Réciproque du théorème de Pythagore Exercices corrigés

Réciproque du théorème de Pythagore – Exercices corrigés
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Sont abordés dans cette fiche :
 Exercices 1 et 2 : montrer qu’un triangle est rectangle
 Exercice 3 : montrer que deux droites sont parallèles
 Exercice 4 : montrer que deux droites sont perpendiculaires dans un quadrillage
 Exercice 5 : étudier la nature de triangles et d’un quadrilatère
Rappel : Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des
deux autres côtés, alors le triangle est rectangle. Par ailleurs, le plus grand côté est alors appelé hypoténuse.
Autrement dit, si l’égalité suivante est respectée:
Alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.
Si     , alors d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle  est rectangle en 
et  désigne l’hypoténuse du triangle.
A quoi sert la réciproque du théorème de Pythagore ?
 à prouver qu’un triangle est rectangle
Rappel : Hypoténuse d’un triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, L'HYPOTÉNUSE est le côté opposé à
l'angle droit. Il s’agit en fait du côté le plus long de ce triangle.
𝐵
𝐴
𝐶
plus grand côté
1er autre côté
2e autre côté
Hypoténuse
Réciproque du théorème de Pythagore
Exercices corrigés
Attention ! Ne pas confondre la
réciproque du théorème de Pythagore
et
la
contraposée du théorème de
Pythagore
, cette dernière permettant de
montrer qu’un triangle n’est pas rectangle.
Angle droit

Réciproque du théorème de Pythagore – Exercices corrigés
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Soit un triangle  tel que   ,    et
 .
Le triangle  est-il rectangle ?
Analysons tout d’abord la figure et récapitulons les
informations fournies par l’énoncé.
 Le codage de la figure ne nous permet pas de préciser la
nature du triangle .
 L’énoncé nous fait connaître les longueurs des trois
côtés du triangle, parmi lesquels  est le plus long.
Rappel : Nature d’un triangle
Il existe des triangles quelconques (aussi appelés triangles scalènes), sans caractéristiques particulières, et
des triangles particuliers. Parmi les triangles particuliers, on a :
 les triangles équilatéraux, dont tous les côtés sont de même mesure et dont tous les angles sont de
même mesure ()
 les triangles isocèles, dont deux des trois côtés sont de même mesure et dont deux de trois angles sont
de même mesure
 les triangles rectangles, dont un angle mesure  (on parle alors d’angle droit)
 les triangles rectangles isocèles, qui sont à la fois rectangles et isocèles
Déterminer la nature d’un triangle, c’est préciser si ce triangle est quelconque ou s’il est particulier.
Remarques importantes à prendre en compte dans tout exercice de géométrie :
 Dans cet exercice, l’unité de longueur est commune à tous les segments puisqu’il s’agit du centimètre. Il
ne faut jamais oublier d’exprimer chacune des mesures dans la même unité afin de ne pas fausser les
calculs.
 Ne pas confondre les écritures  et . En effet,  désigne un segment alors que  désigne
une distance.
Proposons désormais une correction détaillée de l’exercice, étape par étape.
𝑈
𝑇
𝐵
𝑈
𝑇
𝐵
plus long côté
Exercice 1 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 1

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 1ère étape : On repère le plus long côté du triangle.
D’après l’énoncé, est un triangle tel que  ,    et  . Donc le côté le plus
long du triangle est le côté .
 2ème étape : On calcule le carré de la longueur du plus long côté.
  donc 
 3ème étape : On calcule la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
 4ème étape : On compare les résultats obtenus.
Rappel : Comparaison de deux nombres
Comparer deux nombres, c’est préciser s’ils sont égaux (symbole ) ou, s’ils sont inégaux (symbole ), lequel
est le plus grand (ou le plus petit).
On a donc d’une part    et d’autre part      ; autrement dit, on a l’égalité suivante :
    .
 5ème étape : On précise la réciproque à laquelle on fait appel.
     donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que :
 6ème étape : On conclut, sans oublier d’indiquer en quel point le triangle est rectangle.
Le triangle  est rectangle en .
Proposons désormais une correction pouvant être notée sur la copie.
D’après l’énoncé, est un triangle tel que  ,    et  . Donc le côté le plus
long du triangle est le côté .
Calculons d’une part le carré de la longueur du plus long côté du triangle :
Calculons d’autre part la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés :
Comparons les résultats obtenus :
   et    donc   
Par conséquent, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  est rectangle en .

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Remarque : On peut alors coder la figure :
Soit un triangle  tel que  ,    et  . Prouver que le triangle est rectangle et
préciser son hypoténuse.
Commençons par exprimer les longueurs dans la même unité (par exemple en millimètres, notamment afin
d’obtenir des nombres entiers naturels et donc afin de faciliter par la suite les calculs).
Dans le triangle , le côté  est le plus long.
Calculons d’une part le carré de la longueur de ce plus long côté du
triangle :    
Calculons d’autre part la somme des carrés des longueurs des deux
autres côtés :        
Comparons désormais ces résultats :
    et       donc   .
Par conséquent, d’après la réciproque du théorème de Pythagore,
le triangle  est rectangle en  et  en est l’hypoténuse.
𝑈
𝑇
𝐵
hypoténuse
𝐼
𝑂
𝐸
𝑚𝑚
𝑚𝑚
hypoténuse
𝑚𝑚
Exercice 2 (2 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 2

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On considère le schéma ci-contre.
1- Les triangles  et  sont-ils rectangles ?
2- Les droites  et  sont-elles parallèles ?
1- Précisons si les triangles  et  sont rectangles.
 Considérons tout d’abord le triangle .
D’après le schéma,  ,   et  .
Donc le côté  est le plus long du triangle.
Calculons d’une part le carré de la longueur de ce côté :
Calculons d’autre part la somme des carrés des longueurs des
deux autres côtés :
Ainsi,   . Par conséquent, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  est
rectangle en .
 Considérons désormais le triangle .
D’après le schéma,  ,   et  .
Donc le côté  est le plus long du triangle.
Calculons d’une part le carré de la longueur de ce côté :
Calculons d’autre part la somme des carrés des longueurs des
deux autres côtés :
Ainsi,   . Par conséquent, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  est
rectangle en .
En conclusion, les triangles  et  sont rectangles respectivement en  et en .
𝑉
𝐸
𝑅
𝑇
𝑉
𝐸
𝑅
𝑇
côté le
plus long
𝑉
𝐸
𝑅
𝑇
côté le
plus long
Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 3