autour des anneaux de dedekind, aspects géométriques et

AUTOUR DES ANNEAUX DE DEDEKIND,
ASPECTS GÉOMÉTRIQUES ET
ARITHMÉTIQUES
Sandrine Henri
sous la direction de Marco A. Garuti,
professeur à l’Université de Padoue
19 mai au 13 juillet 2008

Table des matières
1 Généralités 2
1.1 Clôture intégrale et anneaux de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Propriétés de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Factorisation des idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Localisation................................. 6
1.2.3 Points clés de la démonstration du théorème 1.2.3 . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Ramification..................................... 9
1.3.1 Indice de ramification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Discriminants................................ 10
1.3.3 Démonstration du théorème 1.3.16 (ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Théorie des nombres 15
2.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Exemples ...................................... 15
2.2.1 Les corps cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Les corps quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Courbes algébriques 19
3.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Pointssinguliers................................... 20
3.3 Interprétation géométrique de la ramification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Références 24
1

Partie 1
Généralités
1.1 Clôture intégrale et anneaux de Dedekind
Dans tout ce document, les anneaux sont supposés commutatifs et unitaires, et les extensions de
corps sont algébriques. Dans cette partie, nous introduisons différentes notions d’algèbre commu-
tative, notamment celles de clôture intégrale, d’anneau de Dedekind et de ramification. Les parties
suivantes ont pour but de donner des exemples de tels objets en théorie des nombres et en géomé-
trie algébrique. Certains résultats sont admis dans ce document. Le lecteur pourra en trouver les
démonstrations dans [1].
Définition 1.1.1 (entier sur un anneau, anneau entier). Soient Lun anneau et Aun sous-anneau
de L. Si α∈Lest racine d’un polynôme unitaire à coefficients dans A, on dit que αest un entier
sur A.
Si tout élément de Lest entier sur A, on dit que Lest un anneau entier sur A.
Proposition 1.1.2. Soient Lun corps et Aun sous-anneau de L. Soit α∈L. Alors les propositions
suivantes sont équivalentes :
(i) L’élément αest entier sur A.
(ii) Le sous-anneau A[α]de Lest un A-module finiment engendré.
(iii) Il existe un A-sous-module Mde Lfiniment engendré tel que αM ⊂M.
Démonstration. (i) ⇒(ii). Soit α∈Lun entier sur A. Soit Xn+an−1Xn−1+··· +a1X+a0
un polynôme annulateur de α, avec ai∈Apour i= 0, . . . , n −1. Montrons que le A-module
A[α]est engendré par 1, α, . . . , αn−1. Pour cela, il suffit de montrer que pour tout i>n,αiest
une combinaison linéaire de 1, . . . , αn−1à coefficients dans A. Or, on a la relation
αn=−a0−a1α− ··· − an−1αn−1,
et une récurrence immédiate permet de conclure.
(ii) ⇒(iii). Il suffit de choisir M=A[α].
(iii) ⇒(i). Considérons une famille génératrice du A-module M,(e1, . . . , en). Comme αei∈
Mpour tout ientre 1et n, il existe des éléments cij ∈Atels que
αei=
n
X
j=1
cijej.
Notons Cla matrice (cij)16i,j6n, et Ela transposée de la matrice (e1, . . . , en). La relation pré-
cédente s’écrit sous forme matricielle αE =CE, soit (αIn−C)E= 0, autrement dit, le noyau
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de αIn−Cn’est pas réduit à 0. Les coefficients de αIn−Cétant dans un corps, à savoir L, ceci
implique que le déterminant de αIn−Cest nul. Celui-ci est de la forme
det(αIn−C) = αn+
n−1
X
k=0
akαi,
où les aks’expriment comme polynômes en les cij, donc sont des éléments de A. Ainsi, αest
racine d’un polynôme unitaire à coefficients dans A, donc est entier sur A.
Corollaire 1.1.3. Soient Lun corps et Aun sous-anneau de L. Soit Bl’ensemble des entiers de
Lsur A. Alors Best un sous-anneau de L.
Démonstration. Bien entendu, 1∈B. Soient αet βdeux éléments de B. Il s’agit de montrer que
α+βet αβ sont également des éléments de B.
D’après la proposition précédente, A[α]et A[β]sont finiment engendrés comme A-modules.
Notons (e1, . . . , er)une famille génératrice de A[α]et (f1, . . . , fs)une famille génératrice de
A[β]. Le A-module A[α, β]est engendré par la famille (eifj,16i6r, 16j6s), et donc
est finiment engendré. Or, (α+β)A[α, β]⊂A[α, β]et (αβ)A[α, β]⊂A[α, β]. On conclut par
