R
XR
(Ω,A, P r)
BBP r(B)
{XB}=X1(B)A
(Ω,A, P r)
XR
BBX1(B)∈ A
XR(Ω,A, P r)
X1(] − ∞, x]) = {Xx} ∈ A
F X
X
F(t) = P r(Xt),tR.
U[0,2]
X X(u) = u2X
[0,2],B[0,2], P rB[0,2]
[0,2] P r
[0,2]
U
FU(t) =
0t < 0
t
20t < 2
1t2.
X
ha, bi[0,4] Xha, bi[0,2]
X FX(x)
0x < 01x4
0x4
x[0,4]
FX(x) = P r(Xx) = P r(Ux) = FU(x) = x/2.
FX(x) =
0x < 0
x
20x < 4
1x4.
O
1
2
U
1
O4
Fonction de répartition de
t
t
F(t)
F(t)
X
U
[0,2]
X=U 2
Fonction de répartition de tiré uniformément dans
(Ω,A, P r)A∈ A
P r(./A)A
[0,1]
P r(B/A) = P r(AB)
P r(A),B∈ A.
A P r(B/A)
B A
(Ω,A, P r(./A))
A
P r(AB) = P r(A)P r(B/A).
A1, A2, ..., AnA
P r(Ai)6= 0, i = 1, ..., n B ∈ A
P r(B) =
n
X
i=1
P r(Ai)P r(B/Ai).
(Ω,A, P r)
Rk
RkBBk{XB}=X1(B)
A
XRk(Ω,A, P r)
(Rk,Bk)BBk
P r({XB})
A
XRk
xRk{Xx} ∈ A
X
F(x) = F(x1, ..., xk) = P r (X(x1, ..., xk)).
X= (X1, ..., Xk)
P r(X1x1, ..., Xkxk) = F(x1, ..., xk).
X= (X1, ..., Xk) (Ω,A, P r)
X1, ..., XkB1, ..., BnB
P r (X1B1, ..., XkBk)=
k
Y
1
P r(XiBi).
F(x1, ..., xk)
Fi(xi),i= 1, ..., k limxj→∞,j6=iF(x1, ..., xk).
X1, ..., Xk
F(x1, ..., xk) =
k
Y
1
Fi(xi).
X1, ..., Xk
ϕ1, ..., ϕkϕ1(X1), ..., ϕk(Xk)
X= (X1, ..., Xk)Rk
f(t1, ..., tk), x1, ..., xkR
F(x1, ..., xk) = Zxk
−∞ ... Zx1
−∞ f(t1, ..., tk)dt1...dtk.
Z
−∞ ... Z
−∞ f(t1, ..., tk)dt1...dtk=1.
XR+
f
EX=Z
−∞ xf(x)dx,
X
X
X X =X+X
X+= max{X, 0}X=min{X, 0}. X+X
X
EX=EX+EX.
X
X
[a, b]a < b
f(x) =
0x < a
1
baax < b
0xb.
EX=Zb
a
x
badx ="x2
2(ba)#b
a
=b2a2
2(ba)=b+a
2.
ϕ(X)
X2
EX2=Zb
a
x2
badx ="x3
3(ba)#b
a
=b3a3
3(ba)=b2+a2+ab
3.
X X
m σ
f(x) = 1
σ2πexp (xm)2
2σ2!, x R.
N(m, σ)
R
−∞ f(x)dx = 1
y=xm
2σ
Z
−∞ ey2dy =π
Gauss et sa courbe
f(x) = 1
π
1
1 + x2,xR.
F(t) = P r(Xt) =1
2+Arctan(t)
π,tR.
R
−∞ =1
Comparaison de la densité de la loi de Cauchy et de la normale
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