exemples maths term

Fiches d’exercices et commentaires personnels
Mathématiques - Terminale
Rémi CHEVAL
10 juin 2013
Table des matières
Introduction
2
——– 8h - 12h ——–
3
1 Méthodes sur les fonctions de première
4
2 Méthodes sur les fonctions exponentielle et logarithme népérien
15
3 Méthodes sur le calcul intégral
20
——– 14h - 16h ——–
23
4 Méthodes sur les nombres complexes
24
5 Méthodes sur la géométrie dans l’espace
27
——– 16h - 18h ——–
34
6 Méthodes sur les suites
35
7 Méthodes sur les probabilités et les statistiques
39
1
Introduction
Ces loooooongues fiches d’exercices font peur, mais si je vous montre le livre de Maths
(352 pages) et le livre de Physique/Chimie (434 pages), certains vont peut-être tomber dans
un comas profond, donc nous allons éviter.
Si vous êtes toujours en vie après la lecture de cette première phrase, dites-vous la chose
suivant : vous savez beaucoup de choses et vous avez beaucoup d’armes pour
mettre out votre adversaire sur le champ de bataille. Par contre, il va falloir prendre
conscience que vous savez des choses : J’espère que cette prise de conscience se ferra en
réalisant ces longues listes d’exercices.
– Fonctionnement de ces exercices : Chaque exercice de ces listes d’exercices illustre
une unique méthode donc si vous avez réussi un exercice, essayer de bien comprendre la méthode que vous avez utilisé.
– Étape suivante de la démarche : Savoir maîtriser dans un exercice typeBAC, plusieurs méthodes à la fois sachant qu’elles ne vous serons pas forcément
clairement explicités et si on ne vous les indique pas explicitement, dites-vous que
vous pouvez choisir (chose assez rare dans notre monde actuel) : faites vous plaisir,
choisissez celle que vous aimez le plus et de préférence, la plus rapide.
Le côté négatif est que si vous n’en maîtrisez pas UNE, et bien vous n’aurez
pas l’intégralité des points de l’exercice et vous n’aurez donc peut-être pas votre
BAC ("rire du professeur").
●
Si vous avez l’impression d’être :
– Un élève qui maîtrise plutôt bien les mathématiques : Dans ce cas, prenez ces
longues listes d’exercices à la manière d’un musicien qui fait ses gammes et faites un
quinzaine d’exercices par jour : vous allez vérifier ainsi que tous vos automatismes sont bien présents et que vos neurones sont bien connectés.
– Un élève qui comprend bien en cours mais qui a dû mal en devoir : Dans ce
cas, j’espère que ces listes d’exercices vont pouvoir vous aider à mettre de l’ordre
2
dans vos connaissances en travaillant mé-tho-di-que-ment. Alors bien sûr, elles
ne vont pas révolutionner votre niveau en moins de 20 jours mais on va essayer.
L’idée est simple : Dès que vous êtes face à un exercice qu’il soit simple ou difficile,
vous devez impérativement vous posez la question ultime : Quels sont les méthodes,
les outils, les théorèmes et les définitions que je connais et que je peux avoir
besoin pour répondre à cette question ?
Si vous prenez plus de 30 secondes pour répondre à cette question, alors vous n’êtes
pas prêt pour le BAC et il va falloir travailler les fiches et les listes d’exercices.
– Un élève qui a clairement dû mal avec les exercices présentés dans ces
fiches : Mon premier avis est qu’il y a clairement un manque de travail de votre part
car environ la moitié des exercices sont ultra classiques et vous serons demander le jour
du Baccalauréat. Il vous reste 20 jours pour utiliser l’une des deux solutions
suivantes :
● Travailler les exercices et les méthodes pour réussir à rattraper le groupe du dessus.
● Apprenez par cœur les résolutions des exercices et essayer de faire au moins avec
votre mémoire.
●
Conclusion :
– Faites-vous des séances d’exercices en groupe et avec vos ami(e)s. Venez nous voir
ensuite pour vérifier que tout est bien OK. Une fois que vous avez réussi vos exercices,
essayer de prendre conscience des méthodes que vous avez utilisé.
– Pensez aussi à bien dormir pour être en forme le jour J : Interdiction de travailler
la journée précédent une épreuve : C’est trop tard ! ! N’hésitez pas à nous
contacter par mail ou Skype, on prendra le temps de répondre à vos questions : c’est
notre job :).
– Have Fun et "merde" pour le jour J.
●
Notation :
– Les exercices présentant une (∗) sont à faire dans un second temps. Ils demandent un peu plus de réflexion et/ou la connaissance de méthodes moins connues.
—
Rémi CHEVAL
[email protected]
Pseudo Skype : Goundan_wow
3
Chapitre 1
Méthodes sur les fonctions de première
Sommaire
1.1
1.2
1.3
1.4
Présentation des deux drôles de dames . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthodes pour la dérivation et la primitivation . . . . . . . . . . .
Liste non exhaustive des méthodes à savoir utiliser . . . . . . . .
Vérifions que les méthodes sont acquises . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Comment étudier le comportement global d’une fonction ? . . . . . .
1.4.2 Comment étudier le comportement asymptotique d’une fonction ? .
1.4.3 Comment étudier le comportement local d’une fonction ? . . . . . . .
1.4.4 Comment procéder avec des fonctions spécifiques ? . . . . . . . . . .
1.4.5 Comment utiliser la méthode d’Euler ? . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
7
10
10
10
11
12
13
13
L’objectif de ce chapitre est de réussir à mettre en place tous les outils que vous avez
découvert au lycée pour l’étude des fonctions et nous allons les utiliser pour étudier les
fonctions vues en première (polynômes, fonctions rationnelles, fonctions trigonométriques,
fonctions rationnelles (càd avec racine carré) sachant que le but est de savoir représenter
la courbe de votre fonction.
1.1
Présentation des deux drôles de dames
La notion la plus importante du programme de Mathématiques du Lycée est la dérivation d’une fonction en un point. L’objectif de cette notion est de trouver, si cela est
possible, la meilleur approximation linéaire de la courbe au voisinage de ce point.
Dans le cas d’une fonction f de R dans R, cette approximation est la tangente.
Ainsi à chaque réel a de l’ensemble de définition de f , nous allons essayer de déterminer (à
connaître avec le cœur) :
4
f ′ (a)
∶=
{
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf
au point de la courbe d’abscisse a
La fonction f ′ ainsi construite serra appelée la dérivée de f , la première drôle de dames,
et f serra appelée une primitive de f ′ , la seconde. Nous disons "une" car elle en possède
d’autres — elles sont égales à une constante additive près.
Définition 1.1 (Dérivabilité de f en un point a ∈ R). Soient I un intervalle (ouvert)
de R et f une fonction définie sur I à valeurs dans R. On prend a un élément de I.
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
Si
Alors
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
f (x) − f (a)
x−a
admet une limite finie en a
Le taux d’accroissement
On dit que f est dérivable en a et on pose :
f ′ (a)
=
lim
xÐ→a
f (x) − f (a)
x−a
Remarques sur la dérivabilité :
– Au niveau du taux d’accroissement, nous avons trois situations différents :
● La limite n’existe pas : Dans ce cas, nous avons ni dérivabilité ni tangente.
● La limite existe et est égale à −∞ ou +∞ : Dans ce cas, nous disons qu’il n’y a pas
de dérivabilité en a mais par contre, il y a la présence d’une tangente verticale.
Par convention, on se permet souvent de dire que : Droite verticale = coefficient
directeur infinie.
● La limite existe et est finie : Dans ce cas, nous disons qu’il y a dérivabilité de
f en a et il y a la présence d’une tangente non verticale dont nous allons
déterminer l’équation dans la proposition suivante.
– Nous parlons également de dérivabilité à gauche et à droite dans le cas où :
● Gauche :
lim
xÐ→a
f (x) − f (a)
x−a
existe et est finie
lim
xÐ→a
f (x) − f (a)
x−a
existe et est finie
x<a
● Droite :
x>a
5
Dérivable en a
⇐⇒
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
Dérivable à gauche et à droite en a
+ Égalité de la dérivée à gauche et à droite
Proposition 1.1 (Équation d’une tangente). Soit f une fonction définie sur un
intervalle (ouvert) I. On fixe a ∈ I et on suppose que f est dérivable en a.
