Espaces vectoriels

Espaces vectoriels
K désigne l’ensemble des réels R ou l’ensemble des complexes C.
1
1.1
Définition
Un K-espace vectoriel est un ensemble E tel que:
• La somme de deux éléments de E reste un élément de E
• On peut multiplier un élément de E par un élément de K, on obtient un nouvel élément de E
Si ~x est un élément de E, on dit que ~x est un vecteur. Si α ∈ K, on dit que α est un scalaire.
Exemple:
• E = R2 = {(x; y), avec x ∈ R, y ∈ R} est un R-espace vectoriel.
→ Si ~u = (x, y) ∈ E, si ~v = (a, b) ∈ E, alors ~u + ~v = (x + a; y + b) ∈ E.
→ Si α ∈ R, si u = (x, y) ∈ E, alors α(x, y) = (αx, αy) ∈ E.
• E = { fonctions f : R → R} est un R-ev.
→ on peut ajouter deux fonctions f et g : R → R, et f + g est bien une fonction de R dans R.
→ Si α ∈ R, la fonction αf : x ⇒ αf (x) va bien de R dans R
Rmq: Parfois, le terme ”ajouter deux vecteurs” doit être précisé
1.2
Les espaces vectoriels classiques que l’on rencontrera sont:
• Rn , où n ∈ N, l’ensemble des n-uplets de réels.
• L’ensemble { fonctions f : R → R}
• L’ensemble des polynômes à coefficients dans R, noté R[X], (ou à coefficients dans C, noté C[X]).
• l’ensemble des suites.
1.3
Dans tout espace vectoriel non vide, il y a un élément, noté ~0, qu’on appelle le vecteur nul qui vérifie:
~u + ~0 = ~u pour tout ~u ∈ E
1.4
Si ~x ∈ E, ~y ∈ E, λ ∈ K, alors le vecteur λ~x + ~y est appelé une combinaison linéaire de ~x et ~y
2
2.1
Sous-espace vectoriel
Si E est un K espace vectoriel, on dit que F ⊂ E est un sous espace vectoriel (sev) de E si:
a. ~0 ∈ F
b. Pour tous vecteurs de F ~x et ~y , pour tout scalaire λ ∈ K, la combinaison linéaire λ~x + ~y reste un vecteur
de F .
1
Exemple:
On prend E = R2 , et on prend F = {(x, y) ∈ R2 tq x + y = 0}. Montrons que F est un sev de E.
Soit ~u = (a, b) un vecteur de F , soit ~v = (c, d) un autre vecteur de F . Soit λ ∈ K un scalaire. Montrons que
λ~u + ~v ∈ F .
On a: λ~u + ~v = λ(a, b) + (c, d) = (λa + c, λb + d). Nous devons prouver que (λa + c) + (λb + d) = 0.
Or (λa + c) + (λb + d) = λ(a + b) + (c + d). Comme ~u ∈ F, a + b = 0. De même, comme ~v ∈ F, c + d = 0
Donc (λa + c) + (λb + d) = 0, ce qui prouve que λ~u + ~v ∈ F .
Donc F est un sev de E.
2.2
Tous les ensembles F ⊂ E ne sont pas des sev de E.
Exemple:
On prend E = { fonctions f : R → R}, et F = {f ∈ E tq f est majorée }.
Montrons que F n’est pas un sev de E: pour cela, il suffit de trouver f ∈ F , g ∈ F , λ ∈ R tq λf + g ∈
/ F.
Prenons f (x) = −ex , λ = −1, g = 0. f et g sont dans F car ce sont deux fonctions majorées par 0.
Pourtant λf + g ∈
/ F , car (λf + g)(x) = ex , qui est une fonction non majorée (ex −−−−→ +∞)
x→+∞
2.3
L’intersection de deux sev de E est un sev de E, mais en général la réunion de deux sev de E n’est pas un
sev de E.
3
3.1
Somme de sous espaces vectoriels
Soit E un K-ev vectoriel, F et G deux sev de E. On appelle somme de F et G (notée F + G) l’ensemble
des vecteurs qui s’écrivent comme la somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G.
F + G = {~u ∈ E tq ~u = ~x + ~y , avec ~x ∈ F, ~y ∈ G}
Remarque: Un vecteur de F + G s’écrit comme somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G. Mais le
même vecteur peut s’écrire sous plusieurs formes.
3.2
Si tout vecteur u de F + G s’écrit de façon unique uF + uG , avec uF ∈ F, uG ∈ G, alors on dit que la somme
F + G est directe, et on note ceci F ⊕ G
4
4.1
Famille libres
Une famille (e~1 , ..., e~n ) de vecteurs de E est dite liée si un des vecteurs de la famille s’écrit comme une
combinaison linéaire des autres.
Exemple:




