Module de formation générale g TECHNOLOGIE DES TRAINS Mécanique générale

Module de formation générale
g
TECHNOLOGIE DES TRAINS
Mécanique générale
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Agenda.
P ti 1 : LA STATIQUE
Partie
1.1. Les forces
1.2. Le moment d’une force – Couples
p
de forces
1.3. Les conditions générales d’équilibre des corps
P ti 2 : LA CINEMATIQUE
Partie
2.1. Généralités
2.2. Le mouvement et ses caractéristiques – Les unités
2.3. Le mouvement rectiligne uniforme
2.4. Le mouvement rectiligne uniformément varié
25 L
2.5.
Le mouvementt circulaire
i l i uniforme
if
2.6. Synthèse
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2
Agenda.
Partie 3 : LA CHUTE DES CORPS
3.1. La pesanteur
3 2 L’accélération
3.2.
L accélération due à la pesanteur
3.3. La chute libre d’un corps sans ou avec vitesse initiale
3.4. Les mouvements d’ascension et de descente
Partie 4 : LA DYNAMIQUE
4 1 Les lois de Newton
4.1.
4.2. Les notions de masse et de poids
4.3. Le travail, la puissance, l’énergie
4.4. Les forces centripète et centrifuge
4.5. Valeur des forces centripète et centrifuge
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3
Agenda.
Partie 5 : LES TRANSMISSIONS
5.1. Définition et types de transmissions
5 2 Les transmissions par engrenages
5.2.
Partie 6 : LES FORCES DE FROTTEMENT
6.1. Les résistances passives
6.2. Le frottement de glissement
6 3 Le frottement de roulement
6.3.
6.4. Comparaison des deux types de frottements
6.5. La traction des véhicules ferroviaires
Partie 7 : EXERCICES
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Agenda
Partie 1 : LA STATIQUE
1.1. Les forces
1.2. Le moment d’une force – Couples de forces
1.3. Les conditions générales d’équilibre des corps
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1. LA STATIQUE
LA STATIQUE est la branche de la mécanique qui
étudie l’équilibre
l équilibre des forces auxquelles un système
physique est soumis.
Tout ce qui est relatif à l’équilibre des forces et aux
états d’équilibre relève de la statique.
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1. LA STATIQUE
1.1. Les forces
Les causes d’une force
Une force peut avoir différentes origines : la force produite par les
muscles, la force produite par le vent, par l’eau, par une matière
élastique,
q ,p
par la p
pesanteur,, p
par les g
gaz ou l’électricité,…
,
Les différents types de forces
Les forces peuvent provoquer le changement d’état d’un corps, par
exemple, un corps immobile se met en mouvement sous l’effet d’une
force. Cette force se définit comme une force d’action.
Inversement, les forces peuvent s’opposer au mouvement d’un corps,
par exemple, l’avancement d’un train qui circule sur une ligne
ferroviaire en rampe est naturellement ralentit. Cette force se définit
comme une force de réaction ou de résistance.
résistance
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1. LA STATIQUE
1.1. Les forces
La mesure d’une force
L’appareil qui sert à mesurer l’intensité d’une force est un
dynamomètre. Il fonctionne sur le principe de la déformation élastique
d’un ou p
plusieurs ressorts. La déformation est p
proportionnelle
p
à l’effort
appliqué jusqu’à une certaine limite non dépassée. Dans ce cas, lorsque
l’effort cesse d’être appliqué, le(s) ressort(s) reprend(ent) leur position
initiale.
La graduation de l’appareil s’effectue selon une force dont la valeur
connue est prise comme étalon.
L’unité de force
L’unité de force est le NEWTON écrit conventionnellement par « N » ou
son multiple le décaNEWTON écrit conventionnellement par « daN ».
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1. LA STATIQUE
1.1. Les forces
Les caractéristiques d’une force
Une force est caractérisée par 4 éléments :
• le point d’application : c’est le point où la force agit.
• la direction : c’est la ligne suivie par le point d’application de la force
lorsque sous l’effet
lorsque,
l effet de la force
force, le corps se déplace.
déplace
• le sens : c’est, suivant la direction, le déplacement du corps vers la
gauche ou la droite, le haut ou le bas. Le sens est défini par
une flèche.
flèche On attribue au sens un signe positif ou négatif.
négatif
• l’intensité : c’est la valeur de la force mesurée en N.
