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Proposition. Une appliation X de Ω dans R est une v.a. sur (Ω, A, P r)
ssi X −1(] − ∞, x]) = {X ≤ x} ∈ A.
∀t ∈ R.
Dénition. On appelle fontion de répartition (f.r.) F de le v.a. X la
f.r. de la loi de probabilité de X :
F (t) = P r(X ≤ t),
2
Exemple. Soit le réel U uniformément généré dans l'intervalle [0, 2].
On dénit l'appliation X par X(u) = u2. Étudier X et en donner la
f.r., s'il s'agit d'une v.a.
Variables Aléatoires à Valeurs dans R
Le onept de variable aléatoire introduite omme une appliation
X de l'espae disret des événements dans R se généralise pour un
espae probabilisé (Ω, A, P r) quelonque. Il faut toutefois qu'on puisse
dénir, pour tout borélien B ∈ B, P r(B). Or, ei n'est possible que
si {X ∈ B} = X −1(B) appartient à A :
Dénition. Soit (Ω, A, P r) un espae probabilisé quelonque. Une
appliation X de Ω dans R est une variable aléatoire (v.a.) si, pour
tout B ∈ B, X −1(B) ∈ A.
Nous admettons la proposition suivante :
1


 0

√
x
 2

 1
si
si
si
FX (x) = P r(X ≤ x) = P r(U ≤
Soit x ∈ [0, 4]. Nous avons :
D'où :
FX (x) =
1

