Chapitre 8 TRIGONOMÉTRIE I/ Triangles rectangles et trigonométrie 1°/ Définitions B Côté opposé à Hypoténuse l’angle BCA A C Côté adjacent à l’angle BCA Définition : Dans un triangle rectangle, on appelle cosinus d’un angle aigu le quotient : longueur du côté adjacent à cet angle longueur de l'hypoténuse Exemple : cos C = AC BC Définition : Dans un triangle rectangle, on appelle sinus d’un angle aigu le quotient : longueur du côté opposé à cet angle longueur de l'hypoténuse Exemple : sin C = AB BC Définition : Dans un triangle rectangle, on appelle tangente d’un angle aigu le quotient : longueur du côté opposé à cet angle longueur du côté adjacent à cet angle Exemple : tan C = AB AC Remarques : Les définitions ou formules précédentes ne sont valables que dans les triangles rectangles. L’hypoténuse étant le plus grand côté d’un triangle rectangle, le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1. 2°/ Propriétés Propriété : Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesure x d’un angle sin x aigu, on a : tan x = (x 90° ) cos x Démonstration : tan (x) = longueur du côté opposé à cet angle : longueur du côté adjacent à cet angle longueur de l'hypoténuse tan (x) = longueur du côté opposé à cet angle × longueur de l'hypoténuse longueur de l'hypoténuse longueur del'hypoténuse longueur du côté adjacent à cet angle tan (x) = longueur du côté opposé à cet angle longueur du côté adjacent à cet angle Propriété : Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesure x d’un angle aigu, on a : sin²x + cos²x = 1. Démonstration : sin (x) = AB et BC cos (x) = 2 AC BC AB AC sin²(x) + cos²(x) = BC BC AB 2 AC 2 sin²(x) + cos²(x) = BC 2 BC 2 sin²(x) + cos²(x) = B 2 x A AB² AC ² BC ² sin²(x) + cos²(x) = 1 car ABC est un triangle rectangle en A donc d’après le théorème de Pythagore AB² + AC² = BC² C II/ CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE Définition : On appelle cercle trigonométrique, tout cercle de rayon 1. Soit un repère de centre O et un quart de cercle de centre O et de rayon 1 comme sur la figure ci-dessous. M est un point du quart de cercle tel que IOM = x N est un point de (OM) tel que ONI soit un triangle rectangle en I. 1 N cos x = OH OM or OM = 1 donc cos x = OH sin x = MH OM or OM = 1 donc sin x = MH tan x = NI OI or OI = 1 M o O donc tan x = NI H I 1 Donc : le cosinus de l’angle IOM correspond à l’abscisse du point M dans ce repère. le sinus de l’angle IOM correspond à l’ordonnée du point M dans ce repère. la tangente de l’angle IOM correspond à l’ordonnée du point N dans ce repère. Exemple : Déterminer graphiquement le cosinus, le sinus et la tangente de 40°. 1 N Sur le repère dessiné cicontre, on place le point M sur l’arc de cercle de sorte que x = 40° M Ensuite on trace la droite (d) perpendiculaire à (OI) passant par I. Soit N le point d’intersection de (d) et de (OM). XM ≈ 0,77 donc cos 40° ≈ 0,77 YM ≈ 0,64 donc sin 40° ≈ 0,64 YN ≈ 0,84 donc tan 40° ≈ 0,84 40° o O 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 H 0,8 0,9 I 1