Espaces vectoriels

Espaces vectoriels
Kd´esigne l’ensemble des r´eels Rou l’ensemble des complexes C.
1 D´efinition
1.1 Un K-espace vectoriel est un ensemble Etel que:
•La somme de deux ´el´ements de Ereste un ´el´ement de E
•On peut multiplier un ´el´ement de Epar un ´el´ement de K, on obtient un nouvel ´el´ement de E
Si ~x est un ´el´ement de E, on dit que ~x est un vecteur. Si α∈K, on dit que αest un scalaire.
Exemple:
•E=R2={(x;y),avec x∈R, y ∈R}est un R-espace vectoriel.
→Si ~u = (x, y)∈E, si ~v = (a, b)∈E, alors ~u +~v = (x+a;y+b)∈E.
→Si α∈R, si u= (x, y)∈E, alors α(x, y) = (αx, αy)∈E.
•E={fonctions f:R→R}est un R-ev.
→on peut ajouter deux fonctions fet g:R→R, et f+gest bien une fonction de Rdans R.
→Si α∈R, la fonction αf :x⇒αf(x)va bien de Rdans R
Rmq: Parfois, le terme ”ajouter deux vecteurs” doit ˆetre pr´ecis´e
1.2 Les espaces vectoriels classiques que l’on rencontrera sont:
•Rn, o`u n∈N, l’ensemble des n-uplets de r´eels.
•L’ensemble {fonctions f:R→R}
•L’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans R, not´e R[X], (ou `a coefficients dans C, not´e C[X]).
•l’ensemble des suites.
1.3 Dans tout espace vectoriel non vide, il y a un ´el´ement, not´e ~ 0, qu’on appelle le vecteur nul qui v´erifie:
~u +~ 0 = ~u pour tout ~u ∈E
1.4 Si ~x ∈E, ~y ∈E, λ ∈K, alors le vecteur λ~x +~y est appel´e une combinaison lin´eaire de ~x et ~y
2 Sous-espace vectoriel
2.1 Si Eest un Kespace vectoriel, on dit que F⊂Eest un sous espace vectoriel (sev) de Esi:
a. ~ 0∈F
b. Pour tous vecteurs de F ~x et ~y, pour tout scalaire λ∈K, la combinaison lin´eaire λ~x +~y reste un vecteur
de F.
1

Exemple:
On prend E=R2, et on prend F={(x, y)∈R2tq x+y= 0}. Montrons que Fest un sev de E.
Soit ~u = (a, b)un vecteur de F, soit ~v = (c, d)un autre vecteur de F. Soit λ∈Kun scalaire. Montrons que
λ~u +~v ∈F.
On a: λ~u +~v =λ(a, b)+(c, d) = (λa +c, λb +d). Nous devons prouver que (λa +c)+(λb +d) = 0.
Or (λa +c)+(λb +d) = λ(a+b)+(c+d). Comme ~u ∈F, a +b= 0. De mˆeme, comme ~v ∈F, c +d= 0
Donc (λa +c)+(λb +d) = 0, ce qui prouve que λ~u +~v ∈F.
Donc Fest un sev de E.
2.2 Tous les ensembles F⊂Ene sont pas des sev de E.
Exemple:
On prend E={fonctions f:R→R}, et F={f∈Etq fest major´ee }.
Montrons que Fn’est pas un sev de E: pour cela, il suffit de trouver f∈F,g∈F,λ∈Rtq λf +g /∈F.
Prenons f(x) = −ex,λ=−1,g= 0.fet gsont dans Fcar ce sont deux fonctions major´ees par 0.
Pourtant λf +g /∈F, car (λf +g)(x) = ex, qui est une fonction non major´ee (ex−−−−→
x→+∞
+∞)
2.3 L’intersection de deux sev de Eest un sev de E, mais en g´en´eral la r´eunion de deux sev de En’est pas un
sev de E.
3 Somme de sous espaces vectoriels
3.1 Soit Eun K-ev vectoriel, Fet Gdeux sev de E. On appelle somme de Fet G(not´ee F+G) l’ensemble
des vecteurs qui s’´ecrivent comme la somme d’un vecteur de Fet d’un vecteur de G.
F+G={~u ∈Etq ~u =~x +~y, avec ~x ∈F, ~y ∈G}
Remarque: Un vecteur de F+Gs’´ecrit comme somme d’un vecteur de Fet d’un vecteur de G. Mais le
mˆeme vecteur peut s’´ecrire sous plusieurs formes.
3.2 Si tout vecteur ude F+Gs’´ecrit de fa¸con unique uF+uG, avec uF∈F, uG∈G, alors on dit que la somme
F+Gest directe, et on note ceci F⊕G
4 Famille libres
4.1 Une famille (~e1, ..., ~en) de vecteurs de Eest dite li´ee si un des vecteurs de la famille s’´ecrit comme une
combinaison lin´eaire des autres.
Exemple:
Dans R3, la famille (~e1, ~e2, ~e3), o`u ~e1=
2
0
4
, ~e2=
−1
1
−1
, ~e3=
1
1
3
est li´ee car ~e3=~e1+~e2.
4.2 Une famille est dite libre si elle n’est pas li´ee.
Pour montrer qu’une famille (~e1, ..., ~en) est li´ee, on cherche `a r´esoudre l’´equation x1~e1+x2~e2+... +xn~en=~ 0
(les inconnues sont les xi).
2