L’équation de la tangente ∆ à la courbe Cf au point de la courbe d’abscisse a
est :
∆∶
y = f ′ (a) ⋅ (x − a) + f (a)
Démonstration. Nous n’avons pour l’instant que deux informations :
– ∆ est une droite de coefficient directeur f ′ (a), c’est-à-dire qu’il existe b ∈ R tel
que :
∆∶
y = f ′ (a) ⋅ x + b
– Le point de la courbe
(a; f (a)) ∈ ∆
c’est-à-dire que :
f (a) = f ′ (a) ⋅ a + b
⇐⇒
f (a) − f ′ (a) ⋅ a = b
Cela nous donne :
y=
⇐⇒
y=
f ′ (a) ⋅ x
+
f (a) − f ′ (a) ⋅ a
f ′ (a) ⋅ (x − a)
+
f (a)
Avant de s’occuper des méthodes pour la dérivation et la primitivation que vous attendez,
je vous propose de vous rappelez la définition de la continuité d’une fonction :
Définition 1.2 (Continuité de f en un point a ∈ R). Soient I un intervalle (ouvert) de
R et f une fonction définie sur I à valeurs dans R. On prend a un élément de I.
Si
Alors
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Les deux limites suivantes existent, sont finis et :
lim
xÐ→a
x<a
f (x) = f (a) =
lim
xÐ→a
a<x
f est continue en a
6
f (x)
1.2
Méthodes pour la dérivation et la primitivation
Proposition 1.2 (Formules pour la dérivation). Je vous laisse régler les conditions qu’il
faut ajouter aux fonctions u et v.
′
● Produit par cst :
∀x ∈ I, ∀k ∈ R
(k ⋅ u) (x)
=
● Somme :
∀x ∈ I,
(u + v) (x)
● Produit :
∀x ∈ I,
(u ⋅ v) (x)
● Quotient :
∀x ∈ I,
u ′
( ) (x)
v
● Composée :
∀x ∈ I,
(u ○ v) (x)
● Monôme :
∀x ∈ I, ∀n ∈ Q
(x z→ xn ) (x)
′
′
=
=
′
u′ (x)
+
u′ (x) ⋅ v(x)
v ′ (x)
+
u(x) ⋅ v ′ (x)
u′ (x) ⋅ v(x) − u(x) ⋅ v ′ (x)
( v(x) )2
=
′
k ⋅ u′ (x)
=
u′ ( v(x) ) ⋅ v ′ (x)
=
n ⋅ xn−1
Remarques :
– Les deux premières formules sont triviales.
– Produit :
′
Le premier ou la première qui m’écrit (u ⋅ v) (x) = u′ (x) ⋅ v ′ (x) peut s’attendre à se
faire engueuler.
– Quotient :
Pensez que l’apparition du − est dû à la dérivation du dénominateur. Il est
donc présent devant u(x) ⋅ v ′ (x) et non devant u′ (x) ⋅ v(x).
– Composée :
(u○v)(x)
=
u ( v(x) )
Ô⇒
{
La fonction u serra donc appeler l’extérieur
La fonction v serra donc appeler l’intérieur
7
Retenez cette phrase comme la mélodie d’une chanson française :
La dérivée d’une composée est égale à la dérivée de l’extérieur en l’intérieur multiplié par la dérivée de l’intérieur.
Le premier ou la première qui m’oublie de dériver l’intérieur peut s’attendre à se faire
engueuler.
′
(x z→ e3x ) (x)
=
e3x ⋅
3
Arrêtez d’apprendre plein de formules par cœur ! !
– Monôme :
On sait que :
′
(x z→ xn ) (x)
∀x ∈ I, ∀n ∈ Q
=
n ⋅ xn−1
Regardez-moi la liste des formules que nous pouvons trivialement en déduire :
′
(x z→ x2 ) (x)
√ ′
(x z→ x) (x)
=
=
(x z→ x1/2 ) (x)
1 ′
(x z→ √ ) (x)
x
=
(x z→ x−1/2 ) (x)
1 ′
) (x)
x2
=
(x z→ x−2 ) (x)
(x z→
2 ⋅ x2−1
′
′
′
=
2x
=
1
⋅ x1/2−1
2
=
1
⋅ x−1/2−1
2
=
=
−
=
− 2 ⋅ x−2−1
=
1
√
2 x
−
1
√
2⋅x⋅ x
−
On s’arrête là ou on continue ?
Proposition 1.3 (Dérivée des autres formules auxiliaires).
∀x ∈ R,
exp′ (x) = exp(x)
∀x ∈ R∗+ ,
∀x ∈ R,
cos′ (x) = − sin(x)
∀x ∈ R,
1
x
′
sin (x) = cos(x)
ln′ (x) =
Démonstration. Petit moyen mnémotechnique pour retenir les dérivées de sin et cos :
∀θ ∈ R, ( θ z→ ei⋅θ )′ (θ) = i ⋅ ei⋅θ .
Ainsi,
eiθ =
Donc
cos(θ)
+
cos′ (θ) = − sin(θ)
i ⋅ sin(θ)
et
Ô⇒
i ⋅ eiθ =
− sin(θ)
sin′ (θ) = cos(θ)
8
+
i ⋅ cos(θ)
2
x3
Primitives
+1
Fonctions
Dérivées
−1
(3 ⋅ x + 2)
(3 ⋅ x + 2)2
(3 ⋅ x + 2)3
√
3⋅x + 2
1
(3 ⋅ x + 2)2
1
(3 ⋅ x + 2)3
1
(3 ⋅ x + 2)
exp(3 ⋅ x + 2)
+++++++++
ln(3 ⋅ x + 2)
sin(3 ⋅ x + 2)
cos(3 ⋅ x + 2)
● Pour la primitive, je vous conseille de déterminer le terme (3 ⋅ x + 2) à la bonne
puissance avec la règle du +1 sans s’occuper de la constante devant.
● Ensuite vous dérivez la primitive obtenue : soit k la constante obtenue devant la
fonction située au milieu. En plaçant la constante 1/k devant la primitive, vous
obtenez le résultat souhaité.
9
1.3
Liste non exhaustive des méthodes à savoir utiliser
Je vous propose une liste non exhaustive des questions auxquelles vous devez savoir répondre pour étudier une fonction (les idées sont les mêmes pour les fonctions exp et ln) :
1. Comment étudier le comportement global d’une fonction ?
Ex : Dérivée, encadrement de la fonction, parité, éléments de symétrie.
2. Comment étudier le comportement asymptotique d’une fonction ?
Ex : Calcul des limites en ±∞, lever les formes indéterminées, existence d’asymptote
horizontale ou oblique, position de la courbe par rapport à l’asymptote.
3. Comment étudier le comportement local d’une fonction ?
Ex : Calcul des limites en a ∈ R, lever les formes indéterminées, existence d’asymptote
verticale, position de la courbe par rapport à l’asymptote, étude de la continuité et de
la dérivabilité, équation de la tangente, équation du type f (x) = k avec k ∈ R (théorème
des valeurs intermédiaires + stricte monotonie de la fonction).
4. Comment procéder avec des fonctions spécifiques ?
Ex : Fonction définie par morceaux, fonction avec valeur(s) absolue(s), fonction trigonométrique, fonction irrationnelle.
5. Comment utiliser la méthode d’Euler ?
Ex : Avec un tableur excel ou un algorithme.
1.4
Vérifions que les méthodes sont acquises
1.4.1
Comment étudier le comportement global d’une fonction ?
– Exercice 1 : soit ∀x ∈ R,
f (x) = x3 + x2 − 5x + 3.
● Étudiez les variations de cette fonction f sur R.
● Est-ce que f est bornée sur [1; +∞[ ?
– Exercice 2 : soit ∀x ∈ R,
f (x) = 2x2 + sin(x2 ).
● Étudiez les variations de cette fonction f sur R.
● Démontrez que f est positif sur R.
● Indication : ∀x ∈ R,
−1 ≤ sin(x) ≤ 1
10
– Exercice 3 : Encadrer la fonction f de l’exercice 1 sur l’intervalle [0; 2].
– Exercice 4 : soit ∀x ∈ R,
f (x) = x3 + 5x − sin(x).
● Quelle est la parité de cette fonction f ?
● Quelle est la conséquence graphique de cette parité ?
– Exercice 5
(∗)
: soit ∀x ∈ R,
f (x) =
x+1
.
x−2
● Quelle est la symétrie éventuelle de la courbe Cf ?
● Indication : Il existe des symétries centrales et des symétries axiales.
1.4.2
Comment étudier le comportement asymptotique d’une fonction ?
– Exercice 6 : soit ∀x ∈ R/{−1},
f (x) =
● Calculer, si cela est possible, lim
xÐ→−∞
– Exercice 7 : soit ∀x ∈ R,
xÐ→−∞
(∗)
: soit ∀x ∈ R,
xÐ→−∞
(∗)
xÐ→+∞
lim
f (x)
: soit ∀x ∈ R,
f (x) et
lim
f (x)
xÐ→+∞
1
f (x) = x ∗ sin ( ).
x
● Calculer, si cela est possible, lim
– Exercice 9
f (x) et
f (x) = x + sin(x).
