Cosinus d’un angle aigu (trigonométrie) Exercices corrigés

Cosinus d’un angle aigu (trigonométrie)
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche :





Exercices 1 et 2 : calcul de la longueur d’un côté adjacent à un angle aigu
Exercice 3 : calcul de la longueur de l’hypoténuse
Exercice 4 : calcul du cosinus d’un angle et de la mesure de cet angle
Exercice 5 : calcul du périmètre d’un rectangle
Exercice 6 : calcul de l’aire d’un parallélogramme
Rappel : Cosinus d’un angle aigu
Dans un triangle rectangle,

hypoténuse
l’hypoténuse est le côté le plus long, opposé à l’angle
droit

le côté adjacent à un angle aigu relie les sommets de
sommet de
l’angle aigu
l’angle aigu d’une part et de l’angle droit d’autre part

le cosinus d’un angle aigu est le quotient de la
longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur
angle droit
de l’hypoténuse
côté adjacent à
l’angle aigu
Exemple :
côté adjacent à
l’angle aigu
est un triangle rectangle en .
Le cosinus de l’angle aigu
est noté
et :
Le cosinus de l’angle aigu
est noté
et :
hypoténuse
côté adjacent à
l’angle aigu
Triangle rectangle et cosinus d’un angle aigu (trigonométrie) – Exercices corrigés
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Exercice 1 (1 question)
Niveau : facile
est un triangle rectangle en
au millimètre près.
tel que
et
cm. Calculer
en arrondissant le résultat
Correction de l’exercice 1

1ère étape : On réalise une figure à taille réelle (ou en modifiant l’échelle) ou un schéma (à main levée)
en reportant les indications fournies par l’énoncé (codage).

2ème étape : On s’assure que le triangle est rectangle (soit à l’aide de l’énoncé, soit à l’aide du codage de
la figure ou du schéma, soit en utilisant une démonstration).
D’après l’énoncé, le triangle

est rectangle en .
3ème étape : On repère l’angle aigu, ainsi que l’hypoténuse et le côté adjacent à l’angle aigu.
hypoténuse
Ici, l’angle aigu à
repérer est l’angle
, indiqué en bleu.
côté adjacent à
l’angle aigu

4ème étape : On écrit le cosinus de cet angle sous la forme d’un rapport de longueurs, en utilisant la
formule du cours.

5ème étape : On cherche la valeur manquante de l’égalité.
Rappel : Produit en croix
Soient 4 nombres , , et , non nuls. En supposant que
, alors :
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Dans cet exercice, on cherche

. A l’aide d’un produit en croix, on trouve que :
6ème étape : On donne le résultat exact en remplaçant les longueurs et les angles connus par leurs
mesures respectives.
Touches à saisir pour calculer cos 30
avec la Casio Collège 2D fx-92

7ème étape : On utilise la calculatrice pour trouver le résultat arrondi.
avec la Texas Instrument TI-Collège