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1. LA STATIQUE
1.1. Les forces
Représentation conventionnelle d’une force
La force est représentée par le vecteur force OE, un segment de droite
dont la longueur représente l’intensité de la force, en fonction d’une
échelle représentative choisie, par exemple 1 cm = 1 N.
Le sens de la force est défini par la flèche. Le point d’application de la
force se déplace dans la direction d.
O

d
E
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1. LA STATIQUE
1.2. Le moment d’une force – Couple de forces
Qu’entend-on par « moment d’une force » ?
En mathématiques, et en physique en particulier, le terme « moment »
provient du latin « momentum » dont le sens,, p
p
par extension,, signifie
g
«
pression d’une force ».
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1. LA STATIQUE
1.2. Le moment d’une force – Couple de forces
Moment d’une force par rapport à un axe
La porte tourne autour de son axe vertical par
l’intermédiaire des charnières dès lors qu’une
force est appliquée sur la poignée. Cette force
met la porte en mouvement : on exerce sur elle
un moment capable de la faire pivoter autour de
son axe vertical.
vertical
La vitesse d’ouverture de la porte dépend :
• de l’intensité de la force appliquée ;
• du point d’application de la force : la force nécessaire à l’ouverture de la porte
sera d’autant plus grande que si elle est appliquée près des charnières ;
• de la direction de la force : si la force est exercée dans la direction du plan de la
porte, elle ne tournera pas parce que la direction de la force coupe son axe de
rotation. Autrement dit, la distance perpendiculaire entre la force et ll’axe
axe de
rotation est nulle.
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1. LA STATIQUE
1.2. Le moment d’une force – Couple de forces
Valeur du moment d’une force p
par rapport
pp
à un axe
Le moment d’une force par rapport à un axe est le résultat du produit de
la valeur de la force par la distance mesurée perpendiculairement
séparant
p
l’axe de la ligne
g
d’action de la force.
La force F dont le point d’application A ne se trouve pas dans le plan
perpendiculaire à l’axe de rotation XX’. Pour trouver la force qui peut faire tourner
le corps autour de l’axe, il faut décomposer F. Sur le plan même, on trouve F’.
Sur un autre plan perpendiculaire au premier
premier, on trouve F
F’’.
F’’ qui est parallèle à l’axe XX’ n’a aucune influence sur la rotation du corps.
F’ qui est perpendiculaire à l’axe XX’ fait tourner le corps.
Valeur du moment d
d’une
une force par rapport à un point
Le moment d’une force par rapport à un point est le résultat du produit
de la valeur de la force par la distance mesurée perpendiculairement
séparant le point de la ligne d
d’action
action de la force
force. C
C’est
est ce moment qui a
tendance à faire tourner la force autour du point O.
Le point O s’appelle « centre du moment ».
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1. LA STATIQUE
1.2. Le moment d’une force – Couple de forces
Unité du moment d’une force
Le moment d’une force étant le résultat du produit de la valeur de la force par une
distance mesurée perpendiculairement, l’unité de moment est le NEWTONmètre
écrit conventionnellement « Nm » et son multiple le décaNEWTONmètre écrit
conventionnellement « daNm ».
Signe du moment d’une force
Lorsque la
L
l force
f
a ttendance
d
à ffaire
i
ttourner lle corps autour
t
d’un
d’
point
i t dans
d
le
l sens
horlogique, le moment est positif.
Lorsque la force a tendance à faire tourner le corps autour d’un point dans le sens
antihorlogique,
ih l i
le
l moment est négatif.
é
if
Vecteur moment
Le moment d’une force p
peut être représenté
p
p
par un vecteur.
Le vecteur moment μ a son origine au point O et est perpendiculaire
au plan passant par O et la force F. Son sens est dirigé du bas vers
le haut si on observe un moment positif. L’intensité du vecteur
moment est représentée
é
é suivant une é
échelle choisie.
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1. LA STATIQUE
1.2. Le moment d’une force – Couple de forces
Expression mathématique du moment d’une force par rapport à
un point
Le moment d’une force par rapport à un point est égal au produit de la force F par
la distance d perpendiculaire du point à la force.
L’expression s’écrit :
Mo(F) = Fd
F
d
O
Si le point O est situé sur la direction de la force, le moment Mo = 0 puisque d = 0.
