
8
si
n
a(a2 − 1)
et, plus
est impair ; dans le cas
8, 15, 18 et 24, donne respec-
6 Arithmétique dans
Exercice 256
y
Exercice 257
divise
31
Z
Montrer que si
x
y
et
sont des entiers naturels tels que
√
. Application : démontrer, par l'absurde, que
Montrer que
∀n ∈ N
2
x2
divise
y2,
alors
x
n'est pas rationnel.
:
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
est divisible par
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)
24,
120.
est divisible par
[Exercice corrigé]
Exercice 258
Exercice 259
quelconque et
Trouver tous les entiers relatifs
On considère le nombre
p
tels que
m = 2n p,
n2 + n + 7
dans lequel
n
soit divisible par
m
et
p,
S
la somme
Le diviseur d'une division est égal à
13.
désigne un entier naturel
un nombre premier. Dresser la liste des diviseurs de
lui-même, et calculer, en fonction de
Exercice 260
Exercice 261
n
m,
y compris
1
et
m
de tous ces diviseurs.
45 ; le reste est le carré du quotient. Calculer
le dividende entier naturel.
n
Trouver le plus petit entier naturel
telle que le développement décimal de
1/n admette une plus petite période de longueur 5, c'est-à-dire 1/n = 0, abcde abcde ab . . .
a, b, . . . , e ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}.
Exercice 262
a, b , c , d
Les nombres
étant des éléments non nuls de
Z,
avec
dire si les propriétés
suivantes sont vraies ou fausses, en justiant la réponse.
1. Si
a
divise
2. S'il existe
b
et
c,
u
et
v
a
est premier avec
4. Si
a
divise
5. Si
19
6. Si
a
est multiple de
7. Si
4
ne divise pas
8. Si
a
divise
9. Si
10. Si
5
divise
12
ab,
divise
b
b
et
2
b2 ,
2
11. Si
12
divise
b
12. Si
91
divise
ab,
Exercice 263
19
alors
b
b
bc,
a
alors
b − c,
et
a
divise
divise
a
ou
et
est multiple de
alors
b
ou
c
c,
2
4
divise
b.
a
divise
c
b
alors
19
b
et si
divise
, alors
E1 ∩ E2
Exercice 264
= |d|.
.
c.
b.
alors
a+c
est multiple de
b + d.
est impair.
alors
a
ne divise pas
c.
.
36
divise
b2 .
91
divise
a
ou
91
divise
b.
On dénit les trois ensembles suivants :
1 6 i, j 6 3,
2. Ecrire
b
3
divise
d,
E1 = {7n , n ∈ N}
E2 = {n ∈ N tel que n
E3 = {28n , n ∈ N}
1. Pour
alors pgcd (a, b)
est premier avec
25
alors
au + bv = d
alors
ne divise pas
, alors
divise
b,
a.
est multiple de
entiers tels que
3. Si
b+c
c2 − 2b
alors
est multiple de
déterminer si on a l'inclusion
sous la forme
Montrer que si
r
d'entiers alors il en est de même
4}
Ei ⊂ Ej .
E = {n ∈ N , P(n)}.
Montrer que
E1 ∩ E2 = E3 .
s sont deux nombres entiers naturels somme de deux carrés
pour le produit rs.
et
6 Arithmétique dans
Exercice 265
n −4
Exercice 266
n −p
Exercice 267
2
divise
2
2
Soit
n
32
Z
un entier relatif. Montrer que soit
divise
n2 ,
soit
8
divise
n2 − 1,
soit
8
.
Étant donnés deux nombres relatifs
est divisible par
Montrer que si
n
ou
3,
1. Soit
montrer que
n
par
4
n,
n5 − n
l'entier
tout
est divisible par
5.
n.(n + 1), n.(n + 2)
et
(n +
3.
(x, y) montrer, par récurrence, que pour
1. Pour tout couple de nombres réels
n∈N
est pair, soit
3.
Montrer que parmi les trois entiers
, il y en a exactement deux qui sont divisibles par
∗
np
n un entier naturel dont le reste de la division euclidienne par 5 vaut
n2 + 1 est divisible par 5.
n ∈ N∗ .
Soit
montrer que soit
n'est jamais égal à
2. Montrer que pour tout entier naturel
Exercice 269
1).(n + 2)
Exercice 270
p
et
est un entier naturel somme de deux carrés d'entiers alors le
[Exercice corrigé]
Exercice 268
n
8.
reste de la division euclidienne de
2
8
on a la relation
n
n
(∗) x − y = (x − y).
n−1
X
xk y n−1−k .
k=0
Indication : on pourra écrire de deux manières diérentes la quantité
y(xn −y n )+(x−y)xn .
(a, b, p) des entiers éléments de N. En utilisant la formule (∗), montrer que s'il existe
∗
un entier l ∈ N tel que b = a + pl, alors pour tout n ∈ N , il existe un entier m ∈ N tel
n
n
que b = a + pm.
2. Soit
a, b, p des entiers éléments de N, en utilisant la question 2, montrer que si a − b est
divisible par p,
p−1
X
ak bp−k−1
3. Soient
k=0
est aussi divisible par
a−b
est divisible par
n+1
divisible par p
.
p. En déduire, à l'aide de la question 2 et de la formule (∗), que si
pn i.e. il existe un entier l ∈ N tel que a − b = l.pn , alors ap − bp est
[Exercice corrigé]
Exercice 271
Exercice 272
11
Exercice 273
Calculer
Soit
reste modulo
de
20002000
a, b ∈ Z2
a2 − b 2 .
modulo
11
2500
et
7
divise
3. trouver un critère de divisibilité par
1.
7
divise
2.
11
3.
6
divise
divise
Montrer que pour tout
3
2
n+2
+2
6n+3
+ 32n+1
5n3 + n
sont
divise
105
8
10
510
+ 10
5
2n+1
11
3.
7
22225555 + 55552222 ;
105
Exercice 274
modulo
dont les restes modulo
1. Montrer que
2. montrer que que
7
puis par
n>0
:
6.
510
5
;
et
2
respectivement. Donner le
6 Arithmétique dans
4.
8
divise
33
Z
5n + 2.3n−1 + 1
Exercice 275
.
1. Déterminer la somme des chires de la somme des chires de la somme
3500 .
des chires de
2. On se donne
51
nombres compris entre
1
100.
et
Montrer que parmi ces nombres il y
en a nécessairement au moins deux tels que l'un divise l'autre. Montrer que l'on peut
toujours trouver un ensemble de
50 nombres compris
entre entre
1 et 100 ne
vériant pas
la propriété de divisibilité ci-dessus.
Exercice 276
Exercice 277
Exercice 278
Exercice 279
Exercice 280
Exercice 281
Trouver les entiers positifs
Montrer que pour chaque
n
tels que
n ∈ N, 4
n−1
ne divise pas
Montrer que pour chaque entier positif
Trouver tous les entiers positifs
Quel est le chire des unités de
a
divise
n, 49
tels que
19971997
n2 + 1.
divise
a10 + 1
10
n2 + 1.
23n+3 − 7n − 8.
est divisible par
10.
?
Montrer que :
3k − 1,
alors
5k + 1 est aussi de cette forme.
Le carré d'un entier est de la forme 3k ou 3k + 1, mais jamais de la forme 3k + 2.
Le carré d'un entier est de la forme 4k ou 4k + 1, mais jamais de la forme 4k + 2 ni
forme 4k + 3.
Le cube de tout entier est de la forme 9k , 9k + 1 ou 9k + 8.
de la
1. Si un entier est de la forme
6k + 5,
alors il est nécessairement de la forme
que la réciproque est fausse.
2. Le carré d'un entier de la forme
3.
4.
5.
6. Si un entier est à la fois un carré et un cube, alors c'est une puissance sixième, et il est
de la forme
Exercice 282
1.
2.
3.
7k
ou
7k + 1.
Déterminer les entiers
n∈N
tels que :
n|n + 8.
n − 1|n + 11.
n − 3|n3 − 3.
Exercice 283
Exercice 284
Soit
k ∈ Z.
Déterminer les entiers
n ∈ N∗
tels que
(n|2k + 1
et
n|9k + 4).
∀(a, b) ∈ N × N∗ il existe un unique r(a) ∈ {0, . . . , b − 1} tel qu'il
existe q ∈ N avec a = bq + r(a).
2
1. En utilisant ceci pour b = 13, déterminer les entiers n ∈ N tels que 13|n + n + 7.
2
2
2. Si a ∈ N et b = 7, déterminer les valeurs possibles de r(a ) (on rappelle que r(a ) doit
appartenir à {0, . . . , b − 1}).
2
2
2
Montrer alors que ∀(x, y) ∈ N (7|x + y ) ssi (7|x et 7|y).
3. Montrer qu'un entier positif de la forme 8k + 7 ne peut pas être la somme de trois carrés
Montrer que
d'entiers.
Exercice 285
1. Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carré de tout
nombre impair est 1.
x2 = 4[8].
2
2
2
Soient a, b, c trois entiers impairs. Déterminer le reste modulo 8 de a + b + c et celui de
2(ab + bc + ca).
En déduire que ces deux nombres ne sont pas des carrés puis que ab + bc + ca non plus.
2. Montrer de même que tout nombre pair vérie
3.
4.
[Exercice corrigé]
x2 = 0[8]
ou
6 Arithmétique dans
Exercice 286
Exercice 287
de
Z.
34
Z
6.2 Sous-groupe de
Montrer qu'il est équivalent dans
Z
de dire
Z
m
divise
n,
ou
1. Montrer que l'intersection de deux sous-groupes de
Caractériser le sous-groupe
aZ ∩ bZ.
2Z ∩ 3Z ;
nZ ⊂ mZ.
Z
est un sous-groupe
Caractériser les sous-groupes suivants :
5Z ∩ 13Z ;
2. Montrer que toute intersection de sous-groupes de
5Z ∩ 25Z.
Z est un sous-groupe de Z. Caractériser
l'intersection d'une famille nie de sous-groupes. Caractériser les sous-groupes suivants :
17
\
2n Z ;
4Z ∩ 6Z ∩ 8Z ∩ 19Z ∩ 35Z.
n=1
Exercice 288
2Z ∪ 3Z. Est-ce un sous-groupe de Z ?
S
n
7Z ∪ 49Z ; 5Z ∪ 45Z ; 28
n=1 2 Z. Ces ensembles sont-ils
1. Déterminer
2. Déterminer :
Z?
des sous-groupes de
3. Trouver une condition nécessaire et susante pour qu'une réunion de deux sous-groupes
de
Z
soit un sous-groupe de
Exercice 289
1. Soit
A
contenant
A
Z.
une partie non vide de
n'est pas vide. Soit
H
Z;
montrer que la famille des sous-groupes
une partie contenant
A.
Montrer l'équivalence des
conditions suivantes :
i)
H
est l'intersection des sous-groupes de
ii)
H
est le plus petit sous-groupe de
iii)
H
est l'ensemble des sommes nies d'éléments de
dans
qui contiennent
qui contient
Z
A,
A,
A
ou d'éléments dont l'opposé est
A.
Si ces conditions sont vériées on dit que
2. Soient
Z
mZ
et
nZ
deux sous-groupes de
H
Z.
est le sous-groupe engendré par
A.
Montrer que
mZ + nZ = {mu + nv | u, v ∈ Z}
a) est un sous-groupe de
b) contient
mZ
et
Z,
nZ,
c) est contenu dans tout sous-groupe de
d) Si
mZ + nZ = dZ,
Z
que peut-on dire de
3. Déterminer les sous-groupes engendrés par :
qui contient
mZ
et
nZ.
d?
14Z ∪ 35Z ; 4Z ∪ 8Z ∪ 6Z ∪ 64Z ; 2Z ∪ 3Z ;
4Z ∪ 21Z ; 5Z ∪ 25Z ∪ 7Z ; {70, 4}.
Exercice 290
6.3 Pgcd, ppcm, algorithme d'Euclide
Calculer le pgcd des nombres suivants :
1. 126, 230.
2. 390, 720, 450.
3. 180, 606, 750.
[Exercice corrigé]
6 Arithmétique dans
Exercice 291
35
Z
1. Calculer le ppcm des nombres : 108 et 144 ; 128 et 230 ; 6, 16 et 50.
a > 1 et b > 1
b est da0 b0 .
2. Montrer que si
ppcm de
a
et
3. Montrer que si
Exercice 292
a, b, c
sont des entiers de pgcd
1,
sont des entiers supérieurs à
ppcm(a, b, c)
d
et, si on pose
a = da0 ; b = db0 ,
le
on a :
= ppcm(ppcm(a, b), c).
Déterminer les couples d'entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360. De même
avec pgcd 18 et produit 6480.
[Exercice corrigé]
Exercice 293
Si
a, b, c, d
sont des entiers supérieurs à
1,
montrer que l'on a :
(a, b, c, d) = ((a, b), (c, d))
où ( , ) désigne le pgcd .
Exercice 294
1. Soient
a, b, c
des entiers relatifs tels que
(a, b) 6= (0, 0),
montrer que pour
que l'équation
ax + by = c
ait une solution
divise
(x, y)
en entiers relatifs
x
et
y,
il faut et il sut que le pgcd de
a
et
b
c.
2. Résoudre en entiers relatifs les équations suivantes :
7x − 9y = 1,
7x − 9y = 6,
Exercice 295
11x + 17y = 5.
Soient
1. Montrer que
et
pgcd (a
b
deux entiers tels que
+ b, a − b) = 1
ou
a>b>1
= 1,
montrer que pgcd (a
+ b, ab) = 1,
3. Si pgcd (a, b)
= 1,
montrer que pgcd (a
+ b, a2 + b2 ) = 1
Calculer par l'algorithme d'Euclide :
comme combinaison linéaire de
[Exercice corrigé]
Exercice 297
Exercice 298
18480
Déterminer le pgcd de
et
et pgcd (a, b)
ou
2.
18480 ∧ 9828.
En déduire une écriture de
9828.
99 099 et 43 928. Déterminer le pgcd de 153 527 et 245 479.
Déterminer l'ensemble de tous les couples
(m, n)
tels que
955m + 183n = 1.
[Exercice corrigé]
Exercice 299
Calculer, en précisant la méthode suivie,
a = pgcd(720, 252)
ainsi que deux entiers
u
et
v
tels que
= 1.
2,
2. Si pgcd (a, b)
Exercice 296
84
a
b = ppcm(720, 252)
720u + 252v = a.
6 Arithmétique dans
Exercice 300
36
Z
Démontrer :
a ∧ (b1 b2 ) = 1 ⇔ (a ∧ b1 = 1
et
a ∧ b2 = 1),
puis par récurence :
a ∧ (b1 . . . bn ) = 1 ⇔ ∀i = 1, . . . , n a ∧ bi = 1.
Exercice 301
Démontrer pour
m, n ∈ N∗
:
am ∧ bn = 1 ⇒ a ∧ b = 1.
Exercice 302
Exercice 303
Déteminer deux entiers naturels connaissant leur somme,
a = 1 111 111 111
Notons
et
b = 123 456 789.
1. Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de
2. Calculer
p=
1008, et leur pgcd, 24.
a
par
b.
pgcd(a, b).
3. Déterminer deux entiers relatifs
u
v
et
au + bv = p.
tels que
[Exercice corrigé]
Exercice 304
deux entiers (m > n > 0) et a > 2 un entier. Montrer que le
m
n
r
reste de la division euclidienne de a − 1 par a − 1 est a − 1 où r est le reste de la division
m
n
d
euclidienne de m par n, et que le pgcd de a − 1 et a − 1 est a − 1, où d est le pgcd de m et
Soient
m
et
n
n.
Exercice 305
[Exercice corrigé]
Exercice 306
Résoudre dans
Z : 1665x + 1035y = 45.
Montrer qu'il n'existe pas d'entiers
Exercice 307
m + n = 101
m
Soit
1. Si pgcd (m, 4)
et
=2
n
et
et pgcd (n, 4)
= 2,
3. Montrer que pour chaque entier
n, 30
et
n
n
tels que
pgcd (m, n)
=3
montrer que pgcd (m
n, 6
m
et
deux entiers positifs.
2. Montrer que pour chaque entier
4. Montrer que si
m
divise
+ n, 4) = 4.
3
n − n.
divise
n5 − n.
sont des entiers impairs,
m2 + n2
est pair mais non divisible par
5. Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs est divisible par
4.
24.
6. Montrer que si pgcd (a, b)
= 1, alors
+ b, a − b) ∈ {1, 2},
pgcd (2a + b, a + 2b) ∈ {1, 3},
2
2
pgcd (a + b , a + b) ∈ {1, 2},
2
2
pgcd (a + b, a − 3ab + b ) ∈ {1, 5}.
pgcd (a
Exercice 308
Exercice 309
Trouver une CNS pour que
(u0 , v0 ) ∈ Z2
ax + b ≡ 0 mod n
ait une solution.
1. Calculer pgcd (18, 385) par l'algorithme d'Euclide, en déduire un couple
2
solution de l'équation 18u + 385v = 1, avec (u, v) ∈ Z .
2. Fournir enn l'ensemble des solutions entières de
18u + 385v = 1;
18u + 385v = 3;
54u + 1155v = 3;
54u + 1155v = 5.
6 Arithmétique dans
Exercice 310
Trouver
37
Z
a
b
et
entiers naturels tels que
1.
a + b = 2070
2.
a2 + b2 = 5409 et ppcm(a, b) = 360 (on pourra commencer
divise pgcd (5409, 360) et considérer ensuite diérents cas).
Exercice 311
Exercice 312
et ppcm (a, b)
= 9180 ;
35x ≡ 7 mod 4; 22x ≡ 33 mod 5
Résoudre dans
Z
les équations :
Résoudre dans
Z
le système suivant :
S:
par montrer que pgcd (a, b)
x ≡ 4 mod 6
x ≡ 7 mod 9
On recherchera d'abord une solution particulière.
Exercice 313
Exercice 314
1. Résoudre dans
2. Résoudre dans
Z2
divise
Z2
Résoudre dans
c)
a
Exercice 318
y 2 + 4xy − 2 = 0.
les équations suivantes :
divise
b)
d)
42n + 37
et
. Quelles sont les valeurs possibles pour
Exercice 317
x3 ≡ 3 mod 9.
5x2 + 2xy − 3 = 0 ;
17x + 6y = 1
118x + 35y = 1
Montrer que si
x2 ≡ 2 mod 6;
les équations :
les équations suivantes :
a)
Exercice 315
a
13
Exercice 316
Z
27x + 25y = 1
39x + 26y = 1
7n + 4,
n?
pour une valeur de
Trouver pgcd (−357, 629) et trouver des entiers
et
y
tels que
et trouver des entiers
x
et
pgcd(−357, 629)
Trouver pgcd (2183, 6313)
=d
x
n
donnée, alors
= −357x + 629y
y
tels que
d = 2183x + 6313y
Supposons pgcd (a, b)
=d
et soit
x0
et
y0
des entiers tels que
d = ax0 + by0 .
Montrer que :
1. pgcd (x0 , y0 )
2.
x0
et
y0
= 1,
ne sont pas uniques.
Exercice 319
Soit
a, b , c
des entiers.
1. Montrer que pgcd (ca, cb)
2. Montrer que pgcd (a
2
, b ) = (pgcd(a, b))2 .
3. Montrer que si pgcd (a, b)
4. Montrer que pgcd (a, bc)
6. Montrer que pgcd (a, b)
=1
et si
= 1 ⇐⇒
5. Montrer que si pgcd (b, c)
Exercice 320
= |c| pgcd(a, b).
2
=1
c
divise
pgcd(a, b)
12,
alors pgcd (c, b)
= 1.
= pgcd(a, c) = 1.
alors pgcd (a, bc)
= pgcd(a, b)pgcd(a, c).
= pgcd(a + b, ppcm(a, b)).
En divisant un nombre par
même nombre par
a,
il a obtenu
3
8,
un élève a obtenu
4
pour reste ; en divisant ce
pour reste. Qu'en pensez-vous ?
Le fort en calcul de la classe, qui ne fait jamais d'erreur, a divisé le millésime de l'année par
29,
il a trouvé
25
pour reste ; il a divisé le même millésime par
quelle année cela se passait-il ?
69,
il a trouvé
7
pour reste. En
6 Arithmétique dans
Exercice 321
Exercice 322
38
Z
Trouver deux nombres sachant que leur somme est
leur PPCM par leur pgcd est
581
et que le quotient de
240.
Trouver les solutions entières de l'équation :
102x − 18018y = 18.
Combien y a-t-il de solutions telles que
Exercice 323
Exercice 324
x
y
et
soient compris entre entre
0
et
4000 ?
12 ; les quotients successifs obtenus
8, 2 et 7. Trouver ces deux nombres.
Le pgcd de deux nombres est
de ce pgcd par l'algorithme d'Euclide sont
Trouver les couples de nombres
a
et
b,
divisibles par
3,
dans le calcul
vériant les propriétés
7560, et si on augmente chacun de ces nombres d'un tiers de sa valeur,
nombres obtenus est 84.
suivantes : leur ppcm est
le pgcd des deux
Exercice 325
Un terrain rectangulaire dont les dimensions en mètres a et b sont des nombres
3024 m2 . Calculer son périmètre sachant que le pgcd de a et b est 6. Combien
entiers, a pour aire
y a-t-il de solutions possibles ?
Exercice 326
1. Dans
variant de
2. Dans
0
Z/nZ,
à
n−1
Z/nZ,
x̄, classe
Z/5Z, Z/6Z, Z/8Z.
écrire l'ensemble des multiples de
dans chacun des cas suivants :
de
x,
pour
x
montrer l'équivalence des trois propositions :
x̄ est inversible ;
x et n sont premiers entre eux ;
iii) x̄ engendre Z/nZ, c'est à dire que
i)
ii)
3. La classe de
18
est-elle inversible dans
l'ensemble des multiples de
Z/49Z ?
x̄
est
Z/nZ.
Si oui, quel est son inverse ? (On pourra
utiliser le théorème de Bézout).
Exercice 327
Résoudre dans
1.
91x − 65y = 156.
2.
135x − 54y = 63.
3.
72x + 35y = 13.
Exercice 328
Résoudre dans
1.
31x − 13y = 1.
2.
31x − 13y = −1.
Application :
Z
les équations suivantes :
N
les équations suivantes :
Au bord d'une piscine pleine d'eau, on dispose d'une cuve xe de 31 litres munie
à sa base d'un robinet de vidange, et d'un seau de 13 litres. Expliquer comment opérer pour
obtenir exactement 1 litre dans le seau.
Exercice 329
Exercice 330
Résoudre dans
N
l'équation
77x + 105y = 2401.
Dans un pays nommé ASU, dont l'unité monétaire est le rallod, la banque
nationale émet seulement des billets de 95 rallods et des pièces de 14 rallods.
1. Montrer qu'il est possible de payer n'importe quelle somme entière (à condition bien sûr
que les deux parties disposent chacune d'assez de pièces et de billets).
2. On suppose que vous devez payer une somme
S,
que vous avez une quantité illimitée de
pièces et de billets, mais que votre créancier ne puisse pas rendre la monnaie. Ainsi, il est
S = 14, mais pas si S = 13 ou si S = 15. . . Montrer qu'il est toujours
possible de payer si S est assez grande. Quelle est la plus grande valeur de S telle qu'il
soit impossible de payer S ?
possible de payer si
6 Arithmétique dans
Exercice 331
15z = 1997
Exercice 332
39
Z
Trouver tous les points à coordonnées entières du plan d'équation
N3 ?
6x + 10y +
. Combien y a-t-il de solutions dans
2.
Trouver tous les points à coordonnées entières de la droite de l'espace
4x − 2y − z − 5 = 0
d'équations
.
x + 3y − 4z − 7 = 0
x + 3y − 5z − 5 = 0
Même question avec la droite
4x − 2y + z + 13 = 0
Exercice 333
Exercice 334
1
1.
Résoudre dans
N
et dans
Z
.
l'équation
1
1 1
+ =
x y
15
Un coq coûte
pièce. Quelqu'un a acheté
5 pièces d'argent, une poule 3 pièces, et un lot de quatre poussins
100 volailles pour 100 pièces ; combien en a-t-il acheté de chaque
sorte ?
Exercice 335
les suites
an
et
a et b deux nombres entiers relatifs. On note d
bn n ∈ N, à valeurs dans Zde la manière suivante :
Soient
leur pgcd. Construisons
a0 = a
b0 = b
et pour tout
de
an
par
n ∈ N,
on pose
an+1 = bn
et
bn+1 = r
où
r
est le reste de la division euclidienne
bn .
1. Montrer que si
dn
est le pgcd de
an
et
bn
2. Déduire de la questionh précédente que
alors
d
dn
est également le pgcd de
est le pgcd des nombres
an
et
an+1
bn
et
bn+1 .
pour tout
n ∈ N.
3. Montrer que la suite
bn
est strictement décroissante. Que peut-on en déduire ?
4. Déduire de ce qui précède que pour tout couple d'entiers relatifs
d'entier relatifs
(u, v)
(a, b)
il existe un couple
tel que :
d = au + bv.
6.4 Nombres premiers, nombres premiers entre eux
Exercice 336
a, b
Soient
des entiers supérieurs ou égaux à
1.
(2a − 1)|(2ab − 1) ;
2.
(2a − 1) ∧ (2b − 1) = (2a∧b − 1) ;
3.
(2a − 1
premier
) ⇒ (a
premier
1.
Montrer :
).
[Exercice corrigé]
Exercice 337
des entiers
Démontrer que, si
a+b
et
[Exercice corrigé]
Exercice 338
a
et
b
sont des entiers premiers entre eux, il en est de même
ab.
29x − 11y = 1 dans Z.
l'équation 29x − 11y = 5. Déduire
Résoudre l'équation
On considère maintenant
de ce qui précède une solution
particulière de cette équation, puis en donner la solution générale.
6 Arithmétique dans
Exercice 339
Soit
1. Montrer que
p
40
Z
un nombre premier.
∀i ∈ N, 0 < i < p
on a :
Cpi
p.
est divisible par
2. Montrer par récurence que :
∀p
∈ N∗ ,
premier , ∀a
on a
ap − a
p.
est divisible par
[Exercice corrigé]
Exercice 340
(x, y, z) ∈ N3
1. Soit
. Montrer que :
x2 + y 2 = z 2 ⇔ ∃(x0 , y 0 , z 0 ) ∈ N3 , ∃n ∈ N tq
0 0 0
pgcd(x , y , z ) = 1
2
2
2
x0 + y 0 = z 0
x = nx0 et y = ny 0 et z = nz 0 .
2. Soit (x, y, z)
∈ N3
x2 + y 2 = z 2 .
tels que
x
(a) Montrer que
x
(b) On suppose
y
et
On suppose que pgcd (x, y, z)
=1
ne sont pas de mêmes parité.
y
pair et
impair. On pose :
x = 2u, z − y = 2v, z + y = 2w
avec
(u, v) ∈ N∗ .
Montrer que
v
w
et
sont premiers entre eux.
(c) Montrer que
x = 2mn, y = m2 − n2 , z = m2 + n2
avec
m
et
n
entiers naturels de parité diérentes.
(d) Montrer que si
x = 2mn, y = m2 − n2 , z = m2 + n2
alors
Exercice 341 (Nombres de Fermat)
x2 + y 2 = z 2 .
1. Montrer par récurence que
a :
2n+k
2
2n
−1= 2
∀n ∈ N, ∀k > 1
on
Y n+i
k−1
−1 ×
(22 + 1).
i=0
2. On pose
2n
Fn = 2
+ 1.
Montrer que pour
m 6= n, Fn
et
Fm
sont premiers entre eux.
3. En déduire qu'il y a une innité de nombres premiers.
[Exercice corrigé]
Exercice 342
a, b , c , d
Les nombres
étant des éléments non nuls de
Z,
suivantes sont vraies ou fausses, en justiant la réponse.
1. Si
a
divise
b
et
b
divise
2. Si
a
divise
b
et
c,
alors
u
et
v
3. S'il existe
4. Si
7a − 9b = 1
c,
a
alors
divise
a
a
et
b
c.
2b + 3c.
entiers tels que
alors
divise
au + bv = 4
alors pgcd (a, b)
sont premiers entre eux.
= 4.
dire si les propriétés
6 Arithmétique dans
5. Si
a
a
6. divise
et
b
b
et
a
divise
c
8. Si
9
divise
ab
9. Si
a
divise
b
a
c
divise
et
et
b
a
ou
d,
divise
et si
b
divise
a,
divise
9
ne divise pas
divise
c,
alors
|a| = |b|.
alors
divise
12. Si
a
n'est pas premier avec
b,
alors
a
1. Soit
p
a
divise
a,
divise
alors
p
9
p∈Z
alors
a
divise
b.
bc.
= |b| .
n'est pas premier avec
b,
= |ab| .
cd.
alors
équivaut à ppcm (a, b)
a
Exercice 343
ab
alors
11. Si
modulo
c
premiers entre eux équivaut à ppcm (a, b)
7. Si
10. b
41
Z
divise
b.
b
b
ou
divise
a.
un nombre premier. Montrer que si
ne divise pas
a
et donc pgcd (a, p)
a∈Z
n'est pas congru à
0
= 1.
a ∈ Z non congru à 0 modulo p avec p premier. Montrer en utilisant le a) qu'il existe
u ∈ Z non congru à 0 modulo p vériant au ≡ 1[p]. (Remarquer que cela donne un inverse
de a modulo p).
2. Soit
p
3. Montrer que si
que
n'est pas premier, il existe des éléments
a, u ∈ Z
non nuls modulo
p
tels
au ≡ 0[p].
Exercice 344
1. Montrer que deux entiers non nuls consécutifs sont toujours premiers entre
eux.
2. Montrer que pour tout entier naturel
Exercice 345
√
p
Exercice 346 (Théorème de Wilson)
1)! + 1
Exercice 347
n,
pgcd((n
Prouver que pour vérier qu'un entier
pas de diviseurs inférieurs ou égaux à
+ 1)2 , n + 2) = 1.
p est premier, il sut de vérier qu'il n'a
.
Démontrer que tout nombre premier
p
divise
(p −
.
Montrer que les nombres suivants ne sont pas premiers :
4
2
1.
n − 20n + 4
2.
1
(n3
4
4
3.
pour
+ (n + 2)3 )
a + 4b
4
Exercice 348
pour
Soit
1. Montrer que
n ∈ N.
pour
n > 2.
a, b > 2.
X
X
l'ensemble des nombres premiers de la forme
4k + 3
avec
k ∈ N.
est non vide.
2. Montrer que le produit de nombres de la forme
X est ni et on l'écrit
Soit a = 4p1 p2 . . . pn − 1. Montrer par
forme 4k + 3.
3. On suppose que
4k + 1
est encore de cette forme.
X = {p1 , . . . , pn }.
l'absurde que a admet un
alors
4. Montrer que ceci est impossible et donc que
X
diviseur premier de la
est inni.
[Exercice corrigé]
Exercice 349
de la conjecture :
[Exercice corrigé]
Exercice 350
Exercice 351
a ∈ N tel que an + 1 soit premier,
n
∀n ∈ N, 22 + 1 est premier ?
Soit
Soit
n
Soient
un nombre premier et
a
et
b
montrer que
p ∈ {1, ..., n − 1},
∃k ∈ N, n = 2k .
montrer que
Que penser
ndivise Cnp .
deux entiers supérieurs à 2 premiers entre eux, montrer que :
∃N0 ∈ N, ∀n > N0 , n ∈ ax + by|(x, y) ∈ N2 .
7 Polynômes
Exercice 352
Exercice 353
42
6.5 Divers
Résoudre en nombres entiers naturels l'équation :
(x + 1)(y + 2) = 2xy.
Montrer que
(0, 0, 0)
est le seul triplet
(x, y, z)
d'entiers naturels tels que l'on
ait :
Exercice 354
Exercice 355
x2 + y 2 = 3z 2 .
Déterminer les solutions des équations :
x2 − 5x − 11 ≡ 0 mod 17; cos((n2 − 8n + 2)π/7) = 1
Un groupe de
N >2
personnes se réunit. Montrer qu'au moins deux personnes
ont serré le meme nombre de mains. On pourra séparer les deux cas suivants : soit tout le
monde a serré au moins une main, soit il existe quelqu'un qui n'a serré aucune main.
7 Polynômes
7.1 Division euclidienne
Exercice 356
Q = X −1
Exercice 357
Eectuer la division euclidienne du polynôme
4
. Même exercice lorsque P = X − 2X cos(2ϕ)
2
par
Soit
P
P = X 5 − X 4 + 2X 3 + X 2 + 4
+ 1 et Q = X 2 − 2X cos(ϕ) + 1.
un polynôme. Sachant que le reste de la division euclidienne de
P
par
X − a est 1 et celui de la division de P par X − b est −1, (a 6= b), quel est le reste de la division
euclidienne de P par (X − a)(X − b) ?
Exercice 358
(X − 1)
Exercice 359
Q=X +X +1
Exercice 360
Exercice 361
a, b ∈ Z
(X − 1)
Exercice 362
P (X) − 1
Exercice 363
Calculer le reste de la division euclidienne du polynôme
2
.
polynôme
Pour quelles valeurs de
2
par le polynôme
?
m
Montrer que le polynôme
le polynôme
P (X) − X
Xn + X + 1
P = (X + 1)m − X m − 1
divise le polynôme
par le
est-il divisible
P (P (X)) − X .
n+1
Déterminer
de façon à ce que le polynôme aX
−bX n +1 soit divisible
2
par le polynôme
. Calculer alors le quotient des deux polynômes.
Existe-t-il un polynôme
divise
P
de degré 7 tel que
(X −1)4 divise P (X)+1 et (X +1)4
?
Eectuer les divisions par puissances croissantes de :
Q = 1 − X,
1.
P =1
2.
P =1+X
3.
par
P =X−
Exercice 364
par
X3
6
+
à l'ordre
Q = 1 + X2
X5
12
par
n,
à l'ordre
5,
Q = 1 − 2X 2 + X 4
à l'ordre 5.
Eectuer les divisions euclidiennes de
3X 5 + 4X 2 + 1 par X 2 + 2X + 3,
3X 5 + 2X 4 − X 2 + 1 par X 3 + X + 2,
X 4 − X 3 + X − 2 par X 2 − 2X + 4.
[Exercice corrigé]
7 Polynômes
43
Exercice 365
Dans C[X], eectuer les
X 2 − 3iX − 5(1 + i) par X − 1 + i,
4X 3 + X 2 par X + 1 + i.
Exercice 366
divisions euclidiennes de
Eectuer la division selon les puissances croissantes de :
X 4 + X 3 − 2X + 1
par
X2 + X + 1
à l'ordre
2.
[Exercice corrigé]
Exercice 367
Soit
a
et
b
deux nombres complexes distincts, m et n deux entiers naturels.
(X − a)m et (X − b)n divisent un polynôme P , alors le polynôme
Montrer que si les polynômes
(X − a)m (X − b)n divise P .
Exercice 368
Exercice 369
X −X +1
Exercice 370
2
Pour
n ∈ N,
Pour
n ∈ N,
quel est le reste de la division de
montrer que le polynôme
. Trouver le quotient si
4
(X + 1)
Xn + X + b
(X − a)2 ?
par
(X − 1)n+2 + X 2n+1
est divisible par
n = 2.
Trouver les polynômes
P
tels que
P + 1 soit divisible par (X − 1)4
et
P − 1 par
:
1. en utilisant la relation de Bézout,
2. en considérant le polynôme dérivé
Combien y a-t-il de solutions de degré
[Exercice corrigé]
Exercice 371
Eectuer la division de
P 0.
6 7?
A = X 6 − 2X 4 + X 3 + 1
par
B = X3 + X2 + 1
:
1. Suivant les puissances décroissantes.
2. À l'ordre
4
(c'est-à-dire tel que le reste soit divisible par
X 5)
suivant les puissances
croissantes.
[Exercice corrigé]
Exercice 372
a b
Exercice 373
Exercice 374 P
X +5
3
Exercice 375
[Exercice corrigé]
Exercice 376 n > 1
1)X + 1
(X − 1)
Exercice 377
P, Q ∈ K[X]
P (1) = Q(1) = 0
Exercice 378
Déterminer
et
dans
R
tels que
X2 + 2
divise
Déterminer le reste de la division euclidienne de
X 4 + X 3 + aX 2 + bX + 2.
(sin aX + cos a)n
un polynôme dont le reste de la division euclidienne par X −
2
. Quel est le reste de la division euclidienne de P par X + 4X − 5 ?
Soit
par
est
Eectuer la division euclidienne de
Soit
n
par
est
7
et
X 2 − 5X + 4.
nX n+1 − (n +
.
Soient
tels que
X2 + X + 1
divise
P (X 3 ) + XQ(X 3 ).
. Réciproque ?
Quels sont les polynômes
[Exercice corrigé]
par
. Déterminer le reste de la division euclidienne de
2
par
X 5 − 7X 4 − X 2 − 9X + 9
1
X 2 + 1.
P ∈ C[X]
tels que
P0
divise
P?
Montrer que
7 Polynômes
44
7.2 Pgcd
Exercice 379
Calculer pgcd (P, Q) lorsque :
1.
P = X3 − X2 − X − 2
2.
P = X 4 + X 3 − 2X + 1
et
Q = X 5 − 2X 4 + X 2 − X − 2,
et
Q = X 3 + X + 1.
[Exercice corrigé]
Exercice 380
5
X +
X4 +
X5 +
Déterminer le pgcd des polynômes suivants :
3
3X + X + X 2 + 3X + 1 et X 4 + 2X 3 + X + 2,
X 3 − 3X 2 − 4X − 1 et X 3 + X 2 − X − 1,
5X 4 + 9X 3 + 7X 2 + 5X + 3 et X 4 + 2X 3 + 2X 2 + X +
4
[Exercice corrigé]
Exercice 381
Exercice 382
Déterminer
A, B ∈ R[X]
Déterminer
tels que
1.
(X 3 + 1)A + (X 2 + X + 1)B = 1.
U, V , vériant : (?) (X −1)n U +X n V = 1.
à n, satisfaisant cette égalité. En déduire
Montrer qu'il existe deux polynômes :
U1
et
V1 de
U, V
degré strictement inférieur
tous les polynômes
Exercice 383
vériant
P, Q
Soient
P
1. Montrer qu'alors
n
Exercice 384
Soit
n
deux polynômes premiers entre eux.
et
2. Montrer de même que
(?).
Qm
sont premiers entre eux où
P +Q
et
PQ
n, m
sont deux entiers positifs.
sont premiers entre eux.
un entier positif.
1. Déterminer le pgcd des polynômes
(X n − 1)
n = 3 démontrer qu'il existe un
(X − 1)3 V = X − 1. En donner un.
2. Pour
Exercice 385
Exercice 386
A B
A=X
Exercice 387
Montrer que les éléments
et
(X − 1)n .
couple de polynômes
(U, V )
tel que
(X 3 − 1)U +
X 2 + X , X 2 − X , X 2 − 1 de R[X] sont premiers entre
eux, mais ne sont pas premiers entre eux deux à deux.
de
et
avec
U et V de R[X] tels que AU + BV soit un
− 2X − 2X + 10X − 7 et B = X 4 − 2X 3 − 3X 2 + 13X − 10.
Trouver tous les polynômes
4
3
2
D des polynômes A
D = AU + BV .
Calculer le pgcd
nômes
U
et
V
tels que
1.
A = X 5 + 3X 4 + 2X 3 − X 2 − 3X − 2
2.
A = X 6 − 2X 5 + 2X 4 − 3X 3 + 3X 2 − 2X
et
et
B
dénis ci-dessous. Trouver des poly-
B = X 4 + 2X 3 + 2X 2 + 7X + 6.
et
B = X 4 − 2X 3 + X 2 − X + 1.
[Exercice corrigé]
Exercice 388
Exercice 389
Trouver le pgcd des trois polynômes :
A = X 5 + 4X 4 + 6X 3 + 6X 2 + 5X + 2
B = X 2 + 3X + 2
C = X 3 + 2X 2 + X + 2.
Soit les polynômes de
R[X]
pgcd
:
A = (X + 3)2 (X + 1)(X 2 + 1)3
B = (X + 3)2 (X + 2)2 (X 2 + 1)
C = (X + 3)(X + 2)(X 2 + 1)2 .
7 Polynômes
1. Combien
45
A
possède-t-il de diviseurs normalisés ? et
2. Écrire le pgcd et le ppcm de
A
et
1. Trouver le pgcd de
et
C?
B.
A, B
3. Écrire le pgcd et le ppcm des trois polynômes
Exercice 390
B?
X 24 − 1
et
et
C.
X 15 − 1 ;
le pgcd de
X 280 − 1
et
X 60 − 1.
b
bq
2. Montrer que quels que soient les entiers positifs b et q , X − 1 divise X − 1. En déduire
a
b
r
que le reste de la division de X − 1 par X − 1 est X − 1 où r est le reste de la division
a
b
dans N de a par b. Quel est alors le pgcd de X − 1 et X − 1 ? Application : trouver le
5400
pgcd de X
− 1 et X 1920 − 1.
3.
P
étant un polynôme quelconque de C[X], et a et b deux entiers naturels, quel est le pgcd
a
b
de P − 1 et P − 1 ? Indication : utiliser le théorème de Bézout dans Z et dans C[X].
Exercice 391
Soit
A ∈ C[X]
et
B ∈ C[X].
1. A-t-on pgcd (A, B)
= 1 ⇐⇒
2. A-t-on pgcd (A, B)
= pgcd(A + B, AB) ?
Exercice 392
Soit
n
pgcd(A
+ B, AB) = 1 ?
un entier strictement positif.
1. Démontrer qu'il existe un unique couple de polynômes
n
n
inférieurs à n tels que (1 − X) P (X) + X Q(X) = 1.
2. Démontrer que
P (1 − X) = Q(X)
et
3. Démontrer qu'il existe une constante
P
et
Q
de degrés strictement
Q(1 − X) = P (X).
a
telle que
(1 − X)P 0 (X) − nP (X) = aX n−1 .
En déduire les coecients de
Réponse :
et la valeur de
a.
n−1
a = −(2n − 1)C2n−2
.
Exercice 393
2
P
2
P + Q = (X
2
Déterminer les polynômes P ∈ R[X] et Q ∈
+ 1)2 . En déduire que l'équation x2 + y 2 =
proportionnelles) dans
Exercice 394
déduire
d=
R[X], premiers entre eux, tels que
z 2 a une innité de solutions (non
Z.
1. Montrer que les polynômes X − 1 et X − 2 sont premiers entre eux et en
2
3
pgcd((X − 1) , (X − 2) ) et des U et V polynômes tels que
U (X − 1)2 + V (X − 2)3 = d.
2. Déterminer le polynôme P , de degré minimal, tel que le reste de la division euclidienne
2
3
de P par (X − 1) est 2X et le reste de la division euclidienne de P par (X − 2) est 3X .
Exercice 395
Montrer que les polynômes complexes
P = X 1998 + X + 1
et
Q = X5 + X + 1
sont premiers entre eux.
7.3 Racines, décomposition en facteurs irréductibles
Exercice 396
1. Montrer que le polynôme
P (X) = X 5 − X 2 + 1
admet une unique racine
réelle et que celle-ci est irationnelle.
2. Montrer que le polynôme
Q(X) = 2X 3 − X 2 − X − 3
a une racine rationnelle (qu'on
calculera). En déduire sa décomposition en produit de facteurs irréductibles dans
C[X].
7 Polynômes
Exercice 397
46
P (X) = an X n + · · · + a0
Soit
un polynôme à coecients entiers premiers entre
eux (c'est à dire tels que les seuls diviseurs communs à tous les
p
si r =
avec p
q
divise an .
Exercice 398
q
et
P
1. Montrer que si
2. Soit
λ
λ∈C
un polynôme de degré
est irréductible dans
P,
une racine de
−1
1). Montrer que
P alors p divise a0 et q
soient
premiers entre eux est une racine rationnelle de
P ∈ Q[X]
Soit
ai
et
n.
alors il n'a que des racines simples dans
Q
de multiplicité strictement plus grande que
est rationnel.
Exercice 399
Exercice 400
C.
n
.Montrer
2
que
nX n+2 − (n + 2)X n+1 + (n + 2)X − n admet une racine
5
4
racines du polynôme 3X − 5X + 5X − 3.
Montrer que le polynôme
multiple. Application : déterminer les
P = (X 2 − X + 1)2 + 1.
Soit
1. Vérier que
i
P.
est racine de
2. En déduire alors la décomposition en produit de facteurs irréductibles de
P
sur
R[X]
3. Factoriser sur
C[X] et sur R[X] les polynômes suivants en produit de polynômes irréP = X 4 + X 2 + 1, Q = X 2n + 1, R = X 6 − X 5 + X 4 − X 3 + X 2 − X + 1,
S = X − 13X 4 + 67X 3 − 171X 2 + 216X − 108 (on cherchera les racines doubles de S ).
ductibles :
5
Exercice 401
Décomposer dans
R[X],
sans déterminer ses racines, le polynôme
P = X 4 + 1,
en produit de facteurs irréductibles.
[Exercice corrigé]
Exercice 402
Exercice 403
Exercice 404
Pour tout
a∈R
Décomposer
et tout
X 12 − 1
démontrer que
X −a
divise
X n − an .
en produit de facteurs irréductibles dans
R[X].
A, où :
A=X
+X
+ X et B = X + X + 1,
A = (X + 1)2n − X 2n − 2X − 1 et B = X(X + 1)(2X + 1),
A = nX n+1 − (n + 1)X n + 1 et B = (X − 1)2 .
3n+2
Exercice 405
Prouver que
3m+1
3p
B
n ∈ N∗ ,
divise
2
Soit
P ∈ Z[X]
et
n ∈ Z;
1. Montrer que :
∀k ∈ Z, m
divise
notons
Exercice 406
(deg( P )
> 1).
P (n + km).
2. Montrer qu'il n'existe pas de polynôme
n ∈ Z, P (n)
m = P (n) ;
P
dans
Z[X],
non constant, tel que pour tout
soit premier.
Soit
Montrer qu'il existe
Indications :
P un polynôme de R[X] tel que P (x) > 0 pour tout x ∈ R.
S, T ∈ R[X] tels que P = S 2 + T 2 (on utilisera la factorisation dans C[X]).
a, b ∈ R, déterminer c, d ∈ R tels que : ab = c2 − d2 , vérier que (a2 + b2 )(c2 + d2 ) =
(ac + bd)2 + (bc − ad)2 .
1. Soient
2. Résoudre le problème pour
P
de degré 2.
3. Conclure.
Exercice
407
P
C sin kθ X
Exercice 408
n
k=1
k
n
Soit θ ∈ R ; on suppose sin nθ 6= 0. Déterminer les racines du polynôme
k
. Vérier que ces racines sont toutes réelles.
a ∈ C, P ∈ C[X] et Q ∈ C[X], premiers entre
P + Q2 . Montrer que a est racine de P 0 2 + Q0 2 .
Soit
2
racine double de
eux. On suppose que
P =
a
est
7 Polynômes
Exercice 409
47
n ∈ N∗ ,
Pour
quel est l'ordre de multiplicité de 2 comme racine du polynôme
nX n+2 − (4n + 1)X n+1 + 4(n + 1)X n − 4X n−1
[Exercice corrigé]
Exercice 410
a
Pour quelles valeurs de
le polynôme
(X + 1)7 − X 7 − a
admet-il une racine
multiple réelle ?
[Exercice corrigé]
Exercice 411
R[X]
Exercice 412
X3 + 2
Montrer que le polynôme
lynôme dans
et dans
Dans
est irréductible dans
Q[X].
Factoriser ce po-
C[X].
et dans
R[X]
C[X],
décomposer les polynômes suivants en facteurs irré-
ductibles.
1.
X 3 − 3.
2.
X 12 − 1.
[Exercice corrigé]
Exercice 413
R[X]
Exercice 414
Dans
Quelle est la décomposition de
X6 + 1
en facteurs irréductibles dans
C[X] ?
?
Soit
P
le polynôme
X 4 + 2X 2 + 1.
Déterminer les multiplicités des racines
−i, de deux façons diérentes : soit en décomposant P
dérivé de P .
Exercice 415
Soit le polynôme
1. Montrer que
j
Exercice 416
P
et
C[X], soit en utilisant le polynôme
P = X 8 + 2X 6 + 3X 4 + 2X 2 + 1.
est racine de ce polynôme. Déterminer son ordre de multiplicité.
2. Quelle conséquence peut-on tirer de la parité de
3. Décomposer
dans
i
en facteurs irréductibles dans
P?
C[X]
et dans
R[X].
E le polynôme du troisième degré : aX 3 + bX 2 + cX + d avec a, b, c, d ∈ R
et a 6= 0, et soit x1 , x2 , x3 ses trois racines dans C. Trouver un polynôme ayant pour racines
x1 x2 , x2 x3 et x3 x1 .
Exercice 417
Exercice 418
n
Exercice 419
Exercice 420
degré
1.
2.
Soit
Soient
Soit
x 1 , x2 , x3
n ∈ N
les racines de
X 3 − 2X 2 + X + 3.
Calculer
x31 + x32 + x33 .
xé. Montrer qu'il y a un nombre ni de polynômes unitaires de
à coecients entiers ayant toutes leurs racines de module inférieur ou égal à
Soit
n>2
et
Pn (X) =
k=0
2
où
Soit
où
a-t-il une racine double ?
P ∈ R[X]
P ∈ C[X].
scindé sur
1. Montrer qu'il en est de même de
2. Montrer que le polynôme
Soit
n ∈ N∗
1. Quel est le degré de
2. Factoriser
Pn
P ∈ R[X].
2
P (X ) = (X + 1)P (X)
Exercice 422
1
X k.
k!
Résoudre les équations :
P 0 P 00 = 18P
Exercice 421
n
P
P
dans
et
P?
C[X].
P2 + 1
R
à racines simples.
P 0.
n'a que des racines simples dans
P (X) = (X + 1)n − (X − 1)n .
C.
1.
7 Polynômes
48
3. Montrer que
Exercice 423
∀p ∈ N∗
p
Q
cotan (
k=1
Factoriser dans
R[X]
kπ
1
)= √
.
2p + 1
2p + 1
:
6
1.
X + 1.
2.
X 9 + X 6 + X 3 + 1.
[Exercice corrigé]
Exercice 424
7.4 Divers
Montrer que pour tout
n ∈ N∗
il existe un polynôme
Pn
et un seul tel que
∀θ ∈ R, Pn (2 cos θ) = 2 cos nθ.
Montrer que
que
cos rπ
Pn
I(P )
r
rationnels tels
soit rationnel.
Exercice 425
avec
est unitaire et que ses coecients sont entiers. En déduire les
Déterminer, s'il en existe, tous les idéaux
idéal engendré par
Exercice 426
P
J
de
R[X] tels que : I(P ) ⊂ J ⊂ R[X],
dans les cas suivants :
P = X 2 + X + 1,
P = X 2 + 2X + 1,
Trouver un polynôme
P (1) = −2
P
de degré
62
P (−2) = 3
et
P = X 3 + 3X − 4.
tel que
et
P (0) = −1
[Exercice corrigé]
Exercice 427
Trouver un polynôme
P (0) = 1
et
P
de degré minimum tel que
P (1) = 0
et
P (−1) = −2
et
P (2) = 4
[Exercice corrigé]
Exercice 428
Exercice 429
Trouver les polynômes
Rx
pourra utiliser le polynôme Q(x) =
0
k.
Soit
P de R[X]
P (t)dt).
tels que
∀k ∈ Z
R k+1
k
P (t)dt = k + 1
(on
(P0 , P1 , . . . , Pn ) une famille de polynômes de K[X] telle que ∀k ∈ {0, . . . , n}
Montrer à l'aide d'une récurrence soigneuse que cette famille est libre.
Exercice 430
Soit
n ∈ N∗
∆ est
a∆(P ) + b∆(Q).
1. Montrer que
xé et
(
Rn [X] → Rn [X]
∆:
P (X) 7→ P (X + 1) − P (X)
linéaire, i.e. que
∀(a, b) ∈ R2
et
.
(P, Q) ∈ Rn [X] ∆(aP + bQ) =
ker(∆) = {P ∈ Rn [X]/∆(P ) = 0}.
1
X(X − 1) . . . (X − k + 1). Calculer ∆(Hk ).
Soient H0 = 1 et pour k ∈ {1, . . . , n} Hk =
k!
Soit Q ∈ Rn−1 [X]. Comment trouver P ∈ Rn [X] tel que ∆(P ) = Q.
2. Déterminer
3.
4.
5. Déterminer
P
pour
Q = X2
6. En déduire la somme
Exercice 431
tel que
P (1) = 0.
12 + 22 + . . . + n2 .
Résoudre l'équation d'inconnue
P ∈ C[X] : P (X + 1)P (X) = −P (X 2 ).
degPk
=
7 Polynômes
Exercice 432
A |x | .
Exercice 433
n+1
49
(P, Q) ∈ Rn [X]2
de P et Q ?
Soit
Que dire
Wn = (X 2 − 1)n , Ln =
Soient
1. Donner le degré de
2. Démontrer :
tels que
∃(a, A) ∈ (R+∗ )2 , ∀x ∈] − a, a[, |P (x) − Q(x)| 6
(n)
1
Wn .
2n n!
Ln , son coecient dominant, sa parité, calculer Ln (1). Donner L0 , L1 , L2 .
0
∀n > 1, (X 2 − 1)Wn = 2nXWn ,
en déduire :
00
0
∀n ∈ N, (X 2 − 1)Ln + 2XLn − n(n + 1)Ln = 0.
3. Montrer ensuite :
0
∀n > 1, L0n = XLn−1 + nLn−1 ,
4. Montrer enn que les polynômes
Exercice 434
(i.e.
xyz 6= 0)
Indication
par
z,
Ln
puis
0
0
nLn = XLn − Ln−1 .
peuvent être dénis par la récurrence :
(n + 1)Ln+1 = (2n + 1)XLn − nLn−1 .
Montrer que si
dans
n > 3,
l'équation
xn + y n = z n
n'a pas de solution non triviale
C[X].
x, y, z,
: on peut supposer
sans facteurs communs. Dériver la relation, la multiplier
étudier le degré.
Exercice 435
Soit
n ∈ N∗ , P ∈ C[X]
de degré
n,
|z|=1
2ikπ
Exercice 436
n
P
montrer :
1
.
n
sup |P (z)| > 1 +
Indication : wk = e n+1 , montrer
P (0) = 1, P (1) = 0,
avec
P (wk ) = (n + 1)a0.
k=0
1. Lemme : Soit
P ∈ C[X]
non constant,
z0 ∈ C,
montrer que
∀ε > 0, ∃z ∈ D(z0 , ε) = {z ∈ C| |z − z0 | 6 ε}, |P (z)| > |P (z0 )| .
Indications
P (z0 + h) = P (z0 ) +
(i)
tel que P
(z0 ) 6= 0.
: Ecrire
strictement positif
hm (m)
(z0 )où
m=k m! P
Pdeg P
k
est le plus petit entier
On se propose de démontrer le théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme non
constant à coecients complexes admet une racine complexe.
2. Expliquer pourquoi le minimum de la fonction
en
0,
mettons
D(0, R),
z → |P (z)| est atteint sur un disque centré
et expliquer pourquoi :
∃z0 ∈ C, |P (z0 )| = inf |P (z)| .
z∈C
3. Montrer avec le lemme que
Exercice 437 n ∈ N ,
C[X].
Exercice 438 P ∈ R[X]
φ = (P ) − P P
Exercice 439 K ⊆ C
∗
Soit
et
P (z0 ) = 0.
P (X) = (X + 1)n − (X − 1)n .
Quel est le degré de
P?
Le
factoriser dans
Soit
que
0 2
00
Soit
un polynôme dont tous les zéros sont réels et distincts, montrer
n'a pas de zéro réel.
un corps pour les lois usuelles sur
1. Montrer que si α est racine de
0
polynôme P avec la multiplicité
C
et
P ∈ K[X]
P de multiplicité m ∈ [1, +∞[
m − 1.
alors
non constant.
α
est racine du
8 Fractions rationnelles
2. On suppose
K =R
50
et
P
scindé sur
R.
Montrer que
P0
est scindé sur
R
(on utilisera le
théorème de Rolle).
Exercice 440
m, n ∈ [1, +∞[, d =
Soient
pgcd(m, n) et
P = X m − 1, Q = X n − 1, D =
d
X − 1 ∈ C[X].
1.
(a) Montrer que si
x∈C
y ∈ C est racine de D
de d).
Q
et
alors
x
est racine de
A, B ∈ C[X] tels que toute racine de A est racine de B. Peut-on
A divise B ? Même question si les racines de A sont simples.
en déduire
alors
y
est racine commune de
(a) Soient
(b) Montrer que les racines de
Exercice 441
D
et
C
et sur
2. Montrer que
P1
est irréductible sur
3. Montrer que
P2
est réductible sur
4. Montrer que
P3
est irréductible sur
complexes de
P
Exercice 443
P
Soit
Q
R.
(on utilisera que
√
3
2∈
/ Q).
Z.
Z.
Déterminer toutes les racines
sachant que deux d'entre elles ont 6 pour produit.
8 Fractions rationnelles
Décomposer les fractions rationnelles suivantes :
3
X3 + 1
sur
C
X3
X3 − 1
puis sur
sur
sur
C
sur
2. Décomposer
R
en remarquant que
X7 + 1
(X 2 + 1)(X 2 + X + 1)
Exercice 444
R
R
X2 + X + 1
(X − 1)2 (X + 1)2
1
(X 3 − 1)2
sur
F (jX) = F (X)
R
3X 5 + 2X 4 + X 2 + 3X + 2
sur R
X4 + 1
1
sur C puis sur R
2n
X +1
X3 + X
sur R
(X 2 + X + 1)2
1. Décomposer
2X 3 +X 2 −X+1
X 2 −3X+2
= D.
P1 = X 3 −2, P2 = X 4 +4 et P3 = X 4 +4X 3 +8.
P = X 4 − 5X 3 + 9X 2 − 15X + 18 ∈ C[X].
F (X) =
P
sont simples et en déduire que pgcd (P, Q)
Soient les polynômes complexes
1. Étudier leur irréductibilité sur
Exercice 442
(on
Q (utiliser
la dénition
que
D
Z).
et
(b) Montrer que si
2.
P
est racine commune de
pourra utiliser l'égalité de Bézout dans
X 3 −3X 2 +X−4
en éléments simples sur
X−1
en éléments simples sur
R.
R.
8 Fractions rationnelles
51
7. Décomposer
2X 3 +X 2 −X+1
en éléments simples sur R.
X 2 −2X+1
4
2
X +2X +1
en éléments simples sur R.
X 2 −1
X
en éléments simples sur R.
X 2 −4
5
4
X +X +1
en éléments simples sur R.
X 3 −X
5
4
X +X +1
en éléments simples sur R.
X(X−1)4
8. Décomposer
X 5 +X 4 +1
en éléments simples sur
(X−1)3 (X+1)2
3. Décomposer
4. Décomposer
5. Décomposer
6. Décomposer
R.
X 7 +3
9. Décomposer
en éléments simples sur R.
(X 2 +X+2)3
(3−2i)X−5+3i
10. Décomposer
en éléments simples sur C.
X 2 +iX+2
X+i
11. Décomposer
en éléments simples sur C.
X 2 +i
X
12. Décomposer
en éléments simples sur C.
(X+i)2
13. Décomposer
14. Décomposer
15. Décomposer
16. Décomposer
17. Décomposer
18. Décomposer
19. Décomposer
20. Décomposer
[Exercice corrigé]
Exercice 445
X 2 +1
en éléments simples sur R et sur C.
X 4 +1
X
en éléments simples sur R et sur C.
X 4 +1
2
X +X+1
en éléments simples sur R et sur C.
X 4 +1
5
X +X+1
en éléments simples sur R et sur C.
X 4 −1
5
X +X+1
en éléments simples sur R et sur C.
X 6 −1
3
X −2
en éléments simples sur R et sur
X 4 (X 2 +X+1)2
X
en éléments simples sur R et sur
(X 2 +1)(X 2 +4)
X 2 −3
(X 2 +1)(X 2 +4)
en éléments simples sur
Décomposition en éléments simples
Φ=
[Exercice corrigé]
Exercice 446
Décomposition en éléments simples
[Exercice corrigé]
Exercice 447
[Exercice corrigé]
Exercice 448
Exercice 449
Exercice 450
Soient
formule de Taylor en
a
a
et
b
pour
et sur
C.
C.
2x4 + x3 + 3x2 − 6x + 1
.
2x3 − x2
2x5 − 8x3 + 8x2 − 4x + 1
Φ=
.
x3 (x − 1)2
Φ=
Décomposition en éléments simples
R
C.
4x6 − 2x5 + 11x4 − x3 + 11x2 + 2x + 3
.
x(x2 + 1)3
1
.
(X − a)n (X − b)n
f (X) = (X − a)n F (X), décomposer F sur R.
deux réels distincts et
Donner une CNS sur
f ∈ C(X)
F (X) =
pour qu'il existe
On appelle valuation une application
g ∈ C(X)
En utilisant la
tel que
f = g0.
v : C(X) → Z ∪ {∞} telle que : λ ∈ C∗ V
v(λ) = 0, v(0) = ∞, ∃a ∈ C(X) : v(a) = 1
∀(f, g) ∈ C(X)2 , v(f g) = v(f ) + v(g)
∀(f, g) ∈ C(X)2 , v(f + g) > min(v(f ), v(g))
(avec les convention évidentes
les valuations de
C(X)
k + ∞ = ∞, ∀k > 1 : k∞ = ∞, 0∞ = 0,
etc.) Déterminer toutes
et montrer la formule (la somme portant sur toutes les valuations) :
∀f ∈ C(X) − {0},
X
v
v(f ) = 0.
9 Propriétés de
52
R
Deuxième partie
ANALYSE 1
Exercice 451
9 Propriétés de
R
9.1 Les rationnels
Q
r∈Q
1. Démontrer que si
2. Montrer que
√
et
x 6∈ Q
alors
r + x 6∈ Q
et si
r 6= 0 r.x 6∈ Q.
2 6∈ Q,
3. En déduire : entre 2 nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. (On pourra
utiliser la propriété : pour tout réel
[Exercice corrigé]
a > 0,
il existe un entier
n
tel que
n > a.)
Exercice 452
Les nombres suivants sont-ils des rationnels ? des décimaux ?
√
a = 1/3, b = 1/15, c = 1/25, d = 1/125, e, f = 0, 333 · · · 3 · · · , g = 2,
h = 0,123 456 789 123 456 789 123 · · · , i = 0,123 456 789 101 112 131 4 · · · , j = π , k = 13/7,
l = 27/17.
√
2 Dans le plan xOy , on
porte sur Ox une suite de points a1 , a2 , . . . , an , . . . et sur Oy une suite de points b1 , b2 , . . . , bn , . . . ,
Exercice 453 (Un procédé géométrique d'approximation de )
(i) a = 2 b = 1
(ii) a =
(iii) a b = 2
construites de la manière suivante :
et 1
,
an−1 +bn−1
,
2
1
n
(le rectangle de côtés
n n
an
et
bn
a pour aire 2).
an et bn .
Démontrez successivement que : ∀n, bn < an ; (an )n∈N décroissante ; (bn )n∈N croissante.
Calculez an − bn en fonction de an−1 − bn−1 et an . Montrez que l'on a l'inégalité :
1. Représentez cette suite de rectangles de côtés
2.
3.
(an−1 − bn−1 )2
.
an − b n <
4
a1 , a2 , . . . , a6 . Combien de décimales exactes de
2 obtenez-vous à chaque pas ? Utilisez l'inégalité précédente pour montrer que le nombre
4. Calculez les premiers termes de la suite
√
de décimales exactes obtenues double
Exercice 454
Exercice 455
√
juste avant
grosso modo
1 − 13 − 13 − 13 . Expliquer le résultat.
√
On considère les nombres rationnels inférieurs à
2. Y a-t-il
√ un nombre rationnel
2, plus grand que tous les nombres rationnels inférieurs à 2 ?
Calculer avec une calculette :
1
3
+ 13 + 13
à chaque pas.
et
Une suite de nombres rationnels a-t-elle pour limite un nombre rationnel ?
Une suite de nombres décimaux a-t-elle pour limite un nombre décimal ?
Exercice 456√ √ a b
a+ b
Exercice 457 p(x) = P
Soient
Montrer que
et
deux rationnels positifs tels que
√
a
et
√
b
soient irrationnels.
est irrationnel.
n
i=0
Soit
1. Montrer que si
p
ai x i .
α
a une racine rationnelle
alors
β
2. On considère le nombre
√
2+
√
ai sont des entiers.
α divise a0 et β divise an .
On suppose que tous les
3.
En calculant son carré, montrer que ce carré est racine
d'un polynôme de degré 2. En déduire, à l'aide du résultat précédent qu'il n'est pas
rationnel.
9 Propriétés de
53
R
[Exercice corrigé]
Exercice 458
Trouver sous la forme
périodiques sont donnés par :
_
_
3, 14 14 ... ;
Exercice 459
0, 99 9 ... ;
1. Soit
p
des rationnels
q
x
dont les dévelopements décimaux
_
3, 149 9 ...
Nn = 0, 1997 1997 . . . 1997 (n
fois). Mettre
Nn
sous la forme
p, q ∈ N∗ .
2. Soit
M = 0, 1997 1997 1997 . . . . . .
Donner le rationnel dont l'écriture décimale est
p
avec
q
M.
P = 0, 11111 . . .+0, 22222 . . .+0, 33333 . . .+0, 44444 . . .+0, 55555 . . .+
0, 66666 . . . + 0, 77777 . . . + 0, 88888 . . . + 0, 99999 . . .
3. Même question avec :
[Exercice corrigé]
Exercice 460
Exercice 461
[Exercice corrigé]
Exercice 462
Montrer que l'ensemble
Montrer que
Soit
a ∈ R,
{r3 ; r ∈ Q}
de
R.
ln 3
est irrationnel.
ln 2
montrer :
∃(p, q) ∈ Z × N ; a −
∗
Indication
est dense dans
: considérer les parties fractionnaires de
p 1
6 2.
q
q
0, a, 2a, ..., qa et la partition [0, 1q [, [ 1q , 2q [, ...[ q−1
, 1[
q
[0, 1[.
Exercice 463
Montrer que l'ensemble des nombres dyadiques :
na
o
,
(a,
k)
∈
Z
×
N
2k
est dense dans
Exercice 464
R.
9.2 Maximum, minimum, borne supérieure...
Le maximum de 2 nombres
x, y
(c'est-à-dire le plus grand des 2) est noté
max(x, y). De même on notera min (x, y) le plus petit des 2 nombres
max(x, y)
=
x + y + |x − y|
2
et
min(x, y)
=
x, y .
Démontrer que :
x + y − |x − y|
.
2
Trouver une formule pour max (x, y, z).
[Exercice corrigé]
Exercice 465
{un , n ∈ N}
Déterminer la borne supérieure et inférieure (éventuellement innies) de :
n
−n
en posant un = 2 si n est pair et un = 2
sinon.
A=
[Exercice corrigé]
Exercice 466
Déterminer (s'ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure,
la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément des ensembles suivants :
1
n
∗
[0, 1] ∩ Q , ]0, 1[∩Q , N , (−1) + , n ∈ N .
n
[Exercice corrigé]
9 Propriétés de
Exercice 467
54
R
Soit
1. Montrer que
1
I = x∈R |−2<x+
62 .
2x
I
est la réunion de deux intervalles.
2. Déterminer (s'ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne
inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément de
Exercice 468
Les ensembles suivants ont-ils une borne supérieure, un plus grand élément, une
borne inférieure, un plus petit élément, dans
1.
[0, 3[,
2.
{0} ∪ ]1, 2],
3.
D ∩ [0, 1/3],
4.
{x | ∃n ∈ N, x = 1/n},
5.
{x ∈ Q | x2 < 2}.
Exercice 469
I.
D,
dans
Q,
dans
R,
On considère l'ensemble des nombres de la forme
(si la question se pose) ?
1+ n1 , où n décrit l'ensemble des
entiers strictement positifs. Cet ensemble est-il majoré ? Minoré ? A-t-il un plus petit élément ?
Un plus grand élément ? Justier vos réponses.
Exercice 470
Étant donné un ensemble
A ⊂ R,
écrire avec des quanticateurs les propriétés
suivantes :
1.
10
est un majorant de
A,
2.
m
est un minorant de
A,
3.
P
n'est pas un majorant de
4.
A
est majoré,
5.
A
n'est pas minoré,
6.
A
est borné,
7.
A
n'est pas borné.
A,
Exercice 471 E
Exercice 472 E = { cos n | n ∈ N }
Exercice 473
A B
y
B
x6y
sup A
Exercice 474 a
n−1/n
∗
avec n ∈ N . L'ensemble E admet-il
n+1/n
une borne inférieure, une borne supérieure, un plus grand élément, un plus petit élément ?
Soit
l'ensemble des réels de la forme
Soient
de
on ait
∗
1
n
Soit
et
i
Soit
et
inf B
R
et
sup E .
x de A
sup A 6 inf B .
telles que pour tout
existent et que
et tout
ij (i,j)∈I×J une famille non vide et bornée de réels ; comparer :
inf (sup aij )
Exercice 475
inf E
deux parties non vides de
. Démontrer que
Soit
; calculer
A
avec
sup(inf aij ).
j
j
une partie majorée de
R
i
d'au moins deux éléments et
x
un élément de
A.
sup(A \ {x}) = sup A.
1. Montrer que si
x < sup A,
2. Montrer que si
sup(A \ {x}) < sup A,
Exercice 476
Soient
alors
alors
x = sup A.
A et B deux parties bornées de R. On note A+B = {a+b | (a, b) ∈ A×B}.
1. Montrer que
sup A + sup B
2. Montrer que
sup(A + B) = sup A + sup B .
est un majorant de
A + B.
9 Propriétés de
55
R
[Exercice corrigé]
Exercice 477
Soit
A
et
B
deux parties bornées de
1.
A ⊂ B ⇒ sup A 6 sup B ,
2.
B ⊂ A ⇒ inf A 6 inf B ,
3.
sup A ∪ B = max(sup A, sup B),
4.
sup(A + B) < sup A + sup B ,
5.
sup(−A) = − inf A,
6.
sup A + inf B 6 sup(A + B).
R.
Vrai faux
ou
?
[Exercice corrigé]
Exercice 478
Donner la borne supérieure et la borne inférieure (si elles existent) de l'en-
semble :
D=
n − n1
∗
|n ∈ N .
n + n1
Cet ensemble admet-il un maximum, un minimum ?
Exercice 479
Soient
n ∈ N∗
et
a1 6 a2 6 ... 6 an , n
inf
x∈R
n
X
|x − ai | .
k=1
Exercice 480 f : R → R f (x) = x − 3x
f =
(f, 0), f =
(f, 0)
Exercice 481 a = sup A
a
Exercice 482 A = Q ∩ ]0, 1[ a, b ∈ R
Soit
où :
max
+
3
,
min
−
Si
nombres réels. Calculer :
. Tracer les graphes des fonctions
f, |f |, f+ , f−
.
, montrer qu'il existe une suite d'éléments de
A
qui converge vers
. Réciproque.
Soit
dans
R+
et
+ . On considère les applications suivantes de
A
:
q−p
p
7→
;
q
q+p
f:
g:
p
aq + bp
7→
q
p+q
Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de
Exercice 483
entiers vériant
A l'ensemble
0 < p < q.
Soit
1. Montrer que
2. Déterminer
Exercice 484
Montrer que
bornée. Soit
A
et
sup A
−3
et majorée par
g(A).
x=
2p2 −3q
pour
p2 +q
un =
n+2
n+1
On pose
Ap = supn>p un
(Bp )p∈N est
bornée et que
cos nπ
,
3
calculer
p
L
et
et
Bp = inf n>p un .
une suite croissante
l.
∀ε > 0, ∃p ∈ N, ∀n > p, un > l − ε
∀ε > 0, ∀p ∈ N, ∃n > p, un < l + ε
3. Interpréter ces propriétés. Énoncer des propriétés analogues pour
(un )
si
L = l?
q
q = p + 1).
2. Montrer que :
4. Que peut-on dire de
et
2.
(pour la borne supérieure on pourra prendre
Soit (un )n∈N une suite bornée.
(Ap )p∈N est une suite décroissante
L = limp→∞ Ap et l = limp→∞ Bp .
1. Dans le cas particulier où
et de
des nombres réels qui peuvent s'écrire
est minorée par
inf A
f (A)
L.
Démontrez-les.
9 Propriétés de
Exercice 485
56
R
x
Soient
et
y
deux réels strictement positifs. On pose
x+y
a=
2
Montrer que
a, g, h, q
Exercice 486
xy
A
et
A∪B
B
r
q=
x
deux parties non vides bornées de
est bornée et que
2. Enoncer un résultat analogue pour
1 2
(x + y 2 )
2
et
y.
R.
sup(A ∪ B) = max(sup(A), sup(B)).
inf(A ∪ B).
A∩B?
3. Qu'en est-il pour
Exercice 487
2xy
h=
x+y
sont rangés dans un ordre indépendant de
Soient
1. Montrer que
g=
√
9.3 Divers
n
Démontrer par récurrence sur
que pour tout
n>2
l'implication
[x > −1, x 6= 0] ⇒ [(1 + x)n > 1 + nx]
est vraie.
Exercice
488
P
Soient a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R, les ai n'étant pas tous nuls. Soit p(x) =
n
2
(a
+
xb
)
i . Montrer que le discriminant de cette équation du second degré est 6 0. En
i=1 i
déduire que :
n
!1/2
!1/2
n
n
X
X
X
ai bi 6
a2i
b2i
,
i=1
i=1
i=1
et que
Exercice 489
Exercice 490
Exercice 491
n
X
(ai + bi )2
!1/2
6
i=1
n
X
a2i
!1/2
+
i=1
n
X
b2i
!1/2
.
i=1
Deux entiers naturels distincts peuvent-ils vérier la relation
Résoudre l'équation
Si
a
b
et
√
4
41 + x +
√
4
41 − x = 4, x
ab = b a ?
étant un réel positif.
> 0, montrer que :
√
√
√
a + b 6 2 a + b.
sont des réels
[Exercice corrigé]
Exercice 492
Soient
x = (x1 , . . . , xn )
et
y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn .
On note
kxk∞ = max16i6n |xi |.
kxk1 =
Pn
i=1
|xi |
et
Montrer que dans les deux cas on a :
Exercice 493
kx + yk 6 kxk + kyk.
Pout tout
x∈R
on note
1. Tracer les graphes des fonctions
E(x)
sa partie entière et
x 7→ E(x)
et
{x}
sa partie décimale.
x 7→ {x}.
E(x) + E(y) 6 E(x + y), E(x + n) = E(x) + n pour tout
∗
tout n ∈ N .
2. Montrer les relations suivantes :
n ∈ Z, E
E(nx)
n
3. Déterminer
= E(x)
pour
lim E(x) et lim{x} lorsque x → −1+
x → −1 ?
limites lorsque
et
x → −1− . Ces fonctions ont-elles une
9 Propriétés de
Exercice 494
Exercice 495
Exercice 496
57
R
Pour tout
x, y ∈ R
montrer que :
x2
+ λy 2 .
λ
a et b
a/b.
Soit deux nombres réels
On note
1. Montrer que
a−b
E(x)
et de
vériant :
la partie entière d'un réel
−1 < a < 4
et
− 3 < b < −1.
x.
∀(x, y) ∈ R2 E(x) + E(y) 6 E(x + y) 6 E(x) + E(y) + 1.
E(x) + E(−x)
pour
x ∈ R.
E(nx)
).
n
2
Soit f : R → R croissante telle que ∀(x, y) ∈ R f (x+y) = f (x)+f (y). Montrer
3. Montrer que
Exercice 497
λ>0
2xy 6
Donner un encadrement de
2. Calculer
et
∀n ∈ N∗
et
∀x ∈ R E(x) = E(
que
1.
∀n ∈ N
f (n) = nf (1).
2.
∀n ∈ Z
f (n) = nf (1).
3.
∀q ∈ Q
f (q) = qf (1).
4.
∀x ∈ R
f (x) = xf (1)
(on pourra utiliser la densité de
des rationnels de plus en plus proches de
Q
dans
R
pour encadrer
x
par
x).
[Exercice corrigé]
Exercice 498
Exercice 499
Exercice 500
Soient
n ∈ N∗ ,
et
(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn
tels que
n
P
xi =
i=1
n
P
x2i = n.
Montrer que
i=1
∀i ∈ {1, ..., n}, xi = 1.
Soient
n ∈ N∗ ,
et
(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ [0, 1]n ,
montrer que :
n
n
Y
X
(1 − xi ) > 1 −
xi .
i=1
Soit
A
une partie de
R
i=1
vériant :
A 6= ∅,
∀x ∈ A, ∃εx > 0, ]x − εx , x + εx [⊂ A,
∀x ∈ R : (∀ε > 0, ]x − ε, x + ε[∩A 6= ∅) ⇒ x ∈ A.
Montrer que
A = R.
Exercice 501
Montrer :
∀n > 1, ∀x ∈ R,
Exercice 502
Exercice 503
n−1
X
E(x +
k=0
Soient
A
et
B
deux parties denses de
k
) = E(nx).
n
R, AB
et
A+B
de la réciproque.
Démontrer que :
√
√
√
∀n ∈ N∗ , E( n + n + 1) = E( 4n + 2).
sont-elles denses ? Étude
10 Suites
58
10 Suites
10.1 Découverte
Exercice 504
1. Dessiner les suites suivantes :
n2 − 25
= 2
2n + 1
= (−1)n
1
= cos n
n
= cos n
(a)
un
(b)
un
(c)
un
(d)
un
(e)
u1 = 1 ; u2 = 2 ; u3 = 3 ; u4 = −1 ; un = 2 pour n > 5.
(−1)n
(prendre 10 cm comme unité sur Oy )
un = 2
n +1
nπ
un = cos
6
1
un = sin √
(prendre 1 cm comme unité sur Oy )
n
un = n 2 + 1
1
√
(pour n > 2)
un =
n + (−1)n n
(f )
(g)
(h)
(i)
(j)
(prendre 2 cm comme unité sur
vn =
1
| cos n|
n
Oy )
(n en radians)
2. Classer les dessins par paquets en précisant vos critères.
3. Pour chaque suite, pouvez-vous trouver
l
et
n
tels que
|un − l| <
1
1
ou
? Mettre en
10
100
relation avec le classement précédent.
4. Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ?
(a) Une suite à termes positifs qui tend vers 0 est décroissante à partir d'un certain rang.
(b) Si une suite a une limite strictement positive, tous ses termes sont strictement positifs
à partir d'un certain rang. Réciproque ?
Exercice 505
•
•
•
Si
Si
Si
10.2 Convergence
Soit
(un )n∈N
une suite de
R. Que pensez-vous des propositions
(un )n converge vers un réel l alors (u2n )n et (u2n+1 )n convergent vers l.
(u2n )n et (u2n+1 )n sont convergentes, il en est de même de (un )n .
(u2n )n et (u2n+1 )n sont convergentes, de même limite l, il en est de même
[Exercice corrigé]
Exercice 506
[Exercice corrigé]
Exercice 507
Montrer que toute suite convergente est bornée.
Montrer que la suite
(un )n∈N
dénie par
un = (−1)n +
1
n
n'est pas convergente.
[Exercice corrigé]
Exercice 508
Étudier la suite
un =
an −bn
,
an +bn
a
et
b
étant donnés dans
R∗+ .
suivantes :
de
(un )n .
10 Suites
59
Exercice 509
Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ?
1. Si une suite positive est non majorée, elle tend vers
+∞.
2. Si une suite d'entiers converge, elle est stationnaire.
3. Si une suite a un nombre ni de valeurs, elle converge si et seulement si elle est stationnaire.
4. Une suite est convergente si et seulement si elle est bornée.
5. Si une suite n'est pas majorée, elle est minorée.
Exercice 510
Soit
l
un nombre réel. Peut-on dire qu'une suite qui vérie
∀ε ∈ ]0, 1[, ∃N ∈ N, ∀n > N, |un − l| < ε
converge vers
l?
Exercice 511
Exercice 512
Exercice 513
Exercice 514
Construire une suite
au moins des suites
(vn )
et
(wn )
un = vn wn
vn + wn )
(resp.
convergente et telle que l'une
diverge.
Vrai ou faux : il existe une suite
(un )
telle que
(un+1 − un )
tend vers
0
et qui
diverge.
Encadrer la suite
(un )
un =
dénie par
Pn
1
k=1 n2 +k2 . Que peut-on en déduire ?
1. Que peut-on dire d'une suite qui vérie
limn→∞ nun = 0 ?
2. Que peut-on dire d'une suite qui vérie
limn→∞ nun = 1 ?
3. Que peut-on dire d'une suite qui vérie
limn→∞ nun = +∞ ?
Exercice 515
k Application
Exercice 516
D
Exercice 517
?
points de
: Étudier
Montrer qu'une partie
D
est dense dans
un+1
un
=
R ssi tout réel est limite d'une suite de
.
Soit
1. Montrer que
vers
k ∈ R+ , que peut-on dire d'une suite (un ) qui vérie limn→∞
1·2···n
.
un = 1·4···(3n−2)
Étant donné
A
une partie bornée de
x = sup(A)
R
ssi ( x majore
A
et
x
un réel.
et il existe une suite
(xn )n∈N
de A qui converge
x).
2. Énoncer un résultat analogue pour
Exercice
518 √
√
inf(A).
Étudier la convergence des suites :
n2 + n + 1 −
n sin(n)
n2 + 1
n
[Exercice corrigé]
Exercice 519
1
+ (−1)n
n
n
2n+1
P
k=1
1
2
n +k
P
1 n−1
1
cos( √
)
n k=0
n+k
Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est stationnaire à partir d'un certain
rang.
[Exercice corrigé]
Exercice 520
Soit
Hn = 1 +
1
1
+ ... + .
2
n
1. En utilisant une intégrale, montrer que
2. En déduire que
5. Conclusion ?
1
1
6 ln(n + 1) − ln(n) 6 .
n+1
n
ln(n + 1) 6 Hn 6 ln(n) + 1.
3. Déterminer la limite de
4. Montrer que
∀n > 0
Hn .
un = Hn − ln(n)
est décroissante et positive.
10 Suites
60
[Exercice corrigé]
Exercice 521
Exercice 522
Exercice 523
Exercice 524
Montrer qu'une suite monotone dont une suite extraite converge est convergente.
Montrer que
(un )
converge ssi
(u2n ), (u2n+1 ), (u3n )
convergent (leurs limites
n'étant pas nécessairement égales).
Etudier la convergence de la suite
Soit
1. montrer que
2. Calculer
unq
q
un entier au moins égal à
un+q = un , ∀n ∈ N.
et unq+1 . En déduire
un = (−1)n
2.
Pour tout
que la suite
un
n+1
.
n
n ∈ N,
on pose
un = cos
2nπ
.
q
n'a pas de limite.
[Exercice corrigé]
Exercice 525
(u )
Exercice 526
Exercice 527
Soit
(un )n∈N
une suite réelle prenant toute les valeurs rationnelles. Montrer que
n n∈N n'admet pas de limite.
Soit
(un )n∈N
une suite réelle telle que
lim u2n = λ.
n→∞
Que dire de
(un )n∈N ?
1. Donner un exemple de suite bornée divergente, puis de suite divergente
telle que
∀k ∈ N, lim xn+k − xn = 0.
n→∞
2. Donner un exemple de suite divergente qui a une seule valeur d'adhérence (i.e. telle qu'il
existe une seule extraction
φ
3. Donner un exemple de suite
Exercice 528
Exercice 529
telle que
(xn )n∈N
xφ(n)
converge).
divergente telle que
Que peut-on dire des nombres réels
∀n ∈ N∗ , a −
et
b
converge.
si
1
1
6b6a+ ?
n
n
(un ) dénie par
(
0
un =
67 + 1/n
Étudier la suite
a
∀k > 2, (xnk )n∈N
:
si n est premier
sinon
.
Si cette suite converge, montrer que sa limite est inférieure à
72.
Étudier la convergence de
cette suite.
Exercice 530
En étudiant les suites
Exercice 531
2.
(un ) dénie par :
√
p
u1 = 2 et un = 2 − un−1 .
On donne la suite
(u2n )
et
(u2n+1 ),
montrer que la suite
(un )
est convergente.
1. Soit (un ), (vn ), (wn ) trois suites telles que pour n assez grand on ait
vn 6 un 6 wn . On suppose que (vn ) et (wn ) sont convergentes, et on note v = lim vn et
w = lim wn . Montrer que pour tout ε positif, on a v − ε 6 un 6 w + ε pour n assez grand
(théorème d'encadrement ). Que peut-on en déduire si v = w ?
Soit (un ) une suite convergente de limite l . Montrer que la suite
u 1 + u2 + · · · + u n
n
l. Pour cela, encadrer un
vn =
est convergente et a pour limite
en déduire un encadrement de
vn .
à
ε
près pour
n
assez grand, et
10 Suites
61
Exercice 532
N∗
telles que
Soit α un
α = limn→∞
nombre irrationnel positif et
pn
. Montrer que
qn
(pn )
et
(qn )
deux suites d'éléments de
lim qn = lim pn = +∞.
n→∞
Exercice 533
Exercice 534
Exercice 535
Étudier la suite
n→∞
un = ln(1 + ln(2 + ln(3 + · · · + ln(n − 1 + ln n) · · · ))).
n > 1, l'équation xn + xn−1 + x2 + x −
un . Étudier la suite (un ).
Montrer que pour
unique racine positive ; on la note
n+1
n
=0
admet une
Un ivrogne part à un instant donné d'un point donné. À chaque seconde, il fait
un pas dans une direction inconnue (et qui peut changer de façon arbitraire à chaque pas).
Comme il se fatigue, ses pas sont de plus en plus courts. Peut-on prévoir qu'au bout d'un
certain temps il restera à moins d'un mètre d'une certaine position si on admet que la longueur
de son
n-ième
1.
1/n
2.
1/n2
pas est :
mètre ?
mètre ?
10.3 Suites dénies par une relation de récurrence
Exercice
536
√
1 + un
si
n∈
Soit
N∗ .
(un )
la suite réelle dénie par récurrence en posant
1. Montrer que
(un )
2. Montrer que
(un ) converge vers le nombre réel positif l
u0 = 1
et
un+1 =
est croissante et majorée.
qui vérie
l2 − l − 1 = 0 et calculer
l.
Exercice 537
Exercice 538
Etudier la suite
(un )
dénie par
1
un+1 = un (u2n − 3un + 4) ∀n > 0.
2
Étudier les suites :
√
1.
u0 = 0
et
un+1 =
un + 2.
2.
u0 ∈ R
et
un+1 = un − u2n .
Exercice 539 (Examen 2000)
On considère la fonction
f : R −→ R
dénie par
x3 2x 1
+
+
f (x) =
9
3
9
et on dénit la suite
(xn )n>0
1. Montrer que l'équation
en posant
x0 = 0
x3 − 3x + 1 = 0
et
xn+1 = f (xn )
pour
possède une solution unique
α
est l'unique
3. Montrer que
suite
(xn )
α ∈]0, 1/2[.
3
f (x) = x est équivalente à l'équation x − 3x + 1 = 0 et en déduire
solution de l'équation f (x) = x dans l'intervalle [0, 1/2].
2. Montrer que l'équation
que
n ∈ N.
f (R+ ) ⊂ R+
et que la fonction
f
et en déduire que
0 6 xn < 1/2
est croissante sur
R+ .
En déduire que la
est croissante.
4. Montrer que
f (1/2) < 1/2
5. Montrer que la suite
[Exercice corrigé]
(xn )n>0
converge vers
α.
pour tout
n > 0.
10 Suites
62
Exercice 540
Soit
a ∈ R. On considère la suite (un ) dénie par u0 = a et un+1 = eun − 2 pour
n > 0.
1. Étudier cette suite si
a = 0.
2. Étudier cette suite si
a = −10.
3. Étudier cette suite si
a = 3.
a.
4. Généraliser en discutant selon la valeur de
Exercice 541
1.
u0 = −4.
2.
u0 = −2.
3.
u0 = 2.
4.
u0 = 3.
Étudier la suite dénie par
Exercice 542
Exercice 543
Exercice 544
Exercice 545
10
Exercice 546
Exercice 547
Exercice 548
Exercice 549
Exercice 550
Exercice 551
Étudier la suite
dénie par
u0 = 0
un+1 = e−un
Étudier la suite dénie par
un+1 = cos un
Étudier la suite dénie par
un+1 =
un+1 =
et
Étudier la suite dénie par
−8
approchée à
(un )
u3n
dans les cas suivants :
10
un+1 = 1 +
et
u0 = 0.
u0 = −8.
et
2u3n +7
3(u2n +1)
près de la racine réelle du polynôme
(un −3)2
.
4
u0 = 2.
X + 3X − 7.
et
En déduire une valeur
3
−u2n −un +24
pour n > 0.
6
3 2
− 13
un − 19 un + 3 pour
− 15 u2n − 16 un + 33
pour
10
Étudier la suite dénie par
u0 = 0
et
un+1 =
Étudier la suite dénie par
u0 = 0
et
un+1 =
Étudier la suite dénie par
u0 = 0
et
un+1 =
Étudier la suite dénie par
u0 = 0
et
un+1 = ln(e − 1 + un ).
Discuter suivant les valeurs de
Soient
a
et
b
u0
la nature de la suite
1. Montrer qu'il existe une valeur de
2. Montrer que si
u0
u0
n > 0.
un+1 = eun − 2.
deux réels strictement positifs ; on dénit une suite
u0 > 0 et un+1 =
n > 0.
(un )
par :
p
aun + b
pour laquelle cette suite est stationnaire.
est distinct de cette valeur,
(un )
est monotone et bornée. Trouver
limn→∞ un .
Exercice 552
Étudier suivant les valeurs données à
u0
appartenant à
C
les suites :
un − 2
un + 4
un + 2
=
un + 1
−1
=
un + 1
un+1 =
un+1
un+1
Exercice 553
et
∀n ∈ N, un+1
1. Si
f
2. Si
(un )
f : [0, 1] → [0, 1]. On considère a ∈ [0, 1] et la suite (un )n∈N
= f (un ). Les propriétés suivantes sont-elles vraies ou fausses :
Soit
est croissante, alors
(un )
est croissante.
f
est croissante.
est croissante, alors
vériant
u0 = a
10 Suites
63
3. Si
(un )
est croissante et
4. Si
(un )
converge vers une limite
5. Si
f
est dérivable, alors
f
6. Si le graphe de
7. Si
(un )
f
(un )
l,
f.
est point xe de
est au dessus de la droite d'équation
l
de
f,
alors
f
f (x) = −x3 + x2 − x + 1
et
y = x,
a ∈ [0, 1].
(un )
alors
est continue en
un+1 = (1 − un )2
Étudier la suite dénie par
Soit
l
alors
est croissante.
est bornée.
converge vers un point xe
Exercice 554
Exercice 555
u
= f (u )
Exercice 556
Exercice 557
f
monotone, alors
est croissante.
l.
(discuter suivant les valeurs de
u0 ).
u0 = a
Étudier la suite dénie par
et
n .
n+1
u0 = 0
Étudier la suite dénie par
un+1 = 21 (1 + un + E(un ))
et
où
E
désigne la
fonction partie entière .
u0 = a
1. Étudier la suite dénie par récurrence par
et
un+1 = cos un ,
où
a
est un nombre réel donné.
n>1
2. Étudier la suite dénie pour
Exercice 558
suivant
par
un = cos(cos(cos(· · · (cos n) · · · ))).
{z
}
|
n fois cos
1. Étudier dans
C
une suite
(un )
telle que
∀n ∈ N∗ , un+1 = u2n .
Discuter
u0 .
2. On considère dans
C
une suite
(vn )
telle que
∀n, vn+1 =
1
2
vn +
A
vn
où
A
est un nombre
complexe non nul donné. Étudier l'existence et la convergence de cette suite suivant les
v −a
valeurs de v0 . On pourra noter a une des racines carrées de A et poser wn = n
.
vn +a
Exercice 559
A > 0, B > 0, u0 > 0 ;
A
=
+ Bun .
n+1
1. On donne
de récurrence
un+1
2. Étudier la suite dénie par
u0 = 0
4n
n+1
− un
2 + un
un+1 =
et
étudier la suite dénie par la relation
(on pourra utiliser la question
précédente pour terminer).
Exercice 560
On considère la suite réelle dénie par :
x0 = 1
1. Montrer que
xn
2. Montrer que si
xn+1 =
et
est supérieur ou égal à
(xn )
converge, sa limite
l
2xn + 1.
1
pour tout
l
vérie
l=
3.
√
√
n.
2l + 1.
étant dénie par l'égalité de 2), est-il possible de trouver
k ∈ ]0, 1[
tel que
|xn − l| 6 k|xn−1 − l|.
Si oui en déduire que
Exercice 561
|xn − l| 6 k n |x0 − l|.
Conclure.
En utilisant les méthodes de l'exercice précédent, étudier les suites dénies par :
4 + 3yn
,
3 + 2yn
1
=1+ .
zn
y0 = 3 ;
yn+1 =
z0 = 1 ;
zn+1
10 Suites
64
Exercice 562
Soit une suite qui vérie une relation de récurrence
aun−1 + b
cun−1 + d
un =
(1)
ax+b
a deux points xes
cx+d
−α
un −α
distincts, α et β , on peut écrire la relation (1) sous la forme :
= k uun−1
. Calculer
un −β
n−1 −β
u1 −α
un −α
en fonction de
.
un −β
u1 −β
1. Montrer que si la transformation homographique :
x 7→ y =
2. Montrer que si la transformation homographique a un seul point xe γ , on peut mettre
1
la relation (1) sous la forme :
= un−11 −γ + k . Calculer un1−γ en fonction de u1 .
un −γ
3. Utiliser la méthode précédente pour étudier les suites
4un + 2
,
un + 3
5un − 3
c) un+1 =
,
un + 1
les valeurs de u1 ; préciser
a)
Discuter suivant
un+1 =
(un )
dénies par :
−3un − 1
,
un − 3
2un − 1
=
.
un + 4
b)
un+1 =
d)
un+1
pour quelles valeurs de
u1
chaque suite est
dénie.
Exercice 563
10.4 Limites
Posons
u2 = 1 −
1
et pour tout entier
22
un = (1 −
Calculer
un .
En déduire que l'on a
1
1
1
)(1 − 2 ) · · · (1 − 2 ).
2
2
3
n
lim un =
[Exercice corrigé]
Exercice√564
un = n −
un =
n
1
.
2
Calculer, lorsqu'elles convergent, les limites des suites dénies par :
2
p
n2 − n
Exercice
565
n+1
n > 3,
un =
n(n + a) − n
Montrer que les suites dénies pour
un =
n
n+1
un =
n2
n
nπ
sin
2
2
n > 1 par :
un =
1
+1
un =
un =
sin n − cos n3
.
n
n
n2 +1
admettent toutes des limites que l'on calculera.
Exercice
566
√
(un )n∈N la suite de nombres réels dénie en posant u0 = 0 et ∀n > 1, un+1 =
6 + un . Montrer que la suite (un )n∈N est convergente et déterminer sa limite.
√
2n
) ; bn = n 3 − sin n2 ; cn =
Etudier la limite des suites suivantes : an = cos (
n!
n3 + 2n
n2 + (−1)n
(−1)n
√ ; en = (cos n) sin √ .
; dn =
3n
n2 + n
n
Soit
Exercice 567
Exercice 568
Déterminer les limites lorsque
n
tend vers l'inni des suites ci-dessous ; pour
chacune, essayer de préciser en quelques mots la méthode employée.
2.
1 1
(−1)n−1
; ...
1 ; − ; ; ... ;
2 3
n
2/1 ; 4/3 ; 6/5 ; . . . ; 2n/(2n − 1) ; . . .
3.
0,23 ; 0,233 ; . . . ; 0,233 · · · 3 ; . . .
1.
10 Suites
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
65
2
n−1
1
+ 2 + ··· +
2
n
n
n2
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
n3
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) 2n + 1
−
n+1
2
n
n + (−1)
n − (−1)n
2n+1 + 3n+1
2n + 3n
√
1/2 + 1/4 + 1/8 + · · · + 1/2n puis
2;
1 1
1
(−1)n
1− + −
+ ··· +
3 9 27
3n
√
√ n+1− n
q
√
2 2;
r q
√
2 2 2 ; ...
n sin(n!)
n2 + 1
13. Démontrer la formule
1+22 +32 +· · ·+n2 = 16 n(n+1)(2n+1) ; en déduire limn→∞
1+22 +32 +···+n2
.
n3
[Exercice corrigé]
Exercice 569 (Méthode d'Héron)
vériant
u0 > 0
Soit
a > 0.
On dénit la suite
(un )n>0
par
u0
un réel
et par la relation
1
=
2
un+1
On se propose de montrer que
(un )
tend vers
a
un +
un
√
a.
.
1. Montrer que
un+1 2 − a =
2. Montrer que si
n>1
alors
3. En déduire que la suite
4. En utilisant la relation
un+1 −
5. Si
√
un >
(un )
√
puis que la suite
converge vers
2
√
un+1 −√
a = (un+1 −
de un −
a.
a en fonction
√
u1 − a 6 k et pour n > 1
√
10
a.
√
(un )n>1
a)(un+1 +
√
√
a62 a
k
√
2 a
2n−1
a)
donner une majoration de
.
avec une précision de 8 chires après la virgule, en prenant
u0 = 3.
[Exercice corrigé]
Exercice 570
√
est décroissante.
montrer que
un −
6. Application : Calculer
a
(un 2 − a)2
.
4un 2
On considère les deux suites :
un = 1 +
1
1
+ ... +
; n ∈ N,
1!
n!
10 Suites
66
vn = un +
Montrer que
(un )n et (vn )n
R\Q.
1
; n ∈ N.
n!
convergent vers une même limite. Et montrer que cette limite est
un élément de
[Exercice corrigé]
Exercice 571
Soient
a
b
et
deux réels,
a < b.
On considère la fonction
supposée continue et monotone, et une suite récurrente
(un )n
f : [a, b] −→ [a, b],
dénie par :
u0 ∈ [a, b] et ∀n ∈ N, un+1 = f (un ).
f
1. On suppose que
(un )n
f (x) = x.
est croissante. Montrer que
gence vers une solution de l'équation
est monotone et en déduire sa conver-
2. Application :
u0 = 4 et ∀n ∈ N, un+1 =
3. On suppose que
f
4un + 5
.
un + 3
est décroissante. Montrer que les suites
(u2n )n
et
(u2n+1 )n
sont mono-
tones et convergentes.
4. Application :
u0 =
Calculer les limites des suites
1
et ∀n ∈ N, un+1 = (1 − un )2 .
2
(u2n )n et (u2n+1 )n .
[Exercice corrigé]
Exercice 572
1. Soient
a, b > 0.
2. Montrer les inégalités suivantes ( b
a6
3. Soient
(vn )
u0
et
v0
√
Montrer que
> a > 0)
a+b
6b
2
ab 6
a+b
.
2
:
a6
et
des réels strictement positifs avec
√
ab 6 b.
u0 < v0 .
On dénit deux suites
(un )
et
de la façon suivante :
un+1 =
√
un v n
et
vn+1 =
un + vn
.
2
n ∈ N.
(a) Montrer que
un 6 v n
(b) Montrer que
(vn )
est une suite décroissante.
(c) Montrer que
(un )
est croissante En déduire que les suites
quel que soit
(un )
et
(vn )
gentes et quelles ont même limite.
[Exercice corrigé]
Exercice 573
Soit
x
un réel.
1. Déterminer la limite de
2. En déduire que
Exercice 574
Soit
Q
E(x) + E(2x) + . . . + E(nx)
.
n2
dans R.
un =
est dense
n > 1.
1. Montrer que l'équation
n
P
xk = 1
admet une unique solution
k=1
2. Montrer que
(an )n∈N
est décroissante minorée par
1
.
2
an
dans
[0, 1].
sont conver-
10 Suites
67
3. Montrer que
(an )
converge vers
1
.
2
[Exercice corrigé]
Exercice 575
Calculer suivant les valeurs de
lim
Exercice 5762a + b
par
an+1 =
x
:
i
lim [cos(n!πx)]2m .
n→∞ m→∞
Soient
n
h
n
3
a0
et
b0
et
bn+1
deux réels xés. On dénit par récurrence les suites
(an )
et
(bn )
an + 2bn
=
.
3
1. Montrer que ces deux suites sont adjacentes.
2. En calculant
Exercice 577
converge vers
0
Exercice 578
Exercice 579
Montrer que
an + bn ,
Soit
(un )
ε
(un )n∈N
On
Montrer que
puis séparer la somme en deux et enn choisir
Déterminer les limites de
nln(n)
lnn (n)
√
n
et
N ...
(xn )
).
n2 .
une suite réelle dont tous les termes sont non nuls et telle que :
un+1 = 0.
lim
n→∞ un lim un = 0.
Exercice 580
0.
une suite qui tend vers
( on pourra xer
Soit
a0 + b 0
.
2
P
1 n−1
uk .
pose xn =
n k=0
montrer qu'elles convergent vers
n→∞
Exercice 581
Étudier la suite dénie par récurrence :
u0 = a > 0, un+1 =
∀n ∈ N∗ , un =
on suppose que
n
Y
(1 +
k=1
(un )n∈N∗
dénie
(un )n∈N
dénie
k
).
n2
Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite
par :
Exercice 583
Exercice 584
Exercice 585
Exercice 586
1 + un .
Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite
par :
Exercice 582
√
n
X
1
.
∀n ∈ N, un =
Cnk
k=0
Soit
φ:N→N
bijective, telle que
Soit
φ:N→N
injective ; montrer que
lim
n→∞
φ(n)
n
= `.
Calculer
`.
lim φ(n) = +∞.
n→∞
(un )n∈N une suite bornée. On pose vn = un+1 − un et wn = vn+1 − vn ,
(wn )n∈N converge. Montrer que lim wn = 0, puis que lim vn = 0.
Soit
n→∞
Soit
(un )n∈N
n→∞
` et φ une bijection
lim uφ(n) = `.
une suite réelle convergeant vers
(pas nécessairement strictement croissante !). Montrer que
et
n→∞
de
N
sur
N.
10 Suites
68
Exercice 587
Soient
(un )n∈N
et
(vn )n∈N
deux suites réelles telles que :
lim un + vn = lim un vn = 0.
n→∞
n→∞
Montrer que
lim vn = lim un = 0.
Exercice 588
n→∞
Soient
(un )n∈N
et
n→∞
(vn )n∈N
deux suites réelles telles que :
lim un = lim vn = +∞, lim un+1 − un = 0.
n→∞
n→∞
n→∞
Montrer que
E = {un − vm |(n, m) ∈ N2 }
est dense dans
Exercice 589
R.
Soient
(un )n∈N
et
(vn )n∈N
deux suites à valeurs dans
[0, 1]
telles que :
lim un vn = 1.
n→∞
Montrer que :
Exercice 590
Étudier la suite
lim un = lim vn = 1.
n→∞
Soient
(un )n∈N
(wn )n∈N
et
(vn )n∈N
n→∞
deux suites convergeant respectivement vers
dénie par :
n
Exercice 591
1X
uk vn−k .
∀n ∈ N, wn =
n k=0
Soit
(un )n∈N
une suite bornée telle que :
lim (un +
n→∞
Que dire de
u2n
) = 1.
2
(un )n∈N ?
Exercice 592
Soit
f :C→C
dénie par :
∀z ∈ C, f (z) =
z + |z|
.
2
Étudier la suite dénie par :
z0 ∈ C, ∀n ∈ N, zn+1 = f (zn ).
Indication
: on écrira
zn = ρn eiφn ,où (ρn , φn ) ∈ R+∗ ×] − π, π[
n
φ Y
φ
sin φ = 2 sin n
cos i .
2 i=1
2
n
et on utilisera :
`
et
L.
10 Suites
69
10.5 Équivalents
Exercice 593
Exercice 594
(un ) ∼ (vn ) alors (eun ) ∼ (evn ). Donner
Que penser-vous de l'énoncé suivant : si
un énoncé correct.
2. Soit
a
∀n ∈ N un 6= 0 et
a n
) .
limite de (1 +
n
1. Montrer que si
un réel. Déterminer la
Exercice 595
si
(un ) → 0
alors
ln(1 + un ) ∼ un .
Comparer les suites suivantes :
Exercice 596
Exercice 597
u
Exercice 598
an = nn ,
Soient
bn = nln(n) ,
(un )n∈N
Montrer qu'il existe une suite
qu'on n'ait ni
= o(vn ),
Étude de
ni
dn = (ln n)n ln n
et (vn )n∈N deux suites réelles de limite +∞ telles que un = o(vn ).
(wn )n∈N de limite +∞ telle que un = o(wn ) et wn = o(vn ).
Donner un exemple de suites
n
2
cn = en ,
(un )n∈N
et
(vn )n∈N
telles que
un = O(vn )
mais
vn = O(un ).
(un )n∈N
dénie par :
u0 ∈ [0, 1], un+1 = u2n .
Donner un équivalent de
Exercice 599
un
quand
n → ∞.
Montrer la réciproque du théorème de Césaro (i.e.
1. dans le cas où
lim vn = l
n→∞
lim un = l)
n→∞
:
et
1
un+1 − un = O( ),
n
2. dans le cas où
Exercice 600
utilisant
vn =
(un )n∈N
est croissante.
Étudier la suite
(un )n∈N
dénie par
u2n
, donner un équivalent de
4
on en déduira un équivalent de
Exercice 601
Soit
(un )n∈N
vn
puis de
u0 = 1
un . Indication
un .
et
∀n ∈ N un+1 = un +
: on montrera que
2
. En
un
lim vn+1 − vn = 1,
n→∞
un+1 = un + u2n . L'étudier et, en utilisant
u0 ∈] − 1; 0]. Que dire dans le cas u0 ∈]0; ∞[ ?
la suite dénie par
1
, en donner un équivalent dans le cas
un
ln(un )
(On étudiera vn =
.)
2n
vn =
Exercice 602
Soient f et g deux formes linéaires sur un espace vectoriel E telles que f g = 0.
xn
f = 0 ou g = 0. Étudier la suite (xn )n∈N dénie par x0 = 1, xn+1 = 1+nx
2 . En
n
1
1
yn = xn+1 − xn , en donner un équivalent.
Montrer que
étudiant
Exercice 603
Étudier la suite
(un )n∈N
dénie par :
π
u0 ∈]0, [, un+1 = sin un .
2
Donner
limx→0
Exercice 604
équivalent de
1
de .
n
1
sin2 x
−
1
1
,(réponse : ) en déduire un équivalent de
x2
3
Montrer que
xn
∀n ∈ N∗ , ∃!xn ∈ [n, n + 1[
donc de
un .
x − E(x) = x12 . Donner un
xn − n à l'ordre 5 en fonction
solution de
puis faire un développement asymptotique de
u−2
n
11 Limites de fonctions
Exercice 605
70
Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite
(un )n∈N∗
dénie
par :
∀n ∈ N∗ , un = 1 +
1
1
1
1
+ ... + −
− ... − 2 .
2
n n+1
n
On montrera préalablement que :
1+
quand
1
1
+ ... + = ln n + γ + o(1)
2
n
n → ∞.
11 Limites de fonctions
Exercice 606
11.1 Théorie
Écrire les dénitions des limites suivantes :
limx→−∞ f (x) = l, l ∈ R ; limx→−∞ f (x) =
+∞ ; limx→x0 f (x) = −∞, x0 ∈ R.
(On précisera sur quel type d'intervalle la fonction
Exercice 607
Soit
f
|f |
doit être dénie.)
une fonction dénie sur un intervalle
On suppose que limx→x0
u
alors |f (x)| > .
2
Exercice 608
f
f (x) = u > 0.
I
Démontrer qu'il existe
Montrer que si une fonction
f
dénie sur
contenant
t>0
E ⊂ R
3.
0 < |x − x0 | < t
est continue en
est, elle aussi, continue en
Exercice 609
2.
dans son intérieur.
tel que si
x0 . Montrer que la réciproque est
√
√
1+x− 1−x
1. Démontrer que lim
= 1.
x→0
x√
√
1 + xm − 1 − xm
Soient m, n des entiers positifs. Étudier lim
.
x→0
xn
1 √
1
Démontrer que lim
( 1 + x + x2 − 1) = .
x→0 x
2
fonction
x0
x0
alors la
fausse.
[Exercice corrigé]
Exercice 610
(x)
f une fonction de variable réelle telle que f|x|
→ ∞ quand x → ∞. Montrer
que pour tout réel α il existe Xα tel que f (x) − |αx| > |x| si |x| > Xα . En déduire que pour
tout α réel f (x) − αx → ∞ quand x → ∞.
Exercice 611
Soit
Soient
f
et
g
deux fonctions dénies sur
∀x ∈ R+ g(x) > 0
et
R+
telles que
f (x)
= L 6= 0.
x→∞ g(x)
lim
1. Montrer que
lim f (x) = 0 ⇔ lim g(x) = 0.
x→∞
2. Montrer que si
Exercice 612
x→∞
L > 0,
lim f (x) = ∞ ⇔ lim g(x) = ∞.
x→∞
x→∞
1. Montrer que toute fonction périodique et non constante n'admet pas de limite en
2. Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une limite nie en
[Exercice corrigé]
+∞.
+∞.
11 Limites de fonctions
Exercice 613
Soit
I
71
une limite à gauche en
en
x0
R et x0 ∈ I. Soient f et g deux fonctions de la variable
I˙ := I − {x0 }. Montrer que si f admet une limite à droite et
de plus ces deux limites coïncident, alors f admet une limite
un intervalle de
réelle à valeurs réelles dénies sur
x0
et que
dont la valeur est la valeur commune des limites à droite et à gauche.
Exercice 614
Soient
P
et
Q
deux polynômes à coecients réels de degré respectif
0
Etudier suivant les valeurs de d et d , et éventuellement de certains des coecients de
d
P
et
et
d0 .
Q,
lim P (x)/Q(x).
Exercice 615
x→+∞
Soit
f (x)
= 0.
x→+∞ x
lim
f : R+ → R+
croissante telle que
(on pourra utiliser des
ε,
lim f (x + 1) − f (x) = 0.
x→+∞
Montrer que
sommer des inégalités et utiliser la monotonie de
f
pour montrer qu'elle est bornée sur un segment).
Comment généraliser ce résultat ?
Exercice 616
11.2 Calculs
Calculer lorsqu'elles existent les limites suivantes
a) limx→0
x2 +2 |x|
x
b) limx→−∞
d) limx→Π
sin2 x
1+cos x
e) limx→0
g) limx→0
√
3
1+x2 −1
x2
√
h) limx→1
x2 +2 |x|
x
c) limx→2
√
1+x− 1+x2
x
x2 −4
x2 −3 x+2
f ) limx→+∞
√
x+5−
√
x−3
x−1
xn −1
[Exercice corrigé]
Exercice 617
0<ε<1
1. Montrer que pour tout
|x − 1| <
et pour
x ∈ R,
on a :
ε
⇒ |x2 + x − 2| < ε.
4
2. En déduire :
Exercice 618
(x, y)
lim x2 + x − 1
x→1
et
lim (x2 + x − 2) cos x.
x→1
a ∈ R+∗ , et
[a, ∞[, on a :
1. Montrer que pour tout
appartenant à
] − ∞, −a]
ou à
pour tout couple de nombres réels
1 1
1
| − | 6 2 |x − y|.
x y
a
2. En déduire que pour tout
x 0 ∈ R∗
et pour tout
ε>0
il existe
α>0
tel que :
1
1
|x − x0 | < α ⇒ | − | < ε.
x x0
3. En déduire que la fonction
Exercice 619
1. Pour tout
x 7→
1
est continue en tout point de
x
R∗ .
n entier naturel et tout couple de réels (x, y), établir la formule :
n
n
x − y = (x − y).
n−1
X
k=0
xk y n−1−k .
11 Limites de fonctions
72
2. Déduire de la question précédente que pour tout entier
et tout couple de réels
(x, y)
tel que
|x| 6 a
et
n
tout réel strictement positif
a
|y| 6 a,
|xn − y n | 6 nan−1 |x − y|.
x0 ∈ R,
3. Déduire de ce qui précède que pour tout
ε > 0,
et pour tout
il existe
α>0
tel
que :
|x − x0 | < α ⇒ |xn − xn0 | < ε.
Conclure.
D
4. Sur quel sous ensemble
de
R,
la fonction de la variable réelle
f
Exercice 620
donnée par
1 − xn
1−x
f (x) :=
est-elle dénie ? Calculer les limites de
f
aux bornes de
D.
ε>0
1. Rappeler que pour tout nombre réels
il existe un entier
n
tel que :
1
< ε
2nπ
1
< ε.
(2n + 1)π
2. Montrer que pour tout nombre réel
l,
et pour tout
| sin
x 7→ sin x1
3. En déduire que la fonction
4. Montrer que la fonction dénie par
sur
ε > 0,
il existe
x ∈] − ε, ε[
1
1
− l| > .
x
2
n'a pas de limite lorsque
f (x) = x sin( x1 )
pour
x
x 6= 0
tend vers
et
Déterminer les limites suivantes :
a)
lim
√
x→+∞
1
2
− 2
x→1 x − 1
x −1
√
2x + 1 − 3
√
d)
lim √
x→4
x−2− 2
√
f)
lim x( 1 + x2 − x)
x2 + 1 − x
b)
r
Exercice 622
e)
r
1
1
c)
lim+ 1 + −
x→0
x
x
√
√
lim
x2 + 1 − x2 − 1
x→+∞
On rappelle les limites :
limx→0
lim
x→−∞
sin x
x
=1
et
limx→0
1−cos x
x2
Calculer les limites suivantes :
a)
c)
Exercice 623
e)
lim+
x→0
√
1
x. sin √
x
x sin x
x→0 1 − cos x
tan x
lim x 2
x→0 cos x − 1
lim
b)
d)
f)
sin 2x
x→0 sin 3x
lim
sin x − sin 2x
x→0
x2
tan x − sin x
lim
x→0
sin3 ( x2 )
lim
Déterminer les limites suivantes, en justiant vos calculs.
0.
f (0) = 0
R.
Exercice 621
tel que :
= 12 .
est continue
11 Limites de fonctions
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
73
x+2
x→0 x2 ln x
√
lim+ 2x ln(x + x)
lim+
x→0
x3 − 2x2 + 3
x→+∞
x ln x
√
x+1
e
lim
x→+∞ x + 2
ln(3x + 1)
lim+
x→0
2x
x
x −1
lim+
x→0 ln(x + 1)
x3 + 4 2
lim
ln
x→−∞ x + 1
1 − x2
lim + (x2 − 1) ln(7x3 + 4x2 + 3)
lim
x→(−1)
9.
10.
11.
lim (x − 2)2 ln(x3 − 8)
x→2+
x(xx − 1)
x→0 ln(x + 1)
lim (x ln x − x ln(x + 2))
lim+
x→+∞
2
12.
13.
14.
15.
16.
17.
ex − ex
lim
x→+∞ x2 − x
lim (1 + x)ln x
x→0+
x + 1 x
lim
x→+∞ x − 3
x3 + 5 x+1
x2 +1
lim
2
x→+∞ x + 2
1
ex + 1 x+1
lim
x→+∞
x+2
1
lim+ ln(1 + x) ln x
x→0
x−1
18.
19.
20.
x(x )
x
x→+∞ x(x )
(x + 1)x
lim
x→+∞
xx+1
p
x ln(x2 + 1)
lim
x→+∞
1 + ex−3
lim
[Exercice corrigé]
Exercice 624
Soient
a, b
des réels positifs.
x b
b
lim+ E( ) =
x→0 a
x
a
E(x)
;
désigne la partie entière de
b x
lim+ E( ) = 0.
x→0 x
a
x.
Montrer que :
11 Limites de fonctions
Exercice 625
74
Calculer les limites suivantes :
x−1
x m − am
(x + h)n − xn
∗
;
lim
(a
>
0,
m,
p
∈
N
);
lim
(x ∈ R, n ∈ N∗ )
x→1 xn − 1 x→a xp − ap
h→0
h
r
r
√
1
cos x + sin x
x−x
1
.
+1−
− 1); limπ
; lim+ √
lim+ (
x→− 4
x→0
x→0
x
x
4x + π
x+x
lim
Exercice 626
En utilisant la dénition d'une limite, montrer que :
a) lim2 (3x + 2) sin
Exercice 627
x→− 3
1
3x + 2
=0;
b) lim+
x→0
2
1
1 + e− x
d) lim
x→+∞
p
1
b) lim xE( ) ;
x→+∞
x
√
√
x+ x+ x
√
;
x+1
c) lim+
√
x→0
1
xE( ) ;
x
√
√
e) lim ( x + 5 − x − 3).
x→+∞
Calculer, lorsqu'elles existent, les limites suivantes :
xn+1 − αn+1
,
x→α
xn − α n
lim
tan x − sin x
,
sin x(cos 2x − cos x)
r
q
√
√
lim
x + x + x − x,
lim
x→0
x→+∞
√
√
x− α− x−α
√
,
x2 − α 2
1
lim xE
,
x→0
x
√
lim
x→α+
ex − e2
,
x→2 x2 + x − 6
lim
x4
,
x→+∞ 1 + xα sin2 x
lim
en fonction de
α ∈ R.
[Exercice corrigé]
Exercice 629
= 2.
Calculer les limites suivantes :
1
a) lim+ xE( ) ;
x→0
x
Exercice 628
Déterminer les limites suivantes :
x
2 + sin( x1 )
en
x3 − 3x2 + 5x − 3
4x4 + x2 + x − 6
√
√
1 + sin x − 1 − sin x
x
0
en
1
en
0
11 Limites de fonctions
75
tan x
+4+x−2
1 − cos x
x2
1 − sin x + cos x
sin x + cos x − 1
tan(x + π4 ) − 1
√
3 − 2 cos(x + π6 )
√
Exercice 630
Exercice 631
en
x2
1
f (x) = e x
Étudier les asymptotes de
0
0
en
en
π
2
0
en
p
x(x + 2).
Montrer que
2
ln(x)
<
α
x
αxα/2
où
α > 0.
En déduire que
Exercice 632
ln(x)
= 0, α > 0.
x→+∞ xα
lim
Calculer les limites suivantes :
lim
a)
x→0
d)
g)
lim
lim
x→0
b)
1 − cos x
x2
ax − b x
a, b > 0
x
Exercice 633
x→0
x2 + 2|x|
x
x→1
lim
e)
h)
x7 − 1
x6 − 1
lim
x→0
lim
x→0
c)
x sin x
1 − cos x
lim
x→1
f)
e−ax − e−bx
x
i)
xn − 1
n, m ∈ N∗
xm − 1
ln(1 + x3 )
x→0
x
√
√
√
x− α+ x−α
√
lim
.
x→α+
x2 − α 2
lim
Calculer :
1
1
x
, lim+ x ln(ex −1) .
1
x→0 2 + sin
x→0
x
lim ln(1 + e−x ) x , lim
Exercice 634
x→∞
Calculer :
lim
x→0+
1
1
−
(sin x)2 (sinh x)2
.
[Exercice corrigé]
Exercice 635
Calculer :
x
,
x→0 2 + sin 1
x
1
lim (ln(1 + e−x )) x , lim
x→∞
[Exercice corrigé]
Exercice 636
Trouver :
[Exercice corrigé]
Exercice 637
Trouver pour
x
xx ln x
lim+ x
x→0 x − 1
(a, b) ∈ (R+∗ )2
lim
x→∞
[Exercice corrigé]
:
ax + b x
2
x1
.
1
lim+ x ln(ex −1) .
x→0
12 Continuité et étude de fonctions
Exercice 638
76
(a, b) ∈ (R+∗ )2
Trouver pour
lim
x→0+
:
ax + b x
2
x1
.
[Exercice corrigé]
12 Continuité et étude de fonctions
12.1 Continuité : théorie
Exercice 639 (Partiel Novembre 96)
1. Soit
Soit
I
un intervalle ouvert de
R, f
et
g deux fonctions
I.
dénies sur
a ∈ I.
Donner une raison pour laquelle :
lim f (x) = f (a) ⇒ lim |f (x)| = |f (a)| .
x→a
x→a
f et g sont continues sur I . En utilisant l'implication démontrée ci-dessus,
Sup(f, g) = 21 (f +g +|f −g|), et les propriétés des fonctions continues, montrer
fonction Sup (f, g) est continue sur I .
2. On suppose que
la relation
que la
[Exercice corrigé]
Exercice 640
[a, b]
on ait :
f une fonction de [a, b]
|f (x) − f (x0 )| < |x − x0 |.
Soit
1. Montrer que
f
est continue sur
2. Montrer que l'équation
introduire la fonction :
Exercice 641
dans
[a, b]
telle que pour tout
x
et
x0 (x 6= x0 )
[a, b].
f (x) = x admet une et
x 7→ g(x) = f (x) − x).
une seule solution dans
[a, b].
(On pourra
f une fonction continue sur ]a, b[ telle que f (]a, b[) ⊂ [a, b].
de φ(x) = f (x) − x, qu'il existe c dans [a, b] tel que f (c) = c.
1. Soit
par considération
de
2. Soit f une fonction continue sur
[0, 12 ] tel que f (c) = f (c + 12 ).
[0, 1]
telle que
f (0) = f (1).
3. Un mobile parcours, à vitesse continue, une distance
d
Montrer,
Montrer qu'il existe
c
dans
en une unité de temps. Montrer
qu'il existe un intervalle d'une demi-unité de temps pendant lequel il parcourt une distance
d
.
2
Exercice 642
la fonction
f : [a, b] −→ R une fonction continue telle que f (a) = f (b).
) − f (t) s'annule en au moins un point de [a, a+b
].
g(t) = f (t + b−a
2
2
Soit
Montrer que
Application : une personne parcourt 4 km en 1 heure. Montrer qu'il existe un intervalle de 30
mn pendant lequel elle parcourt exactement 2 km.
[Exercice corrigé]
Exercice 643
Soit
f :R→R
continue telle que
lim f = −∞
−∞
s'annule. Appliquer ceci aux polynômes de degré impair.
et
lim f = +∞.
+∞
Montrer que
[Exercice corrigé]
Exercice 644
Soit
f : R → R+
1. Montrer qu'il existe
2. Montrer que
f
a>0
continue telle que
tel que si
|x| > a
f (0) = 1, lim f = 0
alors
−∞
f (x) 6
est bornée et possède un maximum.
1
.
2
et
lim f = 0.
+∞
f
12 Continuité et étude de fonctions
Exercice 645
Montrer que
I un intervalle
f = 1 ou f = −1.
Soient
de
77
R
et
f :I→R
continue telle que
∀x ∈ I, f (x)2 = 1.
[Exercice corrigé]
Exercice 646
Soit
f : R+ → R
continue admettant une limite nie en
+∞.
Montrer que
f
est bornée. Atteint-elle ses bornes ?
[Exercice corrigé]
Exercice 647
m>0
Exercice 648
f
Exercice 649
Exercice 650
Exercice 651
Soient
qu'il existe
Soit
que
f
f
g continues sur [0, 1] telles
∀x ∈ [0, 1] f (x) + m < g(x).
et
tel que
[a, b]
croissante sur
∀x ∈ [0, 1] f (x) < g(x).
que
et prenant toute valeur entre
f (a)
et
f (b).
Montrer
Montrer
est continue.
Soit
f :R→R
Soit
f
continue en
0
telle que
∀x ∈ R, f (x) = f (2x).
Montrer que
f
est constante.
périodique croissante. Que dire de
f?
Donner un exemple de fonction continue sur
[0, 1]
non lipschitzienne, puis de
fonction continue en un seul point, puis de fonction discontinue sur les rationnels et continue
f (x) ∈ R \ Q si x ∈ R \ Q ou si x = 0,
∀x ∈ R, lim f (x + h) − f (x − h) = 0 est-elle
sur les irrationnels, enn de fonction continue telle que
et
f (x) ∈ Q
continue sur
si
x ∈ Q \ {0}.
R?
Exercice 652
Exercice 653
Une fonction telle que
h→0
[0, 1] sur [0, 1] discontinue en tout point.
√
1 et 2 pour périodes. Que dire de f ?
Donner un exemple de bijection de
Soit
f
Soit
f : [0, 1] → [0, 1]
continue sur
admettant
R
croissante, montrer qu'elle a un point xe.
Indication
:
étudier
E = {x ∈ [0, 1]|∀t ∈ [0, x], f (t) > t}.
[Exercice corrigé]
Exercice 654
f
Exercice 655
f : R+∗ → R
R+∗ .
Soit
est continue sur
Soit
f : R+∗ → R
croissante telle que
x→
f (x)
soit décroissante ; montrer que
x
une fonction vériant :
∀x ∈ R+∗ , f (x)ef (x) = x.
Donner les variations de
Exercice 656
Exercice 657
Soit
f
puis comparer
f : R+ → R
f
et
ln
au voisinage de
croissante. Construire
Donner un exemple d'application
+∞.
g : R+ → R
f :R→R
continue telle que
f 6 g.
non constante telle que :
∀x ∈ R, f (x) = f (x2 ).
On suppose
f
Exercice 658
continue en
Soit
0
et en
1,
f : [0, 1] → [0, 1]
montrer que
f
est constante.
continue. Montrer que :
∀n ∈ N∗ , ∃an ∈ [0, 1], f (an ) = ann .
On suppose
f
Exercice 659
strictement décroissante. Montrer que
an
Existe-t-il une bijection continue de
[0, 1[
est unique et étudier la suite
sur
R?
(an )n∈N∗ .
12 Continuité et étude de fonctions
Exercice 660
78
f : [0, 1] → [0, 1] continue telle que f 2 = f (∗).
[0, 1]|f (x) = x}. Montrer que Ef 6= ∅ puis que c'est un intervalle de R.
Trouver toutes les solutions de (∗).
Soit
On note
Ef = {x ∈
[Exercice corrigé]
Exercice 661
Exercice 662
Soit
f : [0, 1] → R
continue, évaluer :
n
X
k
lim
(−1) f
.
n→∞
n
k=1
k
Une fonction qui vérie la propriété des valeurs intermédiaires est-elle nécessai-
rement continue ?
[Exercice corrigé]
Exercice 663 f
n → ∞.
lim f (x) = 0.
Exercice 664 f ∈ C(R , R)
R .
Exercice 665 f
[a, b]
Soit
uniformément continue sur
vers 0 quand
Montrer
Soit
Soit
Exercice 666
telle que
∀x > 0, la suite (f (xn))n∈N
tend
x→∞
+
uniformément continue sur
R+
admettant une limite nie en
+∞,
montrer qu'alors
f
est
+
continue sur
, montrer :
∀ε > 0, ∃k ∈ R, ∀(x, y) ∈ [a, b]2 , |f (x) − f (y)| 6 k |x − y| + ε.
Soit
(f, g) ∈ C([0, 1], [0, 1])2 ,
tel que :
f g = gf.
On veut montrer que
f −g
s'annulle par deux méthodes :
(f − g)([0, 1]) est un segment ne contenant pas 0.
f − g > 0 par exemple, min{x ∈ [0, 1]|f (x) = x}.
remplace [0, 1] par R ?
par l'absurde, utiliser le fait que
par l'absurde, en examinant, si
Le résultat subsiste-t-il si l'on
Exercice 667
Exercice 668
Exercice 669
Soit
f : [0, 1] → R
Soit
f
f (0) = f (1). Montrer
1
1
∗
∀n ∈ N , ∃xn ∈ 0, 1 −
, f xn +
= f (xn ) .
n
n
continue, telle que
continue de
R
dans
R,
montrer que :
que :
lim |f (x)| = +∞ ⇔
|x|→∞
l'image
réciproque de toute partie bornée est bornée.
Soit
f : [a, b] → R
une fonction continue. On veut démontrer que
sup f (x) = sup f (x).
a<x<b
a6x6b
1. Montrer que
sup f (x) 6 sup f (x).
a<x<b
a6x6b
supa6x6b f (x) est un majorant de f sur ]a, b[.
Soit x0 ∈ [a, b] tel que f (x0 ) = supa6x6b f (x). Montrer que f (x0 ) = supa<x<b f (x) en
distinguant les trois cas : x0 = a, x0 = b, x0 ∈]a, b[. Indication : Dans le cas x0 = a, par
exemple, on pourra considérer la suite de réels an = a + 1/n et étudier la suite (f (an )).
Soit g : [0, 1] → R la fonction dénie par g(x) = 0 si x ∈ [0, 1[ et g(x) = 1 si x = 1.
Pour cela, on pourra montrer que
2.
3.
Montrer que
sup g(x) 6= sup g(x).
0<x<1
06x61
Quelle hypothèse est essentielle dans la propriété démontrée auparavant ?
[Exercice corrigé]
12 Continuité et étude de fonctions
Exercice 670
Pour tout
79
12.2 Continuité : pratique
f : R \ {1/3} → R telle que f (x) = 23 x+3
.
x−1
ε > 0 déterminer α tel que, ( x 6= 1/3 et |x| 6 α) ⇒ |f (x) + 3| 6 ε.
Soit
Que peut-on en conclure ?
Exercice 671
Soit
f
la fonction réelle à valeurs réelles, strictement croissante dénie par

 x
x2
f (x) =
 √
8 x
1. Tracer le graphe de
2.
f
si
si
si
x<1
16x64
x>4
f.
est elle continue ?
3. Donner la formule dénissant
Exercice 672
(sin x)/x
si
f −1 .
Etudier la continuité de
x 6= 0
[Exercice corrigé]
Exercice 673
et
f (x) =
f (0) = 1.
f
f (x) = 1
R.
si
x∈Q
et
f (x) = 0
sinon.
n'admet pas de limite en tout point de
2. Soit la fonction réelle dénie par
Rf
la fonction réelle à valeurs réelles dénie par
1. Soit la fonction réelle dénie par
Montrer que
de
f
f (x) = x si x ∈ Q et f (x) = 1 − x sinon. En quels points
est elle continue ?
Exercice 674
On admet que pour tout
1. Montrer que
x 7→ sin x
2. En déduire que
Exercice 675
6= 0,
f1 (x) =
2.
f2 (x) =
3.
f3 (x) = xE(x) ;
4.
f4 (x) = E(x) sin(πx).
Exercice 676
Exercice 677
et
x 6= 0,
R
et
R.
f2 (0) = 0 ;
f :R→R
y ∈ ] − 1, 1[
x
est strictement
1 + |x|
x ∈ R tel que f (x) = y .
dénie par
il existe un unique
f (x) =
Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur
c) f (x) =
[Exercice corrigé]
Étudier la continuité sur
1.
f (x) = E(x) sin(x),
2.
g(x) = E(x) sin(πx).
Exercice 679
tout entier.
des fonctions suivantes :
1
a) f (x) = sin x sin( ) ;
x
Exercice 678
R
f1 (0) = 0 ;
Montrer que l'application
croissante puis que pour tout
puis sur
est continue sur
Etudier la continuité sur
1.
0
est continue en
x 7→ cos x
x2 cos x1 si x
sin x sin x1 si
x ∈ R, | sin x| 6 |x|.
Etudier la continuité de
R
b) f (x) =
1 ex + e−x
ln
;
x
2
1
2
−
.
1 − x 1 − x2
des fonctions suivantes :
R?
12 Continuité et étude de fonctions
1.
2.
80
p
x − E(x).
p
g(x) = E(x) + x − E(x).
f (x) = x +
Exercice 680
Soit
f :R→R
continue en
0
telle que
∀x ∈ R f (x) = f (2x).
Montrer que
f
est constante.
[Exercice corrigé]
Exercice 681
Exercice 682
1
est-elle lipschitzienne sur ]0, +∞[ ? sur [1, +∞[ ?
x
Soit f : [0, 1] −→ R dénie par f (0) = 0, f (x) = 1/2 − x si x ∈]0, 1/2[,
f (1/2) = 1/2, f (x) = 3/2 − x si x ∈]1/2, 1[ et f (1) = 1.
1. Tracer le graphe de f . Étudier sa continuité.
2. Démontrer que f est une bijection de [0, 1] sur [0, 1].
1
3. Démontrer que pour tout x ∈ [0, 1], on a f (x) =
− x + 12 E(2x) − 12 E(1 − 2x).
2
Exercice 683
1.
2.
3.
4.
La fonction
Étudier la continuité des fonctions suivantes :
f1 (x) = x cos x1 si x 6= 0
f1 (0) = 0 ;
1
f2 (x) = sin x sin x si x 6= 0
f2 (0) = 0 ;
f3 (x) = xE(x) sur R ;
f4 (x) = [x − E(x)]2 et f5 (x) = E(x) + f4 (x).
Exercice 684
10
Exercice 685
2
u0 ∈ R et un+1 = cos(un ), déterminer une valeur approchée
à
près de l'unique réel solution de cos(x) = x.
p
x − E(x), où E désigne la partie entière.
Soit f dénie par f (x) = E(x) +
Donner le domaine de dénition de f, puis une relation entre f (x + 1) et f (x). f est-elle
monotone ? f est-elle k−lipschitzienne sur [a, 1](a > 0) ? Et sur [0, 1] ? Étudier la continuité de
f sur [0, 1] en utilisant la dénition. Déduisez en la continuité sur R.
En étudiant la suite
−5
Exercice 686
12.3 Étude de fonctions
Déterminer les domaines de dénition des fonctions suivantes
f (x) =
r
[Exercice corrigé]
Exercice 687
Exercice 688
Exercice 689
2 + 3x
;
5 − 2x
g(x) =
√
x2 − 2 x − 5 ;
h(x) = ln (4 x + 3)
x7 − 3 x2 + 4 x − 1 = 0 admet au moins une
29
question pour l'équation x
+ 14 x17 − 7 x5 + 2 = 0.
Montrer que l'équation
dans l'intervalle
] − 1, 1[.
Soient
Même
n ∈ N∗
intermédiaires que le polynôme
d ∈ R+ . Démontrer en
P (X) = X n − d a au moins
et
solution
utilisant le théorème des valeurs
une racine dans
R.
1
En étudiant les variations de la fonction f dénie sur ]0, +∞[ par f (x) = x x ,
∗
trouver le plus grand élément de l'ensemble f (N ).
√
√
∗
n
En déduire que quels soient m et n appartenant à N , l'un des nombres
m, m n est inférieur
ou égal à
√
3
3.
Exercice 690 (Partiel Novembre 96)
Soit
f : x ∈ R 7→ f (x) =
f est majorée
Sup x∈R f (x).
Montrer que
Déterminer
[Exercice corrigé]
sur
R,
minorée sur
R.
cos x
.
1 + x2
12 Continuité et étude de fonctions
Exercice 691
f
que
81
f : [−1, +∞[→ R,
1. Soit la fonction
dénie par
f (x) =
√
1
. Montrer
x2 +2x+2
admet une réciproque que l'on explicitera.
2. Trouver un intervalle de
R
sur lequel la fonction
g(x) = tan(x3 )
admette une fonction
réciproque (on précisera alors le domaine de dénition de cette réciproque et son image).
Exercice 692
Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas des polynômes :
x → ex , x → ln x, x →
√
x2 + 1, x → cos x.
12.4 Fonctions continues par morceaux
Exercice 693
Soit
g : [a, b] → R
une fonction telle que :
∀ε > 0, ∃φ ∈ CM ([a, b], R) , ∀x ∈ [a, b], |g(x) − φ(x)| < ε.
φ ∈ E ([a, b], R),
Montrer que l'on peut choisir
ie :
∀ε > 0, ∃φ ∈ E ([a, b], R) , ∀x ∈ [a, b], |g(x) − φ(x)| < ε.
NB : CM pour continue par morceaux et E pour escalier.
Exercice 694
Exercice 695
ε
Donner un exemple de fonction qu'on ne puisse approcher à
près par des
fonctions en escaliers.
On dit qu'un ensemble
est dense dans un ensemble
B
A
de fonctions dénies sur un intervalle
I = [a, b]
de
R
si :
∀f ∈ B, ∀ε > 0, ∃g ∈ A, ∀x ∈ I, |f (x) − g(x)| < ε.
Le cours dit par exemple que l'ensemble des fonctions en escaliers est dense dans l'ensemble des
fonctions continues par morceaux si
I = [a, b].
Montrer que l'ensemble des fonctions continues
anes par morceaux est dense dans l'ensemble des fonctions continues sur un intervalle
I =
[a, b].
Exercice 696
mément vers
On dit qu'une suite
f
(fn )n∈N
de fonctions dénies sur
I = [a, b]
converge unifor-
si :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, ∀x ∈ I, |fn (x) − f (x)| < ε.
On suppose que
fn
(fn )n∈N
converge uniformément vers
sont continues. Montrer que
limite. Montrer que
f
la suite
de rapport
k;
la suite
est bornée et continue.
On ne suppose plus que
[a, b],
∀x ∈ [a, b],
f sur l'intervalle [a, b], et que toutes les
(fn (x))n∈N est convergente, et donner sa
(fn )n
(fn (x))n∈N
converge uniformément mais seulement point par point (ie,
est convergente vers
montrer que
f
Exercice 697 f : [a, b] → R
f (x)) ;
de plus toutes les
est lipschitzienne de rapport
k
fn
∀x ∈
sont lipschitziennes
et qu'il y a converge uniforme.
est à variation bornée si et seulement si :
+
∃µ ∈ R , ∀d = {a = x0 , x1 , ..., xn = b}
subdivision de
[a, b],
n
X
|f (xi ) − f (xi−1 )| = σ(d) 6 µ.
i=1
On appelle alors
V (a, x).
V (a, b) =
sup
d subdivision
σ(d)
et on dénit une fonction de
[a, b]
dans
R+ : x →
x → V (a, x) est croissante
x → V (a, x) − f (x). En déduire que toute fonction à variation bornée est la diérence
Montrer que toute fonction monotone est à variation bornée puis que
ainsi que
de deux fonctions croissantes (d'où la nature de ses discontinuités). Une fonction continue, une
fonction lipschitzienne sont-elles à variation bornée ?
13 Dérivabilité
82
13 Dérivabilité
Exercice 698
13.1 Calculs
Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :
f1 (x) = x2 cos
1
x
f2 (x) = sin x sin
si
f1 (0) = 0;
x 6= 0
si
f2 (0) = 0;
x 6= 1
f3 (1) = 1.
a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f dénie
√
f (x) = x si 0 6 x 6 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 sinon
Déterminer
soit dérivable sur
[Exercice corrigé]
Exercice 700
1
x
√
|x| x2 − 2x + 1
f3 (x) =
x−1
[Exercice corrigé]
Exercice 699
x 6= 0
si
sur
R+
par :
R∗+ .
Soit
f : R∗ −→ R
f (x) = x2 sin
dénie par
1
.
x
Montrer que
par continuité en 0 ; on note encore f la fonction prolongée. Montrer que
0
mais que f n'est pas continue en 0.
f
f
est prolongeable
est dérivable sur
R
[Exercice corrigé]
Exercice 701
Calculer la fonction dérivée d'ordre
n
g(x) = sin2 x ;
f (x) = sin x ;
des fonctions
f, g, h
dénies par :
h(x) = sin3 x + cos3 x.
[Exercice corrigé]
Exercice 702
f (x) =
sur l'intervalle
I,
des fonctions :
2x − 5
+ 1)(x − 3)
g(x) = ln(1 + x).
2)2 (x
(x −
Exercice 703 (Formule de Leibnitz)
n
n
Calculer les dérivées d'ordre
montrer par récurrence que la
intervalle est :
(n)
(uv)
u et v des fonctions dérivables à l'ordre
dérivée d'ordre n du produit uv sur cet
Étant données
=
n
X
Cnk u(k) v (n−k) .
k=0
En déduire les dérivées successives des fonctions :
x 7→ x2 ex
Exercice 704
;
x 7→ x2 (1 + x)n
Etudier la dérivabilité sur
f : x 7→ x|x|,
Exercice 705
R
;
x 7→
x2 + 1
(x + 1)2
;
x 7→ xn−1 ln x.
des applications suivantes :
g : x 7→
x
,
1 + |x|
Calculer les dérivées des fonctions :
h :7→
1
.
1 + |x|
13 Dérivabilité
√
83
1 + x2 sin2 x,
1.
x 7→
2.
x 7→ log( 1+sin(x)
),
1−sin(x)
Exercice 706
Soit
f
x 7→
x 7→ (x(x − 2))1/3 .
une fonction dérivable sur
2
x 7→ sin(f (x) )
1. Calculer la dérivée de
2. On suppose
Exercice 707√
1.
exp(1/x)+1
.
exp(1/x)−1
f (x) 6= 0
pour tout
et de
x ∈ R.
x 7→ sin(f (x2 )).
Calculer la dérivée de
0
Prolonger par continuité en
R.
x 7→ log(|f (x)|).
et étudier la dérivabilté de
f (x) =
x ln x.
e −1
g(x) = √ .
x
x
2.