l’implication (iii) ⇒(i) de la proposition précédente.
Définition 1.1.4 (clôture intégrale). Soient Lun corps et Aun sous-anneau de L. L’anneau B
des entiers de Lsur Aest appelé clôture intégrale de Adans L.
Définition 1.1.5 (anneau intégralement clos). On dit qu’un anneau intègre Aest intégralement
clos s’il est égal à sa clôture intégrale dans son corps de fractions.
Proposition 1.1.6. Soient Aun anneau intègre, Kson corps des fractions, Lune extension de K
et Bla clôture intégrale de Adans L. Alors
(i) Si α∈L, il existe b∈Bet a∈Atels que α=b/a. En particulier, Lest le corps des
fractions de B.
(ii) L’anneau Best intégralement clos.
(iii) Si Aest intégralement clos, alors B∩K=A.
Démonstration. (i) Soient α∈Let g∈K[X]un polynôme annulateur. Comme Kest le corps
des fractions de A, on peut écrire
g=Xn+cn−1
dn−1
Xn−1+··· +c0
d0
avec ci, di∈Aet di6= 0,∀i= 0, . . . , n−1. Posons d=Qn−1
i=0 di. On a dng(α) = 0, c’est-à-dire :
(dα)n+cn−1
dn−1
d(dα)n−1+··· +c0
d0
dn= 0.
Par construction, ci
did∈A,∀i= 0, . . . , n −1, et donc dα est racine d’un polynôme unitaire à
coefficients dans A. Ainsi, b=dα ∈B, et α=b/d, ce qui conclut.
(ii) Soit B0la clôture intégrale de Bdans L. Il s’agit de montrer que tout élément de B0est
entier sur A. Soit α∈B0. Comme αest entier sur B, il existe
g(X) = Xn+bn−1Xn−1+··· +b0∈B[X]
tel que g(α)=0. Considérons le sous-anneau A[b0, . . . , bn−1]de B0. Alors A[b0, . . . bn−1]est
un A-module finiment engendré. En effet, les bisont tous entiers sur A. D’après la proposition
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1.1.2, A[b0]est un A-module finiment engendré. Supposons par récurrence que A[b0, . . . , bi]est
engendré par des éléments e1, . . . , er. Comme bi+1 est entier sur A,A[bi+1]est engendré par
un nombre fini d’éléments f1, . . . , fs. Finalement, A[b0, . . . , bi+1]est engendré par les eifj,16
i6r,16j6s. Et donc, par récurrence, A[b0, . . . bn−1]est finiment engendré. Le A-module
A[b0, . . . , bn−1, α]est lui-aussi finiment engendré, par l’ensemble
{uiαk,16i6m, 06k6n−1}
où (ui)16i6mest une famille génératrice de A[b0, . . . , bn−1]. De plus, αA[b0, . . . , bn−1, α]⊂
A[b0, . . . , bn−1, α]. La proposition 1.1.2 assure alors que αest entier sur A.
(iii) Immédiat d’après les définitions de clôture intégrale et d’anneau intégralement clos.
Définition 1.1.7 (anneau noethérien). On dit qu’un anneau est noethérien si tous ses idéaux sont
engendrés par un nombre fini d’éléments.
Définition 1.1.8 (anneau de Dedekind). Soit Aun anneau intègre qui n’est pas un corps. On dit
que Aest un anneau de Dedekind s’il vérifie les trois propriétés suivantes :
(i) Aest noethérien,
(ii) tout idéal premier non nul de Aest maximal,
(iii) Aest intégralement clos.
Remarque. Tout anneau principal est un anneau de Dedekind. La propriété (i) est évidente; mon-
trons les propriétés (ii) et (iii).
Démonstration de (ii).Soit Aun anneau principal, et (p)⊂Aun idéal premier non nul. Montrons
que (p)est maximal. Soit (q)un idéal tel que (p)⊂(q). Il existe a∈Atel que aq =p. Comme
(p)est premier, on a soit a∈(p), soit q∈(p).
Dans le premier cas, si a∈(p), il existe b∈Atel que a=bp. Donc bpq =p, et comme Aest
intègre et pnon nul, bq = 1. Donc qest inversible et (q) = A.
Dans le deuxième cas, si q∈(p), alors (q)⊂(p)et donc (q) = (p).
Démonstration de (iii).On montre plus généralement que cette propriété est vraie pour tout an-
neau factoriel. Soit Aun anneau factoriel, et notons Kson corps des fractions. Soit x∈Kun
élément entier. On écrit x=b
c, avec bet cdeux éléments de Apremiers entre eux, et xn+
an−1xn−1+··· +a0= 0, avec les aidans A. Ainsi,
−bn=c(an−1bn−1+··· +a0cn−1).
Comme Aest factoriel, tout facteur premier de cdivise b. Or, bet csont premiers entre eux, donc
cest une unité, et x∈A.
Dans la suite, nous aurons également besoin de la définition et du théorème suivant :
Définition 1.1.9 (extension séparable). Soient Kun corps et Lune extension de K. On dit que
l’extension L/K est séparable si tout élément de Lest racine d’un polynôme de K[X]à racines
simples dans K[X].
Théorème 1.1.10 (élément primitif). Soit L/K une extension finie séparable. Alors il existe α∈
Ltel que L=K(α)(on dit que l’extension est monogène).
Théorème 1.1.11. Soit Aun anneau intègre noethérien et intégralement clos, de corps de frac-
tions K. Soit Lune extension finie séparable de K, et Bla clôture intégrale de Adans L. Alors
Best un A-module finiment engendré. En particulier, Best noethérien.
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