TRIGONOMÉTRIE Chapitre 8 I/ Triangles rectangles et trigonométrie

CA
B
Chapitre 8
TRIGONOMÉTRIE
I/ Triangles rectangles et trigonométrie
1°/ Définitions
Côté opposé à
Hypoténuse
l’angle BCA
Côté adjacent à l’angle BCA
Définition :
Dans un triangle rectangle, on appelle cosinus d’un angle aigu le quotient :
longueur du côté adjacent à cet angle
longueur de l'hypoténuse
Exemple : cos C = AC
BC
Définition :
Dans un triangle rectangle, on appelle sinus d’un angle aigu le quotient :
longueur du côté opposé à cet angle
longueur de l'hypoténuse
Exemple : sin C = AB
BC
Définition :
Dans un triangle rectangle, on appelle tangente d’un angle aigu le quotient :
longueur du côté opposé à cet angle
longueur du côté adjacent à cet angle
Exemple : tan C = AB
AC

A
B
C
Remarques :
 Les définitions ou formules précédentes ne sont valables que dans les triangles
rectangles.
 L’hypoténuse étant le plus grand côté d’un triangle rectangle, le cosinus et le
sinus d’un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.
2°/ Propriétés
Propriété : Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesure x d’un angle
aigu, on a : tan x = sin x
cos x (x
90° )
Démonstration :
tan (x) = longueur du côté opposé à cet angle
longueur de l'hypoténuse : longueur du côté adjacent à cet angle longueur de l'hypoténuse
tan (x) = longueur du côté opposé à cet angle
longueur de l'hypoténuse × longueur del'hypoténuse longueur du côté adjacent à cet angle
tan (x) = longueur du côté opposé à cet angle
longueur du côté adjacent à cet angle
Propriété : Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesure x d’un angle
aigu, on a : sin²x + cos²x = 1.
Démonstration :
sin (x) = AB
BC et cos (x) = AC BC
sin²(x) + cos²(x) =
22
AB AC
BC BC
x
sin²(x) + cos²(x) =
22
22
AB AC
BC BC
sin²(x) + cos²(x) =
²²
²
AB AC
BC
sin²(x) + cos²(x) = 1 car ABC est un triangle rectangle en A donc d’après le théorème de
Pythagore AB² + AC² = BC²

oIO
M
N
H
oIO
M
N
H
II/ CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
Définition : On appelle cercle trigonométrique, tout cercle de rayon 1.
Soit un repère de centre O et un quart de cercle de centre O et de rayon 1 comme
sur la figure ci-dessous.
M est un point du quart de cercle tel que IOM = x
N est un point de (OM) tel que ONI soit un triangle 1
rectangle en I.
cos x = OH
OM or OM = 1 donc cos x = OH
sin x = MH
OM or OM = 1 donc sin x = MH
tan x = NI
OI or OI = 1 donc tan x = NI 1
Donc :
 le cosinus de l’angle IOM correspond à l’abscisse du point M dans ce repère.
 le sinus de l’angle IOM correspond à l’ordonnée du point M dans ce repère.
 la tangente de l’angle IOM correspond à l’ordonnée du point N dans ce repère.
Exemple :
Déterminer graphiquement 1
le cosinus, le sinus et la
tangente de 40°.
Sur le repère dessiné ci-
contre, on place le point M
sur l’arc de cercle de sorte
que x = 40°
Ensuite on trace la droite (d)
perpendiculaire à (OI)
passant par I.
Soit N le point d’intersection
de (d) et de (OM).
XM ≈ 0,77 donc cos 40° ≈ 0,77
YM ≈ 0,64 donc sin 40° ≈ 0,64
YN ≈ 0,84 donc tan 40° ≈ 0,84 40°
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1