● Calculer, si cela est possible, lim
– Exercice 8
x2 − 3x
.
x+1
f (x) et
f (x) = x −
● Calculer, si cela est possible, lim
xÐ→−∞
lim
xÐ→+∞
f (x)
√
x2 + 1.
f (x) et
lim
xÐ→+∞
f (x)
– Exercice 10 : En reprenant la fonction f de l’exercice 6,
● Démontrer que ∆ ∶ y = x − 4 est une asymptote oblique à Cf en ±∞.
11
● Étudier également la position de Cf par rapport à ∆ en −∞ et en +∞
1.4.3
Comment étudier le comportement local d’une fonction ?
– Exercice 11 : soit ∀x ∈ R/{−2; 2},
● Calculer, lim f (x)
xÐ→−2
f (x) =
(distinguez les limites −2− et −2+ au besoin).
– Exercice 12 : soit ∀x ∈ R/{−3; 3},
● Calculer, lim f (x)
xÐ→3
– Exercice 13
(∗)
f (x) =
xÐ→1
2x2 + x − 21
.
x2 − 9
(distinguez les limites 3− et 3+ au besoin).
√
x+3−2
f (x) =
.
x−1
: soit ∀x ∈ R/{1},
● Calculer, lim f (x)
x−5
.
x2 − 4
(distinguez les limites 1− et 1+ au besoin).
● Deux méthodes : Utilisation du conjugué ou du taux d’accroissement.
– Exercice 14
(∗)
: soit ∀x ∈ R/{1},
● Calculer, lim f (x)
xÐ→1
● Calculer, si cela est possible,
(∗)
sin(2(x − 1))
.
x−1
(distinguez les limites 1− et 1+ au besoin).
– Exercice 15 : soit ∀x ∈ R/{0},
– Exercice 16
f (x) =
1
f (x) = x2 ∗ sin ( ).
x
lim f (x).
xÐ→0
: soit ∀x ∈ R,
f (x) = {
1 − x2
x2 − 1
si x ∈ [−1; 1]
sinon
● Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 1.
– Exercice 17 : soit ∀x ∈ R+ ,
f (x) =
√
x
● Calculer, si cela est possible, les équations des tangentes en x = 0 et x = 1.
12
– Exercice 18 : soit (E) l’équation suivante :
x3 + x = 4
● Démontrer l’existence d’une solution unique α de (E) dans l’intervalle [1; 2].
● En utilisant votre calculette, trouver une approximation de α à 10−5 près.
1.4.4
Comment procéder avec des fonctions spécifiques ?
– Exercice 19
(∗)
: en reprenant la fonction f de l’exercice 16.
● Étudier la parité, la continuité, la dérivabilité et les variations de f sur R.
● En déduire la représentation graphique (Cf ) de la fonction f .
– Exercice 20 : soit ∀x ∈ R,
f (x) = ∣x2 − 1∣
● Étudier la fonction f sur R et tracer la courbe (Cf ).
● Indication : Pensez à regarder l’exercice 16.
– Exercice 21
(∗)
: soit ∀x ∈ R,
f (x) = 2cos(x) − cos(2x)
● Étudier la fonction f sur R et tracer la courbe (Cf ).
– Exercice 22 : soit ∀x ∈ R,
f (x) = x +
√
x2 + 4
● Étudier la fonction f sur R et tracer la courbe (Cf ).
1.4.5
Comment utiliser la méthode d’Euler ?
– Exercice 23
(∗)
: nous avons les informations suivantes :
⎧
⎪
⎪ f (0) = 1
⎨
′
⎪
⎪
⎩ f (x) = 2x
∀x ∈ [0; 1]
● En utilisant la méthode d’Euler avec un pas de 0.1, dresser le tableau des valeurs de
f sur [0; 1].
● En intégrant votre fonction f ′ , calculer l’expression de la fonction f sur [0; 1] et
comparer les valeurs avec ceux de la méthode d’Euler.
13
– Exercice 24
(∗)
: nous avons les informations suivantes :
⎧
f (1) = 0
⎪
⎪
⎪
⎨
1
⎪
⎪
f ′ (x) =
⎪
⎩
x
∀x ∈ [1; +∞[
● En utilisant la méthode d’Euler avec un pas de 0.1, dresser le tableau des valeurs de
f sur [0; 10].
● En intégrant votre fonction f ′ , calculer l’expression de la fonction f sur [0; 10] et
comparer les valeurs avec ceux de la méthode d’Euler.
14
Chapitre 2
Méthodes sur les fonctions exponentielle
et logarithme népérien
Ce chapitre reprend certaines méthodes que l’on a vues dans le chapitre précédent en
les adaptant aux fonctions de Terminale et à leurs propriétés. Rappelons rapidement les
définitions et les propriétés classiques des fonctions exponentielles et logarithmes :
2.1
Rappels du cours
Définition 2.1 (La fonction exponentielle). La fonction exponentielle est l’unique fonction f définie et dérivable sur R qui vérifie :
{
f (0) = 1
f ′ (x) = f (x)
∀x ∈ R
– On note cette fonction exponentielle de la manière suivante : exp(x) ou ex .
– On verra par la suite pourquoi nous utilisons la seconde notation ex .
Proposition 2.1 (Propriétés de la fonction exponentielle). Il serrait important de les
mettre dans votre calculette si votre mémoire vous fait défaut.
1) ∀x ∈ R
2) ∀(x; y) ∈ R2
3) ∀(x; y) ∈ R2
4) ∀(x; y) ∈ R2
15
ex > 0
ex ∗ ey = ex+y
ex
= ex−y
ey
(ex )y = ex∗y
On retrouve dans la propriété 2, une formule que vous connaissez avec les puissances de 10 :
∀(x; y) ∈ R2 ,
10x ∗ 10y = 10x+y
Limites de la fonction exponentielle à connaître :
1)
2)
3)
lim
ex
=
0
lim
ex
=
+∞
lim
ex
xn
xÐ→−∞
xÐ→+∞
xÐ→+∞
=
c’est-à-dire que
+∞
exp ∶ R Ð→ ]0; +∞[
∀n ∈ N
Définition 2.2 (La fonction logarithme népérien). La fonction logarithme népérien
est la bijection réciproque de la fonction exponentielle. Cela permet d’en déduire les
propriétés suivantes :
]0; +∞[
1. L’ensemble de définition de ln est
2. ∀x ∈ R,
ln(ex )
=x
et
∀x > 0,
eln(x) = x
3. Les courbes représentatives de x z→ ln(x) et x z→ ex sont symétriques axialement par
rapport à la droite d’équation y = x.
Proposition 2.2 (Propriétés de la fonction logarithme népérien). Il serrait important
de les mettre dans votre calculette si votre mémoire vous fait défaut.
1) ∀(x; y) ∈ R2
ln(x ∗ y) = ln(x) + ln(y)
x
ln ( ) = ln(x) − ln(y)
y
2) ∀(x; y) ∈ R2
3) ∀x ∈ R, ∀p ∈ Z
en particulier,
ln(1/x) = − ln(x)
ln(xp ) = p ∗ ln(x)
√
ln( x) = 1/2 ∗ ln(x)
et
Limites de la fonction logarithme népérien à connaître :
1)
2)
3)
lim
xÐ→0
=
ln(x)
−∞
lim
ln(x)
=
+∞
lim
ln(x)
xn
=
0
xÐ→+∞
xÐ→+∞
16
∀n ∈ N
Globalement, il est clairement déconseillé d’apprendre ces résultats bêtement. Apprenez
à tracer les deux représentations graphiques (fonctions exp et ln) et à partir de celles-ci,
apprenez à retrouver les propriétés.
2.2
Liste non exhaustive des méthodes à savoir utiliser
Je vous propose une liste non exhaustive des questions auxquelles vous devez savoir répondre pour étudier une fonction (les idées sont les mêmes pour les fonctions exp et ln) :
1. Comment étudier le comportement global d’une fonction exponentielle ?
Ex : Variations, signe, parité, encadrement, ...
2. Comment étudier le comportement asymptotique d’une fonction exponentielle ? Ex : Calcul des limites en ±∞, lever les formes indéterminées, ...
3. Comment étudier le comportement local d’une fonction exponentielle ?
Ex : Calcul des limites en a ∈ R, lever les formes indéterminées, équation de la tangente.