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1. LA STATIQUE
1.2. Le moment d’une force – Couple de forces
Couple de forces
Deux forces parallèles de même intensité, dont les directions sont
différentes et dont les sens sont opposés, forment un couple de forces.
L résultante
La
é lt t d’un
d’
couple
l de
d forces
f
estt nulle.
ll
Il n’induit aucune translation.
Il provoque la rotation.
rotation
Le moment du couple = Fd. Le moment est positif si la rotation se
produit dans le sens horlogique. Le moment est indépendant du centre
du moment.
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1. LA STATIQUE
1.3. Les conditions générales d’équilibre des corps
Conditions générales d’équilibre des corps
Un corps est en équilibre statique lorsque :
• la somme de toutes les forces (action et réaction) qui agissent sur le
corps est nulle : cette condition s’écrit conventionnellement
ΣF=0
translation – équilibre.
• la somme des moments de toutes les forces qui agissent par rapport à
un point est nulle : cette condition s’écrit conventionnellement
ΣM=0
rotation – équilibre.
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Agenda
Partie 2 : LA CINEMATIQUE
2.1. Généralités
2.2. Le mouvement et ses caractéristiques – Les unités
2.3. Le mouvement rectiligne uniforme
2.4. Le mouvement rectiligne uniformément varié
2 5 Le mouvement circulaire uniforme
2.5.
2.6. Synthèse
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2. LA CINEMATIQUE
LA CINEMATIQUE est la branche de la mécanique
qui étudie les mouvements.
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2. LA CINEMATIQUE
2.1. Généralités
Définition du mouvement d’un corps
Un corps est en mouvement lorsque, par rapport à d’autres corps
considérés comme immobiles, il occupe une succession de places
différentes.
différentes
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2. LA CINEMATIQUE
2.2. Le mouvement et ses caractéristiques – Les unités
Caractéristiques du mouvement d’un corps
Un corps en mouvement est caractérisé par :
• la trajectoire désigne la ligne qui joint, d’une manière continue, les différentes
positions prises par le mobile au cours de son déplacement ; la trajectoire peut
être rectiligne, circulaire, parabolique ou quelconque.
• le temps désigne la durée globale pendant laquelle le mouvement s’effectue.
• la
l vitesse
i
dé i
désigne
l’
l’espace parcouru en une seconde
d ; plus
l
scientifiquement,
i
ifi
la
l
vitesse est le taux de variation de l’espace parcouru par rapport au temps.
• l’accélération désigne la variation (augmentation ou diminution) de la vitesse
pendant une seconde ; plus scientifiquement, c’est le taux de variation de la
vitesse par rapport au temps ;
• l’espace parcouru désigne la longueur de la trajectoire parcourue ; cette notion
est toujours complétée par celle du temps ;
• le sens désigne le caractère continu ou alternatif d’un mouvement. Le sens est
continu quand le mobile parcourt sa trajectoire toujours dans le même sens. Le
sens est alternatif quand la trajectoire est parcourue, tantôt dans un sens, tantôt
dans l’autre.
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2. LA CINEMATIQUE
2.2. Le mouvement et ses caractéristiques – Les unités
Unités utilisées en cinématique
Les unités conventionnelles utilisées en cinématique sont :
• le mètre « m » : c’est l’unité d’espace parcouru.
• la
l seconde
d « s » : c’est
’
l’unité
l’ i é de
d temps.
• le mètre par seconde « m/s » : c’est l’unité de vitesse.
• le mètre par seconde carré « m/s2 » : c
c’est
est l’unité
l unité d’accélération.
d accélération.
• le radian par seconde « rad/s » : c’est l’unité de vitesse angulaire.
Conventions d’écriture des g
grandeurs p
physiques
y q
Les conventions d’écriture des grandeurs physiques de la cinématique sont :
• l’espace parcouru : « e »
• le temps : « t »
• la vitesse : « v »
• ll’accélération
accélération : « a »
• la vitesse angulaire : « ω »
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2. LA CINEMATIQUE
2.3. Le mouvement rectiligne uniforme
Définition du mouvement rectiligne
g
uniforme
Un corps est en mouvement rectiligne uniforme lorsqu’il parcourt,
toujours dans le même sens, des espaces égaux en des temps égaux,
sur une trajectoire rectiligne.
rectiligne
Caractéristiques du mouvement rectiligne uniforme
Trajectoire
La trajectoire est une ligne droite
Vitesse
L vitesse
La
it
estt constante.
t t
Espace parcouru
L’espace parcouru varie avec la vitesse et le temps de parcours.