R → R
Soit f :
x 7→ ex si x < 0


x 7→ ax2 + bx + c sinon
a, b, c pour que f soit C 2 (et C 3 ?).
Exercice 708
Déterminer
Exercice 709
∀n ∈ N f
(n)
Soit
f (x) = exp(− x12 )
si
x 6= 0
et
f (0) = 0.
Montrer que
f
est
C∞
et que
(0) = 0.
[Exercice corrigé]
Exercice
710
P
n
Soient
a
b
et
f (x) = (x − a)n (x − b)n .
deux réels et
Calculer
f (n)
et en déduire
(Cnk )2 .
Exercice 711
k=0
Soit
f :R→R
dénie par :
1
∀x 6= 0, f (x) = e− x2 , f (0) = 0.
Montrer que
f ∈ C ∞ (R, R)
Exercice 712
Exercice 713
Exercice 714
et calculer ses dérivées en 0.
2
x → ln cos(π + xx2 −1
).
+1
√
x → cos x est-elle dérivable en 0 ?
Calculer la dérivée de
La fonction
En quels points la fonction
f :R→R
dénie par :
∀x ∈ Q, f (x) = x2 , ∀x ∈ R − Q, f (x) = 0,
est-elle dérivable ?
Exercice 715
13.2 Théorème de Rolle et accroissements nis
Montrer que le polynôme
Pn
Pn (t) =
est un polynôme de degré
[Exercice corrigé]
Exercice 716
5
n
1 − t2
n (n)
dont les racines sont réelles, simples et appartiennent à
Etudier la fonction
x − 5x + 1 = 0
déni par
f : x 7→ x5 − 5x + 1
a trois solutions réelles.
sur
R
[−1, 1].
et en déduire que l'équation
13 Dérivabilité
Exercice 717
84
X n + aX + b (a et b réels) admet au plus trois racines
Montrer que le polynôme
réelles.
[Exercice corrigé]
Exercice 718
Montrer que si
Soit
(n)
f
[Exercice corrigé]
Exercice 719
x +y
Exercice 720
f (a)
Exercice 721
n
n
f
une fonction
est continue,il
n fois dérivable sur ]a, b[ s'annulant en n + 1 points de ]a, b[.
(n)
existe un point x0 de ]a, b[ tel que f
(x0 ) = 0.
y un réel positif et n un entier naturel pair, montrer que (x +y)n =
x = 0. Cas n impair ?
Étant donné
si et seulement si
Soit
f
[a, +∞[ et telle que limx→∞ f (x) =
0
que f (c) = 0.
une fonction continue et dérivable sur
. Montrer qu'il existe un élément
c
dans
]a, +∞[
tel
Dans l'application du théorème des accroissements nis à la fonction
f (x) = ax2 + bx + c
sur l'intervalle
[α, β]
Exercice 722
θ
préciser le nombre
[Exercice corrigé]
de
]α, β[.
Interprétation géométrique ?
Appliquer la formule des accroissements nis à la fonction
f (x) = a + bx + ceαx
(où
a, b, c, α
sont réels, et
c
et
α
sont non nuls) sur l'intervalle
1. Calculer θ en fonction de
[0, X].
X.
2. En déduire que
1
e2x − 1
x 7→
ln
αx
αx
est bornée sur
Exercice 723
Soit
R.
f
une fonction deux fois dérivable sur
[a, a + 2h].
Par introduction de la
fonction
g(t) = f (a + t + h) − f (a + t)
montrer qu'il existe
Exercice 724
α
dans
]0, 2[
tel que
f (a) − 2f (a + h) + f (a + 2h) = h2 f 00 (a + αh).
Soient
x
et
y
réels avec
0 < x < y.
1. Montrer que
x<
2. On considère la fonction
f
dénie sur
y−x
< y.
ln y − ln x
[0, 1]
par
α 7→ f (α) = ln(αx + (1 − α)y) − α ln x − (1 − α) ln y.
De l'étude de
f
déduire que pour tout
α
de
]0, 1[
α ln x + (1 − α) ln y < ln(αx + (1 − α)y).
Interprétation géométrique ?
[Exercice corrigé]
13 Dérivabilité
Exercice 725
85
Par application du théorème des accroissements nis à
montrer que
Sn =
n
X
1
k=1
tend vers l'inni quand
[Exercice corrigé]
Exercice 726
n
f (x) = ln x sur [n, n + 1]
k
tend vers l'inni.
Étant donné
α
dans
]0, 1[,
montrer que pour tout entier naturel
n
α
α
> (n + 1)α − nα > 1−α .
1−α
(n + 1)
n
En déduire la limite
Exercice 727
n
X
1
lim
.
α
n→∞
p
p=1
Montrer que
[Exercice corrigé]
Exercice 728
Soit
[Exercice corrigé]
f : R −→ R dénie par f (x) = (1 − k)3 x2 + (1 + k)x3
valeurs de k pour lesquelles l'origine est un extremum
lim
k
est un nombre
f.
1
1
− 2
2
sin x x
,
lim (1 − cos x)cotan x.
x→0
Calculer
lim
x→0
cos(x4 ) − 1
;
x4 ex
lim
x→0
Exercice 731
où
local de
Appliquer la règle de l'Hôpital aux calculs des limites suivantes :
x→0
Exercice 730
x2 |x|
e .
2
13.3 Divers
réel. Déterminer les
Exercice 729
∀x ∈ R |ex − 1 − x| 6
lim x
x→0
f ∈ C 2 (R)
∀x ∈ R f (x)f (x) 6 f 0 (x)2 .
Soit
Soit
telle que
00
Exercice 732
Exercice 733
[Exercice corrigé]
Exercice 734
2
f : R+ → R
ln cos ax
;
ln cos bx
1
1
exp − exp
x
x+1
.
∀(x, y) ∈ R2 f (x + y)f (x − y) 6 f (x)2 .
dérivable telle que
Déterminer les extremums de
lim f 0 = l.
+∞
4
3
Montrer qu'alors
f (x) = x − x + 1
sur
Montrer que
lim
+∞
f (x)
= l.
x
R.
Quel est le lieu des points d'inexion (puis des extrémums relatifs) de
λ
décrit
R,
où :
fλ : x → λex + x2 .
[Exercice corrigé]
fλ
quand
13 Dérivabilité
Exercice 735
Exercice 736
86
Trouver les fonctions
f :R→R
dérivables en
0
telles que :
∃λ ∈ R+ − {1}, ∀x ∈ R, f (λx) = λf (x).
f (ω) = ω. On dénit une suite (xn )n∈N par
0
la donnée de x0 et la récurrence xn+1 = f (xn ). Montrer que si |f (ω)| < 1, ∃ε > 0, ∀x0 ∈
0
]ω − ε, ω + ε[, (xn )n∈N converge vers w, et que si |f (ω)| > 1 la suite (xn )n∈N converge vers w si
et seulement si elle est stationnaire (i.e. xn = ω à partir d'un certain rang). Que dire dans le
0
cas |f (ω)| = 1 ?
Exercice 737
Soit
f
Soit
f ∈ C 1 ([0; 1], R),telle
dérivable sur
telle que
R
que
lim
n→∞
Exercice 738 (Examen 2000)
f (0) = 0.
n
X
f(
k=1
Soit
1. Montrer que
g(x) 6= g(a)
k
).
n2
Enoncer le théorème de Rolle pour une fonction
f, g : [a, b] −→ R deux fonctions continues
0
suppose que g (x) 6= 0 pour tout x ∈]a, b[.
R.
Calculer :
sur
x ∈]a, b[.
pour tout
[a, b] (a < b)
h : [a, b] −→
]a, b[. On
et dérivables sur
(Raisonner par l'absurde et appliquer le
théorème de Rolle.)
f (b)−f (a)
et considérons la fonction h(x) = f (x) − pg(x) pour x ∈ [a, b].
g(b)−g(a)
Montrer que h vérie les hypothèses du théorème de Rolle et en déduire qu'il existe un
2. Posons
p =
nombre réel
c ∈]a, b[
3. On suppose que
tel que
limx→b−
f (a) − f (b)
f 0 (c)
= 0 .
g(a) − g(b)
g (c)
f 0 (x)
g 0 (x)
= `,
où
`
lim−
x→b
est un nombre réel. Montrer que
f (x) − f (b)
= `.
g(x) − g(b)
4. Application : Calculer la limite suivante :
Arccosx
.
lim− √
x→1
1 − x2
[Exercice corrigé]
Exercice 739 (Examen 2000)
Soit
n > 2
un entier xé et
f : R+ = [0, +∞[−→ R
la
fonction dénie par la formule suivante :
f (x) =
1.
(a) Montrer que
f
est dérivable sur
(b) En étudiant le signe de
1 + xn
, x > 0.
(1 + x)n
R+
et calculer
f 0 (x)
f 0 (x) sur R+ , montrer que f
pour
x > 0.
atteint un minimum sur
l'on déterminera.
2.
(a) En déduire l'inégalité suivante :
(1 + x)n 6 2n−1 (1 + xn ), ∀x ∈ R+ .
R+
que
14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses
(b) Montrer que si
x ∈ R+
et
y ∈ R+
87
alors on a
(x + y)n 6 2n−1 (xn + y n ).
[Exercice corrigé]
Exercice 740
f : R → R dénie
(
e1/t si t < 0
f (t) =
0
si t > 0
On considère la fonction
1. Démontrer que
f
est dérivable sur
2. Etudier l'existence de
R,
en particulier en
f (0).
t < 0,
f
la dérivée n-ième de
f (n) (t) =
Pn
t = 0.
00
3. On veut montrer que pour
où
par
s'écrit
Pn (t) 1/t
e
t2n
est un polynôme.
(a) Trouver
P1
et
P2 .
(b) Trouver une relation de récurrence entre
4. Montrer que
f
est de classe
Pn+1 , Pn
et
Pn0
pour
n ∈ N∗ .
C ∞.
[Exercice corrigé]
14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses
14.1 Fonctions circulaires inverses
Exercice 741
arcsin(sin α) arccos(cos α)
Exercice 742
m
π avec m ∈ Z, n
n
et arctan(tan α) dans les cas :
Écrire sous la forme
,
∈ N∗ , |m| et n premiers entre
α = 59
π ; α = 84
π ; α = 76
π.
5
5
5
eux,
Résoudre les équations suivantes :
1.
2.
arctan(2x) + arctan x = π4 .
√
arcsin(2x) − arcsin(x 3) = arcsin(x).
Exercice 743
Exercice 744
Résoudre dans
R
√
7π
arctan(x) + arctan( 3x) =
.
12
Soient les fonctions
1. Simplier les expressions de
2. Construire les graphes de
Exercice 745
l'équation :
f
f : x 7→ arcsin(sin x)
f (x)
et
et
et
g : x 7→ arctan
q
1−cos x
.
1+cos x
g(x).
g.
Une statue de hauteur
s
est placée sur un piédestal de hauteur
p.
À quelle
distance doit se placer un observateur (dont la taille est supposée négligeable) pour voir la
statue sous un angle maximal ?
14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses
Exercice 746
88
Démontrer les inégalités suivantes :
a
si 0 < a < 1;
1 − a2
a
Arctan a >
si a > 0.
1 + a2
Arcsin a > √
[Exercice corrigé]
Exercice 747
Écrire sous forme d'expression algébrique
sin(Arccos x),
cos(Arcsin x),
sin(3 Arctan x).
[Exercice corrigé]
Exercice 748
Exercice 749
Tracer les courbes représentatives des fonctions
x 7→ f (x) = sin(Arcsin x),
Résoudre les équation suivantes :
3
Arccos x = 2 Arccos ,
4
1
Arctan x = 2 Arctan .
2
Arcsin x = Arcsin
[Exercice corrigé]
Exercice 750
Exercice 751
x 7→ f (x) = Arcsin(sin x).
3
2
+ Arcsin ,
5
5
Calculer
Arctan
1
1
1
+ Arctan + Arctan .
2
5
8
Simplier les expressions suivantes :
r
1 − cos x
Arctan
1 + cos x
√
1 − x2
Arctan
.
x
π
3π
Arctan(tan x) (− < x <
),
2
2
Exercice 752
Vérier
Arcsin x + Arccos x =
[Exercice corrigé]
Exercice 753
π
8
et
Montrer que
0 6 arctan(
Exercice 754
1
π
) 6 ).
239
2
π
,
2
Arctan x + Arctan
Étudier la suite
(un )n∈N
dénie par :
n
X
arctan
k=1
`) et on
arctan a − arctan b ?
On montrera qu'elle converge (vers
Exercice 755
: que vaut
Exercice 756
1
π
= sgn(x) .
x
2
π
1
1
1
= 4 arctan( ) − arctan(
) (on montrera que 0 6 arctan( ) 6
4
5
239
5
∀n ∈ N, un =
Indication
(0 < x < 2π),
évaluera
1
.
k2 − k + 1
limn→∞ n(un − `).
Étudier la fonction :
2x
1 − x2
+
arccos
.
1 + x2
1 + x2
R l'équation d'inconnue x :
φ : x → arcsin
Résoudre dans
arctan(x − 1) + arctan(x) + arctan(x + 1) =
π
.
2
14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses
89
14.2 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses
Exercice 757
Soit
f : R 2 → R2
dénie par :
∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = (cos x + ch y, cos x ch y).
p∈R
Discuter et déterminer selon
l'image réciproque de
(4, p).
On exprimera
logarithme. Déterminer numériquement cette image réciproque si
Exercice 758
1. Montrer qu'il n'existe pas de fonction
y
à l'aide d'un
p = −2.
f : [1; +∞[→ R
vériant :
∀x ∈ R, f (ch x) = ex .
2. Déterminer toutes les fonctions
f : R+∗ → R
telles que :
∀x ∈ R, f (ex ) = ch x.
Préciser le nombre de solutions.
3. Déterminer toutes les fonctions
f : R+ → R
telles que :
∀x ∈ R, f (ex ) = ch x.
Préciser le nombre de solutions ; y a t-il des solutions continues sur
[Exercice corrigé]
Exercice 759
R+ ?
Calculer :
lim ex (ch3 x − sh3 x)
lim (x − ln(ch x)).
et
x→∞
x→∞
[Exercice corrigé]
Exercice 760
Donner un expression plus simple de :
y = argch
Exercice 761
r
1 + ch x
;
2
√
x2 − 1
y = argsh(2x 1 + x2 ); y = argth 2
.
x +1
(n, a, b) ∈ N∗ × R2
Calculer pour
n−1
X
ch(a + bk),
k=0
Exercice 762
Exercice 763
Exercice 764
Soit
(a, b) ∈ R
Montrer que :
Les réels
x
et
2
:
n−1
X
sh(a + bk).
k=0
, résoudre le système
chx + shy = a
shx + chy = b
argthx + argthy + argthz = argthu
y
.
et déterminer
u.
étant liés par
y π x = ln tan
+
,
2 4
calculer
ch x, sh x
[Exercice corrigé]
Exercice 765
sh x.
Calculer
et
th x
en fonction de
Montrer que
ch 3x
et
sh 3x
ch nx
et
y.
sh nx
en fonctions de
peuvent s'exprimer comme polynômes en
ch x
et
sh x.
En déduire
th 3x
en fonction
ch x et
de th x.
15 Calculs d'intégrales
Exercice 766
ch x sh x
Exercice 767
5
5
et
Exprimer
90
chn x
shn x
et
au moyen de
Exercice 768
Argth
de
de
x2 − 1
.
x2 + 1
Vérier les égalités
Argsh(3x + 4x3 ) = 3 Argsh x.
2 Argth tan x = Argth sin 2x,
Exercice 770
Exercice 771
Exercicex 772
−e
1 + sh x + sh 2x + · · · + sh nx.
et
Simplier
Exercice 769
de
Expliciter
Calculer les sommes
1 + ch x + ch 2x + · · · + ch nx
2
{sh px, ch px ; 1 6 p 6 n}.
.
Expliciter au moyen de la fonction logarithme
Résoudre
x
xy = a2
√
x
=
√
et
Argsh x1 .
x
x ;
ln2 x + lny =
et
Argch x1
5 2
ln a.
2
Préciser les comportements
x
quand x → e,
px − e
√
x 7→ ln(1 + x) − ln x quand x → +∞,
ax − b x
quand x → 0.
x 7→
x
x 7→
Exercice 773
Démontrer les inégalités :
x−
x2
< ln(1 + x)
2
x>0
pour
1 + x 6 ex
et
pour tout
x
réel.
[Exercice corrigé]
Exercice 774
Exercice 775
0
Exercice 776
[Exercice corrigé]
Exercice 777
Déterminer
lim(x − ln(chx)).
+∞
Montrer que
en
∀x ∈ R
ch(2x)
= 1 + 2sh2 x.
En déduire un équivalent de ch x
−1
.
Résoudre l'équation
Résoudre l'équation
xy = y x
où
x
et
y
sont des entiers positifs non nuls.
tan(3 arcsin x) = 1.
On exprimera les trois solutions au
moyen de radicaux.
15 Calculs d'intégrales
Exercice 778
Exercice 779
15.1 Théorie
Déterminer les fonctions
Soient
f ∈ C 1 ([a, b], R)
f
et
de
[a, b] dans R telles que
In =
Rb
a
f (t) sin(nt)dt.
1. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que
In → 0.
Rb
a
f (t)dt = (b − a) sup |f |.
[a,b]
15 Calculs d'intégrales
91
2. Montrer que ceci est encore vrai si
f
est en escalier.
f continue par morceaux.
R b dx
b−a
Soient 0 < a 6 b. Montrer que
6√
.
a x
ab
R1
0
Soit f ∈ C ([0, 1], R) telle que
f (t)dt = 12 . Montrer qu'il
0
3. En déduire que le résultat subsiste pour
Exercice 780
Exercice 781
que
f (a) = a.
Exercice 782
f ∈ C 0 (R).
Soit
1. Montrer que
g
Soit
On dénit
se prolonge par continuité en
2. Montrer que si
Exercice 783
(
R∗ → R
Rx
g:
x 7→ x1 0 f (t)dt
f
g
est périodique,
existe
a ∈]0, 1[
telle
.
0.
admet une limite en
+∞.
R, n ∈ N tels que :
Z 1
∀k ∈ {0, ..., n},
f (u)uk du = 0.
f
[0, 1]
continue de
dans
0
Montrer que
f
Exercice 784
n+1
admet au moins
Soit
f : [0, 1] → R
zéros distincts dans
]0, 1[.
une application continue strictement croissante telle que :
f (0) = 0, f (1) = 1.
Calculer :
Exercice 785
zéros sur
[0, 1],
lim
n→∞
Soit
1
f n (t)dt.
0
f : [0, 1] → R une application continue, n'admettant
f (0) = 0, f (1) = 1. Montrer que :
Z 1
nt
lim e f (t)dt = +∞.
qu'un nombre ni de
et telle que
n→∞
Exercice 786 (Irrationnalité de π)
nôme
Z
Pn =
X n (bX−a)n
n!
0
et ses dérivées
2. Montrer que :
In =
Z
(a, b) ∈ (N∗ )2 , n ∈ N∗ , montrer que le polya
successives prennent, en 0 et , des valeurs entières.
b
1. Soit
π
Pn (t) sin(t)dt → 0
quand
n → ∞.
0
3. Montrer par l'absurde que
Exercice 787
f
Exercice 788
montrer que
Soit
f
π ∈ R \ Q.
continue sur
[0, π]
telle que
s'annulle au moins deux fois sur
Soit
f ∈ C([0, 1], R)
Rπ
0
f (u) cos(u)du =
]0, π[.
Rπ
0
f (u) sin(u)du = 0,
telle que :
∀g ∈ E ([0, 1], R) ,
1
Z
f g = 0.
0
Montrer que
f = 0.
Exercice 789
Soit
f
une fonction
C 1 sur [a, b] à valeurs dans R. On suppose f (a) = 0. Montrer
que :
Z
a
b
(b − a)2
f (u)du 6
2
2
Z
a
b
f 02 (u)du.
15 Calculs d'intégrales
Exercice 790
R1
0
f (t)dt = 0.
Exercice 791
f
Soit
92
à valeurs dans
a < 0 < b
[a, b]
Montrer que
et
f 2 (t)dt 6 −ab.
0
Soit
(a, b) ∈ R
2
(a
< b),
f
et
continue positive de
dans
R.
n1
f (t)dt
= sup |f (t)| .
b
Z
n→∞
n
t∈[a,b]
a
a<b
Calculer sans utiliser de primitive, pour
:
b
et dt.
a
Soit
f
ni de valeurs quand
[0, 1]
continue de
n
Soient
f
décrit
et
g
N.
de
R1
R telle que 0 f n (u)du ne prenne
que f = −1 ou f = 0 ou f = 1.
dans
Montrer
R+
dans
+
∀x ∈ R ,
Z
R
croissantes. Montrer que :
x
Z
f
0
Indication
On suppose
1
Z
Z
Exercice 793
Exercice 794
[a, b].
Montrer que :
lim
Exercice 792
[0, 1]
continue sur
x
g
6x
Z
0
qu'un nombre
x
f g.
0
a1 6 a2 6 ... 6 an et b1 6 b2 6 ... 6 bn ,
!
!
n
n
n
1X
1X
1X
ai
bi 6
ai b i .
n i=1
n i=1
n i=1
: on établira d'abord que, si
alors :
Remarquer que :
Exercice 795
X
(ai− aj )(bi− bj ) > 0.
16i6j6n
Calculer :
lim
n→∞
Z
1
et
dt.
1 + tn
1
e−nx
dx.
1+x
0
1
Éventuellemment, en donner un DL en
.
n
Exercice 796
Calculer :
lim
n→∞
Soit
f : [0, 1] → R
n→∞
Z
1
nxn f (x)dx.
0
f : [0, 1] → R une application continue
(gn )n∈N de fonctions en escaliers telle que :
Z 1
lim
f (t)gn (t)dt = f (0).
Soit
trouver une suite
Exercice 798
0
une application continue ; calculer :
lim
Exercice 797
Z
n→∞
par morceaux, continue en
0
Dire (avec justication) si les armations suivantes sont vraies ou fausses.
1. Toute fonction intégrable sur
[a, b]
est continue.
0,
15 Calculs d'intégrales
f
2. Si
93
est intégrable sur
d
dx
[a, b],
sur
4. Si
f
5. Si
|f |
est intégrable sur
[a, b],
f et g
[a, b].
alors
[a, b],
est intégrable sur
6. Si
f (t) dt = f (x)
pour tout
x
de
[a, b].
|f |
est intégrable sur
[a, b].
f
est intégrable sur
[a, b].
alors
sont des fonctions intégrables sur
[a, b],
alors la fonction
f et g sont des fonctions continues sur [a, b], alors la fonction f g
Rb
Rb
Rb
f (t)g(t) dt = a f (t) dt · a g(t) dt.
a
7. Si
et
8. Soit
f
la fonction dénie sur
[0, 1]
(
f ≡ λn
f (0) = µ
où
fg
f
bornée sur
est continue sur
[a, b],
par
sur
1
] 21n , 2n−1
]
pour tout entier
n>1
continue sauf au point
1/3 ;
f
alors
est intégrable.
est intégrable sur
[0, 1].
R1
[0, 1], avec f (1/2) > 0, et telle que 0 f (t) dt = 0.
Rb
Soit f intégrable sur [a, b]. Si
f (t) dt > 0 alors f > 0 sur [a, b].
a
Rx
Si f est croissante sur [a, b], elle est intégrable sur [a, b] et de plus F (x) =
f (t) dt
a
10. Il existe
f >0
[0, 1],
intégrable
est intégrable sur
(λn ) est une suite bornée de nombres réels, et µ un nombre réel. Alors f
9. Soit
12.
a
f une fonction sur [a, b] vériant la propriété : pour tout ε > 0, il existe gε
[a, b] telle que ∀x ∈ [a, b], |f (x) − gε (x)| 6 ε ; alors f est intégrable.
3. Soit
11.
Rx
continue sur
est
croissante.
f 60
13. Si
f est continue
H 0 (x) = f (x2 ).
14. Si
Exercice 799
Soit
ϕ
sur
ϕ
a une primitive sur
2.
ϕ
est intégrable sur
3.
ϕ
est continue sur
4.
ϕ
est dérivable sur
Exercice 800
g
Soit
f
sur
[a, b]
et que
g
une fonction continue et strictement croissante de
g
et
f.
f (x) dx +
Z
[α, β].
On
g(x) dx = bβ − aα
α
[a, b].
Montrer qu'il
b
f (t)g(t) dt = f (a)
Z
[a, b]. On suppose que f
existe c ∈ [a, b] tel que
c
g(t) dt + f (b)
a
a
a
sur
β
deux fonctions intégrables sur
Rx
[a, b]
Montrer que
b
est positive sur
ϕ(x) = f (a)
:
[a, b].
Z
(considérer
1
[a, b].
a
f
comparer les assertions suivantes
[a, b].
Z
Soit
[a, b] ;
[a, b].
la fonction réciproque de
Exercice 801
alors
une fonction bornée sur
1.
note
Rb
G(x) = x f (t) dt est croissante sur [a, b].
R x2
[0, 1], H(x) = 0 f (t) dt est dérivable sur [0, 1], et ∀x ∈ [0, 1],
[a, b],
est continue sur
g(t) dt + f (b)
Rb
x
Z
est monotone
b
g(t) dt
c
g(t) dt).
L'une des implications à étudier est très dicile ; on pourra admettre après avoir traité toutes les autres
que celle qui reste est fausse.
1
15 Calculs d'intégrales
Exercice 802
i)
ii)
iii)
f
Soit
94
une fonction dérivable sur
[0, 1],
vériant :
0
0 6 f 6 2;
f0
est décroissante ;
f (0) = 0
et
le plus
RTrouver
1
f (t) dt 6 M .
0
Exercice 803
R
f (1) = 1.
grand nombre
m
et le plus petit nombre
M
tels qu'on soit sûr d'avoir
m 6
Peut-il y avoir égalité ?
Soit f dénie et continue sur [0, +∞[, vériant limx→+∞ f (x) = l . Montrer que
x
limx→+∞ x1 0 f (t) dt = l (étant donné ε R> 0, choisir A assez grand pour que sur [A, +∞[ on
1 x
ait l − ε 6 f (t) 6 l + ε ; puis encadrer
f (t) dt, pour x > A ; estimer l'erreur. . . et faire un
x A
dessin !).
x > 0,
x → +∞.
Pour
on pose
F (x) =
Rxq
0
1+
sin2 t
1+t2
dt.
Étudier la branche innie du graphe de
Exercice 804 (Méthode des trapèzes)
00
|f | 6 M
sur
[a, b].
1. Soit
f
deux fois dérivable sur
[a, b],
F
quand
vériant
Soit
ϕ(t) = f (t) − f (a) − (t − a)
f (b) − f (a)
− A(b − t)(t − a)
b−a
x ∈ ]a, b[ ; on choisit A = A(x) pour que ϕ(x) = 0 (dessiner !). Montrer qu'il existe
c1 , c2 ∈ [a, b] tels que c1 < c2 et ϕ0 (c1 ) = ϕ0 (c2 ) = 0, puis qu'il existe c ∈ [a, b] tel
00
que ϕ (c) = 0. En déduire une majoration de |A| pour x ∈ [a, b]. On convient de poser
A(a) = A(b) = 0.
Rb
On note E l'erreur commise en remplaçant
f (x) dx par l'aire du trapèze déni par l'axe
a
des x, les droites x = a et x = b et la corde du graphe joignant les points (a, f (a)) et
Rb
(b, f (b)) (dessiner !). Montrer que E = a A(x)(b − x)(x − a) dx, et vérier que l'intégrale
M (b−a)3
a un sens. En déduire que |E| 6
(utiliser 1)).
12
h
i
f (b)
b−a f (a)
b−a
Pour n > 1 on pose In =
+
f
(x
)
+
f
(x
)
+
·
·
·
+
f
(x
)
+
où xp = a + p
1
2
n−1
n
2
2
n
pour p = 1, 2, . . . , n − 1. Montrer que In est la somme des aires des trapèzes construits
sur les points d'abscisses a, x1 , x2 , . . . , xn−1 , b et les cordes correspondantes du graphe de
f (dessiner !). Montrer que
Z b
M (b − a)3
6
f
(x)
dx
−
In
12n2
a
Soit
2.
3.
4. On prend
[a, b] = [0, 1]
et
2
f (x) = e−x . Calculer M = sup[0,1] |f 00 |. Déterminer n pour que
R 1 −x2
avec n intervalles donne un nombre qui approche
e
dx à
0
la méthode des trapèzes
−2
moins de 10
près. En déduire un encadrement de cette intégrale.
15.2 Longueurs, aires, volumes
Exercice 805
Construire la courbe paramétrée
[0, 1[.
l'aire S limitée
partenant à
Calculer
par
C de
R 2πdeux dtfaçons
En se ramenant au calcul de
:
2.
0 (1+λ cos t)
En reconnaissant la nature géométrique de
C.
C
(
x=
y=
cos t
1+λ cos t
sin t
1+λ cos t
où
λ
est un paramètre ap-
15 Calculs d'intégrales
95
[Exercice corrigé]
Exercice 806
longueur
L
Représenter la courbe dénie par son équation polaire
et les aires
[Exercice corrigé]
Exercice 807
A1
A2
et
tore
On appelle
du tore, et son volume
[Exercice corrigé]
Exercice 808
θ
. Calculer sa
3
limitées par les deux boucles qu'elle forme.
r
la gure obtenue par révolution d'un cercle de rayon
R
d'une droite de son plan passant à distance
A
ρ = a sin3
de son centre (on suppose
autour
r < R). Calculer l'aire
V.
On appelle
cycloïde
la courbe décrite par un point d'un cercle de rayon
R, lié à ce
cercle, quand celui-ci roule sans glisser sur une droite en restant dans plan xe. Montrer que dans
x = R(t − sin t)
y = R(1 − cos t)
Représenter la cycloïde et calculer : la longueur L d'une arche, l'aire A de la surface S comprise
entre cette arche et la droite xe (Ox), les volumes V1 et V2 obtenus par révolution de S autour
de Ox et Oy respectivement, les aires A1 et A2 obtenues par révolution d'une arche de la
cycloïde autour de Ox et Oy respectivement.
un repère bien choisi, la cycloïde admet la représentation paramétrique :
[Exercice corrigé]
Exercice 809
On appelle
épicycloïde
la courbe décrite par un point d'un cercle de rayon
lié à ce cercle, quand celui-ci roule sans glisser sur un cercle de rayon
extérieurement à ce dernier, et dans son plan. On pose
n = R/r .
R
r,
en restant tangent
Montrer que dans un repère
que l'on précisera, l'épicycloïde admet la représentation paramétrique :
x = r (n + 1) cos t − cos(n + 1)t
y = r (n + 1) sin t − sin(n + 1)t
Représenter la courbe pour
courbe et l'aire
A
n = 1, 2, 3.
n entier, calculer la longueur L de la
n = 1 (cardioïde ), calculer de plus l'aire S
En supposant
limitée par celle-ci. Dans le cas
de la surface de révolution obtenue en faisant tourner la courbe autour de son axe de symétrie,
ainsi que le volume
[Exercice corrigé]
Exercice 810
Soit
V
limitée par cette surface.
C
un cercle xe de rayon
R. Un cercle C 0
de même rayon roule sans glisser
en restant dans un plan (variable) perpendiculaire à celui de C . Un point M lié au
0
cercle C décrit une courbe Γ. Montrer
que suivant un repère convenablement choisi, Γ admet

2
sur
C
la représentation paramétrique :
Représenter les projections de
[Exercice corrigé]
Γ
 x = R(cos t + sin t)
y = R sin t(1 − cos t)

z = R(1 − cos t)
. En déduire la longueur
sur chacun des trois plans de coordonnées.
15.3 Intégration à l'aide d'une fonction auxiliaire
Exercice 811
Z
dx
2
x +5
;
Z
1
dx ;
tan3 x
Z
2x + 3
dx, m ∈ N ;
2
(x + 3x + 7)m
Z
Z
Calculer les primitives suivantes :
dx
√
x2 − 5
;
x
x
e sin(e )dx ;
Z
Z
tan3 xdx ;
ln x
dx ;
x
Z
ch x dx
.
sh5 x
L
de
Γ.
15 Calculs d'intégrales
Exercice 812
96
15.4 Changement de variables
Considérons l'intégrale
I=
Z
ln 2
√
ex − 1 dx
0
Eectuer le changement de variables
Résultat : I = 2 − π/2.
Exercice 813
f
I2
t = f (u)
f
et
f −1 ,
√
(t =
√
6
2 + x) ;
Calculer les primitives suivantes :
Z
e cos xdx ;
Soit
In =
ln x
dx n ∈ N ;
xn
R1
0
Z
xArctan xdx ;
Z
(x2 + x + 1)ex dx.
(1 − t2 )n dt.
In
et
In+1 .
In .
3. En déduire
2.
et interpréter ce résultat géométriquement.
1
√
dx,
2+x+ 32+x
1. Établir une relation de récurrence entre
1.
I2 .
15.5 Intégration par parties
x
Exercice 817
dans l'intégrale
1
x−1
dx, (
= th u ou coth u) ;
2
2
((x − 1) − 4)
2
Z
Z
√
2
(arcsin x) dx ;
x2 1 + x3 dx.
Z
2. Calculer
f −1 .
Calculer les primitives suivantes :
Z
Exercice 816
I.
I1 .
en fonction de
4. Faire un dessin faisant apparaître
Z
et calculer
admet une fonction réciproque
2. Faire le changement de variable
Exercice 815
ex − 1
f : [a, b] → R une fonction strictement croissante et continûment dérivable.
R f (b) −1
Rb
deux intégrales I1 =
f
(t)
dt
et I2 =
f (t) dt.
a
f (a)
1. Rappeler pourquoi
Exercice 814
√
Soit
On considère les
3. Calculer
u=
n
P
k=0
(−1)k k
C .
2k+1 n
f ∈ C 2 ([a, b], R).
Rb
R
b−a
1 b 00
(f
(a)
+
f
(b))
+
f (x)(a − x)(b − x)dx.
Montrer que
f
(t)dt
=
2
2 a
a
Rb
En déduire un encadrement de
f (t)dt si ∀x ∈ [a, b] m 6 f 00 (x) 6 M .
a
Rπ
2
Soit In =
sinn tdt.
0
Soit
Exercice 818 (Intégrales de Wallis)
1. Établir une relation de récurrence entre
2. En déduire
I2p
3. Montrer que
et
et
In+2 .
I2p+1 .
(In )n∈N
4. En déduire que
In
est décroissante et strictement positive.
In ∼ In+1 .
15 Calculs d'intégrales
5. Calculer
97
nIn In+1 .
In .
6. Donner alors un équivalent simple de
Exercice 819
In =
Soit
R1
xn
0 1+x
dx.
1. En majorant la fonction intégrée, montrer que
In + In+1 .
n
P
Déterminer lim (
(In )n∈N → 0.
2. Calculer
3.
Exercice 820
n→+∞ k=1
(−1)k+1
).
k
Calculer par récurrence :
In =
Exercice 821
Z
0
π
4
du
.
cosn u
Calculer par récurrence :
Jn =
Z
e
log(u)n du.
1
Exercice 822
Z
15.6 Polynôme en sin, cos, ou en ch, sh
Calculer les primitives suivantes :
Z
(cos x cos 2x + sin x sin 3x)dx ;
Z
Exercice 823
Z
3
sin x cos xdx ;
2
2
ch x sh xdx ;
Z
Z
4
cos x sin xdx ;
4
sin xdx ;
3
Z
sh x ch xdx ;
Z
cos6 xdx ;
sin3 x cos2 xdx ;
Z
ch x sh3 xdx.
Déterminer les intervalles d'étude et calculer les primitives des fonctions :
x cos2 x
cos(2x) cos2 x
Exercice 824
1.
2.
3.
4.
5.
6.
a2
15.7 Fractions rationnelles
Décomposer les fractions rationnelles suivantes ; en calculer les primitives.
1
.
+ x2
1
.
(1+x2 )2
3
x
.
−4
4x
.
(x − 2)2
1
.
2
x +x+1
1
.
(t2 + 2t − 1)2
x2
15 Calculs d'intégrales
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
98
3t + 1
.
− 2t + 10)2
3t + 1
.
2
t − 2t + 10
1
.
3
t +1
x3 + 2
.
(x + 1)2
x+1
.
x(x − 2)2
(x2 − 1)(x3 + 3)
.
2x + 2x2
x2
.
(x2 + 3)3 (x + 1)
x7 + x3 − 4x − 1
.
x(x2 + 1)2
3x4 − 9x3 + 12x2 − 11x + 7
.
(x − 1)3 (x2 + 1)
(t2
[Exercice corrigé]
Exercice
825
Z
1
1.
2.
3.
Z
4.
Z
5.
Z
6.
Z
7.
Z
dx
.
+2
x2
0
Z
1/2
−1/2
3
2
0
3
0
0
−2
1
−1
3
9.
10.
11.
dx
.
1 − x2
2x + 1
dx.
+x−3
x dx
.
4
x + 16
x4 + 6x3 − 5x2 + 3x − 7
dx.
(x − 4)3
x2
2
8.
Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes.
dx
.
x3 − 7x + 6
2x4 + 3x3 + 5x2 + 17x + 30
dx.
x3 + 8
4x2
dx.
4
2 x −1
Z 0 3
x + 2x + 1
dx.
3
−1 x − 3x + 2
Z 2 8
2x + 5x6 − 12x5 + 30x4 + 36x2 + 24
dx.
x4 (x2 + 2)3
1
Z a
−2x2 + 6x + 7
dx pour a ∈ R. Y a-t-il une
x4 + 5x2 + 4
0
Z
limite quand
a → +∞ ?
15 Calculs d'intégrales
12.
Z
0
2
99
dx
.
x4 + 1
[Exercice corrigé]
Exercice
826
Z
Calculer les primitives suivantes :
x4 + 1
dx ;
x(x − 1)3
Exercice 827
Z
dx
4
(x + 1)2
Z
;
xdx
4
x + x2 + 1
;
Z
(x −
dx
.
− 2x − 2)2
1)(x2
Déterminer les intervalles d'étude et calculer les primitives des fonctions :
1
(x +
+ 2x + 5)
2x
(1 − x + x2 )2
x2
(x − 1)2 (x2 + 4)
1
(1 + x3 )3
2)(x2
15.8 Fractions rationnelles en sin, cos ou en sh, ch
ExerciceZ 828
Calculer les primitives suivantes :
cos3 x
dx ;
sin5 x
Exercice 829
Exercice 830
Exercice 831
Z
sin3 x
dx ;
1 + cos x
Z
Z
cos x
dx
;
dx ;
4
4
1 + sin 2x
cos x + sin x
Z
Z
tan x − tan a
sh x ch x
dx.
dx ;
tan x + tan a
sh4 x + ch4 x
Déterminer les intervalles d'étude et calculer les primitives des fonctions :
cos3 x
sin x
1
1 + tan x
1
th2 x
15.9 Intégrales abéliennes
Calculer les primitives suivantes :
Z
Z
Z
dx
dx
x
√
√
√
;
;
dx ;
2
x+ x−1
x x +x+1
9 + 4x4
√
Z √
Z
3
x+1− x+1
x+1
√
dx ;
dx.
x+2
−4x2 + 4x + 1
Déterminer les intervalles d'étude et calculer les primitives des fonctions :
√
8x − 3
12x − 4x2 − 5
√
x2 − 1
√
x x
x2 − 5x + 4
15 Calculs d'intégrales
Exercice
832
Z
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
esin
2
100
15.10 Primitives diverses
Calculer les primitives suivantes.
x
sin 2x dx.
Z
Z
Z
Z
3
5
4
cos t dt ; cosh t dt ; cos t dt ; sinh4 t dt.
Z
x3 ex dx.
Z
Z
Z
ln x dx ; x ln x dx ; arcsin x dx.
Z
cosh t sin t dt.
Z
dx
.
sin x
Z √
a2 − x2 dx.
Z
e2x
√
dx.
ex + 1
Z
Z
ax
e cos bx dx ; eax sin bx dx.
Z r
x
dx pour 0 < x < 1.
(1 − x)3
Z
x2
√
dx.
1 − x2
Z
dx
.
cos x + 2 sin x + 3
Z √
x dx
√
avec
0 < x < a.
a3 − x 3
Z
cosh x
dx.
cosh x + sinh x
[Exercice corrigé]
Exercice 833
Calculer les primitives suivantes :
Z
Exercice 834
dx
√
ch x ch 2x
Z
;
Z
x
dx ;
cos2 x
sin ax + cos bx
dx ;
ex
Z
Z
1 + cos 2x
dx ;
1 − tan2 x
x(2 + cos x)
dx.
sin2 x
Déterminer les intervalles d'étude et calculer les primitives des fonctions :
chx sin(2x)
√
1
2 + tan2 x
(x2 + 2x + 2) cos(2x)
15 Calculs d'intégrales
101
x2 cos x
Exercice 835
Exercice 836
Exercice 837
Exercice 838
Calculer
Calculer
Soient
2. En déduire
Exercice 839
et
Exercice 841
lim
Soit
(un )n∈N∗
I=
I + J.
complexes
ln(1 + x2 ).
n
P
n
2
2 ).
n→+∞ k=0 n +k
lim (
Rπ
0
x cos2 xdx
J=
et
Rπ
0
x sin2 xdx.
J.
Soit
an =
2. Etudier la suite
Exercice 840
x2 sin x en utilisant les
1
1
et
2
3
2
(x − 1)
(x − 1)2
√
1+x
√
x 1−x
1
lim ( (2n)!n ) n .
n→+∞ n!n
a0 , . . . , a 4 .
1. Calculer
n→∞
0
Déterminer
I
1. Calculer
R1
et
R1
0
tn et dt.
(an )n∈N .
15.11 Sommes de Riemann
Calculer :
n
n
X
X
(−1)k
(−1)k
lim
, lim
.
n→∞
n→∞
2k
+
1
k
k=1
k=1
Calculer :
n Y
k=1
k2
1+ 2
n
n1
; lim n
n→∞
n
n−1
X
X
n+k
1
√
.
; lim
; lim
2
2
n→∞
n→∞
n +k
n − k2
k=1
k=1
n
n
X
e− k
k2
k=1
la suite réelle dénie par :
∗
∀n ∈ N , un =
n
X
k=1
n2
n
.
+ k2
Calculer :
` = lim un
n→∞
et donner un équivalent de
Exercice 842
Soient
f
et
un − `.
g
continues de
[0, 1]
n−1
Exercice 843
1X
lim
f
n→∞ n
k=0
Calculer :
dans
R.
k
k+1
g
.
n
n
2
lim
n→∞
Calculer :
n
X
k=0
n2
n
.
+ k2
16 Équations diérentielles
Exercice 844 √
102
Calculer les limites suivantes :
1.
2.
lim
1+
2+
n→∞
lim
n→∞
n
X
n
.
+ p2
n2
p=1
√
√
3 + ··· + n
√
.
n n
n
3.
1 X (3n + 6p − 4)(n + 2p)2
lim
ln
.
n→∞ n
3n3
p=1
16 Équations diérentielles
Exercice 845
16.1 Premier ordre
Résoudre les équations diérentielles suivantes :
1.
y0 = y + x
2.
y 0 = cos x + y ,
3.
y 0 + 2y = (x − 2)2 .
Exercice 846
avec
y(0) = 1,
Pour chacune des équations diérentielles qui suit : écrire la solution passant
par le point M(.,.) et tracer sommairement le graphe de la solution.
1.
y 0 + 2xy = 0,
2.
y 0 + y tan x = sin x cos x M = ( π4 , 0),
3.
x(x2 − 1)y 0 + 2y = x2 ,
M = (0, 1),
On déterminera
a, b, c ∈ R
Exercice 847 (Partiel de Novembre 1994)
grand possible contenu dans
]0, ∞[
a ∈]0, ∞[
1
x(x2 −1)
=
a
x
+
b
x−1
l'équation diérentielle :
y(x)
− y(x)2 = −9x2 .
x
y(x) = ax soit une solution particulière y0
tel que
y(x) =
de
(E).
1
y0 (x)− z(x)
transforme l'équation
(E) en l'équation diérentielle
(E1)
(E1)
sur
1
z 0 (x) + (6x + )z(x) = 1.
x
]0, ∞[.
4. Donner toutes les solutions de
(E)
dénies sur
]0, ∞[.
[Exercice corrigé]
Exercice 848
1.
2.
3.
1.
Trouver les solutions réelles des équations diérentielles suivantes :
y 0 (t) + 2y(t) = 0 ;
dx
− x = 0;
dt
y 0 (x) + 2y(x) = 0 avec (y − y 0 )(0) = 0.
Exercice 849
Trouver les solutions réelles des équations diérentielles suivantes :
(1 + x2 )y 0 − xy = 0 ;
c
.
x+1
On se propose d'intégrer sur l'intervalle le plus
2. Montrer que le changement de fonction inconnue :
3. Intégrer
+
y 0 (x) −
(E)
1. Déterminer
tels que
16 Équations diérentielles
2.
y 0 + y tan x = 0,
Exercice 850
Exercice 851
pour
x
103
dans
] π2 , 3π
[.
2
Trouver les solutions réelles sur l'intervalle maximal de l'équation diérentielle :
t2 y 0 + y = 1.
Soit l'équation diérentielle
y 0 + 2xy = x.
(E)
1. Résoudre l'équation homogène asociée.
2. Calculer la solution de
(E)
vériant
y(0) = 1.
[Exercice corrigé]
Exercice 852
Résoudre et raccorder éventuellement :
0
1.
xy − 2y = x4 .
2.
x(1 + x2 )y 0 = y .
3.
(x2 + 1)y 0 + (x − 1)2 y = x3 − x2 + x + 1.
4.
(ex − 1)y 0 + (ex + 1)y = 3 + 2ex .
Exercice 853
Exercice 854
Exercice 855
Résoudre le système diérentiel :
(
ẋ(t) = x(t) + y(t)
ẏ(t) = 3x(t) − y(t)
Résoudre l'équation diérentielle de Ricatti
1
une solution particulière y0 et en posant z =
.
y−y0
Soit
H
(E)
x2 y 0 = x2 y 2 + xy + 1
.
en trouvant
Soit l'équation diérentielle :
dy(x)
+ y(x) = x2 + 2x
dx
(E) :
Intégrer
et
(
x(0) = 2
y(0) = −2
et montrer que par un point donné il passe une et une seule courbe intégrale.
l'ensemble des points
horizontale en ce point, et
I
M
M a une tangente
M tels que la courbe intégrale passant par ce
H, I et la courbe intégrale passant par O(0, 0).
tels que la courbe intégrale passant par
l'ensemble des points
point a un point d'inexion en ce point. Tracer
En déduire un tracé géométrique des courbes intégrales.
Exercice 856
Résoudre le système diérentiel :
dx(t)
= x(t) + y(t),
dt
Exercice 857
dy(t)
= 3x(t) − y(t),
dt
x(0) = 2, y(0) = −2.
Soit
f ∈ C 1 (R, C), α ∈ R+∗ .
Montrer que si :
lim (f 0 (x) + αf (x)) = 0
x→∞
alors :
Exercice 858
lim f 0 (x) = lim f (x) = 0.
x→∞
Soit
1
f ∈ C (R, R)
telle que
x→∞
f (0) = 1
et
f 6 f 0 6 2f.Encadrer f (−1)
et
f (1).
16 Équations diérentielles
Exercice 859
16.2 Second ordre
Résoudre les équations diérentielles du second ordre suivantes :
1.
y 00 + 4y 0 + 3y = 0,
2.
y 00 − 6y 0 + 9y = 0,
3.
y 00 − 2y 0 + 2y = 0.
Exercice 860
104
Résoudre les équations diérentielles du second ordre suivantes :
1.
y 00 − y = x3 + x2 ,
2.
y 00 − 2y 0 + y = ex ,
3.
y 00 − 2y 0 + y = cos(mx)
4.
y 00 − 2y 0 + y = x3 ex + 2 cos x + (x3 + 3)
Exercice 861
où
m ∈ R,
(utiliser le principe de superposition).
(E) ay 00 + by 0 + cy = 0, avec a 6= 0. Donner
des conditions necessaires et susantes liant les coecients a, b et c dans les deux cas suivants :
(i) toutes les solutions de (E) tendent vers 0 lorsque x tend vers l'inni ;
On considère l'équation homogène
(ii) toutes les solutions sont périodiques.
Exercice 862
Résoudre l'équation :
y 00 + k 2 y = cos mx,
On discutera suivant les valeurs de
Exercice 863
k
et
k, m ∈ R.
m.
Résoudre l'équation suivante :
y 00 − 3y 0 + 2y = ex .
[Exercice corrigé]
Exercice 864
Résoudre l'équation suivante :
y 00 − y = −6 cos x + 2x sin x.
[Exercice corrigé]
Exercice 865
Résoudre l'équation suivante :
4y 00 + 4y 0 + 5y = sin xe−x/2 .
[Exercice corrigé]
Exercice 866
On considère l'équation :
y 00 + 2y 0 + 4y = xex
(E)
1. Résoudre l'équation diérentielle homogène associée à
2. Trouver une solution particulière de
semble de toutes les solutions de
3. Déterminer l'unique solution
4. Soit
f :]0, ∞[−→ R
h
(E)
(E).
(expliquer votre démarche), puis donner l'en-
(E).
de
(E)
vériant
h(0) = 1
une fonction deux fois dérivable sur
et
h(1) = 0.
]0, ∞[
t2 f 00 (t) + 3tf 0 (t) + 4f (t) = t log t.
et qui vérie :
16 Équations diérentielles
(a) On pose
105
g(x) = f (ex ),
vérier que
(b) En déduire une expression de
g
est solution de
(E).
f.
[Exercice corrigé]
Exercice 867
Soit
m ∈ R.
Déterminer la solution de l'équation :
y 00 − 2y 0 + (1 + m2 )y = (1 + 4m2 ) cos mx
(Em )
qui vérie
y(0) = 1
Exercice 868
et
y 0 (0) = 0
(Indication : On traitera séparement les cas
m=0
et
m 6= 0).
On considère l'équation diérentielle :
y 00 + 6y 0 + 9y = d(x) (E)
1. Résoudre l'équation diérentielle homogène associée à
2. Trouver une solution particulière de
(E)
lorque, respectivement, on pose :
d(x) = (x2 + 1)e−3x
3. Donner la forme générale des solutions de
Exercice 869
(E).
et
(E)
d(x) = cos x.
lorsque :
d(x) = 2(x2 + 1)e−3x + 50 cos x.
Déterminer une équation diérentielle vériée par la famille de fonctions
y(x) = C1 e2x + C2 e−x
Exercice 870
Exercice 871
C1 , C2 ∈ R.
Déterminer une équation diérentielle admettant
x
3
2x
caractéristique et e + (x /6)e
comme solution particulière.
(r − 2)2 = 0
Déterminer l'ensemble des solutions réelles des équations :
3x
00
0
x
a) y + y − 6y = e ,
b) y + y − 6y = e (2x + 1),
00
0
00
0
−2x
c) y − 4y + 13y = cos x,
d) y + 3y + 2y = e
(x + 1) avec y(0) =
00
comme équation
0
Exercice 872 (Partiel Novembre 96)
1, y(1) = 0.
On considère l'équation diérentielle suivante :
(E.D.) y 00 − 4y 0 + 4y = d(x),
où
d
est une fonction qui sera précisée plus loin.
1. Résoudre l'équation diérentielle homogène (ou sans second membre) associée à
2. Trouver une solution particulière de
(E.D.)
lorsque
d(x) = e
respectivement.
3. Donner la forme générale des solutions de
d(x) =
[Exercice corrigé]
Exercice 873
Résoudre sur
R
:
1.
y 00 − 4y = 4e−2x .
2.
y 00 − 3y 0 + 2y = (x2 + 1)ex .
3.
y 00 − 2y 0 + y = ex sin x.
(E.D)
lorsque
e−2x + e2x
.
4
−2x
et lorsque
(E.D.).
d(x) = e2x
16 Équations diérentielles
4.
106
y 00 + y = e−|x| .
Exercice 874
Exercice 875
Exercice 876
f : R → R deux fois dérivables telles que ∀x ∈ R f 00 (x)+f (−x) = x.
√
00
0
3
sur ]0, +∞[ xy − y − x y = 0 en posant z(t) = y( t).
Trouver les
Résoudre
Résoudre en posant
z(t) = y(et )
ou
y(−et )
suivant le signe de
x,
les équations
diérentielles (d'Euler) suivantes :
1.
x2 y 00 − 2y = x.
2.
x2 y 00 + xy 0 + y = x ln |x|.
Exercice 877
y
Exercice 878
que
Résoudre l'équation diérentielle de Bernouilli
1
ne s'annule pas et en posant z = .
y
Résoudre sur
R
x2 y 2 − xy 0 − 3y = 0 en supposant
:
dy(x)
− 2y(x) = x4 ,
dx
y”(x) − 4y(x) = 4e−2x ,
y”(x) − 2y 0 (x) + y(x) = ex sin x.
x
Exercice 879
En posant
z =
1
et en supposant que
y
y
ne s'annulle pas, résoudre l'équation
(de Bernoulli) :
d2 y(x)
dy(x)
−
x
− 3y(x) = 0.
dx2
dx
y 00 (x) + 2y 0 (x) + y(x) = 2x cos x cosh x.
x2
Exercice 880
[Exercice corrigé]
Exercice 881
Résoudre :
Déterminer les
f ∈ C 2 (R, R)
telles que :
∀x ∈ R, f 00 (x) + f (−x) = x cos x.
[Exercice corrigé]
Exercice 882
p(x)y(x) = 0
Exercice 883
Exercice 884
Soit
p
continue positive non nulle ; montrer que toute solution de
s'annule au moins une fois sur
R.
Montrer que toute solution de
En posant
t = arctan x,
y 00 (x) +
y 00 (x) +
2
y 00 (x)e−x + y(x) = 0
est bornée sur
R.
résoudre :
2x 0
y(x)
y (x) +
= 0.
2
1+x
(1 + x2 )2
[Exercice corrigé]
Exercice 885
Résoudre par le changement de fonction
2
z=
y
l'équation diérentielle :
x
x00 (x) − 2xy 0 (x) + (2 − x2 )y(x) = 0.
[Exercice corrigé]
17 Espaces vectoriels
107
Troisième partie
ALGÈBRE 2
17 Espaces vectoriels
Exercice 886
17.1 Dénition, sous-espaces
Déterminer lesquels des ensembles
E1 , E2 , E3
et
E4
sont des sous-espaces vec-
R3 . Calculer leurs dimensions.
= {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y − z = x + y + z = 0}.
= {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 − z 2 = 0}.
= {(x, y, z) ∈ R3 ; ex ey = 0}.
= {(x, y, z) ∈ R3 ; z(x2 + y 2 ) = 0}.
toriels de
E1
E2
E3
E4
[Exercice corrigé]
Exercice 887
externe
⊗
Soit
telle que
R∗+ muni de la loi interne ⊕ dénie par a ⊕ b = ab, ∀a, b ∈ R∗+ et de la loi
λ ⊗ a = aλ , ∀a ∈ R∗+ , ∀λ ∈ R. Montrer que E = (R∗+ , ⊕, ⊗) est un R-espace
vectoriel.
Exercice 888
Parmi les ensembles suivants reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vecto-
riels.
E1 = (x, y, z) ∈ R3 ; x + y + a = 0, et x + 3az = 0
E2 = {f ∈ F(R, R); f (1) = 0} ,
E3 = {f ∈ F(R, R); f (0) = 1}
0
E4 = {P ∈ Rn [X]; P = 3} ,
E5 = (x, y) ∈ R2 ; x + αy + 1 > 0 .
[Exercice corrigé]
Exercice 889
Parmi les ensembles suivants, reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vecto-
riels :
E1
E2
E3
E4
= {(x, y, z) ∈ R3 /x + y = 0};
= {(x, y, z, t) ∈ R4 /x = 0, y = z};
= {(x, y) ∈ R2 /x2 + xy > 0};
= {f ∈ RR /f (1) = 0};
Exercice 890
un
Déterminer si
R2 ,
E10 = {(x, y, z) ∈ R3 /xy = 0}.
E20 = {(x, y, z) ∈ R3 /x = 1}.
E30 = {(x, y) ∈ R2 /x2 + xy + y 2 > 0}.
E40 = {f ∈ RR /f (0) = 1};
E4 ” = {f ∈ RR /f est croissante }.
muni des lois internes et externes suivantes, est ou n'est pas
R-espace vectoriel :
1. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); λ(a, b) = (a, λb), λ ∈ R.
2
2
2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); λ(a, b) = (λ a, λ b), λ ∈ R.
3. (a, b) + (c, d) = (c, d); λ(a, b) = (λa, λb), λ ∈ R.
Exercice 891
Dire si les objets suivants sont des espaces vectoriels :
1. L'ensemble des fonctions réelles sur
[0, 1],
continues, positives ou nulles, pour l'addition
et le produit par un réel.
2. L'ensemble des fonctions réelles sur
R
vériant
limx→+∞ f (x) = 0
pour les mêmes opé-
rations.
3. L'ensemble des solutions
(x1 , x2 , x3 )
du système :

 2x1 − x2 + x3 = 0
x1 − 4x2 + 7x3 = 0

x1 + 3x2 − 6x3 = 0.
17 Espaces vectoriels
108
[0, 1]
4. L'ensemble des fonctions continues sur
∗
5. L'ensemble R+ pour les opérations
x ⊕ y = xy
6. L'ensemble des fonctions impaires sur
7. L'ensemble des fonctions sur
[a, b]
8. L'ensemble des fonctions sur
R
vériant
f (1/2) = 0.
λ · x = xλ , (λ ∈ R).
et
R.
f (a) = 7f (b) +
continues, vériant
qui sont nulle en
1
ou nulle en
9. L'ensemble des fonctions sur
en
1
et d'une fonction nulle
R qui peuvent s'écrire comme
en 4. Identier cet ensemble.
C2
12. L'ensemble des fonctions sur
R
vériant
telles que
13. L'ensemble des primitives de la fonction
15. L'ensemble des points
(x, y)
de
R
(x, y, z)
16. L'ensemble des vecteurs
xex
, vériant
de
R3
17. L'ensemble des fonctions continues sur
somme d'une fonction nulle
f 00 + ω 2 f = 0.
sur
R.
π/4 + kπ , (k ∈ Z).
sin(x + y) = 0.
orthogonaux au vecteur
[0, 1]
vériant
R1
0
(−1, 3, −2).
sin xf (x) dx = 0.
7.
18. L'ensemble des polynômes ne comportant pas de terme de degré
19. L'ensemble des fonctions paires sur
Exercice 892
ϕ)}
R
Exercice 893
est un
1. Soient
Montrer que l'ensemble
F
Soit
et
H
Exercice 894
R
Exercice 895
R
Exercice 896
un
R.
E = {f ∈ RR /(∃(a, ϕ) ∈ R2 )(∀x ∈ R)f (x) = a cos(x −
-espace vectoriel.
G
E
un
C-espace
vectoriel.
deux sous-espaces de
F ∪G
2. Soient
t3 f (t) dt.
f (3) = 7.
14. L'ensemble des nombres complexes d'argument
2
a
n.
10. L'ensemble des polynômes de degré exactement
11. L'ensemble des fonctions de classe
4.
Rb
E.
Montrer que
est un sous-espace vectoriel de
un troisième sous-espace vectoriel de
E.
E ⇐⇒ F ⊂ G
ou
G ⊂ F.
Prouver que
G ⊂ F =⇒ F ∩ (G + H) = G + (F ∩ H).
On munit
R2
de l'addition usuelle et de la loi externe
λ(x, y) = (λx, y).
Est-ce
-espace vectoriel ?
vectoriel de
3
Montrer que
{(x, y, z) ∈ R3 /x + y + z = 0
et
2x − y + 3z = 0} est un sous-espace
.
Montrer que
F = {f ∈ C(R, R)|∃(A, φ) ∈ R2 , ∀x ∈ R, f (x) = A cos(x + φ)}
est un espace vectoriel.
17 Espaces vectoriels
Exercice 897
109
17.2 Systèmes de vecteurs
Soient dans
1. Montrer que
v~1
et
v~2
R3
les vecteurs
v~1 (1, 1, 0), v~2 (4, 1, 4)
et
v~3 (2, −1, 4).
ne sont pas colinéaires. Faire de même avec
v~1
et
v~3 ,
puis avec
v~2
et
v~3 .
2. La famille
Exercice 898
(v~1 , v~2 , v~3 )
est-elle libre ?
Les familles suivantes sont-elles libres ?
1.
v~1 (1, 0, 1), v~2 (0, 2, 2)
et
v~3 (3, 7, 1)
dans
R3 .
2.
v~1 (1, 0, 0), v~2 (0, 1, 1)
et
v~3 (1, 1, 1)
dans
R3 .
3.
v~1 (1, 2, 1, 2, 1), v~2 (2, 1, 2, 1, 2), v~3 (1, 0, 1, 1, 0)
4.
v~1 (2, 4, 3, −1, −2, 1), v~2 (1, 1, 2, 1, 3, 1)
5.
v~1 (2, 1, 3, −1, 4, −1), v~2 (−1, 1, −2, 2, −3, 3)
Exercice 899
(e~1 , e~2 , e~3 , e~4 ).
On considère dans
Rn
v~3 (0, −1, 0, 3, 6, 2)
et
dans
dans
v~3 (1, 5, 0, 4, −1, 7)
une famille de
4
R5 .
R6 .
dans
R6 .
vecteurs linéairement indépendants :
Les familles suivantes sont-elles libres ?
1.
(e~1 , 2e~2 , e~3 ).
2.
(e~1 , e~3 ).
3.
(e~1 , 2e~1 + e~4 , e~4 ).
4.
(3e~1 + e~3 , e~3 , e~2 + e~3 ).
5.
(2e~1 + e~2 , e~1 − 3e~2 , e~4 , e~2 − e~1 ).
Exercice 900
x y
Exercice 901
et
et
v~4 (0, 1, 0, 0, 1)
et
pour que
R4 les vecteurs e~1 (1, 2, 3, 4) et e~2 (1, −2, 3, −4). Peut-on
(x, 1, y, 1) ∈ V ect{e~1 , e~2 } ? Et pour que (x, 1, 1, y) ∈ V ect{e~1 , e~2 } ?
Soient dans
Dans
x2 + x3 + x4 = 0.
R4
on considère l'ensemble
L'ensemble
E
E
des vecteurs
déterminer
(x1 , x2 , x3 , x4 ) vériant x1 +
R4 ? Si oui, en donner une
est-il un sous espace vectoriel de
base.
Exercice 902
R4 , on se donne cinq vecteurs : V1 = (1, 1, 1, 1), V2 = (1, 2, 3, 4),
V3 = (3, 1, 4, 2), V4 = (10, 4, 13, 7), V5 = (1, 7, 8, 14). Chercher les relations de dépendance
Dans l'espace
linéaires entre ces vecteurs. Si ces vecteurs sont dépendants, en extraire au moins une famille
libre engendrant le même sous-espace.
Exercice 903
R4 , on se donne cinq vecteurs : V1 = (1, 1, 1, 1), V2 = (1, 2, 3, 4),
V3 = (3, 1, 4, 2), V4 = (10, 4, 13, 7), V5 = (1, 7, 8, 14). À quelle(s) condition(s) un vecteur B =
(b1 , b2 , b3 , b4 ) appartient-il au sous-espace engendré par les vecteurs V1 , V2 , V3 , V4 , V5 ? Dénir
Dans l'espace
ce sous-espace par une ou des équations.
Exercice 904
x y
Exercice 905
et
pour que
e1 = (1, 2, 3, 4), e2 = (1, −2, 3, −4) de R4 . Peut-on déterminer
(x, 1, y, 1) ∈ Vect{e1 , e2 } ? pour que (x, 1, 1, y) ∈ Vect{e1 , e2 } ?
Soient les vecteurs
Soit
E
un espace vectoriel sur
les familles suivantes sont-elles libres ?
1.
x, 2y, z .
2.
x, z .
3.
x, 2x + t, t.
4.
3x + z, z, y + z .
5.
2x + y, x − 3y, t, y − x.
R
et
x, y, z, t
une famille libre d'éléments de
E,
17 Espaces vectoriels
Exercice 906
Exercice 907
Dans
110
R4 ,
comparer les sous-espaces
F
et
G
suivants :
Vect{(1, 0, 1, 1), (−1, −2, 3, −1), (−5, −3, 1, −5)}
F =
G =
Vect{(−1, −1, 1, −1), (4, 1, 2, 4)}
v 1 , v2 , v3 , . . . , v n
On suppose que
sont des vecteurs indépendants de
Rn .
1. Les vecteurs
v 1 − v 2 , v2 − v 3 , v3 − v 4 , . . . , v n − v 1
sont-ils linéairement indépendants ?
2. Les vecteurs
v 1 + v 2 , v2 + v 3 , v 3 + v 4 , . . . , v n + v 1
sont-ils linéairement indépendants ?
3. Les vecteurs
v 1 , v1 + v 2 , v 1 + v 2 + v 3 , v 1 + v 2 + v 3 + v 4 , . . . , v 1 + v 2 + · · · + v n
sont-ils
linéairement indépendants ?
Exercice 908 2  E 1 F
Soient
les vecteurs
et
{ 3  , −1}
−1
−2
et
[Exercice corrigé]
Exercice 909
Exercice 910
   
3
5



{ 7 , 0 }.
0
−7
Montrer que
engendrés respectivement par
E
et
Q-espace
√
S1 = (1; 2)
vectoriel.
R2 , les vecteurs u1 = (3 +
(u1 , u2 ) est Q-libre et R-lié.
2. Soient, dans
le système
3. Soient les vecteurs
v1 = (1 − i, i)
(a) Montrer que le système
et
et
√
√ √
S2 = (1; 2; 3)
√
5, 2 + 3 5)
v2 = (2, −1 + i)
(v1 , v2 )
est
R-libre
et
et
sont libres dans
√
u2 = (4, 7 5 − 9).
dans
et donner les
Exercice 911
sin t.cht, f4 : t 7→ sin t.sht.
F(R, R),
Montrer que
base de l'e.v.
C2
sur
cette base.
f1 : t 7→ cos t.cht, f2 : t 7→ cos t.sht, f3 : t 7→
(f1 , f2 , f3 , f4 ) est libre dans RR .
Montrer que le système
2. Même question pour la famille
Dans
considéré
C-lié.
S = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} est une
composantes des vecteurs v1 , v2 par rapport à
1. On dénit les fonctions suivantes :
R
C2 .
(b) Vérier que le système
Exercice 912
Exercice 913
sont égaux.
R3 , les vecteurs u1 = (2, 3, −1) et u2 = (1, −1, −2) engendrent
v1 = (3, 7, 0) et v2 = (5, 0, −7).
1. Montrer que les systèmes :
R,
F
Prouver que dans
le même s.e.v. que les vecteurs
comme
R3
les sous-espaces vectoriels de
F = {fλ : t 7→ eλt , λ ∈ R}.
x 7→ sin x, x 7→ sin 2x, x 7→ sin 3x,
les trois fonctions
sont-elles
linéairement indépendantes ? Généraliser.
Soit
E
un
C-espace
vectoriel et
S1 = (e1 , e2 , ..., en )
un système libre dans
E,
n > 2.
S2 = (e01 , e02 , ..., e0n )
1. On considère le système
déni par :
e0j =
libre ?
S3 = (ε1 , ε2 , ..., εn )
2. On considère le système
εn = en + e1 .
Montrer les résultats suivants :
⇒ S1
(a)
S3
(b)
n
impair :
(c)
n
pair :
libre
S3
S3
libre.
libre
lié.
⇔ S1
libre.
déni par :
Pj
k=1 ek , 1
6 j 6 n . S2
est-il
εj = ej + ej+1 , 1 6 j 6 n − 1
et
17 Espaces vectoriels
Exercice 914
111
Peut-on déterminer des réels x, y pour que le vecteur v = (−2, x, y, 3) apR4 par le système (e1 , e2 ) où e1 = (1, −1, 1, 2) et e2 =
partienne au s.e.v. engendré dans
(−1, 2, 3, 1) ?
[Exercice corrigé]
Exercice 915
Soient
f (x) = cos(x), g(x) = cos(x) cos(2x)
et
h(x) = sin(x) sin(2x).
Détermi-
ner vect (f, g, h).
Exercice 916
Soit
α∈R
et
(
R→R
fα :
x 7→ 1 si x = α , 0
et
(
R→R
gα :
x 7→ eαx
(fα )α∈R
. Montrer que la famille
sinon
est libre.
[Exercice corrigé]
Exercice 917
Exercice 918
N
∗
Soit
α∈R
. Montrer que la famille
Montrer que les familles suivantes sont libres dans
(gα )α∈R
RR ,
est libre.
et ce quelque soit
N ∈
:
(x → |x − a|)a=1,3,5,...,2N +1 ; (x → cos nx)n=1,2,...,N ; (x → eax )a=1,...,N
Exercice 919
vecteurs de
R
4
17.3 Somme directe
Soient
e~1 (0, 1, −2, 1), e~2 (1, 0, 2, −1), e~3 (3, 2, 2, −1), e~4 (0, 0, 1, 0) et e~5 (0, 0, 0, 1) des
. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justier votre réponse.
1.
V ect{e~1 , e~2 , e~3 } = V ect{(1, 1, 0, 0), (−1, 1, −4, 2)}.
2.
(1, 1, 0, 0) ∈ V ect{e~1 , e~2 } ∩ V ect{e~2 , e~3 , e~4 }.
3.
dim(V ect{e~1 , e~2 } ∩ V ect{e~2 , e~3 , e~4 }) = 1.
4.
V ect{e~1 , e~2 } + V ect{e~2 , e~3 , e~4 } = R4 .
5.
V ect{e~4 , e~5 }
Exercice 920
v4 =
est un sous-espace vectoriel de supplémentaire
On considère les vecteurs
(0, 0, 0, 1), v5 = (0, 1, 0, 1) dans R4 .
V ect{e~1 , e~2 , e~3 }
dans
R4 .
v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (0, 0, 1, 0), v3 = (0, 1, 0, 0),
1. Vect {v1 , v2 } et Vect {v3 } sont-ils supplémentaires dans
R4 ?
2. Même question pour Vect {v1 , v3 , v4 } et Vect {v2 , v5 }.
Exercice 921
Exercice 922
Si
L, M, N
sont trois sous-espaces vectoriels de
E,
a-t-on :
L ∩ (M + N ) = L ∩ M + L ∩ N ?
Soit
E = Rn [X]
l'espace vectoriel des polynômes de degré
6 n.
On dénit
Ea = {P ∈ E; (X − a)/P }
a ∈ R. Montrer que si a 6= b il existe un couple de réels (c, d) tels que 1 = c(X−a)+d(X−b).
déduire que E = Ea + Eb , la somme est-elle directe ?
pour
En
Exercice 923
sous-espace
E = ∆1 (R, R) et F = {f ∈ E/f (0) = f 0 (0) = 0}. Montrer
vectoriel de E et déterminer un supplémentaire de F dans E .
Soit
que
F
est un
[Exercice corrigé]
Exercice 924
F et G
E = F ⊕ G.
dit que
Soient
sont
E
un espace vectoriel,
supplémentaires
dans
E
F
et
G
lorsque
deux sous-espaces vectoriels de
F ∩ G = {0}
et
E = F + G.
E.
On
On note
18 Applications linéaires
1.
112
 
 
 
 
 
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
Soient e1 =   , e2 =   , e3 =   , e4 =   et e5 =   des vecteurs de
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
4
0
R . Posons F = Vect {e1 , e2 }, G = Vect {e3 , e4 }, G = Vect {e3 , e4 , e5 }. Montrer que
E = F ⊕ G et E 6= F ⊕ G0 .
2. Supposons que
E
est de dimension nie
(a) Calculer dim
de
G.
avec
y∈F
et
F = {f1 , · · · , fk }
(c) Soient
que dim
x de E
z ∈ G.
et
E = F ⊕ G.
se décompose d'une manière
F
une famille libre de
Montrer que la famille
F ∪G
et
unique en une somme
G = {g1 , · · · , gl }
ϕ
Rq , q ∈ N. Construire deux applications
∀y ∈ F : ψ 0 (y) = 0, ∀z ∈ G : ψ(z) = 0 et
Exercice 925 (Caractérisation de la somme directe de trois s.e.v.)
s.e.v. d'un e.v.
E,
vériant
1. Démontrer que
2. Montrer que
Exercice 926
une famille libre
est libre.
une application linéaire de E dans
0
q
linéaires ψ et ψ de E dans R telles que :
∀x ∈ E : ϕ(x) = ψ(x) + ψ 0 (x).
(d) Soit
(F ) = p
(G).
(b) Montrer que tout élément
x=y+z
n,
Soient
U, V, W
des
(I) : U ∩ V = {0} = (U + V ) ∩ W .
V ∩ W = {0} = U ∩ (V + W ).
(I)
équivaut à
(II) : (∀x ∈ U + V + W )(∃!(u, v, w) ∈ U × V × W )(x = u + v + w).
Soit
E = {(un )n∈N ∈ RN | (un )n
converge
}.
Montrer que l'ensemble des suites constantes et l'ensemble des suites convergeant vers 0 sont
des sous-espaces supplémentaires de
E.
18 Applications linéaires
Exercice 927 Notations :
18.1 Dénition
C : ensemble des fonctions numériques continues sur [0, 1].
Cd : ensemble des fonctions numériques ayant une dérivée continue sur [0, 1].
C(R) et C 1 (R) : dénis de façon analogue pour les fonctions dénies sur R.
P : ensemble des polynômes sur R.
Pn : ensemble des polynômes sur R, de degré 6 n.
Dire si les applications suivantes sont des applications linéaires :
1.
R → R : x 7→ 2x2 .
2.
3.
R → R : x 7→ 4x − 3.
√
R → R : x 7→ x2 .
4.
R2 → R2 : (x, y) 7→ (y, x).
5.
C → C : f 7→ {t 7→
6.
C → R : f 7→ f (3/4).
f (t)
}.
1+t2
18 Applications linéaires
113
R1
7.
C → R : f 7→ f (1/4) −
8.
12.
R2
R2
R2
R2
R2
13.
R2 → R : (x, y) 7→
14.
15.
C → Cd : f 7→ {x
P → Pn : A 7→ quotient
xés, avec B(0) 6= 0).
16.
R2 → R2 : M 7→ M 0
9.
10.
11.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
1/2
f (t) dt.
→ R : (x, y) 7→ 3x + 5y .
p
→ R : (x, y) 7→ 3x2 + 5y 2 .
→ R : (x, y) 7→ sin(3x + 5y).
→ R2 : (x, y) 7→ (−x, y).
→ R : (x, y) 7→ xy .
x2 y
si
x2 +y 2
R
1
7→ e−x 0
x2 + y 2 6= 0
f (t) dt}.
de A par B
déni par :
et0 sinon.
à l'ordre
−→
−−→0 −
OM = OM
−−→
OM
n
selon les puissances croissantes ( B et
si
−−→ −
→
OM 6= 0
−−→ −
→
−
→
R3 → R : M 7→ OM · V où V = (4, −1, 1/2).
√
R → R3 : x 7→ (2x, x/π, x 2).
C → R : f 7→ maxt∈[0,1] f (t).
C → R : f 7→ maxt∈[0,1] f (t) − mint∈[0,1] f (t).
R2 → R2 : (x, y) 7→ la solution du système d'équations
3u − v = x
6u + 2v = y.
en
et
0
(u, v)
n
sinon.
:
R2 → R2 : (x, y) 7→ le symétrique de (x, y) par rapport à la droite d'équation x+y −a = 0
(discuter selon les valeurs de a).
R3 → R3 : (x, y, z) 7→ la projection de (x, y, z) sur le plan x + y + z − a = 0 parallèlement
à Oz (discuter selon les valeurs de a).
Cd → C : f 7→ f 0 .
R3 → R2 : (x, y, z) 7→ (2x − 3y + z, x − y + z/3).
R → Cd : λ 7→ la solution de l'équation diérentielle y 0 − x2y+1 = 0 valant λ en x0 = 1.
R1
C → R : f 7→ 0 ln(1 + |f (t)|) dt.
R → R : x 7→ la 17-ième décimale de x (en écriture décimale).
R1
Cd → R : f 7→ f 0 (1/2) + 0 f (t) dt.
√
30.
31.
32.
R → R : x 7→ ln(3x 2 ).
R × C(R) → C(R) : (λ, f ) 7→ la primitive de f qui
C 1 (R) → C(R) : f 7→ {x 7→ f 0 (x) + f (x) · sin x}.
Exercice 928
Montrer que
f
Soient
et
g
f
et
g,
applications de
sont linéaires sur
C
C
vaut
λ
en
x0 = π .
C, dénies par f (z) = z̄ et g(z) = <(z).
R-e.v., et non linéaires sur C en tant que
dans
en tant que
C-e.v.
Exercice 929
Déterminer si les applications
fi
suivantes (de
Ei
dans
Fi )
sont linéaires :
f1 : (x, y) ∈ R2 7→ (2x + y, x − y) ∈ R2 , f2 : (x, y, z) ∈ R3 7→ (xy, x, y) ∈ R3
f3 : (x, y, z) ∈ R3 7→ (2x + y + z, y − z, x + y) ∈ R3
f4 : P ∈ R[X] 7→ P 0 ∈ R[X], f5 : P ∈ R3 [X] 7→ P 0 ∈ R3 [X]
f6 : P ∈ R3 [X] 7→ (P (−1), P (0), P (1)) ∈ R3 , f7 : P ∈ R[X] 7→ P − (X − 2)P 0 ∈ R[X].
18 Applications linéaires
114
Exercice 930
Soit E un espace vectoriel de dimension n et ϕ une application linéaire de E
n
n−1
dans lui-même telle que ϕ = 0 et ϕ
6= 0. Soit x ∈ E tel que ϕn−1 (x) 6= 0. Montrer que la
n−1
famille {x, . . . , ϕ
(x)} est une base de E .
[Exercice corrigé]
Exercice 931
F ×G→R
n
18.2 Image et noyau
F et G deux sous-espaces
f (x1 , x2 ) = x1 + x2 .
Soient
par
Rn ,
vectoriels de
on dénit l'application
f :
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer le noyau et l'image de
Exercice 932
(3)
Soit
f
f.
une application linéaire de
Rn
dans
Rn = Im(f )
M
(1)
à
Ker(f )
(2)
Im(f ) = Im(f 2 )
(3)
Ker(f ) = Ker(f 2 )
Exercice 933
de
Montrer que les propriétés
sont équivalentes.
(1)
de
Rn .
E
E
dans
dans
G trois sous espaces vectoriels de RN , f une application linéaire
F et g une application linéaire de F dans G. On rappelle que g ◦ f est l'application
G dénie par g ◦ f (v) = g(f (v)), pour tout vecteur v de E .
E, F
Soient :
1. Montrer que
g◦f
2. Montrer que
f
Exercice 934 E
E,
est une application linéaire.
Ker(g
1 et
vectoriel
et
E2
◦ f ) = Kerg ∩ Imf .
étant deux sous-espaces vectoriels de dimensions nies d'un espace
on dénit l'application
1. Montrer que
f
f : E1 × E2 → E
par
f (x1 , x2 ) = x1 + x2 .
est linéaire.
2. Déterminer le noyau et l'image de
f.
3. Appliquer le théorème du rang.
Exercice 935
l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Pour
p
on note ep le polynôme x 7→ x . Soit f l'application dénie sur E par f (P ) = Q avec
Soit
E
p6n
Q(x) = P (x + 1) + P (x − 1) − 2P (x).
1. Montrer que
2. Calculer
f
est une application linéaire de
f (ep ) ;
quel est son degré ? En déduire
Q un polynôme de Im f ;
f (P ) = Q et P (0) = P 0 (0) = 0.
3. Soit
Exercice 936
Soit
E
dans
E.
ker f ,
Im
f
et le rang de
f.
montrer qu'il existe un polynôme unique
E , F , G trois espaces vectoriels, f
et
P
tel que :
f
g
g deux applications linéaires E → F → G ;
montrer que :
Exercice 937
toriels de
linéaire
f
ker(g ◦ f ) = f −1 (ker g ∩ Im f ) = f −1 (ker g).
Soit
E
un espace vectoriel de dimension nie,
E ; donner une condition nécessaire et susante
E dans E vériant : f (E) = F et ker f = N .
de
F
et
N
deux sous-espaces vec-
pour qu'il existe une application
18 Applications linéaires
Exercice 938
115
E , F , G trois espaces vectoriels de dimensions respectives n, p, q , f et g
f
g
deux applications linéaires E → F → G telles que g ◦ f = 0. Quelle relation existe-t-il entre le
rang de f et celui de g ?
Exercice 939
dans
(1)
E;
E
Soit
f
un espace vectoriel de dimension nie,
une application linéaire de
E
montrer que les propriétés (1) à (3) sont équivalentes :
E = Im f ⊕ ker f ,
(2) Im
(3)
Soit
f = Im f 2 ,
ker f = ker f 2 .
Exercice 940
E
Soit
un espace vectoriel, et
u
une application linéaire de
E
dans
E.
Dire si
les propriétés suivantes sont vraies ou fausses :
1. Si
e1 , e2 , . . . , ep
2. Si
u(e1 ), u(e2 ), . . . , u(ep )
3. Si
e1 , e2 , . . . , ep
4. Si
u(e1 ), u(e2 ), . . . , u(ep )
est génératrice, il en est de même de
5. Si
u(e1 ), u(e2 ), . . . , u(ep )
est une base de
est libre, il en est de même de
est libre, il en est de même de
est génératrice, il en est de même de
espace vectoriel supplémentaire de
Exercice 941
u(e1 ), u(e2 ), . . . , u(ep ).
=u,
alors
e1 , e2 , . . . , ep .
u(e1 ), u(e2 ), . . . , u(ep ).
e1 , e2 , . . . , ep .
e1 , e2 , . . . , ep
est une base d'un sous-
Ker u.
E un espace vectoriel et ϕ une application linéaire de E dans E . On
(ϕ) ∩ Im (ϕ) = {0}. Montrer que, si x 6∈ Ker (ϕ) alors, pour tout n ∈ N :
Soient
suppose que Ker
ϕn (x) 6= 0.
[Exercice corrigé]
Exercice 942
Pour des applications linéaires
f : E → F , g : F → G,
établir l'équivalence
g ◦ f = 0 ⇐⇒ Imf ⊂ Kerg.
f un endomorphisme d'un e.v. E , vériant l'identité f 2 + f − 2iE = 0. Etablir Im (f − iE ) ⊂
Ker (f + 2iE ) ; Im(f + 2iE ) ⊂ Ker (f − iE ) ; E = Ker (f − iE ) ⊕ Ker (f + 2iE ).
Soit
Exercice 943
E
Soient
un espace vectoriel de dimension
n
et
f
une application linéaire de
E
dans lui-même. Montrer que les deux assertions qui suivent sont équivalentes :
1. Ker (f )
2.
f2 = 0
= im(f ).
n=2
et
rg(f ).
[Exercice corrigé]
Exercice 944
nie. Soit
f
Soient
un espace vectoriel et
1. Montrer que, si
F ⊂ f (F )
2. Montrer que, si
f
Exercice 945
ker(f ) ⊂ ker(g ◦ f )
Exercice 946
Soient
alors
E
F
un sous-espace vectoriel de
E
de dimension
dans lui-même.
f (F ) = F .
est injective et
f (F ) ⊂ F
alors
f : E → F et g : F → G
◦ f ) ⊂ Im(f ).
f (F ) = F .
deux applications linéaires. Montrer que
et Im(g
un espace vectoriel de dimension nie et ϕ une application linéaire de
n
n
dans lui-même. Posons Kn = Ker (ϕ ) et In = Im (ϕ ). Montrer qu'il existe n0 ∈ N tel que
Soit
E
E
une application linéaire de
pour tout
n > n0
Exercice 947
ker(f )
E
on ait
Soient
f
Kn = Kn0 . Déduiser en que pour tout n > n0
et
g
deux endomorphismes de
et Im(f ) sont stables par
g.
E
tels que
on a également
f ◦ g = g ◦ f.
In = In0 .
Montrer que
18 Applications linéaires
116
Exercice 948 f ∈ L(E)
f ◦ (f − f − id) = 0
Exercice 949 f ∈ L(E)
[Exercice corrigé]
Exercice 950 U
Soit
telle que
2
remarquera que
f3 = f2 + f.
Montrer que
E = ker(f ) ⊕ Im(f )
(on
).
ker(f ) ∩ Im(f ) = f (ker(f ◦ f )).
Soit
. Montrer que
Soit
un sous-espace vectoriel de
E
espace vectoriel, et
A = {f ∈ L(E)|U ⊂ Ker(f )}.
A
Montrer que
Exercice 951
Donner des exemples d'applications linéaires de
1.
Ker(f ) = Im(f ).
2.
Ker(f )
3.
Im(f )
inclus strictement dans
Soit
R2
dans
R2
vériant :
Im(f ).
inclus strictement dans
Exercice 952
L(E).
est un sous-espace vectoriel de
Ker(f ).
(u, v) ∈ (L(E))2 ,
tels que
u2 = u
et
vu = 0.
Montrer que
Im(u + v) = Im(u) + Im(v).
Exercice 953
18.3 Injectivité, surjectivité, isomorphie
Soit
(e~1 , e~2 , e~3 )
de
dénit une application linéaire de
Comment choisir
Exercice 954
λ
Soit
pour que
E
φ
R3 ,
et λ un nombre

 φ(e~1 ) = e~1 + e~2
φ(e~2 ) = e~1 − e~2

φ(e~3 ) = e~1 + λe~3
une base de
R3
dans
réel. Démontrer que la donnée
R3 . Ecrire l'image du vecteur ~v = a1 e~1 + a2 e~2 + a3 e~3 .
soit injective ? surjective ?
un espace vectoriel de dimension
3, {e1 , e2 , e3 }
une base de
E,
et
λ
un
paramètre réel.

 ϕ(e1 ) = e1 + e2
ϕ(e2 ) = e1 − e2
Démontrer que la donnée de
dénit une application linéaire ϕ de E

ϕ(e3 ) = e1 + λe3
dans E . Écrire le transformé du vecteur x = α1 e1 + α2 e2 + α3 e3 . Comment choisir λ pour que
ϕ soit injective ? surjective ?
Exercice 955 E
de
de
étant un espace vectoriel de dimension
E dans E , construire dans les trois
E dans E telles que f = u − v .
f est bijective.
Ker f + Im f = E .
f est quelconque.
Exercice 956
n
sur
R, f
une application linéaire
cas suivants deux applications linéaires bijectives
u
et
v
18 Applications linéaires
117
1. Dire si les applications
fi , 1 6 i 6 6,
sont linéaires
f1 : (x, y) ∈ R2 7→ (2x + y, ax − y) ∈ R2 ,
f2 : (x, y, z) ∈ R3 7→ (xy, ax, y) ∈ R3 ,
f3 : P ∈ R[X] 7→ aP 0 + P ∈ R[X],
f4 : P ∈ R3 [X] 7→ P 0 ∈ R2 [X],
f5 : P ∈ R3 [X] 7→ (P (−1), P (0), P (1)) ∈ R3 ,
f6 : P ∈ R[X] 7→ P − (X − 2)P 0 ∈ R[X].
2. Pour les applications linéaires trouvées ci-dessus, déterminer
si
fi
ker(fi ) et Im (fi ), en déduire
est injective, surjective, bijective.
Exercice 957
Soit f ∈ L(E) non nul ; montrer que f est injective si et seulement si pour tout
(E1 , E2 ) de sous-espaces supplémentaires de E , la somme f (E1 ) + f (E2 ) est directe (i.e.
f (E1 ) et f (E2 ) sont supplémentaires).
couple
Exercice 958
Soit
f ∈ L(E)
E
où
est un
K−espace
vectoriel. On suppose :
∀x ∈ E, ∃λ ∈ K, f (x) = λx.
Montrer :
Exercice 959
∃µ ∈ K, f = µid.
Soient
E = Cn [X]
(n +1). On considère l'application f
euclidienne de AP par B .
f
1. Montrer que
A
et
et
B
deux polynômes à coecients complexes de degré
qui à tout polynôme
est un endomorphisme de
P
de
E , associe les reste de la division
E.
2. Montrer l'équivalence
Exercice 960
Exercice 961
f
⇐⇒ A
et
B
sont premiers entre eux .
Soit
f ∈ L(E) telle que f 3 = f 2 + f + id. Montrer que f
Soit
E
un
Cespace
vectoriel et
f ∈ L(E)
1. Montrer que
f
2. Montrer que
E = ker(f − Id) ⊕ ker(f − 2Id).
∀i, f (εi ) = λi εi
Exercice 962
R
Exercice 963
linéaire de
E
toute base de
avec
E est de dimension
λi = 1 ou λi = 2.
q<p
Soient
dans
E
F.
E
nie
n,
il existe une base
β = (εi )16i6n ,
telle que
et
F
p<q
deux espaces vectoriels de dimension nie et
Montrer que
est une base de
[Exercice corrigé]
f 2 − 3f + 2Id = 0L(E) .
p
il n'existe pas d'application linéaire surjective de R dans
p
q
il n'existe pas non plus d'application linéaire injective de R dans R .
Montrer que si
. Montrer que si
tel que
est un automorphisme.
est un automorphisme.
3. Déduire de 2. que si
q
est bijective
ϕ
ϕ
une application
est un isomorphisme si et seulement si l'image par
ϕ
de
F.
Exercice 964
1. Soient
F.
E
et
F
deux espaces vectoriels et ϕ une application linéaire bijective de E dans
ϕ−1 est linéaire. Une telle application est dite un
Montrer que la bijection réciproque
isomorphisme d'espaces vectoriels.
18 Applications linéaires
2. Soient
E
et
F
118
deux espaces vectoriels de dimension nie. Montrer qu'il existe un isomor-
phisme d'espaces vectoriels de
Exercice 965
E
de
Soit
E
V. Le graphe
f (x)}.
de
F
à valeurs dans
si et seulement si dim (E)
= dim(F ).
ϕ et ψ deux applications
ψ ◦ ϕ = idE .
un espace vectoriel de dimension nie
dans lui-même telles que
Exercice 966
E
ϕ ◦ ψ = idE .
Montrer que
linéaires
18.4 Morphismes particuliers
Soient
f
U
et
V
deux ensembles non vides et
est le sous-ensemble de
U
1. On suppose maintenant que
et
la structure d'espace vectoriel de
2. Montrer qu'une partie
H
de
U ×V
V sont
U × V.
U ×V
f
déni par
U à valeurs dans
Gf = {(x, y) ∈ U × V tels que y =
une application de
des espaces vectoriels. Rappeler la dénition de
est le graphe d'une application linéaire de
U
dans
V
si et seulement si les trois conditions qui suivent sont satisfaites :
i) La projection canonique H → U dénie par (x, y) 7→ x est surjective.
ii) H est un sous-espace vectoriel de U × V.
iii) H ∩ ({0U }) × V ) = {0U ×V }. (0U et 0U ×V sont les éléments neutres respectifs de U
et
U × V.)
3. On identie
R4
à
R2 × R2
4. Montrer que
E
(x, y, z, t) 7→ ((x, y), (z, t)) .
par l'isomorphisme
conditions nécéssaires et susantes pour que
2
de R dans lui-même.
E
Enoncer des
soit le graphe d'une application linéaire
ϕ de R2 dans lui-même. Déterminer
est le graphe d'une application linéaire
sa matrice dans une base que l'on dénira au préalabe.
Exercice 967 (Projecteur et involution) E
E
u
E
projecteur
Soit
sur
. Un endomorphisme
de
est un
un espace vectoriel ; on note
si
iE
l'identité
u ◦ u = u.
u est un projecteur alors iE − u est un projecteur.
= {x ∈ E; u(x) = x} et que E = Keru ⊕ Imu.
endomorphisme u de E est appelé involutif si u ◦ u = iE .
1. Montrer que si
Vérier aussi que
Imu
Un
u est involutif alors u est bijectif et E = Im(iE + u) ⊕ Im(iE − u).
E = F ⊕ G et soit x ∈ E qui s'écrit donc de façon unique x = f + g , f ∈ F , g ∈G.
u : E 3 x 7→ f − g ∈ E .
2. Montrer que si
Soit
Soit
3. Montrer que
u
est involutif,
4. Montrer que si
u
F = {x ∈ E; u(x) = x}
est un projecteur,
2u − iE
et
G = {x ∈ E; u(x) = −x}.
est involutif et que tout endomorphisme
involutif peut se mettre sous cette forme.
Exercice 968
Soient
0, x − y − z = 0}.
On
P = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x + y − z = 0} et D = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x − 2y + z =
3
désigne par ε la base canonique de R .
1. Donner une base {e1 , e2 } de P et {e3 } une base de
ε0 = {e1 , e2 , e3 } est une base de R3 .
p la projection de R3 sur P
2
Mat (p, ε, ε). Vérier A = A.
2. Soit
parallélement à
D.
D.
Montrer que
R3 = P ⊕ D
Déterminer Mat (p, ε
0
, ε0 )
puis que
puis
A=
s la symétrie de R3 par rapport à P parallélement à D. Déterminer Mat (s, ε0 , ε0 ) puis
B = Mat(s, ε, ε). Vérier B 2 = I, AB = A et BA = A.
3. Soit
Exercice 969
18 Applications linéaires
1. Soit
E
119
un espace vectoriel de dimension
de dimension
n − 1.
n. Un hyperplan
de
E
est un sous-espace vectoriel
Montrer que l'intersection de deux hyperplans de
n − 2.
supérieure ou égale à
p 6 n,
Montrer que, pour tout
a une dimension supérieure ou égale à
E
a une dimension
l'intersection de
p
hyperplans
n − p.
n ∈ N et pour tout y ∈ R, l'application ey de Rn [X] à valeurs
en posant ey (P (X)) = P (y) ( i.e. l'application ey est l'évaluation en y ) est
2. Montrer que, pour tout
dans
R
dénie
linéaire. Calculer la dimension de son noyau.
0
3. Même question avec l'application ey de Rn [X] à valeurs dans
0
0
P (y) (en désignant par P le polynôme dérivé de P ).
4. Démontrer, à l'aide de ces deux résultats, qu'il existe dans
et ayant les propriétés suivantes :
Exercice 970
Soit
P (0) = P (1) = P (2) = 0
(
R2 → R2
f :
(x, y) 7→ 13 (−x + 2y, −2x + 4y)
R dénie en posant e0y (P (X)) =
R6 [X] un polynôme P non nul
0
0
0
et P (4) = P (5) = P (6) = 0.
. Montrer que
f
est la bîîîîp par
rapport à bîîîîp parallèlement à bîîîîp.
ExerciceL 971 E
R−espace vectoriel, F et G deux sous-espaces supplémentaires de E :
E=F
G. On
Lpose s(u) = uF − uG où u = uF + uG est la décomposition (unique) obtenue
grâce à E = F
G. s est la symétrie par-rapport à F de direction G.
1. Montrer que s ∈ L(E), que u ∈ F ⇔ s(u) = u, u ∈ G ⇔ s(u) = −u, donner Ker(s) et
2
calculer s .
2
E
. Calculer f (u) en
2. Réciproquement si f ∈ L(E) vérie f
= idE . On pose p = f +id
2
fonction de p(u) et u. Vérier que p est un projecteur, calculer son noyau et son image.
Montrer que f est la symétrie par rapport à F = {u ∈ E|f (u) = u} de direction G =
{u ∈ E|f (u) = −u}.
Exercice 972
est un
Soient
p
et
commutent). Montrer que
q deux projecteurs de E , espace vectoriel, tels que pq = qp (p
pq et (p + q − pq) sont deux projecteurs de E , et que :
et
q
Im(pq) = Im p ∩ Im q,
Exercice 973
Im(p + q − pq) = Im p + Im q.
Soient
p
et
q
deux projecteurs de
nécessaire et susante pour que
p+q
E,
espace vectoriel ; donner une condition
soit un projecteur de
E;
donner alors
Im(p + q)
et
Ker(p + q).
Indication
: on montrera que
Exercice 974
Im(p + q) = Im p
L
Im q
et que
Ker(p + q) = Ker(p) ∩ Ker(q).
E l'espace vectoriel des applications de R dans R, P le sous-espace
des
L
fonctions paires et I le sous-espace des fonctions impaires. Monter que E = P
I. Donner
l'expression du projecteur sur P de direction I.
Exercice 975
Soit
Soit
E = R[X]
l'espace vectoriel des polynômes, et
∀P ∈ E, f (P )(X) =
Montrer que
f ∈ L(E), que E = Im f
illustre t-il ?
Exercice 976
Soit
E = Rn [X]
L
Ker(f ) mais que f 2 = −f. Quel théorème cet exemple
l'espace vectoriel des polynômes de degré
0
f (P ) = P + (1 − X)P .
f ∈ L(E),
dénie par :
P (−X) − P (X)
.
2
dénie par :
Montrer que
f :E→E
donner une base de
Im f
et de
Ker(f ).
6 n,
et
f :E→E
19 Espaces vectoriels de dimension nie
Exercice 977
E = C(R+ , R)
Soit
et
U :E→E
120
dénie par
1
∀x ∈ R , U (f )(x) =
x
+∗
et
U (f )(0) = f (0).
Exercice 978
Montrer que
x
Z
déterminer
telle que :
f (t)dt.
0
Ker(U )
et
Im(U ).
Pq l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels de degré
Oq l'espace vectoriel des polynômes d'ordre supérieur ou égal à q ,
q
divisibles par x . P étant un polynôme, on note T (P ) le polynôme déni par :
Z x
1 5 (4)
T (P )(x) = xP (0) − x P (0) +
t2 [P (t + 1) − P (t) − P 0 (t)] dt.
20
0
On désigne par
q,
inférieur ou égal à
c'est-à-dire
U ∈ L(E),
f 7→ U (f )
et
T (ei ) où e0 = 1, e1 = x, e2 = x2 , e3 = x3 , e4 = x4 ,
et vérier que T (P4 ) ⊂ P4 . Désormais, on considère T comme application linéaire de P4
dans P4 . Écrire sa matrice par rapport à la base (e0 , e1 , e2 , e3 , e4 ).
T
1. Montrer que
est linéaire. Déterminer
2. Déterminer soigneusement les espaces
T0
3. La restriction
0
de T .
de
T
à
P4 ∩ O2
T (P4 ∩ O3 )
=T = (O1 ∩ P1 ) ⊕ (O3 ∩ P4 ).
5. Montrer que
Ker T
T (u) = λu.
(O1 ∩ P1 ) ⊕ V
T?
; expliciter un sous-espace
Ker T ∩ =T .
6. On cherche un vecteur non nul
que
Quel est le rang de
peut s'écrire sous la forme
possible. Déterminer
T (P4 ∩ O2 ).
est-elle injective ? Sinon déterminer une base du noyau
4. Montrer que
V
et
u = ae3 + be4
de
O3 ∩ P4 , et un nombre
a, b, λ. Montrer qu'il
Écrire les équations que doivent vérier
λ, λ1 et λ2 , telles 0 < λ1 < λ2 ; les calculer. Trouver
u4 de O3 ∩ P4 tels que T (u3 ) = λ1 u3 et T (u4 ) = λ2 u4 .
valeurs possibles de
u3
non nuls
et
u0 = e1 , u1 = e2 − 4e3 + 3e4 , u2 = e0 . Montrer
P4 . Écrire la matrice de T dans cette base.
7. On pose
base de
que
réel
λ,
tels
existe deux
deux vecteurs
{u0 , u1 , u2 , u3 , u4 }
est une
19 Espaces vectoriels de dimension nie
19.1 Base
Exercice 979
culer les
     
1
−1
1





Montrer que les vecteurs { 1
, 1 , 0 } forment une base de R3 . Cal1  0   −1
 
1
1
0





0 , 0 , 0 dans cette base.
coordonnées respectives des vecteurs
0
1
1
[Exercice corrigé]
Exercice 980
v~1 (1, 2, 3, 4), v~2 (2, 2, 2, 6), v~3 (0, 2, 4, 4), v~4 (1, 0, −1, 2), v~5 (2, 3, 0, 1) dans R4 .
Soient F = V ect{v
~1 , v~2 , v~3 } et G = V ect{v~4 , v~5 }. Déterminer une base des sous-espaces F ∩ G,
F, G et F + G.
Exercice 981
Soient
1. Montrer que les vecteurs x1 = (0, 1, 1), x2 = (1, 0, 1) et x3
R3 . Trouver dans cette base les composantes du vecteur x
forment une base de
2. Donner, dans
3. Donner, dans
R3 ,
R
3
un exemple de famille libre, qui n'est pas génératrice.
, un exemple de famille génératrice, mais qui n'est pas libre.
= (1, 1, 0)
= (1, 1, 1).
19 Espaces vectoriels de dimension nie
Exercice 982
121
R4 , F = lin{a, b, c} et G = lin{d, e}, avec a = (1, 2, 3, 4),
b = (2, 2, 2, 6), c = (0, 2, 4, 4), d = (1, 0, −1, 2) et e = (2, 3, 0, 1). Déterminer des bases des
sous-espaces F ∩ G, F , G, F + G.
Exercice 983
E1
E2
E3
E4
E5
= {P
= {P
= {P
= {P
= {P
∈ P5
∈ P5
∈ P5
∈ P5
∈ P5
On considère dans
Dans l'espace
P5
des polynômes de degré
| P (0) = 0}
| P 0 (1) = 0}
| x2 + 1 divise P }
| x 7→ P (x) est une fonction
| ∀x, P (x) = xP 0 (x)}.
6 5,
on dénit les sous-ensembles :
paire }
1. Déterminer des bases des sous-espaces vectoriels
E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E1 ∩ E2 , E1 ∩ E3 ,
E1 ∩ E2 ∩ E3 , E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ E4 .
2. Déterminer dans
Exercice 984
P5
des sous-espaces supplémentaires de
E4
et de
E1 ∩ E3 .
R4 on considère l'ensemble E des vecteurs (x1 , x2 , x3 , x4 ) vériant l'équa4
tion x1 + x2 + x3 + x4 = 0. L'ensemble E est-il un sous-espace vectoriel de R ? Si oui, en donner
Dans
une base.
Exercice 985
Vrai ou faux ? On désigne par
1. Si les vecteurs
2. Soit
x, y, z
x 1 , x2 , . . . , x p
E
un
R-espace
vectoriel de dimension nie.
sont deux à deux non colinéaires, alors la famille
x, y, z
est libre.
une famille de vecteurs. Si aucun n'est une combinaison linéaire des
autres, la famille est libre.
Exercice 986
Étudier l'indépendance linéaire des listes de vecteurs suivantes, et trouver à
chaque fois une base du sous-espace engendré.
1.
(1, 0, 1), (0, 2, 2), (3, 7, 1)
dans
R3 .
2.
(1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)
dans
R3 .
3.
(1, 2, 1, 2, 1), (2, 1, 2, 1, 2), (1, 0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 0, 1)
4.
(2, 4, 3, −1, −2, 1), (1, 1, 2, 1, 3, 1), (0, −1, 0, 3, 6, 2)
5.
(2, 1, 3, −1, 4, −1), (−1, 1, −2, 2, −3, 3), (1, 5, 0, 4, −1, 7)
Exercice 987
Dans
dans
dans
R5 .
R6 .
dans
R6 .
R3 , les vecteurs suivants forment-ils une base ? Sinon décrire le sous-espace
qu'ils engendrent.
1.
v1 = (1, 1, 1), v2 = (3, 0, −1), v3 = (−1, 1, −1).
2.
v1 = (1, 2, 3), v2 = (3, 0, −1), v3 = (1, 8, 13).
3.
v1 = (1, 2, −3), v2 = (1, 0, −1), v3 = (1, 10, −11).
Exercice 988 R
F = {(2, 3, −1), (1, −1, −2)}
Exercice 989 R
Dans
3
lin
Dans
4
F et G suivants
G = lin{(3, 7, 0), (5, 0, −7)}.
, comparer les sous-espaces
et
:
, on considère les familles de vecteurs suivantes
v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (0, 1, 2, −1), v3 = (1, 0, −2, 3), v4 = (2, 1, 0, −1), v5 = (4, 3, 2, 1).
v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (0, 1, 2, −1), v3 = (3, 4, 5, 16).
v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (0, 1, 2, −1), v3 = (2, 1, 0, 11), v4 = (3, 4, 5, 14).
Ces vecteurs forment-ils :
1. Une famille libre ? Si oui, la compléter pour obtenir une base de
R4 .
Si non donner des
relations de dépendance entre eux et extraire de cette famille au moins une famille libre.
2. Une famille génératrice ? Si oui, en extraire au moins une base de l'espace. Si non, donner
la dimension du sous-espace qu'ils engendrent.
19 Espaces vectoriels de dimension nie
Exercice 990 E
F ∪G
Exercice 991
Si
montrer que
122
est un espace vectoriel de dimension nie,
F
On désigne par
E
un
R-espace
G deux sous-espaces de E ,
F ⊂ G ou G ⊂ F .
et
est un sous-espace vectoriel si et seulement si
vectoriel de dimension nie. Les propriétés sui-
vantes sont-elles vraies ou fausses ?
D1 , D2 , D3 des droites vectorielles de R3 distinctes deux à deux. Alors R3 est somme
D1 , D2 , D3 .
1. Soient
de
2. Soient
F
3. Soient
P1
4. Soient
F
5. Soit
et
et
et
G
des hyperplans vectoriels de
P2
G
des plans vectoriels de
E
E.
tels que
3
des sous-espaces de dimension
(e1 , e2 , e3 , e4 )
la base canonique de
F
supplémentaire de
Exercice 992
contient
Alors
R
4
et
E 6= F ∪ G.
P1 ∩ P2 = {0}.
de
F =
R5 .
Alors
Alors
dim E > 4.
F ∩ G 6= {0}.
lin{e1 , e3 }. Tout sous-espace vectoriel
e2 .
2
3
1. Montrer qu'on peut écrire le polynôme F = 3X − X + 8X sous la forme
F = a + b(1 − X) + c(X − X 2 ) + d(X 2 − X 3 ) (calculer a, b, c, d réels), et aussi sous la
2
2
3
forme F = α + β(1 + X) + γ(1 + X + X ) + δ(1 + X + X + X ) (calculer α, β, γ, δ réels).
2. Soit
P3
l'espace vectoriel des polynômes de degré
P3 : B1 = {1, X, X 2 , X 3 }, B2
X, 1 + X + X 2 , 1 + X + X 2 + X 3 }.
sont des bases de
{1, 1 +
Exercice 993
6 3. Vérier que les ensembles suivants
= {1, 1 − X, X − X 2 , X 2 − X 3 }, B3 =
P2 des polynômes de degré 6 2, on considère les po2
2
2
2
2
lynômes P1 = X + X(1 − X) + (1 − X) , P2 = X + (1 − X) , P3 = X + 1 + (1 − X) ,
P4 = X(1 − X). Peut-on extraire de {P1 , P2 , P3 , P4 } des bases de P2 ? Si oui, les trouver toutes.
Exercice 994
Dans l'espace vectoriel
2
Soit
E
l'ensemble des fractions rationnelles
F =
P
(X −
1)3 (X 2
+ 1)2
,
P
F
qui peuvent s'écrire
polynôme de degré
6 6.
1
1
1
1
X
1
X
,
,
,
,
,
,
forment-elles une base de
(X−1) (X−1)2 (X−1)3 X 2 +1 X 2 +1 (X 2 +1)2 (X 2 +1)2
Que se passe-t-il si on suppose que P décrit l'ensemble des polynômes de degré 6 9 ?
Les fractions
E?
Exercice 995
Problème de l'interpolation : soit les cinq points (x1 , y1 ) = (−2, 3), (x2 , y2 ) =
(0, −2), (x3 , y3 ) = (1, 5), (x4 , y4 ) = (5, 1), (x5 , y5 ) = (6, 7) de R2 , et P4 l'espace vectoriel des
polynômes de degré 6 4. On veut trouver un polynôme F dans P4 tel que pour i = 1, . . . , 5 on
ait F (xi ) = yi .
1. Sans eectuer les calculs, indiquer comment on pourrait calculer a, b, c, d, e exprimant
F = a + bX + cX 2 + dX 3 + eX 4 selon la base {1, X, X 2 , X 3 , X 4 } de P4 .
2. Montrer que
de
de
{1, X + 2, (X + 2)X, (X + 2)X(X − 1), (X + 2)X(X − 1)(X − 5)} est une base
P4 . Calculer directement (indépendamment de la question précédente) les coordonnées
F dans cette base.
X(X −1)(X −5)(X −6), (X +2)(X −1)(X −5)(X −
6), (X + 2)X(X − 5)(X − 6), (X + 2)X(X − 1)(X − 6), (X + 2)X(X − 1)(X − 5) forment
une base de P4 . Calculer directement (indépendamment des questions précédentes) les
coordonnées de F dans cette base.
3. Montrer que l'ensemble des polynômes
4. Dans laquelle des diverses bases ci-dessus le calcul de
Exercice 996
Déterminer pour quelles valeurs de
forment une base de
R3 .
t ∈ R
F
vous paraît-il le plus simple ?
les vecteurs
     
1
1
t
0 , 1 , 0
t
t
1
19 Espaces vectoriels de dimension nie
Exercice 997
Soit
(Σ)
123
le système d'équations linéaires :

 x + 3y + 2z = 0
x+y+z+t=0

x−t=0
Montrer que l'ensemble des solutions de
la dimension et une base de
Exercice 998
Soit
P ∈ Rn [X].
On pose, pour tout
p ∈ N : Ap (X) = (X − a)p
est une base de
Montrer que
P (X) =
n
X
k=0
E
l'ensemble
de
Rn [X]
Exercice 999
de
R4 . Déterminer
F.
ε = {A0 , . . . , An }
1. Montrer que
2. Soit
a ∈ R.
(Σ) forme un sous-espace vectoriel F
des élément de
et
Bp (X) = X p .
Rn [X].
1 (k)
P (a)Ak (X).
k!
(On pourra montrer que
Rn [X] qui satisfont à cette égalité est un sous-espace vectoriel
et contient une base.)
E = R∗+ ×R de la loi interne addition + : (a, b)+(a0 , b0 ) = (aa0 , b+b0 ),
λ
coecients réels : (∀λ ∈ R)∀(a, b) ∈ Eλ.(a, b) = (a , λb).
On munit
et de la loi externe . à
1. Vérier que
(E, +, .)
est un
R-e.v.
2. Les systèmes suivants sont-ils libres ou liés : ((1,0),(1,1)) ? ((2,1),(8,3)) ? ((2,1),(6,3)) ?
b = ((2, 0), (2, 1)) est une base de E
v = (x, y) ∈ E par rapport à la base b.
3. Vérier que le système
du vecteur
Exercice 1000
Pour
k = 2, 3, 4
montrer que
Vk
est un s.e.v. de
et déterminer les composantes
Ck ,
et en donner une base :
V2 = {(a, b) ∈ C2 /a + ib = 0}, V3 = {(a, b, c) ∈ C3 /a + 2b + 3c = 0},
Exercice 1001
de degré
V4 = {(a, b, c, d) ∈ C4 /a + ib = b + ic = c + id}.
Soit
n ∈ N et E = Rn [X], l'espace
vectoriel des polynômes à coecients réels,
6 n.
1. Soit
β = (P0 , P1 , ..., Pn ) un système de (n + 1)
= k . Montrer que β est une base de E .
polynômes tels que,
∀k , 0 6 k 6 n,
deg Pk
2. Soit
P
n. Montrer que : γ = (P, P 0 , . . . , P (n) ) est une base de E et
du polynôme Q déni par : Q(X) = P (X + a), (a réel xé),
un polynôme de degré
déterminer les composantes
dans la base
γ.
3. Démontrer que le système
pour tout
Exercice 1002
S = (X k (1 − X)n−k )06k6n
p ∈ {0, 1, . . . , n},
est une base de E , et déterminer,
X p dans la base S .
les composantes du polynôme
v1 = (1, 0, 0, −1), v2 = (2, 1, 0, 1), v3 = (1, −1, 1, −1), v4 = (7, 2, 0, −1)
et v5 = (−2, −3, 1, 0). Donner une base du sous-espace vectoriel F =< v1 , v2 , v3 , v4 , v5 >.
4
Déterminer un supplémentaire de G dans F dans R .
Exercice 1003
Soient
v1 = (1, 2, 3, 0), v2 = (−1, 1, 2, 1), v3 = (1, 5, 8, 1) et le triplet
w1 = (0, 3, 5, 1), w2 = (1, −1, 1, 0), w3 = (0, 0, 3, 1). On considère les sous-espaces vectoriels
F =< v1 , v2 , v3 > et G =< w1 , w2 , w3 >. Donner une base des sous-espaces suivants F, G, F ∩G
et F + G.
Exercice 1004
Soient le triplet
Soit
E = fα,A ∈ F(R, R); (α, A) ∈ R2 ,
Montrer que
E
est un sous-espace vectoriel de
fα,A (x) = A cos(x + α) .
F(R, R)
et en donner une base.
19 Espaces vectoriels de dimension nie
Exercice 1005
E = R3 .
Soit
124
On dénit le système
S = {e1 = (1, 1, 1), e2 = (1, 1, 2), e3 = (1, 2, 3)}
1. Montrer que
S
est une base de
2. Calculer les coordonnées de
Exercice 1006
1. Montrer que les vecteurs
3
de C .
v = (5, 7, 12)
w = (1 + i, 1 − i, i)
√
s1 = (1, 2)
vectoriel sur Q.
1. Montrer que le système
comme un espace
R2 , les vecteurs u1 = (3 +
(u1 , u2 ) est Qlibre et Rlié.
2. Soient dans
système
dans cette base.
w1 = (1, −1, i), w2 = (−1, i, 1), w3 = (i, 1, −1) forment une base
2. Calculer les composantes de
Exercice 1007
E.
et
√
dans cette base.
s2 = (1,
√ √
2, 3)
√
5, 2 + 3 5)
et
sont libres dans
√
u2 = (4, 7 5 − 9).
R
considéré
Montrer que le
C2 , les vecteurs r1 = (1 + i, 1 − 2i) et r2 = (3i − 1, 5). Montrer que le système
Rlibre et Clié.
3. Soient dans
(r1 , r2 )
est
Exercice 1008
t + 1)
Exercice 1009
2
Déterminer pour quelles valeurs de
forment une base de
R2 [X].
Etudier la liberté des familles
1.
(1, 1), (1, 2).
2.
(2, 3), (−6, 9).
3.
(1, 3, 1), (1, 3, 0), (0, 3, 1).
4.
(1, 3), (−1, −2), (0, 1).
Exercice 1010
Les familles suivantes sont-elles génératrices ?
1.
(1, 1), (3, 1)
2.
(1, 0, 2), (1, 2, 1)
dans
R2 .
dans
Exercice 1011
R =Π⊕D
Exercice 1012
Exercice 1013
R3 .
On considère dans
Montrer que
t ∈ R les polynômes X 2 +t/2 , X −t , (X +
3
R3 , Π = vect {(1, 1, 1), (1, 1, −1)}
et
D = vect {(0, 1, −1)}.
.
Déterminer une base de
{(x, y, z) ∈ R3 /x + y + z = 0}.
Déterminer une base de
D = {(x, y, z) ∈ R3 /x + y = 0, x − y + z = 0}.
19.2 Dimension
Exercice 1014
R
V = (0, 1, 2, 3) V = (1, 2, 3, 4) V = (2, 3, 4, 5)
Exercice 1015 E
F
E
dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G)
Exercice 1016
Calculer la dimension du sous-espace vectoriel de
1
,
2
Si
, montrer que :
et
3
4
engendré par les vecteurs
.
est un espace vectoriel de dimension nie,
et
G
deux sous-espaces de
.
Montrer que tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension nie
est de dimension nie.
19 Espaces vectoriels de dimension nie
Exercice 1017
P0 , P 1 , P2
Soient
P0 (X) =
et
125
P3 ∈ R2 [X]
dénis par
(X − 1)(X − 2)
X(X − 1)
, P1 (X) =
,
2
2
(X − 1)(X − 3)
.
3
2
Exprimer 1, X, X en fonction de P0 , P1 et P2 . On note F = V ect{P0 , P1 } et G = V ect{P2 , P3 }.
Calculer dim F , dim G, dim(F + G) et dim(F ∩ G). Vérier que
P2 (X) = 2X(X − 2), P3 (X) =
dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G).
Exercice 1018
2
sin x, f2 (x) =
F
Donner la dimension du sous-espace
cos2 x, f3 (x) = sin 2x et f4 (x) = cos 2x.
Exercice 1019
On considère, dans
R4 ,
les vecteurs :

 
2
−1
0
3
  , e5 =  .
0
−1
1
2
Soient E l'espace vectoriel engendré par e1 , e2 , e3
dimensions respectives de E , F , E ∩ F , E + F .
de
F(R, R)
engendré par
f1 (x) =
 
 
 
1
2
1
1
2
1
 

 
e1 = 
3 , e2 = 1 , e3 = 1 , e4 =
1
4
3

et
F
celui engendré par
e4 , e5 .
Calculer les
[Exercice corrigé]
Exercice 1020
E = {(x, y, z, t) ∈ R4 /x + y + z + t = 0} et F = {(x, y, z, t) ∈ R4 /x + y = z + t}
dim E, dim F, dim(E + F ), dim(E ∩ F ).
(
R3 → R3
Montrer que f :
est un automorphisme.
(x, y, z) 7→ (z, x − y, y + z)
Déterminer
Exercice 1021
Exercice 1022
Soient
Soit
E
un
Q-espace
n
vectoriel de dimension
est pair
Exercice 1023
f (−2, 1) = 5
Exercice 1024
(1, x, −1), e = (x, 1, x), e = (−1, x, 1)
Exercice 1025 E
n.
⇔ ∃f ∈ L(E)/Imf = ker f
Montrer qu'il existe une unique forme linéaire
et
. Déterminer le noyau et l'image de
Déterminer suivant la valeur de
2
3
Soit
3
f = 0.
Soit
Montrer que
f
sur
R2
f.
x∈R
le rang de la famille de vecteurs
e1 =
.
un espace vectoriel de dimension
3
et
f ∈ L(E)
telle que
f 2 6= 0
et
x0 ∈ E/f (x0 ) 6= 0.
(x0 , f (x0 ), f 2 (x0 ))
est une base.
2. Montrer que l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec
2
vectoriel de L(E) de base (id, f, f ).
Exercice 1026
Soit
priétés :
ker f = ker f 2 .
(ii) Im f
f (1, 2) = 2
2
1. Montrer que
(i)
telle que
= Imf 2 .
E
de dimension nie et
f ∈ L(E).
f
est un sous-espace
Montrer l'équivalence des trois pro-
19 Espaces vectoriels de dimension nie
(iii)
126
E = ker f ⊕ Imf .
Exercice 1027
E
Soient
1. Montrer que rg (u
2. En déduire que
Exercice 1028
Soit
et
F
de dimensions nies et
u, v ∈ L(E, F ).
+ v) 6 rg(u) + rg(v).
|rg(u) − rg(v)| 6 rg(u + v).
(f, g) ∈ (L(E))2
où
E
est un
K -espace
vectoriel de dimension nie
n,
montrer les inégalités :
rg(f ) + rg(g) − n 6 rg(f ◦ g) 6 inf(rg(f ), rg(g))
(on pourra utiliser
Exercice 1029
que :
(f + g)
est
Exercice 1030
g| ker(f ◦g) = h
dont on déterminera le noyau)
(f, g) ∈ (L(E))2 où E est un K -espace
inversible et f g = 0. Montrer que :
Soit
vectoriel de dimension nie
n,
tel
rg(f ) + rg(g) = n.
Soit
U
un sous-espace vectoriel de
E
espace vectoriel, et
A = {f ∈ L(E)|U ⊂ Ker(f )}.
Montrer que
dimension de
A est
A?
Exercice 1031
un sous-espace vectoriel de
L(E).
Si
E
est de dimension nie, quelle est la
E0 , E1 , ..., En n + 1 espaces vectoriels sur un même corps commutatif
respectives α0 , α1 , ..., αn . On suppose qu'il existe n applications linéaires
Soient
K , de dimensions
f0 , f1 , ..., fn−1 telles
que :
∀k ∈ {0, ..., n − 1}, fk ∈ L(Ek , Ek+1 ).
et de plus :
f0 est injective ;
∀j ∈ {1, ..., n − 1}, Im fj−1 = Ker(fj );
fn−1 est surjective.
Montrer que
Exercice 1032
n
X
(−1)j αj = 0.
j=0
Soient
H1
et
H2
deux hyperplans de
E, espace vectoriel de dimension n. Mon-
trer que :
dim(H1 ∩ H2 ) > n − 2.
Généraliser.
Exercice 1033
Exercice 1034
Donner un exemple d'endomorphisme d'un espace vectoriel injectif et non
surjectif, puis d'un endomorphisme surjectif et non injectif.
Soit
E
un espace vectoriel de dimension nie et
f ∈ L(E),
lence :
E = Ker(f ) ⊕ Im(f ) ⇔ Im f = Im f 2 .
Donner un contre-exemple quand
dim E = +∞.
montrer l'équiva-
20 Matrices
127
Exercice 1035
(f, g) ∈ L(E, F )2
Soit
avec
E, F
de dimension nie. On suppose
rg(f + g) = rg(f ) + rg(g).
Montrer que :
E = Ker(f ) + Im f ;
Exercice 1036 E
Im f + Im g = Ker(f ) + Ker(g).
Exercice 1037 E
Soit
un espace vectoriel de dimension nie, et
Soit
E.
Im f ∩ Im g = {0}.
(f, g) ∈ L(E)2
avec
E =
Montrer que ces sommes sont directes.
(f1 , ..., fk )
un espace vectoriel de dimension nie, et
des projecteurs de
Montrer l'équivalence :
k
X
2
∀(i, j) ∈ {1, ..., k} , i 6= j ⇒ fi fj = 0 ⇔
fi
Exercice 1038
est un projecteur .
i=1
f ∈ L(E)
Soit
où
E
est un
K -espace
vectoriel de dimension
n,
tel que :
f 2 = −Id.
1. Montrer que
2. Soit
x 6= 0,
f
est inversible et que la dimension de
3. Montrer qu'il existe
p
L
Ei .
Exercice 1039
est paire, donc
n = 2p.
x et f (x) sont linéairement indépendants, et qu'ils engendrent un
E.
p sous-espaces de dimension deux stables par f , E1 ...Ep tels que :
monter que
sous-espace stable de
E=
E
En déduire une bonne formule de calcul de
f.
i=1
tente. On note
E
Soit
q∈N
∗
un
K
espace vectoriel de dimension nie
l'indice de nilpotence de
f,
n > 1.
Soit
f ∈ L(E)
nilpo-
i.e. :
q = inf{j ∈ N∗ |f j = 0}.
∃x0 ∈ E tel que {x0 , f (x0 ), ..., f q−1 (xo )}
r = dim Ker(f ). Montrer que r > 0 et que
n
6 q 6 n + 1 − r.
r
1. Montrer que :
2. Soit
soit libre. En déduire
q 6 n.
20 Matrices
Exercice 1040
2 1
3 2
×
20.1 Découverte
Eectuer le produit des matrices :
1 −1
1 1
Exercice 1041
1 2 0
3 1 4


−1 −1 0
4 −1 
× 1
2
1
2
On considère la matrice suivante :

0
 0
M =
 0
0
Calculer
M 2, M 3, M 4, M 5.
a
0
0
0
b
d
0
0

c
e 

f 
0

 

a b c
1 a c
 c b a × 1 b b 
1 1 1
1 c a
20 Matrices
128
Exercice 1042
On considère les trois matrices suivantes :


2 −3 1 0
1 3 
A= 5 4
6 −2 −1 7
1. Calculer
2. Calculer
AB
BC

7
 −5
B=
 3
6

2
2 

1 
0
et
C=
−1 2 6
3 5 7
(AB)C .
puid A(BC).
puis
3. Que remarque-t-on ?
Exercice 1043
On considère les deux matrices suivantes :

2
 5
A=
 3
2
1. Calculer
2. Calculer

3 −4 1
2 1 0 
,
1 −6 7 
4 0 1


3 −1 −3 7
 4 0
2
1 

B=
 2 3
0 −5 
1 6
6
1
AB .
BA.
3. Que remarque-t-on ?
Exercice 1044
A=
a b
0 a
Trouver les matrices qui commutent avec
matrice identité
Exercice 1046

B2, B3
Exercice 1047
(a)
où
I3
est la
en déduire une formule de récurrence que l'on démontrera pour
n.
n
Développer (B + I3 ) par la formule du binome et simplier.
n
En déduire A Pour tout entier n.


