TRIANGLES : CONSTRUCTIBILITÉ ET ANGLES Chapitre 7

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Chapitre 7
TRIANGLES :
CONSTRUCTIBILITÉ ET ANGLES
I/
Constructibilité
1°/
Inégalité triangulaire
Propriété : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la
somme des longueurs des deux autres côtés.
AB<AC+CB
AC<AB+BC
BC<BA+AC
Exemple :
Soient trois points E, F et K tels que : EF = 7cm ; EK = 4 cm et FK = 15cm
FK est plus grande que la somme EF + EK donc on ne peut pas construire le triangle.
Propriétés :
Soient A, B et C trois points
 Si BC = AB + AC alors, le point A appartient au segment [BC].
A, B et C sont alignés.
 Si le point A appartient à [BC] alors, BC = BA+AC.
B
2°/
A
C
Somme des angles d’un triangle
Propriété : La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.
Démonstration :
Soit ABC un triangle. Soient D et E les milieux
respectifs de [AB] et [BC].
F est le symétrique de C par rapport à D.
G est le symétrique de A par rapport à E.
 Dans la symétrie par rapport à D : F est le symétrique de C et
B est le symétrique de A (car D est le milieu de [AB]).
 Donc DBF et DAC sont symétriques par rapport à D.
Comme la symétrie conserve les mesures d’angles DBF = DAC.
 De plus (FB) et (AC) sont symétriques par rapport à D.
Donc (FB) et (AC) sont parallèles.
 Dans la symétrie par rapport à E : G est le symétrique de A et B est le symétrique de C
(car E est le milieu de [BC]).
 Donc EBG et ECA sont symétriques par rapport à E. D’où :EBG = ECA
 De plus (AC) et (BG) sont symétriques par rapport à E
Donc (AC) et (BG) sont parallèles.
 (FB) // (AC) et (BG) // (AC) donc (FB) // (BG).
Comme B appartient à (FB) et à (BG) alors ces deux droites sont confondues.
Donc FBG mesure 180°.
 On en conclut que : DBF + DBE + EBG = 180°
Comme on a démontré que : DBF = DAC et EBG = ECA
alors :
DAC + DBE + ECA = 180°■
II/
Angles et triangles
1°/
Triangle isocèle
Propriété : Si un triangle est isocèle
alors, ses angles à la base ont la même mesure.
Exemple :
ABC est un triangle isocèle de sommet principal B,
donc : BAC = BCA
Propriété réciproque : Si deux angles d’un triangle ont la même mesure
alors ce triangle est isocèle.
Exemple :
Dans le triangle ABC :
BAC = ACB = 74°
Donc ABC est un triangle isocèle en B.
2°/
Triangle rectangle
Propriété : Si un triangle est rectangle
alors, la somme de ses angles aigus est égale à 90°.
B
A
Démonstration :
C
ABC est un triangle rectangle en A.
Donc BAC = 90°
Comme
BAC + ACB + ABC = 180°
alors :
90° + ACB + ABC = 180°
ACB + ABC = 180° – 90°
d’où
ACB + ABC = 90°■
Propriété réciproque : Si la somme de deux angles d’un triangle est égale à 90°
alors, ce triangle est rectangle.
Exemple :
Dans le triangle ABC :
BAC + ACB = 59° + 31°
BAC + ACB = 90°
Donc le triangle ABC est rectangle en B.
3°/
Triangle rectangle isocèle
Propriété : Si un triangle est rectangle isocèle
alors, ses angles à la base mesurent 45°.
Démonstration :
ABC est un triangle rectangle en A donc : ACB + ABC = 90°.
ABC est un triangle isocèle en A donc : ACB = ABC.
Donc : 2 × ABC = 90°
D’où : ABC = 90° : 2
Donc : ACB = ABC = 45° ■
Propriété réciproque : Si deux angles d’un triangle ont pour mesure 45°
alors, ce triangle est rectangle isocèle.
Exemple :
Dans le triangle ABC :
ACB = ABC = 45°
Donc ABC est un triangle rectangle isocèle en A.
4°/
Triangle équilatéral
Propriété : Si un triangle est équilatéral alors, chacun de ses angles mesure 60°.
Propriété réciproque : Si un triangle a trois angles de même mesure 60° alors, il
est équilatéral.
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