Accélération
éé
L’accélération est nulle.
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2. LA CINEMATIQUE
2.3. Le mouvement rectiligne uniforme
Représentations graphiques du mouvement rectiligne uniforme
a
a=0
t
e
0
e = e0 + vt
v
V = cte
e = vt
e = vt
e0
e0 = espace initial
t
0
t
0
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2. LA CINEMATIQUE
2.3. Le mouvement rectiligne uniforme
Expressions mathématiques du mouvement rectiligne uniforme
Espace parcouru sans espace initial :
e = vt
Espace parcouru avec espace initial :
e = e0 + vt
Vitesse :
Temps :
Transformation des km/h en m/sec
1 m/s = 3,6 km/h car 3,6 km/h = 3,6 x 1000/3600 = 1 m/s.
Exemple : un train qui circule à 160 km/h circule à une vitesse de 44,4 m/s.
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2. LA CINEMATIQUE
2.4. Le mouvement rectiligne uniformément varié
Définition du mouvement rectiligne uniformément varié
Un corps est en mouvement rectiligne uniformément varié lorsque, parcourant une
trajectoire rectiligne, sa vitesse augmente ou diminue de quantités égales en des
temps égaux. La vitesse augmente ou diminue d’une même quantité durant
chaque seconde.
Caractéristiques du mouvement rectiligne uniformément varié
Trajectoire
j
La trajectoire est une droite.
Vitesse
La vitesse varie avec l’accélération (
(la décélération)
) et avec le temps
p de p
parcours.
Accélération (décélération)
L’accélération (la décélération) est constante.
Espace parcouru
L’espace parcouru varie avec l’accélération et le carré du temps.
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2. LA CINEMATIQUE
2.4. Le mouvement rectiligne uniformément varié
Représentation graphique du mouvement rectiligne
uniformément
f
é
varié
é : notion de vitesse moyenne
v = vitesse finale
vm = vitesse moyenne
v
v0= vitesse
tesse initiale
tae
a = accélération
at
v = v0 + at
vm
vm = v0 +
at
2
v0
t
0
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2. LA CINEMATIQUE
2.4. Le mouvement rectiligne uniformément varié
Représentation graphique du mouvement rectiligne
uniformément
f
é
varié
é : notion de vitesse moyenne
v0
v = vitesse finale
vm = vitesse moyenne
v0 = vitesse
tesse initiale
tae
- a = accélération négative ou décélération
- at
v = v0 + (-a)t
( a)t
vm
v
(-a)t
vm = v0 +
2
0
t
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2. LA CINEMATIQUE
2.4. Le mouvement rectiligne uniformément varié
a
Mouvement accéléré : représentations graphiques du
mouvement rectiligne uniformément
f
é
varié
é : accélération
éé
et
vitesse, sans vitesse initiale
v
v
a = cte > 0 =
t
0
v = at
t
0
t
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2. LA CINEMATIQUE
2.4. Le mouvement rectiligne uniformément varié
Mouvement accéléré : représentation graphique du mouvement
rectiligne uniformément
f
é
varié
é : espace parcouru, sans vitesse
initiale
e
e
0
at²
2
t
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2. LA CINEMATIQUE
2.4. Le mouvement rectiligne uniformément varié
Mouvement accéléré : représentations graphiques du
mouvement rectiligne uniformément
f
é
varié
é : accélération
éé
et
vitesse, avec vitesse initiale
a
0
a = cte > 0 =
v
v
t
t
v = v0 + at
v = at
vi
t
0
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2. LA CINEMATIQUE
2.4. Le mouvement rectiligne uniformément varié
Mouvement accéléré : représentation graphique du mouvement
rectiligne uniformément
f
é
varié
é : espace parcouru, avec vitesse
initiale
e
e = e0 + v0t +
e
at²
2
at²
2
e0 = espace initial
t
0
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2. LA CINEMATIQUE
2.4. Le mouvement rectiligne uniformément varié
Mouvement décéléré : représentation graphique du mouvement
rectiligne uniformément
f
é
varié
é : vitesse et espace parcouru
t
0
v
-a
- a = cte < 0 =
e
e = v0t +
