TRIGONOMÉTRIE Chapitre 8 I/ Triangles rectangles et trigonométrie

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Chapitre 8
TRIGONOMÉTRIE
I/
Triangles rectangles et trigonométrie
1°/
Définitions
B
Côté opposé à
Hypoténuse
l’angle BCA
A
C
Côté adjacent à l’angle BCA
Définition :
Dans un triangle rectangle, on appelle cosinus d’un angle aigu le quotient :
longueur du côté adjacent à cet angle
longueur de l'hypoténuse
Exemple : cos C =
AC
BC
Définition :
Dans un triangle rectangle, on appelle sinus d’un angle aigu le quotient :
longueur du côté opposé à cet angle
longueur de l'hypoténuse
Exemple : sin C =
AB
BC
Définition :
Dans un triangle rectangle, on appelle tangente d’un angle aigu le quotient :
longueur du côté opposé à cet angle
longueur du côté adjacent à cet angle
Exemple : tan C =
AB
AC
Remarques :
 Les définitions ou formules précédentes ne sont valables que dans les triangles
rectangles.
 L’hypoténuse étant le plus grand côté d’un triangle rectangle, le cosinus et le
sinus d’un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.
2°/
Propriétés
Propriété : Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesure x d’un angle
sin x
aigu, on a :
tan x =
(x  90° )
cos x
Démonstration :
tan (x) = longueur du côté opposé à cet angle : longueur du côté adjacent à cet angle
longueur de l'hypoténuse
tan (x) = longueur du côté opposé à cet angle ×
longueur de l'hypoténuse
longueur de l'hypoténuse
longueur del'hypoténuse
longueur du côté adjacent à cet angle
tan (x) = longueur du côté opposé à cet angle
longueur du côté adjacent à cet angle
Propriété : Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesure x d’un angle
aigu, on a :
sin²x + cos²x = 1.
Démonstration :
sin (x) =
AB
et
BC
cos (x) =
2
AC
BC
 AB   AC 
sin²(x) + cos²(x) = 
 

 BC   BC 
AB 2 AC 2

sin²(x) + cos²(x) =
BC 2 BC 2
sin²(x) + cos²(x) =
B
2
x
A
AB²  AC ²
BC ²
sin²(x) + cos²(x) = 1 car ABC est un triangle rectangle en A donc d’après le théorème de
Pythagore AB² + AC² = BC²
C
II/
CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
Définition : On appelle cercle trigonométrique, tout cercle de rayon 1.
Soit un repère de centre O et un quart de cercle de centre O et de rayon 1 comme
sur la figure ci-dessous.
M est un point du quart de cercle tel que IOM = x
N est un point de (OM) tel que ONI soit un triangle
rectangle en I.
1
N
cos x =
OH
OM
or OM = 1 donc cos x = OH
sin x =
MH
OM
or OM = 1 donc sin x = MH
tan x =
NI
OI
or OI = 1
M
o
O
donc tan x = NI
H
I
1
Donc :
 le cosinus de l’angle IOM correspond à l’abscisse du point M dans ce repère.
 le sinus de l’angle IOM correspond à l’ordonnée du point M dans ce repère.
 la tangente de l’angle IOM correspond à l’ordonnée du point N dans ce repère.
Exemple :
Déterminer graphiquement
le cosinus, le sinus et la
tangente de 40°.
1
N
Sur le repère dessiné cicontre, on place le point M
sur l’arc de cercle de sorte
que x = 40°
M
Ensuite on trace la droite (d)
perpendiculaire à (OI)
passant par I.
Soit N le point d’intersection
de (d) et de (OM).
XM ≈ 0,77 donc cos 40° ≈ 0,77
YM ≈ 0,64 donc sin 40° ≈ 0,64
YN ≈ 0,84 donc tan 40° ≈ 0,84
40°
o
O
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
H
0,8
0,9
I
1
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