1 Arithmétique dans N

D´enombrement
1 Arithm´etique dans N
Nd´esigne l’ensemble des entiers naturels. On en restera `a une notion intuitive de ces nombres.
On connaˆıt l’ordre usuel, l’addition, le produit et leurs propri´et´es usuelles.
On sait par exemple que le produit de deux entiers naturels est ´egal `a 1 si et seulement si ces deux entiers sont
´egaux `a 1.
On sait aussi qu’un produit de deux entiers est nul si et seulement si l’un au moins est nul. Cette propri´et´e s’appelle
l’int´egrit´e.
On sait aussi que toute partie non vide de Nposs`ede un plus petit ´el´ement et que toute partie non vide major´ee
a un plus grand ´el´ement.
1.1 Multiples, diviseurs, division euclidienne
1.1.1 Multiples, diviseurs
D´efinition
Soient a, b deux entiers naturels. On dit que aest multiple de bou que bdivise alorsqu’il existe q∈Ntel que
a=bq.
On note alors b|ace qui se lit “bdivise a”.
qest le quotient de bpar a.
Remarque : Le cas de z´ero.
0 est multiple de tout entier et le seul multiple de 0 est 0 lui-mˆeme.
Propri´et´es
•Si c|bet b|aalors c|a; autrement dit : aest multiple de bqui est multiple de cdonc aest multiple de c.
•Si c|aet c|balors c|a+b; autrement dit : si aet bsont multiples de calors a+best multiple de c.
• ∀a∈N, a|a(´ Evident).
•Si a|bet b|aalors a=b.
On traite `a part le cas o`u a=b= 0. Sinon, lorsque aet bsont non nuls, on a p, q ∈Ntels que
a=bq et b=pa d’o`u a=pqa donc a(1 −pq) = 0 puis 1 = pq par int´egrit´e et enfin p=q= 1.
Que peut-on alors dire de la relation de divisibilit´e?
1.1.2 Division euclidienne
Th´eor`eme
Quels que soient a∈Net b∈N∗, il existe un unique couple (q,r)∈N2tel que
a=bq +ret r < b
D´emonstration
Existence :
L’ensemble des entiers ktels que kb 6aest non vide (il contient 0) et major´e (par a) donc admet un plus grand
´el´ement qqui v´erifie qb 6a < (q+ 1)balors r=a−bq < b. C.Q.F.D.
Unicit´e :
Si a=bq +r=bq0+r0avec r6r0de sorte que q06qalors (q−q0)b=r0−ravec 0 6r0−r6r0< b ce qui
impose q−q0= 0 d’o`u q=q0puis r=r0.
On observe que b|asi et seulement si le reste de la division euclidienne de apar best 0.
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1.2 PGCD, PPCM
1.2.1 PGCD
Soient aet bdeux entiers non tous les deux nuls. L’ensemble des diviseurs communs de aet best une partie non
vide (elle contient 1) et major´ee (par le maximum de aet b). Elle admet donc un plus grand ´el´ement.
D´efinition
Soient aet bdeux entiers non tous les deux nuls.
On appelle PGCD (pour Plus Grand Commun Diviseur) de aet bet on note a_ble plus grand diviseur
commun de aet b.
Remarque
Si b= 0 (et a6= 0) alors a_b=a.
1.2.2 Algorithme d’Euclide
Soient aet bdeux entiers non nuls et rle reste de la division euclidienne de apar b.
Alors l’ensemble des diviseurs communs de aet best ´egal `a l’ensemble des diviseurs communs de bet r.
En effet, on ´ecrit a=bq +r. Tout diviseur commun de aet bdivise alors ret est, de ce fait, est donc un diviseur
commun de bet r. Inversement, tout diviseur commun de bet rdivise aet est donc un diviseur commun de aet
b. On en d´eduit la
Propri´et´e
Soient aet bdeux entiers non nuls et rle reste de la division euclidienne de apar b. On a :
a_b=b_r
Cette propri´et´e est `a la base de L’algorithme d’Euclide .
On se donne un couple (a,b) d’entiers avec a6= 0.
On pose a0=aet b0=b.
Si, au rang k, on a aket bknon nuls tels que a_b=ak_ bkalors on pose ak+1 =bket bk+1 le reste de
la division euclidienne de akpar bkde sorte que ak+1 _ bk+1 =ak_ bk=a_b.
Tant qu’elle est d´efinie, la suite (bk)k>0est strictement d´ecroissante d’apr`es le th´eor`eme de la division
euclidienne. Il y a donc un rang ptel que bp= 0 ce qui oblige `a arrˆeter.
Mais on alors a _ b =ap_0 = ap=bp−1.
