Indice R Et les indices classiques Par A. L. Jocelyn RAKOTOARISOA
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Indice R Et les indices classiques Par A. L. Jocelyn RAKOTOARISOA Juin 2013 ********************** Première tentative d’élaboration Premier essaie Anjara Lalaina Jocelyn RAKOTOARISOA ® Juin 2013 L es indices sont extrêmement utilisés et il est essentiel à la fois de savoir les interpréter correctement et d’être capable de concevoir des indices pertinents. C’est un domaine très intéressant et complexe du fait qu’il recoupe des problématiques diverses qui interfèrent. Pour le calcul de l’indice des prix à la consommation (IPC), deux produits identiques mais vendus dans des types de magasins différents doivent-ils être considérés comme un seul et même produit ? L’étude des indices, est qui si l’on peut se satisfaire d’un appareillage mathématique très modeste, l’usage des indices est assez subtil et plein de pièges. Il donne lieu par ailleurs à des développements théoriques très sophistiqués, qui ne seront pas véritablement abordés. Pour mémoire, signalons simplement que des grands économistes, comm e Solow ou Samuelson, ont contribué à développer cette théorie. Par ailleurs, la recherche théorique sur les indices est un domaine toujours actif, malgré l’ancienneté des problèmes posés. L’indice simple n’a pas de défauts vu son élémentarité. Par contre, les indices synthétiques présentent des faiblesses en termes de propriétés. Alors qu’on a souvent à faire avec des tonnes de données, munies de plusieurs grandeurs, qu’on doit « agrégées » pour la bonne anticipation. Les indices synthétiques Un indice synthétique est une combinaison d’indices élémentaires. Comme les CTC, il n’existe pas d’indice synthétique idéal permettant de calculer l’indice d’une grandeur complexe. Le problème est ancien, et a été résolu d’une certaine manière par les statisticiens, dont les méthodes ont été exposées par I. Fisher dans « The making of index numbers » (1922). En 1707, Fleetwood calcul un indice de prix sur la base de 4 prix de 4 biens fondamentaux : blé, viande, bière, drap. En base 100 en 1450 il établit le TCAM des prix en 1700 = 0.72%. Il ne pose pas le problème de la différence de croissance des 4 prix, autrement dit celui de la pondération des indices élémentaires. En 1764, Carli proposa un indice pour calculer l’augmentation des prix liée à la découverte de l’Amérique, qui est définit par : Cet indice est synthétique car il prend la moyenne d’indices élémentaires. Ce n’est que début XIXème que l’apparition de la notion de moyenne pondérée permettra de poser ce problème (A. Young-1812). Ce problème dit de l’agrégation des constituants signifie que : l’augmentation globale des prix doit prendre en considération les différences des parts des biens dans la consommation, ou ce que l’on appellera les coefficients budgétaires. La pondération est la même mais d’autres pondérations sont envisageables et plus facilement justifiées. En effet, pourquoi accorder le même poids à la variation du prix du blé et à celle de l’huile? Pour les dépenses des ménages, la variation du prix du blé était beaucoup plus importante que celle du prix de l’huile. On peut alors calculer un indice synthétique en prenant une moyenne pondérée. Par exemple, dans le calcul du SMI, la pondération est déterminée par la capitalisation boursière. Anjara Lalaina Jocelyn RAKOTOARISOA ® Juin 2013 La pondération de l’action Novartis est de 0.22, celle de l’action Nestlé 0.178 est ainsi de suite pour les 26 titres du SMI. Pour l’indice des prix à la consommation, la pondération est déterminée par la part des dépenses consacrées à chaque bien. Cette part peut être