1 1 1 1
 0 1 1 1 
n

A=
 0 0 1 1  . Pour tout entier n, calculer A en utilisant A − I4 .
0 0 0 1


1 0 0
1. On considère la matrice A =  0 1 1  .
3 1 1




1 1 1
1 1
1
2
1 
Soient B =  0 1 0  et C =  1
1 0 0
0 −1 −1
Montrer que AB = AC , a-t-on A = C ? A peut-elle être inversible ?
pour tout entier
2. Soit
De même avec

0 1 1
2
2
Soit A =  1 0 1  . Calculer A et vérier que A = A + 2I3 ,
1 1 0
3 × 3. En déduire que A est inversible et calculer son inverse.


1 1 0
1. Soit A =  0 1 1  et soit B = A − I3 .
0 0 1
(a) Calculer
(c)

1 0 0
A =  0 1 1 .
3 1 2
.
Exercice 1045
(b)

Bn,
20 Matrices
129
F
(b) Déterminer toutes les matrices
telles que
A × F = O (O
étant la matrice dont
tous les coecients sont nuls).
2.
3.


1 2
4 . Déterminer toutes les matrices B telles que BA = I2 .
Soit A =  3
−1 4
Soient A et B deux matrices carrées n × n telles que AB = A + In .
Montrer que A est inversible et déterminer son inverse (en fonction de B ).
Exercice 1048






1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
Exercice 1049
linéaire de
A
et
Calculer le rang des matrices suivantes.
1
1
2
1
1
 
1
1
1
1
2


,


0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
 
1
0
0
0
1


,


A une matrice carrée
A2 = αA + βIn .
In
:
An
β est
A et In .
3. Application 1 : soit
n > 1.





1 1
0 2
1 1
2 1
1 −1
d'ordre
n;
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
3
2
2
3
0
non nul, alors
A
 


,


est inversible et que
A = Jn − In , où Jn est la matrice
A2 = (n − 2) A + (n − 1) In ; en
Montrer que
A
1 1
0 2
1 1
2 1
1 −1





A2
on suppose que
est également une combinaison linéaire de
2. Montrer que si
avec
0
1
0
0
0
Soit
1. Montrer que
linéaire de





1
1
1
1
1
In
et
A−1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
2
3
0






est une combinaison
pour tout
n ∈ N∗ .
est encore combinaison
Attila (envahie par les uns...),
déduire que
A
est inversible, et
déterminer son inverse.
n = 2, A2 est toujours une combinaison linéaire de A
I2 , et retrouver la formule donnant A−1 en utilisant 2.


−1 1
1
−1 1 
Soit A =  1
1
1 −1
2
2
−1
Calculer A et montrer que A = 2I − A, en déduire que A est inversible et calculer A .
4. Application 2 : montrer que si
et
Exercice 1050
Exercice 1051
Mn (R).
20.2 Généralités
Rappeler la structure d'espace vectoriel de
Mn (R).
Déterminer une base de
Donner sa dimension.
Exercice 1052
déterminer
Soit


1 0 2
A = 0 −1 1 . Calculer A3 − A. En déduire que A est inversible puis
1 −2 0
A−1 .
[Exercice corrigé]
Exercice 1053
Déterminer deux éléments
[Exercice corrigé]
Exercice 1054
o
R .
A
et
B
de
M2 (R)
tels que :
AB = 0
et
BA 6= 0.


a 0 c
n
Soit E le sous ensemble de M3 (R) déni par E = M (a, b, c) = 0 b 0 a, b, c ∈
c 0 a
20 Matrices
130
1. Montrer que
E
M3 (R)
est un sous-espace vectoriel de
matrices. Calculer dim
stable pour la multiplication des
(E).
M (a, b, c) un élément de E. Déterminer, suivant les valeurs des paramètres a, b et c ∈
R son rang. Calculer (lorsque cela est possible) l'inverse M (a, b, c)−1 de M (a, b, c).
2. Soit
3. Donner une base de
rang
E
formée de matrices inversibles et une autre formée de matrices de
1.
Exercice 1055
B ∈ M2 (R)
A ∈ M2 (R).
que AB = BA.
Soit
telles
1. Montrer que
C(A)
C(A)
et on note
l'ensemble des
k ∈ N, Ak ∈ C(A).
M (R) dénis par :
 3

a+b
0
c
a+b+d
a
c
b+c
0  a, b, c ∈ R} G = {
0
b+d
0  a, b, c, d ∈ R}.
F = { 0
c+a
0
a+b
a+c+d
0
a+c
Montrer que ce sont des sous espaces vectoriels de M3 (R) dont on déterminera des bases.
Soit
F
A
M2 (R).
et un sous espace vectoriel de
2. Montrer que pour tout
Exercice
1056

On nomme commutant de
G les

et
sous-ensembles de
[Exercice corrigé]
Exercice 1057
M2 (R).
Montrer que
F = {M ∈ M2 (R); tr(M ) = 0}
F et la compléter en une base
Déterminer une base de
[Exercice corrigé]
Exercice 1058
Soient
A
et
B ∈ Mn (K)
ϕ un
ϕ(F ) ⊂ F.
M2 (R).
deux matrices triangulaires supérieures.
1. Montrer (en calculant les coecients) que
2. Soit
est un sous-espace vectoriel de
de
endomorphisme bijectif de
−1
Montrer que que ϕ (F ) ⊂
n
K
F.
AB
et
est triangulaire supérieure.
F
un sous-espace vectoriel de
3. En déduire une nouvelle démonstration de 1. Montrer que si
A
Kn
est inversible,
tel que
A−1
est
triangulaire supérieure.
Exercice 1059
commute avec
où
A
Soit
N,
N ∈ Mn (C)
une matrice nilpotente. Calculer det (I
montrer que det (A
+ N ) = det(A).
Exercice 1061
Exercice 1062
1. Calculer
A ∈ Mn (C)
(on pourra commencer par étudier le cas
Soit
Soit
Soit
 x


 2 0 0

G =  0 1 x , x ∈ R . Montrer que G est un groupe multiplicatif.


0 0 1
cos θ − sin θ
n
A(θ) =
pour θ ∈ R. Calculer A (θ) pour n ∈ Z.
sin θ cos θ


0 0 0
A = −2 1 −1.
2 0 2
A3 − 3A2 + 2A.
2. Quel est le reste de la division euclidienne de
3. Calculer
A
An
pour
Xn
par
X 3 − 3X 2 + 2X ?
n ∈ N.
est-elle inversible ?
Exercice 1063
que
Si
est inversible.)
Exercice 1060
4.
+ N ).
A = B.
Soient
A
et
B ∈ Mn (Q)
telles que
∀X ∈ Mn (Q)
tr(AX)
=
tr(BX). Montrer
20 Matrices
131
Exercice 1064
Exercice 1065
Exercice 1066
Exercice 1067
Que peut-on dire d'une matrice
Discuter suivant les valeurs de
Calculer l'inverse de
λ∈R

Soit
n
t
qui vérie tr (A A)
le rang de la matrice

= 0?
1
1
2
1
3
1
2
1
3
1
4
1
3
1
.
4

λ

1
2
1
1
2 −1.
−2 −2 −1
Déterminer l'ensemble des matrices
Exercice 1068 M ∈ M (R)
M
Exercice 1069 M = (a )
Montrer que
A ∈ Mn (R)
M ∈ Mn (R)
telles que :
∀H ∈ Mn (R), M H = HM.
telle que
M − In
soit nilpotente (ie
∃k ∈ N, (M − In )k = 0).
est inversible.
i,j (i,j)∈{1,...,n}2
∈ Mn (R)
telle que :
X
∀i ∈ {1, ..., n}, |ai,i | >
|ai,j | .
j6=i
Montrer que
M
Exercice 1070
Exercice 1071
est inversible.
Montrer que si
Soit
(A, B) ∈ Mn (R)
et
AB = A + B
M = (ai,j )(i,j)∈{1,...,n}2 ∈ Mn (R),
alors
AB = BA.
montrer :
min max ai,j > max min ai,j .
Exercice 1072
j
Soit
J ∈ Mn (R)
i
i
j
une matrice telle que :
J2 = I
et
E = {A ∈ Mn (R)|∃(a, b) ∈ R2 ; A = aI + bJ}.
E
1. Montrer que
est un espace vectoriel stable par multiplication (Est-ce une algèbre ?).
En déduire que :
∀A ∈ E, ∀n ∈ N, ∃(an , bn ) ∈ R2 ; An = an I + bn J
et calculer les coecients an et bn .
n
P
Ak
2. Soit Sn =
. Calculer (un , vn ) tel que
k!
k=0
Calculer les limites de
v = lim vn .
n→∞
Calculer
(un )n∈N
e−A
et de
Sn = u n I + v n J
(vn )n∈N .
et le produit
On pose
en fonction de
eA = uI + vJ
où
a
et de
b.
u = lim un ,
n→∞
e−A eA .
3. Application :
J=
Calculer
0 1
1 0
,A =
a b
b a
.
eA .
Exercice 1073
B = 0.
Exercice 1074
Soit
(A, B) ∈ (Mn (C))2
tel que
∀X ∈ Mn (C), AXB = 0.
Montrer que
A=0
ou
(
Indication
(A, B) ∈ (Mn (C))2 tel que AB = I + A + A2 .
d'abord que A est inversible).
Soit
: voir
Montrer que
AB = BA
20 Matrices
Exercice 1075
132
Soit
A ∈ Mn (R)une
matrice triangulaire à éléments diagonaux nuls, montrer
que :
Exercice 1076
An = 0.
Calculer les puissances de :
Exercice 1077
Soit


1 1 1
a b
a b
,
,  0 1 1 .
0 a
b a
0 0 1
A ∈ Mn (R)
nilpotente, on dénit :
exp A =
X Ai
i>0
i!
,
i tel que Ai = 0. Montrer
exp(A + B) = exp(A) exp(B). En déduire
la somme étant nie et s'arrêtant par exemple au premier indice
que
A et B sont nilpotentes et commutent, alors
exp(A) est toujours inversible et calculer son inverse.
que
si
Exercice 1078
Exercice 1079
Calculer l'inverse de :

1
 0

 ...
0
...
1
0
...
...
...
1
0
 
1
1 2


...   0 1
,
...   ... 0
1
0 ...
...
2
1
0

n
... 
.
2 
1
Calculer l'inverse de :

Exercice 1080 (Examen)
1
 0

 ...
0
Soient
a
1
0
...
(xn )n∈N
...
a
1
0
et

a
... 
 , a ∈ R.
a 
1
(yn )n∈N
deux suites réelles, vériant la relation
de récurrence linéaire suivante :
n x
n+1 = −9xn −18yn
yn+1 = 6xn +12yn
avec
x0 = −137
et
y0 = 18.
On se propose dans ce problème de trouver les termes généraux de
ces deux suites.
1. Montrer qu'il existe une matrice
A ∈ M2 (R)
ci-dessus soit équivalente à la relation
3.
4.
5.
6.
7.
Un+1 = AUn ,
où
Un =
xn
yn
.
A et de U0 .
Trouver le noyau de A, et en donner une base B1 . Calculer le rang de A.
2
Montrer que l'ensemble des vecteurs X ∈ R tels que AX = 3X est un sous-espace
2
vectoriel de R . Quelle est sa dimension ? En donner une base, qu'on notera B2 .
2
Montrer que la réunion B1 ∪ B2 forme une base B de R . Soit P la matrice formée des
2
composantes des vecteurs de B relativement à la base canonique de R . Montrer que P
−1
est inversible, et que le produit P
AP est une matrice diagonale D qu'on calculera.
n
n −1
n
n
Montrer que A = P D P
. Calculer D , et en déduire A , pour tout n ∈ N.
Donner les termes généraux xn et yn .
2. Trouver une expression de
[Exercice corrigé]
Un
telle que la relation de récurrence linéaire
en fonction de
20 Matrices
133
20.3 Matrice provenant d'un endomorphisme
Exercice 1081
(e1 , e2 , e3 )
et
h
Soit
(f1 , f2 )
1. On prend dans
A=
par la matrice
R3
2
R3 dans
R
2 −1 1
.
3 2 −3
l'homomorphisme de
la nouvelle base :
e01 = e2 + e3 ,
Quelle est la nouvelle matrice
2. On choisit pour base de
R
2
A1
e02 = e3 + e1 ,
de
en conservant la base
dans
F,
espace
e03 = e1 + e2 .
h?
les vecteurs :
1
f10 = (f1 + f2 ),
2
Exercice 1082
déni par rapport à deux bases
(e01 , e02 , e03 )
de
R3 .
1
f20 = (f1 − f2 )
2
Quelle est la nouvelle matrice
A2
de
h?
h une application linéaire de rang r, de E , espace vectoriel de dimension n,
vectoriel de dimension m.
Soit
(ei )ni=1 de E , et
h(ek ) = 0 pour k > r.
1. Préciser comment obtenir une base
h(ek ) = fk
pour
k = 1, . . . , r
et
une base
(fj )m
j=1
de
F,
Quelle est la matrice de
telles que
h
dans un
tel couple de bases ?
2. Déterminer un tel couple de bases pour l'homomorphisme de
R4
dans
R3
déni dans les
bases canoniques par :
h(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (y1 , y2 , y3 )
3. Même question pour l'application
Exercice 1083
On désigne par
f
de
avec
R3

 y1 = 2x1 − x2 + x3 − x4
y2 = x2 + x3 − 2x4

y3 = x1 + 2x2 + x3 + x4
dans lui-même dénie par :
f (x, y, z) = (2x + y + z, −y + z, x + y).
On désigne par
(e0 , e1 , e2 )
P2
l'espace des polynômes sur
la base canonique de
p0 = e0 ,
P2
1
p1 = e1 − e0 ,
2
1. Montrer que tout polynôme de
P2
R de degré inférieur ou égal à 2.
et on pose
1
p2 = e2 − e1 + e0 .
2
peut s'écrire de façon unique sous la forme
p = b0 p 0 +
b1 p 1 + b2 p 2 .
2. Écrire sous cette forme les polynômes :
3. Montrer que l'application
p00 , p01 , p02 , p0 , Xp0 , p00 .
ϕ : P2 → P2
dénie par
ϕ(p) = Xp0 − 21 p0 + 14 p00
est une
application linéaire. Préciser le noyau et l'image de cette application. Écrire les matrices
(ei ) et par rapport à la base (pi ).
(pi ) ; quelle relation lie cette matrice
de cette application par rapport à la base canonique
Écrire la matrice de passage de la base
(ei ) à la base
aux deux précédentes ?
Exercice 1084
Soit
vectoriel et on xe la
1. Montrer que
2. Calculer
f
f : C → C l'application z 7→ eiθ z̄.
base ε = {1, i}.
est
R-linéaire.
A = Mat(f, ε, ε).
On considère
C
comme un
R-espace
20 Matrices
134
x
3. Existent-ils
un tel
x
et
y ∈ C − {0}
y.
tels que
f (x) = x
z 7→ eiρ z̄.
Calculer
et
f (y) = −y?
Si c'est le cas déterminer
et un tel
4. Décrire géométriquement
g:C→C
quement g ◦ f.
5. Soit
Exercice 1085
Soit
f.
l'application
f ∈ L(R3 )
1. Montrer que Ker (f )
telle que
f 3 = −f
∩ Ker(f 2 + I) = {0},
et
x un élément distinct de 0 de Ker(f 2 + I).
f (x) = αx. En déduire que {x, f (x)} est libre.
ε
4. Déterminer une base
Exercice 1086
Soient
x
dans lui-même et
E
de
R3
2
Mat (g
◦ f, ε, ε)
et décrire géométri-
f 6= 0.
Ker (f )
2. Soit
3. Calculer dim (Ker (f )) et dim(Ker (f
A=
6= {0}
et Ker (f
2
+ I) 6= {0}.
telle que :
1. Montrer que la famille
E
tel que
+ I)).


0 0 0
Mat (f, ε) = 0 0 −1 .
0 1 0
n, f une application
f (x), ..., f n (x) soit libre.
un espace vectoriel de dimension
un élément de
α∈R
Montrer qu'il n'existe pas
tel que la famille
x, f (x), . . . , f n−1 (x)
est une base de
E.
linéaire de
Déduiser-en que
f
E
est
bijective.
f n (x) = x. Déterminer la matrice de f dans la base x, f (x), . . . , f n−1 (x
2
Déterminer la matrice de la projection de R sur R~
i parallèlement à R(~i + ~j)
~
~
~
~
~
(i + j, j) puis (i, j).
2. On suppose maintenant que
Exercice 1087
Exercice 1088
dans la base
1. Soit
Soit
n ∈ N.
R[X]
l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels.
Montrer que
Rn [X],
ensemble des polynômes à coecients réels et de de-
gré inférieur ou égal à n, est un sous-espace vectoriel de
1, X, . . . , X n est une base de Rn [X].
2. Soient
f, g
et
h
les applications de
R[X] dans lui-même
f (P (X)) = XP (X),
g(P (X)) = P 0 (X),
h(P (X)) = (P (X))2 .
Montrer que les applications
f
et
g
R[X].
Montrer que la famille
dénies par :
sont linéaires, mais que
h ne l'est pas. f
et
g
sont-elles
injectives ? Surjectives ? Déterminer la dimension de leurs noyaux respectifs. Déterminer
l'image de
f.
fn et gn les restrictions de f et de g à Rn [X]. Montrer que l'image de gn
est incluse dans Rn [X] et celle de fn est incluse dans Rn+1 [X]. Déterminer la matrice de
gn dans la base 1, X, ..., X n de Rn [X]. Déterminer la matrice de fn de la base 1, X, ..., X n
n+1
dans la base 1, X, ..., X
. Calculer les dimensions respectives des images de fn et de gn .
−1 2
Soient A =
et f l'application de M2 (R) dans lui-même M 7→ AM.
1 0
Montrer que f est linéaire. Déterminer sa matrice dans la base canonique de M2 (R).
3. On désigne par
Exercice 1089
Exercice 1090
Soit
ϕ une application linéaire de R2
dans lui-même telle que
ϕ 6= 0 et ϕ2 = 0.
1. Construire des exemples de telles applications.
x ∈ R2 tel que ϕ(x) 6= 0.
matrice de ϕ dans cette base.
2. Soit
Montrer que
{x, ϕ(x)}
est une base de
R2 .
Déterminer la
20 Matrices
135
Exercice 1091
E
Soit
un espace vectoriel et
ϕ ∈ L(E).
2
1. On suppose que Ker (ϕ) = Ker (ϕ ). Soit p > 1 et x ∈ Ker (ϕ
p
En déduire que Ker (ϕ ) = Ker (ϕ) pour tout p > 1.
2. Montrer de même que si Ker (ϕ
2
) = Ker(ϕ3 )
alors Ker (ϕ
p
p
). Montrer que x ∈ Ker(ϕp−1 ).
) = Ker(ϕ2 )
pour tout
p > 2.
3
3. On suppose désormais que ϕ est une application linéaire de R dans lui-même telle que
ϕ2 6= 0. Soit x ∈ R3 tel que ϕ2 (x) 6= 0. Montrer que {x, ϕ(x), ϕ2 (x)} est une base de R3 .
Déterminer la matrice de
Exercice 1092
E
dans
E
e1 ∈ E
E un espace vectoriel de dimension 3
ϕ = 0 et ϕ 6= 0. Posons r = rg(ϕ).
(ϕ) ⊂ Ker (ϕ).
ϕ
r 6 3 − r.
Déduiser-en que
Soient
E
ϕ
dans la base
une application linéaire de
Calculer
ϕ(e1 ) 6= 0. Posons e2 = ϕ(e1 ). Montrer
{e2 , e3 } soit libre. Montrer que {e1 , e2 , e3 } est
3. Déterminer la matrice de
telle que
et
tel que
que la famille
Exercice 1093
dans cette base.
Soient
2
telle que
1. Montrer que Im
2. Soit
ϕ
r.
qu'il existe
une base de
e3 ∈
E.
Ker
(ϕ)
tel
{e1 , e2 , e3 }.
un espace vectoriel et
ϕ une application linéaire de E
dans lui-même
2
ϕ = ϕ.
1. Montrer que
E = Ker (ϕ) ⊕ Im (ϕ).
E est de dimension nie n. Posons q = dim (Ker (ϕ)). Montrer qu'il existe
une base B = {e1 , . . . , en } de E telle que : ϕ(e1 ) = . . . = ϕ(eq ) = 0 et, pour tout r > q ,
ϕ(er ) = er . Déterminer la matrice de ϕ dans la base B .
2. Supposons que
Exercice 1094
f l'application de Rn [X] dans R[X], dénie en posant, pour tout P (X) ∈
Rn [X] : f (P (X)) = P (X + 1) + P (X − 1) − 2P (X).
Soit
1. Montrer que
f
2. Dans le cas où
est linéaire et que son image est incluse dans
n = 3,
donner la matrice de
n
ensuite, pour une valeur de
f.
Q
f.
un élément de l'image de
1, X, X 2 , X 3 . Déterminer
f dans la base 1, X, . . . , X n .
dans la base
quelconque, la matrice de
3. Déterminer le noyau et l'image de
4. Soit
f
Rn [X].
Calculer leurs dimensions respectives.
Montrer (en utilisant en particulier les résultats
de la deuxième question) qu'il existe un unique
P (0) = P 0 (0) = 0.
P ∈ Rn [X]
tel que :
f (P ) = Q
et
20.4 Endomorphisme provenant d'une matrice
Exercice 1095
Soit
(e1 , e2 , e3 )
E
une base de l'espace
E.
désigne l'application identique de
à trois dimensions sur un corps
On considère l'application linéaire
f
de
E
dans
K . IE
E telle
que :
f (e1 ) = 2e2 + 3e3 ,
f (e2 ) = 2e1 − 5e2 − 8e3 ,
1. Étudier le sous-espace
ker(f − IE )
2. Étudier le sous-espace
2
f (e3 ) = −e1 + 4e2 + 6e3 .
: dimension, base.
ker(f + IE )
: dimension, base.
3. Montrer que la réunion des bases précédentes constitue une base de
2
matrice de f dans cette nouvelle base ? et celle de f ?
Exercice 1096
Soit
E
un espace à
1. Montrer que la condition
alors le rang de
f?
2
n
f =0
dimensions et
f
un endomorphisme de
⊂ ker f . Quelle
2
l'exercice que f = 0.
est équivalente à Im f
On suppose dans le reste de
E.
Quelle est la
E.
condition vérie
20 Matrices
ker f dans E et soit (e1 , e2 , . . . , er ) une base de E1 . Mon(e1 , e2 , . . . , er , f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (er )) est libre. Montrer
comment on peut la compléter, si nécessaire, par des vecteurs de ker f de façon à obtenir
une base de E . Quelle est la matrice de f dans cette base ?
2. Soit
E1
136
un supplémentaire de
trer que la famille des vecteurs
3. Sous quelle condition nécessaire et susante a-t-on Im
f = ker f ?
3
f l'endomorphisme
de R dont la matrice dans la base canonique est

1 0 1

2 0 2 . Montrer que f 2 = 0. Déterminer une nouvelle base dans laquelle
M (f ) =
−1 0 −1
la matrice de f a la forme indiquée dans la question 2).
4. Exemple : Soit

Exercice 1097
e1 , e2 , e3 formant une base de R3 . On note T
T (e1 ) = T (e3 ) = e3 , T (e2 ) = −e1 + e2 + e3 .
Soit trois vecteurs
tion linéaire dénie par
1. Déterminer le noyau de cette application. Écrire la matrice
A de T
dans la base
f1 = e1 − e3 , f2 = e1 − e2 , f3 = −e1 + e2 + e3 . Calculer e1 , e2 , e3
f1 , f2 , f3 . Les vecteurs f1 , f2 , f3 forment-ils une base de R3 ?
2. On pose
la transforma-
(e1 , e2 , e3 ).
en fonction de
T (f1 ), T (f2 ), T (f3 ) en fonction de f1 , f2 , f3 . Écrire la matrice B de T dans la
base (f1 , f2 , f3 ) et trouver la nature de l'application T .


1
1 −1
−1 1 . Vérier que P est inversible et calculer P −1 . Quelle
4. On pose P =  0
−1 0
1
−1
relation lie A, B , P et P
?


1
3 α β
−1 2 1  ∈ M3,4 (R). Déterminer pour
Soit Mα,β la matrice : Mα,β =  2
−1 1 2 0
quelles valeurs de α et de β l'application linéaire qui lui est associée est surjective.
3. Calculer
Exercice 1098
[Exercice corrigé]
Exercice 1099
E un espace vectoriel et {e1 , . . . ep } une famille génératrice de E . Montrer l'égalité
Im (ϕ) = Vect {ϕ(e1 ), . . . , ϕ(ep )}.




1 2 1
2 2 −1
3 4 1
4 3 −1



Soient A = 
5 6 1 , B = 0 −1 2 . Calculer rg (A) et rg(B). Déterminer une
7 8 1
3 3 −2
base des noyaux et une base des images respectifs de fA et de fB .
1. Soit
2.
Exercice 1100
dans
E.
fait que
Soit
E
un espace vectoriel de dimension
Montrer qu'il existe un polynôme
L(E)
est isomorphe à
[Exercice corrigé]
Exercice 1101

P ∈ R[X]
n
ϕ une application linéaire de E
P (f ) = 0. (On pourra utiliser le
et
tel que
Mn (R).)
0 ...
 ..
.
Soit A = 
0
1 0
n
n
p
L(Q , Q ), calculer A pour p ∈ Z.
0
...

1

0
.
.
.
.
0
En utilisant l'application linéaire associée de
21 Déterminants, systèmes linéaires
137

0
 ..
.
A = .
 ..

0
.
..
..
.
.
.
.
Même chose avec
.
..
.
1
0 ... ... 0


3 −1 1
3
2 0 dans la base canonique. Déterminer
Soit f ∈ L(R ) de matrice 0
1 −1 3
la matrice de f dans la base (1, 0, −1), (0, 1, 1), (1, 0, 1).
2
2
2
3
Soit f l'endomorphisme de R de matrice
dans la base canonique.
− 52 − 23
Soient e1 = (−2, 3) et e2 = (−2, 5).
Exercice 1102
1
...
Exercice 1103
Exercice 1104
(e1 , e2 )
1. Montrer que
2. Calculer
3.
A
n
pour
est une base de
R2
et déterminer mat (f, e).
n ∈ N.


xn+1 = 2xn + 2 yn
3
Déterminer l'ensemble des suites réelles qui vérient ∀n ∈ N
5
2

yn+1 = − xn − yn
2
3
2
Soit E = vect (AB − BA, (A, B) ∈ Mn (Q) ).
.
Exercice 1105
1. Montrer que
E = ker tr
(pour l'inclusion non triviale, on trouvera une base de
formée de matrices de la forme
ker tr
AB − BA).
f ∈ Mn (Q)∗ telle que ∀(A, B) ∈ Mn (Q)2 f (AB) = f (BA). Montrer
α ∈ R tel que f = αtr.
(
M2 (R) → M2 (R)
1 1
Soient A =
et Φ :
. Montrer que Φ
0 1
M 7→ AM − M A
déterminer sa matrice dans la base canonique et calculer ker Φ et ImΦ.
2. Soit
Exercice 1106
qu'il existe
est linéaire,
21 Déterminants, systèmes linéaires
Exercice 1107
le corps
K.
21.1 Formes multilinéaires
Mn (K) des matrices carrées n × n à coecients dans
trace tr(A) d'une matrice A ∈ Mn (K) est la somme de ses
On considère l'espace
On rappelle que la
coecients diagonaux.
Pour une matrice
M
donnée, on note
αM
l'application dénie par
∀X ∈ Mn (K),
1. Vérier que
On note
φ
∀M ∈ Mn (K),
αM (X) = tr(M X).
αM ∈ (Mn (K))∗ .
l'application suivante :
φ:
Mn (K) → (Mn (K))∗
7→
M
2. Etudier l'injectivité et la surjectivité de
φ.
αM
21 Déterminants, systèmes linéaires
138
α ∈ (Mn (K))∗ , il existe une matrice A ∈ Mn (K)
3. En déduire que pour toute forme linéaire
telle que :
∀X ∈ Mn (K),
α ∈ (Mn (K))∗
4. Déterminer toute les formes linéaires
Exercice 1108
α(X) = tr(AX).
∀(X, Y ) ∈ (Mn (K))2 ,
telles que
α(XY ) = α(Y X).
Rn [X] l'espace vectoriel des
n.
i ∈ {0, . . . , n}, on note αi l'application
On note
polynômes à coecients réels de degré
inférieur ou égal à
Pour chaque
αi :
1. Vérier que chaque
αi
Rn [X] →
R
7→ P (xi )
P
est une forme linéaire sur
G l'espace engendré par α1 , . . . , αn .
(α0 , . . . , αn ) est une base de (Rn [X])∗ .
2. On note
3. Montrer que la famille
(α0 , . . . , αn )
4. Montrer qu'il existe des réels
Rn [X]
Déterminer
est une base de
λ 0 , . . . , λn
1
P (t)dt =
0
(Rn [X])∗ .
n
X
∀(i, j) ∈ {0, . . . , n}2
si
n,
qui interpole
Exercice 1109
R,
f
(P0 , . . . , Pn )
de
Rn [X]
telle que
j=i
sinon
6. En déduire que pour toute fonction continue
degré
λi P (xi )
i=0
5. Montrer qu'il existe une unique famille de polynômes
(
1
Pi (xj ) =
0
En déduire que la famille
tels que
Z
∀P ∈ Rn [X]
G◦ .
en chaque point
xi ,
f
de
R
dans
R,
il existe un polynôme
P
de
c'est à dire qui satisfait :
∀i ∈ {!, ..., n} P (xi ) = f (xi ).
Dans chacun des cas ci-dessous, dire si l'application
φ
de
est multilinéaire.
x1 y1 z1 x2 , y 2 , z 2
= x1 + y2 + z3
y3
z3
x3
x1 y1 z1 x2 , y 2 , z 2
= x1 y3 + y2 z1 + z3 x2
φ
y3
z3
x3
x1 y1 z1 x2 , y 2 , z 2
= x1 y2 z3 + x2 y3 z1 + x3 y1 z2
φ
y3
z3
x3
x1 y1 z1 x2 , y 2 , z 2
= x1 x2 x3 + y1 y2 y3 + z1 z2 z3
φ
y3
z3
x3
x1 y1 z1 x2 , y 2 , z 2
= x1 y1 z1 + x2 y2 z2 + x3 y3 z3
φ
y3
z3
x3
x1 y1 z1 x2 , y 2 , z 2
= (x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 )(z1 + z3 )
φ
y3
z3
x3
x1 y1 z1 x2 , y 2 , z 2
= (x1 + 2x2 )(z1 + z3 )
φ
y3
z3
x3
φ
R3 × R3 × R3
dans
21 Déterminants, systèmes linéaires
Exercice 1110
Exercice 1111
m
Exercice 1112
139
Montrer que l'espace des formes bi-linéaires sur
R2
est un espace vectoriel. En
donner une base.
R2 . Plus généralement, que
n lorsque m > n ?
Donner toutes les formes tri-linéaires alternées sur
dire des formes
-linéaires alternées sur un espace de dimension
A ∈ Mn,n (R).
Soit
ΦA :
On considère l'application
ΦA
suivante :
(Rn )n
→
R
M = (C1 , ..., Cn ) 7→ det(AM )
Φ
n-linéaire.
A 0est
1
0
1 0
. En déduire que ΦA (e2 , e1 , e3 ...en ) = −ΦA (e1 , e2 , e3 ...en ).
Calculer A ×
0 idn−2
Plus généralement, montrer que ΦA est alternée.
Montrer que ΦA (M ) = det(A) det(M ).
Montrer que
En déduire que :
Exercice 1113
∀(A, B) ∈ Mn,n (R),
Dans
R3
det(AB) = det(BA) = det(A) det(B)
muni de sa base canonique, on considère les applications
ω
et
α
suivantes :
3
R3  → R
 R×
x
y
ω :  1  1
x2 , y2
7→ x1 y2 − x2 y1
x3
y3
1. Montrer que
A l'aide de
ω
ω
est antisymétrique et bilinéaire.
et
ω∧α :
et
3
R  → R
x
α :  1
x2
7→ x3
x3
α,
on dénit une nouvelle application, notée
ω ∧ α,
de la façon suivante :
R3 × R 3 × R3 → R
(X, Y, Z)
7→ ω(X, Y )α(Z) + ω(Y, Z)α(X) + ω(Z, X)α(Y )
ω ∧ α est alternée.
Montrer que ω ∧ α est trilinéaire.
3 3
Calculer ω ∧α(e1 , e2 , e3 ). En déduire que ∀(X, Y, Z) ∈ (R ) ω ∧α(X, Y, Z) = det(X, Y, Z)
2. Montrer que
3.
4.
21.2 Calcul


c b
c a b
a c c
b c

a c b c c
c a
c b a


1 0 a a2
0 1 b b 2 


1 0 c c 2 
0 1 d d2


1 t 1
Mt =  t 1 1 et Nt
1 t 1
a c
c a
Calculer les déterminants des matrices suivantes : 
c b
b c




2
a x y z
1+a
b
a
b
a a a b+c+d
2
b x y z   b


1+a
b
a 


  a b b 2 c + d + a
0
0
0
c x y z   a
b
1+a
b  a c c d + a + b 
0
0
0
d x y z
b
a
b
1+a
a d d2 a + b + c
Exercice 1114
Exercice 1115


1 1 t
1 t 1 .
t 1 1
Calculer, pour tout
t ∈ R
le rang des matrices

c
b

a
c
=
21 Déterminants, systèmes linéaires
Exercice 1116
1. Soient
A ∈ Mp (R)
et
minant de la matrice
B ∈M
Calculer (en fonction de det (A)
q (R). A 0
M =
∈ Mp+q (R). (On pourra pour
0 B
140
et det (B)) le détercela décomposer
M
comme produit de deux matrices de déterminant évident et utiliser la multiplicativité du
déterminant.)
A ∈ M
p (R), B ∈ Mq (R) et C ∈ Mp,q (R). Calculer le déterminant
A C
M=
∈ Mp+q (R). (On pourra généraliser la méthode de 1.)
0 B
2 0 4
Sans calcul, montrer que 5 2 7 est divisible par 17.
2 5 5
2. Soient
Exercice 1117
Exercice 1118
de la matrice
∆(x) = det(ai,j (x)) de taille n = 2 ou 3 avec ai,j des fonctions dérivables.
1. Montrer que ∆ (x) est la somme des n déterminants obtenus en remplaçant successivement
dans ∆(x) chaque colonne par sa dérivée.
x + a1
1 + x
x
x
1
1
x + a2
x et 1
1+x
1 .
2. Calculer x
x
x
x + a3 1
1
1 + x
1 1 1
Calculer x
2 y2 z2 et déterminer la condition d'inversibilité de la matrice.
x y z La famille (2, 1, 0), (1, 3, 1), (5, 2, 1) est-elle libre ?
a b c Calculer c a b .
b c a
1 sin x cos x
Calculer 1 sin y cos y 1 sin z cos z n
Soit n un entier supérieur ou égal à 3. On se place dans R . On note ei le
n
vecteur de R dont la i-ième composante est égale à 1 et toutes les autres sont nulles. Écrire la
matrice n × n dont les vecteurs colonnes Ci sont donnés par Ci = ei + en pour 1 6 i 6 n − 1
et Cn = e1 + e2 + en . Calculer alors son déterminant.
On note a, b, c des réels. Calculer les déterminants suivants.
1 0 3 0 0
1 0 0 1 a+b+c
b
b
b
0 1 0 3 0
0 1 0 0 c
a+b+c
b
b
, D2 =
, D3 = a 0 a 0 3
D1 = c
c
a+b+c
b
1 0 1 1 b a 0 a 0
2 3 1 1 c
c
c
a+b+c
0 b 0 0 a
Soit
0
Exercice 1119
Exercice 1120
Exercice 1121
Exercice 1122
Exercice 1123
Exercice 1124
D2 à un déterminant n × n du même type.
On note a1 , · · · , an des réels. Calculer les déterminants n × n suivants.
a1 a2 a3 · · · an 1
1
·
·
·
1
a2 a2 a3 · · · an a1
a2 · · · an 2 2
a3 a3 a3 · · · an a2
·
·
·
a
a
D1 = 1
n , D2 = 2
..
..
.
. .
.
.
.
.
. n−1 n−1
n−1 a1
a2
· · · an
an an an · · · an Exercice 1125
Généraliser le calcul de
21 Déterminants, systèmes linéaires
Exercice 1126
141
Montrer que
cos a cos b cos c sin a sin b sin c = sin (c − b) + sin (b − a) + sin (a − c) = 4 sin c − b sin b − a sin a − c
2
2
2
1
1
1 Exercice 1127
Exercice 1128
Soient
a, b
deux réels distincts. Calculer le déterminant suivant.
D1 = b b b b .
. .
. .
.
b b · · · a b b b ··· b a a b ···
b a ···
Calculer le déterminant de la matrice suivante :

m
0
1 2m
 1
m
0 0 


 0 2m + 2 m 1  .
m
0
0 m

m,
Calculer alors, suivant la valeur du paramètre
Exercice 1129
Calculer le déterminant
3
0
∆n = −4
0
en fonction de
n.
Exercice 1130
(vérier que
Montrer que
de
n, a, x
et
−1
1
0
3
1
..
.
0
3
..
.
..
..
..
.
.
.
4
est racine de
0
0
1
3
0
X 3 − 3X 2 + 4)
Calculer les déterminants suivants :
1
2
∆1 = 3
4
Exercice 1131
le rang de cette matrice.
Soit
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
a
a
∆2 = c
0
(a, x, y) ∈ R3 .
a
a
0
c
b
0
a
a
0
b a
a
a1 a2 · · · an . ..
.
.
. a1 a1
∆3 = . .
..
..
..
.
a
2
a · · · a a 1
1
1
n ∈ N, n > 2, on
a x · · · x
y a 0
An = ..
. 0 ...
y
a
Pour
note
An
le déterminant suivant :
∀n ∈ N, n > 3, An = aAn−1 −xyan−2 . En déduire une expression de An en fonction
y.
21 Déterminants, systèmes linéaires
Exercice 1132
Soit
(a, b) ∈ R2
suivant :
Montrer que
142
a 6= b. Pour n ∈ N, n > 2,
a + b a
0
..
..
.
.
b
Bn = .
.
..
..
a
0
b a + b
avec
∀n ∈ N, n > 4, Bn = (a + b)Bn−1 − abBn−2
Exercice 1133
on note
Montrer que
(un )n∈N satisfaisant la relation
√
= 2un+1 − un
(?)
On s'intéresse aux suites réelles
un+2
1. Déterminer toutes les suites complexes satisfaisant la relation
2. Déterminer toutes les suites réelles satisfaisant la relation
On considère maintenant le déterminant d'ordre
√
2
1
∆n = ∆n+2
en fonction de
En déduire la valeur de
Exercice
1135
∆n
∆n
(?).
(?).
suivant :
..
.
..
.
..
.
..
.
1
√ 2
0
1
pour
en fonction de
2 3
−1 4
n∈N
(on pose
∆0 = 1).
n.
1 0 2
3 4 5
5 6 7
1 0 6 3 4 15
5 6 21
Calculer les déterminants suivants :
1 a b + c 1 b c + a
1 c a + b 1
1
1
1
a1
a2
a3
a4
1 0 0
2 3 5
4 1 3
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34 1 a a2 . . . an−1 1
1
1
1 a a2 . . . an−1 2
2
2
.. ..
.
. .
. . .
.
.
2
n−1
1 an an . . . an Les nombres 119,
153 et 289 sont tous divisibles par 17. Montrer, sans le
développer que le déterminant
Exercice 1137
et
de récurrence
Calculer les déterminants suivants :
−4 1
1
1
1
1 −4 1
1
1
1
1 −4 1
1 1
1
1 −4 1 1
1
1
1 −4
Exercice 1136
∆n+1
n
1
0
Exercice 1134
le déterminant
an+1 − bn+1
∀n ∈ N, n > 2, Bn =
.
a−b
∀n ∈ N
3. Calculer
Bn
1 1 9
1 5 3
2 8 9
est divisible par 17.
Calculer les déterminants suivants :
a
c
∆1 = c
b
c
a
b
c
c
b
a
c
b c −
c a c
a
∆2 = b
c
a
c
c
b
b
c
c
a
c b a
c
a
0
∆3 = c
0
0
a
0
c
b
0
d
0
0
b 0
d
21 Déterminants, systèmes linéaires
Exercice 1138
143
(a0 , . . . , an−1) ∈ Rn , on note A(a0 ...an ) la matrice
0 0 · · · 0
a
0
.
.
..
.
.
.
1 0
.
.
.
.
A(a0 ...an−1 ) = 0 1 . . . 0
.
. .
.. . . . . . 0
an−2 0 · · · 0 1 an−1 − λ
Pour
λ ∈ R, on associe ∆(a0 ...an−1 ) (λ) = det(A(a0 ,...,an−1 ) −λid). Calculer ∆(a0 ...an−1 ) (λ) en fonction
∆(a1 ...an−1 ) (λ) et a0 . En déduire ∆(a0 ...an−1 ) (λ).
et à
de
Exercice 1139
Calculer les déterminants suivant :
a11 a12 · · ·
a1n .
.
.
.
0 a22 . .
. .
.
..
..
..
an−1,n 0 ··· 0
ann Exercice 1140
Soit
p
1
0
0 ..
.
..
. q
1 p
q
p
..
.
B ∈ Mn,m (R)
et
1
1
0
1
0
1
0
1
..
C ∈ Mm,m (R).
.
..
.
..
.
1
a + b
a
···
a . .
.
. a + b ..
a
.
..
..
..
.
.
a a
···
a a + b
On considère l'application
φ
suivante :
Mn,n (R) →
φ :
Etudier la multi-linéarité de
φ
A
par rapport aux colonnes de
A B
det
0 C
Soit


M =
A1 · · ·
..
0
Exercice 1141
.
.
.
.
Ak
R
A B
7→ det
0 C
A.
Calculer
φ(id).
En déduire que
= det(A) det(C)


 une matrice triangulaire par blocs. Montrer que det(M ) = det(A1 ) · · · det(Ak )
Calculer le déterminant suivant :
0
a12
a13
a14
−a21
0
a
a24
23
0
a34
∆ = −a31 −a32
−a41 −a42 −a43
0
−a51 −a52 −a53 −a54
a15 a25 a35 a45 0
Comment généraliser ce résultat en dimension plus grande ?
Exercice 1142
Calculer les déterminants suivants :
1
1
1
1 cos x cos y cos z cos t cos 2x cos 2y cos 2z cos 2t
cos 3x cos 3y cos 3z cos 3t
1
2
3
·
·
·
n
−1 0
3
n
−1 −2 0
n
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−1 −2 −3 · · · 0 0
1
1
0
2
1
.
.
..
..
n − 1 · · ·
2
1
..
.
..
.
2
· · · n − 1
..
.
··· ..
.
2 0
1 1
0 21 Déterminants, systèmes linéaires
Exercice 1143
Exercice 1144
Soit
(a0 , ..., an−1 ) ∈ Cn , x ∈ C. Calculer
−x 0
a0 .
..
..
.
.
.
.
1
∆n (a0 , ..., an , x) = ..
. −x
an−2 0
1 an−1 − x
Soit
(a1 , a2 , a3 ) ∈

a1

A = a3
a2
suivantes :
Calculer le produit
Exercice 1145
144
AV ,
Soit
a
puis
(K)3 .
On note

a2 a3
a1 a2 
a3 a1
det(AV )
j =e
et
∆n

1 1 1
V = 1 j j 2 
1 j2 j
∆n
en fonction de
Exercice 1146
Soit
a
Dn
Exercice 1147
Dn−1
a, b, c
et
det(A).
∆n = an−2 a2 −
0
···
a
..
.
..
.
..
.
..
.
0
.
.
.
0 a 1 + a2 0
1 + a2
a
Dn−2 . Monter que Dn =
Exercice 1148
1−a2n+2
. Combien vaut
1−a2
∆n le déterminant
a b
0 .. ..
∆n = c . . . . . . 0 . c . ab trois réels et
∀n ∈ N, ∆n = (n + 1)
Calculer le déterminant suivant :
1
1
∆ = 1
1
2 4
8 3 9 27 4 16 64 5 25 125
Pn−1 2 i=1 i
on note
de taille
n
suivant :
∆0 = 1, ∆1 = a. Montrer que ∀n ∈ N, ∆n+2 = a∆n+1 − bc∆n .
2
suppose que a = 4bc. Montrer par récurrence que :
1. On pose
2. On
Soient
0 n − 1
.
.
.
.
.
.
0
2 a
1 1
a n ∈ N, n > 2,
un réel diérent de 1. Pour
en foncion de
et en déduire
∆n−1 . Démontrer que : ∀n ∈ N, n > 2
1 + a2
a
a
1 + a2
Dn = 0
a
.
..
..
.
0
···
Calculer
det(V ),
le déterminant suivant :
a
0 ···
..
.
a
0
.
..
..
∆n = ..
.
.
0
··· 0
n − 1 · · · 2
Calculer
, et on considère les deux matrices

en fonction de
un réel. On note
2iπ
3
an
2n
Dn
si
a = 1?
21 Déterminants, systèmes linéaires
Exercice 1149
Soit
1. Montrer que
2. Montrer par
Exercice 1150
det u.
∆n
le déterminant de taille
3 1
2 3
∆n = 0 2
. .
.. . .
0 · · ·
n
suivant :
0
· · · 0
.
..
.
.
.
..
.
0
..
.
1
2 3
1
3
..
.
0
∀n ∈ N∗ , ∆n+2 = 3∆n+1 − 2∆n (avec la
∗
n+1
récurrence que ∀n ∈ N , ∆n = 2
−1
Soit
u
Rn [X] dans Rn [X]
u(P ) = XP 0 + P (1).
l'application de
Même question lorsque
Exercice 1151
145
convention
∆0 = 1, ∆1 = 3).
dénie par
u(P ) = P + P 0 .
Calculer
21.3 Applications
Soit
E
n
un espace vectoriel réel de dimension nie
et
ϕ ∈ L(E)
telle que
2
ϕ = −idE .
1. Donner des exemples de telles applications dans le cas
n=2
ou
n
2. Montrer que de telles applications existent si et seulement si
4.
est pair.
[Exercice corrigé]
Exercice 1152
Inverser les matrices

 
1 −1 0 0
1
2 1 0 0 0

 
0 0 1 2 et 1
0 0 2 1
0

0 1
0
1 0
1
 ainsi que leurs pro0 −1 0 
1 0 −1
duits.
Exercice 1153
Exercice 1154
Montrer que
21.4 Divers
1+a
a
a
b
1
+
b
b
c
c
1+c
A = (aij )i,j∈{1,... ,n} ∈ Mn (R)
i > j : aij = 0.
Une matrice carrée
rieure lorsque pour tout
=1+a+b+c
sans le développer.
est dite triangulaire supé-
1. Montrer que le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.
= a11 · · · ann .
Soit E un espace vectoriel, ε = {e1 , . . . , en } une base de E et ϕ ∈ L(E). On note Ei
l'espace vectoriel engendré par {e1 , . . . , ei }, pour tout 1 6 i 6 n. Montrer que Mat (ϕ, ε)
est triangulaire supérieure si et seulement si ϕ(Ei ) ⊂ Ei pour tout 1 6 i 6 n.
2. Démontrer que det (A)
3.
4. Démontrer que l'inverse d'une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire
supérieure.
Exercice 1155
On considère les matrices :

1
0
I=
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0

0
1

0
0
N =
0
0
3
0
0
0

1 3
0 1

0 −1
0 0
A = I + N.
21 Déterminants, systèmes linéaires
1. Pour tout
2. Calculer
n ∈ N∗
N
3. Pour tout
2
et
calculer det (A
n
146
).
3
N .
n ∈ N∗
donner le rang de
Nn
4. En utilisant 1., donner, en fonction de
et celui de
n ∈ N∗ ,
An .
l'expression de la matrice
n ∈ N∗ , justier la formule (An )−1 = M (−n).
A = M (n) pour tout n ∈ Z.
5. Pour
n
Exercice 1156
Soit
1. Calculer det
S
(S).
5×5
la matrice
M (n) = An .
Expliquer et justier l'écriture :

0
1

S=
0
0
0
à coecients réels :
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1

0
0

0
.
1
0
S −1 .
Déterminer (de préférence sans calcul)
5
2. Montrer qu'il existe deux sous espaces vectoriels E1 et E2 de R de dimension respective
5
2 et 3 tels que : R = E1 ⊕ E2 ⊕ E3 et S(E1 ) ⊂ E1 S(E2 ) ⊂ E2 .
3. Montrer qu'il existe
x ∈ E2
tels que
Sx = x. En déduire que la décomposition qui précéde
n'est pas unique.
Exercice 1157
pour
Soit
A ∈ M3 (R)
anti-symétrique. Calculer
det(A).
Ce résultat vaut-il encore
A ∈ M2 (R) ?
[Exercice corrigé]
Exercice 1158
Soient
1. Montrer que si
2. Soit
que
Soit
ou
3
et
A ∈ Mn (Q).
∀X ∈ Mn (Q) det(A + X) = det(X)
B ∈ Mn (Q)
Exercice 1159
3
n.
Exercice 1160
n=2
telle que
alors
A = 0.
∀X ∈ Mn (Q) det(A + X) = det(B + X).
(A, B) ∈ Mn (R)2
tel que
A2 + B 2 = AB
et
AB − BA
divise
Exercice 1161
Montrer que si
n ∈ N − {0, 1}, A ∈ Mn (R),
on a :
det(Com(A)) = det(A)n−1 .
Montrer que si
n ∈ N∗ , A ∈ Mn (R)
:
rg(A) = n ⇒ rg(Com(A)) = n;
rg(A) = n − 1 ⇒ rg(Com(A)) = 1;
Exercice 1162
rg(A) 6 n − 2 ⇒ rg(Com(A)) = 0.
Soit
A = (ai,j )(i,j)∈{1,...,n}2 ∈ Mn (R)
∀i ∈ {1, ..., n},
telle que :
n
X
ai,j 6 1,
j=1
∀(i, j) ∈ {1, ..., n}2 , ai,j ∈ [0, 1[.
Montrer que
|det(A)| < 1.
Montrer que
A = B.
inversible. Montrer
21 Déterminants, systèmes linéaires
Exercice 1163
Exercice 1164
147
21.5 Systèmes linéaires
Résoudre les systèmes suivants

 3x − y +2z = a
−x +2y −3z = b

x +2y + z = c

 x +y +2z = 5
x −y − z = 1

x
+ z = 3
Sans chercher à résoudre les systêmes suivants, discuter la nature de leurs
ensembles de solution :

 x +y −z = 0
x −y
= 0

x +y +z = 0
Exercice 1165
Soient

 x +3y +2z = 1
2x −2y
= 2

x + y + z = 2
x0 ,x1 ,...,xn , n + 1

 x +3y +2z = 1
2x −2y
= 2

x + y + z = 3
y0 ,y1 ,...,yn , n + 1
réels distincts, et
réels (distincts ou
non).
Montrer qu'il existe un unique polynôme
Exercice 1166
(S1 )
P
tel que :
∀i ∈ {0, ..., n} P (xi ) = yi
Résoudre, suivant les valeurs de
x + (m + 1)y = m + 2
mx + (m + 4)y = 3
m
:
(S2 )
mx + (m − 1)y = m + 2
(m + 1)x − my = 5m + 3
[Exercice corrigé]
Exercice 1167
Écrire les conditions, portant sur les réels
a, b, c, pour que les systèmes suivants
admettent des solutions non nulles ; expliciter ces solutions.


x+y+z = 0
(b + c)x + (c + a)y + (a + b)z = 0
(S1 )

bcx + acy + abz = 0
[Exercice corrigé]
Exercice 1168 

 x − a(y + z) = 0
y − b(x + z) = 0
(S2 )

z − c(x + y) = 0
b1 , b2 , b3 et b4 :

x + 3y + 5z + 3t = b1



x + 4y + 7z + 3t = b2
(S2 )
y + 2z = b3



x + 2y + 3z + 2t = b4

x + 2y + z + 2t = b1



−2x − 4y − 2z − 4t = b2
(S4 )
−x − 2y − z − 2t = b3



3x + 6y + 3z + 6t = b4
Résoudre et discuter suivant les valeurs de
x + 3y + 4z + 7t



x + 3y + 4z + 5t
(S1 )
x + 3y + 3z + 2t



x+y+z+t

x + y + 2z − t



−x + 3y + t
(S3 )
2x
−
2y
+ 2z − 2t



2y + z
[Exercice corrigé]
Exercice 1169
=
=
=
=
=
=
=
=
b1
b2
b3
b4
b1
b2
b3
b4
Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels
[Exercice corrigé]

(1 + λ)x + y + z + t



x + (1 + λ)y + z + t
(S)
x + y + (1 + λ)z + t



x + y + z + (1 + λ)t
=
=
=
=
a
b
c
d
λ , a, b , c , d
:
21 Déterminants, systèmes linéaires
Exercice 1170
Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels
(S)
[Exercice corrigé]
Exercice
1171

1.
2.
3.
4.
5.
148











3x + 2y − z + t
2x + y − z
5x + 4y − 2z
(λ + 2)x + (λ + 2)y − z
3x − z + 3t
=
=
=
=
=
λ
et
a
:
λ
λ−1
2λ
3λ + a
−λ2
Mettre sous forme matricielle et résoudre les systèmes suivants.
2x + y + z = 3



3x − y − 2z = 0
x + y − z = −2



x + 2y + z = 1

x+y+z+t = 1




x
−
y + 2z − 3t = 2

2x + 4z + 4t = 3


2x + 2y + 3z + 8t = 2



5x + 3y + 9z + 19t = 6

2x + y + z + t = 1



x + 2y + 3z + 4t = 2
3x
− y − 3z + 2t = 5



5y + 9z − t = −6

x−y+z+t = 5

2x + 3y + 4z + 5t = 8

3x + y − z + t = 7

 x + 2y + 3z = 0
2x + 3y − z = 0

3x + y + 2z = 0
Exercice 1172
1 3 2
D1 = 1 3 3
1 2 1
Exercice 1173
Calculer les déterminants suivants.
1 1 1 5 −3 13 1
, D2 = 3 3 2 , D3 = 0 −1 −16 D4 = 0
2 3 1 0 0
0
2 associe l'élément
3
2
1
2
0
1
−
√2
3
2
0 0 1 D5 = 1 0 0 0 1 0 Résoudre et discuter le système linéaire suivant :




Exercice 1174
0
√
x1 + x2 + 3x3 + 10x4 + x5
x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + 7x5
(S)
x

1 + 3x2 + 4x3 + 13x4 + 8x5


x1 + 4x2 + 2x3 + 7x4 + 14x5
On considère l'application
f
de
=
=
=
=
b1
b2
b3
b4
R5 dans R4 qui à un élément X = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )
Y = (y1 , y2 , y3 , y4 ), déni par :

x1 + x2 + 3x3 + 10x4 + x5



x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + 7x5
(S)
x

1 + 3x2 + 4x3 + 13x4 + 8x5


x1 + 4x2 + 2x3 + 7x4 + 14x5
=
=
=
=
y1
y2
y3
y4
21 Déterminants, systèmes linéaires
f
1. Montrer que
2. On considère
149
est linéaire.
A
l'ensemble des solutions de
(SH ).




x1 + x2 + 3x3 + 10x4 + x5
x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + 7x5
(SH )
x

1 + 3x2 + 4x3 + 13x4 + 8x5


x1 + 4x2 + 2x3 + 7x4 + 14x5
=
=
=
=
0
0
0
0
A ? Que représente A pour l'application f ? Donner une base de A ;
dimension de A ? Donner un système minimal d'équations qui dénissent A.
Quelle est la nature de
quelle est la
R4 , on considère les cinq vecteurs : V1 = (1, 1, 1, 1), V2 = (1, 2, 3, 4),
V3 = (3, 1, 4, 2), V4 = (10, 4, 13, 7), V5 = (1, 7, 8, 14). Que représentent ces vecteurs pour
l'application f ? Trouver une base de Im f .
3. Dans l'espace
(S) où les inconnues sont les xi , et où les yj
4. On considère le système
sont des paramètres.
Comment interpréter les conditions de possibilité de ce système du point de vue de
f?
5. Donner une interprétation du théorème du rang relativement à ce système. Quel est le
lien entre le rang de
Exercice 1175
f
Pour tout
et le rang du système ?
a
réel, on considère la matrice
A
et le système linéaire
(S)
dénis
par :

a
1
A=
1
1
aux inconnues réelles
1
a
1
1

1
1

1
a
1
1
a
1
x, y, z, t.
1. Discuter le rang de
A

ax



x
(S)
x



x
suivant les valeurs de
2. Pour quelles valeurs de
a
le système
(S)
+ y + z + t
+ ay + z + t
+ y + az + t
+ y + z + at
=
=
=
=
1
1
1
1
a.
est-il de Cramer ? Compatible ? Incompatible ?
(S) avec un minimum d'opérations (on pourra montrer
nécessairement x = y = z = t.).
3. Lorsqu'il est de Cramer, résoudre
d'abord que l'on a
4. Retrouver 3. par application des formules de Cramer.
Exercice 1176
Exercice 1177
que
Déterminer le noyau de la matrice



1 −1 1
0 1 1
2 3 7

2 2 0
3
Soit A = 1 2 1. Déterminer les λ ∈ R tels que ∃X ∈ R − {(0, 0, 0)}
0 2 2
AX = λX . Pour chaque λ déterminer Eλ = {X ∈ R3 /AX = λX}.


3x + 2z = 0

3y + z + 3t = 0
Donner une base de l'ensemble des solutions de
.

x+y+z+t=0



2x − y + z − t = 0

2

x + ay + a z = 0
Résoudre suivant les valeurs de a ∈ R
a2 x + y + az = 0 .


ax + a2 y + z = 0
Exercice 1178
Exercice 1179
tel
21 Déterminants, systèmes linéaires
Exercice 1180
Exercice 1181
Exercice 1182
Exercice 1183
Exercice 1184
150

ax + y + z + t = 1



x + ay + z + t = µ
Résoudre suivant les valeurs de a et µ ∈ R

x + y + az + t = µ2



x + y + z + at = µ3


1 1 1
Inverser en utilisant un système linéaire la matrice 2 1 1.
1 2 1


x + y + z = 1
Résoudre
.
ax + by + cz = d

 2
2
2
2
a x+b y+c z =d


−cy + bz = α
Résoudre
.
cx − az = β


−bx + ay = γ
Soit
F
le sous-espace vectoriel de
R4
des éléments
(x, y, z, t)
.
qui satisfont :

 x + y + z + 3t = 0
2x + 3y + 4t = 0

2x + 5y − 4z = 0
Donner une base de
Exercice 1185
F
et sa dimension.
On considère le système

=0
 x+y+z+t
x − y − 2z + 2t = 0
(S) :

2x + y + z
=0
1. Résoudre le système
(S)
puis indiquer son rang.
2. Montrer que l'ensemble des solutions de
(S)
est un sous-espace vectoriel de
R4 ,
indiquer
sa dimension et en donner une base.
Exercice 1186
L'objectif de ce problème est de résoudre l'énigme du berger :
Un berger possède un troupeau de 101 moutons et remarque par hasard la propriété suivante :
pour chaque mouton, il peut trouver une façon de scinder le troupeau des 100 autres moutons
en deux troupeaux de 50 moutons et de même poids total. Il en déduit que tous les moutons
ont le même poids. Comment a-t-il fait ? On montre, dans un premier temps, un résultat utile
pour la démonstration nale.
1.
(a) Montrer par récurrence que le déterminant de toute matrice carrée, dont les éléments
diagonaux sont des nombres impairs, et dont tous les autres sont des nombres pairs,
est un nombre impair.
(b) En déduire qu'une matrice de cette forme est inversible.
2. L'objectif de cette question est de résoudre l'énigme du berger. On note
B
la matrice
carrée de taille 101 construite de la manière suivante :
On numérote les moutons de 1 à 101. Quand le berger retire le ième mouton du troupeau,
il sépare alors le reste du troupeau en deux troupeaux égaux ( troupeau A, troupeau B)
21 Déterminants, systèmes linéaires
et de même poids. On note alors
151
Bi,j
les coecients de la ième ligne de la matrice
B
obtenu de la façon suivante
Bi,j
On note
X

 1
0
=

2
si
j=i
si le j-ième mouton se trouve dans le troupeau A
si le j-ième mouton se trouve dans le troupeau B
la matrice de taille
101 × 1

constituée des poids des moutons
poids du monton 1



X=


On note
M
.
poids du mouton 2
.
.
.
poids du mouton 100
poids du mouton 101




.


le poids total du troupeau.
(a) Calculer


1
 1 
 
 
B ×  ...  .
 
 1 
1
(b) Calculer
BX.
B est inversible.
X et résoudre l'énigme
(c) Montrer que
(d) En déduire
Exercice 1187
du berger.
21.6 Rang
Pour quelles valeurs de
a
la matrice


1 1 1
A = 1 2 4
1 3 a
est-elle inversible ? Calculer dans ce cas son inverse.
Exercice 1188
Soient
a
et
b
deux réels, et
A
la matrice


a 2 −1 b
A = 3 0 1 −4
5 4 −1 2
Montrer que
rg(A) > 2.
Exercice 1189
Soient
a et b a-t-on rg(A) = 2 ?
 0
a
v2 =  b0  deux vecteurs indépendants
c0
Pour quelles valeurs de
 
a
v1 =  b 
c
et
de
sous forme d'équation, une condition nécessaire et susante pour qu'un vecteur
appartienne à l'espace vectoriel engendré par
v1
et
v2 .
Même question pour un plan engendré par deux vecteurs de
R4 .
R3 .
Donner,
 
x
w = y 
z
21 Déterminants, systèmes linéaires
Exercice 1190
152
u un endomorphisme de E , et B une base de E . Discuter dans chacun des
u.




a 1
−1
−
λ
2
1
12 − λ
−6
1 b




4
1
−
λ
−2
−9
−5
−λ
M
(u)
=
M
(u)
=
B
B
a 1
0
0
3−λ
−12
−8
9−
1 b
Soit
cas ci-dessous la dimension du noyau de

2
−1
MB (u) = 
0
0
Exercice 1191
y
1
1
0
0
Discuter le rang de la matrice suivante en fonction des paramètres réels
x
et
:

Exercice 1192
en fonction de
1
0
A=
1
1
2
x
0
2

y
1

2
1
Sans chercher à le résoudre, discuter la nature des solutions du système suivant,
α, a, b
et
c
:

 x − y − αz = a
x + 2y + z = b

x+ y − z =c
22 Suites : compléments
153
Quatrième partie
ANALYSE 2
22 Suites : compléments
Exercice 1193
22.1 Limites
Soient
(un )n>2
dénie par
un =
n
Y
cos(
k=2
π
)
2k
et
vn = un sin(
π
).
2n
1. Montrer que
(un )n>2
est convergente.
2. Montrer que
(vn )n>2
est une suite géométrique. En déduire la limite de
Exercice 1194
Exercice 1195
Soit
(un )n∈N
(un )n>2 .
lim (un+1 − un ) = 0.
une suite bornée de nombres réels telle que
n→∞
Montrer que les valeurs d'adhèrence de la suite (un )n∈N forment un intervalle de
On dénit par récurrence les suites
u0 = 1, v0 = 2, un+1 =
et
(vn )n∈N
par :
(un )2
(vn )2
, vn+1 =
.
un + vn
un + v n
un > 0
1. Montrer par récurrence que l'on a
(un )n∈N
R.
et
vn > 0.
2. Montrer que les suites (un )n∈N et (vn )n∈N décroissent. En déduire qu'elles convergent vers
` et `0 respectivement. Montrer que l'on a ``0 = 0.
3. Montrer que la suite
Exercice √1196
et
un v n
1. Soit
(un )n∈N
et
(un )n∈N
`0 .
(un )n∈N
1
( )n∈N
un
`
diérente
converge vers
`
diérente
1
.
`
une suite de nombres réels positifs convergeant vers une limite
Exercice 1198
√
( un )n∈N
converge vers
√
`.
une suite de nombres réels telle que les suites extraites
convergent vers une même limite
2. En déduire que la suite
Exercice 1199
et
une suite de nombres réels non nuls convergeant vers une limite
de zéro. Montrer que la suite
1. Soit
`
(un )n∈N et (vn )n∈N deux suites de nombres réels telles que 0 < u1 < v1
un + v n
vn+1 =
. Montrer qu'elles convergent vers la même limite.
2
de zéro. Montrer que la suite
2. Soit
est constante. En déduire
Soient
un+1 =
Exercice 1197
(vn − un )n∈N
(un )n∈N
`.
(u2n )n∈N
(un )n∈N converge également
n
X
(−1)k
général un =
converge.
(2k)!
k=0
Montrer que
de terme
Soit
(un )n∈N
une suite de nombres réels et
1. Montrer que si
(un )n>1
converge vers
`,
alors
(vn )n>1
(u2n+1 )n∈N
vers `.
et
u1 + u2 + · · · + un
∗
où n ∈ N .
n
converge vers `. La réciproque est
vn =
elle vraie ?
2. Calculer
3. Soit
n
X
k+1
.
lim
n→+∞
2nk + k
k=1
(an )n>0
une suite telle que
lim (an+1 − an ) = `.
n→+∞
Prouver que
an
= `.
n→+∞ n
lim
22 Suites : compléments
4. Soit
(un )n>1
154
une suite strictement positive telle que
lim (un )1/n = `.
un+1
= `.
n→+∞ un
Démontrer que
1
.
n!n
On rapelle que
lim
n→+∞
Exercice 1200
n ∈ N∗
Pour tout
on note
un =
n
X
1
k!
k=1
et
v n = un +
e = lim un .
n→∞
1. Montrer que les suites
de
e
à
2. Démontrer que
Exercice 1201
tel que, si
(un )n>1 et (vn )n>1 sont adjacentes. En déduire une valeur approchée
1
.
1000
e
est irrationnel.
Une suite
m, n > N
alors
(un )n∈N est dite
|un − um | < ε.
de Cauchy lorsque, pour tout
ε>0
il existe
N ∈N
1. Montrer que toute suite convergente est de Cauchy. Montrer que toute suite de Cauchy
est bornée.
2. Soit
un = 1 +
(un )n∈N
1
1
+ ... + .
2
n
Montrer que, pour tout
p ∈ N, u2p >
p+2
.
2
En déduire que
tend vers l'inni.
(un )n∈N satisfait au critère C 0 lorsque, pour tout ε > 0 il existe N ∈ N tel que,
n > N alors |un − un+1 | < ε. Une suite satisfaisant au critère C 0 est-elle de Cauchy ?
3. Une suite
si
4. Montrer que les trois assertions qui suivent sont équivalentes :
(a) Toute partie majorée de
R
R
admet une borne supérieure et toute partie minorée de
admet une borne inférieure.
(b) Toute suite de Cauchy est convergente.
(c) Deux suites adjacentes sont convergentes.
Exercice 1202
22.2 Suites récurrentes linéaires
Soit
(un )
n > 1.
1. Montrer que
4.
un+1
)
un
u0
et
u1
strictement positifs et
un+1 = un + un−1
pour
existe et la déterminer. Que remarquez-vous ?
un+1
. Exprimer an+1 en fonction de an .
un
Montrer que a2n et a2n+1 sont adjacentes.
√ 1+ 5 Déterminer un rationnel r tel que r −
< 10−3 .
2 2. Soit
3.
lim(
dénie par
an =
[Exercice corrigé]
Exercice 1203
Déterminer
(un )
telle que
1.
u0 = 1, u1 = 3, un+2 = 4un+1 − 4un .
2.
u0 = 1, u1 = i, un+2 = 4un+1 − 5un .
Exercice 1204
[Exercice corrigé]
Exercice 1205
Exercice 1206
Déterminer les suites bornées qui vérient
un+2 = 3un+1 − 2un .
2un+2 = 7un+1 − 3un .
√
= un+1 un est bien dénie
Déterminer les suites convergentes qui vérient
Montrer que la suite
déterminer.
u 0 = 1, u 1 = 2
et
un+2
et la
23 Continuité et comparaison de fonctions
Exercice 1207
Exercice 1208
Exercice 1209
Déterminer les suites
155
(
u0 = 2
(un ) et (vn ) qui vérient
v0 = −2
(
un+1 = un + vn
et
vn+1 = 3un − vn
22.3 Suites de Cauchy
sin n
est de Cauchy et que la suite
2n n∈N
Montrer que la suite
ne l'est pas.
(−1)n +
1
n n∈N
Montrer que la suite dénie par
un = 1 +
cos n
cos 1 cos 2
+
+ ··· +
1!
2!
n!
est une suite de Cauchy. En déduire sa convergence.
Exercice 1210
Montrer que toute sous-suite extraite d'une suite de Cauchy est aussi une suite
de Cauchy.
Montrer que si
(un )
est une suite de Cauchy, on peut trouver une sous-suite
(unk )
de
(un )
telle
que :
Exercice 1211
∀p ∈ N, ∀q > p, |unp − unq | 6
1
.
2p
(xn ) est dénie par une relation de récurrence xn+1 = a sin xn + b où
a est un nombre réel de ]0, 1[ et b un nombre réel quelconque. Montrer que pour tout p ∈ N,
|xp+1 − xp | 6 ap |x1 − x0 |. En déduire que la suite (xn ) est une suite de Cauchy.
−10
Combien de termes faut-il calculer pour obtenir une valeur approchée de lim xn à 10
près si
on suppose a = 1/2, b = 5, x0 = 1 ?
Une suite
23 Continuité et comparaison de fonctions
Exercice 1212
tout couple
1. Soit
23.1 Continuité
Soit
(x, y)
de
f une fonction continue de [0, 1] dans lui-même telle que f (0) = 0 et pour
[0, 1] × [0, 1] on ait |f (x) − f (y)| > |x − y|.
x un élément de [0, 1]. On pose x0 = x et xn+1 = f (xn ). Montrer que la suite (xn )n∈N
est convergente.
2. En déduire que
f (x) = x
pour tout
x ∈ [0, 1].
3. Le résultat reste-t-il vrai sans l'hypothèse
Exercice 1213
Exercice 1214
f
a
Exercice 1215
Exercice 1216
[Exercice corrigé]
Exercice 1217
23.2 Comparaison de fonctions
À quelle condition sur
Soient
que si
admet en
f (0) = 0?
f
et
g
et
g
a-t-on
ef ∼ eg ?
a
équivalentes au voisinage de
une limite dans
Montrer que si
Étudier en
f
f
+∞
¯
R
diérente de
tend vers
et
−∞
Calculer les limites de
0
en
a
la fonction
1
alors
a et strictement
ln f ∼ ln g .
positives. Montrer
a
ln(1 + f ) ∼ f et ef − 1 ∼ f .
a
a
√
√
3
3
2
f (x) = x + 1 + x + x + 1.
alors
23 Continuité et comparaison de fonctions
1.
2.
3.
4.
156
sin x ln(1 + x2 )
en 0.
x tan x
ln(1 + sin x)
en 0.
tan(6x)
1
(ln(e + x)) x
en
(ln(1 + e−x ))
1
x
0.
en
+ ∞.
[Exercice corrigé]
Exercice 1218
Exercice 1219
Trouver un équivalent simple en
Limite en
+∞
de
+∞
Équivalent en
de
Limite en 0 de
Limite en
π
4
de
π
4
Limite en
π
4
de
de
x3 + x2 −
q
x2 +
√
(
ln(1 + x) x
) − 1.
ln x
√
3
x3 − x2
√
x4 + 1 − x 2
tan(ax) − sin(ax)
tan(bx) − sin(bx)
π
π
x−
tan(x + )
4
4
de
cos(x) − sin(x)
(4 x − π) tan(x)
tan(x − x cos(x))
sin(x) + cos(x) − 1
π π 2
tan(2 x) + tan(x + ) cos(x + )
4
4
Équivalent en
Équivalent en
√
3
+∞
0
de
1
Limite en 0 de
Limite en
1
2
de
2 x2 − 3 x + 1 tan(π x)
Limite en 0 de
Équivalent en
x 1+2 ln(x)
(sin(x))sin(x) − 1
(tan(x))tan(x) − 1
√
1 + x2
x
)
+ ∞ de
ln(
1
x+1
sin( x )
[Exercice corrigé]
Exercice 1220
que
Soit (fn )n∈N une suite de fonctions réelles. Montrer qu'il existe f : R → R telle
∀n ∈ N, fn (t) = o(f (t)) si t → ∞.
24 Dérivabilité : compléments
157
24 Dérivabilité : compléments
Exercice 1221
Exercice 1222
24.1 Dérivées
Montrer que pour tout
x ∈]1, +∞[ on pose f (x) = x ln(x) − x. Montrer
] − 1, +∞[. On pose g = f −1 l'application réciproque
Pour tout
bijection de ]1, +∞[ sur
g(0) et g 0 (0).
Exercice 1223
x ∈ R+ , sin(x) 6 x.
f est une
f. Calculer
que
de
Étudier la continuité, la dérivabilité, la continuité de la dérivée pour les appli-
cations suivantes :
1
f : x 7→ sin ( ) si x 6= 0 et f (0) = 0.
x
1
2. g : x 7→ xsin ( ) si x 6= 0 et f (0) = 0.
x
1
2
3. h : x 7→ x sin ( ) si x 6= 0 et f (0) = 0.
x
Soit g une fonction 2 fois dérivable sur [a, b] telle que g(a) = g(b) = 0
g 00 (x) 6 0 pour tout x ∈]a, b[. Montrer que pour tout x ∈]a, b[, g(x) > 0.
1.
Exercice 1224
Exercice 1225
Soit
f : R → R
une fonction deux fois dérivable telle que
f (x)
.
f (x) > 0, f 0 (x) > 0 et f 00 (x) > 0. Étudier lim f (x) et lim
x→∞
x→∞ x
Soit f une application continue de [a, b] à valeurs
0
Montrer que si lim f (x) existe, f est dérivable en a.
Exercice 1226
Exercice 1227
dans
R
∀x ∈ R
et
on ait
dérivable sur
]a, b].
x→a
α>0
1.
2.
f : R+ → R∗+ une fonction bornée
00
tout x ∈ R+ , on ait αf (x) 6 f (x).
Soit
tel que, pour
(a) Montrer que
f0
(b) Montrer que
f
(a) Soit
a une limite en
+∞.
Quelle est la valeur de cette limite ?
est décroissante et que
0
2
2
g : x 7→ αf (x) − (f (x)) .
deux fois dérivable et telle qu'il existe
lim f (x) = 0.
+∞
Montrer que
g
est croissante et a pour limite
0
en
∞.
√
f
(x)
=
h(x)
exp(−
αx),
√
f (0) exp(− αx).
(b) En posant
Exercice 1228
on note
gn
x ∈ R+ : f (x) 6
24.2 Applications
Soit
la fonction
1. On suppose
f
une fonction continue de
[0, 1]
à valeurs dans
R.
Pour chaque
1
x 7→ f (x + ) − f (x).
n
gn (x) > 0
pour tout
2. On suppose désormais que
s'annule en au moins
Exercice 1229
montrer que, pour tout
Pour tout
x ∈ [0, 1 −
f (0) = f (1).
1
[.
n
Montrer que
f (1) > f (0).
Montrer que, pour chaque
1
un point de l'intervalle [0, 1 −
].
n
n entier supérieur où égal à 2, on considère
à coecients réels :
Pn (X) = X n + X n−1 + X 2 + X − 1
n ∈ N,
n ∈ N,
la fonction
le polynôme de degré
gn
n
24 Dérivabilité : compléments
n > 2. Montrer que Pn
1. Soit
a une unique racine réelle positive que l'on nommera
notera
λn . (On
X 7→ Pn (X).)
pourra étudier l'application
2. Montrer que la suite
158
(λn )n>2
est croissante puis qu'elle converge vers une limite que l'on
`.
`
3. Montrer que
est racine du polynôme
X 2 + X − 1.
En déduire sa valeur.
[Exercice corrigé]
Exercice 1230
Soit
f
une fonction d'un intervalle
I
à valeurs dans
R dérivable sur I. Montrer
que les propriétés suivantes sont équivalentes :
1.
2.
f
f
est strictement croissante sur
0
est positive ou nulle sur
Exercice 1231
f une application
ε de R dans lui-même
1. Soit
de
I
R
et
I.
{x ∈ I; f 0 (x) > 0}
est dense dans
I.
R dérivable en 0. Montrer qu'il existe
∀x ∈ R : f (x) = f (0) + xf 0 (0) + xε(x)
dans
telle que
une application
et
lim ε(x) = 0.
x→0
Donner une interprtation géométrique de ce résultat.
(un )n>1 et (vn )n>1 dénies en posant, pour tout n ∈ N∗ :
1
α 1
un = (n3 + 1) 3 − n et vn = (1 + ) n .
n
Construire un exemple de suite (wn )n>1 avec, un < 1 pour tout n > 1 et telle que
lim wn = 1. (On pourra s'inpirer de l'exemple de (vn )n>1 ci-dessus.)
2. En déduire les limites des suites
3.
n→∞
Exercice 1232
2. En déduire que pour tout entier
3. Posons
un = 1 +
convergente.
Exercice 1233
dérivable en
dans
R
telle
1
1
< log(x + 1) − log(x) < .
x+1
x
1
1
n > 1 : log(n + 1) < 1 + + · · · + < 1 + log(n).
2
n
1. Montrer que pour tout
1
1
+ · · · + − log(n)
2
n
1. Soit
f
x>0
on a :
Montrer que la suite
(un )n∈N
une application continue d'un intervalle
]a, b[
est décroisante et
à valeurs dans
c ∈]a, b[. Montrer qu'il existe une (unique) application continue ε
que f (c) = 0 et, pour tout x ∈]a, b[ distinct de c, on ait :
de
R,
]a, b[
f (x) = f (c) + (x − c)f 0 (c) + (x − c)ε(x)
2. Montrer que la suite
(Sn )n>1
de terme général :
n
Sn =
X 1
1
1
1
+
+ ··· +
=
n n+1
2n k=0 n + k
est décroissante et qu'elle converge vers une limite que l'on nommera
3. Pourquoi peut on dire,
4. Soit
que
a priori , que
S.
1
6 S 6 1?
2
f :]−1, 1[→ R une application continue, dérivable en 0 et telle que f (0) = 0. Montrer
la suite (σn (f ))n>1 de terme général :
1
1
1
σn (f ) = f
+f
+ ··· + f
n
n+1
2n
converge vers
f 0 (0)S
(utiliser 1.).
25 Développements limités
σn (f ) =
5. Montrer que
valeur de
log
159
(2)
lorsque
f
(σn )n>1
de terme général :
est l'application
x 7→
log
(1 + x)
et en déduire la
S.
6. Calculer la limite de la suite
σn = sin
1
1
1
+ sin
+ · · · + sin
.
n
n+1
2n
p ∈ N∗
7. Plus généralement, quelle est la valeur pour
(σn (p))n>1
donné, de la limite
Sp
de la suite
de terme général :
σn (p) =
pn
X
k=0
1
?
n+k
[Exercice corrigé]
Exercice 1234
Soit
f
une fonction dérivable et
a un réel. Soit h > 0 un nombre réel strictement
positif xé.
1. Montrer qu'il existe
θ ∈]0, 1[
tel que
f (a + h) − 2f (a) + f (a − h)
= f 0 (a + θh) − f 0 (a − θh).
h
2. Pour tout
h 6= 0
existe, alors
Exercice 1235
On pose
on note :
ϕ(h) =
lim ϕ(h) = f 00 (a).
f (a + h) − 2f (a) + f (a − h)
.
h2
Montrer que si
f 00 (a)
h→0
Soit I un intervalle ouvert contenant 0 et 1 et f : I → R une fonction dérivable.
p = f (1) − f (0).
1. Soit
g : [0, 1] → R
u
Montrer que si
0
la fonction dénie par
est un réel compris entre
g(0) = f 0 (0)
f 0 (0)
et
p
et
f (x) − f (0)
sinon.
x
existe a ∈ [0, 1] tel que
g(x) =
alors il
u = f (a).
2. Soit
h : [0, 1] → R
v
Montrer que si
0
la fonction dénie par
est un réel compris entre
h(1) = f 0 (1)
f 0 (1)
et
p
et
f (x) − f (1)
sinon.
x−1
existe b ∈ [0, 1] tel que
h(x) =
alors il
v = f (b).
3. Soit
w un réel compris entre f 0 (0) et f 0 (1). Montrer qu'il existe c ∈ [0, 1] tel que w = f 0 (c).
Exercice 1236
distinctes. Montrer
de
P (X) un polynôme à coecients complexes de degré 3 ayant trois racines
0
que les racines de P sont dans le triangle ayant pour sommet les racines
Soit
P
25 Développements limités
Exercice 1237
25.1 Calculs de développements limités
Donner le développement limité en
1.
x 7→ ln(cos(x))
2.
x 7→ tan(x)
3.
x 7→ sin(tan(x))
4.
x 7→ (ln(1 + x))2
(à l'ordre
(à l'ordre
6).
7).
(à l'ordre
(à l'ordre
7).
4).
0
des fonctions :
25 Développements limités
5.
x 7→ exp(sin(x))
6.
6
x 7→ sin (x)
(à l'ordre
(à l'ordre
160
3).
9.)
[Exercice corrigé]
Exercice 1238
−1
f : R → R la fonction dénie par f (x) = 0 si x 6 0 et f (x) = exp ( )
x
pour tout n ∈ N, le développement limité de f en 0. Quelles conclusions
1. Soit
sinon. Calculer,
en tirer ?
g:R→R
2. Soit
que
g
la fonction dénie par
g(0) = 0
2
a un développement limité d'ordre
Exercice 1239
[Exercice corrigé]
Exercice 1240
Déterminer la limite en
0
de
en
0
et, si
1
x 6= 0 : g(x) = x3 sin( ).
x
mais n'a pas de dérivée seconde (en
2.
3.
4.
5.
6.
7.
0).
arctan x − sin x
.
tan x − arcsin x
Faire un développement limité ou asymptotique en
1.
Montrer
a
à l'ordre
n
de :
ln cos x n = 6 a = 0.
arctan x − x
n = 2 a = 0.
sin x − x
ln tan( x2 + π4 ) n = 3 a = 0.
ln sin x n = 3 a = π4 .
√
√
3
x3 + x − 3 x3 − x n = 4 a = +∞.
1
(1 + x) x n = 3 a = 0.
p
√
√
x( x2 + x4 + 1 − x 2) n = 2 a = +∞.
[Exercice corrigé]
Exercice 1241
1.
2.
3.
4.
5.
Développements limités
en
0
de :
cos x. ln(1 + x) à l'ordre 4.
1
à l'ordre 4.
cos x
arcsin (ln(1 + x2 )) à l'ordre 6.
sinh x − x
à l'ordre 4.
x3
1
(1 + x) 1+x à l'ordre 3.
Exercice 1242
Pour chacune des fonctions suivantes, donner les conditions sur
ε(x)
pour que
ces fonctions soient des développements limités au voisinage d'un point et à un ordre que vous
préciserez.
5.
x3
+ x2 ε(x)
3
2
1
1
f2 (x) = 1 − 2 + 3 + 3 ε(x)
x
x
x
(x − 2)2
+ (x − 2)3 ε(x)
f3 (x) = (x − 2) +
5
1 1
f4 (x) = x2 − x + 1 + + ε(x)
x x
f5 (x) = x3 + 3x− x + 1 + (x − 1)2 ε(x)
6.
f6 (x) = (x − 2)2 + (x − 2) − 2 + (x − 2)ε(x)
1.
2.
3.
4.
f1 (x) = x −
25 Développements limités
7.
f7 (x) = {2x + x2 + 1 + x2 ε(x)}{−x + 3 + x2 − x3 ε(x)}
Exercice 1243
1. Développements limités en
2. Développement limité
loppement limité
Exercice 1244
0 +∞ −∞
Exercice 1245
Z
,
161
et
en
à l'ordre
π
.
2
3
en
1à
x0 ∈]0; π[
3 de f (x) =
l'ordre
de
h(x) = ln(sin x).
√
x
et de
√
g(x) = e
x
En déduire un déve-
√
Donner un développement limité
2
à l'ordre
de
f (x) =
1 + x2
√
x + 1 + 1 + x2
en
.
Donner un développements limité
en
0
à l'ordre
10
de :
x
1.
x 7−→
cos t2 dt.
0
2.
x 7−→
Z
x2
Exercice 1246
x
1
dt = F (x2 ) − F (x) où F est une
1 + t4
Donner le DL2 en +∞ de :
r
x
x − 2 x−1
e .
x→
x+1
√
primitive de
t 7−→ √
1
.
1 + t4
25.2 Applications des développements limités
Exercice 1247
Calculer les limites suivantes
2
ex − cos x
lim
x→0
x2
Exercice 1248
[Exercice corrigé]
Exercice 1249
0
Exercice 1250
Exercice 1251
√
cos x − 1 − x2
lim
x→0
x4
ln(1 + x) − sin x
lim
x→0
x
Calculer les limites suivantes :
ex − (cos(x) + x)
x3 arctan(x) − x4
,
lim
.
x→0
x→0
x2
cos(x2 ) − 1
lim
Étudier la position du graphe de l'application
à sa tangente en
et
x 7→ ln(1 + x + x2 )
1.
Montrer que pour tout
Établir pour tout
ex
= +∞.
x→+∞ xn
n ∈ N, lim
x ∈ R∗+
l'inégalité :
3√
3
3√
3
x+ √
< (x + 1)3/2 − x3/2 <
x+ √ .
2
2
8 x
8 x+1
Exercice 1252
Exercice 1253
Montrer que pour tout
Soit
1. Montrer que
f
1
f (x) = (cos x) x
x ∈ R+ ,
pour
x ∈] − π2 , π2 [− {0}.
est prolongeable par continuité en
2. Déterminer un DL de
f
en
0
à l'ordre
1.
2.
f.
Étudier les branches innies des fonctions :
1
f (x) = x arctan( 1+x
2 ).
q
x−1
g(x) = x 3x+1
.
2
0.
2.
3. Etudier la dérivabilité du prolongement de
Exercice 1254
x2
x2
6 ex − x − 1 6 ex .
2
2
par rapport
25 Développements limités
Exercice 1255
Soit
(1)
162
1. Montrer que pour tout
n ∈ N∗
2. Déterminer un équivalent de
xn − n
3. Faire un DAS de
Exercice 1256
x − E(x) =
l'équation
il existe un unique
en fonction de
a ∈ R+∗
Calculer pour
xn ∈ [n, n + 1[
solution de
(1).
xn .
+∞
en
1
.
x2
1
à l'ordre
n
5.
:
1
1
x a − ax
, lim (3(2) n − 2(3) n )n
x
a
x→a x − a n→∞
lim
Exercice 1257
Calculer :
` = lim
x→∞
Exercice 1258
Soit
x ∈ R+ ,
∀n ∈ N, un+1 (x) =
ln x + 1
ln x
ln x+1 x ln x
quand
ln x
`−
et donner un équivalent de
on dénit
(un (x))n
x ln x
x → ∞.
et
(vn (x))n
par :
p
un (x) + vn (x)
, vn+1 (x) = un (x)vn (x), u0 (x) = 1, v0 (x) = x.
2
1. Montrer que ces deux suites convergent vers une même limite
`x .
f : R+ → R dénie par : f (x) = `x . Calculer f (1), f (0), donner f ( x1 ) en fonction de
f (x) si x > 0. Montrer que f est croissante, en déduire le sens de variations de x → f (x)
.
x
√
1+x
Montrer que f est dérivable en 1 (on utilisera
x 6 f (x) 6 2 ) puis que limx→∞ f (x) =
+∞.
2. Soit
3.
4. Montrer que
f
est continue sur
f,
5. Donner l'allure du graphe de
asymptotique en
Exercice 1259
Soit
R+∗ ,
f
est continue en
préciser la tangente en
0
0.
ainsi que le comportement
+∞.
n ∈ N∗ , x 6= 0,
on dénit :
un (x) =
Déterminer
puis que
1x + 2x + ... + nx
n
x1
.
`n = lim un (x).
Exercice 1260
Exercice 1261
x→0
Déterminer :
2 tan x − sh 2x
.
x→0 (1 − cos 3x) arctan x
lim
Soient
u, v, f
dénies par :
1
u(x) = (x3 − 2x2 + 1) 3 , v(x) =
1. Donner un équivalent de
2. Déteminer
3. Même étude en
Soit
−∞
x2 + x + 1, f (x) = u(x) − v(x).
au voisinage de
lim u(x) − x, lim v(x) + x.
x→−∞
au graphe de f en
Exercice 1262
f
√
x→−∞
et positionner
f
−∞,
la fonction
1. Donner le domaine de dénition
−∞
par-rapport à cette asymptote.
arctan x
1
− 2.
3
(sin x)
x
de g .
x 7→
lim f.
En déduire l'équation d'une droite asymptote
+∞.
g
en déduire
25 Développements limités
163
2. Montrer qu'elle se prolonge par continuité en
3. Déterminer la tangente en
0
0
en une fonction dérivable.
au graphe de cette fonction et la position de ce graphe par
rapport à celle-ci.
[Exercice corrigé]
Exercice 1263
x3 + 2
Soient f : x 7→
x2 − 1
et
g : x 7→ (x+1) exp(
1
) deux fonctions. Déterminer
x−1
si leurs graphes respectifs ont des asymptotes puis la position de ces graphes par rapport à
celles-ci.
Exercice 1264
Montrer que, pour tout
Exercice 1265 √
x
réel vériant
|x| 6 1
:
x + sin 2x x9 + x2 − 3 6 2.
Déterminer :
1.
(a)
(b)
lim
x→+∞
lim
x→−∞
√
x2 + 3x + 2 + x.
x2 + 3x + 2 + x.
1
2.
lim+ (Arctan x) x2 .
x→0
1
3.
(1 + 3x) 3 − 1 − sin x
lim
.
x→0
1 − cos x
1. Soit g la fonction
Exercice 1266
dénie par :
g(x) =
x+1
+ Arctan x.
1 + x2
(a) Quel est le domaine de dénition de
g?
(b) Etudier ses variations.
(c) Montrer que
et
0
g
s'annule une et une seule fois sur
(on ne demande pas de préciser la valeur de
(d) Dessiner le graphe de
2. Soit
f
R en
α).
un point
α
compris entre
−1
g.
la fonction dénie sur
R
par :
f (x) = (x + 1) Arctan x.
(a) Calculer la dérivée de
(b) Le graphe de
f
f
et établir son tableau de variation.
a-t-il des points d'inexion ? Si oui, donner les coordonnées de ce (ou
ces) point(s).
3. Donner l'équation de la tangente au point d'abcisse
x=0
au graphe de
de ce graphe par rapport à cette tangente (au voisinage de ce point).
4. En utilisant les résultats de l'exercice
(a)
(b)
f (x)
= (1 +
x
f (x)
= (1 +
x
???
, montrer que :
1 π
1
)( − Arctan ) si x > 0.
x 2
x
1
π
1
)(− − Arctan ) si x < 0.
x
2
x
f
et la position
25 Développements limités
164
ε
5. En déduire l'existence d'une fonction
ait :
f (x) =
Etablir un résultat analogue pour
telle que
1
lim ε( ) = 0
x→+∞
x
x > 0,
et, pour tout
on
π
π
1 1 1
x + ( − 1) − + ε( ).
2
2
x x x
x < 0.
6. Quelles sont les asymptotes au graphe de
f ? Préciser la position de ce graphe par rapport
à ces asymptotes.
7. Dessiner le graphe de
Exercice 1267
n ∈ N.
Exercice 1268
f.
25.3 Formules de Taylor
Soit
f
l'application de
R
dans
R
dénie par
f (x) =
x3
.
1 + x6
Calculer
f (n) (0)
pour tout
dans
R.
Soit
On suppose
a un nombre réel et f une application de classe C 2 de ]a, +∞[
f 0 et f 00 bornées ; on pose M0 = sup |f (x)| et M2 = sup |f 00 (x)|.
x>a
x et x + 2h,
1
h > 0, on a : |f 0 (x + h)| 6 hM2 + M0 .
h
0
En déduire que f est bornée sur ]a, +∞[.
1. En appliquant la formule de Taylor en
2.
x>a
montrer que, pour tout
g :]0, +∞[→ R une application
lim g(x) = 0. Alors lim g 0 (x) = 0.
3. Établir le résultat suivant : soit
seconde bornée et telle que
Exercice 1269
Soient
x→∞
a, b, c ∈ Z
x>a
de classe
n∈N
tels que :
il existe
C2
et tout
à dérivée
x→∞
ae2 + be + c = 0.
[0, 1] à l'application ϕ : x 7→ aex + ce−x
θn ∈]0, 1[ tel que :
1. En appliquant la formule de Taylor sur
que, pour tout
à valeurs
démontrer
n
aeθn + (−1)n ce−θn X a + (−1)k c
−b =
+
.
(n + 1)!
k!
k=0
2. En déduire que pour
∞
X
rappelle que
e=
Exercice
1270
sup f (n) (x) =
grand
aeθn + (−1)n ce−θn = 0
puis que
a = b = c = 0.
(On
∞
(n)
Soit f ∈ C (R, R) telle que ∀n ∈ N, f
(0) = 0 et f (n) est bornée sur R avec
n!
o( an ), a constante xée. Montrer que ∀x ∈ [−a, a], f (x) = 0, puis que f = 0.
Exercice 1271
Q > 0.
Exercice 1272
x∈R
n=1
n assez
1
.)
n!
Soit
P ∈ Rn [X]
tel que
P > 0.
On pose
Q = P + P 0 + ... + P (n) .
Montrer que
a et b deux réels tels que a < b et f ∈ C 3 ([a, b], R). Montrer qu'il existe
(b − a)3 000
a+b
c ∈]a, b[ tel que f (b) = f (a) + (b − a)f 0 (
)+
f (c) (on pourra utiliser Taylor2
24
a+b
Lagrange entre a,
, b).
2
Soient
26 Intégrales (compléments), intégrales impropres
165
26 Intégrales (compléments), intégrales impropres
26.1 Intégration sur un compact
Exercice 1273
Exercice 1274
1
f : [0, 1] → R une fonction de classe C . Montrer que lim
Soit
n→∞
f : [0, 1] → R
Soit
une fonction continue telle que
lim
n→∞
Généraliser au cas où
Exercice 1275
Soit
f
1. Montrer que
f (0)
f (0) = 0.
Z
1
cos(nt)f (t)dt
0
Montrer que
1
Z
f (tn )dt = 0.
0
est quelconque.
f : [a, b] → R
une fonction intégrable.
est bornée. On pose
M = sup |f (x)|.
x∈[a,b]
2. Soient
x
F : x 7→
et
Z
y ∈ [a, b]
|
Montrer que
y
Z
f (t)dt| 6 M |x − y|.
En déduire que l'application
x
x
f (t)dt
est continue sur
[a, b].
a
3. Soit
x0 ∈ [a, b].
Exercice 1276
Soit
Montrer que si
f : [0, 1] → R
f
alors
F
est dérivable en
x0 .
une fonction continue. Montrer que
lim
n→∞
Z
1
n
n
nt f (t )dt =
0
1
Z
f (t)dt.
0
u = tn ).
(On pourra faire le changement de variable
Exercice 1277
x0
est continue en
f : [a, b] → R une fonction de classe C 1 telle que f (a) = f (b) = 0. Posons
Z b
(b − a)2
0
. (Indication : faire des dévelopM = supx∈[a,b] |f (x)|. Montrer que |
f (t)dt| 6 M
4
a
Z x
Z b
pements limités de x 7→
f (t)dt et x 7→
f (t)dt).
Exercice 1278
Soit
a
Soit
f
x
continue sur
[0, 1] avec f (1) 6= 0, montrer
Z 1
f (1)
xn f (t)dt ∼
.
n
0
En déduire :
lim
n→∞
On posera
u=1−
Exercice 1279
1
puis
n
Z
n
−2t
e
0
t
1−
n
n
dt
v = ue2(u−1) .
Donner un développement :
Z
0
1
et
b
1
dt = a + + o( ).
n
1+t
n
n
:
= 0.
26 Intégrales (compléments), intégrales impropres
Exercice 1280
166
26.2 Intégrales impropres
Donner la nature des intégrales suivantes :
∞ −x
Z
e
√ dx.
x
0
∞
Z
xx dx.
1
√
∞
Z
x sin( x1 )
dx.
ln(1 + x)
0
Nature et calcul des intégrales suivantes :
2
Z
√
1
∞
Z
0
1
x2
dx.
x5
dx.
x12 + 1
∞
Z
−1
e−
√
x
dx.
0
Z
∞
1
d(bile).
sh(bile)
1
[Exercice corrigé]
Exercice 1281
2. Soit
n∈N .
Montrer que
3. En déduire que
Z √n 2 n
0
∀x > −1 ln(1 + x) 6 x.
∀x ∈ [0, n] (1 − nx )n 6 e−x 6 (1 + nx )−n .
1. Montrer que
∗
t
1−
n
Z
dt 6
√
n
−t2
e
dt 6
√
Z
0
n
1
2 n dt.
1 + tn
0
Rappel (intégrales de Wallis) :
In =
π
2
Z
n
(cos(θ)) dθ ∼
r
0
4. Montrer que
Z
∞
0
5. Montrer que
Exercice 1282
Z
∞
1
du
(1 + u2 )n
2
e−x dx
Exercice 1284
I2n−2 .
√
existe et vaut
0
π
.
2
Étude de :
Donner un équivalent de
Exercice 1283
existe et vaut
π
.
2n
Soit
f
f
en 0 et en
f :R→R
Z x t
e
dt.
x 7→
1 t
+∞.
une application
C2
de
R
dans
R
telle que
00
f + f > 0.
Montrer que :
∀x ∈ R, f (x) + f (x + π) > 0.
Soit
f
R+ dans R et F
Z
1 x
+∗
f (t)dt.
∀x ∈ R , F (x) =
x 0
une application continue de
de
R+∗
dans
R dénie par :
26 Intégrales (compléments), intégrales impropres
1. Montrer que si
f
2. Donner un exemple où
3. Montrer que si
Exercice 1285
+∞,
alors
F
n'a pas de limite en
+∞
mais où
admet une limite
f →∞
f
quand
`
167
en
x → ∞,
alors
F →∞
a aussi la limite
F
quand
`
tend vers
en
+∞.
0.
x → ∞.
Étudier la fonction :
h:x→
Z
x2
x
dt
.
log t
Domaine de dénition, continuité et dérivabilité, variations, limites aux bornes de ce domaine,
h(x)
et lim
, lim h(x)
, éventuellement convexité.
x→∞ x
x→0 x
Exercice 1286
Donner un exemple d'une fonction continue positive telle que :
∞
Z
f (u)du
0
existe mais telle qu'on n'ait pas :
lim f (x) = 0.
x→∞
Donner un exemple de fonction continue positive telle que :
∞
Z
f (u)du
0
existe mais telle que :
∞
Z
f 2 (u)du
0
n'existe pas.
Exercice 1287
Soit
f
une fonction positive décroissante de
R+
dans
R,
telle que
Montrer que :
R∞
0
f
existe.
1
f (x) = o( )
x
quand
x → ∞.
Exercice 1288
+
une application continue par morceaux de R
dans R possédant une
R∞
limite ` en +∞, telle que
f
existe ; montrer que ` = 0.
0
R∞
+
Soit f une application uniformément continue de R
dans R telle que
f existe. Montrer
0
que :
Exercice 1289
que quand
Soit
f
lim f (x) = 0.
x→∞
Soit
f
une application continue de
x→∞:
Exercice 1290
Z
x
0
Étudier la nature de
0
α ∈ R.
dans
√
f (t)dt = o( x).
Z
selon
R+
∞
sin t
dt
tα
R
telle que
R∞
0
f2
existe. Montrer
26 Intégrales (compléments), intégrales impropres
Exercice 1291
168
Convergence et calcul de :
1
ln(1 + t2 )dt
,
t2
0
Z ∞ 1
ln 1 + 2 dt,
t
0
Z ∞
ln t
dt.
tn
1
Z
[Exercice corrigé]
Exercice 1292
Soit
f : [1, ∞[→ R+
continue telle que
∞
Z
f (t)dt
1
converge. Montrer que
Exercice 1293
Z
1
lim
x→∞ x
Soit
f ∈ C([1, ∞[, R+ )
xn =
x
tf (t)dt = 0.
1
décroissante, on pose :
n
X
f (k) −
(xn )n∈N converge.
P
Sn = nk=1 f (k) a
2. Montrer que la suite
f (t)dt.
1
k=1
1. Montrer que la suite
n
Z
n→∞
une limite quand
si et seulement si
converge, et que dans ce cas :
Z
∞
f 6 lim
m→∞
n+1
3. Montrer que si
Exercice 1294
Soit
R∞
1
f
diverge on a :
f :]0; 1] → R
Sn v
m
X
Rn
1
f.
n → ∞.
quand
continue et monotone, telle que
1X
f
lim
n→∞ n
k=1
Montrer que si
f
∞
n
k=n+1
n
Exercice 1295
f (k) 6
Z
R1
0
f
existe. Calculer
k
.
n
f : R+ → R est uniformément
Z ∞
exp(if (t))dt
continue, alors
0
n'existe pas.
ExerciceZ 1296
∞
1
sin t sin dt,
t
ExerciceZ 1297
0
∞
0
Nature de :
∞
Z
0
esin t
dt,
t
∞
Z
2
sin t
√
dt,
t + sin t
Z
1
cos ln tdt,
0
Z
∞
cos exp tdt.
0
Nature et calcul de :
a2
ln t ln 1 + 2
t
dt, a > 0 ;
Z
0
∞
exp −t
1
n
∗
dt, n ∈ N ;
Z
0
1
1
1
− E( ) dt.
t
t
R∞
1
f
26 Intégrales (compléments), intégrales impropres
Exercice 1298
Convergence et calcul de :
Z
Exercice 1299
R
en
+∞,
et
∞
0
f
∞
0
Soient
f
et
g
dx
,
1 + cosh2 x
∞
1
dx
,
sinh x
R+
Z
∞
−∞
dans
R
dt
.
cosh t
telles que
f > 0, g > 0, g = o(f )
n'existe pas. Montrer alors :
x
g(u)du = o
0
Z
x
f (u)du
0
x → ∞.
Exercice 1300
Soit
f : R+ → R
continue, tendant vers
lim
Exercice 1301
n→∞
Z
0
∞
`
en
+∞,
montrer alors :
π
f (t)n
dt = `.
2
2
n +t
2
Calculer :
Z 1 n
tan t
x − x2n
lim
dt , lim
dx.
n→∞ 0
a→0+ a
t2
1−x
R∞
R∞
Soit f ∈ C(R, R) telle que
f existe, montrer que F (x) = −∞ f (t) cos txdt
−∞
uniformément continue sur R.
Z
Exercice 1302
est
Z
deux fonctions de
Z
quand
169
3a
27 Groupes : généralités
170
Cinquième partie
ALGÈBRE 3
27 Groupes : généralités
Exercice 1303
27.1 Groupes, sous-groupes
ABC
Soit
un triangle équilatéral du plan.
1. Déterminer l'ensemble des rotations qui laissent invariant
{A, B, C}.
◦.
2. Montrer que c'est un groupe pour la loi
3. Faire de même avec un carré.
Exercice 1304 (Entiers modulo n)
entier relatif
noté
p
modulo
n
l'ensemble
Étant donné un entier naturel
p = {p + kn | k ∈ Z}.
n, on appelle classe d'un
n est
L'ensemble des classes modulo
Zn .
1. Écrire la liste des éléments distincts de
2. Montrer que si
3. En posant
x∈p
et
y ∈ q,
p+q = p+q
Zn .
et
alors
Z2 , Z3 , Z4
x+y ∈p+q
p · q = pq ,
et
et
Z5 .
xy ∈ pq .
on dénit deux lois de composition, addition et
multiplication sur
Écrire la table d'addition et de multiplication de
Même question pour
Exercice 1305
Z2 , Z3 ,
et
Z4 .
Z5 .
1. Montrer que les transformations géométriques qui conservent globale-
ment un rectangle forment un groupe. Faire l'étude de ce groupe.
2. Étudier le groupe
Z/4Z.
3. Montrer qu'il n'existe que deux sortes de groupes à quatre éléments.
Exercice 1306
1. Étudier le groupe des isométries du carré.
2. Écrire la liste des éléments du groupe
S4
des permutations de quatre lettres. Trouver des
sous-groupes de ce groupe isomorphes aux groupes du rectangle, du triangle équilatéral,
du carré.
Exercice 1307 (Permutations d'un ensemble de n éléments)
l'ensemble de
n
éléments
{1, 2, . . . , n}
est une bijection de cet ensemble dans lui-même.
Il est commode de désigner une telle permutation
s=
1
2 ···
n
s(1) s(2) · · · s(n)
2. Écrire les éléments de
S2
. On note
et de
1. Une permutation de
s
par le tableau de valeurs suivant :
Sn l'ensemble de ces permutations pour n donné.
S3 .
3. Établir les tables de composition de ces deux ensembles.
4. De la table de
S3
on peut extraire des parties
stables
ne faisant intervenir que certains
éléments ; lesquelles ? Peut-on les trouver toutes.
5. Voyez-vous des analogies (totales ou partielles) entre ces tables et des situations rencontrées plus haut ?
6. On peut obtenir tous les éléments de
lesquels ?
S3 à partir de la composition de certains d'entre-eux ;
27 Groupes : généralités
171
7. Combien d'éléments possède
S4 , S5 , . . .
Exercice 1308
vrai pour
1
x
f2 (x) =
G = {f1 , f2 , f3 , f4 }
Exercice 1309
4
Exercice 1310
Exercice 1311
R∗
Soient les quatre fonctions de
f1 (x) = x
Montre que
Sn ? Combien de cases contient la table
S4 et S5 à partir de ces tables ?
de composition de
? Pourrait-on étudier
dans
R∗
f3 (x) = −x
est un groupe pour la loi
f4 (x) = −
1
x
◦.
Montrer qu'il existe une seule table possible pour un groupe d'ordre
3.
Est-ce
?
Montrer que si
X
contient au moins trois éléments alors
σ(X) n'est pas abélien.
Les ensembles suivants, pour les lois considérées, sont-ils des groupes ?
1.
] − 1, 1[
2.
{z ∈ C : |z| = 2}
3.
R+
4.
{x ∈ R 7→ ax + b : a ∈ R \ {0} , b ∈ R}
muni de la loi dénie par
x?y =
x+y
;
1+xy
pour la multiplication usuelle ;
pour la multiplication usuelle ;
pour la loi de composition des applications.
[Exercice corrigé]
Exercice 1312
Soit
K = {Id, f1 , f2 , f3 } où f1 , f2 , et f3 sont les permutations de E = {1, 2, 3, 4}
dénies par
f1 = ( 12 21 34 43 ) , f2 = ( 13 24 31 42 ) , f3 = ( 14 23 32 41 ) .
Montrer que
K
Exercice 1313
est un sous-groupe de
S4 .
Soit l'ensemble
J =
x x
x x
∈ M2 (R) : x ∈ R \ {0} .
Montrer que, muni de la multiplication usuelle des matrices,
Exercice 1314
J
est un groupe abélien.
Pour la multiplication usuelles des matrices carrées, les ensembles suivants
sont-ils des groupes :
GL(2, R)
∩ M2 (Z),
{M ∈ M2 (Z) : det M = 1}
?
[Exercice corrigé]
Exercice 1315
G un ensemble muni d'une loi de composition interne associative, admettant un élément neutre à droite et tel que chaque élément de G admette un symétrique à droite.
Montrer que G est un groupe.
Exercice 1316
Soit
Soient
(G, .)
un groupe et
a, b ∈ G.
(1) : ab2 = b3 a
1. Montrer, en utilisant seulement (1), que
2. En déduire, en utilisant (2), que
Exercice 1317
1. L'ensemble
est-il un groupe ?
et
On suppose que
(2) : ba2 = a3 b.
a2 b8 a−2 = b18
a3 b8 a−3 = b18
puis que
et enn que
a3 b8 a−3 = b27 .
a = b = 1.
R\{−1} muni de la loi ? dénie par ∀a, b ∈ R, a?b = a+b+ab
27 Groupes : généralités
172
E = {−1, 1, i, −i} ⊆ C
2. L'ensemble
muni de la loi usuelle de multiplication dans
C
est-il
un groupe ?
3. L'ensemble
de
M2 (R)
4. L'ensemble
E = {( a0 00 ) : a ∈ R \ {0}} muni de la loi de multiplication usuelle des matrices
est-il un groupe ?
S2 (R)
des matrices symétriques réelles d'ordre 2 muni de la loi de multiplica-
tion usuelle des matrices de
Exercice 1318
M2 (R)
(G, ?) et (H, 4)
(x, y)♥(x , y ) = (x ? x , y4y 0 ).
0
0
Soient
0
1. Montrer que
2. Si
G
(G × H, ♥)
est-il un groupe ?
deux groupes. On dénit sur
G×H
la loi
♥
par
est un groupe.
est de cardinal 2, dresser la table de
G×G
et la reconnaître parmi les exemples des
exercices précédents.
Exercice 1319
G
Exercice 1320
groupe de
Si G est
{x ∈ G/∀y ∈ G, xy = yx}.
1. Montrer que
Z(G)
2. Montrer que
G
3. Calculer
H et K
H ∪K?
Montrer que si
. Est-ce vrai pour
sont des sous-groupes de
un groupe, on appelle centre de
est un sous-groupe de
est commutatif ssi
G
G
alors
H ∩K
et on note
est un sous-
Z(G)
l'ensemble
G.
Z(G) = G.
Z(σ3 ).
Exercice 1321
On nomme
Mn (Z) l'ensemble des matrices de taille n × n à coecients entiers
relatifs.
M ∈ Mn (Z). Montrer que pour que M admette un inverse élément de Mn (Z) il faut et
il sut que det(M ) ∈ {−1, 1}.
- Démontrer que Gln (Z) = {M ∈ Mn (Z) ; det(M ) ∈ {−1, 1}} est un sous-groupe de Gln (R).
a c
1. L'ensemble des matrices
avec a, b, c, d ∈ R tels que ad − bc 6= 0
b d
2
2
2
2
et a − b − c − d 6 1 est il un sous-groupe de Gl2 (R) ?
a b
∗
2. L'ensemble des matrices
avec a ∈ R et b ∈ R est-il un sous groupe de Gl2 (R) ?
0 a−1
a c
3. Existe-t-il une valeur M ∈ R telle que l'ensemble des matrices
avec a, b, c, d ∈ R
b d
tels que ad − bc 6= 0 et a 6 M forme un sous-groupe de Gl2 (R) ?
- Soit
Exercice 1322
[Exercice corrigé]
Exercice 1323
Soit
un sous-groupe de
[Exercice corrigé]
Exercice 1324
Exercice 1325
G
G
un groupe,
H
si et seulement si
K deux sous-groupes
H ⊂ K ou K ⊂ H.
et
Déterminer le sous-groupe de
Les questions sont indépendantes. Soit
C
Z(G)
G
un groupe engendré par
désigne le centre de
[Exercice corrigé]
G.
a
et
le nombre complexe
engendré par
2. Déterminer le sous-goupe du groupe multiplicatif
Soit
j
b.
C∗
i
et
e
2iπ
3
est
−54.
.
j.
engendré par
Montrer que
H ∪K
Montrer que
engendré par les entiers 24, 36 et
Z
1. Déterminer le sous-goupe du groupe additif
Exercice 1326
G.
de
i
et
j.
< a > ∩ < b >⊆ Z(G)
où
27 Groupes : généralités
Exercice 1327
G
Soit
173
+∗
α = inf(G ∩ R ).
1. Montrer l'existence de
2. Si
α>0
montrer que
G = αZ.
3. Si
α=0
montrer que
G
Exercice 1328
G
Soit
(R, +).
un sous-groupe de
est dense dans
R.
un groupe. Montrer que l'ensemble
est un groupe pour la loi de composition. Soit
dénie par :
π(x) = {f (x)|f ∈ H}.
Exercice 1329
G
π : G → ℘(G)
des automorphismes de
H un sous-groupe de Aut(G), et
π(G) est une partition de G.
Montrer que
E un ensemble muni d'une loi interne ?. On appelle translation à droite
a ∈ E , l'application da (resp. ga ) de E dans E dénie par da (x) = a ? x
Soit
(resp. à gauche) par
(resp.
Aut(G)
ga (x) = x ? a).
1. Montrer que dans un groupe les translations à droite et à gauche sont des bijections.
? de E
2. Réciproquement, si la loi
est associative, et que les translations à droite et à gauche
sont des bijections, on va montrer que
(E, ?)
x ∈ E , il existe
x ? fx = x).
(a) Montrer que pour tout
que
(b) Si
ex ? x = x
(resp.
x, y ∈ E , montrer que ex = ey
(c) Montrer que
e=f
(noté
e
x̄ ? x = e
(e) Montrer que
(resp.
un unique élément
ex ∈ E
e dorénavant) et fx = fy
(resp.
(noté
f
fx ∈ E )
tel
dorénavant).
dorénavant).
x ∈ E,
¯ = e).
x ? x̄
(d) Montrer que pour tout
que
(noté
est un groupe.
il existe un unique élément
x̄ ∈ E
(resp.
¯ ∈ E)
x̄
tel
K
est
¯.
x̄ = x̄
(f ) Conclure.
Exercice 1330
Exercice 1331
Si
un sous-groupe de
i)
G
K
G.
est un sous-groupe de
1. Soit
(G, .)
H
et
H
un sous-groupe de
G,
montrer que
un groupe. Montrer l'équivalence de :
est abélien.
a, b ∈ G,
ii) Pour tout
iii) Pour tout
a, b ∈ G,
iv) L'application
f
de
on a :
on a :
G
dans
2. En déduire que si pour tout
Exercice 1332
(ab)2 = a2 b2 .
(ab)−1 = a−1 b−1 .
G
dénie par
2
x ∈ G, x = e,
1. Les ensembles
f (x) = x−1
alors
G
est un automorphisme.
est abélien.
N, Z, R, R+ , R∗+ , C, C∗
munis des lois
+
ou
×
sont-ils des
groupes ? Quand c'est le cas, chercher des sous-groupes non triviaux.
2.
{x ∈ R 7→ ax + b : a ∈ R \ {0} , b ∈ R} muni de la loi de composition des applications estil un groupe ?
Exercice 1333
Exercice 1334
Quel est le plus petit sous-groupe de
(R, +)
(resp. de
(R∗ , ×))
contenant 1 ?
Contenant 2 ?
de
(C, ×).
Soit
semblent les courbes
exp(iλt) ?
λ ∈ C
xé. Montrer que
Pour quelles valeurs de
Sλ ?
λ
Sλ = {exp(iλt) : t ∈ R}
est un sous-groupe
retrouve-t-on des sous-groupes bien connus ? A quoi res-
Que peut-on dire, en terme de morphisme, de l'application
t 7→
27 Groupes : généralités
Exercice 1335
engendré dans
174
27.2 Ordre d'un élément
On appelle
G
ordre d'un élément
d'un groupe ni
(G, ∗)
par cet élément.
x
1. Montrer que si
p, p
est d'ordre
I
xp = e.
est le plus petit entier tel que
2. Déterminer les ordres des éléments des groupes rencontrés au
(G, ∗)
l'ordre du sous-groupe
.
a un élément de G, H un sous-groupe d'ordre p
{a ∗ y | y ∈ H}.
a) Montrer que pour tout a ∈ G, aH a p éléments.
b) Montrer que si a ∈ G et b ∈ G, (aH = bH) ou (aH ∩ bH = ∅).
c) En déduire que l'ordre de H divise l'ordre de G.
3. Soit
aH
un groupe ni,
G
4. Montrer que si
est un groupe ni d'ordre
G
5,
est un groupe d'ordre
n,
on note
les ordres de tous ses éléments divisent
n∈N
H
Soit
tel que la
éléments d'ordre ni de
[Exercice corrigé]
Exercice 1337
n
Soit
k
et g
n ∈ N si g = e
n quelconque.
5.
Que peut-on dire de deux
5 ? Mêmes questions pour les groupes d'ordre 23. Généraliser.
groupes quelconques d'ordre
Exercice 1336
n.
que peut-on dire de l'ordre de ses éléments ? En déduire
les tables de composition possibles pour un groupe d'ordre
existe
G;
Z2 , Z3 , Z4 , Z5 , Z6 , S2 , S3 .
5. Trouver des sous-groupes de
6. Si
de
l'ensemble
x ∈ H est dit d'ordre ni lorsque il
somme x + ... + x (n-fois) soit égale à 0. Montrer que l'ensemble des
H est un sous-groupe abélien de H .
un groupe abélien. Un élément
G un groupe, e son élément neutre. Un élément g
6= e pour tout entier k < n. g est dit d'ordre ni si
de
G
est dit
il est d'ordre
d'ordre
n
pour
un
1. Montrer que
Gl2 (R) contient des éléments d'ordre 2 et des éléments qui ne sont pas d'ordre
ni.
2. Soit
ϕ un homomorphisme de G à valeurs dans H
et
g un élément de G d'ordre n. Montrer
que :
-
ϕ(g) est d'ordre ni inférieur ou égal à n.
Si ϕ est injectif, l'ordre de ϕ(g) est égal à n.
3. Montrer que si
G
n'a qu'un nombre ni d'éléments, tous ses éléments ont un ordre ni.
[Exercice corrigé]
Exercice 1338
Soit le groupe
G = Z/12Z.
1. Déterminer le sous-groupe
H
de
2. Caractériser les générateurs de
3. Quel est l'ordre de l'élément
Exercice 1339
Soient
E
r
et
s
(a) Montrer que
6
et
8
et déterminer son ordre.
G.
9?
E
s
s(e1 ) = e1 ,
s(e2 ) = −e2 ,
r(e1 ) = e2 ,
r(e2 ) = −e1 .
et l'ordre de
sr = −rs.
(e1 , e2 )
dénis par
sont des automorphismes du
2. Déterminer l'ordre de
3.
engendré par
un espace vectoriel réel de dimension 2 et
considère les endomorphismes de
1. Montrer que
G
r.
R-espace
vectoriel
E.
une base de
E.
On
27 Groupes : généralités
G := {IdE , s, r, sr, −IdE , −s, −r, −s}
(b) En déduire que
linéaire de
175
est un sous-groupe du groupe
E.
(c) Montrer que
G
est le sous-groupe du groupe linéaire GL (E) engendré par
Soient
G
un groupe et
Exercice 1340
[Exercice corrigé]
Exercice 1341
1. Soient
G
x∈G
un groupe et
un élément d'ordre
x, y ∈ G
m et n premiers entre eux. Montrer que xy
m et n premiers entre eux est indispensable.
2. Montrer que
que
AB
A := ( 01 −1
0 )
et
0 1
B := ( −1
−1 )
et
Quel est l'ordre de
t.
x2 ?
des éléments qui commutent et d'ordres
respectifs
pothèse
n.
s
est d'ordre
mn.
Montrer que l'hy-
sont des éléments de GL (2, R) d'ordres nis et
n'est pas d'ordre ni.
[Exercice corrigé]
Exercice 1342
Le groupe
[Exercice corrigé]
(Q, +)
est-il monogène ?
27.3 Morphismes
Exercice 1343
Décrire tous les homomorphismes de groupes de
Z
dans
Z.
Déterminer ceux
qui sont injectifs et ceux qui sont surjectifs.
[Exercice corrigé]
Exercice 1344
{Ma,b : (a, b) ∈
2
Pour tout couple (a, b) de R , on pose la matrice Ma,b =
R2 \ {(0, 0)}}. Soit l'application f : S → R, Ma,b 7→ a2 + b2 .
1. Montrer que
S
2. Montrer que
f
Exercice 1345
f
.
Soit
S =
est un groupe pour la loi usuelle de multiplication des matrices carrées.
est un morphisme du groupe
Soit
f : R → C∗
(S, ×) dans le groupe multiplicatif R\{(0, 0)}.
l'application qui à tout
x∈R
associe
est un homomorphisme de groupes. Calculer son noyau et son image.
[Exercice corrigé]
Exercice 1346
a −b
b a
eix ∈ C∗ .
f est-elle
Montrer que
injective ?
Traduire en termes d'homomorphisme de groupes les propriétés traditionnelles
suivantes :
1.
ln(xy) = ln x + ln y ;
2.
det(M M 0 ) = det(M ) det(M 0 ) ;
3.
|zz 0 | = |z||z 0 | ;
4.
(xy) 2 = x 2 y 2
1
1
z+z 0
z0
= ez e
;
5.
e
6.
z + z0 = z + z0.
Exercice 1347
et
1
;
S ∗ = S \ {M0,0 } .
1.
Soit
(a) Montrer que
(b) Montrer que
2. Montrer que
3.
(a, b) de R2 , on pose Ma,b = ab −b
, S = {Ma,b : (a, b) ∈ R2 }
a
l'application f : S → C, Ma,b 7→ a + ib.
Pour tout couple
f
S
S
est un sous-groupe du groupe additif usuel
∗
est un sous-groupe multiplicatif de
est un isomorphisme du groupe
(a) Montrer que
∗
catif C .
f
(S, +)
M2 (R).
GL 2 (R).
sur le groupe additif
dénit un homomorphisme du groupe
(S ∗ , ×)
(b) Déterminer le noyau et l'image de cet homomorphisme.
C.
sur le groupe multipli-
28 Anneaux et corps
4. Montrer que
multiplicatif
Exercice 1348
seulement si
G
176
Ω = {Ma,b : (a, b) ∈ R2 , a2 + b2 = 1} est un sous-groupe distingué du groupe
S ∗.
G
Soit
un groupe. Montrer que l'application
est commutatif. On suppose
seul point xe est
e,
G
ni ; soit
φ
x → x−1
est un morphisme si et
un morphisme involutif de
G
dont le
montrer que :
∀z ∈ G, ∃t ∈ G, z = t(φ(t))−1 .
En déduire
φ
puis que
Exercice 1349
Exercice 1350
U
Exercice 1351
est
G
est commutatif.
27.4 Isomorphisme
Montrer que les groupes
U2 × U3
Montrer que
(R, +)
et
G
sont isomorphes.
U6 . Est-ce que U2 × U2 est isomorphe
Un × Um est isomorphe à Unm ?
est isomorphe à
4 ? Pouvez-vous conjecturer à quelle condition
Soit
(R∗+ , ×)
un groupe.
1. Montrer que l'ensemble des automorphismes de
G muni
(G).
de la loi de composition des
applications est un groupe. Ce groupe est noté Aut
2. Vérier que l'application φ : G → Aut (G) qui associe à g ∈ G l'application φg
G, x 7→ gxg −1 est un morphisme de groupes. Déterminer son noyau Z(G), dit
:G→
centre
de
fa
de
G.
3. Déterminer Aut
Exercice 1352
G
dans
G
Soit
dénie par
1. Montrer que
fa
(Q)
et Aut (Z).
(G, .) un groupe.
fa (x) = a.x.a−1 .
Γ = {fa : a ∈ G}.
3. Soit
Φ : G → Γ, a 7→ fa .
Montrer que
G
(Q, +)
et
Φ
est un groupe.
est un morphisme. Est-il injectif ? (indication :
(Q, +)
(Q \ {0} , ×)
et
(Z, +)
sont-ils isomorphes ?
sont-ils isomorphes ?
Montrer que les groupes multiplicatifs
[Exercice corrigé]
l'application
est abélien).
1. Les sous-groupes
2. Les sous-groupes
(Γ, ◦)
Vérier que
préciser ce morphisme lorsque
a ∈ G,
G.
est un automorphisme de
2. Soit
Exercice 1353
Exercice 1354
On appelle conjugaison par
R\{0} et C\{0} ne sont pas isomorphes.
28 Anneaux et corps
Exercice 1355
28.1 Anneaux
Soient
1. ...du groupe
C?
2. ...de l'anneau
3. ...du
a, b ∈ C. L'application f : C → C, z 7→ iz−z est-elle un (endo)morphisme...
R-espace
C?
vectoriel
C?
28 Anneaux et corps
Exercice 1356
L=
177
Soient les ensembles
x 0
0 0
∈ M2 (R) : x ∈ R
Étudier si, munis des lois usuelles,
Exercice 1357
l'anneau
et
M
et
M=
x
x
−x −x
E = {f ∈ R[X] : f (0) = f (0) = 0}. Montrer que D
l'anneau R[X] et que c'est un idéal de l'anneau R[X] dont
On dénit sur
Montrer que
G
Montrer que
n'est pas un idéal de
n'est pas un sous-anneau de
on donnera un générateur.
R les deux lois ⊕ et ⊗ par x⊕y = x+y −1 et x⊗y = x+y −xy .
un groupe commutatif. On note End (G) l'ensemble des endomor-
sur lequel on dénit la loi
(End(G), +, ◦)
Exercice 1360
tel que
D
est un corps.
Soit
phismes de
R[X].
0
Exercice 1358
(R, ⊕, ⊗)
Exercice 1359 (G, +)
∈ M2 (R) : x ∈ R
Montrer que
et que c'est un sous-anneau de l'anneau
2. Soit
sont des anneaux, des corps.
D = {f ∈ R[X] : f 0 (0) = 0} .
1. Soit
R[X]
L
par
.
est un anneau.
(A, +, ×)
Soit
+
(
G→G
f +g :
x 7→ f (x) + g(x)
un anneau. On dit que
x∈A
est nilpotent ssi il existe
n∈N
xn = 0.
1. Montrer que si
x
est nilpotent alors
2. Montrer que si
x
et
y
1−x
est inversible.
sont nilpotents et commutent, alors
xy
et
x+y
sont nilpotents.
3. Un corps admet-il des éléments nilpotents ?
Exercice 1361
(A, +, ×) un anneau.
On appelle centre de A l'ensemble C = {x ∈ A/∀y ∈ A, xy = yx}.
Montrer que C est un sous-anneau de A.
Exercice 1362
Soit
Soient
A
et
B
deux anneaux. On dénit sur
A×B
les lois
(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 )
(x, y)(x0 , y 0 ) = (xx0 , yy 0 )
1. Montrer que
2. Si
A
et
B
Exercice 1363
Exercice 1364
A×B
est alors un anneau.
sont des corps, en est-il de même pour
Montrer que si
un sous-anneau de
A
alors
A1 ∩ . . . ∩ A n
est
Z[i] = {a + ib, (a, b) ∈ Z2 }.
Z[i]
est un anneau commutatif pour les lois usuelles de
2. Déterminer les inversibles de
Exercice 1365
sont des sous-anneaux de
A.
Soit
1. Montrer que
A1 , . . . , A n
A×B?
C.
Z[i].
A un anneau commutatif. On dit que a ∈ A est nilpotent s'il existe n ∈ N∗
n
tel que a = 0. On pose N (A) = {a ∈ A : a est nilpotent } .
1. Dans cette question, A = Z/72Z. Montrer que 6 ∈ N (A) puis que N (A) = λ6 : λ ∈ Z .
Soit
2. Que peut-on dire de
3. Montrer que
N (A)
N (A)
si
A
est intègre ?
est un idéal de
A
28 Anneaux et corps
178
Exercice 1366 (Extrait de l'examen de juin 1994)
Sur l'ensemble
R2 ,
on dénit la loi
?
par
(x1 , x2 ) ? (y1 , y2 ) = (x1 y1 , x1 y2 + x2 y1 ).
1.
(a) Montrer que
(R2 , +, ?)
A.
est un anneau commutatif noté
0
(b) Chercher les diviseurs de
A.
de l'anneau
2. On considère l'application
f : R[X] → A, P 7→ (P (0), P 0 (0)).
(a) Montrer que
(b)
f
f
est un homomorphisme d'anneaux.
est-il surjectif ?
f.
(c) Déterminer le noyau de
Exercice 1367 (Extrait de l'examen de janvier 1994)
où
j=
A est un sous-anneau de C. On désigne par U(A)
2
de A et enn, on pose, pour tout z ∈ C, N (z) = |z| .
1. Montrer que
inversibles
2.
(a) Montrer que si
(b) Soit
z ∈ A.
a
(c) Soient
et
4. Soit
z∈A
alors
b
si et seulement si
a, b ∈ {−1, 0, 1} .
alors
et en déterminer les éléments d'ordre 3.
Φ : Q[X] → C, P 7→ P (j).
(a) Montrer que
Φ
est un homomorphisme d'anneaux.
(b) Déterminer le noyau de
(c) Montrer que Im
Exercice 1368
Φ
(on pourra remarquer que
Φ = {a + jb : a, b ∈ Q}
J = {(α, α) : α ∈ Z} est-il un idéal de
0
J = P ∈ R [X] : P (0) = 0 est-il un idéal de R [X] ?
Z/nZ
si et seulement si les entiers
2. On pose
n = 10
et soit
G
k
Exercice 1370 (Bac 1978)
n
1. Montrer que
3? G
Exercice 1371
Soit
A
k est inversible dans l'anneau
Z/nZ.
est-il cyclique ?
A = Z/91Z.
A.
2
x + 2x − 3 = 0.
J = {P ∈ Z [X] : P (0) ∈ 2Z} .
(a) Montrer que
J
est un idéal de
(b) Montrer que
J
est engendré par les polynômes
2. En remarquant que
2 ∈ J,
Z [X] .
2
Montrer que
et
X.
montrer que l'hypothèse J est un idéal principal de
est absurde.
Exercice 1372
Z2 ?
G.
Soit l'anneau
l'équation
C.
sont premiers entre eux.
1. Déterminer les diviseurs de zéro de l'anneau
2. Résoudre dans
l'anneau
le groupe des éléments inversibles de
(a) Donner la liste des éléments de
(b) Quel est l'ordre de
et
j 2 + j + 1 = 0).
et que c'est un sous-corps de
1.
Exercice 1369 (D'après examen juin 94)
1.
N (z) = 1.
N (a + jb) = 1
des entiers. Montrer que si
U(A)
le groupe des éléments
N (z) ∈ Z.
z ∈ U(A)
Montrer que
3. Décrire le groupe
2.
A = {a + jb : a, b ∈ Z}
On dénit
exp( 2iπ
).
3
Z/nZ
est un anneau principal.
Z[X]
28 Anneaux et corps
Exercice 1373
Exercice 1374
Soit
A
179
un anneau ni commutatif intègre (i.e.
xy = 0 ⇒ x = 0
ou
y = 0).
Montrer que c'est un corps, i.e. que tout élément non nul est inversible.
Soit
A
un anneau, on dit que
1. Montrer que si
x
est nilpotent alors
2. Montrer que si
x
et
y
x∈A
(1 − x)
∃n ∈ N
est nilpotent si
tel que
xn = 0.
est inversible.
sont nilpotents et commutent alors
xy
x+y
et
sont nilpotents.
3. Un corps admet-il des éléments nilpotents ?
Exercice 1375
Soit
I
et seulement si :
(A, +, ×)
1. Quels sont les idéaux de
2. On appelle radical de
I,
√
p√
I=
√
I
et
J
I
et
J sont
Acontenant I .
deux idéaux de A,
2. Montrer que tout idéal de
Soit
J.
Z
est de la forme
est de la forme
est nommé idéal de
A
aZ,
où
a ∈ Z.
x tels que il existe k ∈ N
aD où a ∈ D.
tel que
x10k ∈ Z.
Montrer
σ
σ
un automorphisme de
x>0
alors
Q.
R.
σ(x) > 0.
est croissante.
σ.
Soient
1. Montrer que
C
A = ( 10 11 )
et
C = {M ∈ M2 (R) : M A = AM } .
est un sous-espace vectoriel de
2. Montrer que, pour les lois usuelles,
Exercice 1380
√
déduire
K.
Déterminer les automorphismes du corps
2. Montrer que
Exercice 1379
D
si
28.2 Algèbre, Corps
1. Montrer que si
3. Déterminer
I∩
l'ensemble des rationnels
que tout idéal de
Exercice 1377
Exercice 1378
√
I ∩J =
A un anneau commutatif. Un sous anneau J de A
x ∈ J et tout a ∈ A le produit ax appartient à J .
1. Trouver tous les idéaux d'un corps
D
√
A = Z.
√
√
I ⊂ J , alors I ⊂ J.En
Soit
lorsque pour tout
A
Étudier le cas
sont deux idéaux de A tels que
I.
Exercice 1376
de
I = {x ∈ A|∃n ∈ N, xn ∈ I}.
est un idéal de
4. Montrer que si
3. On note
et de plus :
l'ensemble :
I
3. Montrer que si
(A, +)
Z?
√
Montrer que
I ⊂ A est un idéal
∀a ∈ A, ∀x ∈ I, ax ∈ I.
un anneau commutatif, on dit que
est un sous-groupe de
Soient
E
un
R-espace
C
est une
vectoriel et
M2 (R)
et en déterminer une base.
R-algèbre.
u ∈ L(E)
tel que
u2 = u.
On dénit
R[u] := {P (u) : P ∈ R[X]} .
1. Montrer que, muni des lois usuelles sur
L(E),
c'est une
R-algèbre.
2. Montrer que cette algèbre est de dimension nie et discuter de sa dimension en fonction
de
u.
3. L'anneau
R[u]
est-il un corps ?
29 Groupes nis
Exercice 1381
Soit
J2
1. Calculer
180
M = {aI2 + bJ ∈ M2 (R) : a, b ∈ R}
et montrer que si
a, b ∈ R
et
aI2 + bJ = O
M2 (R), M
2. Montrer que, muni des lois usuelles sur
I2 =
où
1 0
0 1
,J =
0 2
1 0
.
a = b = 0.
alors
est un anneau. Cet anneau est-il
commutatif, intègre ?
3.
M
est-il un corps, une
Exercice 1382
L'application
R-algèbre ?
Montrer que l'ensemble
S → R, u 7→ lim u
S
des suites réelles convergentes est une
est-elle un morphisme de
R-algèbres ?
L'anneau
R-algèbre.
S est-il in-
tègre ?
Exercice 1383
Soient
E
un
R-ev
et
u ∈ L(E)
tel que
u2 = u.
On dénit
R[u] = {aIdE + bu : a, b ∈ R} .
Montrer que, muni des lois usuelles sur
L(E),
c'est une
R-algèbre.
L'anneau
R[u]
est-il un
corps ?
Exercice 1384
Un automorphisme d'un corps
lui-même telle que
ϕ(1) = 1, ϕ(0) = 0
ϕ de K dans
ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) et
est une application bijective
K
a, b ∈ K,
et, pour tout
on ait
ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).
1. Soit
ϕ
un automorphisme de
R.
Montrer que l'application
déduire que l'identité est le seul automorphisme de
2. Soit
ψ
x 7→ ϕ(x)
est croissante. En
R.
continu de C. Montrer ψ(x) = x, pour tout x ∈ R. En déduire
continus de C.
un automorphisme
tous les automorphismes
29 Groupes nis
29.1 Cadre général
Exercice 1385
0
est un isomorphisme de (G, ∗) sur (G , ). Si e est
0
l'élément neutre de G, que peut-on dire de ϕ(e) ? Si x est l'inverse de x dans G, que
0
0
peut-on dire de ϕ(x ) ? Si G est d'ordre n, que peut-on dire de l'ordre de G ?
1. On suppose que
ϕ
2. Pouvez-vous citer des exemples de groupes ? de groupes isomorphes ?
3. Si
(G, ∗)
est un groupe ni et si on établit la table de la loi
∗,
peut-on rencontrer deux
fois le même élément dans la même ligne, dans la même colonne ? Établir les tables
2, 3, 4
de composition possibles pour des groupes à
éléments. Pouvez-vous donner des
exemples de groupes correspondant à ces tables. Retrouver éventuellement des groupes
isomorphes.
Exercice 1386
Soient
p
un nombre premier et
cyclique et donner la liste des générateurs de
[Exercice corrigé]
Exercice 1387
Soit
G
un groupe d'ordre
1. On considère deux sous-groupes
0
H
pn
et
G
un groupe d'ordre
p.
Montrer que
est
G.
avec
H
0
p
de
premier.
G
d'ordre
p
avec
H 6= H 0 .
Montrer que
H ∩ H = {e}.
2. En déduire que le nombre d'éléments d'ordre
[Exercice corrigé]
G
p
dans
G
est un multiple de
p − 1.
29 Groupes nis
Exercice 1388
Exercice 1389
est d'ordre
2. Soit
G
181
Déterminer (à isomorphisme près) tous les groupes d'ordre
G un groupe dans lequel tout élément (distinct de l'élément neutre)
2. Montrer que G est commutatif.
1. Soit
un groupe d'ordre pair. Montrer que
[Exercice corrigé]
Exercice 1390
Exercice 1391
Exercice 1392
H
G
contient au moins un élément d'ordre
G un groupe et H une partie nie non vide
G. Montrer H est un sous-groupe de G.
Soit
G
Soit
un groupe ni de cardinal
2.
Q dans un groupe ni G est trivial.
Montrer que tout morphisme de groupes de
stable pour la loi de
0
4.
2n (n > 2),
de
G.
On suppose que
possédant 2 sous-groupe
H
H
est
et
tels que :
= Card (H 0 ) = n
Card (H)
et
H ∩ H 0 = {e}.
1. Montrer que
2. Soit
G = {a, e, h, h0 },
Exercice 1393
Exercice 1394
G
est un singleton, noté
{a}.
h ∈ H − {e}, montrer que hH 0 ⊂ {h, a}, en déduire que hH 0 = {h, a} puis que n = 2.
3. On écrit
1. Soit
G − (H ∪ H 0 )
H
G
donner la table de
(puis un exemple d'un tel groupe).
29.2 Groupes
Donner la liste des générateurs de
Soit le groupe
G
(additif )
le sous-groupe de
G
engendré par
engendré par
4
(Z/nZ, +).
Z/40Z.
12
20.
et
Montrer que
H
est le sous-groupe de
et trouver son ordre.
2. Caractériser les générateurs de
3. Déterminer l'ordre de
Exercice 1395
Z/nZ
G.
Combien en compte-t-on ?
15.
1. Montrer qu'il n'existe aucun élément d'ordre 3 dans le groupe
Z/2Z ×
Z/4Z.
2. En déduire les morphismes de groupes de
Exercice 1396
Soit
1. Montrer que
f
f
un morphisme de groupes de
est caractérisé par
dans
Z/3Z
Z/15Z
G
le groupe-produit
1. Donner la liste des éléments de
Z/18Z.
f (1).
3. En déduire la liste des morphismes de groupes de
Soit
dans
f (1).
2. Déterminer les ordres possibles de
Exercice 1397
Z/2Z × Z/4Z.
G
Z/15Z
dans
Z/18Z.
(Z/2Z) × (Z/4Z) .
et déterminer l'ordre de chacun d'entre eux.
cyclique ?
2. Donner la liste des sous-groupes de
Exercice 1398
1. Soit
(a) Montrer que
f
G
et en constuire le treillis.
f : Z → Z/3Z × Z/5Z
dénie par
est un morphisme de groupes.
(b) Déterminer le noyau de
2. En déduire que les groupes
f (n) = (n, n
e).
f.
(Z/3Z) × (Z/5Z)
et
Z/15Z
sont isomorphes.
G
est-il
29 Groupes nis
Exercice 1399
Exercice 1400
rapport à l'axe
182
Les groupes
On note
Rn
Z/8Z, (Z/2Z) × (Z/4Z)
et
(Z/2Z)3
la rotation du plan de centre
O,
sont-ils isomorphes ?
d'angle
la symétrie par
Rn
(ie le plus petit
(Ox).
S 2 = id, (Rn )n = id
1. Montrer que
et
Rn S = SRn−1 .
2. Montrer que le sous-groupe des isométries du plan engendré par
sous-groupe des isométries du plan qui contient
Dn
2π/n, S
Dn
et
S)
préserve un polygone régulier à
n
côtés, centré en
Exercice 1401
H
Soit
H=
z w
−w̄ z̄
privé de la matrice nulle. On note
S
2n.
On le note
O.
4. En vous aidant de ce qui précède, construire un isomorphisme entre
et
est de cardinal
2n.
: c'est le groupe dihédral d'ordre
3. Montrer que
Rn
D3
et
S3 .
: (z, w) ∈ C2 l'ensemble des quaternions. H∗ désigne
1 0
i 0
0 1
0 i
1=
, i =
, j =
, k =
.
0 1
0 i
−1 0
−i 0
1. Montrer que
H∗
2. Montrer que
i2 = j2 = k2 = 1, ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k, kj == i, ik = −j.
GLn (C).
est un sous-groupe de
3. En déduire que le sous-groupe de
4. Ecrire la table de
H∗
engendré par
et
D4
S3
H8 .
H8 , Z/2Z × Z/2Z × Z/2Z, Z/2Z × Z/4Z,
1. Déterminer card (S3 ) et écrire tous les éléments de
2. On considère
T
un triangle équilatéral du plan, de sommets
que l'on note
G
forment un groupe pour la loi
induit une permutation de l'ensemble
construit ainsi une application
φ
T
A, B, C .
G.
(b) Montrer qu'un élément de
(c) Montrer que
S3 , puis écrire la table
S3 .
(a) Montrer que les isométries du plan qui préservent
Exercice 1403
est d'ordre 8. On le note
29.3 Groupes de permutations
et en déduire tous les sous-groupes de
◦,
k
sont 2 à 2 non isomorphes.
Exercice 1402
de
et
H8 .
5. Vérier que les groupes (tous de cardinal 8)
Z/8Z
i, j
φ
de
G
dans
{A, B, C}.
On
S3 .
est un isomorphisme.
On considère le groupe symétrique
Sn .
1. Déterminer card (Sn ).
(34)(45)(23)(12)(56)(23)(45)(34)(23).
a1 a2 . . . a k
Rappel : la permutation σ =
est un cycle de longueur k , que l'on note
a2 a3 . . . a1
(a1 a2 . . . ak ).
−1
Si τ ∈ Sn , montrer que τ στ
= (τ (a1 ) τ (a2 ) . . . τ (ak )).
2. Calculer
3.
4. Rappel : toute permutation se décompose en produit de cycles à supports disjoints, et
cette décomposition est unique à l'ordre près.
Décomposer les permutations suivantes en produits de cycles à supports disjoints :
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8
,
7 6 1 2 3 4 5
6 2 5 7 8 1 3 4
1 2 3 4 5
3 4 5 1 2
29 Groupes nis
183
Sn dans ({−1, 1}, ×) non trivial, appelé siε(τ ) (où τ ∈ Sn ) consiste à décomposer τ en
p
produit de p transpositions (ie cycles de longueur 2) : alors ε(τ ) = (−1) .
k−1
Montrer que la signature d'un cycle de longueur k vaut (−1)
. En déduire comment se
5. Rappel : il existe un unique morphisme de
ε.
gnature, et noté
Une manière de calculer
calcule la signature d'une permutation à partir de sa décomposition en produit de cycles
disjoints.
Exercice 1404
Comment passer de 1234 à 2314 en échangeant seulement deux chires à
chaque étape ? Y a-t-il plusieurs façons d'y parvenir ? Même question pour 1234 et 4312.
Peut-on obtenir n'importe quelle permutation des chires 1234 par ce procédé ?
Exercice 1405
Représenter graphiquement les permutations suivantes. Les décomposer en
produit de cycles à supports disjoints, puis en produits de transpositions.
σ1 =
1234567
1425376
σ2 =
1234567
2471635
σ3 =
1234567
3261547
Calculer la signature des permutations ci-dessus. Calculer le produit
σ4 =
σ1 σ2 σ3
1234567
7146253
et sa signature.
Comparer ce résultat aux précédents.
Exercice 1406
En déduire que
a, b, c trois éléments distincts de {1, ..., n}. Calculer le produit (ab)(bc)(ab).
Sn est engendré par les permutations {(1, i)}26,i6n , c'est à dire que toute
Soient
permutation s'écrit comme produit de transpositions de cette forme.
Sn
Montrer que
Exercice 1407
applications
est engendré par
et
(123...n).
(Sn , ◦) → ({+1, −1}, ·),
Décrire tous les morphismes de groupe de
φ : Sn → {+1, −1}
Indication
Exercice 1408
(12)
c'est les
satisfaisant :
∀(σ, σ 0 ) ∈ Sn2 ,
φ(σσ 0 ) = φ(σ)φ(σ 0 )
: Commencer par montrer que toutes les transpositions ont même image.
σ ∈ Sn ,
Dans
Rn ,
on désigne par
uσ
on associe l'endomorphisme
de
(e1 , ..., en ) la
Rn suivant :
Rn → Rn
!
x1 xσ(1)
:
.
.
.
.
7→
.
.
uσ
xσ(n)
xn
1. Soit
que
τ = (ij) une transposition.
det(uτ ) = −1.
2. Montrer que
Soit
dans
Écrire la matrice de
uτ
dans la base canonique. Montrer
∀σ, σ 0 ∈ Sn , uσ ◦ uσ0 = uσ◦σ0 .
3. En déduire que
Exercice 1409
base canonique. A une permutation
∀σ ∈ Sn , det uσ = ε(σ)
On note
Sn
où
ε
désigne la signature.
le groupe symétrique des permutations sur
ρ un morphisme de groupes
{−1, 1} satisfaisant
de
(Sn , ◦)
dans
({−1, 1}, ·),
n
éléments.
Sn
c'est à dire une application de
∀(σ, τ ) ∈ Sn ρ(στ ) = ρ(σ)ρ(τ )
ρ(id). Pour
ρ(γ) = 1.
1. Calculer
impair,
tout cycle
γ
de longueur
2. On suppose que pour toute transposition
p,
calculer
τ , ρ(τ ) = 1.
3. On suppose maintenant qu'il existe une transposition
γ p.
En déduire que lorsque
Montrer que
p
est
∀σ ∈ Sn , ρ(σ) = 1
τ0 = (a, b) pour laquelle ρ(τ0 ) = −1.
29 Groupes nis
184
c ∈ {1, . . . , n} \ {a, b}, calculer (a, b)(a, c). En déduire que ρ(a, c) =
(a) Pour un élément
−1.
(b) Pour deux éléments distincts
duire que
c
et
d
{1, . . . , n},
de
σ ∈ Sn , ρ(σ)
permutation
τ , ρ(τ ) = −1
signature de σ .
est la
4. Quels sont tous les morphismes de groupes de
ϕ
5. On considère l'application
(Sn , ◦)
Sn →
σ
7→
i=1
i−j
∀(σ, τ ) ∈ Sn , ϕ(στ ) = ϕ(σ)ϕ(τ ).
∀σ ∈ Sn , ε(σ) =
n
Y
σ(i) − σ(j)
i−j
i=1
désigne la signature de
Exercice 1410
Soit
d'indice deux dans
({−1, 1}, ·) ?
{−1, 1}
Qn σ(i)−σ(j)
En déduire que
ε(σ)
dans
puis montrer que pour toute
suivante :
ϕ:
où
En dé-
ρ(c, d) = −1.
(c) En déduire que pour toute transposition
Montrer que
(a, c)(a, d)(a, c).
calculer
,
σ.
G un groupe d'ordre 2n et H
un sous-groupe de
G d'ordre n (H
est donc
G).
1. Montrer que si
g∈G
et
g 6∈ H,
on a
H ∩ gH = ∅
puis que
G = H ∪ gH.
2
g ∈ G, g ∈ H.
2. En déduire que pour tout
G = A4 le groupe des permutations paires de l'ensemble {1, 2, 3, 4}.
Soit σ = (a, b, c) un 3-cycle. Montrer que σ peut s'écrire comme le carré d'une permutation
2
paire c'est à dire qu'il existe ϕ ∈ A4 telle que ϕ = σ. En déduire que A4 ne possède pas
de sous-groupe d'ordre 6.
3. On suppose désormais
Exercice 1411
Exercice 1412
Déterminer tous les éléments
|S3 |.
1. Rappeler
2. Montrer que
S3
groupes d'ordre
σ ∈ Sn
S3
Montrer que
tels que
σ2 = σ.
ne contient pas d'élément d'ordre
contient un unique sous-groupe d'ordre
2
de
3.
6.
Déterminer tous les sous-
S3 .
3. Déduire de ce qui précède tous les sous-groupes de
[Exercice corrigé]
S3 .
Exercice 1413 (examen juin 1999)
c÷cients réels.
Soit GL2 (R) l'ensemble des matrices inversibles 2 × 2 à
GL2 (R) est naturellement muni d'une structure de groupe par la multiplication
usuelle des matrices. Soit
A=
1. Montrer que
A
et
B
(a)
1 0
0 −1
appartiennent à
2. Quels sont les ordres de
3. Montrer que
A
AB = −BA
et
B=
et
0 −1
.
1 0
GL2 (R).
B?
et en déduire que :
G = I, A, B, AB, −I, −A, −B, −AB
matrices ; I esl la matrice identité) ;
est un groupe (pour la loi multiplicative des
29 Groupes nis
(b)
G
185
est le sous-groupe de
4. On munit
R
2
GL2 (R)
(b) Déterminer
(c) Déterminer
G
O2 (R) (le groupe orthogonal).
l'intersection de G et de SO2 (R) (le groupe spécial
la nature géométrique des 8 éléments de G.
est inclus dans
Exercice 1414 (examen juin 1999)
(G, ·)
{A, B}.
de sa structure euclidienne orientée canonique.
(a) Montrer que
Soit
engendré par
orthogonal).
I
un groupe. On dénit le centre
Z(G)
de
G
par :
Z(G) = x ∈ G / ∀a ∈ G ax = xa .
Montrer que
Z(G)
est un sous-groupe de
Z(G)
Que peut-on dire de
si
G
G.
est abélien ?
II
On désigne par
An
le groupe alterné d'ordre
des permutations de
En = {1, 2, . . . , n}
2. On suppose désormais
de
n > 4.
(rappel : c'est le sous-groupe de
(Sn , ◦)
formé
+1.)
n > 3.
de signature
On se propose de déterminer le centre de
1. Donner la liste des éléments de
n
A3
An
pour
et de
Z(A3 ).
Dans cette question on xe
i, j, k
trois éléments distincts
En .
3-cycle (i, j, k) est dans An .
Soit s ∈ Sn , montrer que s ◦ (i, j, k) = (s(i), s(j), s(k)) ◦ s.
En déduire que si s ∈ Z(An ) alors l'image de {i, j, k} par s
(a) Vérier que le
(b)
(c)
est
{i, j, k}.
n = 4, on note E4 = {i, j, k, `}. Si s ∈ Z(A4 ) montrer que s(`) = `. En déduire
Z(A4 ) = {id}.
Pour n > 5, soit s ∈ Z(An ), soit i, j, k, `, m cinq éléments distincts de En . En considérant
les ensembles {i, j, k} et {i, `, m} montrer que s = id et déterminer Z(An )
3. Pour
4.
Exercice 1415
Exercice 1416
Quel est l'ordre maximal d'un élément de
On désigne par
K
le sous-ensemble
S4 ?
De
S5 ?
De
A5 ?
{id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}
de
S4 .
S4 et de A4 .
Pour quelle raison K est-il isomorphe à Z/2Z × Z/2Z? Calculer le quotient A4 /K.
Montrer que le quotient S4 /K est isomorphe à S3 .
Donner un exemple de sous groupe distingué de K et non de S4 . Quelle conclusion peut-on
1. Montrer que
2.
3.
4.
K
est un sous-groupe distingué de
en tirer ?
Exercice 1417
Exercice 1418
Calculer
Z(Sn )
suivant les valeurs de
n ∈ N.
Trouver la décomposition en produit de cycles à supports disjoints, la signa-
ture, l'ordre et une décomposition en produit de transpositions des permutations suivantes de
S10 :
σ=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 7 1 4 2 6 9 8 5 10
,
ϕ = (10, 3, 4, 1) (8, 7) (4, 7) (5, 6) (2, 6) (2, 9) .
Calculer
σ 1998
et
ϕ1998 .
[Exercice corrigé]
29 Groupes nis
186
Exercice 1419 A
E = {1, 2, 3, 4} .
4 désigne le groupe des permutations paires sur l'ensemble
1. Quels sont les ordres des éléments de
A4 ?
En déduire la liste de ces éléments sous forme
décomposée en produit de cycles à supports disjoints.
s = (1 2)(3 4)
2. Montrer que les permutations
A4
3. Montrer que
et
r = (1 2 3)
H
admet un unique sous-groupe
engendrent
A4 .
d'ordre 4 (on examinera d'abord les
ordres des éléments d'un tel sous-groupe) et que ce sous-groupe est un sous-groupe distingué de
Exercice 1420
Exercice 1421
Exercice 1422
A4 .
Le groupe
G = S3 × S3
est-il abélien ? Déterminer tous les sous-groupes de
G
d'ordre 4.
Quel est le nombre de
G
Soit
k -cycles
un sous-groupe de
dans
Sk
Sn
puis dans
où
k 6 n?
Sn .
1. Montrer que si
G
est d'ordre impair alors
G
2. Montrer que si
G
contient au moins une permutation impaire, alors
ne contient aucune permutation impaire.
G
contient autant de
permutations paires que de permutations impaires.
Exercice 1423
V = {a, b, c, Id}
1.
a = (1, 2)(3, 4), b = (1, 3)(2, 4), c = (1, 4)(2, 3) ∈ A4 , X = {a, b, c} ,
Φ : S4 → S(X), g ∈ G 7→ Φg = [x 7→ gxg −1 ] .
Soient
et
(a) Montrer que
élements de
(b) Montrer que
distingué de
2. Montrer que
3.
(a) Calculer
Φ
V est
A4 ).
<a>
A4 .
est un sous-groupe distingué de
Φ(g)
pour
S4 /V
Φ
g = (1, 2)
2.
puis
est isomorphe à
(a) Montrer qu'un groupe
A4
et n'est pas un sous-groupe
S3 .
suivant les classes modulo
G1 × G2
(b) Montrer que les groupes
Sn
et
1. Montrer que dans
2. Montrer que les permutations
positions engendrent
Exercice 1426
V
g = (1, 2, 3).
1. Déterminer le centre du groupe
Exercice 1425
(on pourra étudier l'ordre des
est surjectif.
5. Ecrire la décomposition de
Exercice 1424
A4
est un homomorphisme de groupes.
(b) En déduire que
4. Montrer que
un sous-groupe distingué de
V.
Sn .
contient un sous-groupe distingué isomorphe à
Z/2Z × An
Sn
(1, ..., n)
on a
et
ne sont pas isomorphes si
f ◦ (a, b) ◦ f −1 = (f (a), f (b)).
(1, 2)
engendrent
Sn
Sn
(on rappelle que les trans-
est isomorphe à un sous-groupe de
2. Montrer que
S4
n'est pas isomorphe à un sous-groupe de
A5 .
3. Montrer que
S5
n'est pas isomorphe à un sous-groupe de
A6 .
Exercice 1427
n > 3.
Sn ).
1. Montrer que
[Exercice corrigé]
G1 .
An+2 .
Montrer que tout groupe ni est isomorphe à un sous-groupe de
symétrique) pour un certain
n.
Sn
(groupe
30 Groupes quotients
187
30 Groupes quotients
Exercice 1428
30.1 Sous-groupes distingués
Soit
G un groupe, H
et
K
deux sous-groupes d'ordre ni de
G tels que H ∩K =
{eG }.
HK
1. Montrer que le cardinal de
|G| = pq
2. En déduire que si
d'ordre
p.
où
est égal
p
|H||K|.
est premier et
p>q
alors
G
a au plus un sous-groupe
Montrer que si ce sous-groupe existe il est distingué dans
G.
[Exercice corrigé]
Exercice 1429
G un groupe, A une partie non vide de G. On note N (A) = {g ∈
G; gAg = A} et C(A) = {g ∈ G; ∀a ∈ A; gag −1 = a}. Montrer que N (A) et C(A) sont
des sous-groupes de G et que C(A) est un sous-groupe distingué de N (A).
Soit
−1
Exercice 1430
Soit
G
un groupe,
H
et
K
deux sous-groupes de
G.
On note
HK = {hk; h ∈
H, k ∈ K}.
1. Montrer que
si
H
HK
est un sous-groupe de
est distingué dans
G
alors
HK
G
HK = KH.
G.
si et seulement si
est un sous-groupe de
En déduire que
∀h ∈ H, k ∈ K : hk = kh. Montrer que l'application f :
∀h ∈ H, k ∈ K : f (h, k) = hk est un homomorphisme de groupes.
2. On suppose désormais que
H × K → G dénie par
3. Calculer le noyau et l'image de
f
f.
Donner une condition nécéssaire et susante pour que
soit un isomorphisme de groupes.
Exercice 1431
G
1. Soit
un groupe,
H
un sous-groupe de
G.
Montrer que les propriétés suivantes sont
équivalentes :
i) ∀g ∈ G : gHg −1 ⊂ H.
ii) ∀g ∈ G : gHg −1 = H.
iii) ∀g ∈ G : gH = Hg.
2. En déduire que tout sous-groupe d'indice
Exercice 1432
Soient
2
est distingué.
T = {( a0 cb ) : a, c ∈ R \ {0} , b ∈ R}
1. Montrer que
T
est un sous-groupe de GL 2 (R).
2. Montrer que
U
est un sous-groupe distingué de
Exercice 1433
Soit
1. Un sous-groupe
que
H
G
H
et
U = {( 10 1b ) : b ∈ R} .
T.
un groupe.
de
G
est distingué si :
est le noyau d'un morphisme de
G
∀x ∈ G, xH = Hx,
ce qui est équivalent à dire
dans un groupe. Rappeler la démonstration de
cette équivalence.
2. Si
H
est un sous-groupe d'indice 2 de
3. Si
G
est abélien, montrer que tout sous-groupe de
4. Le centre de
G
est l'ensemble
un sous-groupe distingué.
G,
montrer que
G
H
est distingué.
est distingué.
Z(G) = {z ∈ G : ∀x ∈ G, xz = zx}.
Montrer que
Z(G)
est
30 Groupes quotients
Exercice 1434
maximal
188
30.2 Groupes quotients
G
Soit
M de G est dit
M lui-même. Les
un groupe non réduit à un élément. Un sous-groupe
G,
si le seul sous-groupe de
distinct de
G
M,
et contenant
est
questions sont indépendantes.
1.
(a) Montrer que
6Z
n'est pas un sous-groupe maximal de
(b) Montrer que
5Z
est un sous-groupe maximal de
2. On pose
G
G := Z/8Z.
2.
Soit
H1
le sous-groupe de
G
Z.
Z.
engendré par
4
et
H2
le sous-groupe de
engendré par
(a) Expliciter les éléments de
H1
(b) Montrer que
H2 .
et
n'est pas un sous-groupe maximal de
Déterminer tous les sous-groupes de
Montrer que le groupe-quotient
G
Soit
1. Montrer que cl (
2. Montrer que si
le groupe
35
)
6
= cl( 56 )
x∈G
G
et que
H2
est un sous-
G.
groupe maximal de
Exercice 1435
[Exercice corrigé]
Exercice 1436
Exercice 1437
H1
Q/Z.
Si
Z/8Z.
C/R
q ∈ Q,
est isomorphe à
on note cl (q) la classe de
et déterminer l'ordre de cl (
il existe un unique
3. Montrer que tout élément de
G
R.
q
modulo
Z.
35
).
6
α ∈ Q ∩ [0, 1[
tel que
x = cl(α).
est d'ordre ni et qu'il existe des éléments d'ordre arbi-
traire.
Exercice 1438
[Exercice corrigé]
Exercice 1439
Exercice 1440
Décrire le groupe-quotient
R∗ /R∗+
et montrer qu'il est isomorphe à
Z/2Z.
Montrer que tout quotient d'un groupe monogène est monogène.
Soient
dré par
(3, 2).
groupe-quotient
Exercice 1441
G/H.
Soit
1. Montrer que
G
un groupe
Z(G)
2. Montrer que si
Exercice 1442
forme
G le groupe-produit (Z/4Z) × (Z/4Z) et H le sous-groupe de G engenG suivant les classes à gauche modulo H. Décrire le
Écrire la décomposition de
Z(G) = {h ∈ G; ∀g ∈ g, gh = hg}.
est un sous-groupe distingué de
G/Z(G)
Soit G un
ghg −1 h−1 ; g, h ∈ G.
G
est monogène
groupe ; on note
G.
est cyclique.
D(G)
le groupe engendré par les éléments de la
1. Montrer que
D(G)
2. Montrer que
G/D(G) est commutatif ; plus généralement montrer qu'un sous-groupe disG contient D(G) si et seulement si G/H est commutatif.
tingué
H
de
est distingué dans
G.
[Exercice corrigé]
Exercice 1443
G un groupe ; on note,
Int (G) = {ϕg ; g ∈ G}.
Soit
dans lui-même et
pour tout
g ∈ G ϕg
l'application
x 7→ gxg −1
de
G
1. Montrer que Int (G) est un sous-groupe distingué de Aut (G).
2. Soit
f : G →
Int(G) l'application
g 7→ ϕg .
Montrer que
groupe. Calculer Ker (f ).
3. En déduire que
G/Z(G)
est isomorphe à Int (G).
f
est un homomorphisme de
30 Groupes quotients
Exercice 1444
H, k ∈ K}.
Soit
G
189
un groupe,
On suppose que
K
H
et
K
HK = KH
2. Montrer que
H et K sont des sous-groupes de KH
H et que K est distingué dans KH.
distingué de
HK
On note
HK = {hk; h ∈
G.
1. Montrer que
et que
G.
deux sous-groupes de
est distingué dans
est un sous-groupe de
G.
et que
K∩H
est un sous-groupe
ϕ : H → (HK)/K la restriction à H de l'application quotient. Calculer le noyau
l'image de ϕ. En déduire que les groupes H/(K ∩ H) et (HK)/K sont isomorphes.
3. Soit
Exercice 1445
Soit
1. Montrer que
G
un groupe,
K/H
Soit
et
B=
K
et
deux sous-groupes distingués de
(G/H)/(K/H)
G
avec
H ⊂ K.
G/H.
est un sous-groupe distingué de
2. Montrer que le quotient
Exercice 1446
H
et
G/K.
est isomorphe à
G le sous-groupe de Gl(2, R) engendré par les matrices
1
A= √
2
−1 1
1 1
−1 0
.
0 1
1. Soit
H
le sous-groupe de
2. Montrer que
H
G
engendré par
est distingué dans
G.
AB.
Calculer
|H|
Calculer le quotient
G/H;
en déduire
|G|.
[Exercice corrigé]
Exercice 1447
1.
Les questions sont indépendantes.
(a) Montrer que l'application
(b) Déterminer le noyau
f : Z2 → Z, (x, y) 7→ 3x+6y est un morphisme de groupes.
ker f
de
f
et montrer qu'il n'existe pas
(p, q) ∈ Z2
tel que
ker f = pZ × qZ.
(c) Montrer que le groupe-quotient
2
Z2 /Z(−2, 1)
G le sous-groupe de Z engendré
Z /G est isomorphe à Z/2Z × Z/2Z.
2. Soit
2
par
(2, 0)
est isomorphe au groupe
et
(0, 2).
3Z.
Montrer que le groupe-quotient
[Exercice corrigé]
Exercice 1448
1. Montrer que les sous-groupes de
Z
sont de la forme
nZ
où
n ∈ N.
(indi-
cation : utiliser la division euclidienne).
2. Rappeler pourquoi ces sous-groupes sont distingués. On peut donc considérer les groupes
quotients
Z/nZ.
nième
3. Montrer que
Z/nZ
est isomorphe au groupe des racines
de l'unité.
4. Montrer que
Z/nZ
est isomorphe au groupe engendré par un cycle de longueur
n
dans
SN (N > n).
5. Plus généralement, montrer qu'il existe, à isomorphisme près, un seul groupe monogène
(ie engendré par un seul élément) d'ordre
Exercice 1449
n,
appelé groupe cyclique d'ordre
n.
A est un anneau (en particulier, si A est un corps), on note GLn (A)
l'ensemble des matrices carrées de dimension n à coecient dans A, qui sont inversibles. GLn (A)
forme un groupe pour la loi × de multiplication des matrices, appelé groupe linéaire. Une
matrice carrée de dimension n est dans GLn (A) ssi son déterminant est un inversible de l'anneau
A (ce qui revient à dire, lorsque A est un corps, que son déterminant est non nul).
Pour simplier, on suppose dans l'exercice que A est un corps, noté K.
Rappel : si
1. Montrer que
det : GLn (K) → K∗
est un morphisme de groupes.
31 Espaces euclidiens
2. On note
GLn (K)
190
SLn (K) = ker(det). Dire pourquoi SLn (K)
GLn (K)/SLn (K) ∼
= K∗ .
est un sous-groupe distingué de
et montrer que
3. Reconnaître
GL1 (K)
et
SL1 (K).
4. Montrer que les matrices diagonales (resp. triangulaires supérieures) de
GLn (K)
forment
un sous-groupe. Sont-ils distingués ?
5. Montrer que
Z(GLn (K))
est le sous-groupe formé par les homothéties.
31 Espaces euclidiens
Exercice 1450
31.1 Produit scalaire, norme
A deux polynômes
P = a0 + a1 X + a2 X 2
et
Q = b0 + b1 X + b2 X 2
de
R2 [X],
on associe
< P, Q >= (a0 + a1 )b0 + (a0 + 3a1 )b1 + 3a2 b2
Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire.
Exercice 1451
Pour quelles valeurs de
R3 ?
λ
les formes bilinéaires ci-dessous dénissent-elles un
produit scalaire sur
1.
f (x, y) = x1 y1 + 6x2 y2 + 3x3 y3 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 3λx1 y3 + 3λx3 y1
2.
g(x, y) = x1 y1 + 10x2 y2 + 6x1 y2 + λx3 y3 − x2 y3 − x3 y2
3.
h(x, y) = 2x1 y1 + 7x1 y2 + 7x2 y1 + 8x2 y2 − 3x3 y3 + λx2 y3 + λx3 y2
4.
i(x, y) = (x1 +x2 )(y1 +y2 )+(x1 +x3 )(y1 +y3 )+(x2 +x3 )(y2 +y3 )−λ(x1 +x2 +x3 )(y1 +y2 +y3 )
Exercice 1452
φ : R3 × R3 → R
Vérier que l'application
dénie ci-dessous est une forme
bilinéaire symétrique et déterminer la forme quadratique qui lui est associée :
φ (x, y, z), (x0 , y 0 , z 0 ) = xx0 + 2yy 0 + 2yz 0 + 2y 0 z + zz 0 .
S'agit-il d'un produit scalaire ?
Vérier que l'application
q : R3 → R dénie ci-dessous est une forme quadratique et déterminer
la forme bilinéaire symétrique qui lui est associée :
q (x, y, z) = x2 + 3(x + y − z)2 + (z − y)2 .
S'agit-il d'une norme euclidienne ?
Exercice 1453
Sur
R3 [X]
on considère les formes bilinéaires suivantes. Dire lesquelles sont
des produits scalaire.
1
φ(P, Q) =
Z
φ(P, Q) =
−1
Z 1
φ(P, Q) =
Z
P (t)Q(t)dt
P 0 (t)Q(t) + P 0 (t)Q(t)dt
−1
1
Exercice 1454
P 0 (t)Q0 (t)dt + P (0)Q(0)
−1
Pour quelles valeurs de
3
produit scalaire sur R ?
λ
les formes bilinéaires ci-dessous dénissent-elles un
31 Espaces euclidiens
1.
2.
3.
4.
191
f (x, y) = x1 y1 + 6x2 y2 + 3x3 y3 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 3λx1 y3 + 3λx3 y1
g(x, y) = x1 y1 + 10x2 y2 + 6x1 y2 + λx3 y3 − x2 y3 − x3 y2
h(x, y) = 2x1 y1 + 7x1 y2 + 7x2 y1 + 8x2 y2 − 3x3 y3 + λx2 y3 + λx3 y2
i(x, y) = (x1 +x2 )(y1 +y2 )+(x1 +x3 )(y1 +y3 )+(x2 +x3 )(y2 +y3 )−λ(x1 +x2 +x3 )(y1 +y2 +y3 )
Exercice 1455
x = (x1 , x2 ) et y = (y1 , y2 ) appartenant à R2 . Pour quelles valeurs de
a, b, c, d ∈ R l'application f (x, y) = ax1 y1 + bx1 y2 + cx2 y1 + dx2 y2 est-elle un produit scalaire
2
sur R ?
Soient
Exercice 1456
2
2
2
Soient x, y et z trois réels tels que x + 2y + 3z 6 1. Montrer l'inégalité :
11
(x + y + z) 6 6 . (On pourra par exemple appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz à certains
3
vecteurs de R pour un produit scalaire bien choisi.)
2
Exercice 1457
14.
Exercice 1458
Soient
x, y et z trois réels tels que x2 +y 2 +z 2 6 1. Montrer que (x+2y+3z)2 6
R-espace vectoriel non nul, ϕ un produit scalaire sur E , (a, b, c) ∈
R . ψ : E × E → R l'application dénie par ψ(x, y) = aϕ(x, x) + bϕ(x, y) + cϕ(y, y). Trouver
une condition nécessaire et susante sur (a, b, c) pour que ψ soit un produit scalaire sur E .
Soient
E
un
3
Exercice 1459
n ∈ N∗ ,
un espace euclidien et k.k la norme associée ;
n
n
X
X
2
Montrer l'inégalité : k
vi k 6 n
kvi k2 .
1. Soient
(E, h, i)
i=1
2. Soient
et
v1 , . . . , vn ∈ E.
i=1
∗
n
X
R∗+ tels que
n ∈ N , x1 , . . . , x n ∈
xi = 1.
Montrer que
i=1
n
X
1
> n2 .
x
i=1 i
cas d'égalité.
Exercice 1460
Montrer que
∀(x1 , ..., xn ) ∈ Rn ,
n
X
√
xi 6
n
X
n
i=1
x2i
! 12
.
i=1
Etudier le cas d'égalité.
Soit
f
et
g
deux applications continues de
∀(f, g) ∈ C 0 ([0, 1], R)
[0, 1]
dans
R. Montrer que :
Z 1
2 Z 1
Z
2
f (t)g(t)dt 6
f (t)dt
0
0
1
g 2 (t)dt.
0
Etudier le cas d'égalité.
Soit
f
une application continue d'un intervalle
0
∀f ∈ C ([a, b], R)
Z
b
[a, b]
dans
R.
Montrer que :
2
Z b
f (t)dt 6 (b − a)
f 2 (t)dt.
a
a
Etudier le cas d'égalité.
Exercice 1461
Rappeler l'énoncé de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Montrer que pour toute fonction continue d'un segment
Z
a
b
[a, b]
dans
2
Z b
2
f (t)dt 6 (b − a)
f (t) dt
Pour quelles fonctions a-t-on l'égalité ?
a
R,
on a
Etudier le
31 Espaces euclidiens
192
Exercice 1462 E = {f : R → R
2π
}
E
P
P (k)Q(k)
Exercice 1463 E = R [X]
hP |Qi =
E
Exercice 1464 E
f g
E
∀(x, y) ∈ E hf (x)|yi = hx|g(y)i
f
g
Exercice 1465P
a ,... ,a ,b ,... ,b ,c ,... ,c
P
P
Soit
continue
est un produit scalaire sur
-périodique . Montrer que
hf |gi =
.
R 2π
0
f (t)g(t)dt
n
Soit
est un produit scalaire
. Montrer que
n
k=0
sur
.
Soit
un espace euclidien et
et
deux fonctions de
. Montrer que
et
sont linéaires.
2
Soient
n
Montrer que
Exercice 1466
i 6= j
Exercice 1467
n
ak b k c k 6
k=1
que si
1
n
a2k ck
k=1
1
n
n
dans
E
qui vérient :
n des réels positifs.
1
b2k ck .
k=1
E un espace euclidien de dimension n et x1 , . . . , xp des vecteurs de E
hxi |xj i < 0. Montrer par récurrence sur n que p 6 n + 1.
Soit
alors
Soit
E
un espace euclidien, et
(e1 , ..., en )
∀x ∈ E, kxk2 =
n
X
tels
des vecteurs unitaires vériant :
hx, ei i2 .
i=1
Montrer que
(e1 , ..., en )
est une base orthonormale (i.e. une base qui est aussi une famille
orthonormale). (NB : on ne suppose pas que la dimension de l'espace est
Exercice 1468
1. Montrer que sur
Mn (R)
n.)
l'application :
(A, B) → tr(t AB)
est un produit scalaire.
2. Soit
N
la norme associée, montrer que :
∀(A, B) ∈ Mn (R), N (AB) 6 N (A)N (B).
3. Montrer que :
Exercice 1469
∀A ∈ Mn (R), |tr(A)| 6
Soit
E
un espace euclidien et
f
et
g
√
nN (A).
deux fonctions de
E
dans
∀(x, y) ∈ E 2 , hf (x), yi = hx, g(y)i .
Montrer que
f
et
Exercice 1470
Exercice 1471
g
sont linéaires.
Soit
E
un espace euclidien, montrer que :
∀(x, y) ∈ E 2 , kx + yk2 + 1 6 2 1 + kxk2
Soit
E
un espace euclidien et
f :E→E
1 + kyk2 .
tel que
f (0) = 0
∀(x, y) ∈ E 2 , kf (x) − f (y)k = kx − yk .
Montrer que
f
est linéaire.
Exercice 1472
On munit
R[X]
du produit scalaire :
(P, Q) →
Z
1
P (t)Q(t)dt.
0
Existe t-il
A ∈ R[X]
tel que :
∀P ∈ R[X], (P |A) = P (0) ?
et :
E
telles que :
31 Espaces euclidiens
Exercice 1473
Soit
E
193
un espace euclidien et
f
un endomorphisme de
E,
tel que :
∀(x, y) ∈ E 2 , (x|y) = 0 ⇒ (f (x)|f (y)) = 0.
Montrer :
∃α ∈ R+ , ∀(x, y) ∈ E 2 , (f (x)|f (y)) = α(x|y).
Exercice 1474
Soit (E, h, i) un espace euclidien et f ∈ L(E) un endomorphisme tel que
∀x, y ∈ E tels que hx, yi = 0, on ait hf (x), f (y)i = 0. Montrer qu'il existe k ∈ R+ tel que, pour
tout x ∈ E : kf (x)k = kkxk.
Exercice 1475
31.2 Espace orthogonal
Montrer que l'application
(A, B) 7→ tr(tAB) de M2 (R) × M2 (R) à valeurs dans
R est un produit scalaire. Calculer l'orthogonal de l'ensemble des matrices diagonales puis celui
des matrices symétriques.
Exercice 1476
Soit
(E, h, i)
un espace euclidien,
F
et
G
deux sous-espaces vectoriels de
E.
Montrer que :
1. Si
F ⊂G
alors
G⊥ ⊂ F ⊥ .
2.
(F + G)⊥ = F ⊥ ∩ G⊥ .
3.
(F ∩ G)⊥ = F ⊥ + G⊥ .
4. Si dim(E) est nie, alors
Exercice 1477
(F ⊥ )⊥ = F.
31.3 Projection, symétrie
Déterminer la matrice dans la base canonique de
nale sur le plan d'équation
R3
de la projection orthogo-
x + 2y − 3z = 0.
En déduire la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à ce plan.
Dans un espace euclidien de dimension
(f1 , ..., fr )
on considére un sous-espace
F
de dimension
r
et
pF la projection orthogonale sur F ,
⊥
décomposition E = F ⊕ F . Montrer que :
une base de orthonormée de cet espace. On not
c'est à dire la projection sur
∀v ∈ F,
Exercice 1478
F
associée à la
pF (v) =< v, f1 > f1 + < v, f2 > f2 + · · · + < v, fr > fr
Dans
R3
muni de son produit scalaire canonique, déterminer la projection
orthogonale sur le plan d'équation
(x, y, z)
n,
x+y+z = 0
de
(1, 0, 0),
et plus généralement d'un vecteur
quelconque.
Donner la matrice de cette projection ainsi que celle de la symétrie orthogonale par rapport à
ce plan.
Dans un espace euclidien de dimension
(f1 , ..., fr )
n,
on considère un sous-espace
une base de orthonormée de cet espace. On not
c'est à dire la projection sur
∀v ∈ F,
Exercice 1479
Exercice 1480
Soit
F
associée à la décomposition
F
de dimension
r
et
pF la projection orthogonale sur F ,
E = F ⊕ F ⊥ . Montrer que :
pF (v) =< v, f1 > f1 + < v, f2 > f2 + · · · + < v, fr > fr
(E, h, i) un espace euclidien et p ∈ L(E) un projecteur. Montrer que p est
⊥ Im(p)) si et seulement si : ∀x ∈ E : kp(x)k 6 kxk.
orthogonal (c'est-à-dire Ker (p)
(E, h, i) un espace euclidien et F un sous-espace vectoriel de E. On note p
la projection orthogonale sur F et on pose, pour tout x ∈ E : d(x, F ) = inf kx − yk. Soit z ∈ F.
Soit
y∈F
31 Espaces euclidiens
194
x ∈ F,
1. Montrer que pour tout
(i)
(ii)
les trois conditions sont équivalentes :
d(x, F ) = kx − zk.
z = p(x).
∀y ∈ F, y ⊥ (x − z).
Z 1
déduire inf
(x2 − ax − b)2 dx.
(iii)
2. En
Exercice 1481
x
et
y ∈ E.
1. Si
a,b∈R
Soit
0
(E, h, i)
un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à
2.
Soient
Montrer que :
kxk = kyk,
H
alors il existe un hyperplan
orthogonale par rapport à
hx, yi = kyk , alors il existe un hyperplan H
orthogonale sur H.
Exercice 1482
Dans
R3
E
tel que
y = s(x)
E
tel que
y = p(x) où p est la projection
où
s
est la symétrie
H.
2
2. Si
de
de
muni du produit scalaire euclidien canonique, donner la matrice de la
projection orthogonale sur le plan d'équation
x + 2y − 3z = 0. Donner la matrice de la symétrie
orthogonale par rapport à ce même plan.
Exercice 1483
(E, h, i) un espace euclidien et F un sous-espace vectoriel muni d'une base
orthonormale (e1 , . . . , em ). Soit p la projection orthogonale sur F.
m
X
1. Montrer que ∀x ∈ E, p(x) =
hx, ei iei .
Soit
i=1
2. Donner de même l'expression de la symétrie orthogonale par rapport à
⊥
orthogonale sur F .
Exercice
1484

−2 6 −3
1
7
6 3
−3 2
R3
Quelle est la transformation de
et la projection
dont la matrice dans la base canonique est
2 ?
6
Exercice 1485
Vect(v , v )
Exercice 1486
Déterminer la matrice dans la base canonique de
nale sur
1
2
où
Soient
v1 = (1, −1, 0, 0)
E
projection orthogonale sur
et
un espace euclidien,
H
et
s
u
un vecteur non nul et
2. Montrer que
∀x ∈ E
s(x) = x − 2 hx|ui
u.
kuk2
le plan
(Π : x − y + z = 0).
canonique de la symétrie orthogonale par rapport à
Exercice 1487
Soit
1. Soient
F
2. Soient
B = (e1 , ..., en )
et
G
(E, | )
des sous-espace vectoriels de
d'équation
(a) Déterminer l'orthogonale de
la
Π.
E.
n.
Montrer que
(F ∩ G)⊥ = F ⊥ + G⊥ .
n
E et
1 , ..., an ) ∈ R \ {(0, ..., 0)}
P(a
n
cartésienne
k=1 ak xk = 0 dans B.
une base orthonormale de
E
p
Soient
Déterminer la matrice dans la base
un espace vectoriel de dimension
le sous-espace vectoriel de
H.
(b) Déterminer la distance du vecteur
P
H = u⊥ .
H.
hx|ui
u.
kuk2
p(x) = x −
R3
de la projection orthogo-
la symétrie orthogonale par rapport à
∀x ∈ E
3. On considère dans
R4
v2 = (0, 1, 0, 1).
1. Montrer que
3. Soit
F
x=
Pn
k=1
xk ek
le sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel
R
4
de
E
et
au sous-espace vectoriel
déni par
u = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ P ⇔ x1 + x2 + x3 + x4 = x2 + 2x3 + 3x4 = 0.
H
H.
31 Espaces euclidiens
195
P⊥
(a) Déterminer une base de
P ⊥.
puis une base orthonormale de
R4
(b) En déduire une expression analytique de la projection orthogonale de
Exercice 1488
Soient
supplémentaires de
E
E
p
le projecteur de
E
1. On suppose que
F ⊥ G.
2. On suppose que
∀x ∈ E, kp(x)k 6 kxk.
a∈F
(a) Soient
F
un espace vectoriel euclidien,
et
Montrer que
b ∈ G.
et
d'axe
F
et
G
sur
P.
deux sous-espace vectoriels
et de direction
G.
∀x ∈ E, kp(x)k 6 kxk.
ka + bk > kak.
Montrer que
F ⊥ G.
nR
o
1
2
2
α = inf −1 (ax + bx + c − |x| ) dx : a, b, c ∈ R .
(b) En déduire que
Exercice 1489
Soit
1. Déterminer un espace vectoriel euclidien
2
tel que α = d(v, F ) .
p∈F
2. Déterminer
Exercice 1490
E
Exercice 1491
Exercice 1492
vectoriels de
Soit
E
α = d(v, p)2
tel que
Déterminer
inf
(a,b)∈R2
R1
0
Calculer :
Exercice 1493
Exercice 1494
de
E
et
v∈E
α.
un espace euclidien (de dimension nie), F et
(F + G)⊥ et (F ∩ G)⊥ en fonction de F ⊥ et
(a,b)∈R2
F
et
. Déterminer
inf
1. Soit
(E, | ), un sous-espace vectoriel F
G deux
G⊥ .
sous-espaces
(ex − (ax + b))2 dx.
Z
1
x2 |ln x − ax − b|2 dx.
0
31.4 Orthonormalisation
Résoudre l'équation
(1 − x)2 + (x − y)2 + (y − z)2 + z 2 =
1
pour
4
(x, y, z) ∈ R3 .
R5 engendré par u = (1, 2, 3, −1, 2) et v = (2, 4, 7, 2, −1). Trouver
⊥
l'orthogonal F
de F .
le sous-espace de
une base de
2. Trouver une base orthonormale du sous-espace
E
de
C3
engendré par
v1 = (1, i, 0)
et
v2 = (1, 2, 1 − i).
Exercice 1495
F
Exercice 1496
Soit
orthonormale de
1. Soit
F
un sous-espace d'un espace euclidien
E.
Montrer qu'il existe une base
qui est inclue dans une base orthonormale de

2 1 1
A =  1 1 1 .
1 1 2
Montrer que
une base orthonormale pour
A
E.
dénit un produit scalaire
ϕ
sur
R3 .
Construire
ϕ.
2. Considérons une base {v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (0, 0, 1)} de l'espace euclidien
R3 . Utiliser le procédé d'orthogonalisation de Schmidt pour transformer {vi } en une base
orthonormale.
Exercice 1497
Soient
E = Rn [X], In =
1. Montrer que l'intégrale
Soit
ϕ:E×E →R
2. Montrer que
ϕ
In
√1
2π
R +∞
−∞
tn e
−t2
2
dt.
est convergente. Que vaut
dénie par
ϕ(P, Q) =
est un produit scalaire.
√1
2π
R +∞
−∞
I2p+1 ?
P (t)Q(t)e
−t2
2
dt.
31 Espaces euclidiens
n = 2.
3. On suppose
base orthonormale
(1, X, X 2 ).
Exercice 1498
196
ϕ
Ecrire la matrice associée à
(P0 , P1 , P2 )
dans la base
Réduire en somme de carrés indépendants les formes suivantes :
9x2 − 6y 2 − 8z 2 + 6xy − 14xz + 18xw + 8yz + 12yw − 4zw
2.
x21 + x22 + x23 − 2x24 − 2x1 x2 + 2x1 x3 − 2x1 x4 + 2x2 x3 − 4x2 x4
Exercice 1499 R
e1 =
Construire une
par le procédé d'orthogonalisation de Schmidt appliqué à
1.
les vecteurs
(1, X, X 2 ).
3
est muni de sa structure canonique d'espace vectoriel euclidien. Vérier que
(1, 0, 1), e2 = (1, 0, 2) et e3 = (1, 1, 1) forment une base de R3 et en déterminer
l'orthonormalisée de Gram-Schmidt.
Exercice 1500 R
e1 = (1, 0, 1, 0)
et
4
est muni de sa structure canonique d'espace vectoriel euclidien. Soient
e1 = (1, −1, 1, −1)
F = vect(e1 , e2 ).
et
1. Déterminer une base orthonormale de
F.
R4
2. Déterminer la matrice dans la base canonique de
3. Déterminer la distance du vecteur
Exercice 1501
(1, 1, 1, 1)
du projecteur orthogonal sur
R-espace
F.
au sous-espace vectoriel
R2 [X] du produit scalaire
Z 1
φ : R2 [X] → R2 [X], (P, Q) 7→
P (t)Q(t)dt.
On munit le
vectoriel
F.
déni par
−1
R2 [X].
1. Déterminer l'orthonormalisée de Gram-Schmidt de la base canonique de
2. Déterminer la distance du polynôme P = X
0
formé des polynômes f tels que f (0) = 0.
Exercice 1502
0
0
0
0
u = (x , y , z )
Soit
f : R3 × R3 → R
2
+ X + 1 au sous-espace vectoriel F
dénie de la manière suivante : si
de
R2 [X]
u = (x, y, z)
et
alors
f (u, u0 ) = 2xx0 + yy 0 + 2zz 0 + xy 0 + yx0 + xz 0 + zx0 + yz 0 + zy 0 .
1. Montrer que
2. Soit
P
f
est un produit scalaire sur l'espace vectoriel canonique
le sous-espace vectoriel de
R3
d'équation cartésienne
(a) Déterminer l'orthogonal du sous-espace vectoriel
(b) Déterminer un sous-espace vectoriel de
R
3
R3 .
2x − y + z = 0.
P.
dont l'orthogonal est
P.
3. Déterminer l'orthonormalisée de Gram-Schmidt de la base canonique de
duit scalaire
Exercice 1503
(5, −3, 7)
Exercice
1504
R
P (t)Q(t)dt
Exercice 1505
R3
pour le pro-
f.
R3
la famille
x1 = (1, −2, 2), x2 = (−1, 0, −1), x3 =
Déterminer une base orthonormée de
R2 [X] muni du produit scalaire hP |Qi =
Orthonormaliser dans
.
1
0
.
On considère la forme bilinéaire
b
de
R4
dénie par :
b(x, y) = x1 y1 + 2x2 y2 + 4x3 y3 + 18x4 y4 + x1 y3 + x3 y1 + 2x2 y4 + 2x4 y2 + 6x3 y4 + 6x4 y3
où
x 1 , x2 , x3
et
y 1 , y2 , y3
sont les coordonnées de
x
et
1. Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire.
2. Ecrire la matrice de
b
dans la base canonique.
y
dans la base canonique.
31 Espaces euclidiens
197
3. Trouver une base orthonormée pour
Exercice 1506
Théorème de Pythagore :
b.
(E, <>).
On considère un espace euclidien
1.
Soient
u
et
v
deux vecteurs orthogonaux de
E.
Calculer
||u + v||2 .
Illustrer le résultat
Projection orthogonale et distance à un sous-espace :
obtenu à l'aide d'un dessin.
2.
E = F ⊕ F ⊥ , et donc que tout vecteur x de
E se décompose de manière unique en une somme x = x1 +2 avec x1 ∈ F et x2 ∈ F ⊥ . Le
vecteur x1 s'appelle alors la projection orthogonale de x sur F .
(a) Montrer que l'application p qui à un vecteur asocie sa projection orthogonale sur E
est une application linéaire. Vérier que : ∀y ∈ F, < x − p(x), y >= 0.
(b) On considère maintenant un vecteur x de E . On appelle distance de x à F le nombre
dist(x, F ) = inf y∈F kx − yk.
Pour y ∈ F , vérier que x − p(x) et y − p(x) sont orthogonaux. Utiliser alors la
2
2
question 1 pour montrer que ||x − y|| > ||x − p(x)|| . Illustrer sur un dessin.
En déduire que dist(x, F ) = ||x − p(x)||.
Pr
(c) Soit (e1 , . . . , er ) une base orthonormée de F . Montrer que p(x) =
i=1 < x, ei > ei .
Soit
3.
F
un sous-espace de
E.
On rappelle que
Espace de polynômes :
Sur l'espace
E = R3 [X],
on considère la forme bilinéaire dénie par :
1
< P, Q >=
2
Z
1
P (t)Q(t)dt.
−1
[−1, 1] d'une
sur [−1, 1])
(a) Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire (on admet que l'intégrale sur
f
fonction
(b) A l'aide du procédé de Schmidt appliqué à la base
orthonormée de
R2 [X]
Exercice 1507
vectoriel de
π(x)
E.
P0 = X 3 .
Calculer la projection orthogonale de
X3
sur
En déduire que pour ce produit scalaire, on a :
2
dist(X 3 , R2 [X]) = √ .
5 7
(E, <, >) un espace euclidien, x0 un point de E et F un sous espace
note π la projection orthogonale de E sur F . On rappelle que pour x ∈ E ,
Soit
On
est caractérisé par les relations :
π(x) ∈ F
et
x − π(x) ∈ F ⊥
Le but de cette partie est de montrer que la projection orthogonale de
F
une base
pour ce produit scalaire.
(c) On considère le polynôme
R2 [X].
f est nulle
(1, X, X 2 ), construire
continue et positive est nulle si et seulement si
le plus proche de
x0
x0 .
1. En utilisant que
x0 − y = (x0 − π(x0 )) + (π(x0 ) − y),
montrer que
kx0 − yk2 = kx0 − π(x0 )k2 + ky − π(x0 )k2 .
2. En déduire que
inf kx0 − yk2 = kx0 − π(x0 )k2 ,
y∈F
c'est à dire que :
∀y ∈ F, kx0 − yk2 > kx0 − π(x0 )k2
A quelle condition a-t-on égalité dans la relation ci-dessus ?
sur
F
est le point de
31 Espaces euclidiens
3. Soit
(e1 , . . . , ek )
198
F.
une base orthonormée de
Montrer que
π(x0 ) =
4. Déduire des deux questions précédentes que
k
X
2
inf kx0 − yk = kx0 −
y∈F
2
2
< ei , x0 > ei k = kx0 k −
i=1
k
X
Pk
i=1
< e i , x0 > e i
< ei , x0 >2
i=1
Application : Le but est maintenant de déterminer
1
Z
α = inf 2
a,b∈R
(et − at − b)2 dt.
−1
F = R1 [X], comme sous espace de E = F ⊕ Rf0 où f0
t
est la fonction dénie par f0 (t) = e . On admettra sans démonstration que < f, g >=
R1
f (t)g(t)dt est un produit scalaire sur E .
−1
On considère à cet eet l'espace
5. Donner une base orthonormée
6. Calculer
(P1 , P2 )
< f0 , P1 >, < f0 , P2 >,
kf0 k
et
2
R1 [X]
pour ce produit scalaire.
. En déduire que
e − e−1 2
e2 − e−2
−1 2
α=
− (2e ) −
.
2
2
R1 t
0
calcul de α = inf
(e − at2 − bt − c)2 dt.
2 −1
7. Même question avec le
a,b∈R
A deux polynômes
P
φ(P, Q) =
: commencer par
R2 [X] pour le même produit scalaire, et en déduire α0 .
chercher une base orthonormée de
Exercice 1508
de
Q
et
Rn [X],
de
on associe le nombre
1
Z
P 0 (t)Q0 (t)dt + P (0)Q(0)
0
1. Montrer que
2. Lorsque
n = 2,
Exercice 1509
et
q
φ
est un produit scalaire sur
donner une base orthonormée pour ce produit scalaire.
31.5 Formes quadratiques
Soient
E
q
K -espace
sur E .
un
une forme quadratique
1.
Rn [X].
vectoriel (où
K
est
R
ou
C)
de dimension nie
n>0
peut-elle être injective ?
2. Trouver une condition nécessaire et susante sur
Exercice 1510 (examen juin 1999)
nie sur
R
3
Soit
a
q
pour qu'elle soit surjective.
un nombre réel. Soit
q
la forme quadratique dé-
par
q(v) = x2 + (1 + a)y 2 + (1 + a + a2 )z 2 + 2xy − 2ayz
pour
v = (x, y, z).
Soit
f
la forme bilinéaire symétrique associée à
1. Déterminer une décomposition de
q
en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires
indépendantes.
2. Donner le rang et la signature de
3. Pour quelles valeurs de
a, f
q
q.
suivant les valeurs de
a.
dénit-elle un produit scalaire ?
32 Endomorphismes particuliers
Exercice 1511
nique
q
Soit
B = (e1 , e2 , e3 )
199
q
3. Trouver le rang et la signature de
1.
(a) Montrer que
q
(c) La forme
q
3. Déterminer le rang de
et
q
f.
et donner la matrice de
dans
q
dans
R dénie par q(P ) = P (0)P (1).
E.
E.
dans la base canonique de
q
Déterminer
V⊥
et
V ⊥⊥ .
puis son noyau.
C(q)
de
q
et constuire une base de
(P0 , P1 , P2 ) de E
telle que
E
formée de vecteurs
E?
est-il un sous-espace vectoriel de
5. Déterminer une base
q(a0 P0 + a1 P1 + a2 P2 ) = a20 − a21
et donner
q.
la signature de
dénie (
dans la base cano-
q.
V =vect( P ).
4. Déterminer le cône isotrope
Exercice 1513
est-elle positive, négative ?
P := X + X + 1
C(q)
2 1 1
1 1 1
1 1 2
et expliciter sa forme polaire
est une forme quadratique sur
2
isotropes.
B
E = R2 [X] et q l'application de E
(b) Déterminer la matrice de
2. Soit
dans
B = (e1 , − 12 e1 + e2 , −e2 + e3 ) est une base R3
Expliciter q dans cette base.
Soient
A=
0
2. Vérier que
Exercice 1512
de matrice
R3 .
de
1. Donner l'expression analytique de
cette base.
R3
la forme quadratique de
Soit
q
une forme quadratique sur un
R-espace
vectoriel
E,
que l'on suppose
i.e. son cône isotrope est {0}). Montrer que q garde un signe constant sur E (on pourra
q(a + tb) où a et b sont des vecteurs bien choisis et t ∈ R).
11 −5 5 A = −5 3 −3 .
raisonner par l'absurde et considérer
Exercice 1514
2. Soit
q
1. Diagonaliser
5 −3 3
la forme quadratique de
R
3
de matrice
A
q -orthogonale,
ser la question précédente pour trouver une base
de
q
et une décomposition de
q
dans la base canonique de
R3 .
Utili-
déterminer la signature
en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires
indépendantes.
Exercice 1515
Déterminer la signature de la forme quadratique
q : (x, y, z) ∈ R3 7→ (2x + y − z)2 − (3x − y + 2z)2 + (5y − 7z)2 .
Exercice 1516
Soit la forme quadratique
q
dénie par
q : (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ C4 7→ x1 x2 + x2 x4 − x3 x4 − 2x1 x4 − 2x2 x3 − x1 x3 .
1. Montrer, sans réduire
q,
qu'il existe une base
q -orthonormale
de
C4 .
2. En expliciter une.
32 Endomorphismes particuliers
Exercice 1517
morphisme de
A=
32.1 Endomorphismes du plan
Dessiner l'allure du Shadock ci dessous après qu'il ait subi l'action de l'endo-
R2
1/2 0
0 2
dont la matrice dans la base canonique est
B=
1 1/2
0 1
C=
0 1
1 0
D=
√ 3/2
1/2
−
√
3/2
1/2
E=
1
−1
−1/2 3/2
32 Endomorphismes particuliers
200
Ecrire la matrice de la dernière transformation dans la base
Exercice 1518
((2, 1), (−1, 1)).
Retrouver la matrice (dans la base indiquée sur le premier dessin) de la trans-
formation subie par chacun des Shadocks ci-dessous.
Exercice 1519
32.2 Dualit'e
On considère l'application suivante :
α :
Rn [X] →
R [X]
R1 n
P
7→ 0 P (t)dt
α est une forme linéaire sur Rn [X].
i ∈ {0, ..., n}, on note αi l'application
Montrer que
Pour
αi :
αi est
Rn [X]∗ .
Montrer que
base de
Rn [X] → Rn [X]
P
7→ P (i/n)
une forme linéaire sur
Rn [X],
et montrer que la famille
(α0 , ..., αn )
est une
En déduire que :
∃(λ0 , ..., λn ) ∈ R
Exercice 1520
n+1
, ∀P ∈ Rn [X]
t
u(α)
1
P (t)dt =
0
On considère l'application
u :
Calculer
Z
u
n
X
λi P (i/n)
i=0
suivante :
Rn [X] → Rn [X]
P
7→
P0
lorsque :
α : P 7→ P (0)
Exercice 1521
α : P 7→
Z
1
P (t)dt
0
On appelle
trace d'une matrice A, et on note tr (A), la somme de ses coecients
diagonaux.
1. Montrer que l'application
2. Montrer que :
Mn (K) → K
A
7→ tr(A) est une forme linéaire sur
∀(A, B) ∈ (Mn (K))2 ,
tr(AB)
=
Mn (K).
tr(BA). En déduire que deux matrices
semblables ont même trace.
3. Existe-t-il deux matrices
Exercice 1522
A
et
B
de
Mn (K)
telles que
AB − BA = I ?
Soient E et F deux espaces vectoriels et soit f ∈ L(E, F ). Montrer que
(Im f )⊥ = Ker t f .
t
En déduire que f est surjective si et seulement si f est injective.
t
Lorsque E et F sont de dimension nies, montrer que rg(f ) = rg( f ). En déduire que pour
t
toute matrice A ∈ Mm,n (K) on a rg(A) = rg( ( A)).
32 Endomorphismes particuliers
Exercice 1523
Soit
201
∗
f ∈ End(R3 ) tel que f 2 = 0. Montrer qu'il existe α ∈ (R3 )
et
v ∈ R3
tels
que
∀x ∈ R3 f (x) = α(x) v.
(Indication : commencer par montrer que
Exercice 1524
endomorphisme
rg(f ) 6 1)
On considère un espace euclidien
u
(E, <>).
On rappelle que l'adjoint
u∗
d'un
est l'endomorphisme caractérisé par :
∀(x, y) ∈ E 2 , < u(x), y >=< x, u∗ (y) >
On dit qu'un endomorphisme
u de E
est une similitude de
E
si et seulement si
u est la composée
d'une homotétie et d'une isométrie, c'est à dire si et seulement si :
∃α ∈ R \ {0}, ∃v ∈ O(E) / u = αv.
1. Redémontrer l'équivalence entre les trois caractérisations suivantes des isométries :
v
est une isométrie
⇔ ∀x ∈ E kv(x)k = kxk
⇔ ∀(x, y) ∈ E 2 < v(x), v(y) >=< x, y >
⇔ v ∗ v = id
On veut montrer l'équivalence des assertions suivantes :
(i) u est une similitude
(ii) il existe un réel λ > 0 tel que
u∗ u = λid
(iii) u conserve l'orthogonalité, c'est à dire :
∀(x, y) ∈ E 2 , < x, y >= 0 ⇔< u(x), u(y) >= 0
2. Montrer que
(i) ⇒ (ii),
3. Montrer que
(i) ⇒ (iii).
4. On suppose
(a) Soit
puis que
(ii) ⇒ (i).
(iii).
x ∈ E , x 6= 0.Montrer
que
x⊥y ⇔ u∗ u(x)⊥y
∀y ∈ E
∗
(b) En déduire que u u(x) appartient à la droite engendrée par
∗
que u u(x) = λx x.
(c) Montrer que :
On note
λx
le réel tel
∀t ∈ R, λtx = λx
(d) Montrer que, pour tout couple
on a :
x.
(x, y)
de vecteurs linéairement indépendants de
λx = λy .
(e) En déduire que l'application
x 7→ λx
est constante. Conclure.
E,
32 Endomorphismes particuliers
Exercice 1525
Exercice 1526
orthogonal si et
de
202
32.3 Endomorphismes auto-adjoints
(E, h, i) un espace euclidien et p ∈ L(E) un projecteur. Montrer que p est
∗
seulement si p = p .
Soit
(E, h, i)
Soit
un espace euclidien et
ϕ ∈ L(E).
Soit
F
un sous-espace vectoriel
E.
1. Soit
⊥
F
un sous-espace vectoriel de
2. Soit
F
un espace propre de
E.
Montrer que si
ϕ = ϕ∗
et
ϕ(F ) ⊂ F
alors
ϕ(F ⊥ ) ⊂
F .
Exercice 1527
A
Soient
et
B
ϕ.
Montrer que si
2. Si
A =B
k
alors
1.
2.
Ak
est vecteur propre de
k ∈ N∗ .
A.
A
et
B
symétriques positives ?
(E, h, i) un espace euclidien et ϕ ∈ L(E).
∗
Montrer que ϕ ◦ ϕ est symétrique et que Sp (ϕ ◦ ϕ) ⊂ R+ .
On note respectivement λ et µ la plus grande et la plus petite
Montrer, pour tout x ∈ E, l'inégalité :
Exercice 1529
ϕ(F ⊥ ) ⊂ F ⊥ .
A = B.
3. Que se passe-t-il sans l'hypothèse
Exercice 1528
alors
deux matrices symétriques positives. Soit
1. Montrer que tout vecteur propre de
k
ϕ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ϕ
Soit
∗
valeur propre de
ϕ∗ ◦ ϕ.
µkxk2 6 kϕ(x)k2 6 λkxk2 .
Soit
1. Montrer que si
(E, h, i) un espace euclidien et ϕ ∈ L(E).
ϕ = ϕ∗ et ∀x ∈ E : hx, ϕ(x)i = 0 alors ϕ = 0.
2. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) ϕ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ϕ.
ii) ∀x, y ∈ E : hϕ(x), ϕ(x)i = hϕ∗ (x), ϕ∗ (x)i.
iii) ∀x ∈ E : kϕ(x)k = kϕ∗ (x)k.
ϕ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ϕ alorsla matrice de ϕ dans une base orthonormée est
a −b
soit symétrique, soit de la forme
avec b 6= 0.
b a
∗
∗
On suppose désormais que dim (E) = 3 et que ϕ ◦ ϕ = ϕ ◦ ϕ.
(a) Montrer que ϕ a au moins une valeur propre réelle qu'on notera λ. Montrer que Eλ
⊥
∗
et Eλ sont laissés stables par ϕ et ϕ .
(b) Montrer que si ϕ n'est pas symétrique, il existe une base orthonormée ε de E et deux


a −b 0
a 0 .
réels a et b (avec b 6= 0) tels que Mat (ϕ, ε) =  b
0 0 λ
3. Si dim(E)
4.
Exercice 1530
=2
et si
Soit
E
un espace euclidien de dimension
{e1 , e2 , e3 } une base orthonormée de E. Soient
et y = y1 e1 +
y2 e2 + y3 e3 deux vecteurs de E. Calculer hx, yi en fonction des coecients xi et yi (pour
i ∈ {1, 2, 3}).
On considère u ∈ L(E) un endomorphisme auto-adjoint. On note λ sa plus petite valeur
0
propre et λ sa plus grande valeur propre. Montrer que l'on a, pour tout x appartenant à
E, les inégalités :
λkxk2 6 hu(x), xi 6 λ0 kxk2 .
1. Soit
2.
3.
x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3
(On utilisera une base orthonormée convenable.)
32 Endomorphismes particuliers
3. Soit
v ∈ L(E)
adjoint. Soient
un endomorphisme quelconque. Montrer que
µ
v, λ
une valeur propre de
plus grande valeur propre de
Exercice 1531
1. Soit
203
u.
Montrer que
M (R)
A = (aij ) ∈
1
u = (v + v ∗ )
2
la plus petite valeur propre de
0
est auto-
u
λ0
et
la
λ6µ6λ.
S = tA · A
. Montrer que
est une matrice symétrique dont tous
Pn
P
2
les valeurs propres λ1 , . . . , λn sont positives. Démontrer l'égalité :
i=1 λi =
16i,j6n aij .
n
M
M
S ∈ n (R) une matrice symétrique. Existe-t-il une matrice A ∈ n (R) telle que
S = tA · A ? Donnerune condition
nécessaire et susante sur S pour que A soit inversible.
2 1
Application à S =
.
1 2
2. Soit
Exercice 1532
d'éléments de
Soit
E
(E, <, >) un espace euclidien de dimension p. A chaque n-uple (x1 , . . . , xn )
on associe le nombre (déterminant de Gram)
G(x1 , . . . , xn ) = dét(< xi , xj >)i,j=1,...,n .
1. Montrer que
x1 , . . . , x n
x1 , . . . , x n
G(x1 , . . . , xn ) = 0 ;
sont liés si et seulement si
sont indépendants, on a
montrer que si
G(x1 , . . . , xn ) > 0.
σ de {1, . . . , n}, on a G(xσ(1) , . . . , xσ(n) ) = G(x1 , . . . , xn ),
G(x1 , . . . , xn ) n'est pas modiée si l'on rajoute à un des vecteurs, soit xi ,
linéaire des autres vecteurs xj (j 6= i). Calculer G(αx1 , . . . , xn ) (α ∈ R).
2. Montrer que, pour toute permutation
et que la valeur de
une combinaison
3. On suppose
l'hyperplan
Exercice 1533
x1 , . . . , x n
indépendants. Soit
H = Vect(x1 , . . . , xn ).
x ∈ E,
Montrer que
d(x, H) la distance
G(x, x1 , . . . , xn )
.
d(x, H)2 =
G(x1 , . . . , xn )
et soit
de
x
à
Diagonaliser très rapidement la matrice
M=
Exercice 1534
0 1 1
1 0 1
1 1 0
∈ M3 (R).
Montrer que l'endomorphisme de l'espace vectoriel euclidien canonique
3
matrice dans la base canonique de R
C=−
R3
de
1 4 1 −8 7 4 4
9 4 −8 1
est un automorphisme orthogonal.
Exercice 1535
Soient
E
un espace vectoriel euclidien et
f
un endomorphisme de
E
tel que
∀x ∈ E, kf (x)k 6 kxk.
1.
(a) Soit
x∈E
tel que
(b) En déduire que
2. Soit
h
f ∗ (x) = x.
kf (x) − xk2 = kf (x)k2 − kxk2 .
Montrer que
ker(f ∗ − Id) ⊆ ker(f − Id).
un endomorphisme de
E.
Montrer que
3. En déduire que les sous-espace vectoriels
(Im h)⊥ ⊆ ker h∗ .
ker(f − Id)
et Im (f
− Id)
sont supplémentaires
et orthogonaux.
Exercice 1536
Soit
E
un espace euclidien de dimension
(e1 , e2 , e3 ) une base orthonormée
y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 deux vecteurs de E .
yi (pour i ∈ {1, 2, 3} ).
1. Soit
de
E.
3.
Soient
Calculer
hx, yi
x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3
et
en fonction des coecients
y =
xi et
32 Endomorphismes particuliers
2. On considère
propre et
à
E
λ2
u ∈ L(E)
204
un endomorphisme auto-adjoint. On note
λ1
sa plus petite valeur
sa plus grande valeur propre. Montrer que l'on a, pour tout
x
appartenant
les inégalités :
λ1 kxk2 6 hu(x), xi 6 λ2 kxk2 .
(On utilisera une base orthonormée convenable.)
3. Soit
v ∈ L(E)
adjoint. Soient
λ
v , λ1
la plus petite
Montrer que
λ1 6 λ 6 λ 2 .
une valeur propre de
plus grande valeur propre de
Exercice 1537
1
u = (v + v ∗ ) est auto2
valeur propre de u et λ2 la
un endomorphisme quelconque. Montrer que
1. Soient
E
u.
f ∈ L(E)
(f (x)|x) > 0.
un espace vectoriel euclidien,
symétrique positif. Montrer que si
x∈E
alors
un endomorphisme
M = (mi,j )i,j ∈ Mn (R) symétrique positive. Montrer que pour tout i = 1, .., n, mii >
0 et tr (M ) > 0
Soient A, B ∈ Mn (R) symétriques positives.
(a) Montrer qu'il existe D ∈ Mn (R) diagonale et M ∈ Mn (R) symétrique positive telle
que tr (AB) =tr(DM ).
(b) En déduire que tr (AB) 6tr(A)tr(B).
2. Soit
3.
Exercice 1538
Soit
(E, h, i)
un espace euclidien et
f ∈ L(E)
un endomorphisme autoadjoint.
Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
1.
2.
3.
∀x ∈ E, hf (x), xi > 0.
∗
Il existe g ∈ L(E) tel que f = g g.
∗
2
Il existe h ∈ L(E) tel que h = h et f = h .
Exercice 1539
kf k = kf k
Exercice 1540
∗
Soit
(E, h, i) un espace euclidien et f ∈ L(E) un endomorphisme. Montrer que
Soit
(E, h, i)
.
et seulement si toutes les valeurs
Exercice 1541
f ∈ L(E) un endoX = {x ∈ E; hf (x), xi 6 1}. Montrer que X est compacte si
propres de f sont strictement positives.
un espace euclidien (de dimension nie) et
morphisme autoadjoint. On note
32.4 Autres endomorphismes normaux
(E, h, i) un espace euclidien. Un endomorphisme ϕ ∈ L(E) est dit antisymétrique lorsque ϕ = −ϕ.
1. Montrer que ϕ est antisymétrique si et seulement si ∀x ∈ E, hϕ(x), xi = 0. (on pourra
∗
remarquer que ϕ + ϕ est autoadjoint.)
⊥
2. Montrer que si ϕ est antisymétrique alors (Ker (ϕ)) = Im(ϕ) puis que rg (ϕ) est pair.
Exercice 1542
Soit
∗
(E, h, i) un espace euclidien. Soit ϕ ∈ L(E) un endomorphisme antisyméϕ∗ = −ϕ.
⊥
Montrer que si λ ∈ Sp(ϕ) alors λ = 0. Montrer que (Ker (ϕ)) est stable par ϕ.
2
(a) Montrer que ϕ est symétrique.
2
(b) Montrer que si x est un vecteur propre associé à une valeur propre µ de ϕ alors
⊥
Ex = vect{x, ϕ(x)} et Ex sont laissés stables par ϕ.
(c) Montrer que µ > 0. Déterminer une base {e1 , e2 } de Ex telle que la matrice de la
√ 0 − µ
√
.
restriction de ϕ ˆ Ex dans {e1 , e2 } soit
µ
0
Montrer que E est somme directe orthogonale de Ker (ϕ) et de plans stables.
Soit
trique c'est-à-dire tel que
1.
2.
3.
32 Endomorphismes particuliers
Exercice 1543
205
32.5 Endomorphismes orthogonaux
Soit
f
une transformation orthogonal d'un espace euclidien
E.
Montrer que
Ker(f − id) = Im(f − id)⊥
En déduire que si
Exercice 1544
(f − id)2 = 0,
alors
f = id.
Déterminer la nature des transformations de
R3
dont les matrices dans la base
canonique sont les suivantes :


1 −2 −2
1
A = −2 1 −2
3
2
2 −1
Exercice 1545
de
R
3


2
2 −1
1
2
B = −1 2
3
2 −1 2


0 1 0
C =  0 0 −1
−1 0 0
Diagonaliser dans une base orthonormale (pour le produit scalaire canonique
) la matrice suivante :


5 −1 2
A = −1 5 2
2
2 2
Interpréter géométriquement la transformation de
Exercice 1546

4 i −i

A = −i 4 1 
i 1 4
propres
Soit
√


0√
1√ i 2

B = −i 2 √
1 −i 2
0
i 2
1
A = (aij ) 16i6n


−1 0 −3i 0
0
1
0 3i

C=
 3i
0
−1 0 
0 −3i 0
1
une matrice symétrique réelle. Montrer que ses valeurs
16j6n
λ 1 , . . . , λn
Exercice 1548
représentée par cette matrice.
Diagonaliser les matrices suivantes dans des bases orthonormées :

Exercice 1547
R3
vérient
n
X
λi =
i=1
Soit
qu'un endomorphisme
n
X
a2i,j
i=1
B = (e1 , . . . , en ) une base orthogonal d'un espace euclidien E . On dit
f de E conserve l'orthogonalité de B si et seulement si (f (e1 ), . . . , f (en ))
est une famille orthogonale.
Montrer que f conserve l'orthogonalité de
t
propres de f f .
Montrer que pour tout endomorphisme
f
de
B
si et seulement si
E,
B
est une base de vecteurs
il existe une base orthogonale dont
f
conserve
l'orthogonalité.
Exercice 1549 (Décomposition polaire)
1. Soit
r
un endomorphisme symétrique d'un
E . On dit que r est positif, si toutes ses valeurs propres sont positives.
Montrer que si r est déni positif, il existe un et un seul endomorphisme symétrique s
2
positif tel que s = r . On appelle s racine carrée positive de r .
On dit que r est déni positif si et seulement si toutes ses racines sont strictement positives.
Montrer que si r est déni positif, alors sa racine positive aussi.
espace euclidien
t
un endomorphisme de E . Montrer que f
t
si en plus f est bijective, f f est déni positif.
2. Soit
f
f
est symétrique et positif. Montrer que
32 Endomorphismes particuliers
206
t
3. On suppose maintenant que f est une bijection. Soit s la racine carrée positive de f f .
−1
Montrer que u = f ◦ s
est une transformation orthogonale. En déduire que tout endo-
E
morphisme bijectif de
peut s mettre sous la forme :
f =u◦s
où
u
et une transformation orthogonale, et
s
est symétrique déni positif.
Montrer que cette décomposition, appelée décomposition polaire de
4. Que se passe-t-il si
Exercice 1550
f
f
R4 muni de son produit scalaire canonique, on considère
dont la matrice dans la base canonique est :


−1 −4 4 −4
1 −4 5 2 −2

A= 
2 5 2
7 4
−4 −2 2 5
1. Sans calculs, dire pourquoi
2. Montrer que
est unique.
n'est pas bijective ?
Dans l'espace vectoriel
l'endomorphisme
f
f
f
(
attention au 17 ...)
est diagonalisable dans une base orthonormée.
est orthogonal. En déduire les seules valeurs propres possibles pour
3. Sans calculer le polynôme caractéristique de
multiplicité des valeurs propres de
4. Déterminer l'espace propre
E1
f.
f,
f.
déterminer à l'aide de la trace l'ordre de
En déduire le polynôme caractéristique de
f.
associé à la valeur propre 1. En donner une base, puis lui
E1 .
⊥
Montrer que l'espace propre E−1 associé à la valeur propre -1 satisfait E−1 = (E1 ) . En
utilisant l'équation caractérisant E1 , en déduire un vecteur générateur de E−1 .
Donner une base orthonormée dans laquelle la matrice de f est diagonale. Donner une
interprétation géométrique de f .
appliquer le procédé de Schmidt pour obtenir une base orthonormée de
5.
6.
Exercice 1551 A Soit
E
un espace vectoriel et
nalisables qui commutent (c'est à dire qui satisfont
E1 ...Ek les espaces propres associés.
Montrer que v(Ei ) ⊂ Ei .
On note vi = v|E la restriction de v à Ei . Soit P ∈ C[X], montrer que P (vi ) = P (v)|E .
i
i
En déduire que vi est diagonalisable. Soit Bi une base de Ei formée de vecteurs propres
de vi .
k
S
Montrer que B =
Bi est une base de E formée de vecteurs propres à la fois pour u et
i=1
pour v .
En déduire que u et v sont diagonalisables dans une même base. Montrer que u − v est
propres de
1.
2.
3.
4.
u
u et v deux endomorphismes de E diagou ◦ v = v ◦ u). On note λ1 ...λk les valeurs
et
diagonalisable.
B Application :
l'endomorphisme
On considère maintenant une matrice
wA ∈ End(Mn,n (R))
w:
A ∈ Mn,n (R),
et on lui associe
suivant :
Mn,n (R) → Mn,n (R)
M
7→ AM − M A
Le but de l'exercice est de montrer que si
A
est diagonalisable,
wA
l'est aussi.
On note
uA :
Mn,n (R) → Mn,n (R)
M
7→
AM
et
vA :
Mn,n (R) → Mn,n (R)
M
7→
MA
32 Endomorphismes particuliers
207
∀k ∈ N, (uA )k = uAk . En déduire que ∀P ∈ C[X], P (uA ) = uP (A) ,
polynôme annulateur de A est un polynôme annulateur de uA .
1. Montrer que
tout
puis que
2. Montrer que
A
diagonalisable
⇒ uA
diagonalisable
On admet sans démonstration que le même résultat est vrai pour
A
3. Montrer que
diagonalisable
⇒ vA
diagonalisable
⇒ wA
diagonalisable
vA
:
uA ◦ v A = v A ◦ uA .
4. En déduire que
Exercice 1552
scalaire
λ
A
diagonalisable
Dans un espace euclidien
(E, < ·, · >),
on considère un vecteur
v
non nul, un
et l'endomorphisme :
u:
1. Pour
x ∈ E,
calculer
E → E
x 7→ x + λ < x, v > v
ku(x)k2 .
2. Donner une condition nécessaire et susante sur
λ et v pour que u soit une transformation
orthogonale.
3. Lorsque
u
est orthogonale, dire a priori quelles sont les valeurs propres possibles de
u,
puis dire si elles sont eectivement valeur propre en étudiant les espaces propres associés.
4. Lorsque
u
Exercice 1553
E
est orthogonale, donner une interprétation géométrique de
On considère un espace euclidien
est une similitude de
E
(E, <>).
u.
On dit qu'un endomorphisme
si et seulement si il existe un réel
λ>0
u
de
tel que
u∗ u = λid
Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
(i) u est une similitude
(ii) u est colinéaire à une transformation orthogonale, c'est à dire
∃α ∈ R \ {0}, ∃v ∈ O(E) / u = αv
(iii) u conserve l'orthogonalité, c'est à dire :
∀(x, y) ∈ E 2 , < x, y >= 0 ⇒< u(x), u(y) >= 0
Pour (i) ⇔(ii), on pourra commencer par montrer que (ii) ⇒(i).
Pour (i) ⇒(iii), on commencera par montrer que x et u∗ u(x) sont toujours colinéaires,
c'est à dire que
∀x ∈ E∃λx /u∗ u(x) = λx x
puis on montrera que λx est indépendant de x.
Exercice 1554
k 6= −1
Dans un espace euclidien
on associe l'endomorphisme
uk
de
E , on considère
E déni par :
uk (x) = k < x, a > a + x
un vecteur unitaire
a,
et à un réel
32 Endomorphismes particuliers
1. Montrer que
uk
< uk (x), a >)
208
est un isomorphisme. Déterminer
u−1
k . (on pourra commencer par calculer
2. Rappeler la caractérisation de l'adjoint d'un endomorphisme, et montrer que
u
est auto
adjoint.
k u
3. Pour quelles valeurs de
est-il orthogonal ? Interpréter alors géométriquement cette
transformation.
uk .
4. Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de
[Exercice corrigé]
Exercice 1555
2.
1. Soient E un espace vectoriel euclidien, f un endomorphisme de E et A =
(aij )16i,j6n ∈ Mn (R) la matrice de f dans une base orthonormale donnée B = (e1 , ..., en )
de E . Pour i, j ∈ {1, ..., n}, exprimer aij en fonction de f et des vecteurs ei et ej .
P
Soient A = (aij )
16i,j6n aij .
16i,j6n ∈ On (R) et S =
(a) Montrer qu'il existe
(b) En déduire que
Exercice 1556
det A > 0
Exercice 1557
si et
u∈E
tel que
S = (u|f (u)).
|S| 6 n.
A = (aij )16i,j6n ∈ On (R) et Aij le
seulement si aij et Aij sont de même signe.
Soient
cofacteur
(i, j)
de
A.
Montrer que
Que peut-on dire d'une matrice carrée réelle à la fois symétrique et ortho-
gonale ? Déterminer la nature et les éléments caractéristiques
−2 6 −3 de l'endomorphisme de l'espace
1
3
3
6 3 2
dans la base canonique de R .
vectoriel euclidien canonique R de matrice A =
7
−3 2 6
Exercice 1558
Exercice 1559
Quelles sont les isométries vectorielles d'un espace vectoriel euclidien qui sont
diagonalisables.
Soient
E
un espace vectoriel euclidien et
f
un endomorphisme de
E
tel que
∀x ∈ E, kf (x)k 6 kxk.
1.
(a) Soit
x∈E
tel que
(b) En déduire que
2. Soit
h
f ∗ (x) = x.
Montrer que
kf (x) − xk2 = kf (x)k2 − kxk2 .
ker(f ∗ − Id) ⊆ ker(f − Id).
un endomorphisme de
E.
Montrer que
3. En déduire que les sous-espace vectoriels
(Im h)⊥ ⊆ ker h∗ .
ker(f − Id)
et Im (f
− Id)
sont supplémentaires
et orthogonaux.
Exercice 1560
U ∈ O2 (R)
Déterminer une matrice diagonale
1
1
−1
telles que U DU
= 1 12 .
2
Exercice 1561
Soit
(E, h, i)
D ∈ M2 (R)
et une matrice orthogonale
u ∈ L(E).
Montrer que les propriétés
un espace euclidien et
suivantes sont équivalentes :
i) u∗ = u−1 .
ii) ∀x ∈ E, ku(x)k = kxk.
iii) ∀x, y ∈ E, hu(x), u(y)i = hx, yi.
iv) L'image par u d'une base orthonormée de E est une base orthonormée de E.
v) L'image par u de toute base orthonormée de E est une base orthonormée de E.
Exercice 1562
de
E.
Soit
Montrer que si
(E, h, i) un espace euclidien et ϕ ∈ O(E). Soit F
ϕ(F ) ⊂ F alors ϕ(F ⊥ ) ⊂ F ⊥ . A-t-on égalité ?
un sous-espace vectoriel
32 Endomorphismes particuliers
Exercice 1563
(E, h, i)
Soit
209
3
un espace euclidien de dimension
et
u ∈ O− (E).
On pose
F = Ker(u + id).
F 6= {0}.
1. Montrer que
dim(F )
Montrer que
F
et
f⊥
u.
sont stables par
Pour quelle raison
6= 2?
2. On suppose
E 6= F.
Montrer que la restriction de
3. En déduire qu'il existe
θ∈R
et une base
ε
de
E
u
à
F⊥
est une rotation.
tels que :

Exercice 1564

cos(θ) sin(θ) 0
0 .
Mat (u, ε) = − sin(θ) cos(θ)
0
0
−1
4√et ε = {e1 , · · · , e4 } une
√

0
−2
2
2
2
0
√
√
1
2 √2
1
1 −√ 6

 et u ∈ L(E)
orthonormée de E. Soit A la matrice A =

1
6
4 −2 2 √1
√
0
6
6
2
domorphisme déterminé par Mat (u, ε) = A.
Soit
(E, h, i)
un espace euclidien de dimension
base

1. Montrer que
u ∈ O+ (E).
F
2. Montrer que l'espace vectoriel
u
la restriction de
3. Montrer que
l'en-
F⊥
à
F
engendré par
e1
et
u(e1 )
est stable par
u.
Montrer que
est une rotation.
est stable par
u et est engendré par e4
et
u(e4 ). La restriction de u à F ⊥
est-elle une rotation ?
Exercice
1565
X
A = (ai,j ) ∈ O(n, R).
Soit
n
a2i,j = 1.
En déduire que si
Exercice 1566
A
Montrer pour tout
j ∈ {1, · · · , n}
l'égalité :
est triangulaire supérieure elle est diagonale.
i=1
Soit
(E, h, i)
1. Montrer que Ker (v)
un espace euclidien et
u ∈ O(E).
On pose
v = id − u.
= Im(v)⊥ .
n−1
2. Montrer que
Exercice 1567
1X p
u (x)
n→∞ n
p=0
lim
Soit
1. Montrer que
(E, h, i)
est la projeté orthogonal de
un espace euclidien et
s ∈ L(E)
x
sur Ker (v).
telle que
s2 = id.
E = Ker(s − Id) ⊕ Ker(s + Id).
2. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) s ∈ O(E).
ii) Ker(s − Id) ⊥ Ker(s + Id).
iii) s = s∗ .
sF l'unique symétrie s ∈ O(E)
u ∈ O(E) on a : usF u−1 = su(F ) .
3. On note désormais
que pour tout
4. Montrer que si
f
est une application de
vectorielles (c'est à dire que pour tout
telle que
F =
Ker (s
+ Id).
Montrer
E dans lui-même laissant stables toutes les droites
x ∈ E il existe λx ∈ R tel que f (x) = λx x) alors f
est linéaire.
+
5. En déduire que Z(O(E)) = {id, −id} et que si n > 3 alors Z(O (E)) = {id, −id}
O+ (E). (on pourra appliquer 3.) dans le cas où F est une droite ou un plan.)
∩
33 Polynômes d'endomorphismes
n=1
6. Que se passe-t-il lorsque
Exercice 1568
Soit
u(x) 6= x.
r(y) = x.
tel que
E
210
et
n = 2?
un espace euclidien et
On pose
y = u(x).
u ∈ O(E)
telle que
ker(u − id) 6= E .
Alors on sait qu'il existe une unique réexion
1. Montrer que
ker(u − id) ⊂ ker(r − id).
2. Montrer que
dim ker(r ◦ u − id) > dim ker(u − id).
Soit
r
x∈E
telle que
3. Montrer par récurrence que toute isométrie vectorielle est la composée de réexions.
Exercice 1569
Exercice 1570
Soit
A = (ai,j ) ∈ On (R).
Soit
E
euclidien,
Montrer que
∀(i, j) |ai,j | 6 1
n ∈ N∗ , (x1 , ..., xn , y1 , ..., yn ) ∈ E 2n
et que
P
i,j ai,j 6 n.
tels que :
∀(i, j) ∈ {1, ..., n}2 , (xi |xj ) = (yi |yj ) .
Montrer qu'il existe un endomorphisme orthogonal
f
de
E
tel que :
∀i ∈ {1, ..., n}, f (xi ) = yi.
33 Polynômes d'endomorphismes
Exercice 1571
Exercice 1572
33.1 Idéaux
K[X]
Montrer qu'un idéal de
est distinct de
K[X]
si et seulement s'il ne
contient aucun polynôme constant non nul.
Soient les polynômes
P = X 4 + X 3 − 2X + 1
Déterminer pgcd (P, Q) puis la somme et l'intersection des
Q = X 2 + X + 1 de R[X].
idéaux principaux (P ) et (Q) de
et
R[X].
Exercice 1573
I = {P ∈ R[X] : P 0 (0) = 0} et J = {P ∈ R[X] : P (0) = P 0 (0) = 0}
R[X] ? Dans l'armative, en donner un générateur.
Les parties
sont-elles des idéaux de
33.2 Polynômes annulateurs
Exercice 1574
En déduire
Soit
A−1 , A3
Exercice 1575
A ∈ M3 (R)
et
la matrice


0 1 1
1 0 1 .
0 0 1
Calculer le polynôme minimal de
A5 .
P ∈ C[X] tel que P (0) = 0 et P 0 (0) 6= 0. Soit E
dimension nie et f ∈ L(E) telle que P (f ) = 0.
2
Montrer que Ker (f ) = Ker (f ); en déduire E = Ker (f ) ⊕ Im(f ).
Exercice 1576
id) = 1.
On note
1. Soit
E
Soit
E un K-espace
H = Ker(f − id).
Soit
{e1 , · · · , en−1 }
vectoriel de dimension nie
une base de
H
et
et donner l'allure de la matrice de
2. Montrer que le polynôme
et susante pour que
Exercice 1577
Soit
A.
E
f
et
C-espace
f ∈ L(E)
en ∈
/ H. Montrer que {e1 , . . . , en }
f dans cette base.
vectoriel de
tel que rg (f
−
est une base de
(X − 1)(X − det(f )) annule f. Donner une condition nécéssaire
soit diagonalisable.
un espace vectoriel de dimension
∃m ∈ N, um = 0. Montrer que
nilpotent, c'est à dire tel que
n
un
n, et u
un = 0
un endomorphisme de
E
33 Polynômes d'endomorphismes
Exercice 1578
211
A
Déterminer toutes les matrices
M2,2 (R)
de
telles que
A2 − 3A + 2id = 0
Même question pour
Exercice 1579
A3 − 8A2 + 21A − 18id = 0
Énoncer le théorème de Cayley-Hamilton. Le démontrer dans le cas particulier
où le polynôme caractéristique est scindé à racines simples.
[Exercice corrigé]
Exercice 1580
1. Réduire la matrice


2 0 0
A = 3 −4 3
3 −6 5
2. Donner un polynôme annulateur de
A
3. En déduire qu'il existe des coecients
fonction de
Exercice 1581
Exercice 1582
Exercice 1583
de degré 2.
an
et
bn
tels que
An = a n A + b n
et les calculer en
n.
Soit A ∈ M2 (C) de trace non nulle. Montrer que toute matrice M ∈
A2 commute aussi avec A. (
utiliser Cayley-Hamilton.)
Indication :
qui commute avec
M2 (C)
Que peut-on dire d'un endomorphisme d'un K -espace vectoriel de dimension
3
2
nie annulé par les polynômes P = 1 − X et Q = X − 2X + 1 ?
Soient
E
un
que le polynôme minimal de
K -espace vectoriel de dimension nie et f ∈ L(E).
f est P = (X − 2)(X − 1)2 . Quel est le polynôme
On suppose
minimal de
f + IdE ?
Exercice 1584
Exercice 1585
Soit
déduire le polynôme
M ∈ Mn (K) une
minimal de M.
matrice diagonale. Si
P ∈ K[X],
calculer
P (M )
et en
En appliquant la méthode utilisée en cours pour démontrer l'existence d'un
polynôme annulateur d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension nie, déterminer
2 1
le polynôme minimal de la matrice B = ( −1 1 ).
Exercice 1586
Exercice 1587
E
Exercice 1588
n
Exercice 1589
Quel est le polynôme minimal d'un endomorphisme d'une droite vectorielle ?
Soient
E
un espace vectoriel de dimension
de rang 1. Montrer que le polynôme minimal de
f
n>2
et
est de la forme
Déterminer les endomorphismes d'un
K -espace
f un endomorphisme
X(X − λ).
vectoriel
E
de
de dimension nie
dont le polynôme minimal est de degré 1.
matrice
A=
2
Montrer que P = (X − 1) (X − 2) est un polynôme annulateur de la
1 0 0
0 1 0
et en déduire le polynôme minimal de la matrice A.
0 0 2
1.
B ∈ M2 (C). Calculer explicitement B 2 − tr(B) B +det(B)I2 . En déduire le polynôme
3 1
minimal de la matrice B = ( −1 1 ).
2. Soit
Exercice 1590
Exercice 1591
Soient
E
un
nôme minimal. Montrer que
que
f
Soit
f
f
K -espace
f ∈ L(E)
P (0) 6= 0.
vectoriel de dimension nie,
est bijective si et seulement si
un endomorphisme d'un
R-espace
vectoriel
E
et
P
son poly-
de dimension 3. Montrer
admet un plan stable (on discutera en fonction du caractère trigonalisable de
f ).
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation
Exercice 1592
Soit
f
212
K -espace
un endomorphisme d'un
vectoriel
E
de dimension nie tel
que
f 4 = f 2 + f.
1. Montrer que
2.
ker(f 3 − f − Id) ⊕ ker f = E.
(a) Montrer que Im
f ⊆ ker(f 3 − f − Id).
f = ker(f 3 − f − Id).
(b) En déduire que Im
Exercice 1593
Exercice 1594
1. Calculer
Déterminer le polynôme minimal de la matrice
Soient
M2
et
J = ( 11 11 )
M3
A=
7 3 −4
−6 −2 5
4 2 −1
.
et la matrice par blocs à coecients réels suivante
M=
et en déduire que
M
1
J
2
O
1
J
2
O
.
est diagonalisable.
2. Déterminer le polynôme caract eristique et le polynôme minimal de
Exercice 1595
M.
On considére la matrice


3 −2 −1
1 .
A =  2 −1
6
3 −2
Calculer son polynôme caractéristique, calculer
Cayley-Hamilton l'inverse de
Exercice 1596
désigne par
j
et déduire de ces calculs et du théorème de
A.
E = C 4 muni de sa base canonique b = (e1 , e2 , e3 , e4 ).
de E dont la matrice dans b est la matrice suivante


0 1 0 0
 0 0 1 0 

J =
 0 0 0 1  ∈ M4 (C).
1 0 0 0
On se place dans
l'endomorphisme
1. Déterminer l'image de
2. En déduire
A2
J 2, J 3
et
b
par
j, j 2 , j 3 ,
et
j 4.
J 4.
3. Déterminer un polynôme annulateur non nul de
4. Montrer que si
P ∈ C[X]
avec
deg(P ) 6 3
5. En déduire le polynôme minimal de
6. Montrer que
J
J.
vérie
P (J) = 0
alors
P = 0.
J.
est diagonalisable.
7. Déterminer les valeurs propres de
J.
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation
34.1 Valeurs propres, vecteurs propres
Exercice 1597
Soit
m∈R
et
Am ∈ M3 (R)
la matrice


m 1 1
1 m 1.
1 1 m
On
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation
1. Calculer les valeurs propres de
Am
2. Déterminer suivant les valeurs de
A−1
m .
3. Lorsque
Am
213
et une base de vecteurs propres.
m
le rang de
Am .
Déterminer lorsque cela est possible
n'est pas inversible déterminer le noyau et l'image de
Exercice 1598
Am .
Soit A ∈ On (R). Montrer que si −1 n'est pas valeur propre de A, alors il existe
Q antisymétrique (i.e. t Q = −Q) telle que A = (I +Q)−1 (I −Q) = (I −Q)(I +Q)−1
A ∈ SOn (R). Réciproque ?
une matrice
et qu'on a
Exercice 1599
si
et
λ est valeur
λ 6= 0).
propre
Exercice 1600
n sur
K=R
E un K-espace vectoriel de dimension nie et f, g ∈ L(E). Montrer que
de g ◦ f alors λ est valeur propre de f ◦ g (on distinguera les cas λ = 0
Soient
1. Soient
ou
C,
f
et
g deux endomorphisme s d'un espace vectoriel E de dimension
ayant chacun
n
valeurs propres
f ◦ g = g ◦ f ⇐⇒ f
2. Supposons maintenant que
qu'un espace vectoriel
de
f
est
F
et
g
distinctes dans
K.
Montrer que
ont les mêmes valeurs propres .
K = C et que f ◦ g = g ◦ f . Si u est un endomorphisme on dit
u−stable si u(F ) ⊂ F . Montrer que tout sous-espace propre
est
g−stable.
Remarque
: On peut montrer par récurrence sur
f et g .
à
3. Considérons
f
et
g
n qu'il existe un vecteur propre commun
On admettra ce résultat.
deux endomorphismes de
R3
dont les matrices dans la base canonique
sont respectivement


1 0 0
M =  0 0 −1 
0 1 2
Vérier que
Déterminer
Exercice 1601
matrice

0 1 1
N =  −1 1 −1 
1 1 3
f ◦ g = g ◦ f et déterminer les sous-espaces propres de M et N .
3
une base de R dans laquelle les matrices de f et g sont diagonales.
Soient
A ∈ M4 (R)
et
B ∈ M3 (R).
Soit
f
l'endomorphisme
associé à la
A.


5 3 −1 3
 0 −1 1 2 

A=
 0 2
1 2 
0 0
0 1
1.
et

Uniquement
propre de
A,
Exercice 1603

5 3 −1
B =  0 −1 1 
0 2
1
A, trouver
f −stables.
en examinant la matrice
puis deux sous-espaces
2. Que représente la matrice
Exercice 1602

Soit
On note
a0 = det(u)
mêmes valeurs propres.
u
et
v
et un vecteur
B?
u ∈ End(E).
Soient
deux valeurs propres
χu = (−1)n X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 .
et
Montrer que
an−1 = (−1)n−1 tr(u)
deux endomorphismes de
E.
Montrer que
u◦v
et
v◦u
ont les
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation
214
Exercice 1604
Soient u et v deux endomorphismes de E qui commutent, c'est à dire tels que
u ◦ v = v ◦ u. On suppose que v admet n valeurs propres distinctes. Montrer qu'il existe une
base de E , formée de vecteurs propres communs à u et à v .
n
En déduire qu'il existe (a0 , . . . , an−1 ) ∈ K tel que
u = a0 id + a1 v + · · · + an−1 v n−1
Exercice 1605
On considère les matrices suivantes :

1
0 0 −1
−1 −1 0 1 

A=
−2 0 0 2 
0 −1 0 0


1
0
0 −1
−1 −1 0
1

B=
−1 −1 1
3
−1 0 −1 −1


0 −1 0
0
0
0
0
0

C=
1
1
1
1
−1 0 −1 −1
En eectuant le moins de calculs possible,
1. montrer que
et déterminer les
{0} ⊂ Ker A ⊂ Ker A2 ⊂ Ker A3 = R4
2
dimensions respectives de Ker A et Ker A ,
2. déterminer un vecteur
e1
R4 = Ker A2 ⊕ Vect(e1 ),
tel que
3. montrer que
(e1 , Ae1 , A2 e1 )
est une famille libre,
4. montrer que
Ae1 ∈ Ker A2 ,
et que
5. montrer que
A2 e1 ∈ Ker A
Ker A2 = Ker A ⊕ Vect(Ae1 ),
et déterminer un vecteur
e2
tel que
Ker A = Vect(A2 e1 ) ⊕
Vect(e2 ),
6. montrer que
7. Soit
−1
P
P la
AP .
(e1 , Ae1 , A2 e1 , e2 )
R4 .
matrice de passage de la base canonique à la base
Adapter ce travail à l'étude de
Exercice 1606
est une base de
Soit
J
B
(A2 e1 , Ae1 , e1 , e2 ).
C
et
la matrice


1 ··· 1

.
.
J =  ...
.
1 ··· 1
.
1. Trouver une relation entre
J
J 2.
et
2. En déduire les valeurs propres de
J
et calculer leurs multiplicités.
3. Donner le polynôme caractéristique de
Exercice 1607
Soient
A
et
B
J.
deux matrices de
Mn (R)
telles que
AB − BA = A
Le but de cet exercice est de montrer que
A
est nilpotente, c'est à dire
∃k ∈ N, Ak = 0.
On note
E
l'espace vectoriel
Mn (R)
et on considère l'application :
ψ
1. Montrer que
ψ
est linéaire de
2. Montrer par récurrence que :
E
E →
E
M 7→ M B − BM
dans
E.
∀k ∈ N ψ(Ak ) = kAk .
Caluler
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation
∀k ∈ N, Ak 6= 0.
3. On suppose que
Montrer que
ψ
215
a une innité de valeurs propres.
4. Conclure.
Exercice 1608
ractéristique de
Exercice 1609
non nuls de
E
M
Soit
M.


1 1 0
M = −1 0 0 .
2 0 −1
la matrice suivante :
En déduire
Calculer le polynôme ca-
M −1 .
f un endomorphisme de E = Cn . Soit π1 , ..., πN des endomorphismes tous
λ1 , ..., λN N nombres complexes distincts. On suppose que :
Soit
et
∀m ∈ N f
m
=
N
X
λm
k πk .
k=1
P
P (f ) = N
k=1 P (λk )πk
Q
Q = 16k6N (X − λk ) et
∀P ∈ C[X],
1. Montrer que
On considère le polynôme
nômes suivants :
Y
Qp =
(X − λk )
pour chaque
Q̃p =
et
16k6N
k6=p
2. Calculer
Q(f ).
Q̃p (f ) = πp .
4. Montrer que
On note
f ◦ πp .
Ep
Vérier alors que
En déduire que
Im πp ⊂ Ep .
πp ◦ πq =
7. En déduire que
0 si p 6= q
πp si p = q
Sp(f ) = {λ1 , ..., λN }.
λp .
x ∈ Ep ,
Réciproquement, pour
(on calculera par exemple
En déduire que
Exercice 1610
1
Qp
Qp (λp )
f?
l'espace propre associé à la valeur propre
6. Montrer que
q 6= p
les poly-
Sp(f ) ⊂ {λ1 , ..., λN }
3. Montrer que
5. Calculer
Qu'en déduit-on pour
p ∈ {1, ..., N }
πq ◦ f (x)
x ∈ Ker πq pour
puis que x = πp (x).
montrer que
de deux façons diérentes)
Ep ⊂ Im πp .
Im πp = Ep
et que
Ker πp =
L
q6=p
Eq .
Décrire géométriquement
πp .
On considère l'application suivante :
Rn [X] →
Rn [X]
P
7→ (X 2 − 1)P 0 − 2(nX + a)P
f:
Vérier que cette application est bien dénie.
Déterminer ses valeurs propres, et les espaces propres associés.
Exercice 1611
n
Soit
E
un espace vectoriel de dimension
valeurs propres distinctes
2.
(a) Soit
v
u
Com = {v ∈ L(E, E)/uv = vu}
des endomorphismes de
E
qui
est un espace vectoriel.
un élément de
à dire que si
ayant
{λ1 , ..., λn }.
1. Montrer que l'ensemble
commutent avec
n et u un endomorphisme de E
Eλ
Com.
Montrer que
est un espace propre de
v
u
u
(c'est
on a
∀x ∈
préserve les espaces propres de
associé à la valeur propre
λ,
Eλ , v(x) ∈ Eλ ).
(b) Donner la dimension des espaces propres de
propre de
u
u
et montrer que si
alors c'est aussi un vecteur propre de
v.
x
est un vecteur
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation
216
(c) A l'aide d'une base convenablement choisie, décrire tous les éléments de
montrer que
3. Montrer que
Com
est de dimension
Com,
et
n.
Vect(id, u, u2 , ..., un−1 ) ⊂ Com.
4. On veut maintenant étudier l'indépendance linéaire de la famille
Pn
i
cela, on considère n réels α0 , ..., αn−1 tels que
i=0 αi u = 0.
{id, u, u2 , ..., un−1 }. Pour
(αi ) sont solution du système :


α0 + α1 λ1 + α2 λ21 + ... + αn−1 λn−1
= 0
1


 α0 + α1 λ2 + α2 λ2 + ... + αn−1 λn−1 = 0
2
2
(∗)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.


 α + α λ + α λ2 + ... + α λn−1 = 0
0
1 n
2 n
n−1 n
(a) Montrer que les
(b)
1 λ1 λ2 ... λn−1 1
1
1 λ2 λ2 ... λn−1 Q
2
2
On rappel que : .
(λj − λi ). En déduire l'ensemble des
.
.
. =
.
. .. ..
.
.
16i<j6n
1 λn λ2n ... λn−1
n
solutions du système (∗) et conclure.
5. Montrer que
Com = Vect(id, u, u2 , ..., un−1 ).
[Exercice corrigé]
Exercice 1612
34.2 Diagonalisation
e1 , e2 , e3 formant une base de R3 . On note T
T (e1 ) = T (e3 ) = e3 et T (e2 ) = −e1 + e2 + e3 .
Soient trois vecteurs
linéaire dénie par
1. Déterminer le noyau de cette application linéaire. Donner la matrice
A
de
T
l'application
dans la base
donnée.
f1 = e1 − e3 , f2 = e1 − e2 , f3 = −e1 + e2 + e3 . Calculer e1 , e2 , e3
f1 , f2 , f3 . Les vecteurs f1 , f2 , f3 forment-ils une base de R3 ?
2. On pose
3. Calculer
T (f1 ), T (f2 ), T (f3 ) en fonction de f1 , f2 , f3 . Écrire la matrice B
en fonction de
de
T
dans cette
nouvelle base.
4.


1 1 −1
0 −1 1  .
On pose P = 
−1 0 1
−1
relation relie A, B, P et P
?
Vérier que
P
est inversible et calculer
P −1 .
Quelle
Exercice 1613
Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et de base (e1 , e2 , e3 ). On désigne
IE l'application identité de E . Soit f une application linéaire de E dans E telle que f (e1 ) =
2e2 + 3e3 , f (e2 ) = 2e1 − 5e2 − 8e3 , f (e3 ) = −e1 + 4e2 + 6e3 .
par
1. Donner la matrice de
f
dans la base
(e1 , e2 , e3 ).
2. Donner la dimension et une base de
Ker(f − IE ).
3. Donner la dimension et une base de
Ker(f 2 + IE ).
4. Montrer que la reunion des bases précédentes constitue une base de E. Quelle est la
2
matrice de f dans cette nouvelle base ? Et celle de f ?
Exercice 1614
dans
E.
Soit
E
un espace vectoriel de dimension
n
et
f
une application linéaire de
E
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation
f2 = 0
217
Imf ⊂ Kerf . Quelle condition vérie
f 2 = 0.
2. Soit F un supplémentaire de Kerf dans E et soit (e1 , . . . , er ) une base de F . Montrer
que la famille des vecteurs (e1 , . . . , er , f (e1 ), . . . , f (er )) est libre. Montrer comment la
compléter si nécessaire par des vecteurs de Kerf pour obtenir une base de E . Quelle est
la matrice de f dans cette base ?
3. Sous quelle condition nécessaire et susante a-t-on Imf = Kerf ?
3
3
4. Exemple. Soit f une application linéaire de R dans R de matrice dans la base canonique


1 0 1
M (f ) =  2 0 2 . Montrer que f 2 = 0. Déterminer une nouvelle base dans
−1 0 −1
laquelle la matrice de f a la forme indiquée dans la question 2).
1 4
Soit A =
. Trouver les valeurs propres de A et les sous-espaces
2 3
−1
propres correspondant. En déduire une matrice inversible P telle que P
AP soit diagonale.