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ème
Le segment
étape : On conclut.
mesure
cm (valeur arrondie au millimètre près par défaut).
Exercice 2 (2 questions)
Niveau : facile
On donne la figure ci-contre. Calculer
et
.
Correction de l’exercice 2
1) Calculons dans un premier temps
D’après le codage de la figure, l’angle
Le triangle
est donc rectangle en .
Alors, dans le triangle
.
est un angle droit.
rectangle en , on a :
D’où, à l’aide d’un produit en croix puis en remplaçant par les mesures connues :
Le segment
mesure
(arrondi au centième par excès).
Remarque importante : Dans cet exercice, l’unité de longueur n’est pas précisée ; il ne faut donc pas écrire
d’unité après le résultat du calcul.
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2) Calculons désormais
.
Dans un triangle, la somme des angles est égale à
donc :
D’où :
Dans le triangle
rectangle en , on a :
D’où, à l’aide d’un produit en croix puis en remplaçant par les mesures connues :
Le segment
mesure
(arrondi au centième par excès).
Remarque importante : On aurait pu également déterminer la distance
en utilisant le théorème de
Pythagore. En effet, le triangle
est rectangle en donc, d’après le théorème de Pythagore, on à l’égalité
suivante :
, c’est-à-dire
. Enfin, il en résulte
que
. Le segment
mesure
(arrondi au centième par excès).
Rappel : Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors, d’après le théorème de Pythagore, le carré de la longueur de l’hypoténuse est
égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés du triangle.
Exemples :
Hypoténuse
Hypoténuse
Hypoténuse
Le triangle
est rectangle en
Le triangle
est rectangle en
Le triangle
est rectangle en
donc, d’après le théorème de donc, d’après le théorème de donc, d’après le théorème de
Pythagore :
Pythagore :
Pythagore :
Exercice 3 (1 question)
Soit un cercle de diamètre
mesure du diamètre du cercle .
Niveau : facile
et soit un point
du cercle tel que
cm et
. Calculer la
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Correction de l’exercice 3
Rappel : Triangle rectangle et cercle circonscrit
Si un triangle est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et a
pour hypoténuse le diamètre du cercle.
Le segment
est un diamètre
du cercle
et est un point
de ce cercle.
donc
D’après l’énoncé, est un cercle de diamètre
et
cercle , de diamètre
. Par conséquent, le triangle
Le triangle
est rectangle
en et a pour
hypoténuse
.
. Autrement dit, le triangle
est inscrit dans le
est rectangle en et a pour hypoténuse
.
Schéma :
Il en résulte que :
C’est-à-dire :
Le diamètre
du cercle
mesure exactement 6 cm.
Exercice 4 (3 questions)
Niveau : moyen
On considère le schéma ci-contre. Les points
alignés.
,
et
sont
1) Calculer les valeurs arrondies au degré près de la
mesure de l’angle
et de la mesure de l’angle
.
2) En déduire que les droites
et
sont
perpendiculaires.
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Correction de l’exercice 4
1)
Calculons dans un premier temps la mesure de l’angle
D’après le codage, le triangle
.
est rectangle en .
Par conséquent, d’après le théorème de Pythagore, on a
l’égalité suivante :
.
Il s’ensuit que
.
En outre, on a :
D’où
(arrondi au degré près).
Touches à saisir pour calculer la mesure de l’angle de cosinus 0,8
avec la Casio Collège 2D fx-92
avec la Texas Instrument TI-Collège
Calculons dans un second temps la mesure de l’angle
D’après le codage, le triangle
.
est rectangle en .
Par conséquent, on a :
D’où
(arrondi au degré près).
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2) Déduisons-en que les droites
et
sont perpendiculaires.
Rappel : Angles adjacents
Deux angles adjacents
et
sont deux angles qui :

ont le même sommet

ont un côté commun

se situent de part et d’autre de ce côté commun
Côté commun
Sommet commun
D’après l’énoncé, les points , et sont alignés. Autrement
dit, l’angle
est un angle plat ; c’est-à-dire
.
Or, les angles
et
adjacents les angles
sont adjacents, de même que sont
et
. De ce fait, on a :
D’où, en remplaçant par les mesures connues :
C’est-à-dire
L’angle
mesure
donc le triangle
sont perpendiculaires.
est rectangle en
. En d’autres termes, les droites
Exercice 5 (1 question)
Soit un rectangle
et
Niveau : moyen
tel que
cm et
. Calculer le périmètre de ce rectangle.
Correction de l’exercice 5
Rappel : Périmètre d’un rectangle
Soit un rectangle de longueur
Alors le périmètre
et de largeur .
du rectangle est donné par la formule :
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est un rectangle donc le triangle
conséquent, on a :
est rectangle en
. Par
D’où :
L’hypoténuse
du triangle
(arrondi au mm par défaut).
, qui est aussi une diagonale du rectangle
est un triangle rectangle en
Pythagore, on a l’égalité suivante :
. Donc, d’après le théorème de
mesure près de
cm
D’où :
Par conséquent,
.
La largeur du rectangle
mesure
cm.
Le périmètre
du rectangle est donnée par la formule :
Le rectangle
a pour périmètre approximatif
cm.
Exercice 6 (1 question)
Niveau : difficile
Soit un parallélogramme
. désigne le pied de la hauteur issue de . On sait que
et
. Calculer un arrondi de l’aire du parallélogramme.
cm,
cm
Correction de l’exercice 6
Rappel : Aire d’un parallélogramme
Soit un parallélogramme de base
Alors l’aire
et de hauteur .
du parallélogramme est donnée par la formule :
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est un parallélogramme donc ses angles opposés sont deux à
deux de même mesure. Par conséquent,
. De plus,
par construction,
, donc
.
En outre,
en
est le pied de la hauteur issue de . Autrement dit,
. Ainsi, comme
, le triangle
est rectangle
. Il s’ensuit que :
D’où :
Par conséquent, l’hypoténuse
du triangle
mesure
approximativement
cm (arrondi au millimètre par défaut).
De plus, comme
est un triangle rectangle en
théorème de Pythagore, on a l’égalité suivante :
, d’après le
D’où :
Ainsi,
Par conséquent, la hauteur
mesure approximativement
Enfin, l’aire
du parallélogramme, issue de ,
cm (arrondi au millimètre par défaut).
du parallélogramme est donnée par la formule :
Comme
est un parallélogramme, ses côtés opposés sont deux à
deux de même mesure, c’est-à-dire
cm. D’où :
Le parallélogramme
a pour aire approximative
cm².
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