4. Reprendre les 3 méthodes précédentes avec la fonction ln.
5. Comment résoudre une équation fonctionnelle du type f (x + y) = f (x) ⋅ f (y) ?
6. Comment résoudre une équation fonctionnelle du type f (x ⋅ y) = f (x) + f (y) ?
2.3
Vérifions que les méthodes sont acquises
2.3.1
Fonctions exponentielles
– Exercice 1 : soit ∀x ∈ R,
f (x) =
2 3x+1
⋅e
− 2 ⋅ ex
3
● Étudier les variations de f sur R.
– Exercice 2 : soit ∀x ∈ R,
f (x) = 2 ⋅ ex + x2 + 1
● Étudier les variations de f sur R.
17
– Exercice 3 : Étudier les limites suivantes :
lim
xÐ→+∞
lim
e−x+2
xÐ→+∞
– Exercice 4
(∗)
;
lim
xÐ→+∞
(x2 + x) ⋅ ex
ex
2 −x
;
;
ex + 1
x3 − x
lim
xÐ→+∞
2
lim
xÐ→+∞
x ⋅ (e x − 1)
: Étude d’une équation fonctionnelle.
On considère l’ensemble des fonctions f définies et dérivables sur R telles que :
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
∀(x; y) ∈ R2 ,
f (x + y) = f (x) ⋅ f (y)
f ′ (0) = 2
1. Montrer par l’absurde que f ne s’annule pas sur R.
2. Fixons un réel a et considérons la fonction g définie sur R par :
g(x)
=
f (x + a)
−
f (x) ⋅ f (a)
● Déterminer la dérivée de g en fonction de a.
● En remarquant que g est la fonction nulle, montrer que :
∀x ∈ R,
● En déduire que :
f ′ (x + a)
∀a ∈ R,
f ′ (a)
=
f (a) ⋅ f ′ (x)
=
2 ⋅ f (a)
3. On considère la fonction k définie sur R par :
k(x)
=
x
f( )
2
● Calculer k(0).
● Montrer en utilisant les questions précédentes que :
∀x ∈ R,
k ′ (x)
=
● En déduire l’expression de k puis celle de f .
18
k(x)
2.3.2
Fonctions logarithmes népériens
– Exercice 5 : soit ∀x ∈] − 1; +∞[,
f (x) = −3 ⋅ (x + 1) ⋅ ln(x + 1) + 7x
● Étudier les variations de f sur ] − 1; +∞[
– Exercice 6 : Étudier les limites suivantes :
lim
xÐ→3
ln(x − 3) ;
ln(x2 − x) ;
lim
xÐ→+∞
lim (x2 + x) ⋅ ln(x) ;
xÐ→0
lim
xÐ→+∞
ln(x)
x3 − x
1
x ⋅ ln ( + 1)
x
lim
xÐ→+∞
– Exercice 7 :
● Montrer que résoudre
1
⋅ ln(1 + e−x ) = x
2
revient à résoudre
e3x − ex = 1.
● Donner le nombre de solutions de ces équations ainsi qu’une valeur approchée de
chacune à 10−6 près.
– Exercice 8 :
● Construire un algorithme qui permet de trouver le plus petit entier n tel que :
(0, 8)n
– Exercice 9
(∗)
≤
10−9
: Étude d’une équation fonctionnelle.
On considère l’ensemble des fonctions f définies et dérivables sur R∗+ telles que :
∗ 2
⎧
f ( x ⋅ y ) = f (x) + f (y)
⎪
⎪ ∀(x; y) ∈ (R+ ) ,
⎨
⎪
⎪
f ′ (1) = 3
⎩
1. Montrer que f (1) = 0.
2. Fixons a ∈ R∗+ et considérons la fonction g définie sur R∗+ par :
g(x)
=
f( a ⋅ x )
−
f (x)
● Déterminer la dérivée de g en fonction de a.
● En remarquant que g est une fonction contante, montrer que :
∀x ∈ R∗+ ,
a ⋅ f ′( a ⋅ x )
−
f ′ (x)
● En déduire que :
∀a ∈ R∗+ ,
f ′ (a)
3. En déduire l’ensemble des fonctions cherchées.
19
=
3
a
=
0
Chapitre 3
Méthodes sur le calcul intégral
Nous avons vu dans les deux chapitres précédents comment dériver une fonction, il va
être question dans ce chapitre de faire le contraire, et de voir à quoi cela peut servir.
En effet, étant donné une fonction f définie sur un intervalle I, il va s’agir ici de chercher
une fonction F dont la dérivée sur I est f . Comment vous êtes de très bons élèves,vous avez
tout de suite remarqué qu’une fonction admettait une infinité de primitives.
{
F est une primitive de f
∀k ∈ R, x z→ F (x) + k
Si
Alors
est aussi une primtive de f
– Soit f une fonction continue sur [a; b] (avec a < b et (a; b) ∈ R2 ). Alors f est intégrale
sur [a; b], c’est-à-dire que :
b
∫a
f (t) dt existe
– Si en plus, nous avons F une primitive de f sur [a; b], alors :
b
∫a
f (t) dt
=
[ F (t) ]
b
a
=
F (b) − F (a)
Au niveau des notations :
●
●
●
●
3.1
Nous allons du début vers la fin.
b
Nous allons du bas vers le haut (au niveau de ∫a )
Pour savoir ce que nous avons gagné : La fin - Le début.
Le dt signifie que nous dérivons par rapport à la variable t.
Liste non exhaustive des méthodes à savoir utiliser
Je vous propose une liste non exhaustive des questions aborder dans ce chapitre.
20
1. Conjecturer le comportement d’une suite ?
Ex : Variations, convergence, arithmétique, géométrie, ... par l’utilisation d’un algorithme, d’un graphe ou de votre calculette.
2. Raisonner par récurrence : (le plus chiant mais le plus simple des raisonnements)
Ex : Commencer par définir correctement votre propriété puis initialisation + hérédité.
3. Utilisation des suites arithmétiques et géométriques :
Ex : Si vous avez l’information qu’une suite est arithmétique ou géométrique, soyez
heureux car vous connaissez plein d’informations (je n’en doute pas à aucun moment).
4. Étudier le comportement global d’une suite ?
Ex : Suite croissante ? décroissante ? appartenant à un intervalle ?
5. Étudier le comportement asymptotique d’une suite ?
Ex : Déterminer si cela est possible la limite de la suite en +∞
6. Déterminer des résultats expérimentaux
Ex : Déterminer par dichotomie, la solution d’une équation f (x) = k où f est monotone
sur un intervalle I. Encadrement de l’aire sous la courbe d’une fonction.
3.2
3.2.1
Vérifions que les méthodes sont acquises
Méthodes de calcul de l’intégrale par une primitive
– Exercice 1 : Calculer l’intégrale suivante :
2
( x2 − 4x + 2 −
∫1
2
3
+√
2
x
x
)
dx
– Exercice 2 : Calculer l’intégrale suivante :
1
∫−1
( 4x + 2 ) ⋅ ( x2 + x + 1 )3
– Exercice 3 : Calculer l’intégrale suivante :
0
∫−1
1
2x + 1
21
dx
dx
3.2.2
Autres méthodes de détermination d’intégrales
– Exercice 4
(∗)
: Calculer l’intégrale suivante :
√
1 − x2
1
∫−1
dx
– Exercice 5 : On pose les deux intégrales suivantes :
− I
=
− J
=
π
∫0
π
∫0
●
Calculer I + J et I − J.
●
En déduire les valeurs de I et J.
cos2 (x) dx
sin2 (x) dx
– Exercice 6 : Valeur approchée d’une intégrale à partir d’un encadrement.
On pose :
I
1
=
2
∫0
e−t
dt
Ainsi que les fonctions g et h définies par ∀u ∈ [−1; 0],
h(u) = eu − 1 − u
1. Montrer que
∀u ∈ [−1; 0],
0 ≤ h(u)
2. Montrer que
∀u ∈ [−1; 0],
g(u) ≤ 0
3. Déduire de 1. et 2. que
∀u ∈ [−1; 0],
1+u
4. En déduire que
1
g(u) = h(u) − u2
2
et
≤
≤
eu
1+u+
u2
2
∀x ∈ [0; 1] :
1 − x2
≤
e−x
2
≤
1 − x2 +
x4
2
5. En déduire une valeur approchée de I à 0, 1 près par défaut.
– Exercice 7 (∗) : Écrire un algorithme pour approcher une intégrale (avec n
bandes verticales) de a vers b. Si on fait n Ð→ +∞, on obtient la valeur de l’intégrale.
22
3.2.3
Utilisation du calcul intégral
– Exercice 8 : On considère ∀x ∈ R2 ,
f (x) = x2
●
Calculez la valeur moyenne de f sur [0; 2].
●
Retrouvez cette valeur avec un algorithme (voir exercice 7).