4 1 −1

2 5 −2  . Diagonaliser A.
Soit A =
1 1 2


1 1 1
Soit A =  1 1 1  . Trouver, sans calculer le polynôme caractéristique,
1 1 1
les valeurs propres de A. Cette matrice est-elle diagonalisable ?
1. Montrer que la condition
alors le rang de
f?
est équivalente à
On suppose dans la suite que
Exercice 1615
Exercice 1616
Exercice 1617
Exercice 1618
On considère les matrices suivantes






3 1 1
1 2 2
1 1 0
A =  2 4 2  B =  1 2 −1  C =  0 1 0 
1 1 3
−1 1 4
0 0 1
Ces matrices sont-elles diagonalisables ? Si oui, les réduire.
Exercice 1619
Soit n un entier strictement supérieur à 1. Soit A une matrice n × n telle
An = 0 et An−1 6= 0. Soit x0 un vecteur de Rn tel que An−1 x0 6= 0. Montrer que
n
(x0 , Ax0 , A2 x0 , · · · , An−1 x0 ) est
 une base de R. Comment s'écrit la matrice A dans cette base ?
2
1
2

−1 −1 −1  . Calculer A3 et donner une base de R3 dans
Application : on pose A =
−1 0 −1
laquelle A a une forme simple.
que
Exercice 1620
On considère la matrice


3
2
1
M =  −1 0 −1 
−1 −1 1
Est-elle diagonalisable ? Justier. Écrire alors
Exercice 1621
base canonique
T l'application
(e1 , e2 , e3 ) de R3 :
Soit
M
linéaire de

sous une forme plus simple.
R3
dans

1 2
0
A = 1 3 −1.
1 −1 3
R3
dénie par sa matrice
A
dans la
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation
1. Donner un base de Ker
2.
T
et ImT .
(a) Calculer le polynôme caractéristique de
T
(b) Justier, sans calcul, que
blable à
A
T,
soit diagonalisable et écrire une matrice diagonale sem-
R3
formée de vecteurs propres de
f1 = −2e1 + e2 + e3 , f2 = e1 + e2 + e3
et
(f1 , f2 , f3 ) est une base
(e1 , e2 , e3 ) à la base (f1 , f2 , f3 ).
R3
(a) Justier que
base
(b) Calculer
4. Quelle relation relie

f3 = 2e1 + 3e2 − e3
D
de
T
A3 , D 3 , P
dans la base
et
P −1 ?
et écrire la matrice
(f1 , f2 , f3 )
En déduire


3 −3 −4 −1
0 2
0 −1


2 −4 −3 0 
0 2
0 −1
2 −1 1
1 0 −1
2 −2 1
Pour quelles valeurs de
Soit
u
u
.

1 0
0
1 1 −1

2 −1 1
3 −1 −1
(a, b, c) ∈ C2

0
1

1
3
la matrice

3
4

0
0

1
0
A =
0
0
−1
−1
0
0
a
1
0
0

7 −14
7 −15

3 −4 
2 −3

1 0
b 2
 est-elle
2 c
0 2
A.
R2 [X] → R2 [X]
P 7→ (2X + 1)P − (X 2 − 1)P 0
est bien dénie et linéaire. Déterminer les valeurs propres de
possible, diagonaliser
Exercice 1625
de passage de la
l'application suivante :
u:
Montrer que
P
R3 .
A3 .
diagonalisable ? On ne cherchera pas à réduire explicitement
Exercice 1624
trois vecteurs de
Lorsque c'est possible, diagonaliser les matrices suivantes :

Exercice 1623
de
T.
P −1 .
(c) Ecrire la matrice
Exercice 1622
puis ses valeurs propres.
.
(c) Calculer une base de
3. Soient
218
u,
et, si c'est
u.
A ∈ Mn (R). Montrer que si λ est une valeur propre complexe de A, alors
λ̄ est aussi une valeur propre de A. De même, montrer que si x est un vecteur propre complexe
de A, alors x̄ (où x̄ désigne le vecteur dont les composantes sont les conjuguées des composantes
de x) est aussi un vecteur propre complexe de A.


−1 1
0
−1 1 .
Diagonaliser A =  0
1
0 −1


t 1 ··· 1
.
..

.
.
.
1 t
Soit At la matrice At = 
. Sans calculer le polynôme carac.
.
.
..
 .. . .
1
1 ··· 1 t
téristique de At , montrer que (t − 1) est valeur propre. Déterminer l'espace propre associé.
Que dire de la multiplicité de la valeur propre (t − 1) ? En déduire le spectre de At . At est-elle
Exercice 1626
diagonalisable ?
Soit
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation
Exercice 1627
Pour quelles valeurs de
sables ?
a, b
et
c
les matrices suivantes sont-elles diagonali-


1 a 1
0 1 b 
0 0 c
Exercice 1628
à dire tels que
(resp. de
v ),
et


0 0 a
0 0 b 
a b c
Soient u et v deux endomorphismes diagonalisables de E , qui commutent (c'est
u ◦ v = v ◦ u). On note λ1 , . . . , λp (resp. µ1 , . . . , µq ) les valeurs propres de u
F1 , . . . , Fp les espaces propres associés (resp. G1 , . . . , Gq ).
1. Montrer que chaque
Gj
(resp.
Hij = Fi ∩ Gj .
(Hij )16j6q .
2. On pose
espaces
219
Soit
Fi ) est stable par u (resp. v ) (c'est à dire que u(Gj ) ⊂ Gj ).
i ∈ {1, . . . , p}.
Montrer que
Fi
est la somme directe des
3. En déduire l'énoncé suivant : Lorsque deux endomorphismes diagonalisables
mutent, il existe une base formée de vecteurs propres communs à
termes,
u
Exercice 1629
v
et
u
et à
v
u
et
v
com-
(en d'autres
sont diagonalisables simultanément dans la même base).
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables ? Si oui, les
réduire.


3 −1 1
A1 = 2 0 1
1 −1 2
Exercice 1630
Exercice 1631
f
Soit
f:

3 2 −2
A2 = −1 0 1 
1 1 0
P (f )

13 −5 −2
A3 = −2 7 −8
−5 4
7
P0
E
et
P
un
est diagonalisable.
un polynôme de
Rn [X],
et
f
l'application suivante :
Rn [X] → Rn [X]
P 7→ R =
reste de la division euclidienne de
A l'aide d'un polynôme annulateur de
Exercice 1632

un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel
polynôme. Montrer que
Soit

Soit
α
et
β
f,
montrer que
deux réels, et
A
f
P
par
P0
est diagonalisable.
la matrice suivante :


1
−α −α
1
1 − β α α − 1 −β 

A=
 β
−α 1 − α 1 + β 
0
α
α
0
α et β , A est-elle diagonalisable ?
β = 0. Vérier que A(A − I) = 0. En
A quelle condition sur
On suppose
α=0
Exercice 1633
sur
et
déduire
An
et
(A + I)−1
.
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables, sur
C?
Lorsqu'elles sont diagonalisables, donner une matrice diagonale semblable.

3
1
A=
2
1

2 −1 −2
3 −1 −1

2 0 −2
2 −1 0
Réduire explicitement
A
et
C.


1 2 −1 1
1 1
1 −1

B=
3 −4 5 −3
0 0
0
2


−1 0 1
C =  1 −1 0
−4 2 2
R
et
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation
Exercice 1634
nie
n,
tel que
On considère un endomorphisme
f2
f
1. On suppose que
et
d'un
espace vectoriel
C
E
de dimension
est diagonalisable. Le but de cet exercice est de démontrer que :
f
A,
f
220
E1 , ..., Er
⇔ Ker f = Ker f 2
est diagonalisable
est diagonalisable. On note
α1 , ..., αr
les valeurs propres (distinctes) de
les espaces propres associés.
(a) Montrer que si
Ker f = {0}
alors
Ker f 2 = {0}.
Ker f 6= {0}. On note αα1 , ..., ααr les autres valeurs
f , et E0 , ..., Er ses espaces propres. En utilisant que E = E0 ⊕E1 ⊕...⊕Er ,
2
2
que si f (x) = 0 alors f (x) = 0. En déduire que Ker f = Ker f .
(b) On suppose maintenant que
propres de
montrer
2. On suppose que
Ker f = Ker f 2 .
(a) Montrer que si
i. Soit
µ
est une valeur propre de
f,
alors
µ2
est une valeur propre de
f 2.
λ une valeur propre non nulle de f 2 , et µ et −µ ses deux racines complexes.
Montrer que
Ker(f − µid) ⊂ Ker(f 2 − λid)
et que
Ker(f + µid) ⊂ Ker(f 2 − λid).
ii. Montrer que
Ker(f 2 − λid) = Ker(f − µid) ⊕ Ker(f + µid)
(remarquer que
∀y ∈ Ker f 2 y =
(b) Montrer (avec soin) que
Exercice 1635
f
1
((f
2µ
+ µid)(y) − (f − µid)(y))).
est diagonalisable.
La matrice suivante est-elle diagonalisable, triangularisable ? Eectuer expli-
citement la réduction.


3
2
4
A = −1 3 −1
−2 −1 −3
[Exercice corrigé]
Exercice 1636
Soit
J =
polynôme annulateur de
A,
1
1
2 2
1 1
2 2
et
A =
montrer que
A
0
J
J
0
. Calculer
A,
A,
φA :
φA
A l'aide d'un
puis donner les valeurs valeurs propres elles mêmes ainsi que
On considère une matrice
1. Montrer que
A3 .
donner un ensemble ni contenant
leurs multiplicités. En déduire le polynôme caractéristique de
Exercice 1637
puis
est diagonalisable.
Sans chercher à calculer le polynôme caractéristique de
toutes les valeurs propres de
A2 ,
A ∈ Mnn (C)
A. [Exercice corrigé]
et l'application
φA
dénie par :
Mnn (C) → Mnn (C)
B
7→
AB
est linéaire.
Le but de l'exercice est de montrer que
φA
est diagonalisable si et seulement si
A
est
diagonalisable.
φ2A (B),
P (φA ) = φP (A) .
2. Calculer
φkA (B)
pour
k ∈ N.
En déduire que si
P
est un polynôme, alors
P est un polynôme annulateur de A si et seulement si P
φA .
3. En déduire que
annulateur de
puis
est un polynôme
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation
φA
4. Montrer que
Exercice
 1638
n
A
est diagonalisable si et seulement si
221
A
(a1 , ..., an ) ∈ Cn
nombres complexes

l'est.
avec
a2 6= 0,
on associe la matrice
a1 a2 · · · an
 a2



An =  .
.
.
.

an
0
An .
1. Quel est le rang de
Qu'en déduit-on pour le polynôme caractéristique
2. Calculer
χ2 , χ3 .
3. On pose
bn = a22 + · · · + a2n .
4. Si
bn = 0, An
5. Si
bn 6= 0,
Exercice 1639
Par récurrence, montrer que
χn
de
An ?
χn = (−X)n−2 (X 2 − a1 X − bn ).
est-elle diagonalisable ?
à quelle condition
Soit
A
An
la matrice
est-elle diagonalisable ?


1 −1 −1
A = −1 1 −1.
−1 −1 1
Calculer
t
A.
La matrice
A
est-elle
diagonalisable ?
Trouver une matrice
Exercice 1640
que
up = 0
Soit
orthogonale telle que
E
un espace vectoriel de dimension nie, et
p. Quelles
n
que u = 0.
pour un certain entier
est-il diagonalisable ? Montrer
Exercice 1641
P −1 AP
P
soit diagonale.
u un endomorphisme de E tel
u. A quelle condition u
sont les valeurs propres de
Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonali-
sables, triangularisables ?


3 0 0
A = 2 2 0
1 1 1
B,
A l'aide du polynôme caractéristique de
[Exercice corrigé]
Exercice 1642
1. Calculer
Soit
t
A.
A
la matrice
La matrice
2. Diagonaliser
A.
3. Diagonaliser
A
A


2 −2 1
B =  3 −3 1
−1 2 0
calculer
B −1 .


1 −1 −1
A = −1 1 −1.
−1 −1 1
est-elle diagonalisable ?
dans une base orthonormée (pour le produit scalaire usuel de
R3 ).
[Exercice corrigé]
Exercice 1643
Dans l'espace vectoriel
u :
1. Ecrire la matrice
2.
R3 [X],
on considère l'application linéaire suivante :
R3 [X] → R3 [X]
P 7→ P (0)X 3 + P 0 (0)X 2 + 12 P 00 (0)X + 16 P 000 (0)
A
de
u
dans la base canonique. Calculer
A2 .
u est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une base de R3 [X] formée de vecteurs propres de
u.
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation
Exercice 1644
et l'application
Tα
suivante :
R[X] → R[X]
P
7→ X(X − 1)P 00 + (1 + αX)P 0
Tα :
n > 0, la restriction de Tα
1. Montrer que pour tout entier
de
α
On considère un réel
222
à
Rn [X] déni un endomorphisme
Rn [X].
n = 3.
2
3
(a) Ecrire la matrice de Tα dans la base (1, X, X , x ).
(b) Déterminer les valeurs propores de Tα . On les note λ0 , λ1 , λ2 , λ3 .
(c) Déterminer les valeurs de α pour lesquelles Tα a des valeurs propres multiples.
(d) Donner un vecteur propre de Tα pour chaque valeur propre, lorsque α = −1, puis
α = −4. L'endomorphisme T−4 est-il diagonalisable ?
On suppose maintenant n > 3.
2
n
(a) Ecrire la matrice de Tα dans la base (1, X, X , ..., X ).
(b) Déterminer les valeurs propores de Tα . On les note λ0 , λ1 , ..., λn .
(c) Déterminer les valeurs de α pour lesquelles Tα a des valeurs propres multiples. Dans
2. On suppose pour cette question que
3.
chaque cas, donner la liste des valeurs propres avec leurs multiplicités
Ker Tα et de Im Tα lorsque α ∈
/ {1 − n, ..., −1, 0}.
α = −1, puis α = 0. L'endomorphisme T0 est-il diagonali-
(d) Déterminer la dimension de
Ker Tα
(e) Déterminer
pour
sable ?
α = p − 1 avec p ∈ {1, ..., n}, donner un polynôme P de degré inférieur ou
tel que Tα (P ) = 0. En déduire Ker Tα . Préciser sa dimension.
λk une valeur propre simple de Tα . Donner un vecteur propre de Tα associé à
(f ) Lorsque
n
égal à
(g) Soit
λk .
Exercice 1645
f
Exercice 1646
ment si
Soient
Rn
f∈
euclidien,
est une symétrie orthogonale.
n
. Montrer que
f
est diagonalisable si et seule-
Diagonaliser en base orthonormale les matrices suivantes :

0
0
a1
 ..
.
.

.
A= .
 0 ...
a1 . . .
.
.
.
.
.
.
0
an−1
an
Peut-on déterminer
a, b
an−1
tels que
Montrer que si
Soit
f
B


...
Exercice 1647
Exercice 1648
O (R)
a



 b
 , ai ∈ R; B = 


b
..
.
..
.
..
.
..
.
b



 , a, b ∈ R.
b 
a
soit la matrice d'un produit scalaire ?
A est une matrice symétrique réelle, alors A + iI
un endomorphisme de
C
3
est inversible.
dont la matrice par rapport à la base cano-
nique est :


2 −1 1
M =  −1 k 1  ,
1
1 2
où
k ∈ C.
(a) Déterminer, suivant les valeurs de k, la dimension du noyau de f .
(b) Montrer que M admet une valeur propre réelle entière indépendante de k, et calculer toutes
les valeurs propres de
(c)
M.
Indiquer toutes les valeurs de
Pour quelles valeurs de ces
k
k
pour lesquelles on obtient des valeurs propres multiples.
la matrice
M
est-elle semblable à une matrice diagonale ?
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation
Exercice 1649
1. Montrer que
2. Calculer
sur
A ∈ Mn (R)
Soit
n
est pair,
223
A2 = −I.
telle que
n = 2p.
SpR (A) et montrer SpC (A) = {i, −i}. Pour quelle raison A est elle diagonalisable
C?
{y1 , . . . yk } est une base de Ei , alors {y1 , . . . yk } est une base de E−i . Quelle
valeur de k ?
3. Montrer que si
est donc la
A
4. Démontrer que
chacun des blocs diagonaux est
Exercice 1650
M
n (R)) à une
0 −1
. (on pourra
1 0
est semblable (dans
M
Soient
N ∈ Mn (K).
et
On note
matrice diagonale par blocs dont
utiliser la question 3.)
ϕM ∈ L(Mn (K))
l'application
N 7→
M N − N M.
1. Soient
A=
3 −4
2 −3
et
B=
1 2
.
0 1
Diagonaliser
A
et montrer que
B
n'est pas diago-
nalisable.
N
est un vecteur propre associé à une valeur propre non nulle λ de ϕM
k
k
k
est nilpotente. (on pourra établir que pour tout k ∈ N : M N − N M = kλN .)
2. Montrer que si
alors
N
3. Montrer que l'identité n'appartient pas à l'image de
4. Soit
6. Etablir la réciproque lorsque
Exercice 1651
lorsque
ϕM .
(utiliser la trace.)
1 0
. Diagonaliser ϕD puis ϕA . Montrer que ϕB
0 −1
que si M est diagonalisable, ϕM est diagonalisable.
D=
5. Montrer
Soit
M
n'est pas diagonalisable.
a au moins une valeur propre.
E un K-espace vectoriel. Une application p ∈ L(E) est nommée projecteur
p2 = p.
1. Montrer que si
p est un projecteur 1−p est un projecteur. Montrer que Im (p)⊕Ker(p) = E.
K = R.
2. On suppose que
Soient
p
et
q
deux projecteurs tels que
p+q
soit aussi un
projecteur. Montrer que :
(a)
pq = qp = 0.
(b) Im (p
+ q) = Im(p) + Im(q).
(c) Ker (p
+ q) = Ker(p) ∩ Ker(q).
On suppose désormais
E
de dimension nie et
K = R.
3. Montrer que tout projecteur est diagonalisable et que deux projecteurs sont semblables
si et seulement si ils ont même trace.
4. Montrer que toute matrice diagonalisable est combinaison linéaire de projecteurs.
Exercice 1652
note
E un K-espace vectoriel de dimension nie, P ∈ K[X] et u ∈ L(E). On
P (Sp(u)) = {P (λ); λ ∈ Sp(u)}.
Soient
1. On suppose que
u
est diagonalisable. Montrer que
2. Montrer, dans le cas général,
3. Lorsque
P (Sp(u)) = Sp(P (u)).
P (Sp(u)) ⊂ Sp(P (u)).
K = C montrer que Sp(P (u)) ⊂ P (Sp(u)). Ce résultat est-il vrai lorsque K = R ?
Exercice 1653
Soit
E
diagonalisable. Montrer
K-espace vectoriel de dimension nie et f ∈ L(E) telle que f 2
2
que f est diagonalisable si et seulement si Ker (f ) = Ker (f ).
un
soit
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation
Exercice 1654
{e1 , e2 , e3 }
de
Soit
f ∈ L(R3 )
224
déterminée par sa matrice


1 1 1
M =  1 1 1
−1 1 1
dans une base
R3 .
1. Montrer que
M
est diagonalisable.
f
2. Montrer que la restriction de
a tout sous-espace stable est diagonalisable.
R3
3. En déduire tous les sous-espaces de
Exercice 1655
ϕ
Exercice 1656
Soit
M ∈ Mn (K)
et
M est diagonalisable si et seulement
Soit
E
un
K-espace
f.
stables par
ϕM ∈ L(Mn (K)) l'application N 7→ M N . Montrer que
si M est diagonalisable. (utiliser le polynôme minimal.)
f ∈ L(E)
vectoriel de dimension nie et
diagonalisable.
Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
{id, f, f 2 , . . . , f n−1 } est libre.
2
n−1
(ii) Il existe x ∈ E : {x, f (x), f (x), . . . , f
(x)}
(iii) Les valeurs propres de f sont simples.
(i) La famille
Exercice 1657
Soit
ρ
l'application de
reste de la division euclidienne de
1. Montrer que
ρ
2. Montrer que
ρ2 = ρ.
P
engendre
R4 [X] dans
(X 2 − 1).
E.
lui-même qui à un polynôme
En déduire que
Soit
f
ρ
est diagonalisable.
ρ.
R3 , dont la matrice dans la base canonique {e1 , e2 , e3 }


3 2 −2
A =  −1 0 1 
1 1 0
l'endomorphisme de
est
1. Calculer les valeurs propores de
2. Calculer
associe le
est linéaire.
3. Déterminer (de préférence sans calcul) une base de vecteurs propres pour
Exercice 1658
P
par
(A − I)2 .
En déduire
A.
An ,
L'endomorphisme
f
est-il diagonalisable ?
en utilisant la formule du binôme de Newton.
2
P (X) = (X − 1) et Q ∈ R[X]. Exprimer le reste de la division euclidienne de Q
0
0
par P en fonction de Q(1) et Q (1), où Q est le polynôme dérivé de Q.
En remarquant que P (A) = 0 (on dit alors que P est un polynôme annulateur de A) et
n
en utilisant le résultat précédent avec un choix judicieux du polynôme Q, retrouver A .
3. Soient
R3 par l'endomorphisme (A−I) est un sous-espace de dimension 1,
dont on désignera une base par ε2 . Déterminer ensuite un vecteur ε3 tel que f (ε3 ) = ε2 +ε3 .
Soit enn ε1 , un vecteur propre de f , non colinéaire à ε2 . Ecrire Ã, la matrice de f dans
−1
n
la base {ε1 , ε2 , ε3 }, ainsi que la matrice de passage P et son inverse P
. Retrouver A .
4. Montrer que l'image de
Exercice 1659
f
Exercice 1660
trer que
Soit
f
un automorphisme d'un
est diagonalisable si et seulement si
2
n, B = (e1 , ..., en )
E
vectoriel
K
désigne
ou
R
est une base xée de
E.
1. Quels sont les valeurs propres de l'endomorphisme nul de
2. On suppose que la matrice de
(a) 2 est-il valeur propre de
f
f?
dans
B
est
de dimension nie. Mon-
est diagonalisable.
Les questions sont indépendantes.
vectoriel de dimension nie
de
f
C-espace
M=
E?
3 2 4
−1 3 −1
−2 −1 −3
.
E
C, E est un K -espace
f un endomorphisme
et
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation
225
2e1 + e2 + e3 est-il un vecteur propre de f ?
vecteur de E ne peut-il être vecteur propre relativement
(b) Le vecteur
3. Pourquoi un
à deux valeurs
propres distinctes ?
4.
(a) Est-il vrai que si
de
f
alors
λ
λ
est une valeur propre de
est racine de
λ est une racine d'un
valeur propre de f ?
2
Montrer que si f − 2f + IdE = 0 alors 1 est
P
est un polynôme annulateur
polynôme annulateur de
alors
λ
est une
de
E
α
tel que
est bijectif.
n = 2 tel que la somme de deux
vecteurs propres de f n'est pas un vecteur propre de f .
On suppose que E = E1 ⊕ E2 et que si x ∈ E s'écrit x1 + x2 avec x1 ∈ E1 et x2 ∈ E2
alors f (x) = 2x1 − 3x2 .
7. Donner un exemple d'endomorphisme
f
f.
f − αIdE
f
valeur propre de
6. Montrer qu'il existe toujours au moins un scalaire
8.
et si
P?
(b) Est-il vrai que si
5.
f
avec
(a) Quel résultat assure l'existence d'un tel endomorphisme ?
f
(b) Montrer que
9. La matrice
est diagonalisable.
1 0 1
0 1 0
0 0 1
M=
10. Si l' endomorphisme
f
est-elle diagonalisable ?
admet 0 pour valeur propre et est diagonalisable, que peut-on dire
de la dimension du noyau de
Exercice 1661
f?
Étudier le caractère diagonalisable des matrices suivantes et le cas échéant, les
diagonaliser :
1.
A=
2.
B=
3.
C=
−2 1
1
8 1 −5
∈ M3 (R),
4 3 −3
!
1 −1 1 0 1
0 0 1 1 0
0 −1 2 0 1
∈ M5 (R),
0 0 0 1 −2
2 −3
0 0 0
0 1 0 0
1 k 1 1
∈ M4 (C), k ∈ C.
0 1 0 0
0 1 0 0
Exercice 1662
Soient
A ∈ Mn (K)
telle que tr (A)
6= 0
et
f : Mn (K) → Mn (K), M 7→ tr(A)M − tr(M )A.
1. Montrer que
2. Montrer que
de
f est un endomorphisme de Mn (K).
T = {M ∈ Mn (K) : tr(M ) = 0} et vect (A)
3. En déduire que
Exercice 1663
Exercice 1664

f
est diagonalisable et écrire la matrice réduite de
2.
f.
Montrer que si le polynôme minimal d'un endomorphisme
vectoriel de dimension nie admet une racine
1.
sont des sous-espaces propres
f.
λ∈K
alors
λ
d'un
est valeur propre de
Étudier le caractère diagonalisable des matrices suivantes

3
2
4
A =  −1 3 −1  ∈ M3 (R),
−2 −1 −3


0 ... 0 1
 ..
.
. 
.
. 

.
.
B= .
 ∈ Mn (R), n > 2,
 0 ... 0 1 
1 ... 1 0
f
f.
K -espace
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation
Exercice 1665
de rang
E
Soient
un
K -espace
226
n
vectoriel de dimension
f
et
E
un endomorphisme de
1.
1. Montrer que si
f
est diagonalisable alors tr (f )
2. Montrer qu'il existe
λ∈K
6= 0.
tel que le polynôme cararactéristique de
f
s'écrive
χf = (−1)n X n−1 (X − λ).
3.
f
(a) Montrer que
est diagonalisable si et seulement si tr (f )
A=
(b) Réduire sans calcul la matrice
1 1 −1
−2 −2 2
1 1 −1
6= 0.
∈ M3 (R)
et donner sans calcul les
sous-espaces vectoriels propres.
Exercice 1666
1. Soit
Soient les matrices
Y ∈ M3 (R)
Y
(b) En déduire que
2.
A
(a) Montrer que
1. Montrer que si
2. Soit
E
Soient
f
D
Y
est diagonale puis déterminer
un
X ∈ M3 (R)
C-espace
1. Calculer
de l'équation
2
ker(f − µ
f
2
2
n
et
f
un endomorphisme de
est diagonalisable et rg (f )
IdE )
E.
2
= rg(f ).
= ker(f − µIdE ) ⊕ ker(f + µIdE ).
ker(f ) = ker(f 2 ).
f2
est diagonalisable. Montrer que
est diagonalisable.
A=
O −In
In 0
La matrice
A
est-elle diagonalisable ?
On considère la matrice par blocs
f
A.
E
On désigne par
∈ M2n (C).
l'espace vectoriel des polynôme s à coecients réels, et par
le sous-espace des polynôme s de degré au plus
1. Montrer que pour tout
linéaire de
E
dans
2. On considère
∆2 .
X 2 = A.
A2 .
Exercice 1669
de
∈ M3 (R).
Y.
vectoriel de dimension
2. Rechercher les éléments propres de
En ,
= rg(f 2 ).
(b) On suppose en outre que
Exercice 1668
4 0 0
0 3 0
0 0 1
est diagonalisable.
Montrer que
3. On suppose rg (f )
(a) Montrer que
commutent.
est diagonalisable alors
µ ∈ C \ {0}.
∈ M3 (R), D =
et
(b) En déduire les solutions
Exercice 1667
4 0 0
2 3 0
−1 0 1
Y 2 = D.
telle que
(a) Montrer que
A=
∆2 ,
E.
x
R, ∆P (x) = (x + 1)P 0 (x) + 2P (x) dénit une
est le degré de ∆P lorsque P appartient à En ?
dans
Quel
∆
la restriction de
L'endomorphisme
n.
∆2
au sous-espace
E2 .
application
Déterminer les valeurs propres
est-il diagonalisable ? Est-ce que
∆2
est un isomorphisme ?
3. En utilisant la dénition des valeurs propres, calculer les valeurs propres et les polynôme
s propres de
Exercice 1670
u
A = (αi,j )
phisme
de
où
∆.
a = (a1 , a2 , . . . , an ) de Rn , on considère l'endomorbase canonique {eij , i, j = 1, 2, . . . , n} est la matrice
Pour tout élément non nul
n
R dont la matrice
αi,j = ai aj .
dans la
1. Déterminer le noyau et l'image de
u.
2. En déduire les sous-espaces propres de
morphisme
u
u.
est-il diagonalisable ?
3. Quel est le polynôme caractéristique de
u?
Déterminer les valeurs propres de
u.
L'endo-
35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions
Exercice 1671
Soit
B
une matrice diagonalisable
de
227
Mn (R).
On dénit son rayon spectral
par
ρ(B) = max {|λ|
1. Montrer que
λ
avec
est une valeur propre
limk−→+∞ B k = 0.
2. En déduire que
I −B
est inversible et que
+∞
X
(I − B)−1 =
Exercice 1672 (Endomorphisme diagonalisable de R )
E = R2
dont la matrice représentative
A = [a]ee
Bk.
k=0
2
de
B} .
de
a
.
On considère l'endomorphisme
e
dans la base canonique
Calculer la trace, le déterminant, le polynôme caractéristique et le spectre de
f = (f~1 , f~2 )
est
7 −10
5 −8
a. Quel théorème
Choisir ensuite f
du cours garantit l'existence d'une base
de vecteurs propres ?
e
f
~1 et f~2 , en prenant des unités
telle que [idE ]f et [idE ]e soient à coecients entiers. Dessiner f
d'axes assez petites. Dessiner quelques vecteurs ~
x et leurs images a(~x) à l'aide de f .
Trouver deux matrices P et
A = P DP −1 . Calculer [a50 ]ff ,
[Exercice corrigé]
D carrées d'ordre 2 telles que D soit
1 2n
[a50 ]ee et A50 . Calculer limn∞ 32n
a .
Exercice 1673 (Endomorphisme d'un espace de matrices)
diagonale,
Soit
K
P
inversible et
un corps commutatif
F = Mn (K) l'espace vectoriel sur K des matrices carrées d'ordre n à
Si i et j sont des entiers compris entre 1 et n, on note par Fij l'élément
de F dont le coecient (i, j) est 1 et dont les autres coecients sont nuls. Montrer que les
Fij forment une base de F . Dimension de F ? Soit D dans F et diagonale. Soient α et β
dans K et soit l'endomorphisme Φ de F qui à la matrice X fait correspondre la matrice
Φ(X) = αXD + βDX. Calculer Φ(Fij ). Φ est il un endomorphisme diagonalisable ? Donner son
polynôme caractéristique en fonction des coecients de D et de α et β .
quelconque, et soit
coecients dans
K.
[Exercice corrigé]
Exercice 1674




A=



0
1
0
···
0
0
Soit
1
0
1
···
0
0
0
1
0
···
0
0
θ ∈]0, π[.
···
···
···
···
···
···
0
0
0
···
0
1
Si
PA
det B
0
0
0
···
1
0







,B = 






A.
2 cos θ
1
0
···
0
0
1
2 cos θ
1
···
0
0
0
1
2 cos θ
···
0
0
:
···
···
···
···
···
···
0
0
0
···
2 cos θ
1
0
0
0
···
1
2 cos θ








det B =
est le polynôme caractéristique de
les valeurs propres de

n
sin(n+1)θ
(Méthode : développer par rapport à la dernière
sin θ
s'annule pour n valeurs distinctes de θ de ]0, π[, et les déterminer.
Montrer par récurrence que
ligne). Montrer que
On considère les deux matrices d'ordre
A,
calculer
PA (−2 cos θ)
et déduire de ce qui précède
Montrer que les valeurs propres des matrices
2In + A
et
2In − A
sont
strictement positives.
[Exercice corrigé]
35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions
Exercice
1675
1 1 0
−1 2 1
1 0 1
35.1 Sous-espaces stables
f de R3
y + z = 0 est-il
Soit l'endomorphisme
. Le plan
P
d'équation
M =
vect {(1, 1, 1)} est-
canoniquement associé à la matrice
stable par
f?
La droite
35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions
f?
elle stable par
Exercice 1676
f ∈ LR (E)
soit F = Im f .
Soit
dimension nie et
1.
f3 + f2 + f = 0
telle que
(a) Montrer que
F
(b) Montrer que
ker f ∩ Im f = {0}.
λ ∈ SpR (f )
(a) Montrer que si
(b) En déduire que le rang de
g
de
alors
f
f
F
à
Soient
f ∈ L(E)
dim(E) = n
3. Soit l'endomorphisme
M3 (R).
f
de
est un
R-espace
vectoriel de
f.
est un automorphisme de
F.
est pair (raisonner par l'absurde et étudier les racines
g ).
a ∈ E.
et
E
1. Montrer que le plus petit sous-espace vectoriel de
Fa = vect f k (a) : k ∈ N .
2. Montrer que si
E
λ = 0.
réelles du polynôme caractéristique de
Exercice 1677
où
est un sous-espace vectoriel stable par
(c) En déduire que la restriction
2.
228
alors
R3
contenant
a
et stable par
Fa = vect f k (a) : k = 0, ..., n − 1 .
a ∈ R3
Fa = R3 .
tel que
est
1 1 −1
−2 −2 2
∈
1 1 −1
Généraliser à un endomor-
canoniquement associé à la matrice
Montrer qu'il n'existe pas
f
A =
phisme diagonalisable.
Exercice 1678
phisme de
G
f ∈ L(E), F
par f .
Soient
induit
1. Montrer que si
P ∈ K[X]
2. En déduire que si
f
un sous-espace vectoriel de
vérie
P (f ) = 0
g
stable par
f
et
g
l'endomor-
P (g) = 0.
alors
est diagonalisable alors
E
est diagonalisable.
3. Application : trouver tous les sous-espaces vectoriels
par l'endomorphisme
1 1 −1stables
3
R canoniquement associé à la matrice A = −2 −2 2 ∈ M3 (R).
1 1 −1
Exercice 1679
A
A=
diagonalisable ? Réduire
2. Même question pour
Exercice 1680
Exercice 1681
(A )
p∈N
Exercice 1682
3
−1
−2
et déterminer
1. Montrer que
A =
2 −1 2
5 −3 3
−1 0 −2
2 4
3 −1
∈ M3 (R) est trigonalisable.
−1 −3
son polynôme minimal.
A
f
de
est-elle
∈ M3 (R).
Quel est le polynôme caractéristique d'un endomorphisme nilpotent d'un
C-
espace vectoriel de dimension nie ?
tr
p
où
Soit
A ∈ Mn (R) et soient λ1 , ..., λn
λj , j = 1, ..., n.
ses valeurs propres complexes. Exprimer
en fonction des
Soient
et
g
deux endomorphismes de
n ∈ N et f (x) = g(x)
Dans toute la suite, on suppose g nilpotent.
1. Soit
2.
x ∈ E.
f
Montrer que si
(a) Déduire de 1. que si
f
(b) Déduire de (a) que si
3.
(a) Soit
h ∈ L(E)
(b) Montrer que
est inversible alors
f +g
E
alors
f +g
est inversible alors
nilpotent. Montrer que
det(f + g) = det(f )
tels que
f g = gf .
f n (x) = g n (x).
est inversible.
f
est inversible.
det(h + IdE ) = 1.
(on distinguera selon que
f
est inversible ou non
et on utilisera les questions précédentes.
Exercice 1683
f ◦g =g◦f
et
K -espace vectoriel, f
polynôme de K[X].
Soient
P
un
E
un
et
g
des endomorphismes de
E
tels que
35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions
1. Montrer que
P (g)
f
et
229
commutent.
2. Montrer que le noyau et l'image de l'endomorphisme
P (g) sont stables par f . Donner des
cas particuliers de cette situation.
Exercice 1684
E
K -espace vectoriel de dimension nie, f un endomorphisme de E
et F un sous-espace vectoriel de E stable par f. On désigne par g l'endomorphisme de F induit
par f sur F .
Soient
1. Montrer que Sp (g)
2. Montrer que si
celui de
un
⊆ Sp(f ).
P (f ) = 0 alors P (g) = 0. En déduire que le polynôme minimal de g
f.
Exercice 1685
Montrer que si
E
Soient
f
R-espace vectoriel de dimension nie, f
un
Exercice 1686
A=
2.
B=
−2
8
4
3
−1
1
1
1
3
2
0
1
Exercice 1687
Trigonaliser les matrices réelles suivantes :
1
−5 ,
−3
−2
1
.
0
Mettre sous forme triangulaire les matrices suivantes :

4 2 −2
 1 5 −1  ;
1 3 1


0 2 2
1 
1 3 −1  .
2
−1 3 3
Soient les matrices à coecients réels suivantes
−2 −3
2
2 −2
4 −3
1
2
1. Trigonaliser les matrices
,
A, B
Soit
f
dans la base canonique
1
0
0
0
0
B=
et
A, B
B
est
et
1
0
1
−2
−3
!
C=
0
−3
0
−1
1
0
1
0
0
4
0
1
2
0
3
0
.
C.
1 1 −1
−1 3 −3
−2 2 −2
B0
de
R3
.
0 1 0
0 0 0
0 0 2
R3
dont la matrice
telle que
mat (f, B
g ∈ L(R3 )
endomorphisme
ayant pour
0
1
0
1
2
R3 = ker f 2 ⊕ ker(f − 2Id).
2. Trouver une base
Exercice 1690
1
1
2
0
0
l'endomorphisme de l'espace vectoriel canonique
A=
1. Montrer que
−1
0
−1
0
0
C.
2. Déterminer le polynôme minimal de
3. Soit
E.
alors il admet une
35.2 Trigonalisation
A=
Exercice 1689
p>2
f.

Exercice 1688
un endomorphisme de
admet un sous-espace vectoriel propre de dimension
innité de sous-espaces vectoriels stables par
1.
divise
tel que
g
g2 = f .
0
)=
Montrer que
ker f 2
.
est stable par
g.
En déduire qu'un tel
ne peut exister.


1
1
0
3/2 −1/2 ∈ M3 (R) et f
Soit A =  1/2
−1/2 1/2 3/2
3
matrice A dans la base canonique ε de R .
l'endomorphisme linéaire de
R3
35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions
1. Calculer le polynôme caractéristique de
2. Trouver une base
ε0 = {e1 , e2 , e3 }
de
R3
230
A.
telle que


2 0 0
0
Mat (f, ε ) = 0 1 1 .
0 0 1
g ∈ L(R3 ) un endomorphisme tel que f ◦ g = g ◦ f. Montrer que
2
Ker (f − Id) sont laissés stables par g. En déduire que la matrice de


λ 0 0
a b
1 1
1 1
a
0


0 a b avec
la forme Mat (g, ε ) =
=
c d
0 1
0 1
c
0 c d
valeurs possibles de a, b, c et d.
3. Soit
4. Soit
F = {B ∈ M3 (R); AB = BA}. Montrer que F
− 2Id) et
g dans ε0 est de
b
. Préciser les
d
Ker (f
est un sous-espace vectoriel de
M3 (R).
Calculer sa dimension (on pourra utiliser la question 3.).
Exercice 1691
Les questions sont indépendantes.
vectoriel de dimension nie
de
n, B = (e1 , ..., en )
K
désigne
R
est une base xée de
C, E est un K -espace
E et f . un endomorphisme
ou
E.
1. Donner un exemple de matrice de
M2 (K)
non trigonalisable.
2. Donner un exemple de matrice de
Mn (K)
à la fois non diagonalisable et trigonalisable.
f
3. Déterminer
sans calculs les valeurs propres complexes de
1 0 1
M = 010 .
1 0 1
s i sa matrice dans
n = 3 et que la matrice de f dans la base B est M =
d'équation x + 2z = 0 est stable par f.
4. On suppose que
que le plan
5. Que peut-on dire d'un vecteur générateur d'une droite stable par
6. Montrer que si l'endomorphisme
espace vectoriel stable par
Exercice 1692
f
f
et de dimension
Soit
E
k ∈ [0, n]
un espace vectoriel réel de dimension
la matrice d'un endomorphisme
u
de
E
. Montrer
f?
xée.
0
4
1
2
4.
Soit :

0 0
1 −2 

2 −1 
1 0
dans la base canonique de
1. Calculer le polynôme caractéristique de
u.
E.
Déterminer les sous-espaces propres
E1
et
E2 .
est-il non diagonalisable ? Est-il triangularisable ?
2. Déterminer les sous-espaces caractéristiques
nilpotent
35.3 Réduction de Jordan
1
 −1
U =
 2
1
u
3 2 4
−1 3 −1
−2 −1 −3
est
est trigonalisable alors il admet au moins un sous-

Pourquoi
B
F1
et
F2 . Pour k = 1, 2, donner l'ordre βk
du
(u − λk .idE )|Fk (λ1 = 1, λ2 = 2).
v ∈ F2 et v ∈
/ ker(u − 2.idE )β2 −1 , montrer que f1 = (u − 2.idE )β2 −1 (v), f1 = (u −
2.idE )β2 −2 (v), . . ., fβ2 = v forment une base de F2 .
3. Si
f = {f1 , . . . , f4 } la complétée de la base précédente par une base de F1 . Vérier
T = [u]ff est triangulaire. Décomposer T sous la forme D + N , où D est diagonale,
N est nilpotente, et DN = N D. Calculer T 5 .
4. On note
que
35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions
Exercice 1693
Exercice 1694
16n64
Exercice 1695 ρ
231
Quel est le polynôme caractéristique d'un endomorphisme nilpotent d'un
C-
espace vectoriel de dimension nie ?
Mn (C)
Donner toutes les réduites de Jordan de
tents pour
des endomorphismes nilpo-
.
Soit
R4 [X] dans
P par (X 2 − 1).
l'application de
reste de la division euclidienne de
1. Montrer que
2. Montrer que
ρ
lui-même qui à un polynôme
associe le
est linéaire.
2
ρ = ρ.
ρ
En déduire que
est diagonalisable.
ρ.
3. Déterminer (de préférence sans calcul) une base de vecteurs propres pour
Exercice 1696
P
Les matrices

0
0

0
0
0
0
0
0

0
1

0
0
1
0
0
0

et
0
0

0
0
1
0
0
0
0
1
0
0

0
0
 ∈ M4 (C)
1
0
ont-elles une racine
carrée ?
Exercice 1697
Réduire sous la forme de Jordan les matrices suivantes :

4
0

0
0


−1 1 0
1
1 2 ,
1 −1 0
Exercice 1698
Soit
E
0 0
0 1
1 2
1 −1

0
0
,
2
1


3 −1 1 −7
9 −3 −7 −1

.
0 0
4 −8
0 0
2 −4
C-espace vectoriel de dimension nie n. Soit f ∈ L(E) un endomorN (le plus petit entier p tel que f p = 0). Montrer que
un
phisme nilpotent d'indice
N = n ⇔ rangf = n − 1.
Exercice 1699
35.4 Autres réductions
Soit
u ∈ L(R4 )
de matrice dans la base canonique :


1 −1 2 −2
 0 0 1 −1 

A=
 1 −1 1 0  .
1 −1 1 0
de
u.
Trouver les valeurs propres et les sous-
2. Donner une base suivant laquelle la matrice de
u
se décompose en deux blocs diagonaux.
1. Déterminer le polynôme caractéristique
espaces caractéristiques
3. Donner les projections
Exercice
1700


Soit
Pu
Fi .
pi
de
A ∈ M3 (R)
R
4
sur
Fi .
telle que
A3 = −A
et
A 6= 0.
Montrer que
A
est semblable à
0 0 0
0 0 −1 .
0 1 0
Exercice 1701
Soient
n ∈ N \ {0}
et
f
l'endomorphisme de l'espace vectoriel R
I I
∈ M2n (R) .
matrice dans la base canonique est la matrice par blocs M = On On
n
n
1. Déterminer le polynôme caractéristique de
M.
2n
dont la
35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions
2.
f.
(a) Déterminer le noyau de
(b) Montrer que
Exercice 1702
Soit
E
f
232
est diagonalisable.
un
R-espace
vectoriel de dimension nie
n,
et
u
un endomorphisme de
E.
x0 ∈ E \ {0}. On note xk = uk (x0 ) et F le sous espace vectoriel engendré par la famille
{xk , k ∈ N}, c'est à dire l'ensemble des combinaisons linéaires nies de vecteurs de xk , k ∈ N :
(
)
N
X
F = x ∈ E / ∃N ∈ N, ∃(α0 . . . αN ) ∈ RN +1 , x =
αi xi
Soit
i=0
u, c'est à dire que ∀x ∈ F, u(x) ∈ F .
Montrer qu'il existe un entier k 6 n tel que (x0 , x1 , . . . , xk ) soit libre et (x0 , x1 , . . . , xk+1 )
soit liée. Montrer alors qu'il existe des scalaires (a0 , a1 , . . . , ak ) tels que
1. Montrer que
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
F
est stable par
xk+1 = a0 x0 + a1 x1 + · · · + ak xk
P
k+1
En déduire que le polynôme P0 = X
− ki=0 ai X i satisgfait P0 (u) (x0 ) = 0.
Montrer que pour tout x de F , il existe un polynôme P ∈ R[X] tel que x = P (u) (x0 ).
A l'aide des questions (3) et (4), montrer que ∀x ∈ F, ∃R ∈ Rk [X], x = R(u) (x0 ).
(on pourra eectuer la division eulidienne de P par P0 )
En déduire que (x0 . . . xk ) est une base de F .
Ecrire la matrice de la restriction u|F de u à F dans cette base. Quel est le polynôme
caractéristique de ũ ?
Montrer qu'il existe une base B de E dans la quelle


C1 0 · · · 0
. 

.
. 
 0 C2
MatB (u) =  .

.
..
 ..
0
0 · · · 0 Cr
où les matrices
Ci
sont des matrices Compagnon.
[Exercice corrigé]
Exercice 1703
35.5 Applications
Soit
A ∈ M3 (R)
la matrice


0 1 1
A = 1 0 1
0 0 1
Donner un polynôme annulateur de
5
et A .
Exercice 1704







A
de degré aussi petit que possible. En déduire
Résoudre les systèmes diérentiels suivants
dx
dt
=
dy
dt
= −3x − 5y
dz
dt
4x
+ 6y
= −3x − 6y − 5z







dx
dt
=
2x
+
dy
dt
=
3x
+ 3y + 4z
dz
dt
= −3x −
y
y
+
z
− 2z
A−1 , A3 ,
35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions
Exercice 1705
233
(un ) telles que :
(
∀n ∈ N un+3 + un+2 + un+1 + un = 0
u0 = 1, u1 = 2, u2 = 0
Déterminer toutes les suites
Résoudre l'équation diérentielle :
Exercice 1706
(
f 000 + f 00 + f 0 + f = 0
f (0) = 1, f 0 (0) = 0, f 00 (0) = 0
Résoudre le système diérentiel suivant :



dx
dt
dy
dt
dz
dt
= 2x(t) + 2y(t) + 2z(t)
=
x(t) + 3y(t) + 2z(t)
= −x(t) − y(t) − z(t)
Donner toutes les solutions qui satisfont
Exercice 1707
x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = −1.
Réduire la matrice


0 1 1
A = 1 1 0
1 −3 4
(c'est à dire étudier la diagonalisabilité ou la triangularisabilité de A, et donner une matrice P
telle que P −1 AP soit aussi simple que possible)
Application : Déterminer toutes les fonctions dérivables x, y, z de R dans R satisfaisant les
conditions :
 0

x = y + z
y0 = x + y

 z 0 = x − 3y + 4z
et
(on rappelle qu'il n'est pas utile de calculer P −1 ... )
Exercice 1708
Déterminer toutes les suites
(un )n∈N


 x(0) = 1
y(0) = 0

 z(0) = 0
à valeur complexes telles que :
∀n ∈ N, un+3 + 2un+2 + 2un+1 + un = 0.
Montrer que les suites réelles satisfaisant cette relation sont les suites de la forme :
un = A(−1)n + B cos(
où
A, B
et
φ
2nπ
+ φ)
3
sont des réels.
Exercice 1709
Etant donnés quatre nombres réels (u0 , v0 , w0 , x0 ), on dénit quatre nouveaux
2u0 +v0 +w0 +x0
u +2v0 +w0 +x0
nombres (u1 , v1 , w1 , x1 ) en calculant les moyennes suivantes : u1 =
, v1 = 0
,
5
5
u0 +v0 +2w0 +x0
u0 +v0 +w0 +2x0
w1 =
, et x1 =
. En itérant ce procédé, on dénit quatre suites (un ),
5
5
(vn ), (wn ), et (xn ) telles que pour tout n ∈ N on ait :

un+1 = 15 (2un + vn + wn + xn )





 vn+1 = 1 (un + 2vn + wn + xn )
5

wn+1 = 15 (un + vn + 2wn + xn )





xn+1 = 15 (un + vn + wn + 2xn )
35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions
1. Ecrire la matrice
A
234
B = 5A.
associée à cette relation de récurrence, et la matrice
dire de la diagonalisabilité de
2. Sans calculer le polynôme caractéristique de
B,
montrer que
1
est valeur propre de
Quelle est la dimension de l'espace propre associé ? Que dire de la multiplicité de
valeur propre de
B,
déterminer toutes les valeurs propres de
4. Donner un polynôme annulateur de
B
de degré 2.
5. En déduire l'existence de deux réels
an
et
an
n→∞ 5n
lim
B.
1 comme
B?
3. En utilisant la trace de
6. Calculer
Que
B?
et
et donner sa limite.
bn
.
n→∞ 5n
lim
B.
bn , que l'on calculera, tels que B n = an B + bn I .
(An )n∈N
En déduire que la suite de matrices
est convergente
(On rappelle qu'une suite de matrices Mn est dite convergente si chaque suite de coecient est convergente. On pourra utiliser sans démonstration la continuité des opérations
élémentaires sur les matrices pour cette notion de limite, c'est à dire que :
- si (λn ) est une suite convergente alors pour toute matrice M , la suite (λn M ) est
convergente et lim (λn M ) = ( lim λn )M
n→∞
n→∞
- si (Mn ) est une suite de matrices convergente alors pour tout vecteur X , la suite de
vecteurs (Mn X) est convergente et lim (Mn X) = ( lim Mn )X .)
n→∞
7. En déduire que les suites
n→∞
(un )n∈N , (vn )n∈N , (wn )n∈N ,
et
(xn )n∈N
sont convergentes, et
donner leur limite.
Exercice 1710
(xn ), (yn ) et (zn ) telles

 xn+1 = xn + yn
yn+1 = yn + zn
∀n ∈ N,

zn+1 = zn + xn
Donner toutes les suites
Parmi les solutions de ce système, donner celle qui satisfait
[Exercice corrigé]
Exercice 1711
Écrire la matrice
Dn−1
et
Soit
An
a
que :
x0 = 2
et
n équations

 a x1 − x 2 = 0
−xp−1 + a xp − xp+1 = 0 (2 6 p 6 n − 1)

−xn−1 + a xn = 0
un réel. On considère le système à
associée à ce système. On note
Dn = det An .
(on notera ω = e 3 )
iπ
y0 = z0 = 1.
et
n
inconnues suivant :
Calculer
Dn
en fonction de
Dn−2
Exercice 1712
1. Calculer

On considère la matrice
A t A.
Que vaut
det A

a −b −c −d
b a
d −c 
,
A=
 c −d a
b 
d c −b a
avec
(b, c, d) 6= (0, 0, 0).
au signe près ?
4
2. En étudiant le signe du terme en a dans le déterminant de A, montrer que det A =
2
2
2
2 2
(a +b +c +d ) . Sans calcul supplémentaire, en déduire que le polynôme caractéristique
2
2
2
2 2
de A est χA = ((a − X) + b + c + d ) .
3.
A
est-elle diagonalisable sur
R?
(justier)
35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions
235
√
a = 1, b = c = d = −1. Vérier que (i 3, 1, 1, 1)
propres de A, puis diagonaliser A sur C.
4. On se place maintenant dans le cas où
et
√
(−1, i 3, −1, 1)
sont des vecteurs
5. Application : résoudre le système récurent suivant (il n'est pas nécessaire de calculer
l'inverse de la matrice de passage de la question précédente). On notera
eiπ/3 .


un+1



vn+1
w

n+1


hn+1
[Exercice corrigé]
Exercice 1713
=
un + vn + wn + hn
= −un + vn − wn + hn
= −un + vn + wn − hn
= −un − vn + wn + hn
u0



v0
w

0


h0
X 0 = AX où A


3
2
4
A = −1 3 −1 ∈ M3 (R).
−2 −1 −3
3 2 4 −1 3 −1
Soit la matrice A =
∈ M3 (R).
−2 −1 −3
n
méthodes, calculer A , pour n ∈ N. Montrer que
Résoudre le système diérentiel
=
=
=
=
√
ω = 1/2+i 3/2 =
1
0
0
0
est la matrice :
Exercice 1714
Par diérentes
pour
n∈Z
Exercice 1715
R
3
la formule obtenue a un sens
et donner plusieurs méthodes pour établir sa validité dans ce cas.
Soit l'endomorphisme
est :
f ∈ L(R3 ) dont
−2 1 1 M = 8 1 −5 .
la matrice dans la base canonique de
4 3 −3
1. Déterminer toutes les droites vectorielles de
2. Déterminer toutes les plans vectoriels
P
de
R3
R3
stables par
stables par
le polynôme caractéristique de la restriction de
f
à

Exercice 1717
R3

4 1 0
B = 0 4 1 ,
0 0 4
Soit
E
(on commencera par étudier
stables par
M
Calculer les puissances et l'exponentielle ( e
vantes :
f
P ).
3. Donner la liste de tous les sous-espaces vectoriels de
Exercice 1716
f.
=
Mk
k=0 k! ) des matrices sui-


3
2
4
A = −1 3 −1 .
−2 −1 −3
un espace vectoriel réel de dimension nie
n.
sable. Donner une condition nécessaire et susante pour qu'il existe
2
Dans le cas d'existence de g , donner le nombre exact de g tel que g
Application
f.
P+∞
Soit f ∈ L(E) diagonalig ∈ L(E) tel que g 2 = f .
= f.
Soit :


5 1 −1
M =  2 4 −2  .
1 −1 3
Montrer qu'il existe
Exercice 1718
Indication
N ∈ M3 (R)
Soit
telle que
M ∈ Mn (C).
N2 = M.
Montrer que
M
Déterminer une
et
t
M
N.
sont semblables.
: le montrer d'abord pour des blocs de Jordan n'ayant que des
1
au-dessus de la
diagonale.
Exercice 1719
que
M
et
2M
Soit
M ∈ Mn (C).
soient semblables.
Donner une condition nécessaire et susante sur
M
pour
35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions
Exercice 1720
ayant
n
Soit
a ∈ L(E)
236
K -espace
un endomorphisme d'un
vectoriel de dimension
n
valeurs propres distinctes. On pose
C = {u ∈ L(E) : au = ua} .
1. Soit
u ∈ C.
a
(a) Montrer que tout sous-espace vectoriel propre de
u
(b) En déduire que
2.
C
(a) Montrer que
est un sous-espace vectoriel de
n−1
(IdE , a, ..., a
)
et que
dim C = n.
L(E)
(raisonner par
a.)
C = {P (u) : P ∈ K[X]}.
(c) En déduire que
1. Soit
L(E)
est une famille libre de
l'absurde et utiliser le polynôme minimal de
est une base de
u.
est diagonalisable.
(b) Montrer que la famille
Exercice 1721
est stable par
f ∈ L(E) un endomorphisme et a ∈ E tels que la famille (a, f (a), ..., f n−1 (a))
Soient
E.
P ∈ K[X] \ {0}
un polynôme annulateur de
f.
Montrer que
deg(P ) > n
(raisonner
par l'absurde).
2. En déduire que le polynôme minimal de
de
f
est (au signe près) le polynôme caractéristique
f.
Exercice 1722
Donner un exemple de deux matrices de
M4 (R)
ayant même polynôme ca-
ractéristique et même polynôme minimal et pourtant non semblables. Qu'en est-il pour deux
matrices de
M2 (R) ?
Exercice 1723
Soit le
R-espace
vectoriel
S = (un )n∈N ∈ RN : ∀n > 3, un = 3un−1 − 3un−2 + un−3 .
1. Montrer que l'application
f : S → R3 , u = (un )n∈N 7→ (u0 , u1 , u2 )
est un isomorphisme de
R-espace vectoriels.
0 1 0
0 1
A = 01 −3
∈ M3 (R), σ ∈ L(R3 )
3
2. Soient la matrice
associé à
A
et, pour
déduire une base de
Exercice 1724
Soient
relations de récurrence
Calculer les valeurs de
Exercice 1725
Exercice 1726
Exercice 1727
Soit
xn , y n
et
zn
en fonction de
. Montrer que
σ(Un−1 ) = Un
x0 , y 0
et
et en
z0 .
K-espace vectoriel de dimension nie et f ∈ L(E) telle que f 2 = f.
t ∈ R l'endomorphisme ft = id + tf est inversible ? Calculer ft−1 .
un
Etudier les solutions (suivant
Soit
l'endomorphisme canoniquement
(xn )n∈N , (yn )n∈N et (zn )n∈N trois suites de nombres réels satisfaisant aux
:

xn+1 = yn − xn + zn
yn+1 = xn − yn + zn

zn+1 = xn + yn − zn
E
Pour quelles valeurs de
n > 2, Un = (un−2 , un−1 , un ) ∈ R
S.
3
A ∈ Mn (K).
On note
A)
dans
M2 (C)
de l'équation
X 2 = A.
C(A) = {B ∈ Mn (K); AB = BA}.
35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions
1. On suppose que
A
237
a des valeurs propres simples. Montrer que les propriétés suivantes
sont équivalentes :
i)
B ∈ C(A).
ii)
B
a une base de vecteurs propres en commun avec
iii) Il existe
P ∈ Kn−1 [X]
iv) Il existe
P ∈ K[X]
tel que
tel que
A.
B = P (A).
B = P (A).
n = 3 (pour simplier) et que A est diagonalisable avec une valeur propre
Déterminer C(A).
2. On suppose que
double.
Exercice 1728 Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des
autres.


a+1 1−a a−1
3
2a − 3 ∈ M3 (R) une matrice dépendant d'un paramètre réel a
Soient Ma =  −1
a − 2 2 − a 3a − 2
3
3
et fa l'endomorphisme linéaire de R ayant pour matrice Ma dans la base canonique de R .
On nomme racine carrée d'une matrice M ∈ Mn (R) toute matrice N ∈ Mn (R) telle que
N 2 = M.
3
On désigne par I la matrice identité et, pour toute base ε de R , on note Mat (fa , ε) la matrice
représentant l'endomorphisme fa dans la base ε.
I
1. Calculer les valeurs propres de
Ma
en fonction de
a.
Pour quelle raison la matrice
Ma
est-elle triangularisable ?
2. Pour quelles valeurs du paramètre
a
la matrice
II
Ma
est-elle diagonalisable ?
On pose maintenant (questions 3 et 4) a = 2.
3. Diagonaliser
4.
(a) Soit
M2 .
Déterminer une racine carrée
g ∈ L(R3 )
telle que
g 2 = f2 .
déterminer le polynôme minimal de
sont laissés stables par
A
de
M2 .
Montrer que
f2 ).
g
est diagonalisable (on pourra
Montrer que les sous-espaces propres de
f2
g.
(b) Démontrer que la matrice
4 0
0 4
a une innité de racines carrées. En déduire
l'existence d'une innité de racines carrées de
III
M2 .
Montrer que M1 = 2I
n
déduire la valeur de (M1 ) , pour tout
+ N avec N nilpotente (telle que N 2 = 0). En
n ∈ N. Déterminer deux réels α et β tels que
αI + βN
IV
5. On pose
a = 1.
soit une racine carrée de
M1 .
On pose désormais (questions 6 et 7) a = 0.
R =Ker(f02 )
⊕ Ker(f0 − 2I).
0 1 0
Mat (f0 , ε) = 0 0 0 .
0 0 2
6. Montrer que
ait :
7. Soit
par
3
Déterminer une base
g ∈ L(R3 ) un endomorphisme tel que g 2 = f0 .
g. En déduire que f0 n'a pas de racine carrée.
ε
de
R3
telle que l'on
2
Montrer que Ker (f0 ) est laissé stable
36 Fonctions convexes
238
Sixième partie
ANALYSE 3
Exercice 1729
36 Fonctions convexes
Soient
n ∈ N∗
x1 , . . . , xn ∈]0, +∞[.
et
log,
1. En utilisant la concavité du
2. Montrer que
1
Exercice 1730
lim f =
Exercice 1731
que
1
(x1 . . . xn ) n >
3. En déduire que
Soit
montrer que
1
+...+ x1
x1
n
1
(x1 . . . xn ) n 6
.
n! 6 ( n+1
)n .
2
f
une fonction
C2
sur
convexe croissante et non constante. Montrer
R
tûûûûûût.
+∞
Soient
1. Montrer que
2. Soient
p
et
q ∈]0, +∞[
∀x, y > 0 xy 6
xp
p
+
x 1 , . . . , x n , y1 , . . . , y n > 0
tels que
yq
q
1
p
+
1
q
= 1.
.
tels que
n
P
xpi =
i=1
3. Soient
x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn > 0.
n
X
i=1
4. Soit
p > 1.
En écrivant
Minkowski :
5. Soit
(an )
n
P
yiq = 1.
i=1
i=1
i=1
(xi + yi )p = xi (xi + yi )p−1 + yi (xi + yi )p−1 ,
i=1
un =
(vn )
n
P
i=1
a2k
et
vn =
Soit
f
0
f ∈ C 2 (R)
¯
R
Montrer que
g
est
Exercice 1734
Exercice 1735
alors
(vn )n
+∞.
+∞ (on
pourra utiliser des
1
un intervalle de R, J = x;
∈I
x
+∗
est un intervalle de R , puis que si (x, y) ∈
aussi.
.
I 2,
I,
et
Soit
f :R→R
et une formule de
alors :
Soit
(an )n∈N ∈ (R+∗ ) , un =
dénie sur
convexe majorée. Que dire de
N
ε
1
1
1
= µ + (1 − µ) .
λx + (1 − λ)y
x
y
g dénie sur J par g(x) = f ( x1 ), h
convexe ⇔ h est convexe.
continue sur
(un )
en
+∗
∀λ ∈ [0, 1], ∃µ ∈ [0, 1],
f
k=1
ak
. Montrer que si
k
convexe.
admet une limite dans
Exercice 1733 I ⊂ R
n
P
aussi.
f (x)
admet une limite en
2. En déduire que
x
Taylor à l'ordre 1).
J
montrer l'inégalité de
n
n
n
X
X
X
1
p p1
p p1
(
(xi + yi ) ) 6 (
xi ) + (
yip ) p
converge alors
Montrer que
xi yi 6 1.
i=1
k=1
1. Montrer que
n
P
n
n
X
X
1
p p1
xi yi 6 (
xi ) (
yiq ) q
une suite strictement positive,
Exercice 1732
Montrer que
Montrer l'inégalité de Hölder :
i=1
Soit
x1 +...+xn
.
n
n
P
k=1
a2k , vn =
n
P
k=1
f?
Et si
I
par
h(x) = xf (x).
f : R+ → R ?
ak
. Montrer que si
k
(un )n
converge
37 Notions de topologie
Exercice 1736
239
Montrer que :
∀n ∈ N∗ , ∀(x1 , ..., xn ) ∈ R
Exercice 1737
Soit
f :R→R
+∗ n
∀(x, y) ∈ R , f
f
et telle que
0
,1 +
xk
! n1
1+
6
k=1
n
Y
xk
! n1
.
k=1
continue telle que :
2
Montrer que
n
Y
x+y
2
6
f (x) + f (y)
.
2
est convexe.
Exercice 1738 f : I → R
f (x ) = 0.
Exercice 1739 g ∈ C(R, R)
Soit
I
convexe ou
Montrer que
0
x0
est un intervalle ouvert de
minimise
f
sur
dérivable en
x0 ∈ I
I.
g est convexe si et seulement
Z 1 Z 1
∀h ∈ CM ([0, 1], R), g
h 6
g(h).
Soit
, montrer que
0
Exercice 1740
R,
si :
0
37 Notions de topologie
Soit
x = (x1 , · · · xn ) ∈ Rn .
kxk1 =
n
X
On pose
|xi | ;
kxk2 =
i=1
n
X
|xi |2
!1/2
i=1
et
kxk∞ = sup{|xi | : 1 6 i 6 n}.
1. Démontrer que
k · k1
est une norme sur
Rn .
2. Démontrer que
kxk∞ 6 kxk2 6 kxk1 6 nkxk∞
et
kxk2 6
pour tout
x ∈ Rn .
3. Représenter dans
Discuter le cas
R
2
√
nkxk∞ ,
n = 1.
la boule unité fermée
Bk·k = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 ; kxk 6 1}
pour chacune des normes
Exercice 1741
k · k1 , k · k2
et
k · k∞ .
Représenter graphiquement et déterminer si les ensembles suivants sont des
ouverts.
A = {(x, y) ∈ R2 | 0 < |x − 1| < 1} ; B = {(x, y) ∈ R2 | 0 < x 6 1} ;
C = {(x, y) ∈ R2 | |x| < 1, |y| 6 1} ; D = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ Q, y ∈ Q} ;
E = {(x, y) ∈ R2 | x 6∈ Q, y 6∈ Q} ; F = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 4} .
Exercice 1742
Montrer que toute reunion et toute intersection nie d'ensembles ouverts est
un ensemble ouvert. Que peut-on dire des intersections innies d'ensembles ouverts ?
37 Notions de topologie
240
Exercice 1743 (partiel 1999)
On dénit un sous-ensemble
A
de
R2
en posant
A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 6 2} \ {(x, y) ∈ R2 | (x − 1)2 + y 2 < 1}.
A.
Déterminer l'intérieur, l'adhérence et la frontière de
Exercice 1744 (partiel 1999)
f : Rn → R
Soit
L'ensemble
A
est-il connexe ?
une application continue. Montrer que les
trois conditions suivantes sont équivalentes :
(1)
∀M > 0, ∃R > 0
(2) Pour toute partie
(3) Pour toute partie
Exercice 1745
kxk > R ⇒ |f (x)| > M .
−1
bornée B de R, f
(B) est une partie bornée de Rn .
−1
compacte K de R, f
(K) est une partie compacte de Rn .
tel que
1. Dans
R2
ou
R3
euclidien muni d'une b.o.n., représenter les ensembles
suivants :
A = {(x, y) ∈ R2 | x2 − y 2 > 1 et x2 + y 2 < 4}
2
B = {(x, y) ∈ R2 | (x − 1)2 − y 2 > 1 et x2 + y4 < 4}
3
C = {(x,
 y, z) ∈ R | 1 <
x + y + z < 3 et x > 0et y > 0 et z > 0}
x+y+z <1 

3 x−y+z <1
D=
(x, y, z) ∈ R et

et −x − y + z < 1 
E = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 − z 2 < 0 et 2 < z < 4}
F = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 < 1 et x2 + y 2 < z 2 et z > 0}
G = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 4 et z = x − 1}.
2. Déterminer les projections de
E
et
G
sur le plan
Exercice 1746 (Images directes et réciproques)
ceaux, de
R
dans
R,
(xOy).
1. Soit
f
l'application ane par mor-
dénie par :




0
1+x
f (x) =
x



1
si
si
si
si
x 6 −2
−2 < x < 0
06x61
x > 1.
A = [−1, 0[ et B = [0, 2[. Déterminer f (A), f −1 (B), f (R\A), f −1 (f (A)), f (f −1 (B)),
f (A ∩ B), et f (A) ∩ f (B).
Soient
E et F , et f : E → F une application. Comparer les ensembles
f (A ∩ B) et f (A) ∩ f (B), f −1 (f (A)) et A, f (f −1 (B)) et B , f (E \ A) et F \ f (A).
!
G : R2 −→ R2 √
. On note D l'ensemble
Soit l'application
v(v+2u)
u
, u+v )
(u, v) 7−→ ( u+v
dénition de G. Déterminer G(D).
2. Soient deux ensembles
Exercice 1747
de
Exercice 1748
Soient les applications
f
et
g
√
x+y
3
f (x, y) = (
,
y)
2
2
Soient les ensembles
et
f (D1 )
et
g −1 (D2 ).
R2
et
dans
R2
dénies par :
y
g(x, y) = (2x, √ ).
2
x2
xy
+ y2 +
= 1},
4
2
x2
D2 = {(x, y) ∈ R2 |
+ 2y 2 = 1}.
4
D1 = {(x, y) ∈ R2 |
Déterminer
de
37 Notions de topologie
Exercice 1749
Simplier l'écriture des ensembles suivants :
I=
Exercice 1750
241
Soient
[ 1
1
[ ,1 − ]
n
n
n>1
et
J=
1
1
] − , 1 + [.
i
j
i>0,j>0
\
A et B deux parties non vides et majorées de R. Montrer les implications
suivants :
∃M ∈ R ∀x ∈ A, x < M ⇒ sup A 6 M
A ⊂ B ⇒ sup A 6 sup B .
Exercice 1751
Soient
A
et
B
deux parties non vides et majorées de
R.
On dénit :
A + B = {c ∈ R | ∃a ∈ A, ∃b ∈ B, c = a + B}.
1. Montrer que
A+B
admet une borne supérieure, puis que
sup(A + B) = sup A + sup B .
2. Montrer l'implication :
Exercice 1752
Exercice 1753
Exercice 1754
Exercice 1755
∃M ∈ R ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, x + y < M ⇒ sup A + sup B 6 M.
Soit
ε ∈ R+
Soit
A
tel que
∀x ∈ R∗+ , x > ε.
ε = 0.
Montrer que
une partie non vide et bornée de
R.
Montrer que :
sup{|x − y| : (x, y) ∈ A2 } = sup A − inf A.
Les sous-ensembles de
R2
suivants sont-ils ouverts ? Fermés ? Compacts ?
A = {(x, y) ∈ R2 | x2 − sin(y) 6 4}
B = {(x, y) ∈ R2 | x3 − 4ey > 4}
C = {(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] | cos(x) > 0}
On se propose de montrer que tout ouvert de
ouverts disjoints. On considère donc un ouvert
U ⊂R
est une réunion d'intervalles
R
et pour tout
x∈U
on pose
C(x) = {y ∈ [x, +∞[ | [x, y] ⊂ U } ∪ {y ∈] − ∞, x[ | [y, x] ⊂ U }.
1. Montrer que
2. Pour tous
C(x) est un intervalle ouvert pour tout x. (Considérer inf y∈C(x) y et supy∈C(x) y .)
x, y
dans
U,
montrer qu'on a
C(x) = C(y)
ou
C(x) ∩ C(y) = ∅.
3. Conclure.
Exercice 1756
Soit
E
un espace vectoriel normé. Soient
1.
C ◦ = CA , CĀ =CA
2.
A ∪ B = Ā ∪ B̄
◦
z }| { ◦
◦
En
A ∩ B=A ∩ B .
3.
A
et
B
deux parties de
E.
Montrer :
◦
A
déduire
A ∩ B ⊂ Ā ∩ B̄
déduire
Exercice 1757
En
◦
◦
◦
z }| {
A ∪ B ⊂A ∪ B .
Donner un exemple pour lequel l'inclusion réciproque n'est pas réalisée.
A une partie d'un espace vectoriel
◦
Fr(A) = Ā− A. Montrer que :
Soit
de
A
est l'ensemble
normé
E.
On rappelle que la frontière
37 Notions de topologie
242
1.
Fr(A) = {x ∈ E | ∀ε > 0, B(x, ε) ∩ A 6= ∅
2.
Fr(A) = Fr(CA )
3.
A
est fermé si et seulement si
4.
A
est ouvert si et seulement si
Exercice 1758
Soit
Ā
1. Montrer que
A
A.
est inclus dans
Fr(A) ∩ A = ∅.
E.
est l'ensemble des limites de suites convergentes d'éléments de
sup A ∈ Ā.
Exercice 1759
Exercice 1760
B(x, ε) ∩ CA 6= ∅}
une partie d'un espace vectoriel normé
2. On suppose maintenant que
alors
Fr(A)
et
A.
E = R. Déduire de la question précédente que si A est bornée,
(Construire une suite de points appropriée.)
Montrer que l'adhérence d'une boule ouverte est la boule fermée de même
centre et même rayon.
Soit E un espace vectoriel normé. Soient A et B deux parties de E . On pose
A + B = {z ∈ E | ∃x ∈ A, ∃y ∈ B, z = x + y}.
Montrer que si A est ouvert, A + B est ouvert. (Commencer par le cas où B est un singleton.)
Exercice 1761
Exercice 1762
Soit
E
un espace vectoriel normé de dimension nie.
E
Montrer que tout sous-espace vectoriel de
On dénit
Soit E un espace vectoriel normé.
diam(A) = sup{ky − xk, x, y ∈ A}.
1. Montrer que si
A
(a)
Ā
est bornée, alors
et
Soit
Fr(A)
A
une partie non vide et bornée de
◦
diam(A), diam(A) et diam(Ā) lorsque A
Montrer que diam(Fr(A)) 6 diam(A).
x et u des éléments de A avec u 6= 0.
x + tu ∈ A}. Montrer que sup X existe.
(b) Soit
est non vide.
On considère l'ensemble
(c) En déduire que toute demi-droite issue d'un point
(d) En déduire que
Exercice 1763
A=
B=
C=
E
x
de
A
coupe
X = {t > 0 |
Fr(A).
diam(Fr(A)) = diam(A).
2
Dans R euclidien, les ensembles suivants sont-ils compacts ?
2 1
{(x, y) ∈ R | 2 6 k(x, y)k 6 2 et xy = 1}.
{(x, y) ∈ R2 | 12 < k(x, y)k 6 2 et xy = 1}.
{(x, cos n) ∈ R2 | 0 6 x 6 18 et n ∈ N}.
Exercice 1764
de
E.
sont bornés.
◦
2. Comparer
3.
est fermé.
E = Rd muni d'une norme k · k. On
A de E , notée d(x0 , A), par la formule
Soit
à une partie
dénit la
distance
d'un élément
x0
d(x0 , A) = inf kx − x0 k.
x∈A
1. Supposons
A
compact. Montrer que pour tout
x0 ∈ E
il existe
y∈A
tel que
d(x0 , A) =
ky − x0 k.
2. Montrer que le résultat est encore vrai si on suppose seulement que
remarquera que pour toute partie
3. Montrer que l'application qui à
pothèse sur
B
x0
de
A
associe
on a
A
est fermé. (On
d(x0 , B) > d(x0 , A).)
d(x0 , A)
est continue sur
E
(sans aucune hy-
A).
4. En déduire que si
A
est un fermé de
disjoints, alors il existe une constante
E et B un compact
δ > 0 telle que
ka − bk > δ
∀(a, b) ∈ A × B.
de
E
tels que
A
et
B
sont
37 Notions de topologie
243
5. Montrer par un contre-exemple que le résultat est faux si on suppose seulement que
B
A
et
sont deux fermés disjoints.
Exercice 1765
+∞
Exercice 1766
Soit
. Montrer que
f
f : Rd → R une fonction continue telle que limx→−∞ f (x) = limx→+∞ f (x) =
admet un minimum.
Soit
(E, k · k)
un espace vectoriel normé. Pour toutes parties
A
et
B
de
E
on
note
A + B = {z ∈ E | ∃(x, y) ∈ A × B, z = x + y}.
Montrer que si
A
Exercice 1767
x
Exercice 1768
et
est compact et
Soit
(E, k · k)
B
fermé, alors
est fermé.
(xn )
un espace vectoriel normé. Soit
{x} ∪ {xn , n ∈ N}
sa limite. Montrer que l'ensemble
On suppose que
A+B
une suite convergente de
E
est compact.
Soit
(E, k · k)
(xn )
est de Cauchy. Montrer qu'elle converge si et seulement si elle admet une
un espace vectoriel normé et
(xn )n∈N
une suite d'éléments de
E.
sous-suite convergente.
Exercice 1769
Exercice 1770
Soit
X
une partie de
toute partie fermée bornée
Soient
K, K ∩ X
k ∈ R+∗ ,
(
ωn =
R2 ;
montrer qu'elle est fermée si et seulement si pour
est fermée bornée.
1
(x, y) ∈ R2 | x −
n
et
2
[
Ω=
1
+ y−
n
2
k2
6 2
n
)
,
ωn .
n∈N∗
Ω
est-il ouvert ? fermé ? ...
Exercice 1771
N, Kn+1 ⊂ Kn ,
(Kn )n∈N∗
Kn 6= ∅.
Soit
et
une suite d'ensembles fermés bornés de
R2
telle que
∀n ∈
Montrer que :
Exercice 1772
\
Kn 6= ∅.
n∈N∗
Montrer que l'intersection de deux ensembles ouvert est ouvert, que l'union de
deux ensembles fermés est fermée, que cela reste vrai pour un nombre ni d'ensembles, mais
que cela peut devenir faux si l'on considère des suites innies.
Exercice 1773
Soit
E ⊂ R2
un ensemble ; on pose
Int(E) =c c E.
Montrer que
Int(E)
Exercice 1774
est le plus grand ouvert contenu dans
Soit
A
une partie bornée de
R2 ,
E.
montrer que
A
est aussi bornée et que
sup kxk = sup kxk .
Exercice 1775
Exercice 1776
x∈A
Soit
C
une partie convexe de
x∈A
R2 ,
montrer que
Classer (pour l'inclusion) les parties :
C
est aussi convexe.
A ∩ B, A ∩ B
et
A ∪ B, A ∪ B.
37 Notions de topologie
Exercice 1777
244
Dans l'espace vectoriel normé
R,
chacune des parties suivantes est-elle ou-
verte ? fermée ?
N, Z, Q, R, [0, 1[, [0, +∞[, ]0, 1[∪{2}, {1/n, n ∈ N∗ },
Exercice 1778
E
Soit
T
◦
_
E\A =E\A
1. Montrer que
V
2. Montrer que si
Exercice 1780
E
Soit
− 1/n, 1/n[.
un evn (espace vectoriel normé). Soit
l'égalité
Exercice 1779
n>1 ]
un evn,
V
et
V 6= ∅
alors
une partie de
E.
Montrer
◦
E\ A= E\A
un sous-espace vectoriel de
est un sous-espace vectoriel de
◦
A
E.
E.
V = E.
Représenter graphiquement les parties suivantes de
R2
et dire pour chacune
d'elle si c'est un ouvert, un fermé, ou ni l'un ni l'autre. Déterminer leurs adhérences et intérieurs.
1.
{(x, y) ∈ R2 , |x| =
6 1
et
|y| =
6 1}
{(x, y) ∈ R2 , |x| = 1
et
|y| =
6 1}
{(x, y) ∈ R2 , |x| =
6 1
ou
|y| =
6 1}
2.
3.
4.
{(x, y) ∈ R2 , 1 − xy > 0}
5.
{(x, y) ∈ R2 , 3x + 4y = 2}
6.
{(x, y) ∈ R2 , x2 + y 2 = 1}
7.
{(x, y) ∈ R2 , xy = 1}
8.
Exercice 1781
[
{1/n} × [0, 1]
n∈N∗
Déterminer l'adhérence de chacune des parties de
1.
N, Z, Q
2.
{1/n, n ∈ N∗ }
3.
(−1)
, n ∈ N∗ }
{ 1+1/n
R
suivantes :
n
Exercice 1782
Soient
A
et
B,
deux parties d'un evn
E.
O est un ouvert de E , alors A+O est ouvert. (Indication : Prendre d'abord
A quelconque .... )
1. Montrer que si
A = {a}
puis
2. Etablir que
A∪B = A∪B
et que
A ∩ B ⊂ A ∩ B.
(Trouver un exemple où l'inclusion
est stricte)
Exercice 1783
∀n > 1, on pose An =
T{up / p > n}. Démontrer
que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite (un )n>1 est V =
n>1 An , et qu'ainsi V est
fermé. En déduire que si la suite est bornée, alors l'ensemble V est un compact non vide.
Soit
(un )n>1
une suite réelle.
38 Fonctions de deux variables
245
38 Fonctions de deux variables
Exercice 1784
1.
38.1 Limites
Etudier l'existence des limites suivantes :
lim(x,y)→(0,0)
x2 y
;
x+y
xyz+z 3
.
2x3 +yz 2
|x|+|y|
3. lim(x,y)→(0,0) 2
x +y 2
2.
lim(x,y,z)→(0,0,0)
4.
lim(x,y)→(0,0)
5.
lim(x,y,z)→(0,0,0)
Exercice 1785
x4 y
x2 −y 2
xy+yz
x2 +2y 2 +3z 2
Soit
f : R2 \ {(0, 0)} → R,
f (x, y) =
x2 y 2
.
x2 y 2 + (x − y)2
Démontrer que
lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y) = 0
x→0 y→0
et que
lim(x,y)→(0,0) f (x, y)
Exercice 1786
y→0 x→0
n'existe pas.
Soit
2
f : R → R,
f (x, y) =
(x + y) sin x1 sin y1
0
si
si
xy =
6 0
xy = 0
Démontrer que les deux limites itérées
lim lim f (x, y)
x→0 y→0
et
lim lim f (x, y)
y→0 x→0
n'existent pas, et que
lim
f (x, y)
(x,y)→(0,0)
existe et est égale à
Exercice 1787
0.
Déterminer les limites
x
;
x2 +y 2
1.
lim(x,y)→(0,0)
2.
lim(x,y)→(0,0)
3.
lim(x,y)→(1,0) √
4.
lim(x,y)→(0,0)
x4 +y 3 −xy
;
x4 +y 2
5.
lim(x,y)→(0,0)
x3 y
;
x4 +y 4
(x+2y)3
;
x2 +y 2
y
log(x+e )
x2 +y 2
;
(x2 +y 2 )2
;
x2 −y 2
1−cos xy
7. lim(x,y)→(0,0)
;
y2
sin x
8. lim(x,y)→(0,0)
cos y−cosh x
6.
lim(x,y)→(0,0)
Exercice 1788
Etudier l'existence d'une limite en
1.
f (x, y, z) =
2.
f (x, y, z) =
xyz
;
x+y+z
x+y
.
x2 −y 2 +z 2
(0, 0, 0)
pour les fonctions
f
suivantes :
38 Fonctions de deux variables
Exercice 1789
246
38.2 Continuité
Étudier la continuité des fonctions dénies sur
xy
x2 + y 2
f1 (0, 0) = 0.
x3 + y 3
f2 (x, y) = 2
x + y2
f2 (0, 0) = 0.
f1 (x, y) =
Exercice 1790 (partiel 1999)
si
si
R2
par
(x, y) 6= (0, 0),
(x, y) 6= (0, 0),
1. Étudier la continuité de la fonction
f1 : R2 → R
dénie
par
f1 (x, y) =
2. Soit
a>0
( (sin x) (sin y)
√ √
|x|+
|y|
0
si
(x, y) 6= (0, 0)
si
(x, y) = (0, 0).
xé. Étudier la continuité de la fonction
f2 (x, y) =
|x|a |y|a
x2 +y 2
si
0
si
(
f3 : R2 → R
(
y − x2
f3 (x, y) =
0
3. Étudier la continuité de la fonction
4. On dénit une fonction continue de l'ouvert
f2 : R2 → R
dénie par
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0).
dénie par
si
si
y > x2
y 6 x2 .
U = {(x, y, z) ∈ R3 | xyz 6= 0}
dans
R
en
posant
f4 (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 ) sin
Étudier la possibilité de prolonger
Exercice 1791
Exercice 1792
f4
qu'il existe une suite
R3 .
(
(R2 )∗ → R
g:
(x, y) 7→ xy ln(x2 + y 2 )
en une fonction continue sur
Prolonger par continuité la fonction
Soit
1
1
1
sin cos .
x
y
z
f : R2 → R telle que ∀(x, y) ∈ R2 , f (x, .) et f (., y) sont continues. Montrer
(gn )n∈N d'applications continues sur R2 telles que :
∀(x, y) ∈ R2 , lim gn (x, y) = f (x, y).
Exercice 1793
Exercice 1794
.
n→∞
Trouver les fonctions
f
continues sur
R2
telles que :
∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = f (x + y, x − y).
Etudier la continuité sur
1.
f (x, y) =
R2
(
de la fonction suivante :
x2 y 2
x2 +y 2
0
si
(x, y) 6= (0, 0)
sinon.
38 Fonctions de deux variables
247
2.
f (x, y) =
(
f (x, y) =
(
f (x, y) =
(
3.
4.
x2 y
x2 +y 2
Exercice 1795
On dénit la fonction
f
Exercice 1796
f
0
sinon.
y 2 sin xy
0
f (x, y) =
2.
f (x, y) =
si
R2 \ {(x, x) ; x ∈ R}
R2 ?
des fonctions suivantes :
(x+y)4
x4 +y 4
(x, y) 6= (0, 0)
si
sinon.
|x|3 |y|5
(x2 +y 2 )2
f (x, y) =
par
sin x − sin y
.
x−y
(x, y) 6= (0, 0)
si
0
3.
x 6= 0
sinon.
1
(
y 6= 0
sinon.
xearctan x
0
(0, 0)
(
si
y
sur
Etudier la continuité en
(x, y) 6= (0, 0)
si
en une fonction continue sur
1.
Exercice 1797
sinon.
xy 4
x4 +y 6
f (x, y) =
Peut-on prolonger
(x, y) 6= (0, 0)
si
0
f (x, y) =
f (x, y) =
sinon.
x4 y
x4 +y 6
5.
6.
(x, y) 6= (0, 0)
si
0
sinon.
exy −1
x2 +y 2
si
(x, y) 6= (0, 0)
0
sinon.
Etudier la continuité des fonctions suivantes :
1.
f (x, y) =
(
f (x, y) =
(
2.
(x+2y)3 y 3
x4 +y 4
si
(x, y) 6= (0, 0)
0
sinon.
x6 +x2 y 2
x2 +y 2
si
0
si
3.
f (x, y) =
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
x
ey
0
si
y 6= 0
sinon.
38 Fonctions de deux variables
248
4.
f (x, y) =
5.
f (x, y) =
dénie sur
(
sin xy
y
si
x
y 6= 0
sinon.
ln(1+x)−ln(1+y)
x−y
1
1+x
si
x 6= y
sinon.
D = {(x, y) | x > 0, y > 0}.
38.3 Diérentiabilité
 2
R →R



(x, y) 7→ x si |x| > |y|
Soit f :
.
(x, y) 7→ y si |x| < |y|



(x, y) 7→ 0 si |x| = |y|
la continuité de f , l'existence des dérivées partielles et leur continuité.

2

R → R
.
Soit f :
(x, y) 7→ sin(xy)
si (x, y) 6= (0, 0)
|x|+|y|


(0, 0) 7→ 0
1
la continuité de f et l'existence des dérivées partielles. f est-elle C ?


R2 → R



x2 − y 2
Soit f :
.
si (x, y) 6= (0, 0)
(x, y) 7→ xy 2

x + y2


(0, 0) 7→ 0
1
la continuité de f . Montrer que f est C . Calculer les dérivées partielles
Exercice 1798
Étudier
Exercice 1799
Étudier
Exercice 1800
Étudier
(0, 0).
secondes en
Que remarque-t-on ?
Exercice 1801
Soit
f :R→R
dérivable. Calculer les dérivées partielles de :
g(x, y) = f (x + y)
h(x, y) = f (x2 + y 2 )
k(x, y) = f (xy)

2

R → R
5
Soit f :
(x, y) 7→ (y−xx2 )2 +x6 si (x, y) 6= (0, 0) .


(0, 0) 7→ 0
Montrer que f admet une dérivée en (0, 0) suivant tout vecteur mais n'admet pas
pement limité à l'ordre 1 en (0, 0).
Exercice 1802
Exercice 1803
de dévelop-
Étudier la continuité, l'existence de dérivées partielles et le caractère
2
applications de R dans R :
(x, y) → x
si
|x| > |y| , (x, y) → y
si
(x, y) → (x2 + y 2 ) sin
|y| > |x| , (x, y) → 0
x2
1
, (0, 0) → 0;
+ y2
(x, y) → sin |xy| ;
(x, y) →
y2
x
si
x 6= 0, y
si
x = 0.
si
|x| = |y| ;
C1
des
38 Fonctions de deux variables
Exercice 1804
Exercice 1805
Soit
a ∈ R2
249
x → hx, ai de R2
xé ; l'application
usuel dans
R est-elle continue,
admet-elle des dérivées partielles, celles-ci sont elles continues ?
f la fonction dénie sur R2 par :
2
si |x| 6 y, f (x, y) = x .
2
f (x, y) = y sinon.
Étudier la continuité de f et l'existence de dérivées partielles.
Exercice 1806
Exercice 1807
Soit
N
Montrer qu'une norme
α>0


et
R2
f : R2 → R
dénie par
|x|α y
x2 + y 4
 f (0, 0) = 0
1.
f (x, y) =
si
(x, y) 6= (0, 0)
(a) Montrer que
(b) Calculer
lim
y→0
y 6= 0
|f (x, y)| 6 x2 + y 4
∀(x, y) 6= (0, 0)
2 f (y , y).
(c) Étudier la continuité de
2.
ne peut avoir des dérivées partielles qui
0.
existent et qui soient continues en
Soient
sur
f
2α−3
4
.
en (0,0).
(a) Montrer que
|f (x, y)|
p
6 |x|α−2 .
2
2
x +y
∀(x, y) 6= (0, 0)
(b) Calculer
lim
x→0
x 6= 0
|f (x, x)|
√
.
2|x|
f
(c) Étudier la diérentiabilité de
Exercice 1808
en (0,0).
1. Calculer la dérivée de la fonction
F (x, y) = ex
2 +y 2
au point
P (1, 0)
sui-
vant la bissectrice du premier quadrant.
F (x, y, z) = x2 − 3yz + 5
2. Calculer la dérivée de la fonction
au point
P (1, 2, 1)
dans une
direction formant des angles égaux avec les trois axes de coordonnées.
F (x, y, z) = xy + yz + zx
N (5, 5, 15).
3. Calculer la dérivée de la fonction
au point
M (2, 1, 3)
dans la
direction joignant ce point au point
Exercice 1809
Etudier la continuité, ainsi que l'existence et la continuité des dérivées par-
tielles premières, des fonctions suivantes :
1.
f (x, y) =
(
√x|y|
si
x2 +y 2
(x, y) 6= (0, 0)
0
2.
sinon.
f (x, y) =
x sin y−y sin x
x2 +y 2
f (x, y) =
ex ln(x +y
1
3.
si
0
2
(x, y) 6= (0, 0)
sinon.
2)
si
(x, y) 6= (0, 0)
sinon.
38 Fonctions de deux variables
Exercice 1810
250
On dénit la fonction
f (x, y) =
(
x3 −y 3
x2 +y 2
si
(x, y) 6= (0, 0)
0
sinon.
∂f
(x, y) et ∂f
(x, y) existent en tout point de
∂x
∂y
diérentiable en (0, 0).
Montrer que
Exercice 1811
Soit
f :]0, 1[×]0, 1[→ R,
x(1 − y)
f (x, y) =
y(1 − x)
Etudier la continuité et la diérentiabilité de
Exercice 1812
Soit
f
et que
f
est continue mais pas
x6y
x>y
si
si
f.
f : R2 → R,
f (x, y) =
Montrer que
R2
(0, 0)
est continue en
(
x2 y+xy 2
x2 +y 2
si
0
si
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
et admet des dérivées partielles dans toutes les directions,
mais n'y est pas diérentiable.
Exercice 1813
Soit
f : R2 → R,
f (x, y) =
Montrer que la fonction
x2 y 2 sin x1
0
si
si
x 6= 0
x=0.
f
est diérentiable en tout point de
2
pas continues en certains points de R .
Exercice 1814
f (x, y) =
1
(x2 + y 2 )3/2 sin x2 +y
2
0
Etudier la diérentiabilité en
1.
f (x, y) =
(
f (x, y) =
(
2.
Exercice 1816
mais que
∂1 f
et
∂2 f
ne sont
Etudier la diérentiabilité et la continuité des dérivées partielles de la fonction
f : R 2 → R,
Exercice 1815
R2
(0, 0)
x3 y
x4 +y 2
0
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0) .
des fonctions dénies par
si
0
xy 3
x4 +y 2
si
si
(x, y) 6= (0, 0)
sinon.
si
(x, y) 6= (0, 0)
sinon.
Calculer les dérivées partielles (d'ordre un) des fonctions suivantes en un point
arbitraire du domaine de dénition.
1.
2.
3.
f (x, y) = x2 exy ;
√
g(x, y, z) = x2 y 3 z ;
p
h(x, y) = ln(x + x2 + y 2 ).
Exercice 1817
en
(2, 1).
Calculer les dérivées partielles (d'ordre un) de la fonction
f (x, y) =
q
xy +
x
y
38 Fonctions de deux variables
Exercice 1818
251
On dénit la fonction
f (x, y) =
Montrer que
en
xy
x2 +y 2
si
(x, y) 6= (0, 0)
0
sinon.
∂
∂
f (x, y) et ∂y
f (x, y) existent en tout point de
∂x
R2
bien que
f
ne soit pas continue
(0, 0).
Exercice 1819
1. Calculer la dérivée de la fonction
dans une direction formant avec l'axe
Ox
F (x, y) = x2 −xy −2y 2 au point P (1, 2)
un angle de
π
.
3
F (x, y) = x3 − 2x2 y + xy 2 + 1 au point P (1, 2) dans la
direction joignant ce point au point M (4, 6).
p
Calculer la dérivée de la fonction F (x, y) = ln
x2 + y 2 au point P (1, 1) suivant la bis-
2. Calculer la dérivée de la fonction
3.
sectrice du premier quadrant.
Exercice 1820
Calculer les diérentielles des fonctions suivantes en un point arbitraire du
domaine de dénition :
1.
2.
f (x, y) = sin2 x + cos2 y ;
f (x, y) = ln 1 + xy .
Exercice 1821
Exercice 1822
Calculer
df (1, 1),
si
f (x, y) =
38.4 Extremums
Soit
f
la fonction dénie sur
le seul point critique de
de
f
f,
vantes au point
R2
par
(0, 0)
Montrer que
(0, 0)
est
admet en ce point un minimum local.
Ecriver la formule de Taylor de second ordre pour chacune des fonctions sui-
(x0 , y0 )
donné.
1.
f (x, y) = sin(x + 2y), (x0 , y0 ) = (0, 0) ;
2.
f (x, y) =
3.
f (x, y) = e−x
4.
f (x, y) = sin(xy) + cos(xy), (x0 , y0 ) = (0, 0) ;
5.
f (x, y) = e(x−1) cos y, (x0 , y0 ) = (1, 0).
1
,
x2 +y 2 +1
2 −y 2
(x0 , y0 ) = (0, 0) ;
cos xy, (x0 , y0 ) = (0, 0) ;
2
Exercice 1825
Pour chacune des fonctions suivantes etudiez la nature du point critique donné :
1.
f (x, y) = x − xy + y 2
2.
f (x, y) = x2 + 2xy + y 2 + 6
3.
2
4.
f (x, y) = x2 − xy 2 .
qu'il n'est pas un extremum local, mais que pourtant la restriction
à toute droite passant par
Exercice 1824
F (x, y, z) = ln (ex + ey + ez ) à l'origine dans
coordonnées x, y, z les angles α, β, γ .
Calculer la dérivée de la fonction
une direction formant avec les axes de
Exercice 1823
x
.
y2
2
2
au point critique
au point critique
2
f (x, y, z) = x + y + 2z + xyz
3
2
4
(0, 0) ;
(0, 0) ;
au point critique
2
2
f (x, y) = x + 2xy − y + x + 3xy + y + 10
Exercice 1826
(0, 0, 0) ;
au point critique
(0, 0).
Trouvez les points critiques des fonctions suivantes et déterminez si ce sont
des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle.
1.
f (x, y) = x3 + 6x2 + 3y 2 − 12xy + 9x ;
2.
f (x, y) = sin x + y 2 − 2y + 1 ;
38 Fonctions de deux variables
252
3.
f (x, y, z) = cos 2x · sin y + z 2 ;
4.
f (x, y, z) = (x + y + z)2 .
Exercice 1827
Soit
f : R2 → R
la fonction dénie par
f.
1. Étudier les extremums locaux de
2
2
2
D = {(x, y) ∈ R | x + y 6 1}.
m sur D.
2. Soit
3. Soit
(x, y) ∈ D.
Montrer que si
4. Étudier la fonction
Exercice 1828
Exercice 1829
Exercice 1830
f (x, y) = x3 − 3x(1 + y 2 ).
f (x, y) = M
t 7→ f (cos t, sin t).
Trouver le point du plan
f
Montrer que
ou
a un maximum
f (x, y) = m,
alors
En déduire les valeurs de
(2x − y + z = 16)
Déterminer les extremums de
M
et un minimum
x2 + y 2 = 1.
M
et
m.
le plus proche de l'origine.
f (x, y) = xy(1 − x2 − y2)
sur
[0, 1]2 .
f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 3x − 6y . Montrer que f admet au plus un
f (x, y) + 9 comme la somme de deux carrés et en déduire que f admet −9
Soit
extremum. Ecrire
comme valeur minimale.
Exercice 1831
Exercice 1832
Déterminer un triangle d'aire maximale inscrit dans un cercle donné.
f (x, y) = (x2 − y)(3x2 − y).
2
Montrer que f admet un minimum local en 0 suivant tout vecteur de R mais n'admet pas de
minimum local en (0, 0).
(
R2 → R
Soit f :
.
(x, y) 7→ xey + yex
Montrer que (−1, −1) est le seul extremum possible. A l'aide d'un développement limité de
ϕ(h) = f (−1 + h, −1 + h) et de ψ(h) = f (−1 + h, −1 − h), montrer que f n'a pas d'extremum.
Soit
Exercice 1833
Exercice 1834
Exercice 1835
Exercice 1836
Déterminer les extrémums de
Déterminer
Si
f
max |sin z| .
|z|61
f
admet un maximum local en
Exercice 1837
On supposera
que
f
A
Soit
A ⊂ R2 ,
sin z =
U ⊂ R2
eiz −e−iz
.
2i
et si :
∂f
∂f
(a) =
(a) = 0,
∂x1
∂x2
a.
R
(A) comme l'ensemble {x ∈ A|∃ρ > 0, B(x, ρ) ⊂ A}.
(A) 6= ∅. On suppose que f est une fonction C 1 sur A telle
A \ Int(A). Montrer qu'il existe z ∈ Int(A) tel que :
on dénit
fermée bornée et
est constante sur
Exercice 1838
On rappelle que :
est concave sur un ouvert convexe
∃a ∈ U,
alors
f : (x, y, z) → x2 + y 2 + z 2 + 2xyz.
R
∂f
∂f
(z) =
(z) = 0.
∂x1
∂x2
Chercher les extrémums sur
R2
des applications :
(x, y) → x4 + y 4 − 4xy;
(x, y) → (x − y)exy ;
(x, y) → xey + yex ;
(x, y) → ex sin y ;
(x, y) → x3 + y 3 .
38 Fonctions de deux variables
Exercice 1839
Soit
f
253
f
1. Rappeler une condition nécessaire pour que
Dans la suite de l'exercice,
critique
f.
de
C2
une fonction réelle de classe
a = (x0 , y0 )
sur un ouvert
R2 .
présente un extremum local en
(x0 , y0 ).
vérie cette condition, c'est-à-dire est un
∂2f
(a),
∂x2
B=
∂2f
(a),
∂x∂y
Q(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy 2 ,
R(t) = At2 + 2Bt + C,
∆<0
et
point
C=
∂2f
(a),
∂y 2
∆ = B 2 − AC,
S(t) = Ct2 + 2Bt + A.
A(ou C) > 0.
∀t ∈ R, R(t) > δ
S(t) > δ pour un certain δ > 0.
p
On pose x = r cos θ , y = r sin θ , avec r =
x2 + y 2 , et on suppose que sin θ. cos θ =
6 0.
(a) Montrer que
(b)
de
On pose
A=
2. On suppose
Ω
et
Montrer successivement :
Q(x, y) > r2 δ sin2 θ,
Q(x, y) > r2 δ cos2 θ,
2
Q(x, y) > r2 δ.
En déduire que
∀(x, y) Q(x, y) >
(c) Montrer que
a
est un point de minimum
f
formule de Taylor-Young pour
∆ < 0 et A(ou C) < 0.
que (x0 , y0 ) est un point de
r2
Inf(δ, 2A, 2C).
2
local strict de f .
On écrira pour cela la
en ce point.
3. On suppose
Montrer
4. On suppose maintenant
θ1 , θ2 ∈ R
t1 , t2 ∈ R
tels que
tels que tan θ1
= t1
S(t1 ) > 0
et tan θ2
g(t) := f (x0 + t cos θ1 , y0 + t sin θ1 ),
pour
t∈R
f.
∆ > 0.
(a) Montrer qu'il existe
(b) Soient
maximum local strict de
assez petit, montrer que
point de minimum local de
5. Dessiner l'allure du graphe de
f
a
et
= t2 .
S(t2 ) < 0.
En examinant les fonctions
h(t) := f (x0 + t cos θ2 , y0 + t sin θ2 )
n'est ni un point de maximum local, ni un
f.
au voisinage du point
(a, f (a))
dans les trois cas étudiés
ci-dessus (questions 1, 3 et 4).
6. Que peut-on dire en général quand
∆ = 0?
Pour répondre à cette question, on pourra
s'appuyer sur l'étude des deux cas suivant au voisinage de
Exercice 1840
Exercice 1841
f1 (x, y) = x2 + x4 + y 4
et
Existe-t-il un triangle d'aire maximale inscrit dans un cercle donné ? Le déter-
Soit
f : R2 → R
continue telle que :
lim |f (x)| = +∞.
kxk→∞
f
:
f2 (x, y) = x2 − y 4 .
miner par une méthode géométrique.
Montrer que
(0, 0)
est minorée et atteint sa borne inférieure.
38 Fonctions de deux variables
Exercice 1842
f : R2 → R
Soit
254
l'application
(x, y) 7→ 6xy + (y − x)3 .
On note
∆ = {(x, y) ∈
2
R , −1 6 x 6 y 6 1}.
1. Dessiner
∆.
f
Montrer que
2. Calculer les extrema de
f
Exercice 1843
D
dans
R
sur le bord de
f
3. En déduire les bornes de
est bornée et atteint ses bornes sur
sur
∆
D = {z ∈ C; |z| 6 1}
f (z) = | sin z|.
f
1. Pour quelle raison
puis dans l'intérieur de
∆.
∆.
On note
dénie par
∆.
est-elle bornée sur
et
S = {z ∈ C; |z| = 1}.
Soit
f
D ? On note M = sup f (z) et m = inf f (z). Est-ce
z∈D
z∈D
que
M
et
m
sont atteints ? Donner la valeur de
m.
z = x + iy ∈ C, x, y ∈ R. Montrer que | sin z|2 = 21 (ch 2y − cos 2x).
i(x+iy) −e−i(x+iy)
ey −e−y
sin z = e
et ch y =
.)
2i
2
2. Soit
3. En déduire que
4. Montrer que
Exercice 1844
Soit
f : R2 → R
M
l'application de
est atteint en un point de
(On rappelle que
S.
e2 − 1
.
2e
2
pose Ω = R \ {(0, 0)}.
M=
On
la fonction dénie par
(
2
2
xy xx2 −y
+y 2
f (x, y) =
0
1. Montrer que
f
est diérentiable sur
2. Montrer que
f
est diérentiable en
Ω
si
si
(x, y) ∈ Ω
(x, y) = (0, 0).
et calculer sa diérentielle.
(0, 0)
et que sa diérentielle est nulle.
∂2f
∂2f
et
et calculer
∂x∂y
∂y∂x
la valeur de ces dérivées en (0, 0). Que peut-on en déduire pour la continuité de ces dérivées
3. Montrer que
partielles en
Exercice 1845
f
admet en tout point des dérivées partielles secondes
(0, 0) ?
38.5 Équations aux dérivées partielles
Résoudre à l'aide des coordonnées polaires l'équation aux dérivées partielles :
x
Exercice 1846
de variables
u=
Exercice 1847
p
∂f
∂f
(x, y) + y (x, y) = x2 + y 2
∂x
∂y
Résoudre l'équation des cordes vibrantes :
x+y
et
2
v=
x−y
(on suppose que
2
f
est
∂2f
∂2f
=
∂x2
∂y 2
à l'aide du changement
C 2 ).
Résoudre l'équation aux dérivées partielles :
x
∂f
∂f
−y
=f
∂y
∂x
en passant en coordonnées polaires.
Exercice 1848
Résoudre en utilisant le changement de variable
dérivées partielles suivante :
x2
2
∂2f
∂2f
2∂ f
+
2xy
+
y
= 0.
∂x2
∂x∂y
∂y 2
x = u, y = uv
l'équation aux
38 Fonctions de deux variables
Exercice 1849
Soit
f : R2 → R
255
une application
C1
homogène de degré
s > 0,
i.e. telle que :
∀λ ∈ R+∗ , ∀x ∈ R2 , f (λx) = λs f (x).
f
Montrer que les dérivées partielles de
sont homogènes de degré
sf (x) = x1
Exercice 1850
+
Exercice 1851
4(g)
Exercice 1852
∂F
Calculer
∂x
Calculer
Soit f :
∂F
+ ∂F
.
∂y
∂z
R3 → R
f : R2 → R une
fonction de 4(f ).
en
fonction
C 2.
∂f
∂f
(u, v) + 2u (u, v) = 0
∂u
∂v
Soit
φ : R2 → R2
F (x, y, z) = f (x − y, y − z, z − x).
On pose
f : R2 → R
On cherche les fonctions
pour tout
une fonction de classe
(a) Montrer que
(b) Montrer que
3. Soit
2
f : R → R
g
f
est de classe
φ
(2)
C 1.
Posons
est bijective. Vérier que
φ
et
φ−1
g = f ◦ φ.
.
∂g
∂x
= 0.
fonction de classe C . Montrer que f vérie (2) si et seulement
h : R → R de classe C 1 telle que f (u, v) = h(v − u2 ) pour tout
est solution de (2) si et seulement si
1
une
s'il existe une fonction
(x, y) ∈ R2 .
Exercice 1853
C
1
(u, v) ∈ R2 .
φ(x, y) = (x, y + x2 ).
l'application dénie par
f : R2 → R
g(x, y) = f (x2 − y 2 , 2xy).
telles que :
1. En calculant l'application réciproque, montrer que
1
sont de classe C .
2. Soit
et :
∂f
∂f
(x) + x2
(x).
∂x1
∂x2
dérivable. On pose
Soit
s−1
: R2 → R
diérentiable et g
: R → R dénie par g(x) =
f ex sin x, ln(1
Montrer que g est dérivable sur R et calculer sa dérivée en fonction des dérivées partielles de f .
Soient
+ x2 ) .
Exercice 1854
Soient
f
U = {(x, y) ∈ R2 , x > 0}
fonction
Ψ :
2.
U
V =]0, +∞[×] − π2 , π2 [.
On dénit la
V → R2
(r, θ) 7→ (r cos θ, r sin θ)
V sont des ouverts de R2 et
−1
sur U . Déterminer Ψ .
1
Soit f : U → R de classe C sur U . On pose
1. Montrer que
et
et
que
Ψ
est de classe
C1
et bijective de
V
F (r, θ) = f ◦ Ψ(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ).
C1
(a) Montrer que
f
est de classe
(b) Montrer que
f
vérie l'équation
(E)
sur
U
et calculer
∂f
∂f
∂F
∂F
et
en fonction de
et
.
∂r
∂θ
∂x
∂y
√
∂f
∂f
a (a, b) + b (a, b) = a2 + b2 arctan
∂x
∂y
si et seulement si
F
b
a
vérie l'équation
(E 0 )
∂F
(r0 , θ0 ) = θ0
∂r
∀(r0 , θ0 ) ∈ V.
∀(a, b) ∈ U
38 Fonctions de deux variables
256
(c) Déterminer toutes les fonctions
f : U → R de classe C 1 sur U
qui vérient l'équation
(E).
Exercice 1855
D = {(x, y) ∈ R2 , x > 0}.
Soit
vérient
(E)
ϕ(x, y) = y/x
1. Vérier que
2. Soit
g ∈ C 1 (R, R).
3. Soit
f
x
qui
∂f
∂f
+y
= 0 ∀(x, y) ∈ D.
∂x
∂y
(E).
g◦ϕ
est solution de
Montrer que
4. Donner l'ensemble des solutions de
Exercice 1856
f ∈ C 1 (D, R)
est solution de (E).
Montrer que
une solution de
On cherche les fonctions
Déterminer les fonctions
f (u, uv)
(E).
ne dépend que de
v.
(E).
f ∈ C 1 (R2 , R)
vériant
∂f
∂f
−
= 0 ∀(x, y) ∈ R2 .
∂x ∂y
u = x + y, v = x − y .
On pourra eectuer le changement de variables
Exercice 1857
Soient
f : Rn → R
des propriétés de la diérentielle,
Exercice 1858
g : Rn → R deux fonctions diérentiables.
montrer que ∇(f g) = f · ∇g + g · ∇f .
et
38.6 Fonctions implicites
Soit
f : R2 → R
la fonction dénie par
f (x, y) = ((x − 2)2 + y 2 − 4)((x − 1)2 +
1. Tracer rapidement la courbe
C la
y = φ(x) ?
2. En quels points de
de la forme
Exercice 1859
C
d'équation
relation
permet-elle de dénir une fonction implicite
x+y−1
f (x, y) = 2e
(a, b)
y = φ(x).
f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy − 1 = 0
Exercice 1860
f (x, y) = 0.
f (x, y) = 0
Donner un développement limité à l'ordre 3 de
2.
y2
− 1).
4
Montrer que les relations proposées dénissent au voisinage du couple
indiqué une fonction implicite
1.
En utilisant
φ
en
a.
(a, b) = (0, 1).
+ ln(x − y) − 2x + y
3
(a, b) = (1, 0).
Montrer que la relation
f (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 − 2z(x + y) − 2x + y − 2z − 1 = 0
dénit au voisinage de
limité de
φ
à l'ordre 2
Exercice 1861
(0, 0, −1)
en (0, 0).
une fonction implicite
z = φ(x, y).
38.7 Divers
Soit
f : R2 → R
admettant des dérivées partielles continues en
∀a ∈ R2 − {0}, ∀t > 0, f (ta) = tf (a).
Montrer que
f
Donner un développement
est linéaire.
0
et telle que :
39 Espaces métriques et espaces vectoriels normés
Exercice 1862
Soit
f : R2 → R
∀a ∈ O,
Montrer que
f
est constante sur
Exercice 1863
M, ∀x ∈ R
n
Soit
C1
une application
257
sur un ouvert convexe
O
telle que :
∂f
∂f
(a) =
(a) = 0.
∂x1
∂x2
O.
f : Rn → R
une application diérentiable. Montrez que si
k∇f (x)k 6
, alors
|f (x) − f (y)| 6 M kx − yk, ∀x, y ∈ Rn .
39 Espaces métriques et espaces vectoriels normés
Exercice 1864 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
1. Montrer que : ∀x1 , x2 , · · · , xn ∈ R (x1 +
2
2
x2 + · · · + xn ) 6
+ x2 + · · · + xn )
Pn
Pn
2. Déterminer : m = Inf{(
x
)(
i
i=1
i=1 1/xi ) tels que x1 , x2 , · · · , xn > 0}
4
2
2
2
2
3. Déterminer : M = Sup {|x + 2y + 3z + 4t| tels que (x, y, z, t) ∈ R , x + y + z + t 6 1}
2
n(x21
Exercice 1865 (Normes
sur R )
p
2
y|)
et
Pour tout
x2 /9 + y 2 /4.
N2 (x, y) =
1. Montrer que
N1
et
N2
p
(x, y) ∈ R2 , on pose N1 (x, y) = Max( x2 + y 2 , |x−
sont des normes sur
R2
et représenter les boules unités fermées
associées à ces normes.
2. Montrer que
N2 6 k.k∞ 6 k.k2 6 N1 6 k.k1 6 4N2 .
3. Déterminer le plus petit réel
Exercice 1866
Soient
(ai )16i6n
étudiant le signe du trinôme
Exercice 1867
k > 0,
tel que
k.k1 6 kN2 .
(bi )16i6n deux familles de n nombres
! 21
n
n
n
X
X
X
(ai + λbi )2 que
ai b i 6
a2i
λ −→
et
i=1
Soit
(E, d)
(utiliser Cauchy-Schwarz)
i=1
i=1
réels. Montrer, en
n
X
b2i
! 12
.
i=1
un espace métrique.
p
d0 (x, y) = d(x, y) est une distance sur E . Enoncer des conditions susantes
sur une fonction f , dénie de R+ dans R+ pour que (x, y) −→ f (d(x, y)) soit une distance
sur E .
d(x, y)
00
00
Montrer que l'application d dénie sur E × E par d (x, y) =
est une distance
1 + d(x, y)
u
sur E . Indication : On utilisera la croissance de la fonction u −→
.
1+u
00
Comparer les distances d et d .
1. Montrer que
2.
3.
E est l'ensemble des nombres
Bd00 (0, a) où a est un réel.
4. Dans le cas où
construire
Exercice 1868
d
est la distance valeur absolue,
(E, d) un espace métrique complet, et f une application de E dans E
k ∈ R, 0 < k < 1 tel que d(f (x), f (y)) 6 k d(x, y) ∀x ∈ E, ∀y ∈ E .
qu'il existe
Soit
1. Montrer que
f
x0 ∈ E
(E, d).
2. Soient
dans
réels et où
est continue sur
et pour
(E, d).
n > 0, xn+1 = f (xn ).
Montrer que la suite
3. Montrer que cette suite converge vers un point xe de
f (l) = l.
telle
Montrer que ce point xe est unique.
f,
(xn )n>0
est de Cauchy
c'est-à-dire une solution de
39 Espaces métriques et espaces vectoriels normés
4. Application : montrer que le système
unique
(x1 , x2 ) ∈ R2 .
Exercice 1869
258
x1 = 15 (2 sin x1 + cos x2 )
x2 = 15 (cos x1 + 3 sin x2 )
On considère les trois normes dénies sur
kXk1 = |x1 | + |x2 | , kXk2 = (x21 + x22 )
1
2
R2
admet une solution
par :
, kXk∞ = max{|x1 |, |x2 |}.
Représenter graphiquement les boules unités de chacune d'entre elles. Peut-on comparer" ces
trois normes ? Ecriver les dénitions des distances
Exercice 1870
Soit
d1 ,d2
et
d∞
associées à chacune d'entre elles.
E l'espace vectoriel des fonctions à valeurs dans R, dénies et
nues sur [-1,1 ].
1. Montrer que les trois applications suivantes sont des normes sur
f −→ kf k1 =
Z
+1
|f (x)|dx,
f −→ kf k2 = (
Z
−1
E
:
+1
1
f 2 (x)dx) 2
−1
f −→ kf k∞ =
sup {|f (x)|}
x∈[−1,+1]
2. On considère la suite
La suite
fn
Exercice 1871
dérivables sur
(fn )n∈N ∗
est-elle de Cauchy
Soit
[0,1]
E

−1 si x ∈ [−1, − n1 ]



nx si x ∈] − n1 , n1 ]
de fonctions dénies par fn (x) =



1
1
si x ∈] , 1]
n
dans (E, k.k1 ), (E, k.k2 ) et dans (E, k.k∞ ) ? Conclusions ?
l'espace vectoriel des fonctions à valeurs dans
et vériant
f (0) = 0.
(E, N1 )
N1 (f ) 6 N2 (f ).
N
N2 (f ) = kf 0 k∞ .
En déduire que l'application identique de
(E, N2 )
vers
xn
, montrer que l'application identique de
n
(E, N1 )
vers
fn (x) =
n'est pas continue.
Exercice 1872
cation
et
est continue.
2. A l'aide de la fonction
(E, N2 )
dénies, continues et
On dénit sur cet espace les deux normes suivantes :
N1 (f ) = kf k∞
1. Montrer que
R,
Lorsqu'un espace vectoriel
N : E→R
E
est en outre muni d'une multiplication, l'appli-
est dite norme multiplicative si :
est une norme,
A et B dans E , N (A.B) 6 N (A).N (B).
Soit E = Mn (R), l'espace vectoriel des matrices carrées à n lignes et n colonnes. A ∈ E
A = (ai,j )16i,j6n
n
X
1. Montrer que N∞ (A) = max {
|ai,j | } dénit une norme multiplicative sur E .
pour tous
16i6n
2. Montrer que
3. Soit
N∞ (A) =
A ∈ Mn (R)
j=1
max
n
{X∈R , kXk∞ =1}
telle que
se note
{ kA.Xk∞ }.
∀ 1 6 i 6 n, |ai,i | >
n
X
|ai,j |
et
D
la matrice diagonale
j=1,j6=i
formée avec les éléments diagonaux de A. Soit aussi
(p)
suite des X
∈ Rn dénie pour p > 0 par :
F
un vecteur de
X (0)
= X0 ∈ Rn
X (p+1) = (I − D−1 A)X (p) + D−1 F
Montrer qu'elle est convergente et calculer sa limite.
pour p
Rn .
>0
On considère la
39 Espaces métriques et espaces vectoriels normés
Exercice 1873 (partiel 1999)
et
A
(E, k · k)
Soit
259
un espace vectoriel normé,
x
un élément de
E
E.
un compact de
1. Montrer que l'application de
2. Montrer que l'application de
3. Montrer que la distance de
E
E
dans
à
A
x
dans
R
R
y
y
qui à
qui à
est atteinte,
kyk est continue.
associe ky − xk est continue.
c'est-à-dire qu'il existe a ∈ A tel
associe
que
inf ky − xk = ka − xk.
Exercice 1874
y∈A
(E, k · kE )
E dans F .
Soient
application linéaire de
1. Montrer que
L
(F, k · kF )
et
est continue en
0
deux espaces vectoriels normés. Soit
si et seulement si elle est continue en tout point de
K>0
2. On suppose qu'il existe une constante
L
une
E.
telle que
kL(x)kF 6 KkxkE
Montrer que
L
∀x ∈ E.
est continue.
3. Dans la suite, on suppose que
L
est continue et on pose
K = sup kL(x)kF .
kxkE =1
K = +∞. Montrer qu'alors il existe une suite (xn ) dans E telle que
n et telle que kL(xn )kF tend vers +∞. En déduire qu'il existe
une suite yn tendant vers 0 et telle que kL(yn )kF = 1.
En déduire que K ∈ R+ et que pour tout x ∈ E on a
(a) Supposons que
kxn k = 1
(b)
Exercice 1875
pour tout
kL(x)kF 6 KkxkE .
Soit
E
l'espace vectoriel des fonctions continues de
muni de la norme
kf k1 =
[−1, 1]
à valeurs dans
R
1
Z
|f (x)| dx.
0
On considère l'application
1. Montrer que
L
L:E→R
On suppose que
L(f ) = f (1).
est une application linéaire.
2. En considérant les fonctions
Exercice 1876
dénie par
fn : x 7→
√
nxn ,
montrer que
L
n'est pas continue.
Soit
(E, k · k)
(xn )
est de Cauchy. Montrer qu'elle converge si et seulement si elle admet une
un espace vectoriel normé et
(xn )n∈N
une suite d'éléments de
E.
sous-suite convergente.
Exercice 1877
Soit
E
l'espace vectoriel des fonctions continues de
On dénit une norme sur
E
[−1, 1]
à valeurs dans
R.
en posant
kf k1 =
Z
1
|f (t)| dt.
−1
On va montrer que
(fn )n∈N∗
E
muni de cette norme n'est pas complet. Pour cela, on dénit une suite
par