(-a)t²
2
v
t
v0
v = v0 + (-a)t
0
t
t
0
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2. LA CINEMATIQUE
2.4. Le mouvement rectiligne uniformément varié
Expressions mathématiques du mouvement rectiligne
uniformément varié
Le mouvement est sans espace initial et sans vitesse initiale
v = at =
vm =
2ae
t
v

a
2e
a
e
at²
2
v
at
=
2
2
Le mouvement est sans espace initial et avec vitesse initiale
v – v0
v = v0 + at
a=
t
vm =
v0 + v
e = v0t +
2
at²
2
Le mouvement est avec espace initial et vitesse initiale
v = v0 + at
e = e0 + v0t +
at²
2
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2. LA CINEMATIQUE
2.4. Le mouvement rectiligne uniformément varié
Expressions mathématiques du mouvement uniformément
varié avec vitesse initiale
v0 = vitesse initiale
v = vitesse finale
Mouvement accéléré
Mouvement décéléré
v0et a ont le même sens
v0 et a ont des sens contraires
a = accélération
vm = vitesse moyenne
e = espace parcouru
e0 = espace initial
a=
v – v0
t
a > 0 puisque v > v0
v = v0 + at
vm = v0 +
e = v0t +
a=
v0 – v
a < 0 puisque v0 > v
t
v = v0 + (-a)t
at
vm = v0 + -
2
at²
at
2
(1)
e = v0t +
(-a)t
2
((-a)t²
a)t
(1’)
2
Les relations (1) et (1’) montrent que l’espace parcouru final est égal à la somme ou à la
différence de deux espaces parcourus pendant t secondes : l’un v0.t provenant d’un
provenant d’un mouvement accéléré simple
p
mouvement uniforme ; l’autre a.t²/2 p
d’accélération a. C’est le principe de la conservation de la vitesse acquise.
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2. LA CINEMATIQUE
2.5. Le mouvement circulaire uniforme
Définition du mouvement circulaire uniforme
Un point est animé d’un mouvement circulaire uniforme lorsqu’il parcourt, sur une
circonférence, des arcs égaux en des temps égaux.
Caractéristiques du mouvement circulaire uniforme
La trajectoire
Dans le mouvement circulaire uniforme, la trace laissée par le mobile en
mouvement est une circonférence.
La vitesse
Dans le mouvement circulaire uniforme, la vitesse est constante. Deux vitesses
sontt à considérer
idé
: une vitesse
it
circonférentielle
i
fé
ti ll v ett une vitesse
it
angulaire
l i ω.
Loi des espaces parcourus
Dans le mouvement circulaire uniforme, l’espace parcouru est proportionnel au
temps.
temps
L’accélération
Dans le mouvement circulaire uniforme, l’accélération se décompose en une
accélération tangentielle et une accélération normale (centripète).
(centripète)
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2. LA CINEMATIQUE
2.5. Le mouvement circulaire uniforme
Vitesse circonférentielle et vitesse angulaire
Vitesse circonférentielle v
M0
Au départ, le mobile occupe le point M0. Après une seconde, il
occupe le point M1. Il a donc parcouru l’arc M0M1. La vitesse
circonférentielle v est l’arc parcouru pendant une seconde. L’
r
o

unité de vitesse circonférentielle est le m/s.
v
ω
Vitesse angulaire ω
Au départ, le rayon est OM0. Après une seconde, le rayon est en
OM1. Le rayon a donc balayé un angle ω. La vitesse angulaire ω
est l’angle balayé par le rayon en une seconde. L’unité de vitesse
angulaire est le radian/seconde (rad/s) ou le tour par minute
M1
(tr/min).
r = rayon dont la longueur est exprimée en m.
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2. LA CINEMATIQUE
2.5. Le mouvement circulaire uniforme
Expression mathématique de v et ω
Vitesse circonférentielle v
La vitesse circonférentielle, appelée aussi vitesse linéaire, est l’arc M0M1 parcouru par le mobile pendant
une seconde.
Nous p
pouvons écrire q
que v 
e
t
L’espace parcouru est représenté par le nombre de circonférences parcourues par le mobile pendant une
minute. Ce nombre est appelé N.
Une circonférence est égale à 2 ∏r. En une minute, le mobile a parcouru un espace qui équivaut à 2 ∏rN
mètres.
