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On ne peut pas formuler es questions en termes de probabilités
assoiées à des valeurs pontuelles des paramètres qui déterminent
l'événement. Nous sommes alors ramené à emprunter d'autres outils
que la somme de probabilités (ou d'une série de probabilités).
Dans le as des espaes ontinus, le alul de la probabilité d'un
événement par une somme (employé dans le as des espaes disrets)
doit être remplaée par une intégrale. On peut avoir aussi un espae
qui n'est ni ontinu ni disret. Une intégration au sens de Lebesgue
peut fournir un enadrement universel uniforme pour tous les espaes
probabilisés.
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Dans la suite, nous introduisons un fondement élémentaire du alul
des probabilités, en supprimant les preuves de ertaines onstrutions,
qui peuvent se trouver dans les ouvrages sur le alul des probabilités
ou sur la théorie de la mesure.
Probabilités Continues
Dans le as où l'espae des événements élémentaires n'est pas dénombrable les probabilités ne peuvent pas être aratérisées pontuellement. En eet, il se peut que es probabilités soient nulles et, don,
leur onnaissane n'apporte auune information sur la probabilité des
événements ontenant une innité indénombrable d'événements élémentaires. Considérons à titre d'exemple, les problèmes suivants :
(Aiguille de Buon). On lane une aiguille de longueur 1 sur un
parquet dont les lames sont parallèles de distane 1. Quelle est la
probabilité que l'aiguille hevauhe une lame du parquet ?
Une proédure a généré uniformément trois réels aléatoires dans
l'intervalle (réel) [0; 1℄. Quelle est la probabilité pour que es grandeurs soient les mesures des tés d'un triangle ?
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Exemple. Pour = fa; b; g, les -algèbres possibles sur sont :
f;; g
f;; ; fag; fb; gg et deux autres familles obtenues par les permutions
b ! a et ! a.
P (
) = f;; fag; fbg; fg; fa; bg; fa; g; fb; g; g.
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Propriétés. On démontre failement que :
Toute -algèbre est fermée pour une intersetion dénombrable.
L'intersetion d'une lasse de -algèbres est enore une -algèbre
Soit C un sous-ensemble de P (
). Il y a une plus petite -algèbre
qui ontient C .
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Espae Probabilisé
Dénition. Soit un ensemble non vide quelonque. Une famille
A de sous-ensembles de (i.e. A P (
)) est appelée -algèbre ou
et est fermée pour la omplémentation et la
réunion dénombrable :
tribu, si elle ontient
2A
A 2 A ) A 2 A
Si pour tout i 2 N , Ai 2 A, alors Si2N Ai 2 A.
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( -additivité)
Dénition. Un espae probabilisé est un triplet (
; A; P r), où est
un ensemble non vide, A une -algèbre sur et P r une appliation
de A dans [0; 1℄ telle que :
P (
) = 1
P r(Ai):
pour toute suite Ai, i 2 N , d'éléments de A 2-à-2 disjoints :
0
1
[
X
i2N
(ou mesure ou distribution) de probabilité sur
AiA =
loi
i2N
Pr P r est appelée une
A, et pour tout A 2 A, P r(A) s'appelle probabilité de A.
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Dénitions. La plus petite -algèbre ontenant C est appelée algèbre engendrée par C . Dans le as de R (ou R k en général), on
prend pour C la lasse des intervalles (ou des pavés) ouverts, fermés,
à droite et/ou à gauhe (pour R k , C est la lasse des pavés du type
Q
k
1 hai; bii, où h et i prennent les valeurs [ et ℄. La -algèbre engendrée
par C est alors appelée tribu des boréliens de R (ou de R k ). Cette
Tribu est notée par B (ou Bk ).
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Exemple. Soit = fa; b; ; dg. Quelle est la -algèbre engendrée par
ffag; f; dgg ?
Solution. On vérie failement que l'ensemble :
D = f;; ; fag; fbg; fa; bg; f; dg; fa; ; dg; fb; ; dgg
est la plus petite -algèbre ontenant l'ensemble donné.
Propriétés Élémentaires
P r(A [ B ) + P r(A \ B ) = P r(A) + P r(B )
Soit (
; A; P r) un espae probabilisé. Nous avons :
P r(;) = 0.
Pour tout A 2 A, P r(A) = 1 P r(A).
Pour tout A; B 2 A :
et don :
P r(A [ B ) P r(A) + P r(B ):
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En e qui onerne les tribus des boréliens, nous admettons le théorème suivant, dont la démonstration déborde le adre que nous nous
sommes xé ii.