– Exercice 9 : On se place dans le repère (0; u⃗, v⃗) avec ∥⃗
u∥ = 2 cm et ∥⃗
v ∥ = 1 cm
On considère les deux aires suivantes :
● A1
=
● A2
=
2,5
∫1,5
√
x + 1 dx
√
x − 0, 1 ⋅ x2
2,5
∫1,5
dx
●
Donner une valeur approchée à 10−3 près des deux aires A1 et A2 en cm2 .
– Exercice 10 : On se place dans le repère (0; u⃗, v⃗) avec ∥⃗
u∥ = 2 cm et ∥⃗
v ∥ = 1 cm
On considère les deux aires suivantes :
●
● A1
=
● A2
=
2,5
∫1,5
2,5
∫1,5
√
x + 1 dx
√
x − 0, 1 ⋅ x2
dx
Donner une valeur approchée à 10−3 près des deux aires A1 et A2 en cm2 .
23
Chapitre 4
Méthodes sur les nombres complexes
√
Vers 1550, en pleine Renaissance italienne, un dénommé Cardan n’hésite pas à écrire 1
pour symboliser un nombre dont le carré est −1. En 1572, l’année de sa mort, le pauvre
Bombelli publia un traité permettant de faire des calculs avec ce nouveau nombre.
√
Deux siècles plus tard, en 1777, le génial Leonhard Euler posa : i = −1.
En ce moment, vous lisez les premières lignes de l’introduction de ce chapitre sur l’ensemble
C des nombres complexes, c’est-à-dire des nombres de la forme z = a + i ⋅ b où :
– Le réel a est dite la partie réelle de z.
– Le réel b est dite la partie imaginaire de z.
– i est un imaginaire qui vérifie i2 = −1
Nous allons voir comment :
1. Calculer dans C : avec les conjuguées, les modules et les arguments.
2. Utiliser la forme trigonométrique.
3. Utiliser les nombres complexes en géométrie plane.
4.1
4.1.1
Vérifions que les méthodes sont acquises
Méthodes de calculs dans C.
– Exercice 1 :
Ecrire
A=
2+i
+ (2 + 3i)(−1 − i)
1 − 2i
– Exercice 2 : Considérons l’équation (E) ∶
24
sous forme algébrique.
P (z) = z 3 + 2z 2 + 2z + 1 = 0
1. Montrer que −1 est solution de (E).
2. Après avoir justifié leur existence, déterminer les trois réels a, b et c tels que :
P (z)
=
(z + 1) ⋅ (az 2 + bz + c)
3. Terminer la résolution de (E) dans C.
– Exercice 3 : Pour tout z ≠ i, on pose :
z′ =
2z
z+i
1. Montrer que :
( z ′ est un réel )
⇐⇒
( z est un imaginaire pur différent de i )
Indication :
●
z ′ est un réel
⇐⇒
z′ = z′
●
z est un imaginaire pur
⇐⇒
z+z =0
2. Montrer que :
∣ z′ − 2 ∣
=
2
∣ z−i ∣
3. Montrer par l’absurde que z ′ ≠ 2, puis que :
arg(z ′ − 2)
4.1.2
=
−
π
− arg(z − i) [2π]
2
Méthodes sur la forme trigonométrique.
– Exercice 4 :
Ecrire
A = 1−i⋅
√
3
sous forme trigonométrique.
– Exercice 5 : Retrouver les deux égalités trigonométriques suivantes en utilisant la
notation exponentielle complexe :
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
cos(θ1 + θ2 )
=
cos(θ1 ) ⋅ cos(θ2 )
−
sin(θ1 ) ⋅ sin(θ2 )
sin(θ1 + θ2 )
=
cos(θ1 ) ⋅ sin(θ2 )
+
sin(θ1 ) ⋅ cos(θ2 )
En déduire en utilisant la parité, les expressions de cos(θ1 − θ2 ) et sin(θ1 − θ2 ).
25
– Exercice 6 :
1. Écrire sous forme trigonométrique :
A
√
√
6−i 2
1−i
=
2. En déduire une écriture algébrique de :
√ 2013
√
6−i 2
(
)
1−i
4.1.3
Méthodes géométriques
– Exercice 7 : On considère les points A, B et C d’affixes respectives :
√
√
zB = −1 − i et zC = −(2 + 3) + i
zA = 1 + i ⋅ 3
1. Calculer l’expression suivante :
zC − zB
zA − zB
2. En déduire la nature du triangle ABC.
– Exercice 8 : On considère :
● Un triangle ABC de sens direct tel que M est le milieu de [BC].
● Les carrés directs ACDE et BAGF .
● Les affixes respectives a, b, c, d, e, f, g, m des points A, B, C, D, E, F, G, M .
1. Construire la figure sur une feuille et émettre deux conjectures relatives aux distances AM et GE et à la position relative de (AM ) et (GE).
2. Déterminer les affixes e, g et m en fonctions de a, b, c.
3. En déduire les preuves de vos deux conjectures en vous intéressant au rapport :
e−g
m−a
– Exercice 9 : On considère les points A(i) et B(2i).
2z − 4i
iz + 1
● Déterminer par la méthode analytique, puis par la méthode géométrique, l’ensemble
des points M (z) tels que Z soit réel.
● À tout nombre complexe z ≠ i, on associe :
26
Z
=
Chapitre 5
Méthodes sur la géométrie dans l’espace
Sommaire
5.1
Rappels du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Présentation des objets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Position relative de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Position relative d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Position relative de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Vérifions que les méthodes sont acquises . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Géométrie non vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Géométrie vectorielle mais non repérée (sans les coordonnées) . . . .
5.2.3 Géométrie vectorielle et repérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Exercice sous forme de QCMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
28
28
29
30
31
31
32
32
33
L’idée principale de ce chapitre est de vous faire comprendre que les propriétés géométriques peuvent être démontrées par de bonnes méthodes de calcul. En effet,
j’ai souvent eu l’impression dans ma période de lycée que la géométrie utilisait souvent des
méthodes au petit bonheur la chance pour démontrer du parallélisme, de l’orthogonalité, des
égalités de vecteurs, ...
Toutes ces méthodes, qui sont un peu approximatives, sont dites de la géométrie non
vectorielle et non repérée. Et mon objectif est de vous prouver que les méthodes dites
de la géométrie vectorielle et repérée sont souvent plus efficaces et vous permettent
de travailler vos capacités en terme de calcul : une personne forte en calcul est une
personne qui ne fait pas de calcul : vous comprendrez pourquoi après la lecture de ce
cours. Good luck & Have fun.
27
5.1
5.1.1
Rappels du cours
Présentation des objets
Définition 5.1 (Comment définir une droite ?). Soit O le centre de notre repère.
→
–
d :=
un point A(a; b; c) + un vecteur directeur non nul Ð
u (u ; u ; u )
x
M (x; y; z) ∈ ∆
⇐⇒
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
Trouver un réel t, tel que
x=
y=
z=
y
z
a + t ⋅ ux
b + t ⋅ uy
c + t ⋅ uz
Définition 5.2 (Comment définir un plan ?). Soit O le centre de notre repère.
→
–
P :=
un point A(a; b; c) + un vecteur normal non nul Ð
n (xn ; yn ; zn )
M (x; y; z) ∈ P
–
P :=
M (x; y; z) ∈ P
⇐⇒
ÐÐ→ Ð
AM . →
n
=
0
→
→
un point A(a; b; c) + deux vecteurs non colinéaires Ð
u et Ð
v
⇐⇒
Trouver deux réels t et t′ , tel que
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x=
y=
z=
a + t ⋅ xu + t′ ⋅ xv
b + t ⋅ yu + t′ ⋅ yv
c + t ⋅ zu + t′ ⋅ zv
À partir de maintenant, nous allons définir :
→
→
– une droite par d ∶= (A; Ð
u ), où Ð
u est son vecteur directeur.
Ð
→
Ð
→
– un plan par P ∶= (A; n ), où n est un vecteur normal.
→
→
→
→
– un plan par P ∶= (A; Ð
u ,Ð
v ), où Ð
u et Ð
v sont dans le plan.
5.1.2
Position relative de deux droites
d ∶=
Méthode 1 (Sont-elles parallèles ?).
d // d′
⇐⇒
→
(A ; Ð
u ) et d′ ∶=
Ð
→
→
u et Ð
v sont colinéaires
28
→
(B ; Ð
v)
Méthode 2 (Sont-elles sécantes ?). .
→
–
d ∶= ( A(a; b; c) ; Ð
u (xu ; yu ; yu ) )
et
d′ ∶=
→
( B(a′ ; b′ ; c′ ) ; Ð
v (xv ; yv ; zv ) )
d et d′ sont sécantes en (x; y; z)
⇐⇒
Trouver deux réels t et t′
Méthode 3 (Sont-elles orthogonales ?).