èt
En exprimant le temps en secondes, la vitesse circonférentielle v est égale à 2 ∏rN m/s ou ∏dN
60
60
m/s.
Vitesse angulaire ω
La vitesse angulaire est l’angle balayé par le rayon en une seconde. Elle s’exprime en rad/s. Le radian est
l’angle au centre qui intercepte, sur une circonférence, un arc de longueur égale à celle du rayon.
La longueur de ll’arc
arc M0M1 est égale au produit de ll’angle
angle au centre exprimé en radians par le rayon
rayon, soit
ω.0M0.
Un angle de 180° équivaut à ∏rad soit 3,14 rad ou, pour un tour complet, 2∏rad soit 6,28 rad.
La vitesse angulaire ω est égale à 2∏N ou ∏N rad/s.
60
30
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2. LA CINEMATIQUE
2.5. Le mouvement circulaire uniforme
Accélération tangentielle et accélération normale
Nous considérons le mobile en M0 animé d’une vitesse v0.
M0
Après une seconde, le mobile se trouve en M1 animé d’une vitesse
v0
a
V1. Comme
C
le
l mouvement est uniforme,
if
v1 = v0.
On recherche a en effectuant la différence vectorielle =
M
M1
0

r
a = v1 – v0
L’accélération a se décompose en une accélération tangentielle
v1 de valeur nulle puisque v1 – v0 = 0 et une accélération normale
ou centripète de valeur constante égale à
a
ω²r ou à
v²
r
v1
v0
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39
2. LA CINEMATIQUE
2.5. Le mouvement circulaire uniforme
Relation entre v et ω
v = ωr
avec v en m/s, ω en rad/s et r en m.
Relation entre v et N
v=
∏dN
avec v en m/s.
60
Relation entre ω et N
ω=
∏N
30
avec ω en rad/s.
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2. LA CINEMATIQUE
2.6. Synthèse
Translation
Mouvement
uniforme
Mouvement
uniformément
varié
a=0
v = cte
e vt
e=
e = e0 + vt
Rotation
a=0
ω = cte
v = ∏dN/60
ω = ∏N/30
a = cte
v = at
v = v0 + at
e = at²
2
e = e0 + v0t + at²
2
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Agenda.
Partie 3 : LA CHUTE DES CORPS
3 1 La pesanteur
3.1.
3.2. L’accélération due à la pesanteur
3.3. La chute libre d’un corps sans ou avec vitesse initiale
3.4. Les mouvements d’ascension et de descente
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42
3. LA CHUTE DES CORPS
3.1. La pesanteur
Notions générales relatives à la pesanteur
La pesanteur est la force qui attire les corps vers le centre de la terre. Cette force
appelée “gravitation”
gravitation a une direction verticale et le mouvement qu’elle
qu elle provoque est un
mouvement uniformément accéléré.
En physique, et en particulier en mécanique, l’accélération due à la pesanteur ou à la
gravitation porte la notation universelle “g”.
g .
Remarque
Dans le vide,, tous les corps
p chutent de manière identique
q
: ni le p
poids,, ni la forme,, ni la
matière constitutive n’ont d’importance.
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3. LA CHUTE DES CORPS
3.2. L’accélération due à la pesanteur
Valeur de l’accélération due à la pesanteur “g”
L’expérience montre que, dans nos régions, l’espace parcouru pendant la première
seconde de chute est de 4,905 m.
at²
Puisque le mouvement est uniformément accéléré, on part de la formule e =
2
2e
2.4,905
et on en tire la valeur de a =
=
= 9,81 m/s²
t²
1²
La valeur de g n’est pas toujours constante. Sur terre, elle varie avec la latitude et
l’altitude.
Généralement pour la commodité des calculs, on prend g = 10.
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3. LA CHUTE DES CORPS
3.3. La chute libre d’un corps sans ou avec vitesse initiale
Chute libre d’un corps sans vitesse initiale (v0 = 0)
Un corps est lâché, sans vitesse initiale, d’une certaine hauteur h. Sous
l’effet de la pesanteur, il accélère et atteint le sol avec une certaine vitesse finale.