Si la seule solution qu’on trouve est x1=x2=... =xn= 0, alors la famille est libre.
Exemple:
Dans R3, la famille (~e1, ~e2, ~e3), o`u ~e1=
1
0
0
, ~e2=
0
1
0
, ~e3=
0
0
1
est libre. En effet, cherchons `a
r´esoudre x1~e1+x2~e2+x3~e3=~ 0.
x1~e1+x2~e2+x3~e3=~ 0⇔x1
1
0
0
+x2
0
1
0
x3
0
0
1
=
0
0
0
⇔
x1
x2
x3
=
0
0
0
on a donc n´ec´essairement x1=x2=x3= 0. La famille est libre.
5 Famille g´en´eratrice
5.1 Soit Eun K-espace vectoriel. On dit que la famille ( ~e1, ..., ~en) est g´en´eratrice de Esi :
(tout vecteur ~u de Es’´ecrit comme une CL des ~ei: il existe des scalaires λitq ~u =λ1~e1+... +λn~en
les vecteurs ~ei∈E
Les λine sont pas n´ec´essairement uniques.
Exemple:
La famille (~e1, ~e2, ~e3), o`u ~e1=
1
0
0
, ~e2=
0
1
0
, ~e3=
0
0
1
est g´en´eratrice de R3.
En effet, soit ~u =
x
y
z
un vecteur de R3. On peut ´ecrire ~u =x ~e1+y ~e2+z ~e3. Ainsi ~u s’´ecrit comme une
combinaison lin´eaire des ~ei.
5.2 Si (~e1, ..., ~en) est une famille g´en´eratrice de E, on dit aussi que (~e1, ..., ~en) engendre E.
6 Base d’un espace vectoriel
6.1 Une base de Eest une famille g´en´eratrice de Equi est aussi libre.
Exemple:
D’apr`es les deux exemples pr´ec´edents, on peut dire que la famille (~e1, ~e2, ~e3),
o`u ~e1=
1
0
0
, ~e2=
0
1
0
, ~e3=
0
0
1
est une base de R3.
6.2 Si (~e1, ..., ~en) est une base de E, tout vecteur ~u de Es’´ecrit de fa¸con unique comme une combinaison lin´eaire
des ~ei:
~u =λ1~e1+... +λn~en(les λisont uniques)
6.3 Si ~u =λ1~e1+... +λn~en, les λisont appel´es les coordon´ees (ou composantes) de ~u sur la base (~e1, ..., ~en).
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7 Dimension d’un espace vectoriel
7.1 On dit qu’un espace vectoriel Eest de dimension finie si il poss`ede une base qui a un nombre fini d’´el´ements.
On d´efinit la dimension de Ecomme ´etant le nombre d’´el´ements de cette base.
Exemple:
On a vu que la famille 
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
est une base de R3. Donc R3est de dimension finie, et
cette dimension vaut 3.
7.2 Attention! un espace vectoriel de dimension finie n’est pas de cardinal fini pour autant. (cardinal=nombre
d’´el´ements). Un K−espace vectoriel (sauf {~ 0}) a toujours un nombre infini d’´el´ements.
7.3 Si F⊂E, si Eest de dimension finie, alors dim(F)≤dim(E).
7.4 (Tr`es utile) Si F⊂E, si dim(F) = dim(E), alors E=F.
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