Théorème. Soit P r une appliation de l'ensemble des pavés de R k
dans [0; 1℄ satisfaisant :
P r(R k ) = 1
i2N
P r(Ai):
si A est un pavé de R k qui est la réunion d'une suite Ai, i 2 N de
pavés, 2-à-2 disjoints, de R k alors :
X
P r(A) =
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Alors P r se prolonge de façon unique en une mesure de probabilité
sur B
k.
Y
O
X
P r(Zone Hahurée) = 0:78539816
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Quelques Exemples Simples
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Exemple 1. Une proédure a généré deux réels X et Y uniformément
et indépendamment dans l'intervalle [0; 1℄. Dénir l'espae probabilisé
et aluler la probabilité pour que la distane (eulidienne) du point
(X; Y ) de l'origine ne dépasse pas 1.
Solution. On prend pour le arré [0; 1℄ [0; 1℄. La -algèbre A
est engendrée par l'ensemble des pavés (ou ii retangles) ontenus
dans . La mesure de probabilité P r est le prolongement unique de
l'appliation qui assoie à tout retangle ontenu dans son aire.
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La distane du point (X; Y ) de l'origine ne dépasse pas 1 si et seulement si il se trouve à l'intérieur du premier quadrant délimité par le
erle d'origine (0; 0) et de rayon 1. Or ette région est d'aire 4 . D'où
la probabilité reherhée vaut
.
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Fontion de Répartition
Dans la suite, nous introduisons la fontion de répartition et la densité
(lorsqu'elle existe) pour les mesures de probabilités dénies sur (R ; B).
1; t℄) ; 8t 2 R :
Soit P r une mesure de probabilité. Sa fontion de répartition (f.r.) F
est dénie par :
F (t) = P r (℄
Propriétés
Nous admettons les deux propositions suivantes sur les f.r.
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Exempe 2. Une proédure génère les réels X et Y uniformément et indépendamment dans l'intervalle [a; b℄, où a < b, et en retourne le maximum. Quelle la probabilité pour la valeur retournée soit z 2 [a; b℄ ?
Pour qu'elle appartienne à l'intervalle [; d℄ [a; b℄ ?
P r(Z
a)2
a)2
z) = ((zb
(d
(b
a)2
:
a)2
(
(b
a)2
:
a)2
Solution. Soit Z = maxfX; Y g. On a Z z si et seulement si X z
et Y z, pour tout z 2 [a; b℄. La probabilité de haun de es deux
événements est zb aa . Ils sont de plus indépendants et, don :
On en déduit :
P r( < Z d) =
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Densité
t
1
f (x)dx;
8t 2 R ;
Soit F la f.r. de la distribution P r. S'il existe une fontion f telle que :
Z
F (t) =
alors ette fontion f s'appelle la densité de P r. La f.r. étant roissante, si la densité f existe, son intégrale de 1 à t, doit valoir F (t).
Don, on peut dénir la densité f omme la dérivée de de la f.r., si
ette dernière en admet une.
Quelques Exemples Simples
Exemple 1. Soit P r la distribution uniforme sur [0; 1℄, donnée par
P r(ha; bi) = l([0; 1℄ \ ha; bi), pour tout intervalle ha; bi, où l'appliation
l désigne la longueur d'un intervalle.
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Proposition. La f.r. F est roissante, à valeur dans [0; 1℄, ontinue
à droite et telle que limt!1F (t) = 1 et limt! 1F (t) = 0.
La Proposition suivante permet de aratériser une loi de probabilité
en termes de sa f.r.
Proposition. Soit F : R ! [0; 1℄ roissante, ontinue à droite et telle
que limt!1F (t) = 1 et limt! 1F (t) = 0. Alors il existe une mesure
de probabilité unique P r sur (R ; B) dont la f.r. est F .
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F(t)
1
O
f(t)
1
O
1
Densité de la loi uniforme
1
t
t
Fonction de répartition de la loi uniforme
La f.r. est donnée par :
8
> 0 si t < 0
<
0t<1
: 1 si t 1:
F (t) = > t si
Elle admet la densité :
8
> 0 si t < 0
<
1 si 0 t < 1
: 0 si t 1:
f (t) = >
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t) = P r(X t et Y t) = t2; 8t 2 [0; 1℄:
Exemple 2. Soient Z la valeur maximale de deux réalisations indépendantes de la loi uniforme dans [0; 1℄, fournie par l'exemple préédent. Nous avons :
P r(Z
On en déduit :
8
> 0 si t < 0
<
0t<1
: 1 si t 1:
FZ (t) = > t2 si
Cette f.r. admet la densité :
8
>
< 0 si t < 0
0t<1
: 0 si t 1:
fZ (t) = > 2t si
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