−1
fn (t) = nt


1
si
si
si
− 1 6 t 6 − n1
− n1 6 t 6 n1
1
6 t 6 1.
n
39 Espaces métriques et espaces vectoriels normés
fn ∈ E
1. Vérier que
pour tout
260
n > 1.
2. Montrer que
2 2
kfn − fp k 6 sup( , )
n p
(fn )
et en déduire que
est de Cauchy.
3. Supposons qu'il existe une fonction
f ∈E
(fn )
converge vers
n→+∞
lim
Z
lim
Z
telle que
f
dans
(E, k · k1 ).
Montrer qu'alors on a
lim
n→+∞
−α
Z
|fn (t) − f (t)| dt = 0
et
−1
1
|fn (t) − f (t)| dt = 0
α
0 < α < 1.
pour tout
4. Montrer qu'on a
lim
n→+∞
Z
−α
|fn (t) + 1| dt = 0
0 < α < 1.
pour tout
et
−1
n→+∞
1
|fn (t) − 1| dt = 0
α
En déduire que
f (t) = −1
f (t) = 1
∀t ∈ [−1, 0[
∀t ∈]0, 1].
Conclure.
Exercice 1878
g
de
E
dans
E
Soit
E = Rd
est dite
k · k. On rappelle
K ∈]0, 1[ tel que
muni d'une norme
contractante
s'il existe
kg(x) − g(y)k 6 Kkx − yk
qu'une application continue
∀x, y ∈ E.
On rappelle aussi que toute application contractante admet un unique point xe.
Soit
f
une application continue de
E
dans
n
contractante. On note x0 le point xe de f .
1. Montrer que tout point xe de
2. Montrer que si
3. En déduire que
Exercice 1879
de
E
x
f
f n,
est l'unique point xe de
tel que
fn
soit
f n.
il en est de même pour
f (x).
f.
E = Rd muni d'une norme k · k. On
A de E , notée d(x0 , A), par la formule
Soit
à une partie
n
telle qu'il existe un entier
est un point xe de
est un point xe de
x0
E
dénit la
distance
d'un élément
x0
d(x0 , A) = inf kx − x0 k.
x∈A
1. Supposons
A
compact. Montrer que pour tout
x0 ∈ E
il existe
y∈A
tel que
d(x0 , A) =
ky − x0 k.
2. Montrer que le résultat est encore vrai si on suppose seulement que
remarquera que pour toute partie
3. Montrer que l'application qui à
pothèse sur
B
x0
de
A
associe
on a
A
est fermé. (On
d(x0 , B) > d(x0 , A).)
d(x0 , A)
est continue sur
E
(sans aucune hy-
A).
4. En déduire que si
A
est un fermé de
disjoints, alors il existe une constante
E et B un compact
δ > 0 telle que
ka − bk > δ
∀(a, b) ∈ A × B.
de
E
tels que
A
et
B
sont
39 Espaces métriques et espaces vectoriels normés
261
A
et
Np : Rn −→ R
P
1
x 7−→ ( nk=1 |xi |p ) p
5. Montrer par un contre-exemple que le résultat est faux si on suppose seulement que
B
sont deux fermés disjoints.
Exercice 1880 N : (x, y) 7−→ |5x + 3y|
Exercice 1881
∀p > 1
est-elle une norme de
1. Montrer que
, l'application
est une norme (on utilisera la convexité de
x ∈ Rn
2. Pour
xp ).
R2 ?
norme innie
limp→+∞ Np (x) = max(xi , 1 6 i 6 n),
, et notée N∞ .
xé, montrer que
une norme, appelée
et que cela dénit
3. Établir les inégalités suivantes :
∀x ∈ Rn , N∞ (x) 6 N1 (x) 6
√
nN2 (x) 6 nN∞ (x).
Que peut-on en déduire ?
4. Dessiner les boules unités des normes 1,2, et
Exercice 1882
Exercice 1883 A
Soit
∞
dans
N : Rn −→ R
Pn
Pk
x 7−→
k=1 |
i=1 xi |
convexe
est dit
R2 .
. Montrer que
N
est une norme.
s'il contient tout segment reliant deux quelconques de ses
points :
∀(x, y) ∈ A2 , [x, y] = {x + t(y − x), t ∈ [0, 1]} ⊂ A.
Soit
E
un espace vectoriel muni d'une norme
N.
Montrer que toute boule fermée (ou ouverte)
est convexe et symétrique par rapport à son centre.
Exercice 1884
Soit
(E, N )
un espace vectoriel normé. Montrer :
1
∀(x, y) ∈ (E \ {0}) , N (x − y) > sup(N (x), N (y)) · N
2
2
Exercice 1885
Soit
E
un espace vectoriel normé, et
1.
B(a, r) = {a} + B(0, r)
2.
B(a, r) = B(a0 , r0 ) ⇔ a = a0
3.
B(a + a0 , r + r0 ) = B(a, r) + B(a0 , r0 )
4.
B(a, r) ∩ B(a0 , r0 ) 6= ∅ ⇔ ka0 − ak < r + r0 .
Exercice 1886
Soit
(E, N )
A⊂E
et
R-espace
x
y
−
N (x) N (y)
(a, a0 ) ∈ E 2 , (r, r0 ) ∈ (R∗+ )2 .
.
Montrer :
r = r0
une espace vectoriel. Montrer les équivalences :
est borné
⇔
⇔
⇔
⇔
∃(a, r) ∈ E × R+ : A ⊂ B(a, r)
∃R > 0 : A ⊂ B(0, R)
∃R > 0 : A ⊂ Bf (0, R)
A est inclus dans une boule de E.
Exercice 1887 (Topologie du R-espace vectoriel R)
sur le
vectoriel
1. Quelles sont toutes les normes
R?
On se place désormais dans
(R, | . |).
2. Quelles sont les boules ouvertes ? fermées ?
3. Ouverts et fermés de
(a) soit
(Ia )a∈A
R
:
une famille d'intervalles ouverts non vides de
Montrer que A est au plus dénombrable.
R,
deux à deux disjoints.
39 Espaces métriques et espaces vectoriels normés
262
O un ouvert de R, et a ∈ O. On pose A = {x ∈ R | x 6∈ O
B = {x ∈ R | x 6∈ O et x < a}. Etudier l'existence de inf A et sup B .
(b) soit
et
x > a}
et
(c) en déduire que :
tout ouvert de
R
est réunion d'une famille au plus dénombrable d'intervalles ou-
verts
tout fermé de
Exercice 1888
Soit
R est réunion d'une famille au plus dénombrable d'intervalles fermés.
E l'espace vectoriel des fonctions de classe C 1 sur [0, 1] telles que f (0) = 0.
f ∈ E , N (f ) = kf k∞
1. On pose pour tout
et
N 0 (f ) = kf 0 k∞ .
Montrer que
N
et
N0
sont
des normes.
2. Montrer que
Exercice 1889
N
Soit
N0
et
E l'espace vectoriel des fonctions de classe C 1 sur [0, 1] telles que f (0) = 0.
f ∈ E , N (f ) = kf k∞ + kf 0 k∞ .
1. On pose pour tout
2. Montrer que, si
ne sont pas équivalentes.
f ∈E
alors, pour tout
N
Montrer que
x ∈ [0, 1] : f (x) = e−x
est une norme sur
E
x
Z
et (f (t) + f 0 (t))dt.
0
3. On pose, pour tout
Montrer que
N0
une partie de
E
est une norme sur
E,
N.
équivalente à
Exercice 1890
f ∈ E , N 0 (f ) = kf + f 0 k∞ .
Soit
E
un espace vectoriel normé,
A
et
x
un élément de
E.
Comparer les deux assertions :
i) Pour tout ε > 0 l'ensemble A ∩ B(x, ε) est inni.
ii) Pour tout ε > 0 il existe un élément y distinct de x dans A ∩ B(x, ε).
Exercice 1891
tout
Soit
A
l'ensemble des fonctions continues sur
[0, 1]
telles que
f (x) > 0
pour
x ∈ [0, 1].
1. On munit
C[0, 1]
de la norme
kf k∞ = sup |f (x)|.
Montrer que
A
est fermé et calculer
x∈[0,1]
son intérieur.
2. On munit
et que
A
C[0, 1]
de la norme
kf k1 =
1
Z
|f (x)|dx.
Montrer que l'intérieur de
A
est vide
0
est fermé.
Exercice 1892
Soit
(E, k k)
un espace vectoriel normé sur
R.
On pose
kx + yk2 + kx − yk2
µ(E) =
sup
.
2(kxk2 + kyk2 )
x,y∈E−(0,0)
1. Montrer que
1 6 µ(E) 6 2.
µ(R2 ) lorsque R2
max{|x|, |y|}.
2. Calculer
Exercice 1893
Soit
k k
est muni de la norme euclidienne puis de la norme
une norme sur
Rn
kAk =
et
sup
x∈Rn ;kxk=1
1. Montrer qu'on dénit ainsi une norme sur
2. On munit
R
n
de la norme
k k1 .
A = (ai,j )i,j∈1,···n ∈ Mn (R).
On pose :
kAxk.
Mn (R).
Montrer que
n
X
kAk1 = max (
|ai,j |).
16j6n
j=1
k(x, y)k∞ =
39 Espaces métriques et espaces vectoriels normés
Exercice 1894
1. Montrer que l'application
263
1
Z
(f, g) 7→ hf, gi =
f (t)g(t)dt est un produit
0
scalaire euclidien sur C[0, 1], l'espace vectoriel des fonctions continues sur
[0, 1]
à valeurs
réelles.
2. On note
C = {f ∈ C[0, 1];
1
Z
f (t)dt = 1.
Montrer que
0
inf
f ∈C
Z
1
f 2 (t)dt = 1
et que cette
0
borne inférieure est atteinte.
Exercice 1895
C[0, 1], l'espace
= sup |f (x)|.
On munit
réelles de la norme
kf k∞
vectoriel des fonctions continues sur
[0, 1]
à valeurs
x∈[0,1]
1. Soit
ϕ : C[0, 1] → R
une application linéaire. On pose
N (ϕ) =
|ϕ(f )|.
sup
f ∈C[0,1];kf k∞ =1
Montrer que
2. Calculer
ϕ
N (ϕ)
est continue si et seulement si
N (ψ)
lorsque
ψ(f ) =
est ni.
1
Z
f (t)dt.
0
f ∈ C[0, 1]
3. Posons, pour toute fonction
:
ϕ(f ) =
1
2
Z
f (t)dt −
Z
0
1
f (t)dt.
Montrer que
1
2
N (ϕ) = 1.
Exercice 1896
f (0) = 0
telles que
E , l'espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs réelles
norme kf k∞ = sup |f (x)|.
On munit
de la
x∈[0,1]
1. Soit
ϕ:E→R
une application linéaire. On pose
N (ϕ) =
|ϕ(f )|.
sup
Montrer que
f ∈E;kf k∞ =1
ϕ est continue
l'espace vectoriel des formes
2. Calculer
Z 1
N (ϕ) est ni. Montrer que ϕ 7→ N (ϕ) est une norme sur
linéaires continues sur E .
si et seulement si
µ = N (ψ)
lorsque
ψ
est dénie en posant, pour toute fonction
f ∈E
:
ψ(f ) =
f (t)dt.
0
3. Peut-on trouver une fonction
Exercice 1897
1. Soit
On munit
f ∈E
E = C 1 [0, 1]
telle que
et
|ψ(f )| = µ
F = C[0, 1]
et
kf k∞ = 1 ?
de la norme
kf k∞ = sup |f (x)|.
x∈[0,1]
ϕ:E→F
une application linéaire. On pose
N (ϕ) =
|ϕ(f )|.
sup
Montrer que
f ∈E;kf k∞ =1
ϕ
est continue si et seulement si
2. Montrer que l'application
Exercice 1898
1. Soient
Soit
x, y ∈ E
2. Les normes
Exercice 1899
inversibles
2. Soit
(E, h, i)
et
k k1
I
f 7→ f 0
est ni.
n'est pas continue.
un espace euclidien et
le segment
et
N (ϕ)
k k∞
de
[x, y].
R
n
Calculer
S = {x ∈ E; kxk = 1}.
S ∩ I.
sont-elles euclidiennes ?
A ∈ Mn (C). Montrer quil existe une suite
convergeant vers A (en un sens que l'on précisera).
1. Soit
N ∈ Mn (C)
+ N ) = 1.
une matrice nilpotente. Calculer les valeurs propres de
A ∈ Mn (C)
telle que
det(I
3. Soit
de matrices
Exercice 1900
AN = N A.
Calculer det (A
I Préliminaires
+ N ).
N.
(An )n∈N
Montrer que
39 Espaces métriques et espaces vectoriels normés
1. Soit
que
2. Soit
P l'espace vectoriel des fonctions
P est de dimension innie.
X
une partie bornée de
R.
264
polynomiales de
Montrer que
[0, 1]
à valeurs dans
R.
Montrer
sup(X) = sup X̄.
II
L
lipschitziennes
[0, 1] à valeurs dans R, c'est à dire telles
1
qu'il existe k ∈ R+ tel que, pour tout x, y ∈ [0, 1], |f (x) − f (y)| 6 k|x − y|. On note C
1
l'ensemble des fonctions de [0, 1] à valeurs dans R de classe C , c'est à dire dérivables à dérivée
On note
l'ensemble des fonctions
de
continue.
1. Montrer que
valeurs dans
L est un sous espace
R, que L contient C1
vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions de
[0, 1]
à
et est de dimension innie.
f ∈L:
2. On pose, pour tout
N1 (f ) = |f (0)| +
|f (x) − f (y)|
|x − y|
(x,y)∈[0,1]2 ,x6=y
sup
|f (x) − f (0)|
|x|
x∈]0,1]
N2 (f ) = |f (0)| + sup
kf k∞ = sup |f (x)|
x∈[0,1]
λ(f ) = kf k∞ +
N1 , N2 , k k ∞
(a) Montrer que
(b) En considérant la suite
et
λ
|f (x) − f (y)|
.
|x − y|
(x,y)∈[0,1]2 ,x6=y
sup
sont des normes sur
fn (x) = sin(2πnx),
L.
montrer que
N2
n'est pas équivalente à
k k∞ .
N1
(c) Montrer que
n'est équivalente ni à
(gn )n∈N
(d) Construire une suite
pas pour
N2 .
3. On pose, pour tout
et
N1
(b) Montrer que
ν1 (f ) = N1 (f ),
4. Soit
(E, k k)
Cauchy
que
et
est
que
ν
ν1
sont des normes sur
pour tout
il existe
x 7→ |x|
k k∞
k k∞ .
pour
mais
et
ν(f ) = kf k∞ + kf 0 k∞ .
C1 .
f ∈ C1 .
(xn )n∈N
m, n > N
N
tel que, si
E est dite de
alors kxn − xm k 6 ε. On dit
convergente. On rappelle que R
d'éléments de
est complet.
0
C l'espace vectoriel des
(C 0 , k k∞ ) est complet.
(fn )n∈N
0
n'est pas équivalente à
si toute suite de Cauchy y est
(b) L'espace vectoriel normé
(c) Soit
qui converge vers
sont-elles équivalentes ?
ε > 0,
complet
muni de la norme
(a) Soit
et
N2 .
un espace vectoriel normé. Une suite
si, pour tout
(E, k k)
L
N2
f ∈ C1 : ν1 (f ) = |f (0)| + kf 0 k∞
ν1
ν
ni à
sont équivalentes.
(a) Montrer que
(c) Les normes
d'éléments de
En déduire (de nouveau) que
λ
(e) Montrer que
k k∞ ,
fonctions continues de
(C1 , ν)
[0, 1]
à valeurs dans
est-il complet ? Qu'en est-il de
une suite de Cauchy dans
mément vers une fonction continue
f.
(L, λ).
Montrer que
R.
Montrer
(C1 , ν1 ) ?
(fn )n∈N
converge unifor-
40 Suites dans
265
Rn
n assez grand f − fn
(L, λ) est complet.
(d) Démontrer que pour
(e) En déduire que
est lipschitzienne.
III
C1
On munit
ϕ : C1 → C 0
1. Soit
C0
k k∞ .
On note
une application linéaire. On pose
N (ϕ) =
d'une norme
0
à valeurs dans C .
N
et et
de la norme
d
l'application
f 7→ f 0
sup kϕ(f )k∞ .
de
C1
Démontrer
f ;N (f )61
que
ϕ
N (ϕ)
est continue si et seulement si
est ni. Vérier que N est une norme sur
C1 à valeurs dans C0 .
l'espace vectoriel des applications linéaires continues de
d n'est pas continue si N = k k∞ .
norme ν. Montrer que d est continue et calculer N (d).
2. Montrer que l'application
3. On munit
C
1
de la
[Exercice corrigé]
Exercice 1901
x
Exercice 1902
40 Suites dans
Soit
xn
une suite de
Rd .
xn
A
Montrer que l'ensemble
A
n est fermé. Indication : prouver que le complément de
Soit
Rn
une suite bornée de
Rd .
des valeurs d'adhérence de
est ouvert.
Montrer que
xn
converge si et seulement si A
Rd a
est un singleton. Indication : pour prouver la convergence, utiliser qu'une suite bornée de
au moins une valeur d'adhérence.
Exercice 1903
Soit
f : Rd → Rd
continue. Soit
x 0 ∈ Rd .
Soit
xn
la suite dénie par
xn+1 = f (xn ).
Supposons que
||xn − xn+1 || → 0.
Montrer que si
a ∈ A alors f (a) = a.
f en a en termes de
Indication : appliquer la dénition de la continuité de
Exercice 1904
l'ensemble
A
Soit
xn
une suite bornée de
limites.
Rd . Supposons que ||xn − xn+1 || → 0. Montrer que
est non-vide, compact, connexe.
Indication : pour la connexité, supposer que
A = A1 ∪ A2
avec
A1
et
A2
non-vides, disjoints,
fermés.
Si
d=1
conclure que
Exercice 1905
Soit
A = [a, b]
f :R→R
avec
a 6 b.
continue. Soit
x 0 ∈ R.
Soit
xn
la suite dénie par
xn+1 = f (xn ).
Supposons que
xn
est bornée. Montrer que
xn
converge si et seulement si
||xn − xn+1 || → 0.
Indication. Montrer qu'il sut de prouver que
a=b
dans
[a, b] = A.
Si
a<b
montrer que la
suite est stationnaire.
Exercice 1906
f :R→R
Soit
sn = Σnk=1 1/k
et
xn = cos(sn ).
Montrer qu'il n'existe pas d'application
continue telle que
xn+1 = f (xn ).
Indication : montrer que
||xn − xn+1 || → 0
mais que
xn
ne converge pas.
41 Intégrales multiples
Exercice 1907RR
41 Intégrales multiples
Calculer
I2 =
Calculer
I3 =
Calculer
I4 =
Calculer
I5 =
D
RRR
I5 =
RR
D
RR
Exercice 1908
Exercice 1909
D
où
xy
dxdy où
1+x2 +y 2
zdxdydz
xydxdy
où
D = {(x, y) ∈ R2 /x, y > 0, x + y 6 1}.
D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < x, x2 + y 2 > y}.
D = {(x, y) ∈ [0, 1]2 /x2 + y 2 > 1}.
1
dxdy où
y cos(x)+1
D = [0, π2 ] × [0, 12 ].
D = {(x, y, z) ∈ (R+ )3 /y 2 + z 6 1, x2 + z 6 1}.
o
n
2
2
D = (x, y) ∈ R2 /x, y > 0, xa2 + yb2 6 1 avec a, b > 0.
où
D
Calculer
(x + y)e−x e−y dxdy
RR
I1 =
(x2 + y 2 )dxdy
Calculer
D
RR
266
où
D
Représenter et calculer le volume de
{(x, y, z) ∈ R3 / − 1 6 z 6 1, x2 + y 2 6 z 2 + 1}.
Déterminer le centre de gravité du culbuto (homogène),
(x, y, z) ∈ R3 /z ∈ [0, 1], x2 + y 2 6 z 2
i.e.
le cône
auquel on adjoint sur sa base une demi-boule.
Exercice 1910
Soit
D = [0, 1]2 .
Calculer :
ZZ
Exercice 1911
D
Soit
D
le disque de centre
ZZ
Exercice 1912
Exercice 1913
Exercice 1914
dx dy
.
(x + y + 1)2
(0, 1)
et de rayon
1
du plan. Calculer :
(x2 + y 2 ) dx dy.
D
Soit
D = {x > 0, y > 0, x2 + y 2 − 2y > 0, x2 + y 2 − 1 6 0}.
ZZ p
x2 + y 2 dx dy.
Calculer :
D
Soit
D = {(x2 + y 2 )2 6 xy}. Calculer :
ZZ
√
xy dx dy.
D
Soient
2
2
a, b > 0. Calculer l'aire de l'ellipse E = { xa2 + yb2 6 1} par deux méthodes
diérentes.
(On rappelle que l'aire d'un domaine
Exercice 1915
a(1 + cos θ)
Exercice 1916
Soit
a > 0
. Calculer l'aire de
l'aire de
Soient
D
D.
et
D
vaut
RR
D
dx dy .)
le domaine délimité par la courbe d'équation polaire
0 < a 6 b, 0 < c 6 d,
et
D = {ax2 6 y 6 bx2 , xc 6 y 6 xd }.
D.
(Indication : poser
Exercice 1917
u=
Soit
y
et
x2
p>0
v = xy .)
et
D = {y 2 − 2px 6 0, x2 − 2py 6 0}.
ZZ
x3 +y 3
e xy dx dy.
D
(Indication : poser
x = u2 v
et
y = uv 2 .)
Calculer :
ρ =
Calculer
41 Intégrales multiples
Exercice 1918
267
R > 0, DR = {x2 + y 2 6 R2 , x > 0, y > 0}
ZZ
ZZ
−(x2 +y 2 )
−(x2 +y 2 )
e
dx dy 6
e
dx dy 6
Soit
ZZ
DR
et
KR = [0, R]2 .
e−(x
2 +y 2 )
Montrer que :
dx dy.
D2R
KR
En déduire l'existence et la valeur de
lim
Exercice 1919
rayon
R.
R→+∞
Soient
a, R > 0.
En tournant autour de l'axe
Exercice 1922
(Oy)
Exercice 1923
2.
(Oz),
2
e−t dt.
(yOz),
soit
le disque
D
D
le disque de centre
engendre un domaine
(c'est-à-dire l'intégrale triple
Soit
D = {x2 + y 2 6 1, 0 6 z 6 1 − x2 + y 2 }.
Soit
D = {x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z 6 1}.
ZZZ
dx dy dz
.
3
D (1 + x + y + z)
RRR
T
(0, a, 0) et de
T (appelé un
dx dy dz ).
Calculer le volume de
D.
Calculer :
Quel est le volume délimité par deux cylindres de révolution d'axes
et de même rayon
1.
T
R
0
Dans le plan
tore plein). Calculer le volume de
Exercice 1920
Exercice 1921
Z
En utilisant un changement de variables, calculer l'intégrale de
2
2
2
2
f
sur
avec
D = {(x, y) ∈ R | π < x + y 6 4π } ; f (x, y) = sin x2 + y 2 ;
n
o
2
2
D = (x, y) ∈ R2 | xa2 + yb2 6 1 avec a , b > 0 ; f (x, y) = x2 + y 2 ;
4.
D = {(x, y) ∈ R2 | 0 < x2 6 y 6 2x2 , 1/x 6 y 6 2/x} ; f (x, y) = x + y
2
variable u = y/x , v = xy ) ;
5.
D = {(x, y, z) ∈ R3 | x > 0 , y > 0 , z > 0 , x2 + y 2 + z 2 6 1} ; f (x, y, z) = xyz ;
6.
D = {(x, y, z) ∈ R3 | 1 6 x2 + y 2 + z 2 6 4} ; f (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )α .
(changement de
Exercice 1924
Identier les ensembles suivants et calculer leur aire s'ils sont dans
3
volume s'ils sont dans R .
o
n
y2
2 x2
D = (x, y) ∈ R | a2 + b2 6 1 avec a, b > 0 ;
n
o
2
2
2
D = (x, y, z) ∈ R3 | xa2 + yb2 + zc2 6 1 avec a, b, c > 0 ;
culier où
3.
D
p
2
D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 6 1 , 0 6 z 6 h} avec h > 0 ; f (x, y, z) = z ;
2.
et
R > 0?
3.
1.
(Ox)
D
est la boule unité de
R2 ,
qu'obtient-on dans le cas parti-
R3 ?
D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 6 R , 0 6 z 6 h}
avec
R, h > 0 ;
3
4.
D = {(x, y, z) ∈ R | x > 0 , y > 0 , z > 0 , x + y + z 6 1} ;
5.
D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 6 z 2 /h2 , 0 6 z 6 h}
Exercice 1925
n
avec
h > 0.
Calculer les coordonnées du centre d'inertie (de gravité) du domaine
x2
a2
y2
o
6 1, x > 0, y > 0
1.
D = (x, y) ∈ R2 |
2.
D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 6 1 , x > 0 , |y| 6 ax} ;
3.
D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 6 9 , (x − 1)2 + y 2 > 1}.
+
b2
leur
(le quart d'ellipse) ;
D
:
42 Séries numériques, séries de Fourier
Exercice 1926
268
Théorème de Guldin
1.
Soit D0 un domaine tracé dans le demi-plan
{(x, 0, z) ∈ R3 | x > 0}. Si l'on fait tourner D0 autour de l'axe Oz , on obtient un domaine
D de R3 . En utilisant les coordonnées cylindriques. montrer que
V ol (D) = 2πAire (D0 ) · xG ,
où
(xG , zG )
sont les coordonnées du centre d'inertie du domaine
D0 .
2. Calculer les volumes des domaines suivants :
(a) le tore obtenu en faisant tourner autour de
z2
b2
6 1},
où
le domaine
D0 = {(x, 0, z) |
(x−c)2
a2
+
a < c;
D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 6 4R2 , x2 + y 2 6 R2 }, où R > 0.
Z
ZZ
−(x2 +y 2 )
−t2
On pose I =
e 2 dt et J =
e 2 dxdy. Calculer J et
(b)
Exercice 1927
valeur de
Oz
en déduire la
R2
R
I.
Exercice 1928
On note
D
le domaine délimité par les droites
ZZ
I=
1. Calculer (directement)
x = 0, y = x + 2
et
y = −x.
(x − y)dxdy.
D
2. Calculer
I
Exercice 1929
v = x − y.
ZZ
2
2
D = {(x, y); x > 0, y > 0, x + y 6 1}. Calculer
(4 − x2 − y 2 )dxdy.
au moyen du changement de variable
Soit
u=x+y
et
D
42 Séries numériques, séries de Fourier
Exercice 1930
42.1 Séries numériques
Soient, pour
n!en
n > 0, un =
1. Etudier la serie de terme général
1
nn+ 2
wn
et
vn = ln un .
où, pour
n > 2, wn = vn − vn−1
et
w1 = v1 .
2. En déduire, en utilisant la convergence de la suite des sommes partielles de
suite
un
converge vers
3. Déterminer
λ
équivalent de
Indication
wn ,
que la
λ > 0.
en utilisant la formule de Wallis :
√
22n (n!)2
limn→+∞ √
= π.
n(2n)!
En déduire un
n!.
: Exprimer
n!
(respectivement
(2n)!)
en fonction de
un
(resp. de
u2n )
et
remplacer-les dans la formule de Wallis.
Exercice 1931
Soit
S=
∞
X
(−1)n−1
n3
. Donner une valeur approchée de
S
en garantissant une
n=1
−3
erreur inférieure ou égale à 10 .
Exercice 1932
Etudier la série de terme général
√
an 2 n
un = √n
2 + bn
où
a > 0, b > 0.
Indication : Chercher un équivalent suivant les valeurs de b.
Exercice 1933 (Utilisation des règles de Cauchy et d'Alembert)
termes généraux
Etudier les séries de
42 Séries numériques, séries de Fourier
1.
un =
√
269
x
x
n! sin x sin √ · · · sin √
n
2
2.
2
vn = ean (1 −
avec
x > 0.
a n3
)
n
Exercice 1934 (Comparaison à des séries de Riemann et équivalent)
Etudier les sé-
ries de termes généraux
1.
un = cos(
πn2
)
2n2 + an + 1
2.
vn = e−
3.
wn = (1 −
Exercice 1935
Soit
√
avec
a>0
n
1 n
)
n2
(un ) une suite de réels strictement positifs, on suppose que lim(
et que
On pose
v n = n α un .
un+1
α
1
= 1 − + O( β ) , où α > 0 β > 1.
un
n
n
vn+1
Etudier
et montrer que (vn ) a une limite nie.
vn
la série de terme général
Exercice 1936√
1.
2.
un =
√
1
1
n! sin 1 sin √ · · · sin √ .
n
2
Déterminer la nature de la série de terme général :
Etudier, suivant les valeurs de
un =
Exercice
1938
P
2.
3.
Application : Etudier
n!
, (ch ln n)−2 , n−(1+(1/n))
nn
√
1
1
ln n
lnn − n
√ ln(1 + √ ) ,
,
n
e
ln(en − 1)
n
n
Exercice 1937
1.
un+1
)=1
un
p ∈ N,
la nature de la série de terme général :
1! + 2! + · · · + n!
.
(n + p)!
Calculer les sommes des séries suivantes, en montrant leur convergence :
+ 1)3−n
X
n
4
n + n2 + 1
n>0
X 2n − 1
n>0 (n
n>3
n3 − 4n
Exercice 1939
P
( un )
et
Soit
X un
).
(
Sn
(un ) une suite réelle positive et Sn =
Exercice 1940 (Séries à termes quelconques)
n
X
up . Comparer la nature des séries
p=0
Etudier les séries de termes généraux
42 Séries numériques, séries de Fourier
270
1.
(−1)n
(ln n)(n1/n )
un =
2.
(−1)n
vn = p
nα + (−1)n
3.
(−1)n
)
nα
wn = ln(1 +
où
α>0
où
α>0
Indication : Des calculs de D.L. peuvent etre fructueux ...
Exercice 1941 (Utilisation d'une série)
Z
∞
gence de l'intégrale généralisée suivante
Le but de cet exercice est de montrer la conver-
dx
.
1 + x4 sin2 x
0
Pour cela, on considère la série de terme général
un =
(n+1)π
Z
nπ
un
Par un changement de variable, transformer
un =
π
Z
0
Encadrer ensuite
un
Z
π
Exercice 1942
Soit
un
vn
vn
où
dx
1 + (nπ)4 sin2 x
0
Calculer explicitement l'intégrale
en
dx
1 + (nπ + x)4 sin2 x
par les termes de la suite
vn =
dx
.
1 + x4 sin2 x
et en déduire un équivalent de
un .
Conclure.
une suite décroissante à termes positifs. On suppose
Montrer que
P
( un )
converge.
lim (nun ) = 0.
n→∞
Indication : Encadrer
epsilons.
Exercice 1943
P
suppose que
Pn
p+1
uk
pour
P
n > p.
P
n>0 un ,
n>0
n>0 vn converge, et que
Soient
vn
deux séries à termes réels strictement positifs. On
∀n ∈ N,
Montrer que
P
un
un+2
vn+2
6
.
un
vn
converge.
Exercice 1944 (Examen 2000)
n>2
Puis revenir aux dénitions des limites avec les
En justiant votre réponse, classer les dix séries
vantes en 4 catégories
GD : celles telles que
un
ne tend pas vers 0 ;
ZD : celles qui divergent et telles que
lim un = 0;
AC : celles qui convergent absolument ;
SC : celles qui convergent, mais non absolument.
P
un
sui-
42 Séries numériques, séries de Fourier
271
(Attention : pour pouvoir répondre, certaines séries demandent deux démonstrations : par
P
exemple pour montrer que
diverge.
∞ X
(−1)n
1
+ 2
n
n
n=1
un
P
est SC, il faut montrer que
un
converge
et
que
P
|un |
X
∞ ∞
√
√ X
√ 2
1 √
√
;
n+1− n ;
n+1− n ;
n
n=1
n=1
X
∞
∞ n! X
1
1 n
− log(1 + ) ;
;
1 − (1 − ) ;
n
n
nn n=1
n
n=1
∞ X
1
n=1
∞
∞
∞
n
∞
X
2n + 1000 X
π X
π X X 1 1
;
(1 − cos );
sin(πn) sin( );
3n + 1
n n=1
n n=0 k=0 2k 3n−k
n=1
n=1
Exercice 1945 (Examen 2000)
∞
X
(−1)n
n=1
Montrer la convergence des deux séries
n
P∞
= − log 2.
k=1
1
2k−1
−
1
2k
leur somme à l'aide du rappel ci dessus.
2. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle
P∞
k=1
1
2k+1
−
1
2k
et calculer
1
.
4x3 −x
1
k=1 4k3 −k et calculer sa somme à l'aide de ce qui
précède.
dx
converge t-elle ? Si oui, la calculer.
4x3 −x
Exercice 1946 (Examen 2000)
1
et
P∞
3. Montrer la convergence de la série
R∞
.
1. On rappelle que la série harmonique alternée converge
et a pour somme
4. L'intégrale impropre
!
a > 0 xé. Pour n entier positif ou nul on d‚nit
Pn (a) par P0 (a) = 1, P1 (a) = a, P2 (a) = a(a + 1) et, plus généralement Pn+1 (a) = (n + a)Pn (a).
Soit
Montrer que
L(a) = lim
n∞
Pn (a)
n!na−1
existe et est un nombre strictement positif. Méthode : considérer la série de terme général pour
n > 0 : un = log(n + a) − a log(n + 1) + (a − 1) log n, comparer sa somme partielle d'ordre n − 1
Pn (a)
avec log
, et, ... l'aide d'un développement limité en 1/n d'ordre convenable, montrer que,
n!na−1
P
∞
u
converge.
n=1 n
Exercice 1947
α et β deux nombres réels ou complexes tels que αβ = −1 et |α| > 1 > |β|.
1
Pour n dans l'ensemble Z des entiers positifs ou négatifs on pose Fn =
(αn − β n ) et
α−β
Ln = αn + β n (si α + β = 1 ces nombres sont appelés entiers de Fibonacci (1225) et de Lucas
Soit
(1891)).
1. Montrer par le critère de D'Alembert que la série
limite de
Qn = Ln /Fn
si
n → +∞.
.
P∞
1
n=1 F2n+1 +1 converge et calculer la
2. On admet (identité de Backstrom (1981)) que pour tous
1
F4n−2k−1 + F2k+1
En faisant
k =0
1
(Q2n+1 − Q1 ). En
2L1
expression simple du
si
t
1
F4n+2k+1 + F2k+1
=
1
2L2k+1
et
k
de
Z
on a
(Q2n+2k+1 − Q2n−2k−1 ) .
2n de la série
n que s2n =
déduire la somme de la série en termes de α et β. Donner une
terme général de la série et de sa somme si α = exp t et β =
dans cette identité, calculer la somme partielle d'ordre
P2n
1
s2n =
j=1 F2j+1 +1 en montrant par récurrence sur
initiale, c'est à dire
− exp(−t)
+
n
est réel.
42 Séries numériques, séries de Fourier
3. Montrer que la série
272
P∞
1
n=1 F2n+1 +F3 converge et calculer sa somme.
Exercice 1948 (Permutation dans la série harmonique alternée : Pringsheim (1883))
n > 0,
Pour tout entier
u(n) = (−1)n /n
soit
. Soit
σ
une permutation des entiers
>0
et soit
τ
la permutation réciproque. On suppose de plus que
p > 0 on a τ (2p − 1) < τ (2p + 1) et τ (2p) < τ (2p + 2).
(2) Notant par p(n) le nombre d'entiers k tels que 1 6 k 6 n et σ(k) est
limn∞ p(n)/n existe et est dans ]0, 1[.
(1) pour tout entier
σ
1. Dans le cas particulier où
pair, alors
α =
est dénie par
σ(3p) = 2p, σ(3p + 1) = 4p + 1, σ(3p + 2) = 4p + 3
pour tout entier
calculant
p(n)
p > 0,
calculer explicitement
n
pour tout
ainsi que
τ,
et vérier que
σ
satisfait (1) et (2), en
α.
Pn
k=1 1/k − log n, et on rappelle le fait, vu en cours, que limn∞ f (n) = γ
existe (Constante d'Euler). On revient au cas général pour σ , on considère la série de
2. On note
f (n) =
terme général
vn = u(σ(n))
3. Montrer par récurrence que
En
sn = v 1 + · · · + v n .
Pp(n) 1
Pn−p(n) 1
sn = k=1 2k − k=1 2k−1
et
et on note
que
1
1
1
p(n)
sn = f (p(n)) + f (n − p(n)) − f (2n − 2p(n)) + log
− log 2.
2
2
2
n − p(n)
P∞
déduire que
n=1 vn converge et calculer sa somme en fonction de α.
Exercice 1949
0 < a < b et (un )n>0 déni par u0 = 1 et uun+1
= n+a
n+b
n
b−a
que la limite de la suite Sn = log(n
u
)
existe et est nie. En déduire
n
P∞
telles que la série
j=0 uj converge. Calculer alors sa somme : pour cela
partielle sn , en montrant d'abord que pour tout n on a
Soit
n
X
[(j + 1) + b − 1]uj+1 =
j=0
n
X
Soit
expliciter sa somme
[j + a]uj .
j=0
f
une fonction intégrable au sens de Riemann périodique de période
∞
X
a0
+
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
2
k=1
n
a0 X
n ∈ N : Sn (x) =
+
(ak cos(kx) + bk sin(kx)).
2
k=1
On désigne par :
θ ∈ R − 2πZ.
2. Etablir que
3. En déduire
Z
0
1
Sn (x) =
π
sin(n +
sin 2θ
π
Z
1
Sn (x) =
2π
π
sin(n + 12 )θ
1 X
+
cos(kθ) =
.
2 k=1
2 sin 2θ
Montrer
sin(n + 12 )(x − t)
−π
Z
1
)θ
2
2 sin (x−t)
2
π
−π
dθ.
f (x + θ)
2π .
sa série de Fourier et on pose, pour tout
n
4. Calculer
les
42.2 Séries de Fourier
Exercice 1950
1. Soit
n > 0. Montrer
valeurs de a et b
pour
f (t)dt.
sin(n + 12 )θ
dθ.
sin 2θ
42 Séries numériques, séries de Fourier
Exercice 1951
Soit
f
la fonction
2π -périodique
2. Calculer
sur
∞
X
π
2
|x| dx.
En déduire la valeur de
−π
3. Calculer
∞
X
p=1
4. Montrer que
R
telle que
f (x) = |x|
si
|x| 6 π.
f.
1. Déterminer la série de Fourier de
Z
273
p=0
1
.
(2p + 1)4
1
.
n4
∞
4 X cos(2p + 1)x
π
−
.
2 π p=0 (2p + 1)2
|x| =
∞
X
En déduire les valeurs de
p=0
1
(2p + 1)2
puis
∞
X
1
.
n2
p=1
Exercice 1952
Soit
f
la fonction
2π -périodique
2. Calculer
En déduire la valeur de
−π
3. Montrer que
Exercice 1953
c0
En déduire
puis calculer
une fonction
3. Montrer qu'il existe
Soit
c00n
en fonction de
c0
ϕ ∈ [0, 2π] et ρ ∈ R+
f :R→C
On note respectivement
1. Calculer
si
|x| 6 π.
Z
2π
∞
X
1
.
n2
p=1
2π -périodique, C
2
(cn )n∈Z
(c0n )n∈Z
2. En déduire que que
2π
|f (t)|2 dt 6
pour
|n| > 2.
f (t) = ρ cos(t+ϕ) pour tout t ∈ [0, 2π].
Z 2π
1
2π -périodique, C et telle que
f (t)dt = 0.
0
les coecients de Fourier (complexes) de
puis donner une relation entre
Z
cn = 0
tels que
une fonction
et
et telle que
cn .
2. A l'aide du théorème de Parseval, en déduire que
Exercice 1954
f (x) = x2
f (t)dt = 0 et,
0
> |f 00 (t)|.On note respectivement (cn )n∈Z et (c00n )n∈Z les coecients de Fourier
00
et f .
Soit
∀t ∈ [0, 2π], |f (t)|
(complexes) de f
1. Calculer
∞
X
π2
(−1)n cos nx
x =
+4
.
3
n2
n=1
2
f :R→R
telle que
∞
X
1
.
4
n
p=1
π
x4 dx.
R
f.
1. Déterminer la série de Fourier de
Z
sur
et
et
f 0.
c0n .
2π
Z
0
cn
f
|f 0 (t)|2 dt.
0
3. Dans quel cas l'égalité a-t-elle lieu ?
Exercice 1955
Soit
1. Montrer que
f :R→R
l'application
+∞
0
Z
∀x ∈ R : xf (x) = 2
+∞
0
f
f (x) = f (x).
2. Montrer que
00
x 7→
Z
est de classe
3. Donner une expression de
f
C
2
sur
cos tx
dt.
1 + t2
t sin tx
dt.
(1 + t2 )2
puis, en dérivant l'expression ci-dessus, que
R∗+
puis sur
R.
∀x ∈ R∗+ :
43 Géométrie ane
274
Septième partie
GÉOMÉTRIE
43 Géométrie ane
Exercice 1956
43.1 Droites, triangles,...
P
Soit
un plan muni d'un repère
exprimés par leurs ccordonnées dans
R(O,~i, ~j),
les points et les vecteurs sont
R.
1. Donner un vecteur directeur, la pente et des représentations cartésiennes et paramétriques
(AB)
des droites
(a)
A(2, 3)
(b)
A(−7, −2)
(c)
A(3, 3)
et
et
suivantes :
B(−1, 4)
et
B(−2, −5)
B(3, 6).
A
2. Donner des représentations cartésiennes et paramétriques des droites passant par
dirigées par
~u
et
avec :
(a)
A(2, 1)
et
~u(−3, −1)
(b)
A(0, 1)
et
~u(1, 2)
(c)
A(−1, 1)
et
~u(1, 0).
3. Donner des représentations paramétriques et cartésiennes (que l'on pourra déduire des
paramétriques) des droites dénies comme suit :
(a) passant par le point
(0, 4)
(b) passant par le point
(2, −3)
et parallèle à l'axe des
x,
(c) passant par le point
(−2, 5)
et parallèle à la droite
D : 8x + 4y = 3,
(d) passant par le point
(1, 0)
Exercice 1957
et de pente
3,
et parallèle à la droite
1. Les trois points
A, B
et
C
de
P
D : x − y + 5 = 0.
sont-ils alignés ? Si oui donner une
équation cartésienne de la droite qui les contient.
(a)
A(−3, 3), B(5, 2)
et
C(2, 1),
(b)
A(1, 1), B(−2, 2)
et
C(2, 1),
(c)
A(4, −3), B(0, −1)
et
C(2, −2),
(d)
A(2, −1), B(1, −2)
et
C(−3, 4).
2. Dans les cas suivant, donner un vecteur directeur de
partient ou non à
(a)
(b)
et déterminer si le point
C
ap-
D
(D) : 3x + 5y + 1 = 0,
x=3+t
(D) :
,
y =2−t
Exercice 1958
D
C(3, −2).
C(5, 3).
Dans l'exercice suivant, on considère des couples de deux droites
D1
et
D2
on doit déterminer si elles sont sécantes, parallèles ou confondues. Si elles sont sécantes, on
déterminera les coordonnées du point d'intersection, et si elles sont parallèles ou confondues on
déterminera un vecteur directeur.
:
43 Géométrie ane
275
1.
(D1 ) : 3x + 5y − 2 = 0
2.
(D1 ) : 2x − 4y + 1 = 0 et (D2 ) : −5x + 10y + 3 = 0
x = 3 + 4t
x=5−s
et (D2 ) :
(D1 ) :
y =2−t
y = 2 + 3s
x = 1 + 2t
x = 3 − 4s
et (D2 ) :
(D1 ) :
y = 2 − 3t
y = −1 + 6s
x=2+t
(D1 ) : x − 2y + 3 = 0 et D2 :
y = 3 − 2t
x = 1 − 4t
(D1 ) : 3x − 2y + 1 = 0 et (D2 ) :
y = 2 − 6t
3.
4.
5.
6.
Exercice 1959
et
(D2 ) : x − 2y + 3 = 0
D : 2x−3y +4 = 0 et D0 : x+3y +1 = 0.
On considère le point A, intersection des deux droites et le point B de coordonnées (3, 8). Donner
On considère les deux droites du plan
une équation de (AB).
Exercice 1960
On considère le triangle
ABC dont les côtés ont pour équations (AB) : x+2y =
3, (AC) : x + y = 2, (BC) : 2x + 3y = 4.
1. Donner les coordonnées des points
A, B, C .
2. Donner les coordonnées des milieux
A0 , B 0 , C 0
de
(BC), (AC)
et
(AB)
respectivement.
3. Donner une équation de chaque médiane et vérier qu'elles sont concourantes.
Exercice 1961 (Médianes)
On considère dans
1. Déterminer dans le repère
P
trois points
A, B
et
C.
~ AC)
~ des équations pour les médianes du triangle ABC.
(A, AB,
2. En déduire que les médianes d'un triangle sont concourantes.
Exercice 1962 (Théorème de Menelaüs)
Dans le triangle
ABC ,
on considère trois points
P, Q, R, sur les côtés (BC), (AC) et (AB) respectivement, ces points n'étant pas les points A, B
ou C . Montrer que P, Q et R sont alignés si et seulement si
PB
QC
RA
=
=
=1
PC
QA
RB
Exercice 1963 (Théorème de Pappus)
de trois points alignés. Montrer que les points
(A1 , A2 , A3 ) et (B1 , B2 , B3 ) deux systèmes
C1 , C2 et C3 , intersections des droites (A2 B3 ) et
(A3 B2 ), (A3 B1 )
(que l'on suppose exister) sont alignés.
et
(A1 B3 ), (A1 B2 )
et
Soient
(A2 B1 )
Exercice 1964 (Théorème de Ceva)
Dans le triangle
ABC , on considère trois points P, Q, R,
points n'étant pas les points A, B ou
(BC), (AC) et (AB) respectivement, ces
C . Montrer que les droites (AP ), (BQ) et (CR) sont concourantes ou parallèles si et seulement
sur les droites
si
P B QC RA
.
.
= −1
P C QA RB
Exercice 1965
pour l'union ?
43.2 Convexes
Montrer que l'intersection de deux parties convexes est convexe. Est-ce vrai
43 Géométrie ane
Exercice 1966
Soient
276
C
C0
et
deux ensembles convexes d'un espace ane, montrer que
D=
M + M0
| (M, M 0 ) ∈ C × C 0
2
est convexe.
Exercice 1967
co(A)
d'une partie non vide
A
d'un espace
A ; c'est le plus petit ensemble convexe
A. Montrer que c'est aussi l'ensemble des barycentres à coecients positifs de points
A. Que sont co({A, B}), co({A, B, C}) ?
ane
E
On appelle enveloppe convexe
l'intersection des ensembles convexes contenant
contenant
de
Exercice 1968
Un cône d'un espace vectoriel est une partie
K
telle que :
∀x ∈ K, ∀t > 0, tx ∈ K.
Montrer qu'un cône est convexe si et seulement si il est stable par addition.
Exercice 1969
Exercice 1970
Trouver les parties
C
convexes de
R2 telles que le complémentaire c C
soit aussi
convexe.
Soit
E
un espace ane de dimension
considère une combinaison convexe de points de
x=
m
X
ti xi
avec
A,
sous
n,
(x1 , ..., xn )
ensemble de E :
et
∀i ∈ {1, ..., m} : ti > 0
et
i=1
m
X
des points de
E.On
tj = 1.
j=1
Montrer qu'on peut écrire :
x=
n+1
X
gk xk
avec
∀k ∈ {1, ..., n + 1} : gk > 0
et
k=1
Ainsi il sut de
n+1
n+1
X
gk = 1.
k=1
points dans un espace de dimension
n
pour écrire une combinaison
convexe.
Exercice 1971
Exercice 1972
Exercice 1973
43.3 Divers
Une bimédiane d'un tétraèdre est une droite qui passe par les milieux de deux
arêtes opposées. Montrer que les trois bimédianes sont concourantes.
Soient
A, B, C
trois points non alignés d'un plan ane. Déterminer l'ensemble
des points ayant mêmes coordonnées dans les repères
−→ −→
(A, AB, AC)
et
−→ −→
(B, BA, BC).
0
R1 = (0, e1 , e2 , e3 ) un repère cartésien d'un espace ane. Soient O =
0
0
0
0
0
0
(1, 0, 0), e1 = e1 + e2 , e2 = e1 − e2 , e3 = e3 et R2 = (0 , e1 , e2 , e3 ). Déterminer les coordonnées
d'un point dans R2 en fonction de ses coordonnées dans R1 .
Soit
0
Exercice 1974
Soient
(Di )i=1...4
quatre droites du plan ane sécantes deux à deux en six
points distincts. Si deux d'entre elles se coupent en
A
et les deux autres en
B,
on dit que
[AB]
est une diagonale. Montrer que les milieux des trois diagonales sont alignés (on étudiera le
problème analytiquement en choisissant un bon repère).
Exercice 1975
(Di : ui x + vi y + hi =
0)i=1...3 trois
droites du plan ane. Montrer
u1 v1 h1 ou concourantes ssi u2 v2 h2 = 0.
u3 v3 h3 1. Soient
qu'elles sont parallèles
44 Isométries vectorielles
2. Soient
277
(D1 : x + 2y = 1), (D2 : x + y = 2), (D3 : 2x + y = 3), (D4 : 3x + 2y = 1).
D qui passe par D1 ∩ D2 et D3 ∩ D4 sans calculer
Déterminer une équation de la droite
ces points d'intersection.
Exercice 1976
f une
f = id.
1. Soit
2. Soient
f
Soient
A, B, C
trois points non alignés d'un plan ane.
f (A) = A, f (B) = B
application ane telle que
g
et
anes telles que
f (A) = g(A), f (B) = g(B)
et
f (C) = C .
Montrer que
f (C) = g(C).
Que peut-on
et
dire ?
3. Soit
f
ane telle que
Exercice 1977
E
Soit
1. Montrer que
f
f (A) = B , f (B) = C
f (C) = A.
Que peut-on dire ?
un espace ane et f une application ane de
est une translation ssi
2. Montrer que si
et
f~ = λid
où
λ 6= 1
E
dans
E.
f~ = id.
alors
f
est une homothétie (on montrera que
f
admet
un point xe).
3. On note
T
l'ensemble des translations. Montrer que
T
est un sous-groupe du groupe
ane.
4. On note
H
l'ensemble des homothéties bijectives. Montrer que
T ∪H
est un sous-groupe
du groupe ane.
Exercice 1978 ~
g deux applications anes de E dans E telles que f~ = ~g . Montrer
qu'il existe u ∈ E tel que f = tu ◦ g où tu est la translation de vecteur u. Que peut-on dire si
de plus il existe M ∈ E tel que f (M ) = g(M ) ?
Soient
Exercice 1979
f
et
 


x
−x + 2y − 2z − 2
y  7→  −3y + 2z + 6 
z
−4y + 3z + 6
Exercice 1980
R3 suivantes :
 


y
z
2
−
+
x
2
2
3
y  7→ −x + 3y − z + 2 
2
2
3
z
−x + y2 + z2 + 23
Reconnaître les application anes de
Soit
E
un espace ane,
f
et
une application ane de
E
dans
E
et
F = {M ∈ E/f (M ) = M } .
F 6= ∅.
~ = ker(f~ − id).
que F
On suppose que
1. Montrer
2. On suppose que
que
f~◦ f~ = f~. Soit s la projection ane sur F
parallèlement à
ker(f~). Montrer
f = s.
3. Faire la même chose si
Exercice 1981
Soit
E
f~ ◦ f~ = id.
un espace ane et
1. Montrer que si
f ◦f =f
2. Montrer que si
f ◦ f = id
Exercice 1982
Exercice 1983
alors
alors
f
f
f
une application ane de
E
dans
E.
est une projection ane.
est une symétrie ane.
44 Isométries vectorielles
Compléter
x1 = (1, 2, 1) en base orthogonale directe de R3 euclidien canonique.
Montrer que
∀(x, y, z) ∈ (R3 )3 x ∧ (y ∧ z) + y ∧ (z ∧ x) + z ∧ (x ∧ y) = 0.
45 Géométrie ane euclidienne
Exercice( 1984
Soit
Soit
E→E
x 7→ x ∧ a
f:
E
.
278
euclidien orienté de dimension 3 et
f
a ∈ E.
est-elle linéaire, bijective ? Comparer
f3
et
f.
Exercice 1985
a b
R
Exercice 1986 R
θ
k
∀x ∈ R R(x) = (cos θ)x + (sin θ)k ∧ x + 2(x|k) sin ( )k
Exercice 1987
R
R(1, 2, 1)
Exercice 1988
Soient
Soit
et
3
deux vecteurs de
. Discuter et résoudre l'équation
le rotation vectorielle d'angle
3
. Montrer que
a ∧ x = b.
et d'axe orienté par le vecteur unitaire
2 θ
.
2
3
Determiner la matrice dans la base canonique de
du retournement d'axe
.
Reconnaître les transformations géométriques dont les matrices respectives
R3 sont :
dans la base canonique de
√ 
3
1
√6
1

1
√
√3 − 6
3
− 6
6
2

Exercice 1989


−2 2 1
1
2
1 2
3
−1 −2 2
3
Soit R une rotation de R d'axe Ru et d'angle θ et r une rotation quelconque.
−1
Déterminer rRr
. En déduire que le centre de SO3 (R) est bîîîîîîp (le centre est l'ensemble des
rotations qui commutent avec toutes les autres).
Exercice 1990
R3
et
p = [a, b, c]
On considère l'espace vectoriel euclidien canonique et orienté
le produit mixte de
1.
s = [a + b, b + c, c + a],
2.
t = [a ∧ b, b ∧ c, c ∧ a] .
a, b
et
c.
Exprimer à l'aide de
p
R3 . Soient a, b, c ∈
les quantités suivantes
45 Géométrie ane euclidienne
Exercice 1991
45.1 Géométrie dans le plan
On considère les droites
l'intersection des deux droites et
B
D : x + 2y = 5
le point de coordonnées
1. Donner une équation cartésienne de la droite
D0 : 3x − y = 1
(5, 2).
et
3. Donner une équation cartésienne de la parallèle à
∆
C
le point de coordonnées
du segment
Exercice 1992
[B, C]. ∆
A
(AB).
2. Donner une équation cartésienne de la perpendiculaire à
4. Soit
et on note
D
0
D
passant par
passant par
B.
B.
(2, −7)). Donner une équation cartésienne de la médiatrice
D ? Et à D0 ?
est-elle parallèle à
1. On considère la famille des droites
Dλ : x + λy + 1 = 0,
(a) Vérier que ces droites passent toutes par un même point
A
où
λ ∈ R.
dont on donnera les
coordonnées.
(b) Parmi toutes ces droites, y en a-t-il une qui est verticale ? Si oui donner une équation
de cette droite.
(c) Parmi toutes ces droites, y en a-t-il une qui est horizontale ? Si oui donner une
équation de cette droite.
(d) Parmi toutes ces droites, y en a-t-il qui sont parallèles, confondues ou perpendiculaires à la droite
droites.
∆
d'équation
2x − 3y + 1 = 0 ?
Si oui donner des équations de ces
45 Géométrie ane euclidienne
279
Dm : (2m − 1)x + (3 − m)y + m + 1 = 0, m ∈ R.
a-t-il une perpendiculaire à (∆) : x + y − 1 = 0 ? Si
2. On considère la famille de droites
Parmi toutes ces droites y en
oui,
laquelle ?
Exercice 1993
On considère les trois points de
1. Dessiner le triangle
ABC
G
3. Vérier que
Exercice 1994
:
A(2, −3), B(0, −1)
H, Ω
et
G
2. Calculer la distance du point
A(1, 1)
(b)
A(2, −1)
(c)
A(3, 3)
−→ 1 −→
ΩG = 3 ΩH .
sont alignés et qu'en particulier
1. Calculer les angles :
√
→ √
→
(a) entre les vecteurs u 1 ( 3, 2) et v 1 (1, 3 3),
√
√
→
→ √
(b) entre les vecteurs u 2 (1,
2) et v 2 ( 2 − 2, 2
√
3
1
(c) du triangle de sommets A(−1, 0), B( ,
) et
2 2
(a)
C(−2, −5).
H , du centre du cercle circonscrit Ω et du centre
ABC .
de
et
puis calculer son aire.
2. Calculer les coordonnées de l'orthocentre
de gravité
P
A
à la droite
D
+ 2),
C( 12 , −
√
3
).
2
:
D : 2x + y − 1 = 0
et
et
D : 3x − 2y + 4 = 0
D : −x + 3y + 2 = 0.
et
3. Trouver les bissectrices de :
(a)
(b)
D : 5x − 12y + 7 = 0
et
D0 : 3x + 4y − 7 = 0,
D : x − 3y + 5 = 0 etD0 : 3x − y − 1 = 0.
Soit (0,~
i, ~j) un repère du plan. Déterminer
la réexion d'axe x + y = 1.
Exercice 1995
Exercice 1996 G
G
Exercice 1997
(D : 3x + y = 5)
(D : x − 2y + 3 = 0)
Exercice 1998 C
I = (x , y )
R (D : ax+by+c = 0)
D
D
C i.e. D ∩ C
d(I, D) = R
Exercice 1999 −−A→ −−B→
α
M
M A.M B = α
Exercice 2000
A, B, C
1
M
MA + MB + MC = 2
Exercice 2001
A B
k
repère de
Soit
l'expression analytique dans ce
un sous-groupe ni de l'ensemble des isométries du plan. Montrer que
ne peut pas contenir de translation non triviale.
On considère dans le plan les deux droites
0
Soit
paramétrant
un cercle de centre
, montrer que
Soient
points
et
. Quel est l'angle entre ces deux droites ?
est tangente à
et
l'ensemble des points
Soient
l'ensemble des points
Exercice 2002
Exercice 2003
M
0 et de rayon
(
et
. En
est un singleton) ssi
deux points du plan et
qui vérient
Soient
0
.
un réel. Déterminer l'ensemble des
.
les sommets d'un triangle équilatéral de coté
2
2
2
qui vérient
.
et
deux points du plan et
. Déterminer
un réel strictement positif. Déterminer
M A = kM B .

2
→ R2

R !
l'application f :
x

7→ 15

y
qui vérient
Quelle est
!
−3x − 4y
−4x + 3y − 2
?
X = {A, B, C, D} les sommets d'un carré du plan et G = {f ∈ I2 /f (X) = X}.
Montrer que G est un sous-groupe de I2 . Montrer que si f ∈ G alors f (O) = O où O est l'isobarycentre de A, B, C, D . En déduire les éléments de G.
Exercice 2004
Soit
Déterminer les
z∈C
tels que
z, z 2 , z 4
soient alignés.
45 Géométrie ane euclidienne
Exercice 2005
Exercice 2006
Si
280
a et b sont les axes de deux sommets opposés d'un carré, calculer les axes
des deux autres.
Soit
le cercle de diamètre
O, A, B un triangle rectangle en O. A toute droite D issue de O on associe
0
0
0
0
A B où A et B sont les projetés orthogonaux de A et B sur D. Montrer
que tous les cercles passent par un même point xe (on pourra utiliser une similitude... ).
Exercice 2007
c−a
.
c−b
Soient z1 , z2 , z3 , z4 quatre nombres complexes distincts. Montrer que les images de ces nombres
V (z1 ,z2 ,z3 )
complexes sont alignées ou cocycliques ssi
∈ R.
V (z1 ,z2 ,z4 )
a, b, c
Pour
trois nombres complexes tels que
b 6= c,
on note
V (a, b, c) =
Exercice 2008
Soit ABCD un carré direct et M un point de la droite (DC). La perpendicu(AM ) passant par A coupe (BC) en N . On note I le milieu de [M N ]. Déterminer le lieu
des points I lorsque M décrit la droite (DC).
−→ −→
Soient A, B, C, D quatre points distincts du plan tels que AB 6= CD . Montrer
que le centre de la similitude transformant A en C et B en D est aussi le centre de celle
transformant A en B et C en D .
laire à
Exercice 2009
Exercice 2010
45.2 Géométrie analytique dans l'espace
Les quatre points
A, B , C
et
D de l'espace sont-ils coplanaires ? Si oui, donner
une équation cartésienne du plan qui les contient :
1.
A(1, 2, 2), B(−1, −2, −1), C(3, 4, 4)
2.
A(0, 1, 3), B(1, 2, −1), C(1, 1, −1)
et
D(1, 2, 2).
3.
A(−1, 2, 4), B(3, −3, 0), C(1, 3, 4)
et
D(5, 1, −6).
4.
A(2, −1, 0), B(0, −4, 5), C(4, −13, 13)
Exercice 2011
(a)
A, B
D(−4, 5, −3).
1. Trouver une équation du plan
et
C
sont des points de
C(0, 1, 0).
ii.
A(1, 1, 1), B(2, 0, 1)
et
C(−1, 2, 4).
A
A(5, 0, −1), B(1, 3, −2)
est un point de
A
(P ), ~u
A(1, 2, 1), ~u(4, 0, 3)
et
et
A(1, 0, 2), ~u(2, −1, 3)
et
~v
ii.
D
sont des vecteurs directeurs de
D0
et
~v (−1, 4, 5).
(D) :
x+y−z+3=0
x−y−2=0
et
dans
(P )
(P )
3x − y − z + 5 = 0
0
(D ) :
x+y−z+1=0
sont des droites contenues dans
(P )
~v (1, 3, −1).
(P ), D est une droite contenue
x+y−z+3=0
A(4, 1, −3) et (D) :
4x − y + 2z = 0

 x=t
y = −1 + 2t
A(1, 1, 0) et (D) :

z = 1 − 3t
et
i.
déni par les éléments suivants.
C(−2, 4, 5).
est un point de
i.
(P )
(P )
et
ii.
(d)
et
A(0, 0, 1), B(1, 0, 0)
i.
(c)
D(−2, 3, 1).
i.
iii.
(b)
et
45 Géométrie ane euclidienne
ii.
(D) :
281
x + 2y − z + 1 = 0
x + 3y + z − 4 = 0
et
0
(D ) :
2x + y − 3z + 7 = 0
3x + 2y + z − 1 = 0
2. Montrer que les représentations paramétriques suivantes dénissent le même plan :

 x = 2 + s + 2t
y = 2 + 2s + t

z =1−s−t
et
Exercice 2012

 x = 1 + 3u − v
y = 3 + 3u + v

z = 1 − 2u
Les plans suivants sont-ils parallèles ou sécants ? Dans ce dernier cas, donner
0
un vecteur directeur de la droite (D) = (P ) ∩ (P ).
(P 0 ) : z = 3.
1.
(P ) : 5x − y − 1 = 0
2.
(P ) : x + y + z + 1 = 0
et
3.
(P ) : 2x − z + 1 = 0
(P 0 ) : 4x − 3y + 2z + 5 = 0.
4.
(P ) : 4x − 6y + 8z − 1 = 0
Exercice 2013
et
et
(P 0 ) : 2x − y + 3z + 2 = 0.
(P 0 ) : −6x + 12y − 9z + 11 = 0.
et
Quelle est la nature de l'intersection des trois plans suivants ? Si c'est un point
en donner les coordonnées, si c'est une droite en donner un vecteur directeur.
1.
(P ) : z = 1, (P 0 ) : x − y − 2 = 0
et
(P ”) : 4x − 2y + z + 2 = 0.
0
2.
(P ) : 4x − 2y + 3z + 5 = 0, (P ) : 3x + y − z + 2 = 0
3.
(P ) : 4x − 2y + 10z − 4 = 0, (P 0 ) : −10x + 5y − 25z + 13 = 0
0
et
(P ”) : x − y + z + 1 = 0.
et
(P ”) : x + y − z + 1 = 0.
4.
(P ) : 3x − y + 2z − 5 = 0, (P ) : x − y + 3z − 7 = 0
5.
(P ) : x − y + 2z − 1 = 0, (P 0 ) : 2x + y + z + 3 = 0
et
(P ”) : x − 4y + 5z − 6 = 0.
6.
(P ) : x − y + 2z − 1 = 0, (P 0 ) : 2x + y − z + 1 = 0
et
(P ”) : x + 5y − 8z + 2 = 0.
Exercice 2014
et
(P ”) : 4x + 2y − z + 1 = 0.
Les droites suivantes sont-elles sécantes, parallèles ou non coplanaires ? Si elles
sont sécantes donner leur point d'intersection et si elles sont parallèles donner un vecteur directeur.
1.
2.
(D) :
x+y−z+2=0
x+y+z+1=0

 x = 1 − 2t
y =t+2
(D) :

z = 3t + 1
Exercice 2015
et
3x − y + 2z − 7 = 0
(D ) :
x−y =0

 x = 3t − 1
0
y = −t + 2
(D ) :

z = 2t
0
et
Dans chacun des cas suivants dire si la droite
(D) et le plan (P ) sont parallèles
ou sécants. Donner alors leur point d'intersection.
1.
2.
(D) :
5x − 3y + 2z − 5 = 0
2x − y − z − 1 = 0

 x = 3 + 2t
y = 5 − 3t
(D) :

z = 2 − 2t
Exercice 2016
D(1, 0, 4)
et
et
et
(P ) : 4x − 3y + 7z − 7 = 0.
(P ) : −3x + 2y + 3z − 5 = 0.
On considère les cinq points suivants :
A(1, 2, −1), B(3, 2, 0), C(2, 1, −1),
E(−1, 1, 1).
1. Ces quatre points sont-ils coplanaires ?
2. Déterminer la nature du triangle
équation catésienne du plan
P
ABC . A, B
3. Déterminer les coordonnées du barycentre
4. Montrer que
O, D
et
G
et
C
sont-ils alignés, si non donner une
qui les contient.
G
des points
sont alignés et que la droite
A, B , C
OD
et
D.
est perpendiculaire à
P.
45 Géométrie ane euclidienne
Exercice 2017
Soient
D1 , D2
et
282
D3
Ω
trois droites concourrantes en
et soient
P, P0
et
P 00
trois plans tels que aucun ne contient aucune des 3 droites ci dessus. On peut alors dénir les
0
0
0
0
9 points d'intersections : P coupe D1 , D2 , D3 en A, B , C ; P coupe D1 , D2 , D3 en A , B , C ;
P 0 coupe D1 D2 , D3 en A00 , B 00 , C 00 ;
0
0
0
0
On considère aussi les intersections suivantes : I = (AB ) ∩ (A B) , J = (AC ) ∩ (A C) ,K =
(BC 0 ) ∩ (B 0 C).
00
00
00
Montrer que les droites (A K), B J) et (C I) sont parallèlles ou concourrantes. (
Indication :
utiliser un bon repère ane ).
Exercice 2018
D(0, 0, 4)
Exercice 2019
On considère les quatre points suivants :
. Déterminer un vecteur directeur de la droite
√
√
A(2, 0, 0), B(−1, 3, 0), C(−1, − 3, 0),
(ABC) ∩ (ADE).
m pour que les trois plans suivants se coupent sur
0
une même droite. (P ) : x + my − z + 1 = 0, (P ) : (m + 1)x + 3y + 4z − 2 = 0 et (P ”) :
y + (2m + 4)z − (2m + 2) = 0.
Exercice 2020
Donner une condition sur
(Pm )m∈R dénis par les équations cartésiennes :
On considère la famille de plans
m2 x + (2m − 1)y + mz = 3
1. Déterminer les plans
Pm
dans chacun des cas suivants :
(a)
A(1, 1, 1) ∈ Pm
(b)
B(−1, −2, 6) ∈ Pm
(c)
C(−1, 0, 1) ∈ Pm
(d)
~v (1, 1, 1)
est un vecteur directeur de
(e)
~n(0, 1, 0)
est normal à
P.
2. Montrer qu'il existe un unique point
Exercice 2021
P
R
appartenant à tous les plans
1. Déterminer la distance du point
(a)
A(1, 1, 1)
et
(P ) : x + y + z − 1 = 0
(b)
A(1, 0, 2)
et
(P ) : 2x + y + z + 4 = 0.
(c)
A(3, 2, 1)
et
(P ) : −x + 5y − 4z + 2 = 0.
(d)
A(4, 5, 2)
et
(P ) : 2x − y + z = 0.
A
au plan
Pm .
(P )
x+y+z =1
x − y + z = −1
y−z =3
−x + 3z = 1
On considère les deux droites (D) :
et (∆) :
.
−x − y + 2 = 0
−x − 3y = 2
un vecteur directeur de D et de ∆.
2. Calculer la distance du point
A(1, 1, 1)
à la droite
(D) :
Exercice 2022
1. Donner
2. Donner une équation paramétrique de
3. On xe un point
Mα
de
∆
∆.
dépendant du paramètre
Donner une équation du plan
Pα
passant par
Mα
α
où
α
et contenant
4. Parmi tous ces plans, y en a-t-il un qui est perpendiculaire à
de
α
On se donne
2 droites D1
et
D2
Mα .
D.
∆?
Pour quelle valeur
est il obtenu ? Donner une équation de ce plan. Donner les coordonnées de
Exercice 2023
et
est l'abscisse de point
ayant comme vecteurs directeurs respectifs
u~2 .
1. Perpendiculaire commune à ces deux droites.
α0
Mα0 .
u~1
45 Géométrie ane euclidienne
(a) On suppose que
u~1
et
u~2
i. Montrer que le plan
et le plan
P2
coupe
D1
et
iii. Montrer que
~n := u~1 ∧ u~2 .
ne sont pas colinéaires et on note
P1
contenant
en une droite
ii. Montrer que
283
contenant
D2
D1
~n
et admettant
et admettant
~n
comme vecteur directeur
comme vecteur directeur se coupent
∆.
∆ est une perpendiculaire commune
D2 , et est orthogonale à D1 et à D2 ).
∆
à
D1
est la seule perpendiculaire commune à
(b) Comment construire
∆
dans le cas où
D1
et
D2
et
D1
D2
et
(c'est à dire
∆
D2 .
sont parallèlles ?
2. Distance entre ces deux droites.
Soit
H1 := D1 ∩ ∆
Montrer que pour
d(H1 , H2 )
H2 := D2 ∩ ∆.
tout A1 ∈ D1 et tout A2 ∈ D2 ,
et
est appelée
d(A1 , A2 ) > d(H1 , H2 ).
distance entre les deux droites D1 et D2 .
3. Donner des équations cartésiennes pour
D1
et
(a)
(b)
(c)
(d)
D2
∆
on a
et calculer la distance entre les deux droites
dans le cas suivant :
−x + 2y + z + 2 = 0
(D2 ) :
−2x + 4y − z + 1 = 0
x+y−z+2=0
3x − y + 2z − 7 = 0
(D1 ) :
et (D2 ) :
x+y+z+1=0
x−y =0


 x = 1 − 2t
 x = 3t − 1
y = t + 2 et (D2 ) :
y = −t + 2
(D1 ) :


z = 3t + 1
z = 2t
x−y−z−2=0
x + y + 2z − 1 = 0
(D1 ) :
et (D2 ) :
x − 2y − 3z + 1 = 0
2x + y + z + 2 = 0
(D1 ) :
Exercice 2024
x−y−z+4=0
−x − 2y − 3z + 9 = 0
et
1. Déterminer les plans bissecteurs de :
P : x + y + z + 3 = 0 et P 0 : 2x + y + 2z = 1
Q : 5x + 3y − 4z = 8 et Q0 : 4x − 5y − 3z = 2.
2. Déterminer l'ensemble des points de l'espace équidistants des trois axes de coordonnées.
3.

 x = 3t − 1
y=1
On considère la droite D d'équation paramétrique

z = −t − 1
0
Donner une équation des deux plans P et P contenant D à une distance de 1 de l'origine
(point O de coordonnées (0, 0, 0)).
Exercice 2025
Exercice 2026
Déterminer l'expression analytique de la réexion
Quelle est l'image par
s
du plan
Déterminer la distance du point
Soit deux plans
de plan
x + 2y − 3z + 1 = 0 ?
(
x + y − 2z = 1
D
2x − y + z + 1 = 0
Exercice 2027
s
M = (1, 2, 3) aux droites


x = 1 + 2t
et ∆
y =2−t


z = 2 + 2t
π:
ux + vy + wz + h = 0
π 0 : u0 x + v 0 y + w0 z + h0 = 0
.
x + y − z = 1.
45 Géométrie ane euclidienne
1. Montrer que si
π
et
π0
284
sont sécants, tout plan passant par leur droite d'intersection
D
a
une équation du type
λ(ux + vy + wz + h) + µ(u0 x + v 0 y + w0 z + h0 ) = 0
et réciproquement, tout plan ayant une équation de ce type, (pour un couple
passe par
2. Si
π
et
π0
(λ, µ) donné)
D.
sont parallèles, que représente l'ensemble des plans d'équation :
λ(ux + vy + wz + h) + µ(u0 x + v 0 y + w0 z + h0 ) = 0
Exercice 2028
Écrire l'équation du plan passant par la droite
parallèle à la droite
Exercice 2029
sur le plan
3x + 2y + 5z + 6 = 0
x + 4y + 3z + 4 = 0
et
x−1
y−5
z+1
=
=
.
3
2
−3
Soit la droite d'équations
3x − 2y − z + 4 = 0
x − 4y − 3z − 2 = 0
. Trouver sa projection
5x + 2y + 2z − 7 = 0.
Exercice 2030
(D)
Soit les droites
D
et
D0
non coplanaires :
x−y+z+1 = 0
2x + y − z = 0
et
0
(D )
x + 2y + z = 0
2x − 2y − 2z − 1 = 0
Trouver des équations de leur perpendiculaire commune.
45.3 Changements de repères, applications anes, isométries
Exercice 2031
On considère les 4 points
A, B , C , D
donnés.
~ AC,
~ AD)
~
(A, AB,
dénit-il bien
un nouveau repère ? Dans ce cas, trouver les formules de changements de repère exprimant les
~ AC,
~ AD)
~ .
coordonnées (x, y, z) dans (O,~
i, ~j, ~k) en fonction de celles (x0 , y 0 , z 0 ) dans (A, AB,
1.
A(2, −1, 0), B(7, −1, −1), C(−3, 0, −2), D(3, −6, −3)
2.
A(4, 1, 4), B(7, 3, 1), C(9, 0, 0), D(5, 2, 3)
3.
A(0, −1, 3), B(5, −6, 4), C(−4, 1, −2), D(−3, 3, 6)
4.
A(1, 1, 0), B(1, 5, 2), C(0, −1, 1), D(3, 4, −1)
5.
A(2, −1, 4), B(0, 0, 1), C(3, 2, −1), D(1, 3, 4)
6.
A(4, 4, 2), B(5, 3, 2), C(4, 3, 3), D(3, 5, 2)
7.
A(1, 3, 1) ,B(1, 2, 2) ,C(2, −1, −4), D(0, 8, 6).
Exercice 2032
Les formules suivantes dénissent-elles bien un changement de repère ? Dans
ce cas, donner le changement de repère inverse.
1.
2.
 0
 x =y−z+1
y 0 = −x − 4y + 5z + 2
 0
z = x − 5y + 5z + 1
 0
 x = 5x + 4y + 3z − 2
y 0 = 2x + 3y + z + 2
 0
z = 4x − y + 3z + 2
45 Géométrie ane euclidienne
3.
4.
5.
6.
285
 0
 x = −2x − 4y + 2z − 2
y 0 = x + y − 5z + 1
 0
z = −3x − 4y + 4z − 2
 0
 x = 3x − 5y + z + 2
y 0 = 2x − y + z − 1
 0
z = −3x − 4y − z − 5
 0
 x = 2x − z + 1
y 0 = −2x + 2y + 2z − 2
 0
z = −2x + y − z
 0
 x = x − 2y − 3z + 5
y 0 = −3x + 4y + z − 2
 0
z = 2x − y + 6z + 3
Exercice 2033
On considère les droites et les plans suivants dont les équations sont données
→
→
→
→ → →
dans le repère (O, i , j , k ). Donner leurs équations dans le nouveau repère (A, AB, AC, AD), sa→ → →
chant que dans (O, i , j , k ) les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A(4, −1, 2),
B(2, −5, 4), C(5, 0, −3), D(1, −5, 6).
1.
P :x+y =1
2.
P : 2x − 3y + 4z − 1 = 0
3.
P :x−y+z+3=0

 x = 2t + 3s + 1
y =t−s+2
P :

z = 4t − 2s − 3
x+y+z =1
(D) :
2x − y + 4z = 3
3x − y − z = −1
(D) :
4x − 3y − z = −2
4.
5.
6.
Exercice 2034
On considère la droite
(D) :
y−z =3
−x − y + 2 = 0
.
→
→
→
1. On considère le point A(−2, 4, 1), les vecteurs u(1, 1, 1), v (2, 2, −4), w(3, −1, , 1) et le
→ → →
0 0
0
repère (A, u, v , w). On note x , y et z les coordonnées dans ce repère. Donner les formules
0 0 0
analytiques du changement de repère exprimant x, y, z en fonction de x , y , z .
→ → →
2. Utiliser ce changement de repère pour donner dans le repère (A, u, v , w) une équation de
D
.
3. Donner les formules analytiques du changement de repère inverse.
Exercice 2035 (Transformations anes et Isométries)
→ →
(O, i , j )
Soit
P
un plan muni d'un repère
quelconque.
1. On considère
D
une droite d'équation cartésienne
2x − y + 3 = 0
A(4, 2). Donner une équation paramétrique de DA
→
0
direction u. En déduire les coordonnées de A = DA ∩ D
→
u.
(a) Soit
et
→
u(3, −2).
droite passant par
projeté de
(b) Dénir plus généralement analytiquement la projection sur D selon
0
0
0
les coordonnées x , y de M projeté de M (x, y) en fonction de x et
A
→
sur
u en
y.
D
A
de
selon
exprimant
45 Géométrie ane euclidienne
286
2. Dénir analytiquement les projections sur
(a)
∆
d'équation
x − 2y + 1 = 0.
(b)
∆
d'équation
3x + 2y + 2 = 0.
(c)
∆
d'équation
x + y − 1 = 0.
(d)
∆
d'équation
2x − 2y + 4 = 0.
Exercice 2036
Soit
P
D
selon
∆
dans les cas suivants :
→ →
un plan muni d'un repère
(O, i , j )
quelconque.
1. Donner l'expression analytique de la translation
t1
de vecteur
(1, 2).
2. Donner l'expression analytique de la translation
t2
de vecteur
(−1, 2).
h1 de centre l'origine
A(2, −1) de rapport 3.
3. Donner l'expression analytique de l'homothétie
rapport 2 et de l'homothétie
h2
de centre
4. Donner l'expression analytique de
5. Soit
M (x, y)
Exercice 2037
P . Donner
y = ax + b.
1. On considère
tions suivant :
√
x0 = 23 x + 21 y
S1
− 1, y 0 = − 12 x +
2. De même avec la transformation
3. On compose
t1 ◦ h1 , t2 ◦ h2 , h1 ◦ t1 , h2 ◦ t2 .
un point de
la droite d'équation
S1
avec
S2 .
du repère et de
les coordonnées du symétrique de
M
par rapport à
la transformation du plan dénie par le système d'équa-
√
3
y
2
+ 2.
S2
dénie par
Reconnaître cette transformation.
√
√
√
√
x0 = 5 2x + 5 2y, y 0 = −5 2x + 5 2y.
Donner l'expression de
S1 ◦ S2 ,
et trouver la nature de cette
transformation.
Exercice 2038
1. Soit
f
la transformation de l'espace dénie analytiquement par
 0
 x = −3x + 2y − 2z + 4
y 0 = −8x + 5y − 4z + 8
 0
z = −4x + 2y − z + 4
(a) Déterminer l'ensemble
(b) Montrer que pour
M
P
des points invariants par
d'image
f.
0
M , le milieu de [M M 0 ] est dans P, (MM') est parallèle
à une direction xe.
(c) En déduire une description simple de
2. Soit
f
f.
la transformation de l'espace dénie analytiquement par
 0 1
 x = 3 ( 2x − y − z + 1)
y 0 = 1 ( −x + 2y − z + 1)
 0 13
z = 3 ( −x − y + 2z + 1)
(a) Déterminer l'ensemble
(b) Montrer que pour
M
P
des points invariants par
d'image
M
0
le vecteur
(c) En déduire une description simple de
Exercice 2039
M~M 0
f.
est colinéaire à un vecteur xe.
f.
1. Dénir analytiquement les projections orthogonales suivantes :
(a) sur le plan d'équation
2x − 3y + z = 6.
x+y+z =1
d'équation
.
2x − z = 2
(b) sur le plan d'équation
(c) sur la droite
2x + 2y − z = 1.
45 Géométrie ane euclidienne
287
2. Donner l'expression analytique de la projection sur le plan (P ) contenant le point C(2, −1, 1)
et ayant pour vecteurs directeurs ~
u(0, −1, 1) et u~0 (−2, 0, 1), selon la droite AB , où A(1, −1, 0)
et
B(0, −1, 3).
Exercice 2040
1. Soit
f
Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct
~ OJ)
~ .
(O, OI,
la transformation du plan dénie analytiquement par
(
x0 =
y0 =
√1 (x + 2y − 1)
5
√1 (−2x + y + 2)
5
O0 , I 0 , J 0
(O0 , O~0 I 0 , O~0 J 0 )
f
O, I , J .
(a) Calculer les coordonnées de
les images par
(b) Montrer que le repère
est orthonormé, est-il direct ?
(c) En déduire que
f
des points
est une isométrie, est-elle directe ?
f
(d) Déterminer l'ensemble des points invariants par
et reconnaitre
(e) Donner l'expression analytique de la transformation inverse de
(f ) Calculer l'image par
f
la droite d'équation
0
f.
2x − y − 1 = 0.
A(1, 1)
2. Donner l'expression analytique de la rotation de centre
l'image de
f.
et d'angle
π
, calculer
3
par cette transformation.
3. Même question pour la symétrie d'axe la droite d'équation
x+y+1=0
4. Donner l'expression analytique de la composée des deux applications précédentes.
Exercice 2041
Dans le plan cartésien identié à
C,
un point
M
est représenté par son axe
z.
1. Dessiner les ensembles suivants puis les exprimer en fonction de
(i)
z+z =1
(ii)
z−z =i
(x, y) ((z = x + iy)) :
(iii) iz − iz = 1
2. Donner l'expression analytique en complexe des transformations suivantes, puis calculer
l'image de
i
par ces transformations :
(a) la rotation de centre
1+i
et d'angle
(b) la symétrie d'axe la droite d'équation
π
,
3
iz − iz = 1,
(c) la composée des deux applications précédentes.
3. Soit
f
la transformation du plan dénie analytiquement par
z 0 = (1 + i)z + 1.
f.
(a) Déterminer l'ensemble des points invariants par
(b) Donner l'expression analytique de la transformation inverse de
(c) Calculer l'image par
(d) Ecrire
Exercice 2042
f
f
de l'ensemble
Tout ce problème se situe dans l'espace euclidien tridimensionnel muni d'un
→
−
→ −
→ −
R = (0, i , j , k ).
1. On considère les deux droites
suivant
:
(a)
z + z = 1.
comme la composée d'une homothétie et d'une isométrie.
repère orthonormé direct
d
f.
x + y − 3z = 0
y+z
=0
d
et
D
et
données par les systèmes d'équations cartésiennes
D
i. Donner un point et un vecteur directeur de
directeur de
D.
d.
x−1
=0
y−z−1 =0
Donner un point et un vecteur
45 Géométrie ane euclidienne
d
ii. Dire si les droites
288
D
et
sont parallèles, sécantes ou non coplanaires.
iii. Justier l'existence de deux plans parallèles (en donnant pour chacun de ces
deux plans un point et deux vecteurs directeurs) tels que
d
est contenue dans
D est contenue dans l'autre.
−
→
−
→
Soient u le vecteur de coordonnées (4, −1, 1) dans R, v le vecteur de coordonnées (0, 1, 1) dans R et Ω le point de coordonnées (1, 1, 0) dans R.
−
→ −
→
Déterminer une équation cartésienne pour le plan P de repère cartésien (O, u , v ),
−
→ −
→
en déduire une équation cartésienne pour le plan Q de repère cartésien (Ω, u , v ).
l'un et
(b)
i.
ii. Donner des équations paramétriques pour la droite
O.
Déterminer les deux points
∆∩P
et
∆∩Q
∆
normale à
P
passant par
puis calculer la distance entre
eux.
Interpréter cette distance.
−
→
−
→
→
a = ( 31 , 23 , − 23 ), b = ( 23 , 13 , 23 ), −
c = ( −2
, 2 , 1 ).
3 3 3
2. On considère les vecteurs de l'espace
(a) Montrer que
−
→ →
→
(0, −
a , b ,−
c)
est un repère orthonormé. Est-il direct ?
(b) Ecrire les formules de changement de repères de
R
à
−
→ →
→
(0, −
a , b ,−
c ).
−
→ →
→
(0, −
a , b ,−
c ) du plan d'équation x+2y −2z = 0
plan d'équation x + 2y − 2z = 3 dans R.
(c) Quelle est l'équation dans le repère
dans
Exercice 2043
R?
Même question avec le
Tout ce problème se situe dans l'espace euclidien tridimensionnel muni d'un
→
−
→ −
→ −
R = (O, i , j , k ).
C = (4, 0, 0).
repère orthonormé direct
√
B = (3, − 6, 3)
1.
et
(a) Montrer que les points
sienne du plan
P
(b) Calculer les distances
(c) Les points
O, A, B
et
et B ne sont
O, A et B .
OA, OB
C
et
AB .
En déduire la nature du triangle
le barycentre des points
(a) Montrer que la droite
(GC)
G
dans
dire, par dénition l'unique point
R.
est perpendiculaire au plan
P.
(b) Calculer les coordonnées du point d'intersection de la droite
(GC)
4. Montrer que la transformation de l'espace dénie par les formules :
z) est une isométrie. Quels sont ses points xes ?
O, A, B, C par cette isométrie. Que remarque-t-on ?
Exercice 2044
(0,~ı, ~, ~k).
C : (3, 1, 2) ;
D : (1, 1, 1)
et le plan
Π : 2x − 3y + 4z = 0.
1. Montrer que les points
A, B, C
2. Montrer que les points
A, B, C, D
ne sont pas alignés.
ne sont pas coplanaires.
3. Donner une équation cartésienne du plan
P
P.
(x0 = x, y 0 = −y, z 0 =
points
B : (2, 3, 1) ;
avec le plan
Déterminer les images des points
L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct
A : (1, 2, 3) ;
OAB .
sont-ils coplanaires ?
(b) En déduire les coordonnées de
3.
√
A = (3, 6, 3),
pas alignés et donner une équation carté-
O, A, B et C , c'est à
−→ −→ −→ −→ −
→
G de l'espace tel que : GO + GA + GB + GC = 0 .
−→ 1 −→ −→ −→
(a) Montrer que OG = (OA + OB + OC).
4
2. Soit
G
O, A
contenant
On dénit les trois points :
passant par
A, B, C .
On dénit les
46 Courbes paramétrées
289
4. Calculer la distance de
Exercice 2045
D
au plan
P.
5. Donner une représentation paramétrique de la droite
mensionnel
pas à
1.
2.
E.
Soient
On note
d = P ∩ Π.
A, B et C trois points distincts et non alignés de l'espace ane tridiP le plan qui contient A, B et C . Soit O un point de E n'appartenant
P.
−→ −→ −→
R = (O, OA, OB, OC) est un repère cartésien de E .
(b) Dans ce repère R, écrire les coordonnées des points O , A, B et C , et déterminer une
équation cartésienne du plan P .
−−→0
−→
0
0
Soit A le point de la droite (OA) tel que OA = 2OA. On note P le plan parallèle à P
0
0
0
0
passant par A . P coupe (OB) en B et (OC) en C .
0
0
0
Dans R, écrire les coordonnées des points A , B et C et déterminer des équations para0
0
métriques pour les droites (BC ) et (B C), en déduire des équations cartésiennes de ces
(a) Expliquer rapidement pourquoi
droites.
Calculer les coordonnées des points
(AB 0 ) ∩ (A0 B).
I = (BC 0 ) ∩ (B 0 C), J = (AC 0 ) ∩ (A0 C)
−−→00
2 −→
le point de la droite (OA) tel que OA = − OA. On note
3
P passant par A00 . P 00 coupe (OB) en B 00 et (OC) en C 00 .
00
00
00
Montrer que les droites (IA ), (JB ), (KC ) sont parallèles.
3. Soit
A00
P 00
et
K =
le plan parallèle à
46 Courbes paramétrées
Exercice 2046
Exercice 2047
Exercice 2048
t∈R
Exercice 2049
46.1 Coordonnées cartésiennes
Tracer les courbes paramétrées suivantes
x(t) = cos2 (t)
y(t) = cos3 (t) sin(t)
t
t3
x(t) =
y(t)
=
1 + t4
1 + t4
2
1
y(t) = t +
x(t) = t2 +
t
t
2
1−t
1 − t2
x(t) =
y(t)
=
t
1 + t2
1 + t2
1
x(t) = tan(t) + sin(t)
y(t) =
cos(t)
x(t) = sin(2t)
y(t) = sin(3t)
On fait rouler sans glissement un cercle de rayon
1 sur l'axe (Ox). Déterminer
et tracer la courbe décrite par un point du cercle.
où
Tracer la courbe d'équation
x3 + y 3 = 3xy
en la coupant par les droites
.
Exercice 2050
Tracer la courbe paramétrée dénie par :
x(t) =
Z
t
cos(2u) sin(u)du,
y(t) =
0
Z
t
sin(2u) cos(u)du.
0
Tracer la courbe paramétrée dénie par :
x(t) = t2 + 2t, y(t) =
1 + 2t
.
t2
y = tx
47 Propriétés métriques des courbes planes
Exercice 2051
290
46.2 Coordonnées polaires
Tracer les courbes en polaires suivantes
ρ(θ) = sin(2θ)
sin(θ)
θ
θ−1
ρ(θ) =
θ+1
ρ(θ) = cos(θ) − cos(2θ)
ρ(θ) =
ρ(θ) =
Exercice 2052 C
Exerciceπ2053 −−→
OM
4
Exercice 2054
2xy(x + y ) = x − y
Exercice 2055
Soit
cos(θ)
1 + sin(θ)
un cercle du plan de centre
le lieu des projetés orthogonaux de
O
(1, 0)
sur les tangentes de
et de rayon
a.
Déterminer et tracer
C.
Déterminer et tracer les courbes dont la tangente en tout point
angle de
relation
avec
2
M
fait un
.
Grâce aux coordonnées polaires, tracer la courbe dénie implicitement par la
2
2
2
.
Tracer la courbe d'équation polaire :
Exercice 2056
r = 1 + cos θ.
Tracer les courbes d'équations polaires :
tan θ
1
; r2 =
.
cos θ
sin(2θ)
r=
Exercice 2057
Exercice 2058
46.3 Divers
Soit
f : [0, 1] → [0, 1]2
Soit
γ : [0, 1] → C
de classe
continue, et
C 1,
montrer que
z∈C
f
ne peut être bijective.
quelconque. Montrer :
∀ε > 0, ∃γ 0 ∈ C([0, 1], C) tel que :
1 : ∀t ∈ [0, 1], |γ(t) − γ 0 (t)| < ε,
2 : ∀t ∈ [0, 1], γ(t) 6= z.
47 Propriétés métriques des courbes planes
Exercice 2059
Exercice 2060
Exercice 2061
Exercice 2062
Exercice 2063
tion cartésienne
Déterminer la longueur de la courbe
y=
√
x
x(1 − )
3
pour
0 6 x 6 3.
Déterminer une abscisse curviligne, la longueur et la développée de l'astroïde.
Calculer le rayon de courbure de
θ
ρ(θ) = cos( )
3
y 2 = x. Déterminer
de Γ la développée de P . Tracer Γ.
p
Soit Γ la courbe ρ(θ) =
sin(2θ).
Soit
P
la parabole
en fonction de
ρ.
une équation paramétrée et une équa-
49 Analyse vectorielle
291
1. Tracer cette courbe.
2. Calculer le rayon de courbure.
3. Soient
−−→
M H.
I
le centre de courbure en
M
et
H
4. En déduire une construction géométrique de la développée de
Exercice 2064
M (s)
(OM ). Déterminer
Γ.
M (s) un arc C 2 birégulier paramétré par une abscisse curviligne. Soit R
(M (0), ~t(0), ~n(0)). On note (X(s), Y (s)) les coordonnées dans ce repère d'un
de la courbe.
R0
1. Montrer que si
est le rayon de courbure en
Exercice 2065
M (0)
θ=0
2. En déduire le rayon de courbure au point
le point de
Soit
E
(F M ) ∩ C
tel que
0
1. Montrer que
(M M )
2. Que devient
J
si
M0
Soit
P
projeté orthogonal sur
M ∈ [F I]
et
J
X 2 (s)
.
s→0 2Y (s)
R0 = lim
de la courbe
tend vers
E
M
en
ρ(θ) = 1 + 2 cos( 2θ ).
E et M 0 un point qui
M F 0 et M 0 F 0 . Soient
0
d'intersection de C et C .
un point xé de
0
et M de rayons
F 0M J .
(on ne demande pas de preuve) ?
M
est bissectrice extérieure de l'angle
une parabole de foyer
D.
M
M
le deuxième point
est bissectrice de l'angle
3. Montrer que la tangente à
Exercice 2066
alors
48 Coniques
0
une ellipse de foyers F et F ,
0
se promène sur E . Soient C et C les cercles de centres
I
sur
Soit
le repère de Frénet
point
I
le projeté orthogonal de
F,
de directrice
Montrer que la tangente à
P
en
M
D, M
F M F 0.
un point de
P
est la médiatrice de
et H son
[F H]. En
déduire un procédé de construction d'une parabole.
Exercice 2067
Exercice 2068
E = R(E)
Exercice 2069
Déterminer l'ensemble des points d'où l'on peut mener deux tangentes ortho-
gonales à une parabole.
π
et
4
0
.
Tracer les courbes suivantes :
2
1.
13x − 32xy + 37y 2 − 2x + 14y − 5 = 0
2.
xy + 3x + 5y − 4 = 0
3.
(2x + 3y)2 + 4x + 6y − 5 = 0
Exercice 2070
et
E = M (z)/2 |z|2 − 2i (z 2 − z̄ 2 ) = 1 , R la rotation de centre O et d'angle
0
Déterminer une équation cartésienne de E et en déduire le tracé de E .
Soit
Déterminer astucieusement le sommet et l'axe de la parabole
x(t) = t2 + t + 1
2
y(t) = t − 2t + 2.
Exercice 2071
Montrer que la courbe paramétrée
x(t) =
t2
1
+t+1
et
y(t) =
une ellipse et la tracer.
Exercice 2072
49 Analyse vectorielle
On considère le champ de vecteurs
P (x, y) = (2xex
2 −2y
P : R2 → R 2
; −2ex
2 −2y
).
déni par
t2
t
+t+1
est
49 Analyse vectorielle
292
1. Vérier que la forme diérentielle associée à
2. En déduire que
P
P
le long du chemin
γ : [0, 1] → R2 ;
Soient
est fermée.
est un champ de gradients et en déterminer un potentiel.
3. Calculer la circulation de
Exercice 2073
P
a, b
t 7→ (ln(1 + t); et + 1).
des nombres tels que
0<a<b
et soit
D = {(x, y) ∈ (R+ )2 | a 6 xy 6 b, y > x, y 2 − x2 6 1}.
u = xy, v = y 2 − x2 ,
En eectuant le changement de variable
I=
ZZ
calculer
(y 2 − x2 )(x2 + y 2 ) dx dy.
D
Exercice 2074
circulation de
V~
Exercice 2075
Soit le champ de vecteurs
le long de la parabole
(
R 2 → R2
V~ :
(x, y) 7→ (2xy + ey , x2 + xey )
x = y2
(0, 0) et (1, 1).
(
R3 → R3
~
V~ :
. V
(x, y, z) 7→ (xy, −z, xz)
Soit le champ de vecteurs
de gradient ? Calculer la circulation de
V~
. Calculer la
entre les points
le long de l'hélice
est-il un champ
x = cos t , y = sin t , z = t
pour
t ∈ [0, 2π].
Exercice 2076
Montrer que
diérentielle exacte sur
Exercice 2077
Sur
R2
2. Montrer qu'alors
tielle
C
1
sur un
ω
(1 − x2 + y 2 )y
(1 + x2 − y 2 )x
dx
+
dy
(1 + x2 + y 2 )2
(1 + x2 + y 2 )2
ϕ
on dénit
pour que
ω
ω(x, y) = (
ϕ(y)
x
+ ln(x2 + xy))dx +
dy .
x+y
x+y
soit fermée.
est exacte et l'intégrer.
ω(x, y, z) = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
3
ouvert étoilé U de R .
Soit
1. A quelle condition
ω
λω
une forme diéren-
est-elle exacte ?
2. On suppose qu'elle n'est pas exacte et on cherche alors
que
est une forme
et l'intégrer.
D =]0, +∞[2
1. Trouver une CNS sur
Exercice 2078
ω(x, y) =
soit exacte. On dit alors que
λ
λ : R3 → R ∗
de classe
est un facteur intégrant. En éliminant
λ
condition trouvée à la question précédente, trouver une condition nécessaire sur
C1
telle
dans la
P, Q, R
pour qu'il existe un facteur intégrant.
Exercice 2079
Soit
U = {(x, y, z) ∈ R3 /z > 0}
et
ω(x, y, z) = 2xzdx − 2yzdy − (x2 − y 2 )dz .
1. En utilisant l'exercice précédent (exercice 2078), montrer que
ω
admet un facteur inté-
grant.
2. Chercher un facteur intégrant ne dépendant que de
z.
3. On suppose qu'un mouvement dans U vérie l'équation diérentielle 2x(t)z(t)ẋ(t)
2y(t)z(t)ẏ(t) − (x2 (t) − y 2 (t))ż(t). Trouver une intégrale première du mouvement.
Exercice 2080
Calculer l'aire d'une astroïde.
−
293
Huitième partie
CORRECTIONS
Correction 1
Remarquons d'abord que pour
z ∈ C, zz = |z|2
est un nombre réel.
3 + 6i
(3 + 6i)(3 + 4i)
9 − 24 + 12i + 18i
−15 + 30i
3 6
=
=
=
= − + i.
3 − 4i
(3 − 4i)(3 + 4i)
9 + 16
25
5 5
Calculons
1+i
(1 + i)(2 + i)
1 + 3i
=
=
,
2−i
3
3
et
1+i
2−1
Donc
1+i
2−1
2
2
+
=
1 + 3i
3
2
=
3 + 6i
8 6 3 6
67 84
= − + − + i = − + i.
3 − 4i
9 9 5 5
45 45
z = 2+5i
. Calculons z + z , nous savons déjà
1−i
3
7
z = − 2 + 2 i et donc z + z = −3.
√
Correction 3
1. 1 + i 3.
√ √
√ √
3 2+ 2
3i 2− 2
π
π
2. 3 cos
− 3i sin 8 =
−
.
8
2
2
Soit
Correction 7 9 − 7i ;
−6i ;
p
√
Correction 8 ρ = 4 + 2 2, θ =
Correction 10
−8 + 6i
8 6
= − + i.
9
9 9
que c'est un nombre réel, plus précisément :
−0,3 + 1,1i ;
3π
;
8
−
√
3
3
−
i
.
3
π
ρ = 4, θ = − 10
;
ρ = 1, θ = 2ϕ + π .
Il s'agit juste d'appliquer la formule de Moivre :
eiθ = cos θ + i sin θ;
ainsi que les formules sur les produits de puissances :
eia eib = ei(a+b)
Correction 11
et
eia /eib = ei(a−b) .
Nous avons
√
u=
6−
2
√
2i
=
√
√
2
3 i
−
2
2
!
√ π
π √ iπ
= 2 cos + i sin
= 2e 6 .
6
6
puis
v =1−i=
√
π
2e−i 4 .
Il ne reste plus qu'à calculer le quotient :
√ iπ
π
π
π
u
2e 6
= √ −i π = ei 6 −i 4 = ei 12 .
v
2e 4
294
Correction 13
eiα
D'après la formule de Moivre pour
nous avons :
iα
ee = ecos α+i sin α = ecos α ei sin α .
Or
ecos α > 0
donc l'écriture précédente est bien de la forme module-argument.
eiu + eiv
De façon générale pour calculer un somme du type
u+v
ei 2 . En eet
il est souvent utile de factoriser par
v
u
u
v
ei( 2 − 2 ) + e−i( 2 − 2 )
u v u+v
= ei 2 2 cos
−
u v2 2u+v
= 2 cos
−
ei 2 .
2 2
eiu + eiv = ei
u+v
2
Ce qui est proche de l'écriture en coordonées polaires.
Pour le cas qui nous concerne :
iθ
2iθ
z =e +e
=e
3iθ
2
h
− iθ
2
e
+e
iθ
2
i
= 2 cos θe
3iθ
2
.
Attention le module dans une décomposion en forme polaire doit être positif ! Donc si
cos θ/2 >
3θ est son
0 (i.e. θ ∈ [−π + 4kπ, +π + 4kπ] avec k ∈ Z) alors 2 cos θ est le module de z et
cos θ/2 < 0 le module est 2| cos θ| et l'argument 3θ +π (le +π compense
iπ
le changement de signe car e
= −1).
argument ; par contre si
Correction 14
On remarque
√ iπ/4
1+i
2e
=√
= eiπ/2 = i.
−iπ/4
1−i
2e
1 = i0 = i4 = i8 = · · · = i32 .
Correction 20
Écrivons
z = ρeiθ ,
alors
P =
=
=
=
z = ρe−iθ .
n
Y
k=1
n
Y
k=1
n
Y
k=1
n
Y
zk + zk
Donc
ρk (eiθ )k + (e−iθ )k
ρk eikθ + e−ikθ )
2ρk cos kθ
k=1
= 2n .ρ.ρ2 . . . . .ρn
n
Y
cos kθ
k=1
= 2n ρ
n(n+1)
2
n
Y
k=1
cos kθ.
295
Correction 21
v=
α−β
. Alors,
2
(α, β) ∈ R2 et z le nombre
α = u + v et β = u − v et :
Soit
complexe
z = eiα + eiβ .
Soit
u =
α+β
et
2
z = eiα + eiβ
= eiu+iv + eiu−iv
= eiu (eiv + e−iv )
= 2 cos(v)eiu
α − β i α+β
= 2 cos(
)e 2
2
On en déduit la forme trigonométrique de
|z| = 2| cos(
α−β
)|
2
(
z
:
et, lorsque
α+β
[2π]
2
π + α+β
[2π]
2
Arg(z) =
cos α−β
< 0, z = 2 cos veiu
2
n ∈ N. Calculons z n de deux façons
cos(
si
si
α−β
) 6= 0
2
:
cos α−β
>0
2
α−β
cos 2 < 0
(Attention, si
n'est pas la forme trigonométrique de
Soit
diérentes : d'une part
n
iα
iβ n
z = (e + e ) =
n
X
z !).
Cnp eipα ei(n−p)β ,
p=0
et d'autre part, en utilisant la forme obtenue plus haut :
z n = 2n cosn v einu .
En comparant les
parties réelles des expressions obtenues on obtient :
n
X
Cnp cos[pα + (n − p)β] = 2n cosn
p=0
α−β
α+β
cos(n
).
2
2
Correction 23
iθ
iθ
iθ
θ iθ
1 + eiθ = e 2 (e− 2 + e 2 ) = 2 cos e 2 .
2
θ
> 0 et l'argument est 2θ . Géométriquement, on
Comme θ ∈] − π, +π[ alors le module est 2 cos
2
θ
iθ
trace le cercle de centre 1 et de rayon 1. L'angle en 0 du triangle (0, 1, 1 + e ) est
et donc est
2
iθ
le double de l'angle en 0 du triangle (1, 2, 1 + e ) qui vaut θ .
C'est le résulat géométrique (théorème de l'angle au centre) qui arme que pour un cercle
l'angle au centre est le double de l'angle inscrit.
Correction 27
Racines carrées.
cherchons les complexes
ω ∈ C
z = a + ib un nombre complexe avec a, b ∈ R ; nous
2
que ω = z . Écrivons ω = α + iβ . Nous raisonnons par
Soit
tels
équivalence :
ω 2 = z ⇔ (α + iβ)2 = a + ib
⇔ α2 − β 2 + 2iαβ = a + ib
Soit en identiant les parties réelles entre elles ainsi que les parties imaginaires :
(
α2 − β 2 = a
⇔
2αβ = b
296
Sans changer l'équivalence nous rajoutons la condition
|ω|2 = |z|.

√
2
2
2
2

α + β = a + b
⇔ α2 − β 2 = a


2αβ = b
√

a+ a2 +b2
2

α =
2
√
2
2
⇔ β 2 = α2 − a = −a+ 2a +b


2αβ = b
q √

a+ a2 +b2

α
=
±


q 2√
⇔ β 2 = ± −a+ a2 +b2

2


αβ est du même signe que b
Cela donne deux couples
(α, β)
En pratique on répète facilement ce raisonnement, par exemple pour
ω 2 = z ⇔ (α + iβ)2 = 8 − 6i
⇔ α2 − β 2 + 2iαβ = 8 − 6i
(
α2 − β 2 = 8
⇔
2αβ = −6