calculée de différentes manières et on obtient alors plusieurs sortes d’indices de prix. Les indices synthétiques de Laspeyres et de Paasche présentent l’avantage de vérifier, entre autres propriétés, la propriété d’agrégation et donc de résoudre ce problème. Aussi sont ils les plus fréquemment calculés. L’indice de Fisher qui en est issu, aussi utile et performant soit-il, ne vérifie pas, par contre, cette propriété. L’indice synthétique doit satisfaire les propriétés des indices élémentaires Il serait souhaitable que les indices synthétiques satisfassent aux mêmes propriétés des indices élémentaires. Les indices de Laspeyres et Paasche ne satisfont pas ces propriétés. Pour la réversibilité, on a : Indice de Laspeyres : Indice de Paasche : De ce fait, Fisher a fait la moyenne géométrique de ces deux indices pour avoir un indice synthétique ayant la propriété de réversibilité. Cet indice vérifie la réversibilité Anjara Lalaina Jocelyn RAKOTOARISOA ® Juin 2013 Evidemment, parmi ces indices synthétiques classiques, celui de Fisher est plus meilleur. Malgré cela, il ne vérifie pas la propriété de circularité. L’indice R et son élaboration La recherche d’un autre indice est donc nécessaire. Un indice synthétique qui vérifiera les propriétés de l’indice élémentaire. L’indice synthétique doit être un indice capable de présenter un ensemble, et complétant les propriétés essentiels d’un indice pour la bonne pertinence de l’information. L’indice R est un indice issu de la mobilisation des moyennes arithmétiques pondérées de chaque proportion d’un ensemble. 0 q0 q 0A … … q 0B q 0C … 1 p0 p0 … … p0 p0 q2 q2 … … q2 q2 p2 p2 … … p2 p2 … … … … … … t-2 … … … … … … q t-2 q t-2 … … q t-2 q t-2 t-1 p t-2 p t-2 … … p t-2 p t-2 q t-1 q t-1 … … q t-1 q t-1 t p t-1 p t-1 … … p t-1 p t-1 qt qt … … qt qt pt pt … … pt pt La valeur représentative des prix dans chaque temps et leurs moyennes respectives. Mais nous savons que le prix est influencé par la quantité, alors les moyennes doivent être pondérées par les quantités respectives. Avec les indices classiques, on a à trouver la moyenne des indices simples de chaque bien dans chaque moment. Pour l’indice R, on va unifier les prix des biens à un temps t en un seul, autrement dit, on va les former en un seul et unique bien. Il s’agit donc de représenter deux ou plusieurs produits en un seul, celui qui pourra les représenter, c’est le « bien moyen ». Le prix du bien moyen à l’instant t sera donc : Prenons le temps 0 comme base 100, on a donc une certaine constante . Puisque 0 est la base 100, il existe qui égalise cette relation à 1. Anjara Lalaina Jocelyn RAKOTOARISOA ® Juin 2013 Soit Au moment t, on a , pour voir donc son évolution par rapport au moment 0, on doit multiplier cette valeur par la même constante . Soit Or, on a Alors, Donc, en t on aura, Anjara Lalaina Jocelyn RAKOTOARISOA ® Juin 2013 Anjara Lalaina Jocelyn RAKOTOARISOA ® Juin 2013 Circularité : Réversibilité : L’indice R est donc à la fois réversible et circulaire Les propriétés de l’indice R 2010 Quantité-Prix Bien A Bien B Bien C Bien D q 10 13 11 13 2011 p 110 123 175 120 q 12 12 13 10 2012 p 111 120 192 112 q 10 13 12 12 2013 p 111 125 189 116 q 11 12 11 12 Base 100 = 2010 Supposons que les biens A, B, C et D ne sont qu’un seul produit N. Le prix de N sera alors de : 2010 131,57 100 Prix de N IPC de N Laspeyres Paasche Fisher R 2011 135,91 103,30 2012 136,06 103,41 2013 131,43 99,89 2010 2011 2012 2013 100 100 100 100 100,87 101,87 101,37 103,30 102,23 102,50 102,36 103,41 99,84 99,21 99,52 99,89 104 103 102 101 100 99 98 97 2010 Laspeyres Anjara Lalaina Jocelyn RAKOTOARISOA ® Juin 2013 2011 Paasche 2012 2013 Fisher R p 110 121 180 117