Ainsi, a_best le dernier reste non nul du processus.
Exercice 1
On garde les notations pr´ec´edentes : a0=a, b0=bet pour tout kde 0 `a p, ak=qkbk+bk+1.
On veut montrer qu’il existe deux entiers relatifs uet vtels que au +bv =a_b.
On pose u0= 0, v0= 1, u1= 1, v1=−q0puis, pour tout k>1
uk+1 =uk−1−qkuket vk+1 =vk−1−qkvk.
Montrer que, pour tout kde 0 `a p, on a uka+vkb=bk.
En d´eduire que upa+vpb=do`u d=a_bet conclure.
Exercice 2
Application du pr´ec´edent
Montrer que tout diviseur commun de deux entiers divise leur PGCD.
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1.2.3 Nombres premiers entre eux
D´efinition
Deux entiers aet bsont premiers entre eux lorsque a_b= 1.
Relations de Bezout
Deux entiers naturels aet bsont premiers entre eux si et seulement s’il existe u, v entiers relatifs tels que ua+vb = 1.
Les relations ci-dessus sont appel´ees relations de Bezout.
D´emonstration
La n´ecessit´e r´esulte de l’exercice pr´ec´edent.
Inversement s’il existe uet v∈Ztels que ua +vb = 1 alors, tout diviseur commun de aet bdivise aussi 1 donc
a_b= 1.
Le th´eor`eme de Gauss
Soient a, b, c des entiers.
Si a|bc et a_b= 1 alors a|c.
D´emonstration :
Soient u, v ∈Ztels que ua +vb = 1 alors uac +vbc =c; or a|ac et a|bc donc a|c.
Proposition
Si aet bsont deux entiers et dleur PGCD, on peut poser a=da0et b=db0. Alors a0_ b0= 1.
En effet, si k>1 est un diviseur commun de a0et b0alors kd est un diviseur commun de aet bdonc kd 6dpuis
k= 1.
1.2.4 PPCM
D´efinition
Soient aet bdeux entiers naturels. L’ensemble des multiples communs (positifs) de aet best non vide (il contient
ab) donc il admet un plus petit ´el´ement appel´e PPCM pour Plus Petit Commun Multiple de aet bet not´e
a ^ b.
Exercice 3
Soient aet bdeux entiers, d=a _ b, a0et b0tels que a=da0et b=db0. Montrer que a^b=da0b0.
1.3 Nombres premiers
1.3.1 D´efinition, infinit´e des nombres premiers
D´efinition
Un nombre premier est un entier naturel p>2 dont les seuls diviseurs positifs sont 1 et lui-mˆeme.
Quelques propri´et´es :
•Tout entier >2 admet des diviseurs premiers.
En effet, si pest le plus petit diviseur >2 de n, alors pest premier.
•Pour tout nombre premier pet tout entier naturel n, ou-bien p|nou-bien p_n= 1.
En effet, si net pont un diviseur commun autre que 1, ce ne peut ˆetre que pdonc p|n.
•Il existe une infinit´e de nombres premiers.
On montre que, pour tout nombre premier p, il existe un nombre premier q > p.
En effet p! + 1 n’est divisible par aucun entier entre 1 et p. Son plus petit diviseur premier est donc > p.
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1.3.2 Le crible d’Eratosth`ene
On ´ecrit la liste des entiers On garde 2 et on raie tous les autres multiples de 2.
Le premier nombre restant est 3 ; on le garde et on raye tous les autres multiples de 3.
Le premier nombre restant est 5 ; on le garde et on raye tous les autres multiples de 5 etc ...
Les nombres qui ne sont pas ray´es sont les nombres premiers.
1.3.3 D´ecomposition en facteurs premiers
On admet la propri´et´e suivante :
Proposition
Pour tout entier naturel n>2, il existe des entiers premiers p1< p2<· · · < pket des entiers strictement positifs
ν1, ν2, . . . , νktels que n=
k
Y
i=1
pνi
i.
L’existence peut s’´etablir par r´ecurrence en utilisant le fait que nadmet un diviseur premier. On pose n=n0p
avec ppremier et n0< n. On applique la propri´et´e `a n0et on multiplie par p.
L’unicit´e peut s’obtenir en utilisant le th´eor`eme de Gauss.
Remarque
On peut ´ecrire la d´ecomposition en facteurs premiers (DFP) de la fa¸con suivante : On note Pl’ensemble des
nombres premiers.
Pour tout n>1, il existe une unique famille presque nulle (νp)p∈Pd’entiers positifs index´ee par Ptelle que
n=Y
p∈P
pνp.
Comme la famille est presque nulle, c’est-`a-dire que les νpsont non nuls pour un nombre fini d’indices, il n’y a
qu’un nombre fini de pνpqui sont diff´erents de 1 et ainsi, le produit est fini.