 0

t
 2

√
√
√
x) = FU ( x) = x/2.
x<0
0≤x<4
x ≥ 4.
4
Solution. L'espae probabilisé initial est [0, 2], B[0,2], P r , où B[0,2]
est la tribu des boréliens ontenus dans [0, 2] et P r la mesure de
probabilité qui assoie à haque sous-intervalle de [0, 2] la moitié de
sa longueur. La f.r. de U est donnée par :
si t < 0
si 0 ≤ t < 2
si t ≥ 2.
FU (t) =
L'appliation X est bien une v.a., puisque l'image inverse
√ d'un sousintervalle ha, bi de [0, 4] par X est le sous-intervalle h√a, bi de [0, 2],
qui est un borélien.
3
Pour aluler le f.r. de X , nous remarquons d'abord que FX (x) vaut
0 pour x < 0 et 1 pour x ≥ 4. Ses valeurs non triviales sont obtenues
pour 0 ≤ x ≤ 4.
Probabilité Conditionnelle
Le onept de onditionnement introduit pour les espaes disrets
s'étend sans diulté aux espaes quelonques
∀B ∈ A.
Dénitions. Soit (Ω, A, P r) un espae probabilisé et soit A ∈ A de
probabilité non nulle. On dénit une appliation P r(./A) de A dans
par :
[0, 1],
P r(A ∩ B)
P r(B/A) =
,
P r(A)
Elle est appelée probabilité onditionnelle sahant A. Le nombre P r(B/A)
est appelé probabilité onditionnelle de B sahant A.
F(t)
U
2
t
t
5
6
On démontre failement que le triplet (Ω, A, P r(./A)) est un espae
probabilisé. Il est appelé espae probabilisé onditionné par A.
1
O
X
F(t)
4
Fonction de répartition de U tiré uniformément dans [0,2]
1
O
Fonction de répartition de X=U 2
Indépendane
à valeurs dans Rk sur l'espae (Ω, A, P r), On peut
la mesure de probabilité qui assoie à tout B ∈ Bk ,
Soit (Ω, A, P r) un espae probabilisé. On peut dénir un veteur aléak
toire (ou une variable aléatoire à valeurs dans R ) omme une appliation de Ω dans Rk telle que, pour tout B ∈ Bk , {X ∈ B} = X −1(B)
soit dans A.
Si X est une v.a.
munir (Rk , Bk ) de
P r({X ∈ B}).
8
La proposition suivante permet de réduire la vériation de la propriété
d'appartenane à A aux images inverses des pavés.
P r(Ai )P r(B/Ai ).
telle que
On remarque aussi que la probabilité d'une intersetion peut s'érire
en termes de probabilité onditionnelle :
P r(A ∩ B) = P r(A)P r(B/A).
On dit alors que l'on a eetué un onditionnement.
On démontre aussi failement la proposition suivante.
n
X
i=1
Proposition. Soit A1, A2, ..., An une partition de Ω dans A,
P r(Ai ) 6= 0, i = 1, ..., n. Alors, pour tout B ∈ A, on a :
P r(B) =
7
La dénition d'indépendane pour les événements d'un espae généralisé est tout à fait identique à elle d'un espae disret.
Dénition. Si F (x1, ..., xk ) est la f.r., la fontion de répartition
Fi(xi), i = 1, ..., k, est limxj →∞,∀j6=i F (x1, ..., xk ).
ginale
Nous admettons les deux propositions suivantes.
k
Y
Fi(xi).
Proposition. Les v.a. X1, ..., Xk sont indépendantes, ssi :
F (x1, ..., xk ) =
1
mar-
10
du veteur
X
est une v.a. ssi, pour
Proposition. Soient X1, ..., Xk des v.a. indépendantes réelles. Soient
ϕ1, ..., ϕk des appliations réelles. Alors les v.a. ϕ1(X1), ..., ϕk (Xk ) sont
des v.a. indépendantes.
Cette proposition est importante. Elle onrme en eet l'idée intuitive
que les transformations des v.a. indépendantes préservent l'indépendane des variables.
Rk
fontion de répartition
Proposition. Une appliation X de Ω dans
tout x ∈ Rk , {X ≤ x} ∈ A.
Dans e as, on peut dénir la
par :
F (x) = F (x1, ..., xk ) = P r (X ≤ (x1, ..., xk )).
Si l'on pose X = (X1, ..., Xk ), on aura :
P r(X1 ≤ x1, ..., Xk ≤ xk ) = F (x1, ..., xk ).
k
Y
1
P r(Xi ∈ Bi).
Dénition. Soit X = (X1, ..., Xk ) une v.a. dénie sur (Ω, A, P r). Les
v.a. X1, ..., Xk sont dites indépendantes, si pour tout B1, ..., Bn ∈ B :
P r (X1 ∈ B1, ..., Xk ∈ Bk ) =
9
EX =
−∞
Z ∞
xf (x)dx,
Dénitions
• (v.a. positives) Soit X une v.a. à valeurs dans
densité f . Son espérane est dénie par :
•
EX = EX + − EX − .
n'admet pas d'espérane.
R+,
admettant la
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si l'intégrale onverge. Si elle diverge, on dit que X n'admet pas
d'espérane.
(v.a. de signe quelonque) Soit X une v.a. réelle. Déomposons X en partie positive et partie négative : X = X + − X −, ave
X + = max{X, 0} et X − = − min{X, 0}. Si X + et X − admettent
toutes deux une espérane, on dit que X admet l'epérane :
Sinon, on dit que X
Dans la suite, nous supposerons que les v.a. non disrtètes admettent
une densité. Cette hypothèse permet de simplier les aluls en termes
d'intégrales de Riemann, dont la onnaissane est supposée être aquise en lasse terminale. Sinon, une révision est vivement onseillée !
Espérane des v.a. Continues
Z
−∞
xk
...
−∞
Z x
1
f (t1, ..., tk )dt1...dtk .
La densité d'une v.a. X = (X1, ..., Xk ) ∈ Rk , lorsqu'elle existe, est la
fontion f (t1, ..., tk ) telle que, pour tout , x1, ..., xk ∈ R :
F (x1, ..., xk ) =
...
−∞
Z ∞
f (t1, ..., tk )dt1 ...dtk =1.
Notons tout de suite qu'on doit avoir :
Z ∞
−∞
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Z b
x2
a b−a
dx =
"
x3
b3 − a3
b2 + a2 + ab
.
=
=
3(b − a) a
3(b − a)
3
#b
Il est à noter qu'on peut aluler l'espérane de toute v.a. de la
forme ϕ(X) par une intégration similaire. Par exemple l'espérane de
vaut :
X2
EX 2 =
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Exemple 2 (Loi Normale). La distribution que nous allons introduire
a un rle entral en statistique. Elle est appelée aussi loi gaussienne
ou loi de Laplae-Gauss. Elle intervient en eet dans la modélisation
probabiliste d'un nombre de grandeurs physiques observée un grand
nombre de fois.
Quelques Exemples
dx =
"
0
#b
x2
b2 − a2
b+a
=
=
.
2(b − a) a
2(b − a)
2

 0

1
f (x) =

 b−a
x
a b−a
Z b
Exemple 1 (Loi Uniforme). Soit la v.a. X uniformément répartie
dans [a, b], ave a < b. Elle admet la densité :
si x < a
si a ≤ x < b
si x ≥ b.
Nous avons :
EX =
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Gauss et sa courbe
!
x ∈ R.
16
Soit X une v.a. réelle. On dit que X suit une loi normale de paramètres
et σ, si elle admet la densité :
m
1
(x − m)2
f (x) = √
exp −
,
2σ 2
σ 2π
Il est d'usage de noter une telle distribution par N (m, σ).
2
e−y dy =
√
π
R
∞ f (x)dx = 1.
Pour prouver qu'il s'agit d'une densité, il faut montrer que −∞
√ .
Pour e faire, on introduit d'abord le hangement de variable y = x−m
2σ
Ensuite l'appliation de l'équation :
Z ∞
−∞
permet de onrmer l'identité souhaitée.
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Comparaison de la densité de la loi de Cauchy et de la normale
1
1
, x ∈ R.
π 1 + x2
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Exemple 3 (Loi de Cauhy). La distribution de Cauhy est donnée
par sa densité :
f (x) =
On démontre failement :
1
Arctan(t)
F (t) = P r(X ≤ t) = +
, t ∈ R.
2
π
∞ =1.
Ce qui fournit omme orollaire R−∞
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