p
2
2
2
2

α + β = 8 + (−6) = 10
⇔ α2 − β 2 = 8


2αβ = −6

2

2α = 18
⇔ β 2 = 10 − α2 = 1


2αβ = −6

√

α = ± 9 = ±3
⇔ β = ±1


α et β de signes opposés


α = 3 et β = −1

⇔ ou


α = −3 et β = +1
Les racines de
z = 8 − 6i
sont donc
ω =3−i
Correction 28 2 − i et −2 + i ;
Correction 29
ω = α + iβ
z = 8 − 6i,
de solution et donc deux racines carrées
5−i
et
et
le module de
ω=
s√
z.
z
−ω = −3 + i.
−5 + i.
Par la méthode usuelle nous calculons les racines carrées
nous obtenons
de
2+1
√ +i
2 2
s√
2−1
√ .
2 2
ω, −ω
de
z =
1+i
√ ,
2
297
z
mais nous remarquons que
s'écrit également
π
z = ei 4
et
π
ei 8
vérie
π
ei 8
2
=e
2iπ
8
π
= ei 4 .
π
iπ
iπ
Cela signie que e 8 est une racine carrée de z , donc e 8 = cos
+ i sin π8 est égal à ω ou −ω .
8
π
π
Comme cos
> 0 alors ei 8 = ω et donc par identication des parties réelles et imaginaires :
8
cos
Correction 30
seul le cas où
π
=
8
s√
2+1
√
2 2
sin
et
π
=
8
s√
2−1
√ .
2 2
Soit
P (z) = az 2 + bz + c, et ∆ = b2 − 4ac, si ∆ > 0 alors les racines sont réelles,
∆<0
nous intéresse. Première méthode : il sut de regarder les deux solutions
et de vérier qu'elles sont conjuguées...
Seconde méthode : si
z
est une racine de
P i.e. P (z) = 0,
alors
P (z) = az 2 + bz + c = az 2 + bz + c = P (z) = 0.
Donc
z
est aussi une racine de
Sachant que le polynôme
conjuguées.
Correction 31
P
P.
Or
de degré
z
2
∆ <0)
sont z et z
n'est pas un nombre réel (car
a exactement
2
racines, ce
donc
z 6= z .
et elles sont
Équations du second degré.
La méthode génerale pour résoudre les équa2
tions du second degré az +bz+c = 0 (avec a, b, c ∈ C et a 6= 0) est la suivante : soit ∆ = b −4ac
2
le discriminant complexe et δ une racine carrée de ∆ (δ = ∆) alors les solutions sont :
2
z1 =
−b + δ
2a
et
z2 =
−b − δ
.
2a
Dans le cas où les coecients sont réels, on retrouve la méthode bien connue. Le seul travail
dans le cas complexe est de calculer une racine δ de ∆.
√
2
Exemple : pour z −
3z − i = 0, ∆ = 3 + 4i, dont une racine carrée est
sont donc :
√
z1 =
Correction 36
∆ = −2i dont
z2 = 6 − 3i.
1.
z1 = 5 − 2i
et
3+2+i
2
z1 = i, d'où la
z2 = i et z3 = −2i.
z − i.
On trouve
Correction 42
seul
z1
et
3−2−i
.
2
carrées sont 1 − i
z2 =
et
−1 + i,
d'où les racines
résolution complète en eectuant la division par
Les solutions sont les complexes
zk = 2−1/2 ei(−π/12+2kπ/3)
a une puissance quatrième réelle.
Correction 43
solutions
√
les racines
2. Une racine évidente
δ = 2 + i, les
pour
0 6 k 6 2.
Et
√
2, et leurs arguments sont
−π/12, 7π/12 et 5π/4. Des valeurs approchées sont 1,36603−0,36603i, −0,36603+1,36603i
et −1 − i.
2.
1. Les trois racines cubiques ont même module
−1 − 2i, (−1 − 2i)j
Correction 44 cos 12π =
24
Les racines de z
=
π
π
cos 12 + i sin 12 , etc.
1
et
(−1 − 2i)j 2
√
1+√ 3
;
2 2
π
=
sin 12
où
j=
√
√
π
= 2 − 3 ; tan 5π
= 2 + 3.
tan 12
12
zk = e2kiπ/24 pour k = 0, 1, . . . , 23. Ce sont
√
−1+
√ 3;
2 2
sont données par
√
−1+i 3
(racine cubique de 1).
2
donc
1,
298
Correction
45
√
3 2
(1
2.
2
+
1. 3, 3i, −3 et −3i.
√
√
3 2
i), 2 (−1 + i), 3 2 2 (−1 −
Correction 46
Pour 3. Pour
i)
et
√
3 2
(1
2
− i).
Pour 2. Utiliser la formule d'Euler pour
sin (x/2).
x 6= 2kπ , k ∈ Z,
sin
Zn =
sin
nx
2
x
2
x
exp i (n − 1)
,
2
x = 2kπ , k ∈ Z, Zn = n.
Remarquer que Zn = Xn + iYn pour en déduire que
(n−1)x
(n−1)x
nx
sin 2
sin
cos
sin
2
2
Xn =
et Yn =
sin x2
sin x2
et pour
Correction 47
Sn = 1 + z + z 2 + · · · + z n =
n
X
nx
2
.
zk .
k=0
1−z n+1
d'une suite géométrique dans le cas
Nous devons retrouver le résultat sur la somme Sn =
1−z
où z 6= 1 est un réel. Soit maintenant z 6= 1 un nombre complexe. Calculons Sn (1 − z).
Sn (1 − z) = (1 + z + z 2 + · · · + z n )(1 − z) développons
= 1 + z + z 2 + · · · + z n − z − z 2 − · · · − z n+1
= 1 − z n+1 .
Donc
Sn =
Correction 48
|z| = 1.
1 − z n+1
,
1−z
Calcul de racine n-ième.
Écrivons
iθ
z=e
Soit
pour
les termes intermédiaires s'annulent
z 6= 1.
z∈C
tel que
Les solution sont donc
ε = e
2iπ
n
|z|n = 1
et donc
2kπ
, k ∈ Z.
n
o
n 2ikπ
n
S= e , k∈Z .
zn − 1
sentants :
De plus si
déjà
. L'équation devient
einθ = e0 = 1 ⇔ nθ = 0 + 2kπ, k ∈ Z ⇔ θ =
Comme le polynôme
z n = 1,
alors
est de degré
n
il a au plus
n
racines. Nous choisissons pour repré-
n 2ikπ
o
S = e n , k = 0, . . . , n − 1 .
S = εk , k = 0, . . . , n − 1 . Ces racines
sont les sommets d'un
polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité.
Pn−1 k
1−z n
Soit P (z) =
k=0 z = 1−z pour z 6= 1. Donc quelque soit z ∈ S \ {1} P (z) = 0, nous
avons ainsi trouver n − 1 racines pour P de degré n − 1, donc l'ensemble des racines de P est
S \ {1}.
Pn−1 kp
Pour conclure soit Qp (z) =
k=0 ε .
Si p = 0 + `n, ` ∈ Z alors Qp (z) = p.
Sinon Qp (z) est la somme d'une suite
exactement
géométrique de raison
εp
:
1 − (εn )p
1−1
1 − (εp )n
=
=
= 0.
Qp (z) =
p
p
1−ε
1−ε
1 − εp
299
Correction 56
Soient
z1 , z2 , z3
trois nombres complexes
distincts
ayant le même cube.
z 3
z 3
1. z1 6= 0 car sinon on aurait z1 = z2 = z3 = 0. Ainsi ( 2 ) = ( 3 ) = 1. Comme les trois
z1
z1
z
z
nombres 1, ( 2 ) et ( 3 ) sont distincts on en déduit que ce sont les trois racines cubiques
z1
z1
2iπ
− 2iπ
2
de 1. Ces racines sont 1, j = e 3 et j = e 3 . A une permutation près des indices 2 et
3 on a donc :
z2 = jz1
2. Soit
z ∈ C.
z3 = j 2 z1 .
et
On a les équivalences suivantes :
z 6 + (7 − i)z 3 − 8 − 8i = 0 ⇔ z 3
est solution de
Z 2 + (7 − i)Z − 8 − 8i = 0
Z 2 +(7−i)Z −8−8i = 0. ∆ = (7−i)2 +4(8+8i) = 80+18i = (9+i)2 .
donc −8 et 1 + i. Nous pouvons reprendre notre suite d'équivalences :
Etudions l'équation
Les solutions sont
z 6 + (7 − i)z 3 − 8 − 8i = 0 ⇔ z 3 ∈ {−8, 1 + i}
⇔ z 3 = (−2)3
√
π
6
z 3 = ( 2ei 12 )3
ou
√
2iπ
π √
9π √
17π
6
6
6
, −2e− 3 } ou z ∈ { 2ei 12 , 2ei 12 , 2ei 12 }
iπ
iπ √
π √
3π √
17π
6
6
6
⇔ z ∈ {−2, 2e 3 , 2e− 3 , 2ei 12 , 2ei 4 , 2ei 12 }.
⇔ z ∈ {−2, −2e
2iπ
3
L'ensemble des solutions est donc :
iπ
iπ
{−2, 2e 3 , 2e− 3 ,
Correction 60
Nous identions
C
√
6
π
2ei 12 ,
au plan ane et
√
6
3π
2ei 4 ,
√
6
z = x + iy
17π
2ei 12 }.
à
(x, y) ∈ R × R.
z = 5 n'est pas solution,
z − 3
z − 5 = 1 ⇔ |z − 3| = |z − 5|.
Remarquons que pour les deux ensembles
z
Ce qui signie présiment que que les points d'axe
A, B
d'axes respectives
segment
3 = (3, 0)
et
5 = (5, 0).
donc
sont situés à égale distance des points
L'ensemble solution est la médiatrice du
[A, B].
Ensuite pour
√
z − 3
2
1
2
2
z − 5 = 2 ⇔ |z − 3| = 2 |z − 5|
1
⇔ (z − 3)(z − 3) = (z − 5)(z − 5)
2
⇔ zz − (z + z) = 7
⇔ |z − 1|2 = 8
√
⇔ |z − 1| = 2 2
L'ensemble solution est donc le cercle de centre le point d'axe
Correction 65
1 = (1, 0)
et de rayon
√
2 2.
iθ
En exprimant qu'un nombre complexe de module 1 peut s'écrire e , on trouve
z = 1−eiθ . On peut encore écrire z = A + B cot 2θ , où A et B sont indépendants de θ, ce qui
montre que le point d'axe z décrit une droite. Géométriquement, cette droite est bien entendu
a−beiθ
la médiatrice du segment qui joint les points d'axes
a
et
b.
300
Correction 66
vérier que le point d'axe
θ=0
et à
a−bkeiθ
. On peut
1−keiθ
décrit le cercle dont un diamètre joint les points correspondant à
z =
Méthode analogue à celle de l'exercice 65. On trouve
θ=π
z
z0
(vérier en cherchant le milieu
Correction 67
1. Réciproque :
de ce segment et en étudiant
a + jb + j 2 c = 0
|z − z0 |).
a + j 2 b + jc = 0
(cela dépend de
OBC , DBA et EAC
sont directement
ou
l'orientation du triangle).
2.
ADOE
est un parallélogramme. Les trois triangles
isométriques, ce qui d'ailleurs se vérie immédiatement à l'aide de rotations.
Correction 69
|u + v|2 + |u − v|2 = (u + v)(ū + v̄) + (u − v)(ū − v̄) = 2uū + 2vv̄ = 2|u|2 + 2|v|2 .
0, u, v, u + v
|u + v|, |u − v| sont les
Géométriquement il s'agit de l'identité du parallélogramme. Les points d'axes
forment un parallélogramme.
|u|
et
|v|
sont les longueurs des cotés, et
longueurs des diagonales. Il n'est pas évident de montrer ceci sans les nombres complexes ! !
Correction 77
(A0 , . . . , A4 ) est un pentagone régulier, on a OA0 = OA1 =
−−→ −−→
−−→ −−→
−−→ −−→
OA2 = OA3 = OA4 = 1 et (OA0 , OA1 ) = 2π
[2π], (OA0 , OA2 ) = 4π
[2π], (OA0 , OA3 ) =
5
5
4iπ
2iπ
−−→ −−→
− 4π
[2π], (OA0 , OA4 ) = − 2π
[2π],. On en déduit : ω0 = 1, ω1 = e 5 , ω2 = e 5 , ω3 =
5
5
4iπ
6iπ
2iπ
8iπ
e− 5 = e 5 , ω4 = e− 5 = e 5 ,. On a bien ωi = ω1i . Enn, comme ω1 6= 0, 1 + ω1 + . . . +
5
1−ω
1−1
ω14 = 1−ω11 = 1−ω
= 0.
1
1. Comme
2.
Re(1 + ω1 + . . . + ω14 ) = 1 + 2 cos( 2π
) + 2 cos( 4π
). Comme cos( 4π
) = 2 cos2 ( 2π
) − 1 on en
5
5
5
5
2π
2π
2 2π
déduit : 4 cos (
)
+
2
cos(
)
−
1
=
0
. cos(
)
est donc bien une solution de l'équation
5
5
5
√
−1− 5
2
2
4z + 2z
−
1
=
0
. Etudions cette équation : ∆ = 20 = 2 .5. Les solutions sont donc
4
√
√
−1+ 5
5−1
2π
2π
et
. Comme cos(
)
>
0
, on en déduit que cos(
)
=
.
4
5
5
4
3.
BA22 = |ω2 +1|√2 = | cos( 4π
)+i sin( 4π
)+1|2 = 1+2 cos( 4π
)+cos2 ( 4π
)+sin2 ( 4π
) = 4 cos2 ( 2π
).
5
5
5
5
5
5
5−1
.
Donc BA2 =
2
4.
BI = |i/2 + 1| =
√
5
.
2
BJ = BI − 1/2 =
√
5−1
.
2
5. Pour tracer un pentagone régulier, on commence par tracer un cercle
C1 et deux diamètres
orthogonaux, qui jouent le rôle du cercle passant par les sommets et des axes de coordonnées. On trace ensuite le milieu d'un des rayons : on obtient le point I de la question
4. On trace le cercle de centre
I
passant par le centre de
BI pour obtenir son point J
B passant par J : il coupe C1
C1
le segment
d'intersection avec
de centre
en
A2
et
A3 ,
une fois depuis
A3 .
(en fait le cercle de centre
diamétralement opposé à
J,
coupe
C1
en
A1
et
A4 ,
B
C.
C.
On trace
On trace enn le cercle
deux sommets du pentagone. Il
sut pour obtenir tous les sommets de reporter la distance
A2 ,
: c'est le cercle
A 2 A3
C1 , une fois depuis
0
par J , le point de C
sur
et passant
mais nous ne l'avons pas justié par
le calcul : c'est un exercice !)
Correction 80
D'après la formule de Moivre,
cos 5θ = cos5 θ − 10 cos3 θ sin2 θ + 5 cos θ sin4 θ
sin 5θ = 5 cos4 θ sin θ − 10 cos2 θ sin3 θ + sin5 θ
cos2 θ+sin2 θ = 1, on peut continuer les calculs et exprimer cos 5θ en fonction
de cos θ , et sin 5θ en fonction de sin θ .
2π
Correction 89
1. sin (5x) = sin
+ x ssi x = π/6 + kπ/2 ou x = π/18 + kπ/3, avec
3
k ∈ Z.
Grâce à la formule
301
2.
sin 2x −
π
3
= cos
x
3
ssi
x = 5π/14 + 6kπ/7
ou
x = π/2 + 6kπ/5,
k ∈ Z.
avec
x = π/8 + kπ/2 ou x = −π/4 + kπ , avec k ∈ Z.
√
3 cos(x) − sin(x) = m a des solutions ssi m ∈ [−2, 2]
Correction
90
L'équation
√
m = 2, les solutions sont x = π/12 + 2kπ ou x = −5π/12 + 2kπ , k ∈ Z.
3.
cos (3x) = sin (x)
ssi
et pour
Correction 91 cos(5x)+cos(3x) 6 cos x ssi 2 cos(4x) cos(x) 6 cos x et 2 cos2 (x)−9 cos(x)+4 >
0
ssi
cos x > 1/2
ssi
Correction 92
avec
2.
x ∈ ]−π/6 + 2kπ, π/6 + 2kπ[, k ∈ Z.
1.
cos2 (x) − sin2 (x) = sin(3x)
ssi
x = π/2 + 2kπ
ou
x = −π/10 + 2kπ/5,
k ∈ Z.
cos4 (x) − sin4 (x) = 1
Correction 96
ssi
x = kπ ,
avec
k ∈ Z.
α, β ∈ Z[i]. Notons α = a + ib et β = c + id avec a, b, c, d ∈ Z.
Alors α + β = (a + c) + i(b + d) et a + c ∈ Z, b + d ∈ Z donc α + β ∈ Z[i]. De même,
αβ = (ac − bd) + i(ad + bc) et ac − bd ∈ Z, ad + bc ∈ Z donc αβ ∈ Z[i].
1. Soit
β ∈ Z[i] tel que αβ = 1. Ainsi, α 6= 0 et α1 ∈ Z[i].
Remarquons que tout élément non nul de Z[i] est de module supérieur ou égal à 1 : en
eet ∀z ∈ C, |z| > sup(| Re(z)|, | Im(z)|) et si z ∈ Z[i] \ {0}, sup(| Re(z)|, | Im(z)|) > 1.
Si |α| =
6 1 alors |α| > 1 et |1/α| < 1. On en déduit 1/α = 0 ce qui est impossible. Ainsi
|α| = 1, ce qui implique α ∈ {1, −1, i, −i}.
−1
Réciproquement, 1
= 1 ∈ Z[i], (−1)−1 = −1 ∈ Z[i], i−1 = −i ∈ Z[i], (−i)−1 = i ∈ Z[i].
Les éléments inversibles de Z[i] sont donc 1, −1, i et −i.
2. Soit
α ∈ Z[i]
x, y ∈ R. soit E(x) la partie entière de x, i.e. le plus
grand entier inférieur ou égal à x : E(x) 6 x < E(x) + 1. Si x 6 E(x) + 1/2, notons
nx = E(x), et si x > E(x) + 1/2, notons nx = E(x) + 1. nx est le, ou l'un des s'il y en a
deux, nombre entier le plus proche de x : |x − nx | 6 1/2. Notons ny l'entier associé de la
2
2
2
même manière à y . Soit alors z = nx + iny . z ∈ Z[i] et |ω − z| = (x − nx ) + (y − ny ) 6
1/4 + 1/4 = 1/2. Donc |ω − z| < 1.
3. Soit
ω ∈ C.
inversible. Il existe donc
Notons
ω = x + iy
avec
α, β ∈ Z[i], avec β 6= 0. Soit alors q ∈ Z[i] tel que | αβ − q| < 1. Soit r = α − βq .
r
α
Comme α ∈ Z[i] et βq ∈ Z[i], r ∈ Z[i]. De plus | | = | − q| < 1 donc |r| < |β|.
β
β
4. Soit
Correction 103
1. À permutation près, x
√
−1+i 3
cubique de l'unité
).
2
√
3+i 3
2. À permutation près, x = 1, y =
et
2
Correction 105
A ⇒ B est une
(nonA) est vraie
= −2, y = −2j
z=
et
z = −2j 2 (j
désigne la racine
√
3−i 3
.
2
Il ne faut pas se laisser impressionner par l'allure de cette assertion. En eet
B ou (nonA) ; ici A (la
(nonA) l'est également. Donc
la proposition B .
écriture pour
B
et
ou
est fausse et quelque soit
Correction 106
(1 = 2)) est fausse, donc
A ⇒ B est vraie, quand A
proposition
l'assertion
∀x ∈ R ∃y ∈ R x + y 6 0 est
x ∈ R il existe toujours un y ∈ R tel que x + y 6 0, par exemple on
y = −(x + 1) et alors x + y = x − x − 1 = −1 6 0.
1. (a) est fausse. Car sa négation qui est
vraie. Étant donné
peut prendre
2. (b) est vraie, pour un
x + y = 1 > 0.
x
donné, on peut prendre (par exemple)
La négation de (b) est
∀x ∈ R ∀y ∈ R x + y > 0
∃x ∈ R ∃y ∈ R x + y 6 0.
3. (c) :
4. (d) est vraie, on peut prendre
Correction 107
y = −x + 1
et alors
∃x ∈ R ∀y ∈ R x + y 6 0.
est fausse, par exemple
x = −1.
La négation est :
x = −1, y = 0.
La négation est
∀x ∈ R ∃y ∈ R y 2 6 x.
Dans ce corrigé, nous donnons une justication, ce qui n'était pas demandé.
302
1. Cette assertion se décompose de la manière suivante : ( Pour tout
négation de ( Pour tout
f (x) > 1.
x ∈ R)"
est Il existe
x ∈ R"
x ∈ R) (f (x) 6 1). La
6 1)" est
x ∈ R, f (x) > 1.
et la négation de ( f (x)
Donc la négation de l'assertion complète est : Il existe
f est croissante" : pour tout
x1 6 x2 alors f (x1 ) 6 f (x2 ). Cela se décompose en : (pour
tout couple de
et x2 ) (x1 6 x2 implique f (x1 ) 6 f (x2 ))". La négation de la
première partie est : (il existe un couple de réels (x1 , x2 ))" et la négation de la deuxième
partie est : ( x1 6 x2 et f (x1 ) > f (x2 ))". Donc la négation de l'assertion complète est :
Il existe x1 ∈ R et x2 ∈ R tels que x1 6 x2 et f (x1 ) > x2 ".
2. Rappelons comment se traduit l'assertion L'application
couple de réels
(x1 , x2 ),
réels x1
si
3. La négation est : l'application
f
n'est pas croissante ou n'est pas positive. On a déjà traduit
f n'est pas croissante", traduisons l'application f n'est pas positive" : il
existe x ∈ R, f (x) < 0". Donc la négation de l'assertion complète est : Il existe x1 ∈ R
et x2 ∈ R tels que x1 < x2 et f (x1 ) > x2 , ou il existe x ∈ R, f (x) < 0".
l'application
+
4. Cette assertion se décompose de la manière suivante : (Il existe x ∈ R ) (f (x) 6 0)".
+
La négation de la première partie est : (pour tout x ∈ R ), et celle de la seconde
+
est :( f (x) > 0)". Donc la négation de l'assertion complète est : Pour tout x ∈ R ,
f (x) > 0".
∃x ∈ R)(∀y ∈ R)(x < y ⇒ f (x) >
f (y))". La négation de la première partie est ( ∀x ∈ R), celle de la seconde est ( ∃y ∈ R), et
celle de la troisième est ( x < y et f (x) 6 f (y)). Donc la négation de l'assertion complète
est : ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x < y et f (x) 6 f (y)".
5. Cette assertion se décompose de la manière suivante : (
Correction 108
2.
⇔
3.
⇒
1.
⇐
Correction 109
2
1. Cette proposition est vraie. En eet soit ε > 0, dénissons M1 = ( , 0) ∈
ε
F1 et M2 = ( 2ε , 2ε ) ∈ F2 , alors M1 M2 = 2ε < ε. Ceci étant vrai quelque soit ε > 0 la
proposition est donc démontrée.
2. Soit deux points xés
M1 , M2
d = M1 M2 est aussi
ensembles F1 et F2 sont
vériant cette proposition la distance
M1 = M2 ;
petite que l'on veut donc elle est nulle, donc
or les
disjoints. Donc la proposition est fausse. La négation de cette proposition est :
∀M1 ∈ F1 ∀M2 ∈ F2
et cela exprime le fait que les ensembles
∃ε ∈]0, +∞[ / M1 M2 > ε
F1
et
F2
sont disjoints.
ε corresponM1 M2 > ε + 1 ce qui
3. Celle ci est également fausse, en eet supposons qu'elle soit vraie, soit alors
dant à cette proposition. Soit
M1 = (ε + 2, 0)
et
M2 = (1, 1),
on a
est absurde. La négation est :
∀ε ∈]0, +∞[ ∃M1 ∈ F1 ∃M2 ∈ F2
/ M1 M2 > ε
C'est-à-dire que l'on peut trouver deux points aussi éloignés l'un de l'autre que l'on veut.
4. Cette proposition est vraie il sut de choisir
ε = M1 M2 + 1.
Elle signie que la distance
entre deux points donnés est un nombre ni !
Correction 110
Il existe un habitant de la rue du Havre qui a les yeux bleus, qui ne gagnera
pas au loto ou qui prendra sa retraite après 50 ans.
Correction 111
1.
P
et non
Q;
303
Q"
2. non P ou
3. (non
4. non
5.
P
et
P)
P
ce qui la même chose que P
et (non
Q
Q)
ou ((non
et
R
Q
ou
et non
Correction 112
ou (non
R)
R))
⇒ Q" ;
(on peut supprimer les parenthèses) ;
(ici les parenthèses sont importantes) ;
S;
1. Un triangle dont aucun angle n'est droit n'est pas rectangle.
2. Il existe une écurie dans laquelle il y a (au moins) un cheval dont la couleur n'est pas
noire.
3. Sachant que la proposition en langage mathématique s'écrit
∀x ∈ Z ∃y ∈ Z ∀z ∈ Z (z < x ⇔ z < x + 1),
la négation est
∃x ∈ Z ∀y ∈ Z ∃z ∈ Z (z < x
4.
∃ε > 0 ∀α > 0 (|x − 7/5| < α
Correction 119
donné
ε > 0,
et
et
z > x + 1).
|5x − 7| > ε).
Remarquons d'abord que pour
n ∈ N,
2n+1
n+2
62
car
2n + 1 6 2(n + 2).
Étant
nous avons donc
2n + 1
<2+ε
n+2
sur n pour que l'inégalité
∀n ∈ N
Maintenant nous cherchons une condition
2−ε<
2n + 1
n+2
soit vraie.
2−ε<
2n + 1
⇔ (2 − ε)(n + 2) < 2n + 1
n+2
⇔ 3 < ε(n + 2)
3
⇔n> −2
ε
3
− 2, alors pour tout n > N nous
nous est donné, nous prenons un N ∈ N tel que N >
ε
3
2n+1
avons n > N >
−
2
et par conséquent : 2 − ε <
. Conclusion : étant donné ε > 0, nous
ε
n+2
2n+1
2n+1
avons trouvé un N ∈ N tel que pour tout n > N on ait 2 − ε <
et
< 2 + ε.
n+2
n+2
En fait nous venons de prouver que la limite de la suite de terme (2n + 1)/(n + 2) tend vers 2
Ici
ε
quand
n
tend vers
Correction 120
+∞.
1.
∃M ∈ R ∀x ∈ R f (x) 6 x ;
2.
∃M ∈ R ∃m ∈ R ∀x ∈ R m 6 f (x) 6 x ;
3.
∀x ∈ R f (x) = f (−x) ;
4.
∀x ∈ R f (x) = −f (−x) ;
5.
∀x ∈ R f (x) 6= 0 ;
6.
∃a ∈ R∗ ∀x ∈ Rf (x + a) = f (x) ;
7.
∀(x, y) ∈ R2 (x 6 y ⇒ f (x) 6 f (y)) ;
8.
∀(x, y) ∈ R2 (x 6 y ⇒ f (x) > f (y)) ;
9.
∃x ∈ R f (x) 6= 0 ;
304
10.
∀(x, y) ∈ R2 (x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)) ;
11.
∀n ∈ N ∃x ∈ R f (x) = n ;
12.
∀x ∈ R f (x) 6 g(x) ;
13.
∃x ∈ R f (x) > g(x).
Correction 122
Nous allons démontrer l'assertion
1.
de deux manières diérentes.
A et B sont telles que A∩B = A∪B .
A = B.
Pour cela étant donné x ∈ A montrons qu'il est aussi dans B . Comme x ∈ A alors
x ∈ A ∪ B donc x ∈ A ∩ B (car A ∪ B = A ∩ B ). Ainsi x ∈ B .
Maintenant nous prenons x ∈ B et le même raisonnement implique x ∈ A. Donc tout
élément de A est dans B et tout élément de B est dans A. Cela veut dire A = B .
1. Tout d'abord de façon directe". Nous supposons que
Nous devons montrer que
2. Ensuite, comme demandé, nous le montrons par contraposition. Nous supposons que
A 6= B et
Si A 6= B
A ∩ B 6= A ∪ B .
cela veut dire qu'il existe un élément x ∈ A \ B ou alors un élément x ∈ B \ A.
Quitte à échanger A et B , nous supposons qu'il existe x ∈ A \ B . Alors x ∈ A ∪ B mais
x∈
/ A ∩ B . Donc A ∩ B 6= A ∪ B .
non devons monter que
Correction 123
x ∈ {(A ∪ B) ⇔ x ∈
/ A∪B
⇔x∈
/ A et x ∈
/B
⇔ x ∈ {A et x ∈ {B
⇔ x ∈ {A ∩ {B.
x ∈ {(A ∩ B) ⇔ x ∈
/ A∩B
⇔x∈
/ A ou x ∈
/B
⇔ x ∈ {A ou x ∈ {
⇔ x ∈ {A ∪ {B.
Correction 124
Montrons quelques assertions.
f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B).
Si y ∈ f (A ∩ B), il existe x ∈ A ∩ B tel que y = f (x), or x ∈ A donc y = f (x) ∈ f (A) et de
même x ∈ B donc y ∈ f (B). D'où y ∈ f (A) ∩ f (B). Tout élément de f (A ∩ B) est un élément
de f (A) ∩ f (B) donc f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B).
Remarque : l'inclusion réciproque est fausse. Exercice : trouver un contre-exemple.
f −1 (F \ A) = E \ f −1 (A).
x ∈ f −1 (F \ A) ⇔ f (x) ∈ F \ F \ A
⇔ f (x) ∈
/A
⇔x∈
/ f −1 (A) car f −1 = {x ∈ E / f (x) ∈ A}
⇔ x ∈ E \ f −1 (A)
305
Correction 136 I1 = 3 et I2 = [−2, 5] .
Correction 137 I1 = [0, 2] et I2 = ]1, +∞[ .
Correction 144
1. B \ A ⊂ X ⊂ B .
2.
B ⊂ X ⊂ B ∪ ∪{A.
Correction 150
p ∈ N tel que f = fp . Deux applications
Par l'absurde, supposons qu'il existe
sont égales si et seulement si elles prennent les mêmes valeurs.
∀n ∈ N f (n) = fp (n).
En particulier pour
fp (p) + 1.
n = p, f (p) = fp (p).
D'autre part la dénition de
Nous obtenons une contradiction car
En conclusion, quelque soit
Correction 151
N = kpi
nous donne
f (p) =
ne peut prendre deux valeurs distinctes.
p ∈ N f 6= fp .
1. Montrons en fait la contraposée.
i
S'il existe
f (p)
f
tel que
pi
divise
N = p1 p2 . . . pr + 1 ( i
est xé) alors il existe
k∈Z
tel que
donc
pi (k − p1 p2 . . . pi−1 pi+1 . . . pr ) = 1
pi q = 1 (avec q = k − p1 p2 . . . pi−1 pi+1 . . . pr un nombre entier) Donc pi ∈ Z
1/pi = q ∈ Z, alors pi vaut 1 ou −1. Et donc pi n'est pas un nombre premier.
Conclusion : par contraposition il est vrai que N n'est divisible par aucun des pi
soit
2. Raisonnons par l'absurde : s'il n'existe qu'un nombre ni
alors
N = p1 p2 . . . pr + 1
et
r de nombres premiers p1 , . . . , pr
est un nombre premier car divisible par aucun nombre premier
autre que lui même (c'est le 1.).
Mais
N
premier
est strictement supérieur à tous les
N
diérent des
pi ,
pi .
Conclusion on a construit un nombre
il y a donc au moins
r+1
nombres premiers, ce qui est
absurde.
Correction 153
Rédigeons la deuxième égalité. Soit
n
X
(An )
k=1
A0
l'assertion suivante :
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
est vraie ( 1
Étant donné
= 1).
n ∈ N∗ supposons
=
A n , n ∈ N∗
n+1
X
que
=
k=1
An
n
X
soit vraie. Alors
+(n + 1)2
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
+ (n + 1)2
6
n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)2
=
6
(n + 1)(n(2n + 1) + 6(n + 1))
=
6
(n + 1)(n + 2)(2(n + 1) + 1)
=
6
=
Ce qui prouve
An+1 .
306
Par le principe de récurrence nous venons de montrer que
Correction 155
1. Montrons par récurrence
An
est vraie pour tout
∀n ∈ N xn > 3.
n ∈ N∗ .
Soit l'hypothèse de récur-
rence :
(Hn ) :
•
•
H0
La proposition
Soit
n > 0,
est vraie car
supposons
Hn
x0 = 4 > 3.
vraie et montrons que
Par hypothèse de récurrence
2
étude de la fonction x 7→ 2x
Hn+1
est alors vraie.
2xn 2 − 3
2xn 2 − 3xn − 9
−3=
.
xn + 2
xn + 2
xn+1 − 3 =
•
xn > 3.
xn > 3, donc xn + 2 > 0 et 2xn 2 − 3xn − 9 > 0 (ceci par
− 3x − 9 pour x > 3). Donc xn+1 − 3 et Hn+1 est vraie.
Nous avons montrer
∀n ∈ N Hn ⇒ Hn+1
et comme
H0
est vraie alors
Hn
est vraie quelque soit
n.
Ce qui termine la démonstra-
tion.
2. Montrons que
xn+1 − 3 − 32 (xn − 3)
est positif.
3
2xn 2 − 3 3
1 xn 2 + 3xn + 12
xn+1 − 3 − (xn − 3) =
− (xn − 3) =
2
xn + 2
2
2
xn + 2
Ce dernier terme est positif car
3. Montrons par récurrence
xn > 3.
+ 3. Soit
n
3
(Hn ) xn >
+ 3.
2
récurrence :
•
•
•
n > 0,
est vraie.
supposons que
est vraie, et
4. La suite
(xn )
Correction 156
•
•
notre nouvelle l'hypothèse de
vraie et montrons que Hn+1 est vériée.
3
D'après la question précédente xn+1 − 3 > (xn − 3) et par hypothèse de récurrence
2
n
n+1
n
xn > 23 +3 ; en réunissant ces deux inégalités nous avons xn+1 −3 > 32 ( 32 ) = 32
.
Nous concluons en résumant la situation :
Soit
H0
Hn :
H0
La proposition
3 n
2
∀n ∈ N xn >
n
Hn
Hn ⇒ Hn+1
tend vers
+∞
quelque soit
n.
Donc
Hn
est toujours vraie.
et n'est donc pas convergente.
Montrons par récurrence sur
n>1
la proposition suivante :
droites en position générale découpent le plan en
Rn =
n(n + 1)
+1
2
régions.
n = 1 alors une droite divise le plan en deux régions. H1 est vraie.
Soit n > 2 et supposons que Hn−1 soit vraie, et montrons Hn . Soient ∆1 , . . . , ∆n n droites
en position générale, la droite ∆n rencontre les droites ∆1 , . . . , ∆n−1 en n − 1 points, donc
∆n traverse (et découpe en deux) n régions du découpage ∆1 , . . . , ∆n−1 . Le découpage par
∆n donne donc la relation Rn = Rn−1 + n.
(n−1)n
+ 1 donc
Or par hypothèse de récurrence Hn−1 : Rn−1 =
2
pour
Rn = Rn−1 + n =
Hn est vraie.
∗
Ainsi ∀n ∈ N
Hn−1 ⇒ Hn .
Et
(n − 1)n
n(n + 1)
+1+n=
+1
2
2
307
•
Conclusion : par récurrence on a montré que
Correction 157
Hn
est vraie quelque soit
n > 1.
1. Montrons la proposition demandée par récurrence : soit
f n+1 = f ◦ f n .
Cette assertion est vraie pour
n = 0.
Pour
n∈N
An
supposons
l'assertion
An
vraie.
Alors
f n+2 = f n+1 ◦ f = (f ◦ f n ) ◦ f = f ◦ (f n ◦ f ) = f ◦ f n+1 .
Nous avons utiliser la denition de
f
composition, puis la dénition de
f n+2 ,
n+1
puis la proposition
. Donc
An+1
An ,
puis l'associativité de la
est vraie. Par le principe de récurrence
∀ ∈ N f n ◦ f = f ◦ f n.
An l'assertion (f −1 )n = (f n )−1 . Cette assertion
n ∈ N supposons An vraie. Alors
2. On procède de même par récurrence : soit
est vraie pour
n = 0.
Pour
(f −1 )n+1 = (f −1 )n ◦ f −1 = (f n )−1 ◦ f −1 = (f ◦ f n )−1 = (f n ◦ f )−1 = (f n+1 )−1 .
Donc
An+1
est vraie. Par le principe de récurrence
∀ ∈ N (f −1 )n = (f n )−1 .
Correction 185
Si
f ◦g =g◦f
alors
∀x ∈ R f ◦ g(x) = g ◦ f (x).
x = 0. Alors
f ◦ g 6= g ◦ f
Nous allons montrer que c'est faux, en exhibant un contre-exemple. Prenons
f ◦ g(0) = f (−1) = −2,
Correction 191
1.
y = 2 n'a pas
x2 − x + 1 = 0
2.
et
f
g ◦ f (0) = g(1) = 0
donc
f ◦ g(0) 6= g ◦ f (0).
Ainsi
f (2) = 54 = f ( 12 ). f n'est pas surjective car
2
l'équation f (x) = 2 devient 2x = 2(1 + x ) soit
n'est pas injective car
d'antécédent : en eet
qui n'a pas de solutions réelles.
2
est équivalent à l'équation yx − 2x + y = 0. Cette équation a des solutions x
2
si et seulement si ∆ = 4 − 4y > 0 donc il y a des solutions si et seulement si y ∈ [−1, 1].
f (x) = y
Nous venons de montrer que
f (R)
est exactement
[−1, 1].
1−
√
1−y 2
y ∈ [−1, 1] alors les solutions x possibles de l'équation g(x) = y sont x =
√
√
√ y
1+ 1−y 2
1− 1−y 2
1− 1−y 2
ou x =
. La seule solution x ∈ [−1, 1] est x =
en eet x =
=
y
y
y
√y
∈ [−1, 1]. Donc pour g : [−1, 1] −→ [−1, 1] nous avons trouvé un inverse h :
1+ 1−y 2
√
1− 1−y 2
. Donc g est une bijection.
[−1, 1] −→ [−1, 1] déni par h(y) =
y
3. Soit
4.
2
0
, donc f est strictement positive sur ]−1, 1[ donc f est strictement croissante
f 0 (x) = 2−2x
1+x2
sur [−1, 1] avec f (−1) = −1 et f (1) = 1. Donc la restriction de f , g : [−1, 1] −→ [−1, 1],
est une bijection.
Correction 193
avec
f (a) =
0
1. Supposons g ◦f injective, et montrons que f est injective : soit a, a ∈ A
f (a0 ) donc g ◦ f (a) = g ◦ f (a0 ) or g ◦ f est injective donc a = a0 . Conclusion
on a montré :
∀a, a0 ∈ A f (a) = f (a0 ) ⇒ a = a0
c'est la dénition de
2. Supposons
g◦f
f
injective.
g est surjective : soit c ∈ C comme g ◦ f
g ◦ f (a) = c ; posons b = f (a), alors g(b) = c, ce
c ∈ C donc g est surjective.
surjective, et montrons que
est surjective il existe
a∈A
tel que
raisonnement est valide quelque soit
308
3. Un sens est simple
(⇐)
si
f
et
g
sont bijectives alors
g◦f
l'est également. De même avec
h ◦ g.
(⇒) : si g ◦ f est bijective alors en particulier elle est surjective
g est surjective.
est en particulier injective, donc g est injective (c'est le 1.). Par
Pour l'implication directe
et donc d'après le deuxième point
Si
h◦g
est bijective, elle
g est à la fois injective et surjective donc bijective.
−1
Pour nir f = g
◦ (g ◦ f ) est bijective comme composée d'applications
même pour h.
conséquent
Correction 197
est
1. Pour
z = x + iy , le module de ez = ex+iy = ex eiy
est
ex
bijectives, de
et son argument
y.
2. Les résultats :
exp
Correction 198
0
exp
3. La fonction
fonction
ez+z = ez ez , ez = ez , e−z = (ez )−1 , (ez )n = enz .
0
n'est pas surjective car
n'est pas non plus injective
L'inverse de
fa,b
est
ga,b
|ez | = ex > 0 et donc ez ne
z
z+2iπ
car pour z ∈ C, e = e
.
avec
ga,b (y) = a1 y −
vaut jamais
b
. Autrement dit
a
0.
La
−1
fa,b
= ga,b =
f 1 ,− b .
a
a
Correction 199
Soit x ∈ [0, 1] ∩ Q alors f (x) = x donc f ◦ f (x) = f (x) = x. Soit x ∈
/ [0, 1] ∩ Q
f (x) = 1 − x donc f ◦ f (x) = f (1 − x), mais 1 − x ∈
/ [0, 1] ∩ Q (vériez-le !) donc
f ◦ f (x) = f (1 − x) = 1 − (1 − x) = x. Donc pour tout x ∈ [0, 1] on a f ◦ f (x) = x. Et donc
f ◦ f = id.
alors
Correction 200
f , φ : [0, 2π[−→ U, t 7→ eit est bijective. Où U
est le cercle unité de C donné par l'équation (|z| = 1).
• φ est surjective car tout nombre complexe de U s'écrit sous la forme polaire eiθ , et l'on peut
choisir θ ∈ [0, 2π[.
• φ est injective :
Montrons que la restriction de
0
φ(t) = φ(t0 ) ⇔ eit = eit
⇔ t = t0 + 2kπ avec k ∈ Z
⇔ t = t0 car t, t0 ∈ [0, 2π[ et
En conclusion
φ
donc
k = 0.
est injective et surjective donc bijective.
Correction 202 • f
est injective :
f (x) = f (y) ⇒ x2 − 1 = y 2 − 1
⇒ x = ±y où x, y ∈ [1, +∞[
⇒ x = y.
donc
x, y
sont de même signe
• f est surjective : soit √
y ∈ [0, +∞[. Nous cherchons un élément x ∈ [1, +∞[ tel que y = f (x) =
x2 − 1 . Le réel x = y + 1 convient !
Correction 209
z, z 0 , z 00 des complexes quelconques.
• Reexivité : zRz car |z| = |z|.
• Symétrie : zRz 0 ⇒ z 0 Rz car |z| = |z 0 | et donc |z 0 | = |z|.
• Transitivité : zRz 0 et z 0 Rz 00 alors |z| = |z 0 | = |z 00 | donc zRz 00 .
En fait, nous avons juste retranscrit que l'égalité = est une relation
1. Soit
d'équivalence.
309
z ∈ C est l'ensemble des complexes qui sont en relation
|z|. Géométriquement la
cerlce C de centre 0 et de rayon |z|.
2. La classe d'équivalence d'un point
avec
z , i.e.
l'ensemble des complexes dont le module est égal à
z
classe d'équivalence de
est le
C = {|z|eiθ / θ ∈ R}.
Correction 210
Le raisonnement est faux.
L'erreur est due au manque de quantication. En eet, rien ne prouve que pout tout
y
existe. Il peut exister un élément
Correction 220
Soit
f : R −→ R
x
x
un tel
qui n'est en relation avec personne (même pas avec lui).
la fonction
f (x) = (1 + x)n .
Newton nous savons que
n
f (x) = (1 + x) =
n
X
Par la formule du binôme de
Cnk xk .
k=1
1. En calculant
f (1)
Pn
k
k=1 Cn .
n−1
2 =
f (x) = n(1 + x)
nous avons
2. Maintenant calculons
Pn
k
k=1 kCn .
n
0
3. Il s'agit ici de calculer une primitive
Pn
1
1
n+1
k
En F (1) =
2
=
k=1 k+1 Cn .
n+1
Correction 222
L'astuce consiste à écrire
F
=
de
f
:
Pn
k=1
kCnk xk−1 .
F (x) =
2=3−1
1
(1
n+1
Évaluons
+ x)n+1 =
f 0 (1) = n2n−1 =
Pn
1
k k+1
.
k=1 k+1 Cn x
( !)
2n = (3 − 1)n = 3 × p + (−1)n
Pn
k k
n−k
n
Où 3 × p (p ∈ Z) représente les n premiers termes de
et (−1) est le dernier
k=0 Cn 3 (−1)
n
n
n
n
terme. Donc 2 − (−1) = 3p. Si n est impair l'égalité s'écrit 2 + 1 = 3p et donc 2 + 1 est
n
n
divisible par 3. Si n est pair 2 − 1 = 3p donc 2 + 1 = 3p + 2 qui n'est pas divisible par 3.
Pour l'autre assertion regarder 3 = 7 − 4.
Correction 228
Il s'agit de comparer les deux écritures de la fonction
n
f (x) = (1 + x) =
n
X
Cnk xk .
k=0
x = 1 et x = −1 nous obtenons respectivement les assertions (a) et (b).
0
fonction f et en calculant f (1), nous obtenons (b). Pour (d) il faut dériver une
Pour
Correction 229
En dérivant la
nouvelle fois.
A = (1+i) a pour module 2 et pour argument n π4 (et B est son conjugué).
On en tire grâce à la formule du binôme, et en séparant partie réelle et partie imaginaire :
B−A
et S2 =
i.
S1 = 2n/2 cos n π4 et et S2 = 2n/2 sin n π4 . On a aussi S1 = A+B
2
2
Correction 230
Supposons que
E
n
n/2
Φ
L'application
est une bijection : son inverse est
soit un ensemble ni. Notre bijection
Φ
Φ
elle-même.
envoie un ensemble
Q ⊂ P(E)
sur
un ensemble de même cardinal.
Choisissons
E
un ensemble à
n
éléments, et soit
Q = {F ⊂ E,
Nous savons que Card
Q = Cnp
p 6 n.
Card F
(c'est la dénition de
Soit
Q ⊂ P(E)
:
= p} .
Cnp ).
De plus
Φ(Q) = {Φ(F ), F ⊂ E, Card F = p}
= {F, F ⊂ E, Card F = p
= {G ⊂ E, Card G = n − p} .
Donc Card
Cnp .
Φ(Q) = Cnn−p .
Et comme
Φ
est une bijection, Card
Φ(Q) = Card (Q),
donc
Cnn−p =
310
Correction 236
Card P
Tout d'abord si deux ensembles nis
+ Card Q.
A∆B
L'idée est donc d'écrire
P
et
Q sont disjoints alors Card P ∪ Q =
comme union de deux ensembles disjoints.
A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ (A ∩ B)) ∪ (B \ (A ∩ B)).
A \ (A ∩ B) et B \ (A ∩ B) sont disjoints.
Card S \ R = Card S − Card R, nous obtenons :
Ces deux ensembles
nous avons
Card A∆B
En utilisant que pour
R⊂S
= Card A \ (A ∩ B) + Card B \ (A ∩ B) = Card A + Card B − 2Card (A ∩ B).
Correction 237
k
Cn−p
ensembles à
de A est donc
A ; dans E \ A (de cardinal n − p), nous pouvons choisir
( k = 0, 1, . . . , n). Le nombre d'ensembles dans le complémentaire
Fixons un élément de
k
éléments
n−p
X
k
Cn−p
= 2n−p .
k=0
Pour le choix d'un élément de
A
p
nous avons
choix, donc le nombre total d'ensembles qui
vérie la condition est :
p2n−p .
Correction 249
15! = 1.2.3.4 . . . 15 en facteurs premiers. 15! =
2 .3 .5 .7 .11.13. Un diviseur de 15! s'écrit d = 2α .3β .5γ .7δ .11ε .13η avec 0 6 α 6 11, 0 6 β 6 6,
0 6 γ 6 3, 0 6 δ 6 2, 0 6 ε 6 1, 0 6 η 6 1. De plus tout nombre d de cette forme est un
diviseur de 15!. Le nombre de diviseurs est donc (11+1)(6+1)(3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 4032.
11
6
3
Écrivons la décomposition de
2
Correction 250
1000
1000
Il sagit de calculer 100
modulo 13. Tout d'abord 100 ≡ 9[13] donc 100
91000 [13]. Or 92 ≡ 81 ≡ 3[13], 93 ≡ 92 .9 ≡ 3.9 ≡ 1[13], Or 94 ≡ 93 .9 ≡ 9[13], 95 ≡ 94 .9 ≡ 9.9
3[13]. Donc 1001000 ≡ 91000 ≡ 93.333+1 ≡ (93 )333 .9 ≡ 1333 .9 ≡ 9[13].
Correction 251
La seule chose à voir est que pour une division euclidienne le reste doit être
plus petit que le quotient. Donc les divisions euclidiennes s'écrivent :
et
≡
≡
96842 = 256 × 378 + 74
96842 = 258 × 375 + 92.
Correction 254
Raisonnons modulo
8
:
7 ≡ −1( mod 8).
Donc
7n + 1 ≡ (−1)n + 1( mod 8).
n
n
Le reste de la division euclidienne de 7 + 1 par 8 est donc (−1) + 1 donc Si
n
n
7 + 1 est divisible par 8. Et si n est pair 7 + 1 n'est pas divisible par 8.
Correction 257
diviseur de
2,
consécutifs est divisible par
Ecrire
3, un diviseur de
2 × 3 × 4 = 24.
n = p2 + q 2
3
)
2
)
Si
p
divise
b−a
p
alors
et
p
divise aussi
On utilise le résultat de la question précédente avec
ap−k−1 modulo p dans
p−1
X
k p−k−1
a b
k=0
n
en
bn − an d'après la formule (∗).
n = p − k − 1 pour écrire bp−k−1
en
par
q.
fonction de
On peut alors conclure.
4
et étudier le reste de la division euclidienne de
distinguant les diérents cas de parité de
Correction 270
4 nombres consécutifs il y a nécessairement : un
4 (tous distincts). Donc le produit de 4 nombres
Il sut de constater que pour
un diviseur de
Correction 267
n est impair alors
.
311
Correction 285
tenant
1. Soit n un nombre impair, alors il s'écrit n = 2p + 1 avec p ∈ N.
n2 = (2p + 1)2 = 4p2 + 4p + 1 = 4p(p + 1) + 1. Donc n2 ≡ 1[8].
Main-
n est pair alors il existe p ∈ N tel que n = 2p. Et n2 = 4p2 . Si p est pair alors p2 est pair
2
2
2
2
et donc n = 4p est divisible par 8, donc n ≡ 0[8]. Si p est impair alors p est impair et
2
2
2
donc n = 4p est divisible par 4 mais pas par 8, donc n ≡ 4[8].
2. Si
a est impair alors d'après la première question a2 ≡ 1[8], et de même c2 ≡ 1[8],
c ≡ 1[8]. Donc a2 + b2 + c2 ≡ 1 + 1 + 1 ≡ 3[8]. Pour l'autre reste, écrivons a = 2p + 1
et b = 2q + 1, c = 2r + 1, alors 2ab = 2(2p + 1)(2q + 1) = 8pq + 4(p + q) + 2. Alors
2(ab + bc + ca) = 8pq + 8qr + 8pr + 8(p + q + r) + 6, donc 2(ab + bc + ca) ≡ 6[8].
3. Comme
2
2
2
2
4. Montrons par l'absurde que le nombre a + b + c n'est pas le carré d'un nombre entier.
2
2
2
2
2
2
2
Supposons qu'il existe n ∈ N tel que a + b + c = n . Nous savons que a + b + c ≡ 3[8].
2
2
2
Si n est impair alors n ≡ 1[8] et si n est pair alors n ≡ 0[8] ou n ≡ 4[8]. Dans tous les
2
cas n n'est pas congru à 3 modulo 8. Donc il y a une contradiction. La conclusion est
2
2
2
que l'hypothèse de départ est fausse donc a + b + c n'est pas un carré. Le même type
de raisonnement est valide pour
2(ab + bc + ca).
ab + bc + ca il faut raner un peut l'argument. Si ab + bc + ca = n2 alors selon la
2
parité de n nous avons 2(ab + bc + ca) ≡ 2n ≡ 2[8] ou à 0[8]. Nous remarquons enn que
ab, bc, ca sont trois nombres impairs, et donc leur somme est impaire. Par conséquent n
2
2
est impair (sinon n serait pair), donc ab + bc + ca =≡ n ≡ 1[8]. Ce qui aboutit à une
contradiction. Nous avons montrer que ab + bc + ca n'est pas un carré.
Pour
Correction 290
1.
2.
Il s'agit ici d'utiliser la décomposition des nombres en facteurs premiers.
126 = 2.32 .7
230 = 2.5.23
et
4
126
donc le pgcd de
2
2
2
390 = 2.3.5.13, 720 = 2 .3 .5, 450 = 2.3 .5
2.3.5 = 30.
3. pgcd (180, 606, 750)
et
230
est
2.
et donc le pgcd de ces trois nombres est
= 6.
Correction 292
0 0
0
Soient a, b deux entiers de pgcd 18 et de somme 360. Soit a , b tel que a = 18a
0
0
et b = 18b . Alors a et b sont premiers entre eux, et leur somme est 360/18 = 20.
0 0
0
0
Nous pouvons facilement énumérer tous les couples d'entiers naturels (a , b ) (a 6 b ) qui
0
vérient cette condition, ce sont les couples :
(1, 20), (3, 17), (6, 14), (7, 13), (8, 12), (9, 11).
Pour obtenir les couples
par
18
(a, b)
recherchés ( a
6 b),
il sut de multiplier les couples précédents
:
(18, 360), (54, 306), (108, 252), (126, 234), (144, 216), (162, 198).
Correction 296
2.
1. pgcd (18480, 9828)
= 84 ;
25 × 18480 + (−47) × 9828 = 84.
Correction 298
955 et 183 est 1, donc d'après le théorème de Bézout cette
équation a des solutions. Par exemple une solution particulière est (m0 , n0 ) = (−32, 167). Les
solutions sont exactement les couples (m, n) = (m0 − 83k, n0 + 37k), pour k ∈ Z.
Correction 303
Comme le pgcd de
1.
a = 9b + 10.
2. Calculons le pgcd par l'algorithme d'Euclide.
10 = 1 × 9 + 1.
Donc le pgcd vaut
1;
a = 9b + 10, b = 12345678 × 10 + 9,
312
1 = 10 − 9, puis nous
9 grâce à la deuxième équation de l'algorithme d'Euclide : 1 = 10 − (b −
12345678 × 10) = −b + 1234679 × 10. Maintenant nous remplaçons 10 grâce à la première
équation : 1 = −b + 12345679(a − 9b) = 1234579a − 111111112b.
3. Nous reprenons les équations précédentes en partant de la n :
remplaçons
Correction 305
45 nous obtenons l'équation équivalente : 37x + 83y = 1.
37 et 83 est 1, donc d'après le théorème de Bézout cette équation a des solutions. Par exemple une solution particulière est (x0 , y0 ) = (9, −4). Les solutions sont exactement
les couples (x, y) = (x0 − 83k, y0 + 37k), pour k ∈ Z.
En divisant par
Comme le pgcd de
Correction 336
trons que
p
2 −1
Montrons plutôt la contraposée. Soit
p = ab
un entier avec
a, b ∈ N∗ .
Mon-
n'est pas premier.
Nous savons que
xb − 1 = (x − 1)(xb−1 + · · · + x + 1),
pour
x = 2a
nous obtenons :
2p − 1 = 2ab − 1 = (2a )b − 1 = (2a − 1) 2a(b−1) + · · · + 2a + 1 .
2a − 1 n'est ni 1 ni 2ab donc nous avons décomposer 2p − 1 en produit d'entier diérents
p
de 1. Donc 2 − 1 n'est pas premier.
p
Par contraposition nous obtenons que si 2 − 1 est premier alors p est premier.
De plus
Correction 337
a et b des entiers premiers entre eux. Raisonnons par l'absurde et supposons que ab et a + b ne sont pas premiers entre eux. Il existe alors δ un nombre premier divisant
ab et a + b. L'entier δ ne peut diviser a et b car a et b sont premiers entre eux. Par exemple
supposons que δ ne divise pas b cela implique que δ et b sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Gauss, comme δ divise ab et δ premier avec b alors δ divise a.
Maintenant δ divise a et divise a + b alors δ divise a + b − a = b. δ est un facteur premier de a
et de b ce qui est absurde.
Soit
Correction 339
1. Étant donné
Cpi =
Cpi
0 < i < p,
nous avons
p(p − 1)(p − 2) . . . (p − (i + 1))
p!
=
i!(p − i)!
i!
p(p − 1) . . . (p − (i + 1)). Mais i! et p sont premiers
0 < i < p). Donc d'après le théorème de Gauss : i! divise
(p − 1) . . . (p − (i + 1)), autrement dit il existe k ∈ Z tel que ki! = (p − 1) . . . (p − (i + 1)).
i
i
Maintenant nous avons Cp = pk donc p divise Cp .
Comme
est un entier alors
i!
divise
entre eux (en utilisant l'hypothèse
2. Il s'agit de montrer le petit théorème de Fermat : pour
Fixons
p.
p premier et a ∈ N∗ , alors ap ≡ a[p].
Soit l'assertion
(Ha ) ap ≡ a[p].
Pour
a=1
cette assertion est vraie ! Étant donné
Alors
p
(a + 1) =
p
X
a61
supposons que
Ha
soit vraie.
Cpi ai .
i=0
Mais d'après la question précédente pour
0 < i < p, p
divise
nous obtenons :
(a + 1)p ≡ Cp0 a0 + Cpp ap ≡ 1 + ap [p].
Cpi .
En termes de modulo
313
Par l'hypothèse de récurrence nous savons que
ap ≡ a[p],
donc
(a + 1)p ≡ a + 1[p].
Nous venons de prouver que
∗
soit a ∈ N nous avons :
Correction 341
k = 0.
n
est vraie. Par le principe de récurrence alors quelque
ap ≡ a[p].
n et montrons la récurrence sur k ∈ N. La formule est vraie pour
formule vraie au rang k . Alors
1. Fixons
Supposons la
(22 − 1) ×
Ha+1
k
Y
(22
n+i
n
+ 1) = (22 − 1) ×
i=0
k−1
Y
(22
n+i
+ 1) × (22
n+k
+ 1)
i=0
2n+k
= (2
− 1) × (22
n+k
+ 1) = (22
n+k
)2 − 1 = 22
n+k+1
− 1.
Nous avons utiliser l'hypothèse de récurrence dans ces égalités. Nous avons ainsi montrer
la formule au rang
2. Écrivons
k + 1.
m = n + k,
Et donc par le principe de récurrence elle est vraie.
alors l'égalité précédente devient :
n
Fm + 2 = (22 − 1) ×
m−1
Y
Fi .
i=n
Soit encore :
2n
Fn × (2
− 1) ×
m−1
Y
Fi
− Fm = 2.
i=n+1
Si
d
est un diviseur de
Fn
de Bézout). En conséquent
montrer que tous diviseurs
Fm alors d divise 2 (ou alors on peut utiliser le théorème
d = 1 ou d = 2. Mais Fn est impair donc d = 1. Nous avons
de Fn et Fm est 1, cela signie que Fn et Fm sont premiers
et
entre eux.
{p1 , . . . , pN }.
N + 1 nombres de la famille Fi , par exemple {F1 , . . . , FN +1 }. Chaque Fi ,
i = 1, . . . , N + 1 est divisible par (au moins) un facteur premier pj , j = 1, . . . , N . Nous
avons N + 1 nombres Fi et seulement N facteurs premiers pj . Donc par le principe des
0
tiroirs il existe deux nombres distincts Fk et Fk0 (avec 1 6 k, k 6 N + 1) qui ont un
facteur premier en commun. En conséquent Fk et Fk0 ne sont pas premiers entre eux. Ce
3. Supposons qu'il y a un nombre ni de nombres premiers. Nous les notons alors
Prenons alors
qui contredit la question précédente. Il existe donc une innité de nombres premiers.
Correction 348
2.
1.
X
est non vide car, par exemple pour
k = 2, 4k + 3 = 11
est premier.
(4k+1)(4`+1) = 16k`+4(k+`)+1 = 4(4k`+k+`)+1. Si l'on note l'entier k 0 = 4k`+k+`
0
alors (4k + 1)(4` + 1) = 4k + 1, ce qui est bien de la forme voulue.
3. Remarquons que
2
est le seul nombre premier pair, les autres sont de la forme
4k + 1
ou
4k + 3. Ici a n'est pas divisible par 2, supposons par l'absurde que a n'a pas de diviseur
de la forme 4k + 3, alors tous les diviseurs de a sont de la forme 4k + 1. C'est-à-dire que a
s'écrit comme produit de nombre de la forme 4k + 1, et par la question précédente a peut
0
s'écrire a = 4k + 1. Donc a ≡ 1[4]. Mais comme a = 4p1 p2 . . . pn − 1, a ≡ −1 ≡ 3[4]. Nous
obtenons une contradiction. Donc a admet une diviseur premier p de la forme p = 4` + 3.
314
X = {p1 , . . . , pn } il y a tous les nombres premiers de la formes 4k + 3.
p est premier et s'écrit p = 4` + 3 donc p est un élément de X , donc il existe
i ∈ {1, . . . , n} tel que p = pi . Raisonnons modulo p = pi : a ≡ 0[p] car p divise a.
D'autre part a = 4p1 . . . pn − 1 donc a ≡ −1[p]. (car pi divise p1 . . . pn ). Nous obtenons
une contradiction donc X est inni : il existe une innité de nombre premier de la forme
4k + 3. Petite remarque, tous les nombres de la forme 4k + 3 ne sont pas des nombres
premiers, par exemple pour k = 3, 4k + 3 = 15 n'est pas premier.
4. Dans l'ensemble
Le nombre
Correction 349
1. Supposons que
Supposons que
premier
>2
et
an + 1
est premier. Nous allons montrer la contraposée.
n n'est pas de la forme 2k , c'est-à-dire
q ∈ N. Nous utilisons la formule
que
n = p×q
avec
p
un nombre
xp + 1 = (x + 1)(1 − x + x2 − x3 + . . . + xp−1 )
x = aq
avec
:
an + 1 = apq + 1 = (aq )p + 1 = (aq + 1)(1 − aq + (aq )2 . . . + (aq )p−1 ).
Ces deux derniers facteurs sont >
n
k
si a + 1 est premier alor n = 2 .
1. Et donc an + 1 n'esp pas premier. Par contraposition
2. Cette conjecture est fausse, mais pas facile à vérier sans une bonne calculette ! En eet
pour
n=5
nous obtenons :
5
22 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417.
Correction 364
A = 3X 5 + 4X 2 + 1, B = X 2 + 2X + 3,
3X 3 − 6X 2 + 3X + 16 et le reste −47 − 41X .
1.
le quotient de
2.
A = 3X 5 + 2X 4 − X 2 + 1, B = X 3 + X + 2
2
le reste est 7 − 9X − X .
3.
A = X 4 − X 3 − X − 2, B = X 2 − 2X + 4, le quotient de A par B
6 − 9X .
le quotient de
A
par
B
est
est
A
par
B
est
3X 2 + 2X − 3
et
X 2 + X − 2 de reste
Correction 366 X 4 + X 3 − 2X + 1 = (X 2 + X + 1)(2X 2 − 3X + 1) + X 3 (2 − X).
Correction 370
Les solutions sont les polynômes de la forme
P =
où
A
6 7.
est un polynôme quelconque ; une seule solution de degré
Correction 371
2. Quotient
B
est
Q = X 3 − X 2 − X + 1,
1. Quotient
2
Q=1−X −X
Correction 375
par
1
(5X 7 − 21X 5 + 35X 3 − 35X) + A(X − 1)4 (X + 1)4
16
4
, reste
5
reste
R = X.
2
R = X (1 + 2X + X ).
A = X 5 − 7X 4 − X 2 − 9X + 9, B = X 2 − 5X + 4,
X − 2 X − 14 X − 63, le reste étant 261 − 268 X .
3
Correction 378
Correction 379
2. pgcd (X
4
4
Ce sont les polynômes de la forme
1. pgcd (X
3
le quotient de
λ(X − a)k , k ∈ N, λ, a ∈ C.
− X 2 − X − 2, X 5 − 2X 4 + X 2 − X − 2) = X − 2.
+ X 3 − 2X + 1, X 3 + X + 1) = 1.
Correction 380
2. pgcd (X
Soient
2
1. pgcd (X
5
+ 3X 4 + X 3 + X 2 + 3X + 1, X 4 + 2X 3 + X + 2) = X 3 + 1.
+ X 3 − 3X 2 − 4X − 1, X 3 + X 2 − X − 1) = X + 1
A
315
3. pgcd (X
5
+ 5X 4 + 9X 3 + 7X 2 + 5X + 1, X 4 + 2X 3 + 2X 2 + X + 1) = 1.
Correction 387
2.
1.
1
1
X − 16 ) + B(− 18
X 2 + 19 X +
D = X 2 + 3X + 2 = A( 18
5
).
18
D = 1 = A(−X 3 ) + B(X 5 + X 3 + X + 1).
Correction 401
√
x2 +
√
2x + 1 x2 − 2x + 1
Correction 409
L'ordre de multiplicité est 2.
Correction 410
Pour
Correction 412
1.
1
1
a = 64
; la racine multiple est − .
2
(
√
√
√
X 3 − 3 = (X − 3 3)(X 2 + √3 3 X √+ √3 9)
√
3
3
= (X − 3 3)(X + 23 − i 32 3 )(X +
√
3
3
2
+i
√ √
333
).
2


X 12 − 1 = (X − 1)(X √
+ 1)(X 2 + 1)(X 2 √
− X + 1)(X 2 + X + 1) ×




(X 2 − 3 X + 1)(X 2 + 3 X + 1)

= (X − 1)(X + √
1)(X − i)(X√+ i) ×
2.
√ √ 
1+i
3
3

X −√−1−i
×
X − √ 2 3 X −√1−i2 3 X − √−1+i


2
2


3+i
3−i
− 3+i
− 3−i
X− 2
X− 2
X− 2
X− 2
.
√
√
6
2
2
Correction 423
1. X + 1 = − (X + 1) X + X 3 + 1
−X 2 + X 3 − 1 .
√
√
9
6
3
2
2
2
2. X +X +X +1 = − (X + 1) (X − X + 1) X + X 3 + 1
−X 2 + X 3 − 1 (X + 1).
Correction 426
Utiliser la formule d'interpolation de Lagrange !
P = 31 (X 2 − 4X − 3).
Correction 427
Utiliser la formule d'interpolation de Lagrange !
P = 12 (3X 3 − 4X 2 − X + 2).
Correction 444
1.
X 3 −3X 2 +X−4
X−1
= X 2 − 2X − 1 −
2.
2X 3 +X 2 −X+1
X 2 −3X+2
= 2X + 7 −
3
X−1
3.
2X 3 +X 2 −X+1
X 2 −2X+1
= 2X + 5 +
3
(X−1)2
X 4 +2X 2 +1
=
X 2 −1
1/2
X
5.
= X+2
X 2 −4
4.
2
X−1
X2 + 3 +
X 5 +X 4 +1
X 3 −X
= X2 + X + 1 −
7.
X 5 +X 4 +1
X(X−1)4
=1+
8.
X 5 +X 4 +1
(X−1)3 (X+1)2
9.
X 7 +3
(X 2 +X+2)3
X+i
11.
X 2 +i
12.
=
X
(X+i)2
1
X
=1+
=
2+i
X−i
√
√
− 2+2
+ 42 i
4√
√
X− 2−2 2i
=
+
3/4
(X−1)3
1
X+i
−
+
+
1
X
3
(X−1)4
=X −3+
(3−2i)X−5+3i
X 2 +iX+2
19
.
X−2
+
7
.
X−1
2
.
X+1
1/2
.
X−2
+
6.
10.
−
+
+
+
1/2
X+1
+
3/2
.
X−1
6
(X−1)3
+
10
(X−1)2
+
3/2
(X−1)2
7X+13
(X 2 +X+2)3
−
+
37/16
X−1
−
7X+21
(X 2 +X+2)2
+
4
.
X−1
1/8
(X+1)2
+
=
X
X 4 +1
=
14.
15.
X 2 +X+1
X 4 +1
−
5/16
.
X+1
14
.
X 2 +X+2
1−3i
.
X+2i
√
√
2+2
− 2i
4 √ 4√
2i
X− − 2+
2
.
i
.
(X+i)2
√
X 2 +1
13.
X 4 +1
5
.
X−1
√
√
√
2
2
− 42 i
i
i
− 42 i
1/2
1/2
√
√
√4
√
√4
√
√
√ .
√
√
+
=
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
X + 2X+1
X − 2X+1
X− 2 − 2 i
X− 2 + 2 i
X+ 2 + 2 i
X+ 22 − 22 i
√
√
1
1
−1i
i
−1i
i
2/4
√4
√ .
√ 4 √
√4
√
√ 4 √
√
− X 2 +√2/4
+
=
+
+
+
2
2X+1
X − 2X+1
X− 2 − 2 i
X− 2 + 2 i
X+ 2 + 2 i
X+ 2 − 2 i
2
=
√
(2− 2)/4
√
X 2 + 2X+1
+
√
(2+ 2)/4
√
X 2 − 2X+1
=
2
√
1+ 2
− 4 i
√
√
X− 22 − 22 i
+
2
2
√
1+ 2
i
√4
√
X− 22 + 22 i
2
+
2
√
1− 2
− 4 i
√
√
X+ 22 + 22 i
+
2
2
√
1− 2
i
√4
√ .
X+ 22 − 22 i
316
16.
X 5 +X+1
X 4 −1
=X+
3/4
X−1
+
1/4
X+1
−
X+ 12
X 2 +1
=X+
3/4
X−1
+
1/4
X+1
+
− 12 + 14 i
X−i
+
− 12 − 14 i
.
X+i
1
1
1 2
X− 23
j
j
1/6
1/2
1/6
3
3
+ X32 −X+1
= X−1
+ X+1
− X+j
− X+j
2 , où on a posé de façon
X+1
√
3
1
standard j = − +
i.
2
2
X 3 −2
2
3X+5
18.
= − X 4 + X43 − X22 − X3 + (X 2X+1
2 + X 2 +X+1 =
X 4 (X 2 +X+1)2
+X+1)
√
√
1 2
1
3
3
j
j
− 2318 3 i
+ 2318 3 i
3
3
2
2
− X24 + X43 − X22 − X3 + (X−j)
+
+
+
, où on a posé de façon standard
2
(X−j 2 )2
X−j
X−j 2
√
j = − 12 + 23 i.
1
1
X
X
1/6
1/6
1/6
1/6
X
3
3
19.
=
−
= X−i
+ X+i
− X−2i
− X+2i
.
2
2
2
(X +1)(X +4)
X +1
X 2 +4
17.
20.
X 5 +X+1
X 6 −1
=
1/2
X−1
X 2 −3
+
= − X4/3
2 +1 +
(X 2 +1)(X 2 +4)
7/3
X 2 +4
=
2
i
3
X−i
+
− 23 i
X+i
+
7
− 12
i
X−2i
+
7
i
12
X+2i
.
Correction 445
Commencer bien sûr par la division suivant les puissances décroissantes (la
4x2 −6x+1
faire faire par les étudiants) : Φ = x + 1 + Φ1 avec Φ1 =
.
2x3 −x2
Puis factoriser le dénominateur et faire donner le type de décomposition de Φ1 :
Φ1 =
A
B
C
+ +
.
2
x
x
x − 12
(3)
A en multipliant les deux membres de (3) par x2 et en passant à
1
la limite quand x tend vers 0 ( A = −1). On obtient de même C par multiplication par x −
2
1
et calcul de la limite quand x tend vers
(C = −2). Enn on trouve B en identiant pour une
2
valeur particulière non encore utilisée, par exemple x = 1, ou mieux en multipliant les deux
membres de (3) par x et en passant à la limite pour x → ∞ (B = 4). Faire remarquer que pour
Expliquer qu'on obtient alors
un cas aussi simple, les calculs peuvent se faire
A, B , C
de tête
en écrivant simplement les coecients
au fur et à mesure qu'on les obtient.
2x4 + x3 + 3x2 − 6x + 1
1
4
2
=
x
+
1
−
+
−
.
2x3 − x2
x2 x x − 12
Correction 446
donne :
La
Φ = 2 + Φ1
Φ1 =
division
suivant
les
puissances
décroissantes
avec
4x4 − 10x3 + 8x2 − 4x + 1
A
B
C
D
E
= 3+ 2+ +
+
.
3
2
2
x (x − 1)
x
x
x
(x − 1)
x−1
Faire remarquer que la méthode de l'exercice précédent permettrait d'obtenir facilement A et D
3
2
par multiplication par x et par (x − 1) , mais qu'il resterait encore 3 coecients à déterminer.
Il y a ici une méthode plus ecace : eectuer la division suivant les puissances croissantes, à
2
3
4
2
l'ordre 3 (qui est l'exposant du facteur x) du numérateur 1 − 4x + 8x − 10x + 4x par (x − 1) ,
2
ou plutôt par 1 − 2x + x :
1 − 4x + 8x2 − 10x3 + 4x4 = (1 − 2x + x2 ) × (1 − 2x + 3x2 ) + (−2x3 + x4 ).
En divisant les deux membres de (4) par
Φ1 =
x3 (x − 1)2 ,
on obtient
A, B
et
C
(4)
d'un seul coup :
1
2
3
x−2
−
+
+
.
x3 x2 x (x − 1)2
x−2
: méthode de l'exercice
(x−1)2
précédent, ou division suivant les puissances décroissantes de x−2 par x−1 : x−2 = (x−1)−1.
Le calcul de
D
et
E
est alors immédiat par décomposition de
2x5 − 8x3 + 8x2 − 4x + 1
1
2
3
1
1
=2+ 3 − 2 + −
+
.
3
2
2
x (x − 1)
x
x
x (x − 1)
x−1
317
Remarque : cette méthode est ecace pour un exposant assez grand (en gros à partir de 3).
P (x)
Elle peut être utilisée pour une fraction du type
, mais il faut commencer par le
(x−a)n Q(x)
changement de variable u = x − a avant de faire la division, puis bien entendu revenir ensuite
à la variable
x.
Correction 447
Pas de division préliminaire dans ce cas. . . Forme de la décomposition :
Φ=
Bx + C
Dx + E
Fx + G
A
+ 2
+ 2
+ 2
.
3
2
x (x + 1)
(x + 1)
x +1
La méthode du premier exercice permet d'obtenir A, puis B et
2
plication des deux membres de (5) par x + 1, puis limite quand
(5)
C (pour ces derniers : multix tend vers i ou vers −i, avec
séparation des parties réelle et imaginaire), mais c'est bien insusant pour conclure : il faut
Bx+C
2
encore soustraire
, simplier par x + 1, calculer D et E . . . (le faire faire quand même à
(x2 +1)3
titre d'entraînement).
A
. Faire faire
x
le calcul aux étudiants ; leur faire remarquer que, sauf erreur de calcul, la fraction Φ1
se
On va ici se contenter de trouver
simplier par
x.
A (A = 3),
puis faire la soustraction
Φ1 = Φ −
doit
On trouve :
Φ=
3 x5 − 2x4 + 2x3 − x2 + 2x + 2
+
.
x
(x2 + 1)3
La n de la décomposition se fait par divisions successives suivant les puissances décroissantes :
5
4
3
2
2
division du numérateur x − 2x + 2x − x + 2x + 2 par x + 1, puis du quotient obtenu par
x2 + 1.
4x6 − 2x5 + 11x4 − x3 + 11x2 + 2x + 3
3
x+1
3
x−2
= + 2
+ 2
+ 2
.
2
3
3
2
x(x + 1)
x (x + 1)
(x + 1)
x +1
Remarque : cette méthode des divisions successives est très pratique quand la fraction à décomn
poser a un dénominateur
, c'est à dire comportant un dénominateur du type Q où Q
simple
est du premier degré, ou du second degré sans racine réelle. Faire remarquer aussi comment on
simple
peut simplier petit à petit en éliminant du dénominateur un dénominateur
(méthode
A
utilisée dans l'exercice 3 par le calcul de Φ − ).
x
p
∈ Q et x ∈
/ Q. Par l'absurde supposons que r + x ∈ Q alors
1. Soit r =
q
0
0
p0
p0
p
0 0
il existe deux entiers p , q tels que r + x = 0 . Donc x = 0 −
= qp qq−pq
∈ Q ce qui est
0
q
q
q
absurde car x ∈
/ Q.
p0 q
p0
De la même façon si rx ∈ Q alors rx = 0 Et donc x = 0 . Ce qui est absurde.
q
q p
√
√
2. Supposons que
2 ∈ Q alors il existe deux entiers p, q tels que 2 = pq . De plus nous
pouvons supposer que la fraction est irréductible ( p et q sont premiers entre eux). En
2
2
2
élevant l'égalité au carré nous obtenons q × 2 = p . Donc p est un nombre pair, cela
Correction 451
p est un nombre pair (si vous n'êtes pas convaincu écrivez la contraposée
2
0
0
2
02
p impair ⇒ p impair). Donc p = 2 × p avec p ∈ N, d'où p = 4 × p . Nous obtenons
q 2 = 2 × p0 2 . Nous en déduisons maintenant que q 2 est pair et comme ci-dessus que q est
pair. Nous obtenons ainsi une contradiction car p et q étant tous les deux pairs la fraction
√
p
n'est pas irréductible et aurait pu être simplier. Donc
2∈
/ Q.
q
√ 0
0
0
Soient r, r deux rationnels avec r < r . Notons a =
2(r − r). Choisissons n ∈ N tel que
√
n > 2. Et posons
a
x=r+ .
n
√ r0 −r 0
D'une part x ∈]r, r [ et d'après les deux premières questions
2 n ∈
/ Q. Et donc x est
0
un nombre irrationnel compris entre r et r .
implique que
3.
318
Correction 457
α
1. Soit
β
Après multiplication par
1. Pour p( αβ )
∈ Q avec α ∧ β =
β n nous obtenons l'égalité
= 0,
alors
suivante :
Pn
i=1
ai
i
α
β
= 0.
an αn + an−1 αn−1 β + · · · + a1 αβ n−1 + a0 β n .
n
En factorisant les derniers termes de cette somme par β , nous écrivons an α +βq =
n
n
entraîne que β divise an α , mais comme β et α sont premier entre eux (car α ∧
alors par le théorème de Gauss
α
la somme ci-dessus par
α
divise
nous
β
0. Ceci
β = 1)
an . De même en factorisant les premiers termes de
0
n
obtenons αq + a0 β = 0 et par un raisonnement similaire
divise
a0 .
√
√
√ √
2
γ = 2 + 3. Alors γ 2 = 5 + 2 2 3 Et donc (γ 2 − 5) = 4 × 2 × 3, Nous
2
5
4
2
choisissons p(x) = (x − 5) − 24, qui s'écrit aussi p(x) = x − 10x + 1. Vu notre choix de
p, nous avons p(γ) = 0. Si nous supposons que γ est rationnel, alors γ = αβ et d'après la
première question α divise le terme constant de p, c'est-à-dire 1. Donc α = ±1. De même
β divise le coecient du terme de plus au degré de p, donc β divise 1, soit β = 1. Ainsi
γ = ±1, ce qui est évidemment absurde !
2. Notons
Correction 459
Nn =
1. Soit
p = 2001 2001 . . . 2001
et
q = 10000 0000 . . . 0000 = 104n .
Alors
p
.
q
10 000 × M = 2001, 2001 2001 . . .
2001
9999 × M = 2001 d'où M = 9999
.
2. Remarquons que
0, 111 . . . =
0, 222 . . . =
2
, etc. D'où
9
10 000 × M − M = 2001 ;
donc
1
+ 29 + · · · + 99 = 1+2+···+9
= 45
= 5.
9
9
9
p
ln 3
est un rationnel. Il s'écrit
avec p, q des
Par l'absurde supposons que
ln 2
q
entiers (positif ) premiers entre eux. On obtient q ln 3 = p ln 2. En prenant l'exponentielle :
exp(q ln 3) = exp(p ln 2) soit q 3 = p2 . Donc q divise p2 . Comme p et q sont premiers entre eux,
ln 3
alors par le théorème de Gauss q divise p. Donc q = 1. Et alors p = 1. Donc
= 1, ce qui est
ln 2
ln 3
faux (car par exemple ln 3 > ln 2). Donc
est irrationnel.
ln 2
3.
1
,
9
Alors
P =
Correction 461
Correction 464
Explicitons la formule pour max(x, y). Si x > y , alors |x − y| = x − y donc
1
(x + y + |x − y|) = 12 (x + y + x − y) = x. De même si x 6 y , alors |x − y| = −x + y donc
2
1
(x + y + |x − y|) = 12 (x + y − x + y) = y .
2
Pour 3 élément, nous avons max(x, y, z) = max max(x, y), z , donc d'après les formules pour
2
éléments :
max(x, y) + z + | max(x, y) − z|
2
1
1
(x + y + |x − y|) − z (x
+
y
+
|x
−
y|)
+
z
+
2
.
= 2
2
max(x, y, z) =
Correction 465 (u2k )k
+∞ et donc le seul majorant de A est +∞ et donc sup A =
+∞. D'autre part toutes les valeurs de (un ) sont positives et (u2k+1 )k tend vers 0, donc inf A = 0.
Correction 466
supérieure :
2.
]0, 1[∩Q.
1.
1.
[0, 1] ∩ Q.
Les majorants :
La borne inférieure :
Les majorants :
borne inférieure :
3.
tend vers
0.
[1, +∞[.
0.
[1, +∞[.
Les minorants :
Le plus grand élément :
Les minorants :
] − ∞, 0].
1.
] − ∞, 0].
La borne
Le plus petit élément
La borne supérieure :
1.
0.
La
Il nexiste pas de plus grand élément ni de plus petit élément.
N. Pas de majorants, pas de borne supérieure, ni de plus grand
] − ∞, 0]. La borne inférieure : 0. Le plus petit élément : 0.
élément. Les minorants :
319
4.
n
(−1)n +
o
1
, n ∈ N∗ . Les majorants : [ 54 , +∞[. Les minorants : ] − ∞, −1]. La borne
n2
5
5
supérieure :
. La borne inférieure : −1. Le plus grand élément :
. Pas de plus petit
4
4
élément.
Correction 476
1. Soient A et B deux parties bornées de R. On sait que Sup A est un
A, c'est à dire, ∀a ∈ A, a 6 Sup A. De même, ∀b ∈ B, b 6 Sup B . On veut
montrer que Sup A + Sup B est un majorant de A + B . Soit donc x ∈ A + B . Cela signie
que x est de la forme a + b pour un a ∈ A et un b ∈ B . Or a 6 Sup A, et b 6 Sup B , donc
x = a + b 6 Sup A + Sup B . Comme ce raisonnement est valide pour tout x ∈ A + B cela
signie que Sup A + Sup B est un majorant de A + B .
majorant de
2. On veut montrer que, quel que soit
ε > 0, Sup A + Sup B − ε
n'est pas un majorant de
Sup A + Sup B − ε
ne majore pas A + B . On s'interdit donc dans la suite de modier ε. Comme Sup A est
le plus petit des majorants de A, Sup A − ε/2 n'est pas un majorant de A. Cela signie
qu'il existe un élément a de A tel que a > Sup A − ε/2. Attention : Sup A − ε n'est
pas forcément dans A. Sup A non plus. Et il n'est pas non plus vrai que ∀a ∈ A a >
Sup A − ε/2. On ne choisit donc pas ce a. De la même manière, il existe b ∈ B tel que
b > Sup B − ε/2. Or l'élément x déni par x = a + b est un élément de A + B , et il
vérie x > (Sup A − ε/2) + (Sup B − ε/2) = Sup A + Sup B − ε. Ceci implique que
Sup A + Sup B − ε n'est pas un majorant de A + B .
A + B.
3.
On prend donc un
Sup A + Sup B
ε>0
quelconque, et on veut montrer que
A + B d'après la partie 1. Mais, d'après la partie 2., dès
ε > 0, SupA+SupB−ε n'est pas un majorant de A+B . Donc SupA+SupB
plus petit des majorants de A + B , i.e. Sup (A + B) = Sup A + Sup B .
est un majorant de
qu'on prend un
est bien le
Correction 477
1. Vrai.
2. Vrai.
3. Vrai.
4. Faux. L'égalité peut ne pas être stricte.
5. Vrai.
6. Vrai.
Correction 491
√
√
a+ b62 a+b
√
√
⇔ ( a + b)2 6 2(a + b)
√
car les termes sont positifs, et la fonction
x 7→ x2
est croissante sur
R+ .
√ √
⇔ a + b + 2 a b 6 2(a + b)
√ √
⇔a+b−2 a b>0
√
√
⇔ ( a − b)2 > 2.
La denière proposition est toujours vraie, et donc par équivalence, nous obtenons l'inégalité
recherchée.
Correction 497
Montrons le résultat demandé
1 × f (1).
Si
f (0). f (1) = f (1 + 0) = f (1) + f (0) Donc f (0) = 0.
par récurrence : pour n = 1, nous avons bien f (1) =
f (n + 1) = f (n) + f (1) = nf (1) + f (1) = (n + 1)f (1).
1. Calculons d'abord
f (n) = nf (1)
alors
320
2.
0 = f (0) = f (−1 + 1) = f (−1) + f (1).
f (−n) = nf (−1) = −nf (1).
Donc
f (−1) = −f (1).
Puis comme ci-dessus
q = ab . Alors f (a) = f ( ab + ab + · · · ab ) = f ( ab ) + · · · + f ( ab ) (b termes dans cette somme).
a
a
a
a
Donc f (a) = bf ( ). Soit af (1) = bf ( ). Ce qui s'écrit aussi f ( ) = f (1).
b
b
b
b
3. Soit
4. Soit
x∈R
Soit
(αi )
une suite croissante de rationnels qui tend vers
décroissante de rationnels qui tend vers
x
x.
Soit
(βi )
une suite
:
α1 6 α2 6 α3 6 . . . 6 x 6 · · · 6 β2 6 β1 .
Alors comme
αi 6 x 6 βi
f
et que
D'après la question précédent cette inéquation devient :
(αi )
la
f (αi ) 6 f (x) 6 f (βi ).
αi f (1) 6 f (x) 6 βi f (1). Comme
est croissante nous avons
(βi ) tendent vers x. Par le théorème des gendarmes
limite : xf (1) 6 f (x) 6 xf (1). Soit f (x) = xf (1).
et
Correction 505
nous obtenons en passant à
1. Vraie. Toute sous-suite d'une suite convergente est convergente et admet
la même limite.
(un )n
2. Faux. Un contre-exemple est la suite
1,
suite constante (donc convergente) de valeur
Cependant la suite
(un )n
(un )n
∀ε > 0 ∃N ∈ N
ε > 0.
et
n'est pas convergente.
3. Vraie. La convergence de la suite
Fixons
un = (−1)n . Alors (u2n )n est la
(u2n+1 )n est constante de valeur −1.
dénie par
`,
vers
que nous souhaitons démontrer, s'écrit :
(n > N ⇒ |un − `| < ε.
tel que
Comme, par hypothèse, la suite
(u2p )p
converge vers
`
alors il existe
N1
tel
2p > N1 ⇒ |u2p − `| < ε.
Et de même, pour la suite
(u2p+1 )p
il existe
N2
tel que
2p + 1 > N1 ⇒ |u2p+1 − `| < ε.
Soit
N = max(N1 , N2 ),
alors
n > N ⇒ |un − `| < ε.
Ce qui prouve la convergence de
Correction 506
Soit
(un )
(un )n
vers
`.
une suite convergeant vers
` ∈ R.
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N
|un − `| < ε.
Par dénition
ε = 1, nous obtenons le N correspondant. Alors pour n > N , nous avons |un −`| < 1,
0
soit ` − 1 < un < ` + 1. Notons M = maxn=1,... ,N {un } et puis M = max(M, ` + 1). Alors pour
0
0
tout n ∈ N un 6 M . De même en posant m = minn=1,... ,N {un } et m = min(m, ` − 1) nous
0
obtenons pour tout n ∈ N, un > m .
Choisissons
Correction 507
Beaucoup d'entre vous ont compris que
un
n'avait pas de limite, mais peu
sont arrivé à en donner une démonstration formelle. En eet, dès lors qu'on ne sait pas qu'une
suite
(un )
converge, on ne peut pas écrire
lim un ,
c'est un nombre qui n'est pas déni. Par
exemple l'égalité
lim (−1)n + 1/n = lim (−1)n
n→∞
n→∞
321
Comme la suite 1/n tend vers 0 quand
n → ∞, la suite un est convergente si et seulement si la suite (−1)n l'est. De plus, dans le cas
n'a pas de sens. Par contre voilà ce qu'on peut dire :
où elles sont toutes les deux convergentes, elles ont même limite.
Théorème
Cette armation provient
tout simplement du théorème suivant
: Soient
wn = un + vn
un
et
vn
l0 . Alors
lim wn = l + l0 .
deux suites convergeant vers deux limites
est convergente (on peut donc parler de sa limite) et
l
et
la suite
De plus, il n'est pas vrai que toute suite convergente doitforcément être croissante et majorée
n
ou décroissante et minorée. Par exemple, (−1) /n est une suite qui converge vers 0 mais qui
n'est ni croissante, ni décroissante. A ce propos d'ailleurs, on ne dit pas d'une suite qu'elle est
croissante pour n pair et décroissante pour n impair même si je comprends ce que cela signie.
On dit qu'une telle suite n'est ni croissante ni décroissante (et c'est tout).
un n'est
l = limn→∞ un .
Voici maintenant un exemple de rédaction de l'exercice. On veut montrer que la suite
pas convergente. Supposons donc par l'absurde qu'elle soit convergente et notons
Rappel 1.
(Cette expression a un sens puisqu'on suppose que
forme
φ
Une
vn = uφ(n)
sous-suite
où
φ
de
un
(on dit aussi
un
converge).
suite extraite
un )
de N
de
est une application strictement croissante
est une suite
dans
N.
vn
de la
Cette fonction
correspond au choix des indices qu'on veut garder dans notre sous-suite. Par exemple, si
on ne veut garder dans la suite
φ(n) = 3n,
pourra poser
un
que les termes pour lesquels
c'est à dire
n
est un multiple de trois, on
vn = u3n .
vn = u2n et wn = u2n+1 de (un ). On a que vn =
wn = −1 + 1/(2n + 1) → −1. Or on a le théorème suivant sur les
Considérons maintenant les sous-suites
1 + 1/2n → 1
Théorème
et que
sous-suites d'une suite convergente :
un une suite convergeant vers la limite l (le théorème est encore vrai si
l = +∞ ou l = −∞). Alors, toute sous suite vn de un a pour limite l.
Par conséquent, ici, on a que lim vn = l et lim wn = l donc l = 1 et l = −1 ce qui est
une contradiction. L'hypothèse disant que (un ) était convergente est donc fausse. Donc un ne
: Soit
converge pas.
Montrons que
un
est bornée. On a que
−1 6 (−1)n 6 1
0 6 1/n 6 1
donc
−1 6 un 6 2
donc
un
est bornée.
Rappel 2.
Le théorème de Bolzano-Weïerstrass dit ceci : Soit
Alors, il existe une sous-suite de
(un )
Ici, on nous demande d'exhiber une sous-suite de
Remarque
que
vn = u2n → 1. vn = u2n
Correction 518
une suite de réels bornée.
un
qui soit convergente. Mais on a déjà vu
est donc une suite extraite convergente.
: Il y a d'autres sous-suites convergentes :
sous-suites convergentes de
(un )
qui est convergente. (C'est un théorème très puissant).
(u4n ) (u2n ), (un! )
et
(u3n )
sont des
un .
1. Suite non convergente car non bornée.
2. Suite convergente vers
0.
que la sous-suite
u2p+1 = −1 +
1
u2p = 1 + 2p
est toujours plus grande que
1
est toujours plus petite que 0.
2p+1
3. Suite non convergente car la sous-suite
1.
Alors
322
Correction 519
Soit (un )n une suite d'entiers qui converge vers ` ∈ R.
I =]` − 21 , ` + 12 [ de longueur 1, il existe au plus un élément
est soit vide soit un singleton {a}.
La convergence de (un )n s'écrit :
Dans l'intervalle
∀ε > 0 ∃N ∈ N
1
, nous obtenons le
2
un entier, donc
Fixons
ε=
N
tel que
de
N.
Donc
I ∩N
(n > N ⇒ |un − `| < ε.
correspondant. Et pour
n > N , un ∈ I .
Mais de plus
un
est
n > N ⇒ un ∈ I ∩ N.
En conséquent,
I ∩N
n'est pas vide (par exemple
uN
en est un élément) donc
I ∩ N = {a}.
L'implication précédente s'écrit maintenant :
n > N ⇒ un = a.
Donc la suite
(un )n est stationnaire (au moins) à partir de N . En prime, elle est bien évidemment
` = a ∈ N.
convergente vers
Correction 520
1. La fonction
t 7→
1
est décroissante sur
t
1
6
n+1
Z
n
n+1
[n, n + 1]
dt
1
6
t
n
(C'est un encadrement de l'aire de l'ensemble des points
[n, n + 1]
et
0 6 y 6 1/x
donc
(x, y)
du plan tels que
x ∈
par l'aire de deux rectangles.) Nous obtenons l'inégalité :
1
1
6 ln(n + 1) − ln(n) 6 .
n+1
n
2.
1
1
+ n−1
n
1
l'inégalité
6
k
+ · · · + 12 + 1, nous majorons chaque terme de cette somme en utilisant
ln(k) − ln(k − 1) obtenue précédemment : nous obtenons Hn 6 ln(n) −
ln(n − 1) + ln(n − 1) − ln(n − 2) + · · · + ln 2 − ln 1 + 1. Cette somme est télescopique (la
plupart des termes s'éliminent et en plus ln 1 = 0) et donne Hn 6 ln n + 1.
1
L'autre inégalité s'obtient de la façon similaire en utilisant l'inégalité ln(k + 1)− ln(k) 6
k
Hn =
.
Hn > ln(n + 1) et que ln(n + 1) → +∞ quand n → +∞ alors Hn → +∞ quand
n → +∞.
1
un+1 − un = Hn+1 − Hn − ln(n + 1) + ln(n) = n+1
− (ln n + 1 − ln n) 6 0 d'après la première
1
question. Donc un+1 − un = f (
) 6 0. Donc un+1 6 un et la suite (un ) est décroissante.
n+1
Enn comme Hn > ln(n + 1) alors Hn > ln n et donc un > 0.
La suite (un ) est décroissante et minorée (par 0) donc elle converge vers un réel γ . Ce réel
γ est la constante d'Euler (Leonhard Euler, 1707-1783, mathématicien d'origine suisse).
Cette constante vaut environ 0, 5772156649 . . . mais on ne sait pas si γ est rationnel ou
3. Comme
4.
5.
irrationnel.
Correction 524
2.
1.
un+q = cos 2(n+q)π
= cos 2(n)π
+ 2π = cos 2(n+q)π
= un .
q
q
q
= cos 2nπ = 1 = u0 et unq+1 = cos 2(nq+1)π
= cos 2π
= u1 . Supposons,
unq = cos 2(nq)π
q
q
q
par l'absurde que (un ) converge vers `. Alors la sous-suite (unq )n converge vers ` comme
unq = u0 = 1 pout tout n alors ` = 1. D'autre part la sous-suite (unq+1 )n converge aussi
2π
2π
vers `, mais unq+1 = u1 = cos
, donc ` = cos
. Nous obtenons une contradiction car
q
q
2π
pour q > 2, nous avons cos
6= 1. Donc la suite (un ) ne converge pas.
q
323
Correction 539
sur
R
3
1. La fonction polynomiale P (x) := x − 3x + 1 est continue et dérivable
0
2
et sa dérivée est P (x) = 3x − 3, qui est strictement négative sur ] − 1, +1[. Par
P est strictement décroissante sur ] − 1, +1[. Comme P (0) = 1 > 0 et P (1/
2) = −3/8 < 0 il en résulte grâce au théorème des valeurs intermédiaires qu'il existe un
réel unique α ∈]0, 1/2[ tel que P (α) = 0.
conséquent
f (x) − x = (x3 − 3x + 1)/9
f (x) = x dans ]0, 1/2[.
2. Comme
il en résulte que
α
est l'unique solution de l'équation
f 0 (x) = (x2 + 2)/3 > 0 pour tout x ∈ R, on en déduit que f est strictement
+
croissante sur R. Comme f (0) = 1/9 et limx→+∞ f (x) = +∞, on en déduit que f (R ) =
[1/9, +∞[. Comme x1 = f (x0 ) = 1/9 > 0 = x0 , et que f est strictement croissante sur
R+ , on en déduit par récurrence que xn+1 > xn pour tout n ∈ N ce qui prouve que la
suite (xn ) est croissante.
3. Comme
f (1/2) < 1/2. Comme 0 = x0 < 1/2
que xn < 1/2 pour tout n ∈ N.
4. Un calcul simple montre que
on en déduit par récurrence
5. D'après les questions précédentes, la suite
(xn )
et que
f
est croissante
est croissante et majorée elle converge
l ∈]0, 1/2]. De plus comme xn+1 = f (xn ) pour tout n ∈ N,
on en déduit par continuité de f que ` = f (`). Comme f (1/2) < 1/2, On en déduit que
` ∈]0, 1/2[ et vérie l'équation f (`) = `. D'après la question 2, on en déduit que ` = α et
donc (xn ) converge vers α.
donc vers un nombre réel
Correction 563
1−k2
= (k−1)(k+1)
. En écrivant les fractions
k2
k.k
de un sous la cette forme, l'écriture va se simplier radicalement :
un =
Remarquons d'abord que
1 − k12 =
(2 − 1)(2 + 1) (3 − 1)(3 + 1)
(k − 1)(k + 1) (k)(k + 2)
(n − 1)(n + 1)
···
···
2.2
3.3
k.k
(k + 1).(k + 1)
n.n
Tous les termes des numérateurs se retrouvent au dénominateur (et vice-versa), sauf aux extrémités. D'où :
1n+1
.
2 n
+∞.
un =
Donc
(un )
tends vers
Correction 568
2.
1.
3.
7/30.
4.
1/2.
5.
1.
6.
−3/2.
7.
1.
8.
3.
9.
1 ; 2.
10.
3/4.
11.
0.
12.
0.
13.
1/3.
1
lorsque
2
1.
0.
n
tend vers
324
Correction 569
1.
u2n+1
1
−a=
4
u2n + a
un
2
−a
1
(u4 − 2au2n + a2 )
4u2n n
1 (u2n − a)2
=
4
u2n
=
2. Il est clair que pour
et comme
un+1
n>0
on a
est positif alors
un > 0. √
D'après
un+1 > a.
l'égalité précédente pour
n > 0, u2n+1 − a
un+1
Soit n > 1. Calculons le quotient de un+1 par un :
= 12 1 + ua2 or ua2 6 1 car
un
n
n
√
un > a. Donc uun+1
6
1
et donc un+1 6 un . La suite (un )n>1 est donc décroissante.
n
3. La suite
` > 0.
(un )n>1
est décroissante et minorée par
a
donc elle converge vers une limite
D'après la relation
un+1
quand
√
n → +∞
alors
un → `
La seule solution positive est
1
=
2
a
un +
un
un+1 → `. À la limite nous obtenons la relation
1
a
`=
`+
.
2
`
√
√
` = a. Conclusion (un ) converge vers a.
et
4. La relation
u2n+1 − a =
(u2n − a)2
4u2n
s'écrit aussi
(un+1 − a)(un+1 + a) =
Donc
(un − a)2 (un + a)2
.
4u2n
√ 2
1
un + a
√
un+1 − a = (un − a)
un
4(un+1 + a)
√ 2
a
1
√
1+
6 (un − a)2
un
4(2 a)
1
6 (un − a)2 √
2 a
2
5. Par récurrence pour
n = 1, u1 −
√
a 6 1.
Si la proposition est vraie rang
1
un+1 − a 6 √ (un − a)2
2 a
2n−1 !2
√ 2
1
k
√
6 √ (2 a)
2 a
2 a
2n
√
k
62 a √
2 a
n,
alors
325
√
√
u0 = 3, alors u1 = 12 (3 + 10
)
=
3,
166
.
.
.
. Comme 3 6
10
6
u
donc u1 −
10 6
1
3
√
0.166 . . . . Nous pouvons choisir k = 0, 17. Pour que l'erreur un − a soit inférieure à 10−8
il sut de calculer le terme u4 car alors l'erreur (calculée par la formule de la question
−10
précédente) est inférieure à 1, 53 × 10
. Nous obtenons u4 = 3, 16227766 . . .
6. Soit
Correction 570
La suite
1. La suite
(vn )
(un ) est strictement croissante, en eet un+1 − un =
1
(n+1)!
> 0.
est strictement décroissante :
vn+1 − vn = un+1 − un +
Donc pour à partir de
n > 2,
1
1
1
1
1
1 2
−
=
+
−
= ( − 1).
(n + 1)! n!
(n + 1)! (n + 1)! n!
n! n
la suite
(vn )
est strictement décroissante.
un 6 vn 6 v2 , alors (un ) est une suite croissante et majorée. Donc elle converge
` ∈ R. De même vn > un 6 u0 , donc (vn ) est une suite décroissante et minorée. Donc
1
0
elle converge vers ` ∈ R. De plus vn − un =
. Et donc (vn − un ) tend vers 0 ce qui
n!
0
prouve que ` = ` .
2. Comme
vers
3. Supposons que
` ∈ Q, nous écrivons alors ` =
un 6
p, q ∈ N. Nous obtenons pour n > 2 :
p
6 vn .
q
q! : q!uq 6 q! pq 6 q!vq .
1
Dans cette double inégalité toutes les termes sont des entiers ! De plus vq = uq +
donc :
q!
Ecrivons cette égalité pour
n = q : uq 6
p
q
p
avec
q
6 vq
et multiplions par
p
q!uq 6 q! 6 q!uq + 1.
q
q!uq + 1 = q!vq . Nous obtenons que ` = pq
est égal à uq ou à vq . Supposons par exemple que ` = uq , comme la suite (un ) est
strictement croissante alors uq < uq+1 < · · · < `, ce qui aboutit à une contradiction.
Le même raisonnement s'applique en supposant ` = vq car la suite (vn ) est strictement
décroissante. Pour conclure nous avons montrer que ` n'est pas un nombre rationnel.
fait ` est le nombre e = exp(1).
Donc l'entier
En
q! pq
est égal à l'entier
q!uq
ou à
Correction 571
1. Si u0 6 u1 alors comme f est croissante f (u0 ) 6 f (u1 ) donc u1 6 u2 ,
f (u1 ) 6 f (u2 ) soit u2 6 u3 ... Par récurrence on montre que (un ) est décroissante.
Comme elle est minorée par a alors elle converge. Si u0 6 u1 alors la suite (un ) est
croissante et majorée par b donc converge.
Notons ` la limite de (un )n . Comme f est continue alors (f (un )) tend vers f (`). De plus
la limite de (un+1 )n est aussi `. En passant à la limite dans l'expression un+1 = f (un )
nous obtenons l'égalité ` = f (`).
ensuite
[0, 4] et f ([0, 4]) ⊂ [0, 4]. La fonction
u0 = 4 et u1 = 3 alors (un ) est décroissante.
Calculons la valeur de sa limite `. ` est solution de l'équation f (x) = x soit 4x +5 = x(x +
3). Comme√ un > 0 pour tout n alors ` > 0. La seule solution positive de 4x + 5 = x(x + 3)
1+ 21
= 2, 7912 . . .
est ` =
2
2. La fonction
f
f
est continue et dérivable sur l'intervalle
est croissante (calculez sa dérivée). Comme
f est décroissante alors f ◦ f est croissante (car x 6 y ⇒ f (x) > f (y) ⇒ f ◦
f (x) 6 ◦f ◦ f (y)). Nous appliquons la première question avec la fonction f ◦ f . La
suite (u0 , u2 = f ◦ f (u0 ), u4 = f ◦ f (u2 ), . . . ) est monotone et convergente. De même pour
la suite (u1 , u3 = f ◦ f (u1 ), u5 = f ◦ f (u3 ), . . . ).
3. Si
326
f (x) = (1 − x)2
[0, 1] dans [0, 1]. Elle est décrois9
u2 = 16
, u3 = 0, 19 . . . ,... Donc
la suite (u2n ) est croissante, nous savons qu'elle converge et notons `p sa limite. La suite
(u2n+1 ) et décroissante, notons `i sa limite. Les limites `p et `i sont des solutions de l'équa2
2 2
tion f ◦ f (x) = x. Cette équation s'écrit (1 − f (x)) = x, ou encore (1 − (1 − x) ) = x
2
2
soit x (2 − x) = x. Il y a deux solutions évidentes 0 et 1. Nous factorisons le polynôme
2
2
x (2 − x)
− x en x(x − 1)(x − λ)(x √
− µ) avec λ et µ les solutions de l'équation x2 − 3x + 1 :
√
λ = 3−2 5 = 0, 3819 . . . et µ = 3+2 5 > 1. Les solutions de l'équation f ◦ f (x) = x sont
1
donc {0, 1, λ, µ}. Comme (u2n ) est croissante et que u0 =
alors (u2n ) converge vers
2
1
`p = 1 qui est le seule point xe de [0, 1] supérieur à 2 . Comme (u2n+1 ) est décroissante et
1
que u1 =
alors (u2n+1 ) converge vers `i = 0 qui est le seule point xe de [0, 1] inférieur
4
4. La fonction
est continue et dérivable de
u0 = 12 , u1 = 14 ,
sante sur cette intervalle. Nous avons
à
1
.
4
Correction 572
√
a+b
. Comme les deux
2
a+b 2
membres de cette inégalité sont positifs, cette inégalité est équivalente à ab 6 (
) . De
2
plus,
2
a+b
2
1. Soient
a, b > 0.
ab 6
On veut démontrer que
ab 6
⇔ 4ab 6 a + 2ab + b
2
⇔ 0 6 a2 − 2ab + b2
ce qui est toujours vrai car
a2 − 2ab + b2
est un carré parfait. On a donc bien l'inégalité
voulue.
2. Quitte à échanger
et qui préserve le
a et b (ce qui ne change pas les moyennes arithmétique et géométrique,
fait d'être compris entre a et b), on peut supposer que a 6 b. Alors en
ajoutant les deux inégalités
a/2 6 a/2 6 b/2
a/2 6 b/2 6 b/2,
on obtient
a6
a+b
6 b.
2
De même, comme tout est positif, en multipliant les deux inégalités
√
√
a6 a6 b
√
√
√
a6 b6 b
√
on obtient
a6
3. Il faut avant tout remarquer que
∀n, un
√
et
ab 6 b.
vn
sont strictement positifs, ce qui permet de
dire que les deux suites sont bien dénies. On le démontre par récurrence : c'est clair pour
u0
et
v0 ,
et si
un
et
vn
sont strictement positifs alors leurs moyennes géométrique (
un+1 )
et arithmétique ( vn+1 ) sont strictement positives.
∀n un 6 vn . L'inégalité est claire
hypothèses faites sur u0 et v0 . Si maintenant n est plus
moyenne géométrique de un−1 et vn−1 et vn est la moyenne
vn−1 , donc, par 1., un 6 vn .
(a) On veut montrer que
(b) On sait d'après 2. que
n = 0
grand que 1,
arithmétique
grâce aux
un est
de un−1
la
et
un 6 un+1 6 vn . En particulier, un 6 un+1 i.e. (un ) est
un 6 vn+1 6 vn . En particulier, vn+1 6 vn i.e. (vn )
croissante. De même, d'après 2.,
est décroissante.
pour
327
n,
(c) Pour tout
on a
u0 6 un 6 vn 6 v0 . (un )
est donc croissante et majorée, donc
converge vers une limite l . Et (vn ) est décroissante et minorée et donc converge vers
√
0
0
n
une limite l . De plus comme un+1 =
un vn et puisque vn+1 = un +v
, l et l doivent
2
vérier
√
l + l0
0
0
l=
d'où
Dénition
ll et l =
2
0
l=l.
Il y a une autre méthode un peu plus longue mais toute aussi valable.
1.
2.
3.
Deux suites
un
un 6 v n ,
un est croissante et vn
lim(un − vn ) = 0.
Théorème
vn
et
sont dites
adjacentes
si
est décroissante,
Alors, on a le théorème suivant :
: Si
un
et
vn
sont deux suites adjacentes, elles sont toutes les deux convergentes et
ont la même limite.
un et vn vérient les points 1 et 2 de la
lim(un − vn ) = 0. On a d'abord que vn − un > 0. Or,
Pour appliquer ce théorème, vu qu'on sait déjà que
dénition, il sut de démontrer que
d'après (a)
v n − un
.
2
Donc, si on note wn = vn − un , on a que 0 6 wn+1 6 wn /2. Donc, on peut démontrer (par
w
récurrence) que 0 6 wn 6 n0 , ce qui implique que limn→∞ wn = 0. Donc vn − un tend vers 0,
2
et ceci termine de démontrer que les deux suites un et vn sont convergentes et ont même limite
vn+1 − un+1 6vn+1 − un =
en utilisant le théorème sur les suites adjacentes.
Correction 574
Notons
fn : [0, 1] −→ R
la fonction dénie par :
fn (x) =
n
X
xk − 1.
i=1
1. La fonction
fn
est continue sur
[0, 1].
fn (0) = −1 < 0 et fn (1) = n − 1 > 0.
fn , admet un zéro dans l'intervalle [0, 1].
dérivée) sur [0, 1] donc ce zéro est unique.
De plus
D'après le théorème des valeurs intermédiaires,
De plus elle strictement croissante (calculez sa
2. Calculons
fn (an−1 ).
fn (an−1 ) =
n
X
akn−1 − 1
i=1
=
ann−1
=
=
ann−1
ann−1
+
n−1
X
akn−1 − 1
i=1
+ fn−1 (an−1 )
(car fn−1 (an−1 ) = 0
par dénition de
Nous obtenons l'inégalité
0 = fn (an ) < fn (an−1 ) = ann−1 .
Or
fn
est strictement croissante, l'inégalité ci-dessus implique donc
an < an−1 .
an−1 ).
328
Nous venons de démontrer que la suite
Remarquons avant d'aller plus loin que
(an )n est décroissante.
fn (x) est la somme d'une
1 − xn+1
− 2.
1−x
fn (x) =
Évaluons maintenant
fn ( 12 ),
à l'aide de l'expression précédente
1 − 12
1
fn ( ) =
2
1−
Donc
fn ( 21 ) < fn (an ) = 0
entraîne
1
2
n+1
(an )n
1
< 0.
2n
< an .
(an )n est strictement décroissante et minorée
est décroissante et minorée par
limite :
Appliquons
−2=−
1
2
Pour résumé, nous avons montrer que la suite
1
par .
2
3. Comme
suite géométrique :
1
alors elle converge, nous notons
2
`
sa
1
6 ` < an .
2
fn
(qui est strictement croissante) à cette inégalité :
1
fn ( ) 6 fn (`) < fn (an ),
2
qui s'écrit aussi :
1
6 f (`) < 0,
2n
(fn (`))n converge
−
et ceci quelque soit
n > 1.
La suite
donc vers
0
(théorème des gendar-
mes). Mais nous savons aussi que
fn (`) =
donc
(fn (`))n
converge vers
1
1−`
−2
car
1 − `n+1
− 2;
1−`
(`n )n
1
− 2 = 0,
1−`
Correction 609
converge vers
d'où
0.
Donc
1
`= .
2
Généralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes racines
carrées, il est utile de faire intervenir l'expression conjuguées" :
√
a−
√
√ √
√
√
( a − b)( a + b)
a−b
√
√ .
b=
=√
√
a+ b
a+ b
Les racines au numérateur ont disparu" en utilisant l'identité
(x − y)(x + y) = x2 − y 2 .
329
Appliquons ceci sur un exemple :
√
f (x) =
=
=
=
=
√
1 + xm − 1 − xm
xn √
√
√
√
( 1 + xm − 1 − xm )(( 1 + xm + 1 − xm ))
√
√
xn ( 1 + xm + 1 − xm )
1 + xm − (1 − xm )
√
√
xn ( 1 + xm + 1 − xm )
2xm
√
√
xn ( 1 + xm + 1 − xm )
2xm−n
√
√
1 + xm + 1 − xm
Et nous avons
lim √
x→0
Donc l'étude de la limite de
f
en
0
1+
xm
2
√
= 1.
+ 1 − xm
est la même que celle de la fonction
x 7→ xm−n .
Distinguons plusieurs pour la limite de f en 0.
m−n
Si m > n alors x
et donc f (x) tend vers 0.
m−n
Si m = n alors x
et f (x) vers 1.
1
m−n
Si m < n alors x
= xn−m
= x1k avec k = n − m un exposant positif. Si k est pair alors les
1
limites à droite et à gauche de k sont +∞. Pour k impair la limite à droite vaut +∞ et la
x
limite à gauche vaut −∞. Conclusion pour k = n − m > 0 pair, la limite de f en 0 vaut +∞
et pour
k = n−m > 0
impair
f n'a pas de limite en 0
car les limites à droite et à gauche ne
sont pas égales.
Correction 612
1. Soit
p > 0
la période : pour tout
x ∈ R, f (x + p) = f (x).
Par une
récurrence facile on montre :
∀n ∈ N
∀x ∈ R
f (x + np) = f (x).
f n'est pas constante il existe a, b ∈ R tels que f (a) 6= f (b). Notons xn = a+np et
yn = b + np. Supposons que f a une limite ` en +∞. Comme xn → +∞ alors f (xn ) → `.
Mais f (xn ) = f (a + np) = f (a), donc ` = f (a). De même avec la suite (yn ) : yn → +∞
donc f (yn ) → ` et f (yn ) = f (b + np) = f (b), donc ` = f (b). Comme f (a) 6= f (b) nous
Comme
obtenons une contradiction.
2. Soit
f : R −→ R
une fonction croissante et majorée par
M ∈ R.
Notons
f = f (R) = {f (x) | x ∈ R}.
R, notons ` = sup F . Comme M ∈ R est un majorant
F , alors ` < +∞. Soit ε > 0, par les propriétés du sup il existe y0 ∈ F tel que
` − ε 6 y0 6 `. Comme y0 ∈ F , il existe x0 ∈ R tel que f (x0 ) = y0 . Comme f est
F
est un ensemble (non vide) de
de
croissante alors :
∀x > x0
De plus par la dénition de
`
f (x) > f (x0 ) = y0 > ` − ε.
:
∀x ∈ R f (x) 6 `.
330
Les deux propriétés précédentes s'écrivent :
∀x > x0
Ce qui exprime bien que la limite de
Correction 616
` − ε 6 f (x) 6 `.
f
en
1. La limite à droite vaut
+∞
+2,
est
`.
la limite à gauche
−2
donc il n'y a pas de
limite.
2.
−∞
3.
4
4.
2
5.
1
2
6.
0
1
en utilisant que
3
1
8.
n
7.
Correction 623
2.
0
3.
+∞
4.
+∞
5.
3
2
6.
−∞
7.
0
8.
0
9.
0
10.
0
11.
−2
12.
−∞
13.
1
14.
e4
15.
1
16.
e
17.
e
18.
0
19.
0
20.
0
Correction 628
1.
a3 − 1 = (a − 1)(1 + a + a2 )
pour
a=
√
3
1 + x2 .
−∞
1. Montrons d'abord que la limite de
f (x) =
xk − α
x−α
kαk−1 . Un calcul montre que f (x) = xk−1 + αxk−2 + α2 xk−3 + · · · + αk−1 , et donc
k−1
la limite en x = α est kα
. Une autre méthode consiste à dire que f (x) est la taux
k
d'accroissement de la fonction x , et donc la limite de f en α est exactement la valeur
en
α
est
331
xk
de la dérivée de
α,
en
soit
kαk−1 .
Ayant fait ceci revenons à la limite de l'exercice :
comme
xn+1 − αn+1
xn+1 − αn+1
x−α
=
× n
.
n
n
x −α
x−α
x − αn
n
Le premier terme du produit tend vers (n + 1)α et le second terme, étant
n−1
taux d'accroissement, tend vers 1/(nα
). Donc la limite cherchée est
l'inverse d'un
n+1
(n + 1)αn
=
α.
n−1
nα
n
2. La fonction s'écrit aussi
f (x) =
1−cos x
. Or
cos x(cos 2x−cos x)
alors
1
1−u
=
u(2u2 − u − 1)
u(−1 − 2u)
f (x) =
Lorsque
x
tend vers
cos 2x = 2 cos2 x − 1. Posons u = cos x,
0, u = cos x
tend vers
1,
et donc
f (x)
tend vers
− 13 .
3.
r
x+
q
q
p
p
√
√
√
√
( x + x + x − x)( x + x + x − x)
√
√
q
x+ x− x=
p
√
√
x+ x+ x+ x
p
√
x+ x
=q
p
√ √
x+ x+ x x
q
1 + √1x
=q
√ √
x+ x
1+
+1
x
q
√
Quand
x → +∞
1
alors √
x
→0
4. La fonction s'écrit
√
f (x) =
Notons
g(x) =
et
√
x+ x
x
→ 0,
√
√
1
donc la limite recherchée est √ .
2
x− α− x−α
√
√
=
x−α x+α
√ √
x− α
√
x−α
√
−1
x+α
.
√ √
x− α
√
alors à l'aide de l'expression conjuguée
x−α
√
x−α
x−α
√ .
g(x) = √
√
√ =√
x+ α
( x − α)( x + α)
Donc
g(x)
0
tend vers
5. Pour tout réel
y
quand
Et maintenant
nous avons la double inégalité
On en déduit que lorsque
et en faisant tendre
6.
x → α+ .
x
y
tend vers
f (x) =
y − 1 6 E(y) 6 y ,
+∞ (ou −∞) alors
1
vers 0, alors xE( )
x
=
g(x)−1
1
√
tend vers √ .
2 α
x+α
E(y)
tend
y
E(y)
tend vers
y
donc
y−1
y
6
E(y)
y
6 1.
1. En posant y = 1/x,
1.
ex − e2
ex − e2
x−2
ex − e2
1
=
×
=
×
.
2
2
x +x−6
x−2
x +x−6
x−2
x+3
La limite de
voulue est
e2
5
ex −e2
en
x−2
.
2
vaut
e2
(c'est la taux d'accroissement de la fonction
ex ),
la limite
332
7. En calculant les valeurs de
+∞
pour
α 6 4.
f
2kπ
α < 4.
en
Reste le cas
2kπ + π2 on prouve que f
existe β tel que α < β < 4.
et en
Il
x4
=
1 + xα sin2 x
f (x) =
1
xβ
x4−β
.
+ xα
sin2 x
xβ
α
+∞ car 4 − β > 0. x1β tend vers 0 ainsi que xxβ sin2 x (car β > α et
1). Donc le dénominateur tend vers 0 (par valeur positive). La limite
+∞/0+ (qui n'est pas indéterminée !) et vaut donc +∞.
Le numérateur tend
sin2 x est bornée par
est donc de type
Correction 634
Réponse :
Correction 635
Réponses :
Correction 636
Réponse : 1.
Correction 637
Réponse :
Correction 638
Réponse :
Correction 639
n'a pas de limite en
2
3
1
, 0, e.
e
sup(a, b).
√
ab.
1. On a pour tout
x, y ∈ R |x − y| > | |x| − |y| | (c'est la deuxième
x ∈ I :| |f (x)| − |f (a)| | 6
formulation de l'inégalité triangulaire). Donc pour tout
|f (x) − f (a)|. L'implication annoncée
l'assertion limx→a f (x) = f (a).
2. Si
f, g
sont continues alors
αf + βg
résulte alors immédiatement de la dénition de
est continue sur
I,
pour tout
α, β ∈ R.
Donc les
f +g et f −g sont continues sur I . L'implication de 1. prouve alors que |f −g| est
I , et nalement en réutilisant l'argument donné ci dessus, on peut conclure :
1
fonction sup(f, g) = (f + g + |f − g|) est continue sur I .
2
fonctions
continue sur
La
Correction 642
g(a) = f ( a+b
) − f (a) et g( a+b
) = f (b) − f ( a+b
). Comme f (a) = f (b)
2
2
2
a+b
a+b
alors f (a) = −g(
). Donc g(a) 6 0 et g( 2 ) > 0 ou bien g(a) > 0 et g( a+b
) 6 0.
2
2
a+b
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, f s'annule en c pour un c entre a et
.
2
2.
1.
t dénote le temps (en heure). d(t) dénote la distance parcourue (en km) entre les instants
0 et t, nous supposons que la fonction t 7→ d(t) est continue. Soit f (t) = d(t) − 4t.
f (0) = 0 et par hypothèse f (1) = 0. Appliquons la question précédente avec a = 0, b = 1.
1
1
1
Il existe c ∈ [0, ] tel que g(c) = 0, c'est-à-dire f (c + ) = f (c). Donc d(c + ) − d(c) =
2
2
2
1
1
4(c + 2 ) − 4c = 2. Donc entre c et c + 2 , (soit 1/2 heure), la parcourt est de 2 km.
Correction 643
Il existe
x < 0 tel que f (x) < 0 et y > 0 tel que f (y) > 0, d'après le théorème
z ∈]x, y[ tel que f (z) = 0. Donc f s'annule. Les polynômes
des valeurs intermédiaires, il existe
de degré impair vérient les propriétés des limites, donc s'annulent. Ceci est faux, en général,
2
pour les polynômes de degré pair, par exemple regardez f (x) = x + 1.
Correction 645
Comme
Correction 646
Notons
f (x)2 = 1 alors f (x) = ±1. (Atttention ! Cela ne veut pas dire que la
fonction est constante égale à 1 ou −1.) Suposons, par exemple, qu'il existe x tel que f (x) = +1.
Montrons que f est constante égale à +1. S'il existe y 6= x tel que f (y) = −1 alors f est positive
en x, négative en y et continue sur I . Donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe
z entre x et y tel que f (z) = 0, ce qui contredit f (z)2 = 1. Donc f est constante égale à +1.
`
la limite de
f
en
+∞
:
∀ε > 0 ∃A ∈ R x > A ⇒ ` − ε 6 f (x) 6 ` + ε.
Fixons
ε = +1,
nous obtenons un
venons de montrer que
f
A
correspondant tel que pour
est bornée à l'inni. La fonction
f
x > A, f (x) 6 ` + 1.
Nous
est continue sur l'intervalle fermé
333
[0, A], donc f est bornée sur cet intervalle : il existe M tel que pour tout x ∈ [0, A],
f (x) 6 M . En prenant M 0 = max(M, ` + 1), nous avons que pour tout x ∈ R, f (x) 6 M 0 . Donc
f est bornée sur R.
1
La fonction n'atteint pas nécessairement ses bornes : regardez f (x) =
.
1+x
borné
Correction 653
nul. Donc
1. Soit
f (0) > 0
et
f (0) = 0 et c'est ni, on a trouver le point xe ! Soit f (0) n'est pas
0 ∈ E . Donc E n'est pas vide.
E est un partie de [0, 1] non vide donc sup E
sup E ∈ [0, 1]. Nous allons montrer que c est un point xe.
2. Maintenant
3. Soit
(xn )
f (xn ) 6 f (c).
c 6 f (c).
4. Soit
(yn )
car sinon
telle que
Donc pour
une suite telle que
`
c=
xn → c et xn 6 c. Une telle suite existe d'après les
Comme xn ∈ E alors xn < f (xn ). Et comme f est croissante
tout n, xn < f (c) ; comme xn → c alors à la limite nous avons
E
c = sup E .
une suite de
propriétés de
existe et est ni. Notons
yn → c, yn 6 c et telle que f (yn ) 6 yn . Une telle suite
sup E . Nous avons f (c) 6 f (yn ) 6 yn et donc à la
ne serait pas égal à
existe
limite
f (c) 6 c.
c 6 f (c) 6 c,
Nous concluons donc que
Correction 660
Donc
1. Soit
Ef 6= ∅.
x ∈ [0, 1]
Nous venons de
donc
f (c) = c
et
c
est un point xe de
f.
y = f (x) ∈ [0, 1]. Alors f (y) = y car f (f (x)) = f (x).
montrer que I = f ([0, 1]) est inclus dans Ef .
et
Ef est inclus dans I . Soit x ∈ [0, 1] tel que f (x) = x alors
x = f (x) !). Ainsi Ef = f ([0, 1]). Mais l'image de l'intervalle [0, 1]
continue f est un intervalle donc Ef est un intervalle.
2. Montrons réciproquement
x ∈ I = f ([0, 1])
par la fonction
(car
3. Les fonctions continues qui vérient ( ∗) sont les fonctions qui vérient
Correction 662
f : R −→ R. Avec f (x) = sin x1 pour x 6= 0 et f (0) = 0. f
pour tout a, b et pour tout y ∈ [f (a), f (b)] il existe x ∈ [a, b] tel
Non, par exemple
n'est pas continue (en
que
Ef = f ([0, 1]).
0),
mais
y = f (x).
Correction 669
x ∈ [a, b] donc f (x) 6 supa6x6b f (x). Par
conséquent supa6x6b f (x) est un majorant de f sur l'intervalle ]a, b[, donc il est plus
grand que le plus petit des majorants : supa<x<b f (x) 6 supa6x6b f (x).
2.
f
x ∈]a, b[,
on a
est continue sur un intervalle fermé et borné, donc elle est bornée et elle atteint ses
= supa6x6b f (x).
1
on a an ∈ [a, b], donc on peut
si x0 = a, considérons la suite an = a + 1/n. Pour n >
b−a
considérer la suite (f (an ))n> 1 . Or an tend vers a quand n tend vers +∞, et comme
b−a
f est continue, ceci implique que f (an ) tend vers f (a) quand n tend vers +∞. Donc
∀ε > 0, ∃n ∈ N, f (x0 ) − ε 6 f (an ) 6 f (x0 ), ce qui implique que f (x0 ) = supa<x<b f (x).
si x0 = b on obtient le résultat de manière identique en considérant la suite bn = b−1/n.
si a < x0 < b : f (x0 ) est majoré par le sup de f sur ]a, b[, donc
bornes. Soit
1. Pour tout
x0
le réel où le maximum est atteint : f (x0 )
f (x0 ) 6 sup f (x) 6 sup f (x) = f (x0 )
a<x<b
donc
f (x0 ) = supa<x<b f (x).
3. Avec la fonction
car
a6x6b
g(0) = 0
et
notre cas, car la
g , on a sup0<x<1 g(x) = 0 car ∀x ∈]0, 1[, g(x) = 0, et sup06x61 g(x) = 1
g(1) = 1. La propriété démontrée précédemment n'est pas vraie dans
fonction g ne remplit pas la condition essentielle d'être continue.
334
Correction 672
x0 6= 0,
Soit
alors la fonction
f
est continue en
x0 ,
car elle s'exprime sous la
forme d'un quotient de fonctions continues où le dénominateur ne s'annule pas en
étudier la continuité en
0.
Mais
x0 .
Reste à
sin x
= 1 = f (0)
x→0 x
lim
donc
f
0.
est continue en
Correction 677
1. La fonction en dénie sur
R∗ .
Et elle est continue sur
miner un éventuel prolongement par continuité en
limite en
x = 0,
R∗ .
Il faut déter-
c'est-à-dire savoir si
f
a une
0.
|f (x)| = | sin x|| sin 1/x| 6 | sin x|.
f a une limite en 0 qui vaut 0. Donc en posant f (0) = 0, nous obtenons une fonction
f : R −→ R qui est continue.
Donc
R∗ . Etudions la situation en 0. f est la taux
ex +e−x
d'accroissement en 0 de la fonction g(x) = ln
. Donc si les objets suivants existent :
2
0
0
∗
la limie de f en 0 est égale à la valeur de g en 0. Calculons g sur R :
2. La fonction
f
est dénie et continue sur
ex + e−x 0
=
g (x) = ln
2
0
ex −e−x
2
ex +e−x
2
=
ex − e−x
.
ex + e−x
0
alors le numérateur tend vers 0 et le dénominateur vers 2, donc g (x) tend
0
vers 0. Donc g est dérivable en 0 et g (0) = 0. En posant f (0) = 0 nous obtenons une
x→0
Quand
fonction
3.
f
f
dénie et continue sur
est dénie et continue sur
f (x) =
Donc
f
R.
R \ {−1, 1}.
1
2
1+x−2
−1 + x
−1
−
=
=
==
.
2
1−x 1−x
(1 − x)(1 + x)
(1 − x)(1 + x)
(1 + x)
a pour limite
− 21
quand
x
dénissons une fonction continue sur
continuement, car en
Correction 680
f (x).
Soit
Puis en prenant
−1, f
tend vers
1.
Et donc en posant
R\{−1}. En −1 la fonction f
f (1) = − 12 ,
nous
ne peut être prolongée
n'admet de limite nie.
x ∈ R, comme f (y) = f (2y) en prenant y = x/2 nous obtenons f ( 12 x) =
y = 14 x, nous obtenons f ( 14 x) = f ( 12 x) = f (x). Par une récurrence facile
nous avons
1
x) = f (x).
2n
1
Notons (un ) la suite dénie par un = n x alors un → 0 quand n → +∞. Par la continuité de f
2
1
en 0 nous savons alors que : f (un ) → f (0) quand n → +∞. Mais f (un ) = f ( n x) = f (x), donc
2
(f (un ))n est une suite constante égale à f (x), et donc la limite de cette suite est f (x) ! Donc
f (x) = f (0). Comme ce raisonnement est valable pour tout x ∈ R nous venons de montrer que
f est une fonction constante.
∀n ∈ N
Correction 686
f(
x 6= 52 . En plus il faut
(2 + 3x) × (5 − 2x) > 0, soit
1. Il faut que le dénominateur ne s'annule pas donc
que le terme sous la racine soit positif ou nul, c'est-à-dire
x ∈ [− 23 , 52 ]. L'ensemble de dénition est donc [− 23 , 52 [.
2. Il faut
x2 − 2 x − 5 > 0,
3. Il faut
4x + 3 > 0
soit
soit
x ∈] − ∞, 1 −
x > − 43 ,
√
6] ∪ [1 +
√
6, +∞[.
l'ensemble de dénition étant
] − 34 , +∞[.
335
Correction 690
Pour tout
x∈R
on a :
0 6 |f (x)| =
| cos x|
1
6
6 1.
2
1+x
1 + x2
x ∈ R, f (x) ∈ [−1, 1] donc f est minorée ( −1 est un minorant),
majorant) et supx∈R f (x) 6 1. Comme f (0) = 1 on a nécessairement
Par conséquent, pour tout
majorée ( 1 est un
supx∈R f (x) > 1.
Conclusion :
sup f (x) = 1.
x∈R
Correction 698
1. La fonction
0
dérivable en
f1
est dérivable en dehors de
x = 0.
Pour savoir si
f1
est
regardons le taux d'accroissement :
f1 (x) − f1 (0)
1
= x cos .
x−0
x
Mais
x cos(1/x) tend vers 0 (si x → 0) car | cos 1/x| 6 1.
0. Donc f1 est dérivable en 0 et f10 (0) = 0.
Donc le taux d'accroissement
tend vers
2. Encore une fois
f2
est dérivable en dehors de
0.
Le taux d'accroissement en
x=0
est :
f2 (x) − f2 (0)
sin x
1
=
sin
x−0
x
x
sin x
→ 1 et que sin 1/x n'a pas de limite quand
x
d'accroissement n'a pas de limite, donc f2 n'est pas dérivable en 0.
Nous savons que
3. La fonction
f3
Donc le taux
s'écrit :
f3 (x) =
Donc pour
x → 0.
x61
on a
f3 (x) = x,
pour
|x||x − 1|
.
x−1
06x<1
on
f3 (x) = −x.
Pour
x<0
on a
f3 (x) = x.
La fonction
La fonction
−1.
f3
f3
1,
en eet
Donc la fonction n'est pas dérivable en
La fonction
f3
R \ {0, 1}.
limx→1+ f3 (x) = +1
est dénie, continue et dérivable sur
n'est pas continue en
est continue en
0.
et
limx→1− f3 (x) =
1.
Le taux d'accroissement pour
x>0
est
f3 (x) − f3 (0)
−x
=
= −1
x−0
x
et pour
x < 0,
f3 (x) − f3 (0)
x
= = +1.
x−0
x
Donc le taux d'accroissement n'a pas de limite en 0 et donc f3
Correction
√ 699
limx→1−
x=
Il faut d'abord que la fonction soit continue en x =
+1 et à droite limx→1− ax2 + bx + 1 = a + b + 1. Donc
n'est pas dérivable en
1.
0.
La limite à gauche est
a + b + 1 = 1.
Il faut maintenant que les dérivées à droites et à gauches soient égales :
limx→1+ 2ax + b = 2a + b.
Le seul couple
(a, b)
Donc
solution des deux
1
2a + b = .
2
1
1
équations est (a = , b = − ).
2
2
limx→1+
1
√
2 x
=
1
et
2
336
Correction 700 f
est
C∞
sur
R∗ .
| sin 1/x| 6 1 alors f
fonction f est continue sur R.
1. Comme
2. Le taux d'accroissement est
Comme ci-dessus il y a une
f 0 (0) = 0.
∗
0
3. Sur R , f (x) = 2x sin(1/x)
0
f n'est pas continue en 0.
Correction 701
1. Selon que
tend vers
0
quand
x → 0.
1
f (x) − f (0)
= x sin .
x−0
x
limite (qui vaut 0) en x = 0.
− cos(1/x),
Donc
f 0 (x)
Donc en posant
Donc
f
f (0) = 0.
la
0
et
est dérivable en
n'a pas de limite quand
x → 0.
Donc
n ≡ 0[4], 1[4], 2[4], 3[4] alors f (n) (x) vaut respectivement sin x,
cos x, − sin x, − cos x.
sin2 x est 2 sin x cos x = sin 2x. Et donc les dérivées suivantes seront :
2 cos 2x, −4 cos 2x, 8 sin 2x, 16 cos 2x,... Et selon que n ≡ 1[4], 2[4], 3[4], 0[4], alors g (n) (x)
n−1
vaut respectivement 2
sin 2x, 2n−1 cos 2x, −2n−1 sin 2x, −2n−1 cos 2x.
2. La dérivée de
3.
sin(x)3 + cos(x)3 = − 14 sin(3x) + 34 sin(x) + 14 cos(3x) + 34 cos(x)
Correction 709
et on dérive...
f en 0 est 0, donc f est continue en 0. De même le taux d'ac0
croissement de f en 0 est f (x)/x qui tend vers 0. Donc f est dérivable en 0 et f (0) = 0. En
−2
0
−x
dehors de 0, on a f (x) = 2e
x−3 donc f 0 est continue en 0.
(n)
On continue de la même façon en remarquant que si f
(x) = P (1/x) exp(−1/x2 ) où P est
(n)
(n)
un polynôme et f
(0) = 0. Donc f (x) tend vers 0 si x tend vers 0. Donc f (n) est continue.
(n)
2
De plus f
est dérivable en 0 car son taux d'accroissement vaut 1/xP (1/x) exp(−1/x ) qui
(n+1)
tend vers 0, donc f
(0) = 0. En dehors de 0 on f (n+1) (x) = Q(1/x) exp(−1/x2 ) où Q est un
La limite de
polynôme. Et on recommence...
Correction 715 Qn (t) = (1 − t2 )n est un polynôme de degré 2n, on le dérive n fois, on obtient
0
un polynôme de degré n. −1 et +1 sont des racines d'ordre n de Qn , donc Qn (1) = Qn (1) =
(n−1)
. . . = Qn (1) = 0, même chose en −1. Q(−1) = 0 = Q(+1) donc d'après le théorème de
0
0
0
0
Rolle il existe c ∈] − 1, 1[ telle que Qn (c) = 0. Donc Qn (−1) = 0, Qn (c) = 0, Qn (−1) = 0. En
appliquant le théorème de Rolle deux fois (sur [−1, c] et sur [c, +1]), on obtient l'existence de
00
racines d1 , d2 pour Qn , auxquelles il faut rajouter −1 et +1. On continue ainsi par récurrence.
(n−1)
On obtient pour Qn
, n + 1 racines : −1, e1 , . . . , en−1 , +1. Nous appliquons le théorème de
(n)
Rolle n fois. Nous obtenons n racines pour Pn = Qn . Par constructions ces racines sont réelles
distinctes (donc simples). Comme un polynôme de degré
n
a au plus
n
racines, nous avons
obtenu toutes les racines.
Correction 717
1. Par l'absurde on suppose qu'il y a (au moins) quatre racine distinctes
n
pour Pn (X) = X + aX + b. Notons les x1 < x2 < x3 < x4 . Par le théorème de Rolle
0
0
0
appliqué trois fois (entre x1 et x2 , entre x2 et x3 ,...) il existe x1 < x2 < x3 des racines de
Pn0 . On applique deux fois Rolle entre x01 et x02 et entre x02 et x03 . On obtient deux racines
00
00
n−2
ne peut avoir que 0 comme racines. Donc nous
distinctes pour Pn . Or Pn = n(n − 1)X
avons obtenu une contradiction.
2. Autre méthode : Le résultat est évident si n 6 3. On suppose donc n > 3. Soit Pn
n
0
n−1
l'application X 7→ X + aX + b de R dans lui-même. Alors Pn (X) = nX
+ a s'annulle
en au plus deux valeurs. Donc
Pn
est successivement croissante-décroissante-croissante ou
bien décroissante-croissante-décroissante. Et donc
Pn
s'annule au plus trois fois.
337
Correction 718
f
0
Comme
f0
est dérivable, elle est continue. Comme
change de signe (au moins)
n+1
fois donc s'annulle (au moins)
n
f
s'annulle
n+1
fois,
fois. On peut bien sûr
recommencer, le résultat en découle.
Correction 721 f (β) − f (α) = f 0 (c)(β − α). Donc a(β 2 − α2 ) + b(β − α) = (2ac + b)(β − α).
α+β
.
2
Géométriquement, cela signie que la droite qui passe par
α+β
à la tangente qui passe en (
, f ( α+β
)).
2
2
Donc
c=
Correction 724
(α, f (α))
et
(β, f (β)),
est parallèle
g(t) = ln t. Appliquons le théorème des accroissement nis sur
[x, y]. Il existe c ∈]x, y[, g(y) − g(x) = g 0 (c)(y − x). Soit ln y − ln x = 1c (y − x). Donc
ln y−ln x
= 1c . Or x < c < y donc y1 < 1c f rac1x. Ce qui donne les inégalités recherchées.
y−x
2.
f 0 (α) =
1. Soit
x−y
αx+(1−α)y
− ln x + ln y .
2
Et
(x−y)
f 00 (α) = − (αx+(1−α)y)
2.
Comme
f 00
est négative alors
f0
x−y−y(ln x−ln y)
0
est décroissante sur [0, 1]. Or f (0) =
> 0 d'après la première question et
y
0
de même f (1) < 0. par le théorème des valeurs intermédiaires il existe c ∈ [x, y] tel que
f 0 (c) = 0. Maintenant f 0 est positive sur [0, c] et négative sur [c, 1]. Donc f est croissante
[0, c] et décroissante sur [c, 1]. Or f (0) = 0
f (x) > 0. Cela prouve l'inégalité demandée.
sur
et
f (1) = 0
3. Géométriquement nous avons prouver que la fonction
corde (le segment qui va de
(x, f (x))
à
(y, f (y))
cn ∈
Le théorème des accroissement nis donne :
[n, n + 1]. Or cn > n donc n1 > c1n . Donc :
Sn =
ln(n+1)−ln(n) =
y = f (x).
1
(n+1−n)
cn
=
n
X
1
k=1
n
n
X
X
1
>
=
ln(k + 1) − ln(k) = ln(n + 1).
k
ck
k=1
k=1
La dernière égalité s'obtient car la somme est téléscopique. Donc
Correction 727
x ∈ [0, 1],
est concave, c'est-à-dire que la
est sous la courbe d'équation
Correction 725
1
, avec
cn
ln
donc pour tout
Pour simplier nous supposons
Sn > ln(n+1), donc Sn → +∞.
x > 0.
1. Appliquer le théorème des accroissements nis ne va pas être susant. En eet, soit
f (x) = ex − 1 − x. Alors il existe c ∈]0, x[ tel que f (x) − f (0) = f 0 (c)(x − 0). Soit
f (x) = (ec − 1)x. Soit maintenant g(x) = ex − 1 alors, par le théorème des accroissements
0
c
d
nis sur [0, c] il existe d ∈]0, c[ tel que g(c) − g(0) = g (d)(c − 0), soit e − 1 = e c. Donc
x
c
d
x
x 2
e − 1 − x = f (x) = (e − 1)x = e cx. Comme d 6 c 6 x, alors e − 1 − x 6 e x .
Cela donne une inégalité, mais il manque un facteur
1/2.
2. Nous allons obtenir l'inégalité par application du théorème de Rolle. Soit maintenant
2
f (t) = et − 1 − t − k t2 . Nous avons f (0) = 0, x > 0 étant xé, nous choisisons k tel
x
2
que f (x) = 0, (un tel k existe car e − 1 − x > 0 et x > 0). Comme f (0) = 0 = f (x)
0
0
t
alors par Rolle il existe c ∈]0, x[ tel que f (c) = 0. Mais f (t) = e − t − kt, donc
0
0
0
f (0) = 0. Maintenant f (0) = 0 = f (c) donc il existe (par Rolle toujours !) d ∈]0, c[ tel
00
00
t
00
d
que f (d) = 0. Or f (t) = e − k , donc f (d) = 0 donne k = e . Ainsi f (x) = 0 devient
x
x x2
x
d x2
e − 1 − x = e 2 . Comme d 6 x alors e − 1 − x 6 e 2 .
f 0 (x) = 2(1 − k)3 x + 3(1 + k)x2 , f 00 (x) = 2(1 − k)2 + 6(1 + k)x. Nous avons
f 0 (0) = 0 et f 00 (0) = 2(1 − k)3 . Donc si k 6= 1 alors 0 est un extremum local. Si k = 1 alors
f (x) = 2x3 et 0 n'est pas un extremum local.
Correction 728
Correction 733 f 0 (x) = 4x3 − 3x2 = x2 (4x − 3) donc les extremums sont dans {0, 34 }. Comme
f 00 (x) = 12x2 − 6x = 6x(2x − 1). Alors f 00 ne s'annule pas en 34 donc 34 donne un extremum
00
000
(minimum absolu). Par contre f (0) = 0 et f (0) 6= 0 donc 0 est un point d'inexion qui n'est
3
pas un extremum (même pas relatif, pensez à x ).
338
Correction 734
0
x
00
x
1. fλ (x) = λ + 2x, fλ (x) = λe + 2. Les points d'inexions sont les
00
racines de fλ , donc si λ > 0 il n'y a pas de point d'inexion, si λ < 0 alors il y a un point
d'inexion en xλ = ln(−2/λ).
00
0
2. Si λ > 0 alors fλ est toujours strictement positive, donc fλ est strictement croissante,
0
0
en −∞ fλ est négative, en +∞ fλ est positive donc il existe un unique réel yλ tel que
0
fλ (yλ ) = 0. fλ est décroissante sur ] − ∞, yλ ] et croissante sur [yλ , +∞[. Et en yλ nous
avons un extremum absolu.
λ < 0. Alors fλ00 s'annule seulement en xλ . fλ0 est croissante sur ] − ∞, xλ ]
0
0
et décroissante sur [xλ , +∞[. Donc fλ est des racines si et seulement si f (xλ ) > 0. Or
0
f (xλ ) = −2 + 2xλ .
0
00
000
(a) Si λ = −2/e alors fλ (xλ ) = 0. comme fλ (xλ ) = 0. et fλ ne s'annule pas. Alors xλ
3. Nous supposons
n'est pas un extremum local.
(b) Si
λ > −2/e
alors
fλ0 (xλ ) < 0
fλ0
donc
est négative donc
f
est strictement décrois-
sante. Il n'y a pas d'extremum local.
−2/e < λ < 0 alors fλ0 (xλ ) > 0. Donc fλ0 s'annule en deux points, une fois sur
]−∞, xλ [ et une sur ]xλ , +∞[. Ce sont des extremums locaux (minimum et maximum
(c) Si
respectivement).
Correction 738
1. Le théorème de Rolle dit que si
sur l'intervalle férmé
0
[a, b]
h : [a, b] −→ R est une fonction continue
]a, b[ alors il existe c ∈]a, b[ tel que
et dérivable sur l'ouvert
h (c) = 0.
2.
(b)
x0 ∈]a, b]
g(x0 ) = g(a). Alors en appliquant le théorème de Rolle à la restriction de g à l'intervalle [a, x0 ] (les hypothèses
0
étant clairement vériées), on en déduit qu'il existe c ∈]a, x0 [ tel que g (c) = 0, ce qui
contredit les hypothèses faites sur g. Par conséquent on a démontré que g(x) 6= g(a)
pour tout x ∈]a, b].
D'après la question précédente, on a en particulier g(b) 6= g(a) et donc p est un
nombre réel bien déni et h = f − p · g est alors une fonction continue sur [a, b] et
dérivable sur ]a, b[. Un calcul simple montre que h(a) = h(b). D'après le théorème de
0
Rolle il en résulte qu'il existe c ∈]a, b[ tel que h (c) = 0. Ce qui implique la relation
(a) Supposons par l'absurde, qu'il existe
tel que
requise.
x ∈]a, b[, on peut appliquer la question 2.b aux restrictions de f et g à
[x, b], on en déduit qu'il existe un point c(x) ∈]x, b[, dépendant de x tel
(c) Pour chaque
l'intervalle
que
f 0 (c(x))
f (x) − f (a)
= 0
.
g(x) − g(a)
g (c(x))
(∗)
Alors, comme
limite dans
(∗)
limx→b−
f 0 (t)
g 0 (t)
= `
et
limx→b− c(x) = b,
lim−
f (x) − f (a)
= `.
g(x) − g(a)
on en déduit en passant à la
que
x→b
Ce résultat est connu sous le nom de Théorème de l'Hôpital".
√
f (x) = Arccos x et g(x) = x2 − 1 pour x ∈ [0, 1]. Il est
0
clair que ces fonctions sont continues sur [0, 1] et dérivables sur ]0, 1[ et que f (x) = −1/
√
√
0
2
2
x − 1 et que g (x) = −x/ x − 1 6= 0 pour tout x ∈]0, 1[. En appliquant les résultats
3. Considérons les deux fonctions
de la question 2, on en déduit que
Arccos x
= 1.
lim− √
x→1
x2 − 1
339
Correction 739
1.
(a) Il est clair que la fonction
f
R+
est dérivable sur
puisque c'est une
fonction rationnelle sans pôle dans cet intervalle. De plus d'après la formule de la
dérivée d'un quotient, on obtient
f 0 (x) =
n(xn − 1)
, x > 0.
(1 + x)n+1
0
n+1
(b) Il résulte clairement de l'expression précédente que f (x) est du signe de x
−1
+
0
0
sur R . Par conséquent on obtient : f (x) 6 0 pour 0 6 x 6 1 et f (x) > 0 pour
x > 1. Il en résulte que f est décroissante sur [0, 1] et croissante sur [1, +∞[ et par
+
1−n
suite f atteint son minimum sur R au point 1 et ce minimum vaut f (1) = 2
.
2.
(a) Il résulte de la question 1.b que
f (x) > f (1)
pour tout
x ∈ R+
et donc
(1 + x)n 6 2n−1 (1 + xn ), ∀x ∈ R+ .
(b) En appliquant l'inégalité précédente avec
x = b/a,
on en déduit immédiatement
l'inégalité requise.
Correction 740
∗
1. f est dérivable sur R+ en tant que composée de fonctions dérivables, et
∗
sur R− car elle est nulle sur cet intervalle ; étudions donc la dérivabilité en 0.
On a
f (t) − f (0)
=
t
or
e1/t /t
tend vers 0 quand
t
(
e1/t /t
0
si t < 0
si t > 0
tend vers 0 par valeurs négatives. Donc
gauche et à droite en 0 et ces dérivées sont identiques, donc
2. On a
(
−e1/t /t2
f 0 (t) =
0
donc le taux d'accroissement de
f0
t
est dérivable à
0
est dérivable et f (0) = 0.
si t < 0
si t > 0
au voisinage de 0 est
f 0 (t) − f 0 (0)
=
t
et il tend vers 0 quand
f
f
(
−e1/t /t3
0
si t < 0
si t > 0
tend vers 0 par valeurs supérieures comme inférieures. Donc
f 00 (0) = 0.
f
admet une dérivée seconde en 0, et
3.
f 0 (t) = −e1/t /t2 , donc f 0 (t) = P1 (t)/t2 e1/t si on pose P1 (t) = 1.
00
1/t 4
Par ailleurs, f (t) = e
/t + e1/t (−2/t3 ) = 1−2t
e1/t donc la formule est vraie pour
t4
n = 2 en posant P2 (t) = 1 − 2t.
(a) On a déjà trouvé que
(b) Supposons que la formule est vraie au rang
n.
Alors
f (n) (t) =
Pn (t) 1/t
e d'où
t2n
Pn0 (t)t2n − Pn (t)(2n)t2n−1 1/t Pn (t) 1/t
e + 2n e (−1/t2 )
t4n
t
Pn0 (t)t2 − (2nt + 1)Pn (t) 1/t
=
e
t2(n+1)
f (n+1) (t) =
donc la formule est vraie au rang
n+1
avec
Pn+1 (t) = Pn0 (t)t2 − (2nt + 1)Pn (t).
340
4. Sur
R∗−
et sur
R∗+ f
est indéniment dérivable, donc il sut d'étudier ce qui se passe en
0.
Montrons par récurrence que
f
∀n ∈ N, f (n) = 0.
(n)
dérivable, et que f
= 0.
est indéniment dérivable en 0, et que
f
On sait que c'est vrai au rang 1. Supposons que
(n)
Alors le taux d'accroissement de f
en 0 est :
f (n) (t) − f (n) (0)
=
t
est
n-fois
(
Pn (t)e1/t /t2n
0
si t < 0
si t > 0
et sa limite est 0 quand t tend vers 0 par valeurs supérieures comme inférieures. Donc
f (n) est dérivable en 0, et f (n+1) (0) = 0. Donc l'hypothèse de récurrence est vériée au
rang
n + 1.
Par conséquent,
Correction 746
f
f
est de classe
C ∞.
a
0
f (a) = Arcsin a − √1−a
2 sur ]0, 1[, f (a) > 0 (faite le
croissante et f (0) = 0 donc f (a) > 0 pout tout a ∈]0, 1[.
1. Soit
est strictement
2
calcul !) donc
2
a
1
1+a
2a
0
g(a) = Arctan a − 1+a
2 alors g (a) = 1+a2 − (1+a2 )2 = (1+a2 )2 > 0 Donc g est strictement
croissante et g(0) = 0 donc g est strictement positive sur ]0, +∞[.
p
2
2
Correction
1. sin y = 1 − cos y donc sin y = ±
1 − cos2 y . Donc sin arccos
x =
√ 747
√
√
2
2
± 1 − cos arccos x = ± 1 − x et comme arccos x > 0 on a sin arccos x = + 1 − x2 .
√
2. De la même manière cos arcsin x = + 1 − x2 .
2.
1 + tan2 x = cos12 x =
calcule tan 3y en utilisant
3. On utilise
2
1
1
ce qui permet d'avoir sin x = 1 −
. Ensuite
1+tan2 x
1−sin2 x
deux fois la formule de tan(a + b) on trouve tan 3y =
on
3 tan y−(tan y)3
. Cela permet d'avoir
1−3(tan y)2
sin(3 arctan x) = 4
x
(1 +
x2 )3/2
−√
x
.
1 + x2
Correction 749
2
1. En prenant le sinus de l'équation Arcsin x = Arcsin
+ Arcsin 35 on
5
2
3
2
obtient x = sin(Arcsin + Arcsin ), donc x =
cos Arcsin 35 + 35 cos Arcsin 25 . En utilisant
5
5
5
q
√
√
3 21
24
3
21
8
2
la formule cos arcsin x = + 1 − x . On obtient x =
+
=
+
.
55
5
25
25
25
2. En prenant le cosinus de l'équation
2
on utilise la formule cos 2u = 2 cos
Arccos x = 2 Arccos 43 on obtient x = cos(2 Arccos 34 )
u − 1 et on arrive à : x = 2( 43 )2 − 1 = 18 .
3. En prenant la tangente et à l'aide de
tan(a + b) = · · ·
on obtient :
x = tan 2 Arctan 21 =
4
.
3
Correction 752
1. Soit f la fonction sur [−1, 1] dénie par f (x) = Arcsin x+Arccos x alors
f 0 (x) = 0 pour x ∈] − 1, 1[ donc f est une fonction constante sur [−1, 1] (car continue aux
π
π
extrémités). Or f (0) =
donc pour tout x ∈ [−1, 1],f (x) = .
2
2
1
2. Soit g(x) = Arctan x + Arctan , la fonction est dénie sur ] − ∞, 0[ et sur ]0, +∞[. On
x
0
a g (x) = 0 donc g est constante sur chacun des ses intervalle de dénition. g(x) = c1
π
sur ] − ∞, 0[ et g(x) = c2 sur ]0, +∞[. En calculant g(1) et g(−1) on obtient c1 = − et
2
π
c2 = + 2 .
Correction 758
1. Si f existe alors pour x = 1 on a f (ch 1) = e et pour x = −1 on
f (ch −1) = f (ch 1) = 1/e. Une fonction ne peut prendre deux valeurs diérentes au
même point (ici t = ch 1).
341
2. Notons
X = ex ,
l'équation devient
ex + e−x
1
1
f (X) =
= (X + ).
2
2
X
Comme la fonction exponentielle est une bijection de R sur ]0, +∞[, alors l'unique façon
1
1
de dénir f sur ]0, +∞[ est par la formule f (t) = (t + ).
2
t
x
3. Comme e est toujours non nul, alors f peut prendre n'importe quelle valeur en 0. f (0) =
c ∈ R et f (t) = 12 (t + 1t ) pour t > 0. Il y a une innité de solutions. Mais aucune de ces
solutions n'est continue car la limite de f (t) quand t > 0 et t → 0 est +∞.
Correction 759
1.
+∞ ;
2.
ln 2.
Réponses :
Correction 764
Soit
y
2
x = ln tan
+
1.
e +
ch x =
2
2. De même
3.
y
2
tan
1
ex
x
+
=
π
4
+
π
4
.
1
tan( y2 + π4 )
2
=
2 sin
y
2
+
π
4
1
cos
y
2
+
π
4
=
1
1
.
π =
sin(y + 2 )
cos(y)
sh x = tan y .
th x = sin y .
Correction 773
Donc
pour
2
1
x
f (x) = ln(1 + x) − x + x2 /2 alors f 0 (x) = 1+x
− 1 + x = 1+x
> 0.
strictement croissante sur [0, +∞[ et comme f (0) = 0 alors f (x) > f (0) = 0
1. Soit
f est
x > 0.
Ce qui donne l'inégalité recherchée.
g(x) = ex − x − 1, g 0 (x) = ex − 1. Sur [0, +∞[ g 0 (x) > 0 et g est croissante
0
sur ] − ∞, 0], g (x) 6 0 et g est décroissante. Comme g(0) = 0 alors pour tout x ∈ R
g(x) > 0.
2. De même avec
Correction 776
xy = y x ⇔ ey ln x = ex ln y ⇔ y ln x = x ln y ⇔
(la fonction exponentielle est bijective). Etudions la fonction
f 0 (x) =
ln x
ln y
=
x
y
f (x) =
ln x
sur
x
[1, +∞[.
1 − ln x
> 0,
x2
[e, +∞[. Donc pour z ∈]0, f (e) = 1/e[,
l'équation f (x) = z a exactement deux solutions, une dans ]1, e[ et une dans ]e, +∞[.
y
x
Revenons à l'équation x = y équivalente à f (x) = f (y). Prenons y un entier, si y = 1 alors
f (y) = z = 0 on doit donc résoude f (x) = 0 alors x = 1 ; si y = 2 alors il faut résoudre
ln 2
l'équation f (x) =
∈]0, 1/e[. Alors d'après l'étude précédente, il existe deux solutions une
2
ln 4
sur ]0, e[ qui est x = 2 ( !) et une sur ]e, +∞[ qui est 4, en eet
= ln22 . Soit 22 = 22 et
4
24 = 42 .
Si y > 3 alors y > e donc il y a une solution x de l'équation g(y) = g(y) dans ]e, +∞ qui x = y ,
et une solution dans l'intervalle ]1, e[. Mais comme x est un entier alors x = 2, cas que nous
donc
f
est croissante sur
[1, e]
et décroissante sur
avons déjà étudié.
Conclusion les couples d'entiers qui vérient l'équation
les couples
(2, 4)
et
(4, 2).
xy = y x
sont les couples
(x, y = x)
et
342
Correction 805 S =
π
.
(1 − λ2 )3/2
√
3πa
5π − 9 3 2
Correction 806 L =
, A1 =
a,
2
32
Correction 807 A = 4π 2 Rr, V = 2π 2 Rr 2 .
Correction 808 L = 8R,
A = 3πR2 ,
√
5π + 18 3 2
A2 =
a.
32
V1 = 5π 2 R3 ,
V2 = 6π 3 R3 ,
A1 =
16π 2 R2 .
Correction 809 L = 8(n+1)r = 8
128πR2
,
5
64πR3
.
3
V =
Correction 810 L = 4R
Correction 824
√
n+1
R,
n
2 + ln(1 +
A = π(n+1)(n+2)r2 = π
x3
2
2
x2
= x + x−2
+ x+2
. Primitives :
+ ln(x2 − 4)2
x2 −4
2
4x
4
8
8
4.
= x−2
+ (x−2)
2 . Primitives : 4 ln |x − 2| − x−2
(x−2)2
+ k.
(2x+1)
1
2
est un élément simple. Primitives : √ arctan √
+
x2 +x+1
3
3
√
√
− 2√
2√
1
1
1
√ 2 +
√ 2 +
.
6.
+
=
16(t+1− 2)
16(t+1+ 2)
(t2 +2t−1)2
8(t+1−
2)
8(t+1+ 2)
√
√
t+1
√2 + k .
Primitives : −
+ 162 ln t+1+
4(t2 +2t−1)
t+1− 2
3t+1
est un élément simple.
(t2 −2t+10)2
3
Primitives : −
+ 9(t22(t−1)
2(t2 −2t+10)
−2t+10)
+
2
27
+ k.
+ k.
5.
k.
arctan( t−1
) + k.
3
3t+1
3
est un élément simple. Primitives :
ln(t2 − 2t + 10) + 34
t2 −2t+10
2
1
1
1
9. 3
= 3(t+1)
− 3(t2t−2
. Primitives :
ln |t + 1| − 16 ln(t2 − t + 1)
t +1
−t+1)
3
8.
x3 +2
(x+1)2
11.
x+1
x(x−2)2
1
4x
(x2 −1)(x3 +3)
2x+2x2
−
arctan( t−1
) + k.
3
+
√1
3
√ ) + k.
arctan( 2t−1
3
3
x+1
+
1
x2
2 . Primitives : 2
(x+1)
− 2x + 3 ln |x + 1| −
1
x+1
1
4(x−2)
+
1
3
. Primitives :
4
2(x−2)2
ln |x| − 14 ln |x − 2| −
3
2(x−2)
=x−2+
=
+ k.
+ k.
3
3
x4
. Primitives :
− x6 + 3x
− 32 ln |x| + k .
2x
8
2
3(1−x)
1
1−x
1−x
x2
= 43 (x+1)
+ 43 (x
− 4(x
13.
2 +3) + 2 2
2 +3)3 .
(x2 +3)3 (x+1)
4 (x +3)2
x+3
1
2
√1
Primitives : − 2 2
− 3.22x−3
arctan( √x3 ) + 413 ln |x
5 (x2 +3) − 27 ln(x + 3) −
3 3 26
4 (x +3)2
12.
14.
x7 +x3 −4x−1
x(x2 +1)2
= 12 (x3 − x2 + 3) −
= x2 − 2 −
Primitives :
15.
S=
Résultats valables sur chaque intervalle du domaine de dénition.
3.
10.
(n + 1)(n + 2) 2
R ,
n2
A2 =
√ 2) .
1
1
1.
est un élément simple. Primitives :
arctan( xa ) + k .
x2 +a2
a
1
1
x
2.
est un élément simple. Primitives :
arctan x + 2(1+x
2)
2
(1+x2 )2
7.
64πR2
,
3
x3
3
− 2x −
1
x
x+4
+ (xx−6
2 +1)2 .
x2 +1
ln |x| + 12 ln(1 + x2 )
+
3x4 −9x3 +12x2 −11x+7
1
= (x−1)
3
(x−1)3 (x2 +1)
1/2
2
Primitives : −
+ x−1
(x−1)2
−
2
(x−1)2
+
3
x−1
+ arctan x −
−
6x+1
2(x2 +1)
+ k.
1
.
x2 +1
+ 3 ln |x − 1| − arctan x + k .
R 1 dx
1
Correction 825
1.
est un élément simple.
= √12 arctan √12 .
x2 +2
0 x2 +2
R 1/2 dx
1/2
1/2
1
2. Décomposition :
= x+1
− x−1
. Intégrale :
= ln 3.
1−x2
−1/2 1−x2
+ 1| + k .
343
2x + 1
3. Pas besoin de décomposer la fraction rationnelle, car
R 3 2x+1
dx = ln 3.
2 x2 +x−3
est la dérivée de
x2 + x − 3 !
x
4. On peut évidemment décomposer la fraction rationnelle en éléments simples :
=
x4 +16
√
√
2/8
2/8
√
− x2 +2x√2+4 , mais il est bien plus simple de faire le changement de variables
x2 −2x 2+4
R4
R 2 dx
π
x2 = u. Alors 0 xx4 +16
= 12 0 u2du
= 32
.
+16
x4 +6x3 −5x2 +3x−7
est
(x−4)3
163
507
565
x + 18 + x−4
+ (x−4)
2 + (x−4)3 ; les primitives sont
R
3 −5x2 +3x−7
3 4
x2
+ 18x − 1014x−3491
+ 163 ln |x − 4| + C . Enn, 0 x +6x(x−4)
dx = 5565
− 326 ln 2.
3
2
2(x−4)2
32
(x−2)4 (x+3) 1
1
1
1
1
Décomposition : 3
= 20(x+3) − 4(x−1) + 5(x−2) . Primitives : 20 ln (x−1)5 + C , d'où
x −7x+6
R0
dx
1
= 10
ln(27/4).
−2 x3 −7x+6
5. La décomposition de
6.
2x4 +3x3 +5x2 +17x+30
x3 +8
3
2
2
ln(x + 2) + 2 ln(x − 2x + 4) + √23
ln 7
6 + 7 ln 3−3
+ √23 arctan √23 .
2
2
2
= 2x+3+ x+2
+ x23x−1
. Les primitives sont : x +3x+
−2x+4
R
1 2x4 +3x3 +5x2 +17x+30
√ + C . Intégrale :
arctan x−1
dx =
x3 +8
−1
3
7. Décomposition :
8. Décomposition :
R3
4x2
2 x4 −1
9. La
4x2
x4 −1
dx = ln 32 +
2
x2 +1
2 arctan 17 .
décomposition
R0
x3 +2x+1
−1 x3 −3x+2
dx =
5
3
=
−
1
x+1
x3 +2x+1
x3 −3x+2
est
22
9
−
+
=
1
. Primitives :
x−1
4/3
(x−1)2
1 +
+
ln x−1
+ 2 arctan x + C ,
x+1 11/9
x−1
−
11/9
.
x+2
On
trouve
d'où
alors
ln 2.
2x8 +5x6 −12x5 +30x4 +36x2 +24
3
2
6
12x−16
est 4 + 2
− (x2 +2)
2 − (x2 +2)3 ; les prix4 (x2 +2)3
x
x +2
√
R
8
6
5 +30x4 +36x2 +24
2
1
2x+3
mitives sont − 3 +
+ 2 arctan √x2 + C . Enn 1 2x +5x −12x
dx =
x√
(x2 +2)2
x4 (x2 +2)3
√
37
+ 2 2 arctan 2 − √π2 .
72
10. La décomposition de
x2 +1 2x+5
= 2x+3
−
.
Primitives
:
ln
+
2
2
x2 +4 x +1 x +4
R
2 +6x+7
2 a
3 arctan x− 52 arctan x2 +C . Alors 0 −2x
dx = ln aa2 +1
+3 arctan a− 52 arctan a2 +2 ln 2.
x4 +5x2 +4
+4 R a −2x2 +6x+7
Enn lima→+∞
dx = π4 + 2 ln 2.
0 x4 +5x2 +4
−2x2 +6x+7
x4 +5x2 +4
11. Décomposition de la fraction rationnelle :
4
4
12. Pour factoriser le dénominateur, penser à faire x + 1 = x
√
√
1
√
√
alors 4
= x(x2 +x2+2)/4
− x(x2 −x2−2)/4
. Les primitives s'écrivent
x +1
2+1
2+1
1
√
4 2
ce qui donne
Correction 832
R2
ln
√
x2 +x√2+1
2
x −x 2+1
dx
0 x4 +1
=
4
1
√
+
1
√
2 2
+ 2x2 + 1 − 2x2 ;
√
on trouve
√
arctan(x 2 + 1) + arctan(x 2 − 1) + C
ln 33+20
17
2
√
2
+
1
√
2 2
1. Changement de variable
√
π − arctan 2 3 2
u = sin2 x
.
(ou d'abord
u = sin x) ; esin
2
x
+ C.
2. Deux méthodes : changement de variable u = sin t (ou u = sinh t), ou linéarisation.
1
1
5
(15 sin t − 10 sin3 t + 3 sin5 t) + C ou 80
sin 5t + 48
sin 3t + 58 sin t + C ;
15
3
1
sinh t + 13 sinh t + C ou 12
sinh 3t + 34 sinh t + C ;
1
1
(sin 4t + 8 sin 2t + 12t) + C ; 32
(sinh 4t − 8 sinh 2t + 12t) + C .
32
3
2
x
3. Intégrations par parties : (x − 3x + 6x − 6)e + C .
4. Intégration par parties :
x ln x − x + C ;
x2
2
ln x −
x2
4
+ C ; x arcsin x +
√
1 − x2 + C .
1
(sinh t sin t − cosh t cos t) + C .
2
x
x
6. Changement de variable t = tan ; lntan + C sur chaque intervalle. . .
2
2
5. Intégrations par parties :
344
7. Changement de variable
8. Changement de variable
√
2
x = a sin u ; a2 arcsin xa + x2 a2 − x2 + C .
√
u = ex ; 32 ex + 1(ex − 2) + C .
1
ax
9. Intégrations par parties : 2 2 e (a cos bx + b sin bx) + C ;
a +b
1
eax (−b cos bx + a sin bx) + C .
a2 +b2
p x
p x
p x
10. Changement de variable t =
; 2
− 2 arctan 1−x
1−x
1−x
11. Changement de variable
√
+ C.
t = arcsin x ; 12 (arcsin x − x 1 − x2 ) + C .
u = tan x2 , t = 1+u ; arctan(tan x2 +1)+C sur chaque intervalle. . .
Mais, au fait, ne cherchait-on pas une primitive sur R ?
q
3
3
2 2
Changement de variable x = u ;
arcsin xa3 + C .
3
12. Changements de variable
13.
14. Multiplier et diviser par
x
2
−
e−2x
4
cosh x − sinh x,
ou passer en
ex ;
x
2
+
sinh 2x
4
−
cosh 2x
4
+C
ou
+ C.
Correction 847
x ∈]0, ∞[.
1. On cherche une solution particulière de (E), de la forme
Alors en injectant
y(x)
dans (E) on a
a−
a2 = 9.
]0, ∞[.
donc
On prend donc
y(x) = ax pour
ax
− a2 x2 = −9x2
x
y0 (x) = 3x
comme solution particulière de (E) dénie sur
1
y(x) = y0 (x) − z(x)
où z est une
1
y0 (x) = 3x donc y(x) = 3x − z(x) . On calcule les
2. On fait le changement de fonction inconnue suivant :
fonction dénie sur
dérivées et le carré
]0, ∞[ à trouver. Ici
de y(x) pour l'injecter
y 0 (x) = 3 +
z 0 (x)
z 2 (x)
et
dans (E) : On a
y 2 (x) = 9x2 −
6x
1
+ 2 ,
z(x) z (x)
donc en injectant dans (E) on a
3+
1
6x
1
z 0 (x)
−3+
− 9x2 +
− 2
= 9x2 ,
2
z (x)
xz(x)
z(x) z (x)
d'où en simpliant et en arrangeant on a :
(E1)
Correction 851
z 0 (x) + 6x +
Les primitives de la fonction
1
z(x) = 1.
x
a(x) = 2x sont les fonctions A(x) = x2 /2 + k
où
k ∈ R est une constante réelle quelconque. Donc les solutions de l'équation homogène associée
−x2
à E sont toutes les fonctions dénies sur R du type : y(x) = ce
où c ∈ R est une constante
−x2
arbitraire. On cherche maintenant une solution particulière de E sous la forme yp (x) = c(x)e
(méthode de la variation de la constante). On a :
2
yp0 (x) + 2xyp (x) = c0 (x)e−x . Donc yp est solution de
2
c0 (x) = xex pour
x2
tout x ∈ R. On choisit la fonction c parmi les primitives de la fonction xe , par exemple :
2
2
2
c(x) = 1/2ex . Donc la fonction yp telle que yp (x) = 1/2ex e−x = 1/2 est solution de E .
Par conséquent les solutions de E sont toutes les fonctions de la forme :
2
y(x) = ce−x +
Pour
y
solution de
E1 ,
la condition
y(0) = 1
E
si et seulement si :
1
c ∈ R.
2
équivaut à :
c = 1/2.
345
Correction 863 y 00 − 3y 0 + 2y = ex . Le polynôme caractéristique est f (r) = (r − 1)(r − 2) et
les solutions de l'équation homogène sont donc toutes les fonctions :
y(x) = c1 ex + c2 e2x
avec
c1 , c2 ∈ R.
x
On cherche une solution particulière de la forme yp (x) = P (x)e , on est dans la situation (ıı)
00
0
la condition (∗) sur P est : P − P = 1, et P (x) = −x convient. Les solutions de l'équation
sont donc les fonctions :
y(x) = (c1 − x)ex + c2 e2x
avec
c1 , c2 ∈ R.
Correction 864 y 00 − y = −6 cos x + 2x sin x. Ici f (r) = (r − 1)(r + 1) et l'équation homogène
a pour solutions :
y(x) = c1 ex + c2 e−x
avec
c1 , c2 ∈ R.
00
vérie l'équation : y − y = −6 cos x, il nous reste donc
00
à chercher une solution y1 de l'équation y − y = 2x sin x, car yp (x) = 3 cos x + y1 (x) sera
ix
une solution de l'équation consid¯ée. Pour cela, on remarque que 2x sin x = Im(2xe ) et on
00
ix
utilise la méthode décrite plus haut pour trouver une solution z1 de l'équation : y − y = 2xe .
ix
On cherche z1 sous la forme P (x)e
où P est un polynôme de degré 1 car f (i) = −2 6= 0.
0
0
On a f (i) = 2i, la condition (∗) sur P est donc : 2iP (x) − 2P (x) = 2x ce qui donne après
ix
identication P (x) = −x − i. Alors y1 (x) = Im((−x + i)e ) = −x sin x − cos x. Les solutions
On remarque que la fonction
3 cos x
sont par conséquent les fonctions :
y(x) = c1 ex + c2 e−x + 2 cos x − x sin x
Autre méthode pour trouver une solution de
y1 (x) = A(x) sin x + B(x) cos x
où
A, B
avec
c1 , c2 ∈ R.
y 00 − y = 2x sin x
: On la cherche de la forme
i n'est pas racine
Q(x) sin(βx)eαx la
sont des polynômes de degré 1 car
de l'équation caractéristique ( danger : pour un second membre du type
00
0
discussion porte sur α + iβ et non sur α ou β ...). On calcule y1 , y1 et on applique l'équation
étudiée à y1 . . .on obtient la condition :
(A00 − A − 2B 0 ) sin x + (B 00 − B − 2A0 ) = 2x sin x
A00 − A − 2B 0 = 2x
.
B 00 − B − 2A0 = 0
On écrit : A(x) = ax + b et B(x) = cx + d,
b = c = 0, ce qui détermine y1 .
qui sera réalisée si :
après identication on obtient :
a = d = −1,
Correction 865 4y 00 + 4y 0 + 5y = sin xe−x/2 . L'équation caractéristique a 2 racines complexes
r1 = −1/2 + i
et
r2 = r1
et les solutions de l'équation homogène sont :
y(x) = e−x/2 (c1 cos x + c2 sin x)
On a
avec
c 1 , c2 ∈ R
sin xe−x/2 = Im(e(−1/2+i)x ),
on commence donc par chercher une solution zp de l'équation
e(−1/2+i)x .Comme −1/2 + i est racine de l'équation caractériszp (x) = P (x)e(−1/2+i)x avec P de degré 1. Par conséquent la condition (∗)
avec le nouveau second membre
tique, on cherchera
sur
P
:
4P 00 + f 0 (−1/2 + i)P 0 + f (−1/2 + i)P = 1
8iP 0 = 1 ( P 00 = 0, f (−1/2 + i) = 0 et f 0 (−1/2 + i) = 8i), on peut donc
(−1/2+i)x
prendre P (x) = −i/8x et zp (x) = −i/8xe
, par conséquent sa partie imaginaire yp (x) =
(−1/2+i)x
−x/2
Im(−i/8xe
) = 1/8x sin xe
est une solution de notre équation. Les solutions sont
s'écrit ici :
donc toutes les fonctions de la forme :
y(x) = e−x/2 (c1 cos x + (c2 + 1/8x) sin x)
avec
c1 , c2 ∈ R.
346
Correction 866
1. Le polynôme caractéristique associé à
discriminant est
√
−1 − i 3.
∆ = −12
E
est :
et il a pour racines les 2 nombres
p(x) = x2 + 2x + 4√; son
complexes −1 + i 3 et
Les solutions de l'équation homogène sont donc toutes fonctions :
√
√
y(x) = e−x (a cos 3x + b sin 3x)
obtenues lorsque
a, b
décrivent
R.
eλx Q(x) avec λ = 1 et Q(x) = x. On cherchera une
x
solution de l'équation sous la forme : yp (x) = R(x)e avec R polynôme de degré égal à
celui de Q puisque p(1) 6= 0. On pose donc R(x) = ax + b. On a
2. Le second membre est de la forme
yp00 (x) + 2yp0 (x) + 4yp (x) = (7ax + 7b + 4a)ex .
Donc
yp
est solution si et seulement si
des coecients :
a=
La fonction
de
E
3. Soit
4.
est :
h
yp (x) = 17 (x − 47 )ex
1
7
7ax + 7a + 4b = x.
b=
et
est donc solution de
−4
.
49
E et
On trouve après identication
la forme générale des solutions
√
√
1
4
y(x) = e−x (a cos 3x + b sin 3x) + (x − )ex ; a, b ∈ R.
7
7
solution de E . Les conditions h(0) = 1, h(1) = 0 sont réalisées ssi
√
53
53 cos 3 + 3e2
√
a=
et
b=−
.
49
49 sin 3
une
(a) On a :
g 0 (x) = ex f 0 (ex )
et
g 00 (x) = ex f 0 (ex ) + e2x f 00 (ex )
d'où pour tout
x∈R
:
g 00 (x) + 2g 0 (x) + 4g(x) = e2x f 00 (ex ) + 2ex f 0 (ex ) + 4f (ex ) = ex log ex = xex
donc
g
est solution de
(b) Réciproquement pour
E.
f (t) = g(log t) où g
est une solution de
E
on montre que
2 fois dérivable et vérie l'équation donnée en 4. Donc les fonctions
f
f
est
recherchées
sont de la forme :
√
√
t
4
1
(a cos ( 3 log t) + b sin ( 3 log t)) + (log t − ) ; a, b ∈ R.
t
7
7
Correction 872
1. L'équation caractéristique
r2 − 4r + 4 = 0
a une racine (double)
r=2
donc les solutions de l'équation homogène sont les fonctions :
y(x) = (c1 x + c2 )e2x
où
c1 , c2 ∈ R.
d(x) = e−2x on peut chercher une solution particulière de la forme : y1 (x) = ae−2x car
−2 n'est pas racine de l'équation caractéristique. On a y10 (x) = −2e−2x et y100 (x) = 4ae−2x .
Par conséquent y1 est solution si et seulement si :
2. Pour
∀x ∈ R (4a − 4(−2a) + 4a)e−2x = e−2x
1
donc si et seulement si a =
.
16
2x
2 2x
Pour d(x) = e
on cherche une solution de la forme y2 (x) = ax e , car 2 est racine
0
2 2x
00
double de l'équation caractéristique. On a y2 (x) = (2ax + 2ax )e
et y2 (x) = (2a + 4ax +
4ax + 4ax2 )e2x = (4ax2 + 8ax + 2a)e2x . Alors y2 est solution si et seulement si
∀x ∈ R (4ax2 + 8ax + 2a − 4(2ax + 2ax2 ) + 4ax2 )e2x = e2x
donc si et seulement si
a=
1
.
2
347
3. On déduit du principe de superposition que la fonction
1
1
1
yp (x) = (y1 (x) + y2 (x)) = e−2x + x2 e2x
4
64
8
est solution de l'équation pour le second membre donné dans cette question, et la forme
générale des solutions est alors :
y(x) = (c1 x + c2 )e2x +
1 −2x 1 2 2x
e
+ xe
64
8
où
c1 , c2 ∈ R.
Correction 880
Réponse :
Correction 881
Réponse :
1
2
Correction 884
Réponse :
x→
Correction 885
Réponse :
x → λx sinh x + µx cosh x, (λ, µ) ∈ R2 .
Correction 886
(a)
(b)
(c)
1.
E1
x
(λx + µ) e−x + e25 [(3x − 4) cos x − (4x − 2) sin x]+(sin x − x cos x) e−x .
(−x cos x + sin x) + λ cos x + µ sinh x.
λx+µ
√
, (λ, µ)
1+x2
∈ R2 .
est un sous-espace vectoriel de
R3 .
En eet :
0 0 0 ∈ E1 .
0
y 0 z 0 deux éléments de E1 . On a donc x+y−z = x+y+z =
Soient x y z et x
0 et x0 + y 0 − z 0 = x0 + y 0 + z 0 = 0. Donc
(x + x0 ) +
(y + y 0 ) − (z + z 0 ) = (x + x0 ) +
(y + y 0 ) + (z + z 0 ) = 0 et x y z + x0 y 0 z 0 = (x + x0 ) (y + y 0 ) (z + z 0 )
appartient à E1 .
Soient λ ∈ R et x y z ∈ E1 . Alors la relation x + y − z = x + y + z = 0 implique
que λx+λy−λz = λx+λy+λz = 0 donc que λ x y z = λx λy λz appartient
à E1 .
F1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+y+z = 0}. F1 est un plan passant par l'origine donc F1 est
3
3
un sous-espace vectoriel de R . On a les inclusions strictes : {0} ⊂ E1 et E1 ⊂ F1 ⊂ R .
Par la première on obtient 0 < dim (E1 ), par la seconde dim (F1 ) < 3 puis dim (E1 ) < 2
c'est à dire dim (E1 ) = 1.
Posons
2.
3.
4.
3
E2 = {(x, y, z) ∈ R3; x2 − z 2 = 0}
c'est à dire E2 = {(x, y, z) ∈ R ; x = z ou x =
−z}. Donc
1 0 −1 et 1 0 1 appartiennent à E1 mais 1 0 −1 + 1 0 1 =
2 0 0 n'appartient pas à E1 qui n'est en conséquence pas un sous-espace vectoriel de
R3 .
0 0 0 ∈
/ E3 donc E3 n'est pas un sous-espace vectoriel de R3 .
Les vecteurs 1 0 0 et 0 0 1 appartiennent à E4 mais leur somme 1 0 0 +
0 0 1 = 1 0 1 ne lui appartient pas donc E4 n'est pas un sous-espace vectoriel
3
de R .
Correction 888
E1 : non si a 6= 0 car alors 0 ∈
/ E1 ; oui, si a = 0 car alors E1 est l'intersection
3
3
des sous-espaces vectoriels {(x, y, z) ∈ R ; x + y = 0} et {(x, y, z) ∈ R ; x = 0}.
E2 est un sous-espace vectoriel de F(R, R).
E3 : non, car la fonction nulle n'appartient pas à E3 .
E4 : non car le polynôme nul n'appartient pas à E4 .
E5 : non, en fait E5 n'est même pas un sous-groupe de (R2 , +) car (2, 0) ∈ E5 mais −(2, 0) =
(−2, 0) ∈
/ E5 .
Correction 908
et
Y ⊂ X .Dans
Pour que deux ensembles
X
et
Y
soient égaux, il faut et il sut que
X⊂Y
le cas des espaces vectoriels de dimension nie, la situation est un peu plus
simple : pour que
E=F
il faut et il sut que
F ⊂E
et dim
(E) =
dim
(F ).
Appliquons ce
348
critère :
E
est engendré par deux vecteurs donc dim
(E) 6 2. Les deux vecteurs