⇐⇒
d et d′ sont orthogonales
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
a + t ⋅ xu = a′ + t′ ⋅ xv
b + t ⋅ yu = b′ + t′ ⋅ yv
c + t ⋅ zu = c′ + t′ ⋅ zv
x = a + t ⋅ xu
y = b + t ⋅ yu
z = c + t ⋅ zu
d ∶=
→
(A ; Ð
u ) et d′ ∶=
Ð
→
→
u et Ð
v
→
(B ; Ð
v)
sont orthogonaux
● Remarque : Si deux droites sont parallèles ou sécantes, alors elles sont coplanaires.
5.1.3
Position relative d’une droite et d’un plan
Méthode 4 (La droite est-elle parallèle au plan ?). ! ! Si non, elle est sécante ! !
→
→
–
d ∶= (A ; Ð
u ) et P ∶= (B ; Ð
n)
–
d ∶=
d // P
Ð
→
→
d // P
⇐⇒
u et Ð
n sont orhogonaux
→
→
→)
(A ; Ð
u ) et P ∶= (B ; Ð
v ; Ð
w
⇐⇒
Trouver deux réels α et β, tel que
Ð
→
u
=
Méthode 5 (La droite est-elle perpendiculaire au plan ?). .
→
→
–
d ∶= (A ; Ð
u ) et P ∶= (B ; Ð
n)
d ⊥ P
Ð
→
→
u et Ð
n sont colinéaires
⇐⇒
29
→
→
α⋅Ð
v + β⋅Ð
w
d ∶=
–
→
(A ; Ð
u ) et P ∶=
d ⊥ P
5.1.4
→
→)
(B ; Ð
v ; Ð
w
⇐⇒
Ð
→
→
u .Ð
v =0
Ð
→
→=0
u .Ð
w
et
Position relative de deux plans
Méthode 6 (Les deux plans sont-ils parallèles ?). ! ! Si non, ils sont sécants ! !
→
→
→
→ sont colinéaires
–
P ∶= (A ; Ð
n ) // P ′ ∶= (B ; Ð
m)
⇐⇒ Ð
n et Ð
m
→
→
→
Ð
→
→
→
→
–
P ∶= (A ; Ð
n ) // P ′ ∶= (B ; Ð
u ,Ð
v ) ⇐⇒
n .Ð
u = 0 et Ð
n .Ð
v =0
Méthode 7 (Les deux plans sont-ils orthogonaux ?). .
→
→
→
→ sont orthogonaux
–
P ∶= (A ; Ð
n ) ⊥ P ′ ∶= (B ; Ð
m)
⇐⇒ Ð
n et Ð
m
→
→
→
–
P ∶= (A ; Ð
n ) ⊥ P ′ ∶= (B ; Ð
u ,Ð
v)
⇐⇒
Trouver deux réels α et β, tel que
Ð
→
n
=
→
→
α⋅Ð
u + β⋅Ð
v
Méthode 8 (Quelle droite est l’intersection des deux plans ?). .
→
● Etape la plus difficile : Déterminer un vecteur directeur Ð
u de cette droite.
→
→
Ð
→
→
→
→=0
–
P ∶= (A ; Ð
n ) et P ′ ∶= (B ; Ð
m)
Ô⇒
u .Ð
n = 0 et Ð
u .Ð
m
→
→
→)
–
P ∶= (A ; Ð
n ) et P ′ ∶= (B ; Ð
v ,Ð
w
Ô⇒
Trouver deux réels α et β tel que :
30
Ð
→
u
=
→
→
α⋅Ð
v + β⋅Ð
w
et
Ð
→
→
u .Ð
n =0
5.2
Vérifions que les méthodes sont acquises
Dans cette section d’exercices, nous allons essayer de couvrir l’intégralité du programme
de géométrie dans l’espace. Par contre, il faut bien avoir conscience que si on vous donne le
choix des armes, et bien je vous conseille en priorité les calculs vectoriels avec des coordonnées.
Nous allons plusieurs fois parler d’un cube ABCDEF GH, en voici une représentation
avec la perspective cavalière.
5.2.1
Géométrie non vectorielle
– Exercice 1 : Soient ABCD un tétraèdre, I ∈ [AD], J ∈ [BD] et K ∈ (ABC).
●
Tracer la section du tétraèdre par le plan (IJK) en justifiant la construction.
– Exercice 2 : Soient ABCDEF GH un cube comme présenté au début de cette section
avec I, J et K les milieux respectifs de [AB],[BF ] et [BC].
●
Montrer que les plans (IJK) et (AF C) sont parallèles.
– Exercice 3 : Soit ABCDEF GH un cube comme présenté au début de cette section.
1. Montrer que (F A) est orthogonale à (EBH).
En déduire que (F A) est orthogonale à (HB).
2. Montrer de même que (F C) est orthogonale à (HB).
3. En déduire que (HB) est orthogonale à (F AC)
31
5.2.2
Géométrie vectorielle mais non repérée (sans les coordonnées)
– Exercice 4 : Soient A, B, C et D quatre points non coplanaires et M, N tels que :
ÐÐ→
AM
●
=
Ð→
Ð→
AC + 2 ⋅ AD
et
ÐÐ→
BN
=
ÐÐ→
Ð→
2 ⋅ BD + 3 ⋅ AC
Montrer que (M N ) est parallèle à (ABC).
– Exercice 5 : Soient ABCDEF GH un cube comme présenté au début de cette section.
●
5.2.3
Montrer en utilisant le produit scalaire que (HB) est orthogonale à (F AC).
Géométrie vectorielle et repérée
– Exercice 6 : Soient A, B, C et D quatre points non coplanaires et M, N tels que :
ÐÐ→
AM
=
Ð→
Ð→
AC + 2 ⋅ AD
et
ÐÐ→
BN
=
ÐÐ→
Ð→
2 ⋅ BD + 3 ⋅ AC
Ð→ Ð→ Ð→
Montrer que (M N ) est parallèle à (ABC) en introduisant le repère (A; AB, AC, AD).
●
– Exercice 7 : Soient ABCDEF GH un cube comme présenté au début de cette section.
Ð→ Ð→ Ð→
Montrer que (HB) est orthogonale à (F AC) en introduisant le repère (A; AB, AC, AD).
●
– Exercice 8 : Soient A(1; 0; −1), B(0; 2; −1) et C(2; 1; 3) trois points de l’espace.
●
Montrer que ces trois points définissent un plan et donner son équation.
– Exercice 9 : Soit P le plan passant par A(1; 2; 3) parallèle au plan P ′ d’équation :
x − y + z − 3 = 0.
●
Déterminer une représentation paramétrique de P.
– Exercice 10 : Soient A(1; −1; 2), B(0; 1; 3) et C(4; 0; −2) trois points de l’espace.
1.
Déterminer une représentation paramétrique de (AB).
2.
Le point C est-il un point de (AB).
32
– Exercice 11 :
●
A(1; 3; 0), B(−1; 1; 1) et C(0; 1; 0) trois points de l’espace.
●
P le plan d’équation :
x + y − 2z + 1 = 0
→
d la droite passant par E(1; −1; 0) de vecteur directeur Ð
u (2; 1; 1).
●
1.
Déterminer P ∩ (ABC).
2.
Déterminer P ∩ (AB).
3.
Déterminer d ∩ (AB).
– Exercice 12 :
→
u (−1; −1; 0).
d la droite passant par A(1; 1; −1) de vecteur directeur Ð
→
d′ la droite passant par B(−1; −1; 2) de vecteur directeur Ð
v (−1; 0; 1).
●
●
5.3
1.
Déterminer la perpendiculaire commune aux droites d et d′ .
2.
Déterminer la distance entre ces deux droites.
