1 Hicham et SAni · · · 1.1 Dénition

CFIE Rabat
Cours : probabilités suite
···
Ahmed SANI
MathS2
1 Hicham et SAni
1.1 Dénition
Si P (A) ̸= 0, la probabilité conditionnelle de l'événement B sachant que l'événement A est réalisé,
notée pA (B) est déni par
pA (B) =
P (A ∩ B)
P (A)
Dans le cas d'une loi équirépartie, la probabilité de B sachant que A est réalisé devient :
pA (B) =
P (A ∩ B)
nombre d'éléments de A ∩ B
=
P (A)
nombres d'éléments de A
Exemple: Cet écrit a été réctié d'aprés une remarque de Monsieur Ialou.
Parmi 100 vaches, 34 sontr atteintes de l'épidémie " vache fole"' ou grippe bovine. Au sein des vaches
atteintes par cette grave maladie, 1O sont de race Germanne,12 charolaise et le reste de type "Beldi".
La probabilité d'avoir une vache malade parmi les charolaises sera notée pC (M ) ; On dit également la
probabilité sachant que la vache est charolaise que la vache soit malade.
La probabilité d'avoir une vache charolaise, sachant que la vache est malade, pM (C) est donné par :
12
pM (C) = 34
(car on est dans le cas d'une loi équirépartie).
1.2 Formule des probabilités composées
Si on connaît la probabilité de l'événement A et la probabilité conditionnelle de l'événement B
sachant que A est réalisé, on en déduit la probabilité de l'événement A et B :
P (A ∩ B) = P (A) × pA (B)
1.3 Formule des probabilités totales
Soient A et B deux événements d'une situation aléatoire donnée (d'univers Ω).
1.3.1 Dénition
Les événements A et Ā forment une partition de Ω. En eet, tout événement élémentaire est soit
dans A, soit dans Ā et aucun événement élémentaire ne peut être dans ces deux ensemble à la fois.
Alors pour tout événement B on a :
P (B) = P (A ∩ B) + P (Ā ∩ B)
1.3.2 Généralisation
On va généraliser la formule précédente.
Ω est l'ensemble des évènements élémentaires d'une expérience aléatoire. Les évènements A1 , A2 , . . . , Am
forment une partition de E lorsque E est la réunion des évènements Ai et que les évènements Ai sont
deux à deux incompatibles.
* A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am = E
* Ai ∩ Aj = ∅ pour tout nombres entiers i, j inférieurs à m
Alors la probabilité d'un évènement B est donnée par événements, de probabilité non nulle.
P (B) = P (B ∩ A1 ) + P (B ∩ A2 ) + · · · + P (B ∩ Am )
1
1.4 arbre pondéré.
En terminale ES l'utilisation de ces formules est souvent facilité par un arbre pondéré. Représentons
les données du tableau de distribution des élèves à l'aide d'un arbre pondéré.
Règle d'utilisation. On admettra plus généralement que :
La somme des probabilités aectées aux branches issues d'un même noeud est égale à 1.
Lorsqu'une situation est représentée par un arbre pondéré, la probabilité d'un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce
chemin.
2 Indépendance
Considérons le tirage au hasard d'une carte d'un jeu de 32 cartes. On note
A l'événement tirer un as ,
B l'événement tirer un c÷ur et
C l'événement tirer un as .
Calculer les probabilités P (A), P (B), P (A ∩ B), P (C) et P (B ∩ C)
4
8
4
= 18 ; P (B) = 32
= 14 ; P (C) = 32
= 18 .
On a donc P (A) = 32
De plus l'événement B ∩ C est l'événement tirer un as de coeur, donc
P (B ∩ C) =
1 1
1
= × = P (B) × P (C)
32
4 8
On dira dans ce cas, que les événements B et C sont indépendants. L'événement tirer un c÷eur n'a
aucune inuence sur l'événement tirer un as.
2.1 Dénition
Dire que deux événements sont indépendants signie que P (A ∩ B) = P (A) × P (B)
2.2 Remarques
Si P (A ∩ B) = P (A) × P (B) alors pB (A) = P (A) et pA (B) = P (B)
Ainsi la probabilité d'obtenir A sachant que B est réalisé est égale à la probabilité d'obtenir
A (savoir que B est réalisé n'a aucune inuence sur la probabilité de réaliser l'événement A).
intuitivement cela signie que A ne dépend pas de B
Ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles (ie P (A ∩ B) = ∅).
3 Loi binomiale
3.1 Dénition d'une épreuve de Bernoulli
Considérons une expérience dont l'univers ne contient que deux événements élémentaires. On appelle
SUCCES la réalisation de A et ECHEC la réalisation de son contraire.
Posons P (A) = p la probabilité de l'événement A et P (Ā) = q la probabilité de l'événement Ā. p
et q sont liés par la relation p + q = 1.
Un joueur lance un dé non pipé et on s'intéresse à l'obtention du six. Soit A l'événement on
obtient un six.
Nous avons P (A) = 1/6 et P (Ā) = 5/6.
Lorsqu'on s'intéresse ainsi à un événement A ou à son contraire Ā, la réalisation de l'expérience est
appelée épreuve de Bernoulli.
Exemple.
3.2 Répétition de
n
épreuve de Bernoulli
Considérons une suite de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On note p la probabilité commune de succès. On dit alors qu'on est dans un schéma de Bernoulli caractérisé par p la
probabilité de succès à chaque épreuve et n le nombre d'épreuves.
2
Un joueur lance un dé non pipé 4 fois (on pourra généraliser à n fois). Quelle est la probabilité
d'obtenir 3 fois le 6 (on pourra généraliser à k fois le 6) ?
Nous voulons obtenir 3 succès (k succès), il y aura donc 4 − 3 = 1 échecs (n − k échecs). Donc on
5
a P (12) = (1/6)3 × (5/6)1 = 1296
= 0, 00385 . . . (resp. P (k) = (1/6)k × (5/6)n−k )
Exemple.
Soit n un entier tel que n ≥ 1 et soit p ∈ [0, 1]. On s'intéresse au nombre de succès de la liste
ordonnée obtenue à la n des n épreuves. p est la probabilité du succès pour une épreuve.
On obtient alors l'ensemble des résultats E = {0, 1, 2, 3, . . . , n} (il s'agit du nombre de succès).
La loi de probabilité sur cet ensemble E est nommée
loi binomiale
de paramètre n et p, notée
B(n, p)
La probabilité d'obtenir k succès (et donc n − k échecs à la n de n épreuves :
P (k) = pk × q n−k
Si on fait alors abstraction de l'ordre dans la liste {0, 1, 2, 3, . . . , n}, alors la probabilité recherchée
devient :
P (k) = Cnk × pk × q n−k
3