  
2
1
 3  , −1
−1
−2
(E) > 2 c'est
 à dire dim
 (E)
 =2. Un
 raisonnement
 
3
2
1
5
les égalités 7 = 2  3  − −1 et  0  =
0
−1
−2
−7
sont linéairement indépendants donc dim
identique montre dim


 
2
1
 3  + 3 −1
−1
−2
(F ) = 2.
Enn,
montrent que
Correction 914 v ∈
F ⊂E
c'est à dire
Vect(e1 , e2 ) est équivalent à l'existence de deux réels
λe1 + µe2 .
Alors (−2, x, y, 3) = λ(1, −1, 1, 2) + µ(−1, 2, 3, 1)

−2



x

y



3
=λ−µ
= −λ + 2µ
= λ + 3µ
= 2λ + µ
Le couple qui convient est donc
Correction 916
E = F.
tels que
v =
est équivalent à

λ



µ

x



y
⇔
= 1/3
= 7/3
.
= 13/3
= 22/3
(x, y) = (13/3, 22/3).
À partir de la famille
ne correspond qu'à un nombre
λ, µ
ni
(fα )α∈R
nous considérons une combinaison linéaire (qui
de termes).
α1 , . . . , αn des réels distincts, considérons
La famille (nie) : (fαi )i=1,... ,n . Supposons qu'il
Pn
existe des réels λ1 , . . . , λn tels que
λ
f
=
0. Cela signie que, quelque soit x ∈ R, alors
i=1 i αi
Pn
i=1 λi fαi (x) = 0 ; en particulier pour x = αj l'égalité devient λj = 0 car fαi (αj ) vaut 0 si i 6= j
et 1 si i = j . En appliquant le raisonnement ci-dessus pour j = 1 jusqu'à j = n on obtient :
Soit
λj = 0, j = 1, . . . , n.
Correction 923
ou
Donc la famille
est une famille libre.
F sont Les fonctions h qui vérient
h(0) 6= 0
h (0) 6= 0. Par exemple les fonctions constantes x 7→ b, (b ∈ R), ou les homothéties
x 7→ ax, (a ∈ R) n'appartiennent pas à F .
Les fonctions de
E
(fα )α
qui ne sont pas dans
0
Posons
G = x 7→ ax + b; (a, b) ∈ R2 .
G est un supplémentaire de F dans E .
f ∈ F ∩ G alors f (x) = ax + b (car f ∈ G) et f (0) = b et f 0 (0) = a ; mais f ∈ F donc
f (0) = 0 donc b = 0 et f 0 (0) = 0 donc a = 0. Maintenant f est la fonction nulle : F ∩ G = {0}.
0
Soit h ∈ E , alors remarquons que pour f (x) = h(x)−h(0)−h (0)x la fonction f vérie f (0) = 0
0
et f (0) = 0 donc f ∈ F . Si nous écrivons l'égalité diéremment nous obtenons
Montrons que
Soit
h(x) = f (x) + h(0) + h0 (0)x.
Posons
g(x) = h(0) + h0 (0)x,
alors la fonction
g∈G
et
h = f + g,
ce qui prouve que toute fonction de
fonction de
E
s'écrit comme somme d'une fonction de
G : E = F + G.
En conclusion nous avons montrer que
E = F ⊕ G.
F
et d'une
349
Correction 930
n−1
Montrons que la famille {x, . . . , ϕ
(x)} est libre. Soient λ0 , . . . , λn−1 ∈ R
n−1
n−1
tels que λ0 x + · · · + λn−1 ϕ
(x) = 0. Alors : ϕ (λ0 x + · · · + λn−1 ϕn−1 (x)) = 0. Mais comme
n
n−1
de plus ϕ = 0, on a l'égalité ϕ
(λ0 x + · · · + λn−1 ϕn−1 (x)) = ϕn−1 (λ0 x) + ϕn (λ1 x + · · · +
λn−1 ϕn−2 (x)) = λ0 ϕn−1 (x). Comme ϕn−1 (x) 6= 0 on obtient λ0 = 0.
n−2
En calculant ensuite ϕ
(λ1 ϕ(x) + · · · + λn−1 ϕn−1 (x)) on obtient λ1 = 0 puis, de proche en
n−1
proche, λn−1 = · · · = λ0 = 0. La famille {x, . . . , ϕ
(x)} est donc libre. Elle compte n vecteurs.
(E) = n
Comme dim
elle est libre maximale et forme donc une base de
E.
Correction 941
Montrons ceci par récurence : Pour n = 1, l'assertion est triviale : x ∈
/ ker ϕ ⇒
Supposons que si x ∈
/ ker ϕ alors ϕn−1 (x) 6= 0, (n > 2). Fixons x ∈
/ ker ϕ, Alors par
n−1
hypothèses de récurrence ϕ
(x) 6= 0, mais ϕn−1 (x) = ϕ(ϕn−2 (x)) ∈ Im ϕ donc ϕn−1 (x) ∈
/ ker ϕ
n−1
grâce à l'hypothèse sur ϕ. Ainsi ϕ(ϕ
(x)) 6= 0, soit ϕn (x) 6= 0. Ce qui termine la récurrence.
ϕ(x) 6= 0.
Correction 943
(i) ⇒ (ii) Supposons ker f = Im f . Soit x ∈ E , alors f (x) ∈ Im f donc
f (x) ∈ ker f , cela entraine f (f (x)) = 0 ; donc f 2 = 0. De plus d'après la formule du rang
dim ker f + rg f = n, mais dim ker f = dim Im f = rg f , ainsi 2 rg f = n.
2
(ii) ⇒ (i) Si f
= 0 alors Im f ⊂ ker f car pour y ∈ Im f il existe x tel que y = f (x) et
2
f (y) = f (x) = 0. De plus si 2 rg f = n alors par la formule Du rang dim ker f = rg f
c'est-à-dire dim ker f = dim Im f . Nous savons donc que Im f est inclus dans ker f mais ces
espaces sont de même de dimension donc sont égaux : ker f = Im f .
Correction 949
Pour montrer l'égalité
ker f ∩ Im f = f (ker f 2 ),
nous montrons la double
inclusion.
y ∈ ker f ∩ Im f , alors f (y) = 0 et il existe x tel que y = f (x). De plus f 2 (x) = f (f (x)) =
f (y) = 0 donc x ∈ ker f 2 . Comme y = f (x) alors y ∈ f (ker f 2 ). Donc ker f ∩ Im f ⊂ f (ker f 2 ).
2
2
Pour l'autre inclusion, nous avons déjà que f (ker f ) ⊂ f (E) = Im f . De plus f (ker f ) ⊂ ker f ,
2
2
2
car si y ∈ f (ker f ) il existe x ∈ ker f tel que y = f (x), et f (x) = 0 implique f (y) = 0 donc
y ∈ ker f . Par conséquent f (ker f 2 ) ⊂ ker f ∩ Im f .
Soit
Correction 963
ϕ est un isomorphisme, l'image de toute base de E
B = {e1 , . . . , en } une base de E et nommons B 0 la famille
1. Montrons que si
F
{ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en )}.
est une base de
: soit
(a)
B0
(b)
B 0 est génératrice. Soit y ∈ F . Comme ϕ est surjective, il existe x ∈ E tel que
y = ϕ(x). Comme B est génératrice, on peut choisir λ1 , · · · , λn ∈ R tels que x =
λ1 e1 + · · · + λn en . Alors y = λ1 ϕ(e1 ) + · · · + λn ϕ(en ).
λ1 , . . . , λn ∈ R tels que λ1 ϕ(e1 ) + · · · + λn ϕ(en ) = 0.
Alors ϕ(λ1 e1 + · · · + λn en ) = 0 donc, comme ϕ est injective, λ1 e1 + · · · + λn en = 0
puis, comme B est libre, λ1 = · · · = λn = 0.
est libre. Soient en eet
2. Supposons que l'image par ϕ de toute base de E soit une base
0
une base de E et B la base {ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en )}.
(a) Im
(ϕ)
contient
(b) Soit maintenant
B0
qui est une partie génératrice de
F.
F . Soient B = {e1 , . . . , en }
Donc
ϕ
est surjective.
x ∈ E tel que ϕ(x) = 0. Comme B est une base, il existe λ1 , . . . , λn ∈
+ λn en . Alors ϕ(x) = 0 = λ1 ϕ(e1 ) + · · · + λn ϕ(en ) donc
· · · = λn = 0. En conséquence si ϕ(x) = 0 alors x = 0 : ϕ
tels que x = λ1 e1 + · · ·
0
puisque B est libre : λ1 =
R
est injective.
Correction 979
une base de
R3 .
det


     
1 −1 1
1
−1
1
1 1
0  = 3 6= 0 donc la famille B = {1 ,  1  ,  0 } est
1 0 −1
1
0
−1
350
 
 
 
 
1
1
−1
1
0 = 1 1 − 1  1  + 1  0 . Ses coordonnées dans B sont donc (1/3, −1/3, 1/3).
3
3
3
0
1
0
 
 
 
−1
0
1
−1
1
0 = 1 1 − 1  1  − 2  0 . Ses coordonnées dans B sont donc (1/3, −1/3, −2/3).
3
3
3
1
1
0
−1
     
1
1
0
0 = 0 + 0. Donc ses coordonnées dans B sont (2/3, −2/3, −1/3).
1
0
1
Correction 1019 E est engendré par trois vecteurs et F
(E) 6 3
est engendré par deux vecteurs. Donc
(F ) 6 2.Clairement
 e4 et e5 ne sont pas liés donc dim (F ) > 2 c'est à
1 1 2
dire dim (F ) = 2. Enn, det 2 1 1 = −1 6= 0. La famille {e1 , e2 , e3 } est donc libre, soit
3 1 1
dim (E) > 3 i.e. dim (E) = 3.
E ∩ F ⊂ F donc dim (E ∩ F ) 6 2. De plus : dim (E + F ) = dim (E) + dim (F ) − dim (E ∩ F ).
5
Comme E + F ⊂ R , on a dim (E + F ) 6 5 d'où on tire l'inégalité 1 > dim (E ∩ F ). Donc soit
dim (E ∩ F ) = 1 soit dim (E ∩ F ) = 2.
Supposons que dim (E ∩ F ) soit égale à 2. Comme E ∩ F ⊂ F on aurait dans ce cas E ∩ F = F .
En particulier il existerait α, β, γ ∈ R tels que e4 = αe1 + βe2 + γe3 . On vérie aisément que ce
n'est pas le cas, donc que dim (E ∩ F ) n'est pas égale à 2.
On peut donc conclure : dim (E ∩ F ) = 1 puis dim (E + F ) = 4.
dim
et dim
Correction 1052
A3 − A = 4I . Donc A × 41 (A2 − I) = I , ainsi A est inversible


2 −4 2
1
1
= (A2 − I) = 1 −2 −1 .
4
4
1 2 −1
Un calcul donne
et
A−1
Correction 1053
A=
0 1
,
0 0
B=
1 0
.
0 0


a 0 c
Correction 1056 Montrons que E est un sous-espace vectoriel de Mn (R). Soient M = 0 b 0
 0


c 0 a
0
0
0
a 0 c
a+a
0
c+c
0
0
0  deux éléments de E . Alors M + M 0 =  0
b + b0
0  ∈ E.
et M =  0 b
0
0
0
c 0 a
c+c
0
a + a0


λa 0 λc
λb 0  appartient à E , tout comme la matrice 0. Donc E est
Pour tout λ ∈ R λM =  0
λc 0 λa
un sous-espace vectoriel de Mn (R).



 
 

a 0 c
1 0 0
0 0 0
0 0 1
Soit M = 0 b 0 un élément de E . Alors M = a 0 0 0 +b 0 1 0 +c 0 0 0.
c 
0 a
0 0 0
1 0 0



0 0 1 
1 0 0
0 0 0
0 0 1





0 0 0 , M2 = 0 1 0 , M3 = 0 0 0. Les matrices M1 , M2 et M3
Posons M1 =
0 0 1
0 0 0
1 0 0
appartiennent à E et la relation qui précéde montre que elles engendrent E . D'autre part, si
351




α 0 γ
0 0 0
αM1 + βM2 + γM3 = 0, alors  0 β 0  = 0 0 0 donc α = β = γ = 0.
γ 0 α
0 0 0
{M1 , M2 , M3 } est libre et engendre E . C'est une base de E .
Correction 1057 F
La famille
M2 (R) donc dim
, 4}. Comme
(F )∈ {0, . . . 0 0
0 1
(F ) 6= 4. D'autre part les matrices M1 =
, M2 =
, M3 =
0 0
1 0
est un sous espace vectoriel de
F =
6 M2 (R) on a aussi dim
1 0
appartiennent à F et sont linéairement indépendantes. En eet, si αM1 +βM2 +γM3 =
0 −1 γ α
0 0
0 alors
=
c'est à dire α = β = γ = 0. Donc dim (F ) > 3 c'est à dire
β −γ
0 0
dim (F ) = 3. Enn {M1 , M2 , M3 } est une famille libre de trois vecteurs dans F qui est un
espace de dimension 3. C'est donc une base de F .
−9 −18
Correction 1080
1. A =
6
12
n
2. Un = A U0
−2
3. C'est la droite engendrée par
. Le rang est 1.
1
−3
4. C'est la droite engendrée par
.
2
5. Ce sont deux vecteurs non colinéaires. On a
P
6. On a
A = P DP
−1
donc
n
−1
AP = D =
n
−1
A = PD P
=
3 0
0 0
−3n+1 −2 · 3n+1
2 · 3n
4 · 3n
7. Donc
n x = −137 · 3n+1 − 36 · 3n+1
n
yn =
274(3n ) + 72 · 3n
 
 
 
 
1
3
α
β







Correction 1098 Posons : e1 = 2 , e2 = −1 , e3,α = 2 , e4,β = 1 . Notons ϕα,β
−1
1
2
0
l'application linéaire associée à Mα,β et F = Vect {e1 , e2 }. Par dénition de la matrice associée
à une application linéaire, Im (ϕα,β ) = Vect {e1 , e2 , e3,α , e4,β }. En particulier, F ⊂ Im (ϕα,β ).
Comme e1 et e2 sont linéairement indépendants, rg (ϕα,β ) > 2. Ainsi ϕα,β est surjective si
et seulement si l'un des deux vecteurs e3,α ou e4,β n'appartient pas à F . En ce cas en eet,
3
0
0
rg(ϕα,β ) = 3 = dim R . Or e3,α et e4,β appartiennent à F si et seulement si il existe λ, λ , µ, µ ∈
R tels que : e3,α = λe1 + µe2 et e4,β = λ0 e1 + µ0 e2 . Un petit calcul montre donc que ϕα,β n'est
pas surjective si et seulement si α = 22 et β = 4. Donc ϕα,β est surjective si et seulement si
α 6= 22 ou β 6= 4.
Correction 1100 L(E)
2
est isomorphe à Mn (R) donc est de dimension nie n . La famille
{idE , ϕ, . . . , ϕ } compte n2 + 1 vecteurs donc est liée c'est à dire : il existe λ0 , . . . , λn2 dans
2
R, non tous nuls et tels que λ0 idE + λ1 ϕ + · · · + λn2 ϕn = 0. Le polynôme P (X) = λ0 + λ1 X +
2
· · · + λn2 X n répond donc à la question.
n2
352
Correction 1151
n = 2, n = 4 les matrice suivantes
0 −1
J (0)
0
J=
,
J =
.
1 0
(0) J
1. Dans le cas
conviennent :
2. Supposons qu'un tel morphisme existe. Soit J sa matrice pour une base xée. Alors
J 2 = −In où In est la matrice identité de taille n. En termes de déterminant nous avons :
det(J 2 ) = det In , ce qui s'écrit (det J)2 = (−1)n . Donc n est pair car (det J)2 est positif.
Correction 1157
Soit


0
a b
A = −a 0 c  ,
−b −c 0
Alors
det A = 0,
det B = a2
mais
est non nul si
B=
0 a
.
−a 0
a 6= 0.
Correction 1166 (S1 ) : solution unique si m 6= 4, impossible sinon. (S2 ) : solution unique si
2
m2 6= 1/2,
innité sinon.
Correction 1167 (S1 ) : a = b ou b = c ou c = a.
(S2 ) : 2abc + bc + ca + ab = 1.
Correction 1168 (S1 ) : solution unique quels que soient b1 , b2 , b3 , b4 .
(S2 )
(S3 )
(S4 )
b2 = b1 + b3 .
b1 + b2 − 2b4 = 0 et 2b1 − b3 − 2b4 = 0.
b2 = −2b1 et b3 = −b1 et b4 = 3b1 .
: solutions si
: solutions si
: solutions si
Correction 1169
Si
Si
Solution unique si λ 6= 0 et λ 6= −4.
λ = −4, pas de solution si a + b + c + d 6= 0, innité sinon.
λ = 0, pas de solution si a 6= b ou a 6= c ou a 6= d, innité sinon.
Correction 1170
solution si
a + 1 6= 0,
Correction 1202
λ2 + λ − 2 6= 0 (λ 6= 1 et λ 6= −2).
solutions sinon. Si λ = −2, solution unique.
Pas de solution si
innité de
Si
λ = 1,
pas de
L'équation caractéristique est :
r2 − r − 1 = 0
√
dont les solution sont
λ=
1− 5
et
2
µ=
√
1+ 5
. Donc
2
un = αλn +
un
est de la forme
βµn
0
0
α, β des réels que nous allons calculer grâce à u0 et u1 . En
0 = 1 = αλ + βµ donc
√ eet u√
1− 5
1+ 5
1
1
α + β = 1. Et comme u1 = 1 = αλ + βµ
nous obtenons α
+ β√ 2 = 1. En résolvant ces
2
√
5−1
1
1
1
= √5 (−λ) et β = √5 1+2 5 = √15 (µ). Nous écrivons
deux équations nous obtenons α = √
5 2
pour
donc pour nir :
Correction 1204
1
un = √ µn+1 − λn+1 .
5
L'équation caractéristique est :
r2 − 3r + 2 = 0
dont les solutions sont
λ=2
et
µ = 1.
Donc
un
est de la forme
un = α2n + β1n = α2n + β
(2n )n
α = 0. Donc (un )n est la suite
constante égale à β . Réciproquement toute suite constante qui vérie un = β pour n ∈ N vérie
bien la relation de récurrence un+2 = 3un+1 − 2un . Donc les suites cherchées sont les suites
Or la suite
constantes.
tend vers
+∞.
Donc si
(un )n
est bornée alors
353
Correction 1216
lim
√
3
x→∞
Correction 1217
1.
√
x2 + x + 1 = −1/2.
sin(x) ln(1 + x2 )
= 0.
x→0
x tan(x)
lim
2.
ln(1 + sin(x))
= 1/6.
x→0
tan(6 x)
3.
lim (ln(e + x))x
4.
x3 + 1 −
lim
−1
x→0
−1
= ee
.
x−1
lim ln(1 + e−x )
= e−1 .
x→∞
Correction 1219
1.
√
2
3
2
8 x3
a3
3. 3
b
2.
4.
−1
√
2
4
1 2
6.
x
2
3
7. −
− π4
2
5.
8.
−
√
9.
1
π
10.
1
11.
x
+x
e
Correction 1229
n > 2 on a : Pn (0) = −1 et Pn (1) = 3. Comme l'application
X 7→ Pn (X) est continue, elle s'annulle en (au moins) un point de l'intervalle ]0, 1[. Comme
0
n−1
par ailleurs, pour tout X positif, Pn (X) = nX
+ (n − 1)X n−2 + 2X + 1 est strictement
positif, l'application X 7→ Pn (X) est strictement croissante sur R+ et s'annule en au plus
un point de R+ . En conséquence Pn a une unique racine positive λn qui de plus satisfait
à l'inégalité 0 < λn < 1.
1. Pour tout
X ∈]0, 1[, Pn (X)−Pn−1 (X) = X n −X n−2 < 0. En particulier Pn (λn−1 ) < 0 donc
λn > λn−1 . La suite (λn )n>2 est donc croissante et majorée (cf 1.) : elle est convergente.
3 3 2 3
n
n−1
2
Pour tout n > 2 on a : λn + λn
= −λn − λn + 1. Or Pn
>
+ − 1 > 0 donc la
4 4 4
n
3
3 n+1
n
n−1
n
n−1
suite (λn + λn )n∈N satisfait aux inégalités 0 < λn + λn
<
+
et converge
4
4
2
vers 0. Il en va de même de la suite (−λn − λn + 1)n>2 . En passant à la limite, on obtient
√
−1 + 5
2
l'égalité : ` + ` − 1 = 0. La seule solution positive de cette équation étant
, on
2
√
−1 + 5
.
a l'égalité : ` =
2
2. Pour tout
3.
Remarques
1. L'inégalité
0 < λn < 1
Par exemple la suite
(pour tout
(vn )n>1
dénie par
appliquer le 1. du problème à log
(λnn )n>2 converge
1
1
vn = (1 − )n converge vers . (Pour le
n
e
n > 2)
(vn ).)
n'implique pas que
vers
0.
vérier
354
2.
1 1 = 0 n'implique
La propriété lim
ε
n→∞ n + k
n+k
n
X
1
Par exemple... lim
= log (2).
n→∞
n+k
k=0
lim
n→∞
k=0
1 1 = 0.
ε
n+k n+k
f (x) − f (c)
− f 0 (c). Comme f est continue, ε est continue
x−c
continuité en c de ε équivaut à la dérivabilité de f en c. L'unicité
Correction 1233
]a, b[−{c}
pas que
n
X
1.
et la
ε(x) =
sur
est
évidente.
1
1
1
1
n > 1, Sn+1 − Sn =
+
− < 0 (par exemple parce que
<
2n + 2 2n + 1 n
2n + 2
1
1
1
1
1
1
et
<
donc
+
< 2× ) donc la suite (Sn )n>1 est décroissante.
2n
2n + 1
2n
2n + 2 2n + 1
2n
Elle est minorée (par 0) donc elle converge.
1
1
1
1
1
Pour tout 0 6 k 6 n,
6
6 donc (n + 1) ×
6 Sn 6 (n + 1) × d'où, en
2n
n+k
n
2n
n
1
passant à la limite, l'inégalité
6 S 6 1.
2
0
Soit ε l'application de ] − 1, 1[ à valeurs dans R telle que f (x) = f (0)x + ε(x). Pour tous
n, k ∈ N, n > 0, on a l'égalité :
1 1
1 1 =
f 0 (0) +
ε
f
n+k
n+k
n+k n+k
2. Pour tout
3.
4.
donc
0
σn (f ) − f (0)Sn =
n
X
k=0
on en déduit les inégalités :
1 1 ε
.
n+k n+k
Comme, pour tout
k > 0,
on a
1
1
6 ,
n+k
n
n
1 1 X 1 n + 1
max ε
|σn (f ) − f (0)Sn | 6
ε
6
.
n k=0
n+k
n 06k6n n + k
1 Comme max ε
6 sup |ε(x)|, cette quantité converge vers 0 lorsque n tend
06k6n
1
n+k
x∈[0, n
]
vers l'inni (puisque ε est continue et s'annulle en 0).
n + k + 1
1 Des égalités log
1+
= log
= log (n + k + 1) − log (n + k) on dén+k
n+k
0
5.
duit que :
σn (f ) = log (2n + 1) − log (n) = log
Comme la fonction logarithme est continue,
tend vers l'inni. Ainsi
2n + 1 n
(σn (f ))n>1
1
= log 2 +
.
n
converge vers log
(2)
lorsque
n
S = log (2).
6. Par les deux questions qui précédent il est immédiat que
lim σn = log (2).
n→∞
f :] − 1, 1[→ R une application continue, dérivable en 0 et telle que f (0) = 0.
0
l'application de ] − 1, 1[ à valeurs dans R telle que f (x) = f (0)x + ε(x).
On pose, pour tous n, k ∈ N, n > 0 :
7. Soit
pn
X
1 σn (p, f ) =
f
n+k
k=0
et
Sn,p =
pn
X
k=0
1
.
n+k
Soit
ε
355
n, k ∈ N, n > 0
Pour tous
on a l'égalité :
1
1 1 1 0
=
f
f (0) +
ε
n+k
n+k
n+k n+k
pn
1 1 X 1 pn + 1
|σn (p, f ) − f (0)Sn,p | 6
sup ε
ε
6
n k=0
n+k
n x∈[0, 1 ] n + k
0
n
0 lorsque n tend vers l'inni.
la fonction x 7→ log(1 + x), on obtient (comme précédemment)
1
σn (p, f ) = log ((p + 1)n + 1) − log (n) = log 1 + p +
n
donc cette diérence converge vers
Lorsque
puis que
f
est
lim σn (p, f ) = log (p + 1)
n→∞
3.
4.
5.
6.
Sp = log (p + 1).
1
1
1
ln(cos x) = − x2 − x4 − x6 + o x6 .
2
12
45
1 3
2 5
17 7
tan x = x + x + x +
x + o x7 .
3
15
315
1
55 7
1
sin(tan x) = x + x3 − x5 −
x + o x7 .
6
40
1008
11
(ln(1 + x))2 = x2 − x3 + x4 + o x4 .
12
1 2
exp(sin x) = 1 + x + x + o x3 .
2
6
6
6
sin x = x + o x .
Correction 1237
2.
c'est à dire
Correction 1239
1.
arctan(x) − sin(x)
= −1.
x→0 tan(x) − arcsin(x)
lim
Correction 1240
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1
1
1
ln cos x = − x2 − x4 − x6 + o x7 .
2
12
45
11 2
arctan(x) − x
= 2 − x + o x3 .
sin(x) − x
10
1
ln(tan(1/2 x + 1/4 π)) = x + x3 + o x4 .
6
√
π π 2 2 π 3
π 3
ln sin x = ln(1/2 2) + x − − x −
+
x−
+o x−
.
4
4
3
4
4
√
√
1
1
3
3
x3 + x − x3 − x = 2/3 + o( 4 ).
x
x
ln(1+x)
1
11 2
7
(1 + x) x = e x = e − 1/2 ex +
ex −
ex3 + o x3 .
24
16
√
q
√
√
2
x
x2 + x4 + 1 − x 2 = 1/8 2 + o(x−5 ).
x
Correction 1248
ex − cos(x) − x
= 1.
x→0
x2
lim
x3 arctan(x) − x4
= 0.
x→0
cos(x2 ) − 1
lim
que :
d'où
356
Correction 1262
g est dénie en x sauf si sin(x) = 0 ou x = 0. Son domaine
R − {kπ, k ∈ Z}.
1. La fonction
de dénition est donc
2. On peut prolonger
g
en une fonction continue en
0
si et seulement si elle y admet une
limite. Elle est dérivable en ce point si et seulement si elle y admet un développement
limité à l'ordre
1.
Toutefois, comme l'énoncé demande la position du graphe de
0,
rapport à sa tangente en
l'ordre
2
de
g
en
sin x = x −
par
nous allons calculer directement le développement limité à
0.
Le développement limité en
Or
g
0
à l'ordre
x3 x5
+
+ x5 ε2 (x).
3!
5!
5
Donc
x3 x5
+
+ x5 ε1 (x).
3
5
x5 13x7
1
sin3 x = x3 −
+
+ x7 ε3 (x) et
=
2
120
sin3 x
de
arctan x = x −
1
x2 9x4
(1
+
+
+ x4 ε4 (x)). On en déduit que :
x3
2
40
arctan x
1
1
x3 31x5
1
1 31x2
5
−
=
(x
+
+
+
x
ε
(x))
−
=
+
+ x2 ε5 (x).
5
3
2
3
2
(sin x)
x
x
6
120
x
6
120
1
Ainsi on peut prolonger g en une fonction continue en 0 en posant g(0) =
. La fonction
6
obtenue est dérivable en 0 et sa dérivée est nulle. La tangente en 0 à son graphe est la
1
droite d'équation y =
. Enn le graphe de g est au-dessus de cette droite au voisinage
6
de 0.
Z ∞ −x
√
e
√ dx est convergente (en fait elle vaut π ).
Correction 1280
1.
x
0
Z ∞
2.
xx dx est divergente.
1
Z ∞√
x sin(x−1 )
3.
dx est divergente.
ln(1 + x)
0
Z 2
√
1
√
4.
dx = ln(2 + 3).
x2 − 1
1
Z ∞
x5
5.
dx = 1/12 π .
12
0 x +1
Z ∞ √
6.
e− x dx = 2.
Z0 ∞
1
7.
dx = − ln th(1/2).
1 sinh(x)
Correction 1291
Correction 1311
Réponses :
π
2
1
− ln 2, π, (n−1)
2.
1. Oui.
2. Non. Le seul élément qui peut être l'élément neutre est
3. Non.
0
1 qui n'appartient pas à l'ensemble.
n'a pas d'inverse.
4. Oui.
Correction
1314
Le premier ensemble n'est pas un groupe car, par exemple, la matrice
1 2 0
0
2
ne peut avoir pour inverse que
qui n'appartient pas à l'ensemble.
0 2
0 12
Notons G = {M ∈ M2 (Z) : det M = 1} et montrons que G est un sous-groupe de Gl(2, R).
la matrice identité appartient à
G.
357
A, B ∈G alors
= 1, et donc AB ∈ G.
AB ∈ M2 (Z) et det AB =
det A ×det B= 1 × 1 a b
d
−b
d
−b
1
Si A =
(a, b, c, d ∈ Z) alors
=
appartient à G et est
det A
c d
−c a
−c a
l'inverse de A.
a c
Correction 1322
1. L'ensemble G des matrices
avec a, b, c, d ∈ R tels que ad−bc 6=
b d
0 et a2 −b2 −c2 − d2 6
1 n'est pas un sous-groupe de Gl2 (R)
. En eetles deux matrices
1 1
1 0
2 1/2
et
appartiennent à G et leur produit
n'appartient pas
0 1/2
1 1/2
1/2 1/4
à G.
a b
∗
2. L'ensemble H des matrices
avec a ∈ R et b ∈ R est un sous groupe de Gl2 (R).
0 a−1
si
En eet,
Gl (R) appartient à H .
2
a b
c d
ac ad + bc−1
0
0
- Soient M =
et M =
deux éléments de H alors M M =
0 a−1
0 c−1
0
(ac)−1
donc le produit de deux éléments de H appartient à H .
−1
a b
a
−b
−1
- Soit M =
. Alors M
=
appartient à H .
0 a−1
0
a
a c
Soit KM l'ensemble des matrices
avec a, b, c, d ∈ R tels que ad − bc 6= 0 et a 6 M .
b d
Nous allons montrer, en raisonnant par l'absurde, qu'il n'existe pas de valeur M ∈ R telle
que KM forme un sous-groupe de Gl2 (R).
Soit M ∈ R tel que KM forme un sous-groupe de Gl2 (R). Alors I2 appartient à KM donc
1 1
1 1
M > 1. Ainsi, les matrices A =
et, pour tout n ∈ N, An =
appartiennent
n 1
0 1 1+n 0
à Kn donc le produit AAn =
appartient à Kn . En conséquence, pour tout
0
1
n ∈ N, on a : 1 + n 6 M , ce qui est absurde.
-
I2
élément neutre de
3.
Correction 1323 •
Si
H⊂K
alors
H ∪ K = K,
qui est un sous-groupe de H. Même chose si
K ⊂ H.
•
H ∪ K est un sous-groupe de G. Par l'absurde supposons
que H 6⊂ K et K 6⊂ H . Alors il existe x ∈ H \ K et y ∈ K \ H . Comme x, y ∈ H ∪ K et que
H ∪ K est un groupe alors x.y ∈ H ∪ K . Donc x.y ∈ H ou x.y ∈ K . Par exemple supposons
x.y ∈ H alors comme x ∈ H , x−1 ∈ H et donc comme H est un groupe x−1 .x.y ∈ H et donc
y ∈ H . Ce qui est en contradiction avec l'hypothèse y ∈ K \ H . En conclusion, parmi les
sous-groupes H, K l'un est inclus dans l'autre.
Réciproquement, supposons que
Correction 1326
Soit
Correction 1336
Notons
G = ha, bi, tout élément g de G S'écrit g = aα1 bβ1 aα2 bβ2 . . . aαn bβn avec
αi , βi ∈ Z. Si h ∈ hai ∩ hbi, alors en particulier h ∈ hai et h = aµ avec µ ∈ Z, donc h commute
α
α µ
α +µ
avec a i pour tout αi dans Z (en eet a i a = a i
= aµ aαi . De même h ∈ hbi donc h s'écrit
β
α
β
ν
β
α
également h = b (ν ∈ Z) et h commute avec b i . Donc hg = (ha 1 )b 1 . . . = (a 1 h)b 1 . . . =
aα1 (hbβ1 ) . . . = aα1 (bβ1 h) . . . = · · · Finalement hg = aα1 bβ1 . . . aαn bβn h = gh. Ainsi h commute
avec tout élément de G et appartient ainsi au centre de G.
G l'ensemble des éléments d'ordre ni de H . Montrons que G est un
H.
G ⊂ H et 0 ∈ G.
Si x ∈ G alors (−x) + (−x) + · · · + (−x) = −(x + x + · · · + x) = 0.
sous-groupe de
Donc
−x ∈ G.
358
x, y ∈ G
x + y ∈ G.
Si
alors
(x + y) + · · · + (x + y) = (x + · · · + x) + (y + · · · + y) = 0 + 0 = 0.
Nous venons de montrer que
alors
G
G
est un sous-groupe de
H.
De plus comme
H
Donc
est commutatif
l'est aussi !
0 1
1 0
Correction 1337
1. La matrice
est d'ordre 2. La matrice
n'est pas d'ordre
1 0
0 2
n 1 0
1 0
1 0
ni puisque, pour tout n ∈ N :
=
6=
.
0 2
0 2n
0 1
2. Notons eG et eH les éléments neutres respectifs de G et de H . Soit g un élément de G
d'ordre n.
n
n
- Alors ϕ(g) = ϕ(g ) = ϕ(eG ) = eH . Donc ϕ(g) est d'ordre inférieur ou égal à n, ordre
de g .
- Supposons ϕ injectif et ϕ(g) d'ordre strictement inférieur à n, c'est à dire qu'il existe
p < n tel que : ϕ(g)p = eH . Alors ϕ(g p ) = eH donc, puisque ϕ est injectif et ϕ(eG ) = eH ,
p
on a aussi : g = eG , ce qui est impossible puisque l'ordre de g est n.
G un groupe ni. Supposons qu'il existe dans G un élément
k
n'étant pas d'ordre ni. Comme G est un groupe, on peut considérer X = {g k ∈ N}.
i
j
i
j
j−i
Or, pour i 6= j : g 6= g . En eet, supposons i < j . Si g = g alors g
= eG et g est
3. Raisonnons par l'absurde : Soit
g
d'ordre inférieur ou égal à
inni.
G
j − i,
donc ni, ce qui est impossible.
X
est donc un ensemble
contient un ensemble inni donc est inni, ce qui est absurde, donc
g
ne peut
être que d'ordre ni.
Correction 1340
Rappelons d'abord que pour
x
un élément d'ordre
n,
alors
xq = e =⇒ n|q.
n
2 p
2
2 n
est pair alors ord(x ) = n/2 : en eet (x ) 2 = x = e et pour p > 1 tel que (x ) = e
2p
alors x
= e et n|2p donc p > n2 . Donc n/2 est le plus petit des entiers q (non nul) tel que
q
x = e et par conséquent n/2 est l'ordre de x.
2 n
n 2
2 p
Si n est impair alors ord(x) = n. Tout d'abord (x ) = (x ) = e et pour p tel que (x ) = e
Si
n
alors
n|2p
particulier
2 et n
p > n.
mais
Correction 1341
2.
sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss,
n|p
et en
(xy)mn = xmn y mn = (xm )n (y n )m = e.e = e. Soit p tel que
(xy)p = e, alors e = (xy)mp = xmp y mp = y mp , et donc mp est divisible par l'ordre de y ,
c'est-à-dire n. Comme m et n sont premiers entre eux alors d'après le théorème de Gauss
n divise p. Un raisonnement semblable à partir de (xy)np = e conduit à : m divise p.
Finalement m|p et n|p donc mn|p car m et n sont premiers entre eux.
Voici un contre exemple dans le cas où m et n ne sont pas premiers entre eux : dans le
groupe Z/12Z : 2̄ est d'ordre 6, 4̄ est d'ordre 3, mais 2̄ + 4̄ = 6̄ est d'ordre 2 6= 3 × 6.
1 n
n
A est d'ordre 4, B est d'ordre 3, (AB) =
n'est jamais la matrice identité pout
0 1
n > 1.
Correction 1342
1. Déjà
(Q, +) est engendré par un seul élément pq (p
p
p
et q premiers entre eux) alors tout élément de Q s'écrit n avec n ∈ Z. Il s'ensuit que
(qui
q
2q
p
appartient à Q) doit s'écrire n , mais alors 2n = 1 avec n ∈ Z ce qui est impossible. Conclusion
q
(Q, +) n'est pas monogène.
Par l'absurde supposons que
359
Correction 1343
f
vérie
f (0) = 0.
Soit
f : (Z, +) −→ (Z, +) un morphisme de groupe. Comme tout morphisme
a = f (1). Alors
Notons
f (2) = f (1 + 1) = f (1) + f (1) = a + a = 2.a.
De même, pour
n>0
:
f (n) = f (1 + · · · + 1) = f (1) + · · · + f (1) = n.f (1) = n.a.
Enn comme
0 = f (0) = f (1 + (−1)) = f (1) + f (−1) = a + f (−1),
alors
f (−1) = −a
et pour tout
n∈Z
:
f (n) = n.a.
Donc tous les morphisme sont de la forme
Un morphisme
n 7→ n.a
n 7→ n.a,
avec
est injectif si et seulement si
a ∈ Z.
a 6= 0,
et surjectif si et seulement si
n = ±1.
Correction 1345
f : (R, +) −→ (C∗ , ×)
x 7→ eix
Vérions que
f
est un morphisme de groupe. Soit
x, y ∈ R,
alors
f (x + y) = ei(x+y) = eix eiy = f (x) × f (y),
et
f (x−1 ) = ei(−x) =
Donc
f
est un morphisme de groupe.
Montrons que
Ker f
1
= f (x)−1 .
eix
f
n'est pas injective en prouvant que le noyau n'est pas réduit à
= {x ∈ R
tels que
f (x) = 1} = x ∈ R
tels que
0
:
eix = 1 = {x = 0 + 2kπ, k ∈ Z} .
Enn
Im f
est l'ensemble des complexes de module
Correction 1354
Soit
Correction 1386
Soit
= y ∈ C∗ , y = eix
1,
c'est-à-dire le cercle de centre
0
et de rayon
1.
φ : C∗ −→ R∗ un morphisme entre les deux groupes multiplicatifs C∗ et
R . Notons a = φ(i) ∈ R∗ . Alors φ(−1) = φ(i2 ) = φ(i)2 = a2 , de même 1 = φ(1) = φ((−1)2 ) =
φ(−1)2 = a4 ; donc a4 = 1 et nécessairement a2 = 1. Le morphisme φ n'est pas injectif car
φ(1) = φ(−1) = 1, a fortiori φ n'est pas un isomorphisme.
∗
x 6= e un élément de G, soit H = {e, x, x2 , . . . } le sous-groupe engendré
par x. H est un sous-groupe de G donc Card H divise Card G = p qui un nombre premier. En
conséquent Card H = 1 ou p mais H 6= {e} donc Card H = p et H = G.
Nous venons de montrer que G est engendré par x donc G est cyclique, de plus le raisonnement
est valide quelque soit x 6= e alors tout élément de G \ {e} est un générateur de G.
360
Correction 1387
0
est un sous-groupe de H donc Card H ∩ H divise Card H = p.
0
0
0
Or p est premier donc Card H ∩ H = 1 ou p. Mais H ∩ H 6= H donc Card H ∩ H 6= p
0
et donc H ∩ H = {e}.
1.
H ∩ H0
E l'ensemble des éléments d'ordre p que l'on suppose non vide. Notons que pour
x ∈ E le sous-groupe Hx engendré par x est d'ordre p et de plus tout z ∈ Hx \ {e} est
d'ordre p car Hx est cyclique et p est premier. Donc Hx contient p − 1 élément d'ordre p.
Si E ne contient qu'un seule élément x alors E = Hx \ {e} et donc E contienet p − 1
2. Soit
éléments.
Sinon, soit
E
x, y ∈ E
avec
x 6= y .
se décompose en une union disjointe de
Hx \ {e}.
Correction 1389
G
Donc
G x2 = e et donc x−1 = x. Soit mainte= (xy)−1 et par suite xy = y −1 x−1 = yx
éléments quelconques de G commute donc
1. Notons d'abord que pour x ∈
G. Alors xy ∈ G et (xy)2 = e donc xy
x, y ∈
x et y sont
nant
car
Hx ∩ Hy = {e}. Donc
Card E est multiple de p − 1.
Alors d'après la première question
d'ordre
2.
Le produit de deux
est commutatif.
2. Notons
E
l'ensemble des éléments d'ordre
E = {x ∈ G / x2 = e
et
2.
x 6= e} = {x ∈ G / x = x−1
et
x 6= e}.
Par l'absurde supposons que H est l'ensemble vide. Alors quelque soit x 6= e dans G x 6=
x−1 . Donc nous pouvons décomposer G\{e} en deux ensembles disjoints F = {x1 , . . . , xn }
0
−1
et F = {x1
, . . . , xn −1 } qui sont de même cardinal n. Donc le cardinal de G est 2n + 1
(le
+1
provient de l'élément neutre). Ce qui contredit l'hypothèse Correction 1412
2.
G
d'orde pair .
|Sn | = n! donc |S3 | = 3! = 6. Montrons plus généralement qu'il n'existe
pas d'élément d'ordre n! dans Sn (n > 3). Par l'absurde soit α un tel élément. Alors par
hypothèse Sn est engendré par α et donc Sn est un groupe commutatif. Mais (1, 2)(2, 3) 6=
(2, 3)(1, 2) ce qui est absurde. En conclusion il n'existe pas d'éléments d'ordre 6.
Explicitons S3 :
S3 = id; τ1 = (1, 2); τ2 = (2, 3); τ3 = (1, 3); σ1 = (1, 2, 3); σ2 = σ1−1 = (3, 2, 1) .
1.
Remarquons
2 sont de la forme {id; τ } avec τ 2 = id. Les seuls éléments d'ordre
2 sont les transpositions et donc se sont les groupes {id; (1, 2)},{ id ; (1,3) }, {id; (2, 3)}.
2
2
−1
Les sous-groupes d'ordre trois sont de la forme {id, σ, σ } avec σ = σ
. Et donc le seul
sous-groupe d'ordre 3 est {id; (1, 2, 3); (3, 2, 1)}.
Les sous-groupes de S3 ont un ordre qui divise |S3 | = 6. Donc un sous-groupe peutêtre d'ordre 1, 2, 3 ou 6. L'unique sous-groupe d'ordre 1 est {id}, et l'unique sous-groupe
d'ordre 6 est S3 . Les sous-groupes d'ordre 2 et 3 ont étés donnés à la question précédente.
Les sous-groupes d'ordre
3.
Correction 1418
2.
σ = (1, 3)(2, 7, 9, 5) = (2, 7, 9, 5)(1, 3) et σ k = (1, 3)k (2, 7, 9, 5)k . Les
k
k
transpositions sont d'ordre 2 donc (1, 3) = id si k ≡ 0( mod 2) et (1, 3) = (1, 3) si
k
k ≡ 1( mod 2). Le cycle (2, 7, 9, 5) est d'ordre 4, et (2, 7, 9, 5) est respectivement égale
à id, (2, 7, 9, 5), (2, 9)(7, 5), (5, 9, 7, 2) si k est respectivement congru à 0, 1, 2, 3 modulo 4.
k
Le calcul de σ donne donc id , (1, 3)(2, 7, 9, 5), (2, 9)(7, 5) ou (1, 3)(5, 9, 7, 2) selon que k
est congru à 0, 1, 2 ou 3 modulo 4.
L'écriture de ϕ = (10, 3, 4, 1)(8, 7)(4, 7)(5, 6)(2, 6)(2, 9) est une décomposition en produit
de cycles mais ils ne sont pas à supports disjoints. Écrivons ϕ sous la forme :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
φ=
10 9 4 8 6 2 1 7 5 3
1.
361
ϕ = (1, 10, 3, 4, 8, 7)(2, 9, 5, 6) = (2, 9, 5, 6)(1, 10, 3, 4, 8, 7). Le calcul
ϕ = (1, 10, 3, 4, 8, 7)k (2, 9, 5, 6)k est similaire au calcul précédent (selon k( mod 12) )
Ce qui se décompose
k
de
Correction 1426
Sn+2
Sn+2
notons
1.
τ
SN
{1, 2, . . . , N }. Dans
application φ : Sn −→
est l'ensemble des permutations de l'ensemble
la permutation
(n + 1, n + 2).
Nous dénissons une
par les relations
φ(σ) = σ
si
φ(σ) = σ ◦ τ
ε(σ) = +1 ;
sinon ;
ε désigne la signature. Alors φ est un morphisme de groupe, de plus quelque soit σ ∈ Sn
ε(φ(σ)) = +1 (si ε(σ) = +1 c'est clair, sinon ε(φ(σ)) = ε(σ) × ε(τ ) = (−1) × (−1) =
+1). Donc φ(Sn ) est un sous-groupe de An+2 .
Enn φ est injective : en eet soit σ tel que φ(σ) = id. Soit ε(σ) = +1 et alors φ(σ) =
σ = id ; soit ε(σ) = −1 et alors φ(σ) = σ ◦ τ , pour j ∈ {1, 2, . . . , n} j = φ(σ)(j) =
σ ◦ τ (j) = σ(j), et donc quelque soit j ∈ {1, 2, . . . , n} σ(j) = j et donc σ = id. On vient
où
alors
de démontrer que la composée de deux permutations à supports disjoint est l'identité si
et seulement si les permutations sont déjà l'identité !
φ : Sn −→ φ(Sn ) le morphisme induit par φ. Il est injectif et surjectif, donc
isomorphe φ(Sn ) qui est un sous-groupe de An+2 .
Notons encore
2.
Sn
est
A5
est de cardinal
5!/2 = 60,
24.
et comme
24 =
Card S4 ne divise pas
60
alors
A5
n'a pas
de sous-groupe d'ordre
3. C'est un peu plus délicat car Card
S5 = 5! = 120
divise Card
A6 = 6!/2 = 360
l'argument ci-dessus n'est pas valide. Cependant s'il existe un isomorphisme entre
un sous-groupe de
σ ∈ A6
alors un cycle d'ordre
5
de
S5
et
est envoyé sur une permutation
d'ordre
Décomposons
cycles
5.
σ en
A6
donc
S5
σi
produit de cycles à supports disjoints,
σ = σ1 ◦ σ2 ◦ · · · . Comme les
> 2) dans la
sont à supports disjoints, il y a au plus trois cycles (de longueur
décomposition (car dans
A6
on peut permuter au plus
6
éléments).
σ = σ1 n'est pas possible car alors σ1 serait un cycle d'ordre 5 et donc de
−1 dans A6 .
Si σ = σ1 ◦ σ2 alors les longueurs de σ1 et σ2 sont (4, 2) ou (2, 2), et l'ordre de leur
composée σ1 ◦ σ2 est donc 4 ou 2 mais pas 5.
Si σ = σ1 ◦ σ2 ◦ σ3 alors les σi sont des transpositions, et la signature de σ est alors −1
ce qui contredit σ ∈ A6 .
Le cas
signature
Correction 1428 HK = {hk /h ∈ H, k ∈ K}.
φ : H × K → HK
φ(h, k) = hk . Montrons que φ est bijective : φ
0
0
0 0
est surjective par dénition de HK et si φ(h, k) = φ(h , k ) alors hk = h k et donc
0
0 −1
0 −1
0 −1
h h = k k or H ∩ K = {eG } et donc h h = eG et donc h = h , de même k = k 0 et
donc φ est injective.
Comme φ est bijective Card H × K = Card HK et donc Card HK = Card H.Card K .
1. Soit
dénie par
H et K distincts et d'ordre p. Montrons d'abord
H ∩ K = {eG }. En eet H ∩ K est un sous-groupe de H et donc le cardinal de
H ∩ K divise Card H = p avec p premier. Or comme H 6= K alors H ∩ K 6= H et donc
Card H ∩ K = 1, c'est ce que nous voulions démontrer.
2
Maintenant d'après la première question HK est un sous-groupe de cardinal p dans le
2
groupe G de cardinal pq < p . Donc il ne peut exister deux sous-groupe d'ordre p.
Supposons maintenant que H soit un sous-groupe d'ordre p, c'est donc l'unique sousgroupe d'ordre p d'après ce que nous venons de démontrer. Pour g ∈ G le sous-groupe
2. Supposons qu'il existe deux sous-groupes
que
362
gHg −1 est du même ordre que H (car pour g xé le morphisme θg de G dans G, θg (h) =
ghg −1 est un automorphisme et en particulier un biction donc Card θg (H) = Card H ).
−1
Par conséquent gHg
= H et donc H est un sous-groupe distingué.
Correction 1435
Card G
G
Soit
∈ {1, 2, 4, 8}.
sous-groupe de
De plus si
le sous-groupe engendré par
n̄
G
Z/8Z,
alors Card
contient la classe
qui est
n̄
car alors
Z/8Z
G
d'un nombre
n
et
8
Z/8Z = 8. Donc
impair, alors G contient
divise Card
sont premiers entre eux, donc
G = Z/8Z.
Étude des cas. Si Card
G=8
alors
G = Z/8Z.
Si Card G
=4
alors
G
ne peut contenir que des
4
classes d'entiers pairs d'après la remarque précédente, mais comme il y a exactement
classes
G = {0̄, 2̄, 4̄, 6̄}. Si Card G = 2 alors G = {0̄, x} et x est un élément d'ordre
2, le seul élément d'ordre 2 de Z/8Z est 4̄. Donc G = {0̄, 4̄}. Enn si Card G = 1 alors G = {0̄}.
d'entiers pairs alors
Correction 1438
La relation d'équivalence associée au quotient
R∗ /R∗+
est :
x ∼ y ⇔ xy −1 > 0.
x > 0 alors x ∼ +1 car x(1)−1 > 0 (en fait x est équivalent à n'importe quel réel strictement
−1
positif ) ; si x < 0 alors x ∼ −1 car x(−1)
> 0, enn −1 et +1 ne sont pas équivalents. Il y a
∗
∗
donc deux classes d'équivalence : R /R+ = {+1, −1}.
∗
∗
L'application φ : R /R+ −→ Z/2Z dénie par φ(+1) = 0̃ et φ(−1) = 1̃ est un isomorphisme
Si
entre les deux groupes.
Correction 1442
x ∈ G et y ∈ D(G), xyx−1 ∈ D(G). Comy un générateur de D(G). Si y = ghg −1 h−1 avec g, h ∈ G.
1. Il faut montrer que pour
mençons par montrer ceci pour
Nous remarquons que :
xyx−1 = xghx−1 (gh)−1
qui est un produit d'éléments de
Soit maintenant
y
D(G).
ghg −1 h−1
hgx(hg)−1 x−1
xyx−1 est un élément de D(G).
de D(G), alors il s'écrit comme produit
Donc
un élément quelconque
de
générateurs :
y = y1 y2 . . . yn ,
avec
yi = gi hi gi−1 h−1
i .
xyx−1 = (xy1 x−1 )(xy2 x−1 ) . . . (xyn x−1 ). Chaque xyi x−1
xyx−1 . Donc D(G) est un sous-groupe distingué de G.
Écrivons
donc
2. Soit α, β
−1 −1
aba b
αβα−1 β −1 = ε,
−1
Et
que
= αβα−1 β −1 .
αβ = βα. Et ceci quelque soit α
H est un sous-groupe distingué.
autrement dit
est commutatif. Généralisation : si
•
D(G).
∈ G/D(G), alors il existe a, b ∈ G tels que a = α et b = β . Nous savons
∈ D(G) et donc aba−1 b−1 = ε où ε est l'élément neutre de G/D(G). Mais
aba−1 b−1 = aba−1 b−1 = aba−1 b
Donc
appartient à
et
β,
donc
G/D(G)
D(G) ⊂ H alors G/D(G) est un sous-groupe de G/H donc G/H est commutatif car
G/D(G) l'est.
• Si G/H est commutatif alors pour g, h ∈ G la classe de ghg −1 h−1 dans G/H vérie :
Si
ghg −1 h−1 = ghg −1 h−1 = gg −1 hh−1 = ε.
Mais les éléments dont la classe dans G/H est l'élément neutre sont exactement les
−1 −1
éléments de H . Donc ghg
h appartient à H . Ainsi tous les générateurs de D(G)
sont dans
H
et donc
D(G) ⊂ H .
363
Correction 1446
Notons
C8 = I
1. Un calcul donne
8.
est d'ordre
C = AB =
√1
2
1 1
.
−1 1
1 6 k 6 7, C k 6= I . Donc le groupe H engendré par C
2
2
2
si A = I et B = I on a (AB) 6= I car AB 6= BA.
et pour
Attention ! même
−1
−1
2. Pour montrer que H est distingué il sut de montrer que ACA
et BCB
sont dans
−1
−1
−1
H . Mais ACA = ACA = AABA = BA = (AB) ∈ H . De même BCB = (AB)−1 .
Donc
H
est distingué dans
M
Un élément
de
G
H.
s'écrit
M = Aa1 B b1 Aa2 . . . Aan B bn
ai , bi ∈ Z.
2
mais
3
2
3
G/H tout terme AB ou BA vaut I Donc G/H = {I, A, A , A , . . . , B, B , B , . . . }
2
2
comme A = B = I et AB ∈ H alors G/H s'écrit simplement :
G/H = I, A .
Mais dans
Enn, par la formule
Correction 1447
|G| = |H| × |G/H|
nous obtenons
|G| = 8 × 2 = 16.
f ((x, y) + (x0 , y 0 )) = f (x + x0 , y + y 0 ) = 3(x + x0 ) + 6(y + y 0 ) =
3x + 6y + 3x + 6y = f (x, y) + f (x0 , y 0 ).
(b)
1.
0
(a)
0
Ker f = {(x, y); f (x, y) = 0} = {(x, y); 3x + 6y = 0} = {(x, y); x = −2y} =
{(−2k, k); k ∈ Z}. Si Ker f = pZ × qZ alors f (p, 0) = 0 donc 3p = 0 soit p = 0. De
même f (0, q) = 0 implique q = 0 et alors Ker f = {(0, 0)}, ceci contredit le fait que
f (−2, 1) = 0.
f : Z2 −→ 3Z dénit par passage au quotient
2
par le noyau un morphisme injectif f¯ : Z / Ker f −→ 3Z (c'est le théorème de
factorisation). De plus comme f est surjectif alors f¯ l'est aussi. Ainsi f¯ est un
2
2
isomorphisme entre Z / Ker f = Z /(−2, 1)Z et 3Z.
(c) On a
f (Z2 ) = 3Z,
le morphisme
g : Z2 −→ Z/2Z × Z/2Z par g(x, y) = (x̄, ȳ) où n̄ désigne
Z/2Z. Le noyau de g est 2Z × 2Z = h(2, 0); (0, 2)i = G. Le passage
noyau dénit l'isomorphisme ḡ cherché.
2. Dénissons
Correction 1554
x=
−k
k+1
la classe de
n
dans
au quotient par le
< uk (x), a >= k < x, a >< a, a > + < x, a >= (k + 1) < x, a > donc
< uk (x), a > a + uk (x). On en déduit que uk est inversible, et que u−1
k = u −k .
1.
k+1
2. L'adjoint d'un endomorphisme u est l'unique endomorphisme v qui satisfait : ∀(x, y) ∈
E 2 , < u(x), y >=< x, u(y) >. Or < uk (x), y >= k < x, a >< y, a > + < x, y >=<
x, uk (y) >.
Donc
uk
est égal à son adjoint.
uk est orthogonal, on doit avoir kuk (a)k = kak = 1, soit |k + 1| = 1. Ainsi k = 0 ou
k = −2.
−1
t
Pour k = 0, uk = id est bien orthogonal. Pour k = −2, u−2 = u −2 = u−2 = u−2 . Donc
−2+1
u−2 est bien orthogonal. Il s'agit de la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan
{a}⊥
3. Si
k = 0, 1 est la seule valeur propre et E1 = E
⊥
Si k 6= 1, ∀x ∈ {a} , uk (x) = x donc 1 est valeur propre de multiplicité au moins n − 1.
De plus uk (a) = (k + 1)a donc (k + 1) est valeur propre. Finalement, 1 est valeur propre
⊥
de multiplicité exactement n − 1, avec pour espace propre {a} , et k + 1 est valeur propre
simple avec espace propre Ra.
4. Si
364
Correction 1579
Soit
u
un endomorphisme d'un espace vectoriel
le polynôme caractéristiaque de
Preuve si
χu
u
est scindé à racines
 simples :
λ1
B
dans laquelle

M atB (u) = 
∀i ∈ {1, . . . , n}
Et comme
Correction 1611
on a
E
de dimension nie, alors
est aussi un polynôme annulateur de
..
.
λn
χu (λi ) = 0,
u est


.
u.
alors diagonalisable et

il existe donc une base
Alors
χu (λ1 )

M atB (χu (u)) = 
on en déduit que
..
.

.
χu (λn )
χu (u) = 0.
(v, w) ∈ Com, (λ, µ) ∈ R2 . u(λv + µw) = λuv + µuw = λvu +
µwu = (λv + µw)u. Donc Com est un sous espace vectoriel de L(E, E).
2. Soit
1. Soit
x ∈ Eλ . u(v(x)) = uv(x) = vu(x) = v(λx) = λv(x)
donc
v(x) ∈ Eλ .
3. Chaque valeur propre est de multiplicité 1 donc chaque espace propre est de dimension
1. Ainsi, si
x ∈ Eλ \ {0}, Eλ = Rx.
v.
Comme
v(x) ∈ Eλ , ∃α ∈ R, v(x) = αx.
Donc
x
est un
vecteur propre de
(e1 , ..., en ) une base de vecteurs propres de u. C'est aussi une base de vecteurs propres
Com. Tout élément de Com est donc représenté par une matrice
diagonale dans (e1 , ..., en ). Réciproquement, tout endomorphisme représenté dans cette
base par une matrice diagonale commute avec u. Donc


α1


..
Com = {v ∈ L(E, E), ∃(α1 , ..., αn ) ∈ Rn , Mv/(e1 ,...,en ) = 
}
.
αn
4. Soit
pour tout élément de
On en déduit que
5.
6.
Com
est de dimension
n.
u ui = u(u · · · u) = (u · · · u)u = ui u. Donc ∀i ∈ {0, ..., n−1}, ui ∈ Com. Ainsi Vect(id, u, ..., un−1 ) ⊂
Com.
P
P
P
i
i
i
i
Soit xk ∈ Eλk \ {0}. u (x) = λk x. Donc (
α
u
)x
=
α
u
(x)
=
(
αi λik )x = 0. Donc
i
i
P
∀k ∈ {1, ..., n}, αi λik = 0.
(∗) est non nul. Il s'agit donc d'un système de Cramer : il n'a
α0 = ... = αn−1 = 0. La famille (id, u, ..., un−1 ) est donc libre.
7. Le déterminent du système
qu'une solution,
8. On a
dim Vect(id, u, ..., un−1 ) = n = dim Com et Vect(id, u, ..., un−1 ) ⊂ Com donc Vect(id, u, ..., un−
Com
Correction 1635 χA = (−1 − X)(2 − X)2 . Donc A est diagonalisable ssi dim ker(A − 2I) = 2.
rg(A − 2I) = 2, donc dim ker(A − 2I) = 1 donc A n'est pas diagonalisable.
est scindé sur R donc A est triangularisable sur R.
x
n 4x+2y+4z=0
1 x+z=0
y
−x+4y−z=0 ⇔
0
∈
ker(A
+
I)
⇔
donc
ker(A
+
I)
=
R
y=0
z
−1
Or
Cependant,
χA
−2x−y−2z=0
De même,
x
y
∈ ker(A
z
x+2y+4z=0
−x+y−z=0
−2x−y−5z=0
2 1
ker(A + I) = R −1
2 2
1
On sait que ker((A − 2I) ) est de dimension 2, et que
∈ ker(A − 2I) ⊂ ker((A − 2I)2 ).
−1
2 2
1
On cherche donc un deuxième vecteur dans ker((A − 2I) ), linéairement indépendant de
.
−9 0 −18 2 2 −1
0
0
0
3
1
1
(A − 2I)2 = 0 0 0
donc
convient. De plus : A 1
= −1
= −1
+2 1 .
0
0
0
9 0 18 −1 0 0 1 2 0
−1
0 1 1 , on obtient P
Donc en posant P =
AP = 0 2 1 .
−1 −1 0
− 2I) ⇔
n
⇔
x=2y
z=−y donc
0 0 2
365
Correction 1636
P = X 3 − X = (X − 1)(X + 1)X est un polynôme
annulateur de A. Il s'agit d'un poynôme scindé à racine simples donc A est diagonalisable.
Les valeurs propres de A sont des racines de P donc Sp(A) ⊂ {0, 1, −1}. On a rg A = 2 donc
0 est valeur propre de multiplicité 2. La résolution de système (A + I)X = 0 montre que
1 1
ker(A + I) = R −1
, donc −1 est valeur propre de multiplicité 1 donc 1 est nécessairement
On a
A3 = A ,
donc
−1
valeur propre de multiplicité 1 : on en déduit que
Correction 1641
2.
A est triangulaire inférieure donc ses valeurs sont ses coecients diagonaux : 1, 2 et 3. A a trois valeurs propres distinctes donc A est diagonalisable.


3 −2 1
χB = −(X − 1)(X + 1)2 . B + I =  3 −2 1, donc rg(B + I) = 2, dim(ker B + I) =
−1 2 1
1 < 2 donc B n'est pas diagonalisable.


−2 2 1
χB (B) = 0 donc B(B 2 + B − I) = I , soit B −1 = B 2 + B − I = −1 1 1.
3 −2 0
1.
Correction 1642
2.
3.
χA = X 2 (X − 1)(X + 1).
t
A = A donc A est diagonalisable dans une base orthonormée.




1 1
1
−1 0 0
0 , P −1 AP =  0 2 0.
Par exemple : P = 1 −1
1 0 −1
0 0 2
√
√ 
 √


1/√3 1/ √2
1/√6
−1 0 0
Q = 1/√3 −1/ 2 1/ √6 , Q−1 AQ =  0 2 0 et t Q = Q−1
0 0 2
1/ 3
0
−2/ 6
Correction 1672
1.
tra
= trA = −1, det a = det A = −6
Pa (X) = X 2 − trX + det a = X 2 + X − 6 = (X − 2)(X + 3).
Donc le spectre est
cours,
a
{2, −3},
il est de taille 2 comme l'espace est de dimension 2. D'après le
est diagonalisable et les espaces propres de dimension 1. L'espace propre associé à la
valeur propre 2 est l'ensemble des
f~1 = (2, 1)
tels que
7x − 10y = 2x
ou
x = 2y.
On peut prendre
pour base de cet espace propre. L'espace propre associé à la valeur propre
f~2 = (1, 1)
−3
7x − 10y = −3x ou x = y. On peut prendre
pour
~
~
espace propre. Alors si f = (f1 , f2 ) on a
2 1
1 −1
2
0
f
e
−1
f
, P = [idE ]e =
, D = [a]f =
.
P = [idE ]f =
−1
2
0 −3
1 1
l'ensemble des
de cet
(x, y)
(x, y)
base
250
0
2.250 − (−3)50 −2.250 + 2.(−3)50
50
50 e
50 −1
D =
=
, A = [a ]e = P D P =
0 (−3)50
250 − (−3)50
−250 + 2.(−3)50
0 0
−1 2
1
1
2n f
2n e
−1
.
Donc limn∞ 2n [a ]f = L =
, et limn∞ 32n [a ]e = P LP =
3
0 1
−1 2
P
Correction 1673 Si X = (xij )16i,j6n ∈ F, il est clair
que X =
16i,j6n xij Fij . C'est donc
P
une famille génératrice. Elle est indépendante, car si
16i,j6n xij Fij est la matrice nulle, cela
2
implique que xij = 0 pour tous i et j. C'est donc une base de F . Elle est de taille n , donc F
2
est de dimension n . Ensuite, si D = diag(d1 , . . . , dn ) et si X = (xij )16i,j6n alors le coecient
(i, j) de la matrice Φ(X) = αXD + βDX est (αdj + βdi )xij . Donc Φ(Fij ) = (αdj + βdi )Fij ,
50
[a50 ]ff
tels que
est
366
Fij
Φ pour la valeur propre αdj + βdi . L'espace
Φ. D'après le cours, cela entraîne que Φ est
diagonalisable. Si on le représente dans la base de vecteurs propres, le déterminant de Φ est
Qn Qn
donc le produit des éléments diagonaux, c'est à dire det Φ =
i=1
j=1 (αdj + βdi ). Plus
Qn Qn
généralement det(Φ − λidF ) =
(αd
+
βd
−
λ).
j
i
i=1
j=1
ce qui est dire que
F
Correction 1674
Si
est un vecteur propre de
admet donc une base de vecteurs propres de
n >
sin 2θ
sin 3θ
2
et D2 = 4 cos θ − 1 =
.
sin θ
sin θ
2, développons Dn par rapport à la dernière ligne, en recommencant encore une fois
Notons
Dn = det B.
Alors
D1 = 2 cos θ =
n − 1 obtenus. On obtient Dn = 2 cos θDn−1 − Dn−2 . Faisons
sin(k+1)θ
l'hypothèse de récurrence que Dk =
pour k < n. On a vu que c'est vrai pour k = 1
sin θ
2 cos θ sin nθ
et 2. Alors par des identités trigonométriques classiques Dn =
− sin(n−1)θ
= sin(n+1)θ
,
sin θ
sin θ
sin θ
et la récurrence est étendue. Puisque sin x = 0 ⇔ il existe un entier relatif k tel que x = kπ
kπ
alors Dn = 0 si et seulement si il existe k = 1, 2, . . . , n tel que θ =
les autres valeurs de
n+1
k étant exclues car 0 < θ < π. Par dénition de PA on a PA (−2 cos θ) = Dn = sin(n+1)θ
qui
sin θ
kπ
s'annule pour les n nombres distincts −2 cos
,
k
=
1,
2,
.
.
.
,
n
qui sont nécessairement toutes
n+1
kπ
kπ
les valeurs propres de A. Les valeurs propres de 2In +A sont donc 2−2 cos
= 4 sin2 2n+2
> 0.
n+1
Le spectre de 2In − A est le même.
PN
PN
PN
i
Correction 1702
1. u
i=1 αi xi =
i=1 αi u(u (x0 )) =
i=1 αi xi+1 . Donc ∀x ∈ F, u(x) ∈
F.
Pk
2. Si à un rang k , xk+1 est une combinaison linéaire des xi pour i 6 k : xk+1 =
i=0 ai xi . On
Pk
en déduit que xk+2 =
i=0 ai xi+1 , et donc que xk+2 ∈ V ect(x1 , . . . , xk+1 ) ⊂ V ect(x0 , . . . , xk ),
et par récurrence, on obtient nalement que ∀p > k, xp ∈ V ect(x0 , . . . , xk ). On en déduit
que le rang de la famille {x0 , . . . , xm }, est strictement croissant avec m puis éventuellement constant à partir d'un certain rang. Comme E est de dimension nie n, on en déduit
que ce rang est constant à partir d'un rang k 6 n : la famille (x0 , . . . , xk ) est alors libre,
et xk+1 est une combinaison linéaire de (x0 , . . . , xk ).
Pk
P
k+1
3. xk+1 −
(x0 ) − ki=0 ai ui (x0 ) = 0 donc P0 (u)(x0 ) = 0.
i=0 ai xi = u
PN
PN
i
i
4. Si x ∈ F alors x =
i=0 αi u (x0 ). En posant P =
i=0 αi X , on a x = P (u)(x0 ).
avec un des déterminants d'ordre
P = QPP
0 + R la division euclidienne de P par P0 , alors deg(R) < deg(P0 ) = k + 1.
k
i
Notons R =
i=0 ri X . On a x = P (u)(x0 ) = Q(u)P0 (u)(x0 ) + R(u)(x0 ) = R(u)(x0 )
5. Soit
6. La famille
(x0 , . . . , xk )
7. La matrice de
u |F
est donc libre et génératrice dans
F
: c'est une base.
dans cette base est la matrice compagnon associée au polynôme
P0 ,
et
χu|F = P0 .
8. On choisit un vecteur
y ∈ E \ F,
et on recommence le même travail avec ce vecteur, et
on continue ainsi jusqu'à avoir obtenu une base de tout l'espace. La matrice de
u
dans la
base nale est alors du type demandé.
Correction 1710
Soit
A=
1 1 0
0 1 1
1 0 1
.
χA = (2 − X)(ω − X)(ω̄ − X)
sur
donc
A
est diagonalisable
C.
1
ker(A − 2I) = C 1
1
x
n (1−ω)x+y=0
1
y=(ω−1)x
y=ω2 x
y
(1−ω)y+z=0 ⇔
ω2
∈
ker(A
−
ωI)
⇔
⇔
donc
ker(A
−
ωI)
=
C
2
z=(ω−1) x
z=ω 4 x
z
ω4
(1−ω)z+x=0 1
On en déduit que ker(A − ω̄I) = C ω̄ 2
ω̄ 4
1 1 1 1 0 0
−1
2
2
1 ω ω̄
0 ω 0
Ainsi en posant P =
on obtient P
AP
=
4
4
1 ω ω̄
0 0 ω̄
367
On en déduit que les solutions sont les suites de la forme
n xn = a+b
ωn
ω̄ n
+c
yn = a+b ω n+2 +c ω̄ n+2 où
zn = a+b ω n+4 +c ω̄ n+4
a, b, c sont
n a+b+c
xn yn
zn
= P
1
0 0
0 ωn 0
0 0 ω̄ n
a b
c
soit :
trois complexes.
=2
a+bω 2 +cω̄ 2 =1 on obtient la solution particulière cherchée : c'est la
4
4
a+bω +cω̄ =1
4/3, b = c = 1/3.
En résolvant le système
a=

x
=
4/3
+
2/3
cos(nπ/3)
 n
yn = 4/3 + 2/3 cos((n + 2)π/3)

zn = 4/3 + 2/3 cos((n + 4)π/3)
solution associée à
Correction 1712
A t A = (a2 + b2 + c2 + d2 )id. Ainsi det A ∗ det t A = (det A)2 = (a2 +
b + c + d ) et donc det A = ±(a2 + b2 + c2 + d2 )2 .
P
Dans l'expression det A =
σ∈S4 ε(σ)α1σ(1) ...α4σ(4) où les coecients de A sont notés
4
αij , le seul terme en a est obtenu pour σ = id, soit ε(σ) = +1. On en déduit que
det A = (a2 + b2 + c2 + d2 )2 . Pour obtenir le polynôme caractéristique de A, on remplace a
2
2
2
2 2
par a − X dans A, et on calcule le déterminant. On a donc χA = ((a − X) + b + c + d )
2
2.
3.
2
1.
2 4
∀λ ∈ R, χA (λ) > 0
car
(b, c, d) 6= (0, 0, 0).
4.
√
√ √
A(i 3, 1, 1, 1) = (1 − i 3(i 3, 1, 1, 1))
A
R.
Donc
n'est ni diagonalisable ni triangularisable sur
n'a pas de valeur propre réelle, donc
A
√
√
√
A(−1, i 3, −1,√1) = (1 − i 3(−1, i 3, −1, 1)).
Pour la seconde valeur propre, qui est le conjugué de 1−i 3, on utilise les vecteurs conju√
√



i 3 −1
2ω̄ 0 0 0
√ −i 3 −1
√

 1 i 3

1
−i 3
 on a P −1 AP =  0 2ω̄ 0 0  =
gués. Ainsi, en posant P = 
 1
 0 0 2ω 0 
−1
1
−1 
0 0 0 2ω
1
1
1
1
D.
et
∀n ∈ N, Xn+1
∈ N, Xn √
= An X0 . Or 
√ n , d'oùn ∀n
 n= nAX
n
2 ω̄ i 3 −2 ω̄√n −2n ω n i 3
−2n ω√
n
n
n
n
n
n
n
n
 2 ω̄
2 ω̄ i 3
2 ω
−2 ω i 3
.
An X0 = P Dn P −1 X0 . On en déduit que Xn = 
n n
n n
 2n ω̄ n
−2 ω̄
2 ω
−2n ω n 
2n ω̄ n
2n ω̄ n
2n ω n
2n ω n
√
√
−1
Posons Y0 = P
X0 . En résolvant le système P X0 = Y0 , on obtient Y0 = (1/2i 3, 0, −1/2i 3, 0),
5. Soit
Xn = (un , vn , wn , hn ).
On a
et nalement :
√ 


cos nπ
2n (ω̄ n + ω n )i 3
3
nπ 
√  2n (ω̄ n − ω n ) 

3 
 = 2n − sin nπ
Xn = 1/2i 3 
n
n
n
 2 (ω̄ − ω ) 
− sin 
3
− sin nπ
2n (ω̄ n − ω n )
3

Correction 1900
I
l'espace vectoriel des fonctions polynomiales. Supposons P de dimension nie n.
k
Notons fk la fonction x 7→ x . Alors la famille {f0 , · · · , fn } qui compte n + 1 éléments
1. Soit
P
a0 , · · · , an des scalaires non tous nuls tels que, pour tout x ∈ R
a0 + a1 x + · · · an xn = 0. Il en résulte que le polynôme non nul à coecients réels
a0 + a1 X + · · · an X n a une innité de racines, ce qui est absurde.
est liée, donc il existe
on ait
M = sup(X̄). On doit vérier que, i) pour tout x ∈ X, x 6 M et ii) pour tout
ε > 0 il existe x ∈ X tel que M − ε 6 x. Comme X ⊂ X̄ et, pour tout x ∈ X̄, x 6 M la
2. Posons
368
propriété
Comme
i) est vériée par M. Soit maintenant ε > 0. Il existe x ∈ X̄
x ∈ X̄,
ii).
Remarque :
il existe aussi
y∈X
tel que
|x − y| <
ε
.
2
Donc
tel que
M −ε<y
et
M−
M
ε
< x.
2
satisfait
à
sup(X) ∈ X̄ . En eet, pour tout n ∈ N, choisissons
1
un élément xn ∈ X tel que xn > sup(x) −
. Alors la suite (xn )n∈N constituée d'éléments
n
de X converge dans R vers sup(X) qui appartient donc à X̄. On peut bien sûr en déduire
la propriété ii) de M .
on note également que
II
L est un sous espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions de [0, 1] à
R. Soit f ∈ C1 et x, y ∈ [0, 1], avec x < y . Par le théoréme des accroissements
0
0
nis, il existe cx ∈]x, y[ tel que f (y)−f (x) = f (cx )(y −x). Or f est continue, donc bornée
0
sur [0, 1]. Soit M = sup |f (t)|. On a l'inégalité |f (y) − f (x)| 6 M |y − x| qui montre que
1. Il est clair
valeurs dans
t∈[0,1]
f ∈ L.
2.
Il en résulte que
L
contient
P
donc est de dimension innie.
N1 (f ) = 0 et N2 (g) = 0, alors f = g = 0, les autres
propriétés étant claires. Or si N1 (f ) = 0, alors f est constante et f (0) = 0, donc
f = 0. Il en va de même pour N2 .
|fn (x) − fn (0)|
Pour tout n ∈ N, kfn k∞ = 1. Posons Xn = {
, x 6= 0}. Comme fn (0) =
|x|
|fn (x) − fn (0)|
0, on voit que N1 (fn ) = sup(Xn ). Or |fn0 (0)| = lim
, appartient à
x→0
|x|
X̄n donc, en appliquant I 2) on constate que |fn0 (0)| 6 sup(X̄n ) = sup(Xn ). Enn
fn0 (0) = 2πn donc N2 (fn ) > 2πn. Il n'exite donc pas K > 0 tel que, pour tout n ∈ N,
N2 (fn ) < Kkfn k∞ soit N2 et k k∞ ne sont pas équivalentes.
(a) Il sut de vérier que si
(b)
Remarques :
a) on peut obtenir ce résultat (et le préciser) en remarquant que la
sin(2πnx)
dénie sur ]0, 1] se prolonge en une fonction continue
x
en 0 en posant fn (0) = 2πn. Puis noter (en fait c'est un cas particulier de I 2))
que sup |fn | = sup |fn | et montrer (par une étude classique de fonction) que cette
fonction
fn : x 7→
]0,1]
[0,1]
dernière quantité est
2πn.
b) Ce qui fait l'intérêt pour ce problème des fonctions
(fn )n∈N ,
c'est qu'elles sont
1 mais que leur pente en l'origine peut-être rendue arbitrairement grande
(kn )n∈N dénie par
1
kn (x) = nx si x 6 et 1 sinon, pour laquelle un calcul direct donne N1 (kn ) = n et
n
kkn k∞ = 1.
bornées par
avec
n.
On peut donc obtenir le même résultat avec la suite
f ∈ L, N1 (f ) > N2 (f ), on déduit de ce qui précéde que N1
n
n'est pas équivalente ni à k k∞ . Posons gn (x) = x , pour n > 1. Pour tout n > 1,
N2 (gn ) = 1. De plus gn0 (1) = n, donc, par un raisonnement identique à celui qui
précéde, N1 (gn ) > n ce qui montre que N1 n'est pas équivalente à N2 .
(c) Comme, pour tout
Remarque : ce qui fait l'intérêt pour ce problème des fonctions (gn )n∈N , c'est qu'elles
sont bornées par
1
mais que leur pente en
1
peut-être rendue arbitrairement grande
369
avec
n.
On peut donc obtenir le même résultat avec la suite
ln (x) = 0
si
1
x61−
n
et
nx − (n − 1)
gn (x) = x
si
x 6
et
1
n
dénie par
sinon.
1
et
n
0
∗
N2 (gn ) = 1. Il n'existe donc pas de constante K ∈ R+ telle que, pour tout n ∈ N,
kgn k∞ > K 0 N2 (gn ) donc N2 n'est pas équivalente à k k∞ . Enn N2 (gn ) = N1 (gn ), ce
qui établit le même résultat pour N1 .
(d) On pose
1
n
(ln )n∈N
sinon. Il est clair que
gn ∈ L, kgn k∞ =
f ∈ L, que λ(f ) > N1 (f ). Soit x ∈]0, 1]. De l'identité
f (x) − f (0)
f (x) − f (0)
on déduit que |f (x)| 6 |f (0)| + |
| (car
f (x) = f (0) + x
x
x
|x| 6 1) soit |f (x)k 6 N1 (f ). L'application x 7→ f (x) étant continue sur [0, 1] (ou en
appliquant I 2)) on en déduit que, pour tout x ∈ [0, 1] on a également |f (x)k 6 N1 (f ).
En d'autre termes kf |∞ 6 N1 (f ) et λ(f ) 6 2N1 (f ). Les normes λ et N1 sont donc
(e) Il est clair que pour tout
équivalentes.
f ∈ C1 : ν1 (f ) = |f (0)| + kf 0 k∞
3. On pose, pour tout
ν1 (f ) = 0,
(a) On constate aisément que si
alors
et
f
ν(f ) = kf k∞ + kf 0 k∞ .
est constante et, comme de plus
f (0) = 0,
elle est nulle. Les autre propriétés sont immédiates, donc
1
normes sur C .
ν
et
ν1
sont des
|f (x) − f (y)|
; (x, y) ∈ [0, 1]2 , x 6= y}. Pour montrer que
|x − y|
ν1 (f ) = N1 (f ), il sut de vérier que sup(X) = kf 0 k∞ . Soient x, y ∈ [0, 1], x 6= y.
Par le théorème des accroissements nis, il existe c compris entre x et y tel que
|f (x) − f (y)|
= f 0 (c) 6 kf 0 k∞ , donc sup(X) 6 kf 0 k∞ . Comme f 0 est continue, il
|x − y|
f (x) − f (x0 )
0
0
0
existe x0 ∈ [0, 1] tel que f (x0 ) = kf k∞ . Alors f (x0 ) = lim
appartient
x→x0
x − x0
0
à X̄, donc, en appliquant I 2), kf k∞ 6 sup(X̄) = sup(X).
(b) Soit
f ∈ C1 ,
Remarque :
notons
X ={
on peut formuler ce raisonnement de la manière suivante : soit
0
{f (x); x ∈ [0, 1]}.
X ⊂ Y. On a
sup(X) 6 sup(Y ) 6 sup(X̄),
Par le théorème des accroissements nis,
par dénition de la dérivée,
Y ⊂ X̄.
Donc
Y =
ensuite,
puis on
applique I 2).
(c) Les normes ν et ν1 sont équivalentes. En eet, il est clair que ν1 (f ) 6 ν(f ) pour tout
f ∈ C1 . Soit t0 ∈ [0, 1] tel que kf k∞ = |f (t0 )|. Si t0 = 0 alors ν1 (f ) 6 ν(f ). Sinon, par
0
le théorème des accroissements nis, il existe c ∈]0, t0 [ tel que f (t0 ) = f (0) + f (c)t0
ce dont on déduit que
4.
(a) Soit
x ∈ [0, 1].
kf k∞ 6 ν1 (f ),
puis que
ν(f ) 6 2ν1 (f ).
(fn (x))n∈N étant de Cauchy, elle est converf (x) = lim fn (x). Soit ε > 0. La suite (fn ) étant de Cauchy, il existe
La suite de nombres réel
gente. On pose
n→∞
N tel que, si m, n > N alors kfn − fm k∞ 6 ε. Soient x ∈ [0, 1] et m, n > N. On a
|fn (x) − fm (x)| 6 ε et, ceci étant vrai pour tout m ∈ N, on en déduit, par passage à
la limite suivant m, que |fn (x) − f (x)| 6 ε, soit kfn − f k∞ 6 ε. Ainsi f est la limite,
pour la convergence uniforme, d'une suite de fonctions continues donc est continue.
est de Cauchy pour k k∞ ,
0
donc (uniformément) convergente par la question qui précéde. De même (fn )n∈N est
(b) Par dénition de
de Cauchy pour
en résulte que
converge vers
ν,
une suite
k k∞ ,
(fn )n∈N
de Cauchy pour
ν
g . Il
(fn )n∈N
donc converge uniformèment vers une fonction continue
f est dérivable et a pour dérivée la fonction continue g . Enn
f pour ν donc (C1 , ν) est complet.
370
(gn )n∈N une suite de Cauchy dans (C1 , ν1 ). Comme ν1 est équivalente
1
à ν, elle est de Cauchy pour ν donc convergente. Il existe donc h ∈ C telle que
lim ν(h − gn ) = 0. Mais puisque ν1 est équivalente à ν, on a aussi lim ν1 (h − gn ) = 0
Soit maintenant
n→∞
donc
n→∞
(C1 , ν1 )
est complet.
(fn )n∈N une suite de Cauchy dans (L, λ). Comme λ(fn ) > kfn k∞ , la suite (fn )n∈N
0
0
est également de Cauchy dans (C , k k∞ ). Comme (C , k k∞ ) est complet, (fn )n∈N
converge uniformément vers une fonction continue qu'on notera f.
(c) Soit
ε > 0. Comme (fn )n∈N est une suite de Cauchy, il existe N tel
m, n > N on ait, pour tout x, y et z ∈ [0, 1], avec x 6= y :
(fn (x) − fm (x)) − (fn (y) − fm (y)) < ε.
|fn (z) − fm (z)| + x−y
(d) Soit
En faisant tendre
m
que, pour
vers l'inni, on en déduit :
(fn (x) − f (x)) − (fn (y) − f (y)) < ε,
|fn (z) − f (z)| + x−y
donc
sup |fn (z) − f (z)| +
z∈[0,1]
sup
x,y∈[0,1],x6=y
f pour la norme λ. Par ailleurs, on déduit de la
seconde inégalité que, pour tout x, y ∈ [0, 1], avec x 6= y : |(fn −f )(x)−(fn −f )(y)| <
ε|x − y|, donc que pour n assez grand f − fn appartient à L. Or L est un espace
vectoriel et fn ∈ L donc f appartient à L.
Ainsi la suite
(fn )n∈N
(fn (x) − f (x)) − (fn (y) − f (y)) 6 ε.
x−y
converge vers
(e) Toute suite de Cauchy de
L
admet une limite dans
L
qui est donc complet.
371
Neuvième partie
QCM et FORMULAIRES
QCM de révisions
Répondre en cochant la ou les cases correspondant à des assertions vraies (et seulement
celles-ci).
Question 1 Soit l'équation E : x
1.
2.
3.
4.
5.
Logique
n
= 27.
E a une unique solution réelle quel que soit n > 1.
E a au moins une solution réelle quel que soit n > 1.
E a n solutions réelles quel que soit n > 1.
E a au moins n solutions complexes quel que soit n > 1.
E a exactement n solutions complexes quel que soit n > 1.
Question 2 Soit f : R → R, x 7→ x + 1.
2
1.
2.
3.
4.
5.
f est injective.
f n'est pas injective.
f est surjective.
f n'est pas surjective.
La restriction de f , f| : [1, 2] → [2, 5] est bijective.
Question 3 Soit f : C → C, z 7→ z + 1.
2
1.
2.
3.
4.
5.
f est injective.
f n'est pas injective.
f est surjective.
f n'est pas surjective.
La restriction de f , f| : [1, 2] → [2, 5] est bijective.
Question 4 Pour x, y ∈ R et z = x + iy, on pose e
z
1.
2.
3.
4.
5.
|ez | = ex .
p
|ez | = x2 + y 2 .
= ex × eiy = ex+iy .
Arg ez = y .
Arg ez = x + y .
La fonction f : C → C, z 7→ ez est injective.
Question 5 Par quoi doit on complèter les pointillés pour que les
soient vraies :
z ∈ C z = z......z ∈ R ;
1. ⇒ et ⇐.
2. ⇔ et ⇔.
deux assertions suivantes
z ∈ C z 3 = −1 . . . . . . z = −1
372
3. ⇐ et ⇔.
4. ⇒ et ⇒.
5. ⇔ et ⇐.
n
.
Soit la suite (xn )n∈N∗ dénie par xn = (−1)
n
1. ∃N > 0 ∀n (n > N ⇒ xn > 0).
2. ∃ε > 0 ∀n ∈ N∗ xn 6 ε.
3. ∀N ∈ N∗ ∃n > N / xn < 0.
4. ∃n ∈ N∗ xn = 0.
5. ∀ε > 0 ∃N ∈ N∗ ∀n ∈ N∗ (n > N ⇒ |xn | 6 ε).
Soit E un ensemble, A, B ⊂ E , soit A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B). Les assertions
suivantes sont elles vraies quels que soient A et B inclus dans E ?
1. A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A).
2. A∆B = {A ∩ {B .
3. Si B ⊂ A alors A∆B = A.
4. Si E est un ensemble ni, Card (A∆B) 6 Card A + Card B .
5. Si E est un ensemble ni, Card (A∆B) < Card A + Card B .
.
Soit la suite (xn )n∈N dénie par x0 = 1 puis pour n > 1 xn = xn−1
n
1. ∀n ∈ N xn > 0.
2. ∀n ∈ N xn+1 6 xn .
3. ∃N ∈ N ∃c ∈ R ∀n ∈ N (n > N ⇒ xn = c).
4. ∀n ∈ N xn > 12 n!1 .
5. ∀n ∈ N xn 6 21 n!1 .
On lance de façon aléatoire deux dés identiques à 6 faces (numérotées de 1 à 6).
On ne tient pas compte de l'ordre, par exemple le tirage 1 puis 5 est le même que 5 puis 1, mais
les tirages 3 puis 3, et 3 puis 4 sont distincts.
1. Il y a 36 tirages distincts possibles.
2. Il y a 30 tirages distincts possibles.
3. Il y a 21 tirages distincts possibles.
4. La somme des deux chires a plus de chances d'être 7 que 2.
5. La somme des deux chires a strictement plus de chances d'être > 11 que 6 3.
Soit E un ensemble ni de cardinal n, soit A ⊂ E un ensemble à p éléments, et
B ⊂ E un ensemble à q éléments. On note S = {(a, b) ∈ A×B / a 6= b} et T = {(I, b) avec I ⊂
A; Card I = r; b ∈ B}.
1. Si A ∩ B = ∅ alors Card S = p + q .
2. Si A ∩ B = ∅ alors Card S = pq .
3. Si A ⊂ B alors S = ∅.
4. Card T = Cnp × r.
5. Card T = Cpr × q .
Question 6
Question 7
Question 8
Question 9
Question 10
373
Arithmétique
Question 11 Les propositions suivantes sont-elles vraies quels que soient
des nombres premiers > 2.
1. p1 p2 . . . pl est un nombre premier.
2. le carré de p1 est un nombre premier.
3. p1 p2 . . . pl + 1 est un nombre premier.
Q
4. li=1 pi est un nombre impair.
P
5. li=1 pi est un nombre impair.
l > 2 et p1 , . . . , pl
Question 12
1.
2.
3.
4.
5.
Soit n ∈ N un entier, alors (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 24.
1.
2.
3.
4.
5.
Le pgcd de 924, 441 et 504 est 21.
Soit n > 4 un entier pair alors
est impair.
La somme et le produit de deux nombres pairs est un nombre pair.
a|b et a0 |b0 ⇒ aa0 |bb0 .
a|b et a0 |b0 ⇒ a + a0 |b + b0 .
n
2
Question 13
627 et 308 sont premiers entre eux.
Si p > 3 est premier, alors p! est premier.
Soit n > 2 alors n et n + 1 sont premiers entre eux.
Soit n > 2 un entier, le pgcd de {ini pour i = 1, . . . , 100} est n.
Question 14
1.
2.
3.
4.
5.
ab = pgcd (a, b) × ppcm (a, b).
abc = pgcd (a, b, c) × ppcm (a, b, c).
ppcm (a, b, c) est divisible par c.
ppcm (1932, 345) = 19320.
ppcm (5, 10, 15) = 15.
Question 15
1.
2.
3.
4.
5.
Si a|bc et a ne divise pas b alors a|c.
Sachant que 7 divise 86419746 × 111 alors 7 divise 86419746.
Si a = bq + r est la division euclidienne de a par b alors pgcd (a, b) = pgcd (b, r).
Il existe u, v ∈ Z tels que 195u + 2380v = 5.
Sachant qu'il existe u, v tels que 2431u + 65520v = 39 alors pgcd (2431, 65520) = 39.
Question 16
1.
2.
3.
4.
5.
∃P ∈ Z[X] tel que ∀x ∈ R P (x) > 0.
∀P ∈ Z[X] ∃x ∈ R P (x) > 0.
∀P ∈ Q[X] x ∈ Q ⇒ P (x) ∈ Q.
∀P ∈ C[X] de degré > 1 ∃z ∈ C | P (z) = 0.
Tout polynôme de degré 2 est positif.
374
Question 17 Soit P, Q ∈ C[X] des polynômes non nuls P = P
n
i=0
0}, soit val (P ) = min IP .
1.
2.
3.
4.
5.
ai X i , soit IP = {i ∈ N | ai 6=
val(−X 7 + X 3 + 7X 2 ) = 2.
val(P + Q) > min(val(P ), val(Q)).
val(P × Q) = val(P ) + val(Q).
val(k.P ) = k.val(P ) où k ∈ N∗ .
Si Q|P alors val (P/Q) = val(P ) − val(Q).
Question 18
1.
2.
3.
4.
5.
X 4 + X 3 − X 2 − X est divisible par X(X − 1).
Le reste la division euclidienne de X 3 + X 2 + 3 par X − 1 est X + 4.
Le quotient de X 5 + 2X 3 + X 2 + 2X + 1 par X 2 + 1 est X 3 + X + 1.
X − 1 divise X n − 1 pour n > 1
X + 1 divise X n + 1 pour n > 1
Question 19
1.
2.
3.
4.
5.
Soit P ∈ C[X]. X − a divise P ssi P (a) = 0.
Soit P ∈ R[X] de degré impair. Il existe x ∈ R tel que P (x) = 0.
Soit P ∈ R[X], les racines de P 2 sont d'ordre au moins 2.
Soit P ∈ R[X], x est racine simple ssi P (x) = 0.
Un polynôme P ∈ C[X] de degré n a n racines réelles.
Question 20
1.
2.
3.
4.
5.
X 4 + 1 est irréductible dans R[X].
X 2 + 7 est irréductible dans Q[X].
X 2 + 7 est irréductible dans C[X].
Dans Z[X], pgcd (X(X − 1)2 (X 2 + 1), X 2 (X − 1)(X 2 − 1)) = X(X − 1).
Dans Z[X], pgcd (X 4 + X 3 + X 2 + X, X 3 − X2 − X + 1) = X + 1.
Question 21 Réel et rationnels
1.
2.
3.
4.
5.
Réels
(x ∈ Q, y ∈ Q) ⇒ x + y ∈ Q
(x ∈ R \ Q, y ∈ R \ Q) ⇒ x + y ∈ R \ Q
(∀x ∈ R \ Q) (∀y ∈ R \ Q) x < y ⇒ (∃z ∈ Q | x < z < y)
(∀x ∈ R \ Q) (∀y ∈ R \ Q) x < y ⇒ (∃z ∈ R \ Q | x < z < y)
√
Pour n > 3, n impair ⇒ n ∈ R \ Q
Question 22 Soient A, B, C des parties de R
1.
2.
3.
4.
Si sup A existe alors max A existe.
Si max A existe alors sup A existe.
Pour A, B majorées et C ⊂ A ∩ B alors sup C 6 sup A et sup C 6 sup B .
n
o
(−1)n
∗
+ 1 | n ∈ N alors inf A = 0 et sup A = 1.
Si A =
n
375
5. Si B =
n
E(x)
x
o
|x > 0 alors inf B = 0 et sup B = 1.
Question 23 Limites de suites
1.
2.
3.
4.
5.
Si un = n sin( n1 ) alors (un ) tend vers 1.
Si un = ln(ln(n)) alors (un ) a une limite nie.
alors (un ) tend vers +∞.
un = 1 + 12 + 14 + 18 + · · · + 21n alors (un ) diverge.
un = sin(n), il existe une sous-suite de (un ) convergente.
Suites dénies par récurrence. Soit f (x) = 2x(1 − x) et la suite dénie par
u0 ∈ [0, 1] et un+1 = f (un ).
1. ∀n ∈ N un ∈ [0, 1]
2. Quelque soit u0 dans [0, 1], (un ) est monotone.
3. Si (un ) converge vers ` alors ` = 0 ou ` = 1.
4. Si (un ) converge vers ` alors ` = 0 ou ` = 12 .
5. Si u0 ∈]0, 1[ alors (un ) ne converge pas vers 0.
Fonctions continues
1. La somme, le produit et le quotient de deux fonctions continues est continue.
p√
2. La fonction
x ln x est prolongeable par continuité en 0.
3. Il existe a, b > 0 tels que fonction dénie par f (x) = −ex si x < 0 et f (x) = ax2 + b si
x > 0 soit continue.
4. Toute fonction impaire de R dans R est continue en 0.
un =
(ln n)2
√
n
Question 24
Question 25
√
5. La fonction x est prolongeable par continuité en 0.
Théorème des valeurs intermédiaires, fonctions bornées
1. La méthode de dichotomie est basée sur le théorème des valeurs intermédiaires.
2. Tout polynôme de degré > 3 a au moins une racine réelle.
3. La fonction f (x) = x3 (x12 +1) admet au moins une racine réelle sur ] − 1, +1[.
4. Pour f : R+ −→ R continue admettant une limite nie en +∞, f est bornée.
5. Pour f : R+ −→ R continue admettant une limite nie qui vaut f (0) en +∞ alors f
est bornée et atteint ses bornes.
Dérivation
1. La fonction f (x) = 1/x est décroissante sur R∗ .
2. La fonction f (x) = x sin x1 est continue et dérivable en 0.
3. La fonction dénie par x 7→ 0 si x ∈ Q et x 7→ x2 si x ∈/ Q est dérivable en 0.
4. Si f (x) = P (x)ex avec P un polynôme alors pour tout n ∈ N il existe un polynôme Qn
tel que f (n) (x) = Qn (x)ex .
√
5. Si f (x) = x ln x si x ∈ R∗ et f (0) = 0 alors f est dérivable en 0.
Théorème de Rolle et des accroissements nis
1. Si f est dérivable sur [a, b] avec f (a) = f (b) il existe un unique c ∈]a, b[ tel que
f 0 (c) = 0.
Question 26
Question 27
Question 28
|x|
376
2. Si f fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ et f 0 (x) tend vers ` quand x tend
vers a alors f est dérivable en a et f 0 (a) = `.
3. Soit f (x) = ln x si x > 0 et f (0) = 0, pour x > 0 il existe c ∈]0, x[ tel que ln x = xc .
4. Si f est dérivable sur R et lim f (x) = +1 quand x → +∞ et lim f (x) = +1 quand
x → −∞ alors il existe c ∈ R tel que f 0 (c) = 0.
5. ∀x > 0 ex 6 xex + 1
Fonctions usuelles
x
1. ∀n ∈ N limx→+∞ xen = +∞
2. ∀x ∈ R ch x > sh x
x
3. ch
tend vers 1 quand x tend vers +∞.
sh x
4. ch 2x = 1 + 2 sh2 x
th a+th b
5. th(a + b) = 1−th
a th b
Fonctions réciproques
1. Un fonction continue R −→ R strictement décroissante est bijective.
2. Si f est une fonction continue bijective croissante alors f −1 est croissante.
3. Si f est une fonction continue bijective ne s'annulant jamais alors ( f1 )−1 = f .
4. Arcsin(sin x) = x pour tout x ∈ [0, 2π[.
1
5. Si f (x) = Arctan(x2 ) alors f 0 (x) = 1+x
4.
Question 29
Question 30
377
Primitives usuelles
C désigne une constante arbitraire. Les intervalles sont à préciser.
Z
eαt
eαt dt =
+ C (α ∈ C∗ )
α
Z
tα+1
t dt =
+C
α+1
α
Z
Z
(α 6= −1)
Z
√
Z
dt
= Arcsin t + C
1 − t2
dt
1 1 + t = ln +C
1 − t2
2
1 − t
Z
dt
= Arctan t + C
1 + t2
Z
√
dt
= ln |t| + C
t
√
dt
= ln t + t2 + α + C
2
t +α
Z
ch
t dt = sh t + C
Z
sh
t dt = ch t + C
cos t dt = sin t + C
Z
sin t dt = − cos t + C
Z
Z
Z
Z
dt
t π = ln tan
+
+C
cos t
2 4 Z
Z
ch2 t
dt
= tan t + C
cos2 t
Z
dt
= −cotan t + C
sin2 t
Z
dt
Z
tan t dt = − ln |cos t| + C
cotan
t dt = ln |sin t| + C
Z
Z
sh2 t
dt
ch
Z
dt
t = ln tan + C
sin t
2
dt
t
dt
sh
th
= th t + C
= −coth t + C
= 2Arctan et + C
t
= ln th + C
t
2
t dt = ln (ch t) + C
coth
t dt = ln |sh t| + C
378
Développements limités usuels
(au voisinage de 0)
ex = 1 +
x2
xn
x
+
+ ··· +
+ o(xn )
1!
2!
n!
x2 x4
x2n
+
+ ··· +
+ o(x2n+1 )
2!
4!
(2n)!
ch
x=1+
sh
x2n+1
x3 x5
x=x+
+
+ ··· +
+ o(x2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!
th
x=x−
2
17 7
x3
+ x5 −
x + o(x8 )
3
15
315
cos
x=1−
x2 x4
x2n
+
+ · · · + (−1)n .
+ o(x2n+1 )
2!
4!
(2n)!
sin
x=x−
x2n+1
x3 x5
+
+ · · · + (−1)n .
+ o(x2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!
tan
x=x+
x3
2
17 7
+ x5 +
x + o(x8 )
3
15
315
(1 + x)α = 1 + αx +
α(α − 1) 2
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
x + ··· +
x + o(xn )
2!
n!
1
= 1 − x + x2 + · · · + (−1)n xn + o(xn )
1+x
√
√
1+x=1+
x 1 2
1.1.3.5 . . . (2n − 3) n
− x + · · · + (−1)n−1 .
x + o(xn )
2 8
2n n!
1.3.5 . . . (2n − 1) n
1
x 3
x + o(xn )
= 1 − + x2 + · · · + (−1)n .
n
2 8
2 n!
1+x
ln (1
+ x) = x −
x2 x3
xn
+
+ · · · + (−1)n−1 . + o(xn )
2
3
n
argth
x=x+
x3 x5
x2n+1
+
+ ··· +
+ o(x2n+2 )
3
5
2n + 1
arctan
x=x−
x3 x5
x2n+1
+
+ · · · + (−1)n .
+ o(x2n+2 )
3
5
2n + 1
argsh
x=x−
1 x3 3 x5
1.3.5 . . . (2n − 1) x2n+1
+
+ · · · + (−1)n .
+ o(x2n+2 )
2 3
8 5
2n n!
2n + 1
arcsin
1 x3 3 x5
1.3.5 . . . (2n − 1) x2n+1
+
+ ··· +
+ o(x2n+2 )
x=x+
n
2 3
8 5
2 n!
2n + 1
379
Fonctions circulaires et hyperboliques
Propriétés trigonométriques
: remplacer
cos
par
ch
et
sin
par
i. sh.
cos(a + b) = cos a. cos b − sin a. sin b
cos(a − b) = cos a. cos b + sin a. sin b
sin(a + b) = sin a. cos b + sin b. cos a
sin(a − b) = sin a. cos b − sin b. cos a
tan a + tan b
tan(a + b) =
1 − tan a. tan b
tan a − tan b
tan(a − b) =
1 + tan a. tan b
ch(a + b) = ch a. ch b + sh a. sh b
ch(a − b) = ch a. ch b − sh a. sh b
sh(a + b) = sh a. ch b + sh b. ch a
sh(a − b) = sh a. ch b − sh b. ch a
th a + th b
th(a + b) =
1 + th a. th b
th a − th b
th(a − b) =
1 − th a. th b
cos 2a = 2. cos2 a − 1
= 1 − 2. sin2 a
= cos2 a − sin2 a
sin 2a = 2. sin a. cos a
2 tan a
tan 2a =
1 − tan2 a
ch 2a = 2. ch2 a − 1
1
[cos(a + b) + cos(a − b)]
2
1
sin a. sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]
2
1
sin a. cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)]
2
cos a. cos b =
p+q
p−q
. cos
2
2
p+q
p−q
. sin
cos p − cos q = −2. sin
2
2
p+q
p−q
. cos
sin p + sin q = 2. sin
2
2
p−q
p+q
. cos
sin p − sin q = 2. sin
2
2
cos p + cos q = 2. cos
= 1 + 2. sh2 a
= ch2 a + sh2 a
sh 2a = 2. sh a. ch a
2 th a
th 2a =
1 + th2 a
1
[ch(a + b) + ch(a − b)]
2
1
sh a. sh b = [ch(a + b) − ch(a − b)]
2
1
sh a. ch b = [sh(a + b) + sh(a − b)]
2
ch a. ch b =
p+q
p−q
. ch
2
2
p+q
p−q
ch p − ch q = 2. sh
. sh
2
2
p+q
p−q
. ch
sh p + sh q = 2. sh
2
2
p−q
p+q
. ch
sh p − sh q = 2. sh
2
2
ch p + ch q = 2. ch
380
avec

cos x =
x
t = tan
sin x =
2

tan x =
Dérivées
1−t2
1+t2
2t
1+t2
2t
1−t2
: la multiplication par
cos0 x = − sin x
sin0 x = cos x
1
cos2 x
−1
0
2
cotan x = −1 − cotan x =
sin2 x
−1
1 − x2
1
0
Arcsin x = √
1 − x2
1
0
Arctan x =
1 + x2
−1
0
Arccotan x =
1 + x2
0
x= √
i
1+t2
1−t2
2t
1−t2
2t
1+t2
n'est plus valable
ch0 x = sh x
sh0 x = ch x
tan0 x = 1 + tan2 x =
Arccos
avec

ch x =
x
t = th
sh x =
2

th x =
(|x| < 1)
(|x| < 1)
1
ch2 x
−1
0
2
coth x = 1 − coth x =
sh2 x
th0 x = 1 − th2 x =
0
x= √
1
(x > 1)
x2 − 1
1
0
Argsh x = √
2
x +1
1
0
Argth x =
(|x| < 1)
1 − x2
1
0
(|x| > 1)
Argcoth x =
1 − x2
Argch