Exercice sous forme de QCMs
→
Ð
→ Ð
→ Ð
Dans l’espace rapporté au repère orthonormal (O, i , j , k ), on a les points :
–
A(1; 0; 0), B(1; 1; 0), C(1; 2; 0),
D(1; 0; 1), E(1; 1; 1), F (1; 2; 1)
–
G(0; 0; 1), H(0; 1; 1), I(0; 2; 1),
J(0; 1; 0) et K(0; 2; 0)
33
Compléter le tableau suivant en cochant la bonne réponse (il n’y a qu’une seule) :
1
2
3
4
5
6
7
a
b
c
Le triangle GBI est :
1.
a)
isocèle
b)
équilatéral
c)
rectangle
ÐÐ→ Ð→
Le produit scalaire AH.F C est égal à :
2.
a)
b)
-1
c)
2
b)
forment un rectangle
c)
forment un carré
c)
x + y + 2z = 2
c)
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
c)
1
2
c)
1
3
Les points B, C, I et H :
3.
a)
sont non coplanaires
Une équation du plan (GBK) est :
4.
a)
2x + 2y − z − 2 = 0
b)
x+y−3=0
Une représentation paramétrique de (KE) est :
5.
a)
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x=t
y =2+t
z=t
b)
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x = 3 + 4t
y=t
z = 4t
La distance du point C au plan (ADH) est :
6.
a)
√
2
b)
2
Le volume du tétraèdre HIKB est égal à :
7.
a)
√
2
b)
1
6
34
x=1−t
y =1+t
z =1−t
Chapitre 6
Méthodes sur les suites
Vous allez rapidement remarquer dans les exercices qu’il existe plusieurs manières de
définir une suite numérique (le terme numérique signifie que vous avez une suite de nombres
réels ou complexes). Pour obtenir des intuitions, essayer de déterminer par exemple les 5
premiers termes de votre suite. Vous obtiendrez ainsi des informations : variations de la
suite, convergence de la suite, est-ce une suite arithmétique ? est-ce une suite géométrie ?
6.1
Liste non exhaustive des méthodes à savoir utiliser
Je vous propose une liste non exhaustive des questions aborder dans ce chapitre.
1. Conjecturer le comportement d’une suite ?
Ex : Variations, convergence, arithmétique, géométrie, ... par l’utilisation d’un algorithme, d’un graphe ou de votre calculette.
2. Raisonner par récurrence : (le plus chiant mais le plus simple des raisonnements)
Ex : Commencer par définir correctement votre propriété puis initialisation + hérédité.
3. Utilisation des suites arithmétiques et géométriques :
Ex : Si vous avez l’information qu’une suite est arithmétique ou géométrique, soyez
heureux car vous connaissez plein d’informations (je n’en doute pas à aucun moment).
4. Étudier le comportement global d’une suite ?
Ex : Suite croissante ? décroissante ? appartenant à un intervalle ?
5. Étudier le comportement asymptotique d’une suite ?
Ex : Déterminer si cela est possible la limite de la suite en +∞
6. Déterminer des résultats expérimentaux
Ex : Déterminer par dichotomie, la solution d’une équation f (x) = k où f est monotone
sur un intervalle I. Encadrement de l’aire sous la courbe d’une fonction.
35
6.2
Vérifions que les méthodes sont acquises
1. Comment conjecturer le comportement d’une suite ?
– Exercice 1 : soit ∀n ∈ N,
Un = −n2 + 6n − 5.
● Conjecturer les variations de la suite (Un )n∈N
● Conjecturer la limite de la suite (Un )n∈N en +∞.
– Exercice 2
(∗)
: soit ∀n ∈ N,
Un+1 =
3 ⋅ Un + 4
−2 ⋅ Un + 9
et
U0 = 0.
● Principe du graphe "WEB" (toile en français) :
Construire un escalier ou un escargot de convergence à partir de la courbe réprésentative de f et de la droite d’équation y = x. Les conjectures sont émises à partir
des premières valeurs de la suite représentées sur l’axe des abscisses.
● Dresser le tableau de variations de f définie sur [0; 1] par f (x) =
3⋅x+4
−2 ⋅ x + 9
● Tracer la droite d’équation y = x et la courbe Cf .
● Conjecturer le comportement de la suite en utilisant un graphe "WEB".
Vous pouvez aller voir la page 4 de ce document pour voir différents
graphes "WEB" : http ://gonce.pagesperso-orange.fr/FichPrat/ReprSuiteRec.pdf
– Exercice 3
(∗)
: (Programme à mettre dans votre calculette)
∀n ∈ N∗ ,
Un =
1
1
1
+
+ ... +
n n+1
2n
● En utilisant un algorithme calculer les 10 premiers termes de la suite Un .
● En déduire une conjecture sur le comportement de la suite.
2. Raisonner par récurrence :
– Exercice 4 : (Le malheur des élèves = la récurrence)
● En utilisant la suite définie dans l’exercice 2, démontrer que ∀n ∈ N,
Pn ∶
”0 ≤ Un ≤ Un+1 < 1”
36
est une proposition vraie.
3. Utilisation des suites arithmétiques et géométriques :
– Exercice 5 : soit ∀n ≥ 3,
Un+1 = Un + 2
et
U3 = 0
● Déterminer l’expression de Un en fonction de n (pour n ≥ 3).
● Calculer intelligemment la somme suivante :
S
=
U4 + U5 + ... + U20
– Exercice 6 : Reprenons la suite définie dans l’exercice 2. On définit ∀n ∈ N,
Un − 1
Un − 2
=
Vn
● Démontrer l’existence de la suite (Vn )n∈N .
● Démontrer que (Vn )n∈N est géométrie. Indiquer son 1er terme et sa raison.
● Déterminer l’expression de Vn en fonction de n ∈ N.
● En déduire l’expression de Un en fonction de n ∈ N.
4. Étudier le comportement global d’une suite c-à-d ses variations ?
– Exercice 7 : Démontrer les conjectures sur les variations de la suite de l’exercice 1.
– Exercice 8 : Démontrer les conjectures sur les variations de la suite de l’exercice 3,
en utilisant les informations obtenues dans l’exercice 4.
– Exercice 9 : Démontrer les conjectures sur les variations de la suite de l’exercice 2,
en utilisant les informations obtenues dans l’exercice 6.
5. Étudier le comportement asymptotique d’une suite c-à-d sa limite en +∞ ?
– Exercice 10 : soit ∀n ∈ N,
Un
2n2 − 3
3 n
−
(
)
n2 + 1
4
=
● Calculer, si cela est possible, lim
nÐ→+∞
37
Un
– Exercice 11 : En utilisant le théorème de la convergence monotone, démontrer que
la suite présentée dans l’exercice 3 converge. Pensez à utiliser les informations que
vous avez obtenues dans les exercices 4 et 8.
Remarque : Sachez qu’on ne vous demande pas forcément de calculer la limite.
– Exercice 12 : En reprenant la suite (Un )n∈N présentée dans l’exercice 2, rappelons
que nous avons montré dans l’exercice 9 que :
● (Un )n∈N est croissante.
● ∀n ∈ N, Un ∈ [0; 1[
Il vous reste à :
● Démontrer que (Un )n∈N est convergente.
● Calculer la limite.
– Exercice 13 : soient (Un )n∈N et (Vn )n∈N les deux suites suivantes :
Un = 5, 33...3
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
et
n décimales
Vn = 5, 33...4
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
n décimales
● Démontrer que les deux suites (Un )n∈N et (Vn )n∈N sont adjacentes.
● Déterminer leur limite.
6. Déterminer des résultats expérimentaux
– Exercice 14 : soit (E) l’équation suivante : x3 + x + sin(x) = 4
● Démontrer l’existence d’une solution unique x0 ∈ R de l’équation (E).
● Donner un encadrement de x0 d’amplitude 10−6 (utiliser un algorithme).
– Exercice 15 : soit ∀x ∈ [0; +∞[,
f (x) =
√
x,
a=1
et
b = 5.
● Écrire un algorithme (il doit être dans votre calculette) qui permet d’encadrer
l’aire sous la courbe Cf entre les droites d’équations x = a et x = b avec n bandes
verticales.
● Donner le résultat pour n = 100.
● Comparer votre résultat avec le calcul de l’intégrale.
38
Chapitre 7
Méthodes sur les probabilités et les
statistiques
Sommaire
7.1
Probabilités discrètes et probabilités conditionnelles . . . . . . . .
7.1.1 4 notions : Probabilité, Espérance, Variance et Écart-type . . . . .
7.1.2 Formules à comprendre et à connaître pour ces 4 notions . . . . . .
7.1.3 Évènements indépendantes et arbre pondéré . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Loi binomiale et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.5 Probabilités conditionnelles et arbre pondéré . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Probabilités continues et les lois de densité . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Estimation avec les intervalles de fluctuation et de confiance . .
40
40
41
41
42
43
43
45
De nombreuses notions de ce chapitre trouvent des applications dans beaucoup de domaines (Économie, SVT, Physique, ...). Nous nous efforcerons d’utiliser les TICE (Technologies de l’Information et de la Communication pour l’Enseignement) aussi souvent que
possible pour vous familiariser avec les possibilités des tableurs et de l’algorithmique. On
vous conseille de bien travailler les exemples pour assimiler une théorie parfois formellement
compliquée.