 
2
−1
1
Dans R3 , la famille (e~1 , e~2 , e~3 ), où e~1 =  0  , e~2 =  1  , e~3 =  1  est liée car e~3 = e~1 + e~2 .
4
−1
3
4.2
Une famille est dite libre si elle n’est pas liée.
Pour montrer qu’une famille (e~1 , ..., e~n ) est liée, on cherche à résoudre l’équation x1 e~1 + x2 e~2 + ... + xn e~n = ~0
(les inconnues sont les xi ).
2
Si la seule solution qu’on trouve est x1 = x2 = ... = xn = 0, alors la famille est libre.
Exemple:


 
 
1
0
0
Dans R3 , la famille (e~1 , e~2 , e~3 ), où e~1 =  0  , e~2 =  1  , e~3 =  0  est libre. En effet, cherchons à
0
0
1
résoudre x1 e~1 + x2 e~2 + x3 e~3 = ~0 .
 
     
1
0
0
0
x1 e~1 + x2 e~2 + x3 e~3 = ~0 ⇔ x1  0  + x2  1  x3  0  =  0 
0
0
1
0
  

0
x1
⇔  x2  =  0 
0
x3
on a donc nécéssairement x1 = x2 = x3 = 0. La famille est libre.
5
5.1
Famille génératrice
Soit E un K-espace vectoriel. On dit que la famille (e~1 , ..., e~n ) est génératrice de E si :
(
tout vecteur ~u de E s’écrit comme une CL des e~i : il existe des scalaires λi tq ~u = λ1 e~1 + ... + λn e~n
les vecteurs e~i ∈ E
Les λi ne sont pas nécéssairement uniques.
Exemple:


 
 
1
0
0
La famille (e~1 , e~2 , e~3 ), où e~1 =  0  , e~2 =  1  , e~3 =  0  est génératrice de R3 .
0
0
1
 
x
En effet, soit ~u =  y  un vecteur de R3 . On peut écrire ~u = xe~1 + y e~2 + z e~3 . Ainsi ~u s’écrit comme une
z
combinaison linéaire des e~i .
5.2
Si (e~1 , ..., e~n ) est une famille génératrice de E, on dit aussi que (e~1 , ..., e~n ) engendre E.
6
6.1
Base d’un espace vectoriel
Une base de E est une famille génératrice de E qui est aussi libre.
Exemple:
D’après 
les deux
 exemples
 précédents,


1
0
où e~1 =  0  , e~2 =  1  , e~3 = 
0
0
onpeut dire que la famille (e~1 , e~2 , e~3 ),
0
0  est une base de R3 .
1
6.2
Si (e~1 , ..., e~n ) est une base de E, tout vecteur ~u de E s’écrit de façon unique comme une combinaison linéaire
des e~i :
~u = λ1 e~1 + ... + λn e~n (les λi sont uniques)
6.3
Si ~u = λ1 e~1 + ... + λn e~n , les λi sont appelés les coordonées (ou composantes) de ~u sur la base (e~1 , ..., e~n ).
3
7
7.1
Dimension d’un espace vectoriel
On dit qu’un espace vectoriel E est de dimension finie si il possède une base qui a un nombre fini d’éléments.
On définit la dimension de E comme étant le nombre d’éléments de cette base.
Exemple:

    
1
0
0





0 ,
1 ,
0  est une base de R3 . Donc R3 est de dimension finie, et
On a vu que la famille
0
0
1
cette dimension vaut 3.
7.2
Attention! un espace vectoriel de dimension finie n’est pas de cardinal fini pour autant. (cardinal=nombre
d’éléments). Un K−espace vectoriel (sauf {~0}) a toujours un nombre infini d’éléments.
7.3
Si F ⊂ E, si E est de dimension finie, alors dim(F ) ≤ dim(E).
7.4
(Très utile) Si F ⊂ E, si dim(F ) = dim(E), alors E = F .
4