1.3.4 Utilisation de la DFP
On a les propri´et´es suivantes :
•Si m=Y
p∈P
pµpet n=Y
p∈P
pνpalors m|nsi et seulement si ∀p, µp6νp.
•Avec les notations pr´ec´edentes, m_n=Y
p∈P
pmin{µp, νp}et m^n=Y
p∈P
pmax{µp, νp}.
2 D´enombrement
2.1 Cardinal d’un ensemble fini
2.1.1 D´efinitions
Nous resterons ici `a une notion intuitive d’ensemble fini.
Le cardinal d’un ensemble fini Aest le nombre d’´el´ements de cet ensemble ; il est nul lorsque A=∅.
Un ensemble `a 1 ´el´ement est appel´e un singleton , un ensemble `a 2 ´el´ements est une paire.
Le cardinal d’un ensemble fini Aest not´e |A|ou #Aou Card(A).
Remarque
Compter les ´el´ements d’un ensemble fini non vide (de cardinal n) consiste `a ´etablir une bijection de [[1,n]] dans
cet ensemble.
C’est cette id´ee qui permettra de prolonger la notion de cardinal aux ensembles infinis.
2.1.2 Cardinal d’une partie, cas d’´egalit´e
Si Eest un ensemble fini et Aune partie de E, alors Aest finie et #A6#E.
On admet cette propri´et´e tr`es intuitive. Cependant, si on veut aller plus loin, on peut voir qu’elle est ´equivalente
`a la suivante :
Si Xest une partie non vide de [[1,n]] alors il existe p6net une bijection k7→ ikde [[1,p]] dans X.
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Cette bijection est d´efinie de la fa¸con suivante : i1est le plus petit ´el´ement de Xet, si i1< . . . < ijsont d´efinis et
si X\{i1, . . . ,ij}est non vide, alors ij+1 est le plus petit ´el´ement de X\{i1, . . . ,ij}.
On admet aussi la propri´et´e suivante :
Propri´et´e
Soit Aune partie d’un ensemble fini E.
A=E⇔#A= #E
Remarque : Il suffit de la prouver dans le cas de E= [[1,n]] pour n>1. Dans cette situation, cela signifie qu’il
existe une bijection de [[1,m]] dans [[1,n]] si et seulement si m=n.
Comme la r´eciproque d’une bijection en est une aussi, on suppose m6net on montre par r´ecurrence sur nque
s’il existe une bijection de [[1,m]] dans [[1,n]] alors m=n.
On pourra le faire en exercice.
2.1.3 Applications entre deux ensembles finis de mˆeme cardinal
Proposition
Soient Eet Fdeux ensembles finis de mˆeme cardinal net f:E→Fune application.
Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
1. fest bijective.
2. fest injective.
3. fest surjective.
D´emonstration :
1⇒2 et 1 ⇒3 sont ´evidents.
Pour 2 ⇒1, on a # Im(f)=#E= #Fd’o`u Im(f) = Fet fest surjective.
Pour 3 ⇒1, par contrapos´ee, si fn’est pas injective, alors du fait qu’il existe deux ´el´ements de Eayant mˆeme
image, on a # Im(f)<#E= #Fdonc fn’est pas surjective.
2.2 Propri´et´es des cardinaux finis
2.2.1 Cardinal d’une r´eunion de deux ensembles disjoints ou non
Proposition
Si Aet Bsont des ensembles finis disjoints, alors A∪Best fini et |A∪B|=|A|+|B|.
D´emonstration On se place dans le cas o`u |A|=m>1 et |B|=n>1
Si ϕ: [[1,m]] →Aet ψ: [[1,n]] →Bsont des bijections, alors θ: [[1,m +n]] →A∪Bd´efinie par θ(i) = ϕ(i) si i6m
et θ(i) = ψ(i−m) si i>mest une bijection (V´erifier).
Proposition
Si Aet Bsont deux ensembles finis, alors :
|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|
En effet A∪Best la r´eunion disjointe de Aet B\Atandis que Best la r´eunion disjointe de A∩Bet de B\A.
Il en r´esulte |A∪B|=|A|+|B\A|et |B|=|A∩B|+|B\A|d’o`u la formule.
Exercice 4
Donner une formule analogue pour une r´eunion de trois parties.
Une id´ee de g´en´eralisation?
2.2.2 Cardinal d’une r´eunion disjointe
Par r´ecurrence sur n, on voit facilement que si A1, . . . ,Ansont des ensembles finis deux `a deux disjoints, alors
n
[
i=1
Ai =
n
X
i=1
|Ai|.
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