1. Probabilités discrètes : Probabilité, Espérance, Variance et Écart-type
2. Probabilités conditionnelles et arbre pondéré par les probabilités
3. Probabilités continues et lois de densité.
4. L’estimation avec les intervalles de Fluctuation et de Confiance.
39
7.1
7.1.1
Probabilités discrètes et probabilités conditionnelles
4 notions :
Probabilité, Espérance, Variance et Écart-type
Définition 7.1 (Une Probabilité P dans un univers Ω). Une mesure de probabilité P
est une application de l’ensemble des parties de Ω (noté P(Ω)) à valeurs dans l’intervalle
[0; 1] :
P∶
P(Ω)
A⊆Ω
Ð→
z→
[0; 1]
P(A)
vérifiant les deux propriétés suivantes :
A ∩ B = ∅,
1.
Si
2.
P(Ω) = 1
alors
P(A ∪ B)
=
P(A) + P(B)
Pour les deux définitions suivantes, nous allons regarder une variable aléatoire X dont la
valeur discrète peut varier entre 1 et n inclus.
Définition 7.2 (L’Espérance d’une variable aléatoire X). Il faut comprendre l’espérance comme une moyenne pondérée. De la même manière que votre moyenne de
Maths du trimestre se calcule avec des coefficients, et bien en probabilités, les valeurs k
variant de 1 à n sont vos notes aux devoirs et les probabilités P(X = k) sont les coefficients
de vos devoirs.
n
1
1 ⋅ P(X = 1) + ... + n ⋅ P(X = n)
=
⋅ ∑ k ⋅ P(X = k)
E(X) =
n
n k=1
Définition 7.3 (La Variance et l’Écart-type d’une variable aléatoire X). Nous
allons observer la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Votre professeur
de Maths souhaite savoir si sa classe est équilibrée, c’est-à-dire savoir si ces élèves sont
plutôt autour de la moyenne ou s’il y a beaucoup de cas extrêmes. Ainsi pour mettre
de l’importance aux cas extrêmes, nous allons mettre au carré, les écarts à la
moyenne.
√
V ar(X) = E [ ( X − E(X) )2 ]
et
σ(X) =
V ar(X)
Il faut retenir que σ(X) est homogène à X et que V ar(X) est homogène à X 2 .
40
7.1.2
Formules à comprendre et à connaître pour ces 4 notions
Proposition 7.1 (Les premières formules). Ces formules sont à retrouver sur un dessin
et non à apprendre bêtement.
–
Probabilité dans le cas discret :
P(A)
–
=
nombre d’éléments de Ω vérifiant la propriété de A
nombre d’éléments total de Ω
Probabilité de l’union :
P(A ∪ B)
–
=
P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Formule des probabilités totales :
L’idée est que l’on peut diviser le monde Ω en régions deux à deux distincts.
A1 , A2 , ..., An est une famille de Ω telle que :
Si
n
⋃ Ai = Ω
i=1
Alors
7.1.3
P(B)
=
et
∀i ≠ j,
Ai ∩ Aj = ∅
P(B ∩ A1 ) + P(B ∩ A2 ) + ... + P(B ∩ An )
Évènements indépendantes et arbre pondéré
Définition 7.4 (Évènements indépendantes). Soientt A et B deux évènements (sousensemble de Ω).
A et B sont indépendants
⇐⇒
P(A ∩ B)
=
P(A) × P(B)
Si vous avez des évènements indépendants comme des lancers de dé ou de pièces de monnaie, et bien vous pouvez réaliser un arbre représentant les lancers successifs et vous
pouvez pondérer cette arbre par les probabilités des différentes lancers successifs.
– Exercice 1 : Nous avons un tableau [−4 ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4].
41
●
●
●
●
Nous plaçons un pion sur la case 0.
Nous lançons 4 fois une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
Si elle tombe sur Pile, on déplace le pion d’une case vers la droite.
Sinon, on déplace le pion vers la gauche.
1.
Déterminer la probabilité de terminer le parcours sur la case 0.
2.
Obtenir expérimentalement la fréquence des parcours terminer en 0.
7.1.4
Loi binomiale et propriétés
Définition 7.5 (Loi binomiale B(n, p)). On dit qu’une expérience suit la loi binomiale
de paramètres n et p lorsque l’on répète n fois de façon indépendante une même
épreuve de Bernoulli. Chacune de ces épreuves a deux issues possibles, dont l’une est
considérée comme un succès de probabilité p, et l’autre comme un échec de
probabilité (1 − p).
La variable aléatoire Xn compte le nombre de succès obtenues et dans ce cas :
P(Xn = k)
=
(
n
) ⋅ pk ⋅ (1 − p)n−k
k
avec :
(
n
)
k
n!
k! ⋅ (n − k)!
=
Proposition 7.2 (Espérance, Variance et Écart-type d’une loi binomiale). Soit Xn
une variance aléatoire suivant une loi binomiale B(n, p).
–
Espérance :
–
Variance :
–
Écart-type :
E(Xn )
=
V ar(Xn )
=
σ(Xn )
=
n⋅p
n ⋅ p ⋅ (1 − p)
√
n ⋅ p ⋅ (1 − p)
– Exercice 1 : Nous avons un tableau [−4 ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4].
42
●
●
●
●
7.1.5
Nous plaçons un pion sur la case 0.
Nous lançons 4 fois une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
Si elle tombe sur Pile, on déplace le lien d’une case vers la droite.
Sinon, on déplace le pion vers la gauche.
1.
Déterminer la probabilité de terminer le parcours sur la case 0.
2.
Obtenir expérimentalement la fréquence des parcours terminer en 0.
Probabilités conditionnelles et arbre pondéré
Définition 7.6 (Probabilités conditionnelles). Pour la représentation avec les patates,
vous devez simplement considérer que nous sommes uniquement dans la région A.
–
Probabilité conditionnelle :
(en utilisant la première formule)
PA (B)
Ce dit :
=
P(A ∩ B)
P(A)
"probabilité de B sachant A".
–
7.2
Probabilités continues et les lois de densité
Une loi de densité est un très bon outil pour représenter des probabilités en utilisant le
calcul intégral. Pour me permettre de réaliser un peu plus de démonstration, je vais devoir
utiliser l’intégration par partie qui est une notion hors programme mais pas d’inquiétude mes amis : ce n’est pas bien difficile à comprendre.
Encore une fois, je vais vous démontrer la majorité des formules pour que
vous puissiez utiliser les démonstrations comme un moyen de vérification et de
mémorisation.
Définition 7.7 (Loi de densité). Une fonction f définie sur un segment [a; b] est une
densité sur [a; b] lorsqu’elle y est positive, continue et que :
b
∫a
f (s) ds
43
=
1
Proposition 7.3 (Lien avec la probabilité). La probabilité P d’une variable aléatoire X
de densité f est :
P∶
● Remarque :
[c; d] ⊆ [a; b]
d
z→
∫c
f (s) ds
P( X ∈ ]c; d[ ) = P( X ∈ ]c; d] ) = P( X ∈ [c; d[ ) = P( X ∈ [c; d] )
Proposition 7.4 (Lien avec l’espérance). L’espérance d’une loi de densité f définie sur
[a; b] est donnée par :
E(X)
b
=
∫a
s × f (s) ds
Définition 7.8 (Différentes lois de densité). Toutes les informations écrites en
rouge peuvent être retrouver par démonstration.
–
Loi uniforme sur [a; b] :
∀s ∈ [a; b],
–
f (s)
=
=
1
b − a
Loi exponentielle sur [0; +∞[ :
∀s ∈ [0; +∞[,
–
constante
f (s)
=
λ ⋅ e−λ⋅s
Loi normale centrée réduite sur R :
∀s ∈ R,
f (s)
=
1
s2
√
⋅ e− 2
2⋅π
– Exercice 5 : Soit f une fonction définie sur I = [0; +∞[ par
f (s) = 2 ⋅ e−2⋅s
1.
Montrer que f est une densité sur I.
2.
Si X est une variable aléatoire de densité f , déterminez P(X ≤ 3)
44
– Exercice 6 : Le temps d’attente t à un guichet suit la loi uniforme sur [0; 45].
1. Déterminer le temps moyen d’attente (espérance).
2. Sachant qu’un client a attendu 10 minutes, quelle est la probabilité qu’il soit reçu
dans les cinq qui suivent ? (utilisation des probabilités conditionnelles).
– Exercice 7 :
On reprend l’exemple de la méthode précédente, mais on suppose que le temps
d’attente au guichet suit une loi exponentielle de paramètre λ.
1. Déterminer λ pour que le temps moyen d’attente au guichet soit le même qu’avec
la loi uniforme (22, 5 minutes).
2. Sachant qu’un client a attendu 10 minutes, quelle est la probabilité qu’il soit reçu
dans les cinq qui suivent ? (utilisation des probabilités conditionnelles).
3. Comparer cette probabilité à celle obtenue avec la méthode précédente.
7.3
Estimation avec les intervalles de fluctuation et de
confiance
45