Loi des accélérations
g = 9,81 m/s2
Loi des vitesses
v = gt (valeur de la vitesse après t secondes de chute)
v = 2gh (valeur de la vitesse à l’arrivée au sol en fonction de la hauteur de chute)
Loi des espaces parcourus
h=
gt²
(valeur de l’espace
l espace parcouru après t secondes de chute)
2
Durée de la chute
t=
2h
(valeur de la durée de la chute en fonction de la hauteur)
g
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3. LA CHUTE DES CORPS
3.3. La chute libre d’un corps sans ou avec vitesse initiale
Chute libre d’un corps avec vitesse initiale (v0 = 0)
Loi des accélérations
g = 9,8
9,81 m/s
/s2
Loi des vitesses
v = vi + gt (valeur de la vitesse après t secondes de chute lorsque le corps est
lancé de haut en bas)
Loi des espaces parcourus
h = v0t +
g²
gt
( ale de l’espace parcouru
(valeur
pa co
après
ap ès t secondes de ch
chute)
te)
2
Durée de la chute
t=
2h
(valeur de la durée de la chute en fonction de la hauteur)
g
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3. LA CHUTE DES CORPS
3.4. Les mouvements d’ascension et de descente
Le corps
p est lancé de bas en haut
V=0
apogée
p g
V=0
v0 = 0
v = v0 – gt = v 0²  2gh
h = v0t -
h
gt²
t²
2
Durée d’ascension t =
v0
g
Apogée h =
v0²
v0
g
2g
V = v0
Le corps descend
Au moment où le corps atteint l’apogée, la vitesse s’annule. Autrement dit, v0 = 0. Dès lors,
on applique les formules utilisée pour une chute libre sans vitesse initiale.
initiale
Le temps de descente = le temps d’ascension.
La vitesse à l’impact au sol = la vitesse de lancement =
2gh
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47
Agenda.
Partie 4 : LA DYNAMIQUE
4 1 Les lois de Newton
4.1.
4.2. Les notions de masse et de poids
4.3. Le travail, la puissance, l’énergie
4.4. Les forces centripète et centrifuge
4.5. Valeur des forces centripète et centrifuge
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4. LA DYNAMIQUE
LA DYNAMIQUE est la branche de la mécanique qui
étudie le mouvement d’un mobile considéré dans
ses rapports avec les forces qui en sont la cause.
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4. LA DYNAMIQUE
4.1. Les lois de Newton
Isaac Newton (
(1642 – 1727)
)
Mathématicien, physicien et astronome anglais qui découvrit les lois de la
gravitation universelle, le calcul infinitésimal et la décomposition de la
l
lumière.
iè
Les lois de Newton
Loi 1 : le principe de l’inertie
Un corps au repos ne peut se mettre en mouvement de lui-même et un corps en
mouvement ne peut modifier de lui-même cet état de mouvement.
Loi 2 : le principe de dynamique
Une force est l’origine d’une accélération. L’accélération est de même nature et
proportionnelle
p
p
à la force.
Loi 3 : le principe de l’action et de la réaction
Un corps A qui exerce une force sur un corps B subit de la part de ce corps B une
force identique dirigée en sens opposé.
opposé Toute action engendre toujours une réaction
réaction.
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4. LA DYNAMIQUE
4.2. Les notions de masse et de poids
Le p
poids d’un corps
p
Le poids d’un corps est la force d’attraction exercée par la Terre (la Lune…) sur le
corps. Cette force est due à la loi de la gravitation universelle. Elle est variable
suivant le lieu où elle s’exerce,
Le poids d’un corps est symbolisé par la lettre “P”.
L’unité de poids est le Newton symbolisé par “N”.
La masse d’un corps
La masse d’un corps est la quantité de matière constitutive du corps. Où que le
corps se trouve, la quantité de matière qui le constitue reste la même.
La masse est invariable.
La masse d’un corps est symbolisée par la lettre “m”,
g
symbolisé
y
p
par “kg”.
g
L’unité de masse est le kilogramme
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4. LA DYNAMIQUE
4.2. Les notions de masse et de poids
Effet dynamique d’une force
L’application du principe de la dynamique nous conduit à constater qu’une force
qui agit sur un corps communique à ce corps un mouvement rectiligne accéléré
d’accélération a, de mêmes direction et sens que la force agissante.
Suivant le même principe, on constate que l’accélération prise par le corps est
directement proportionnelle à la force appliquée au corps en question.
Autrement dit, le rapport entre la force qui sollicite le corps et l’accélération prise
par celui-ci est constant.
F
La constante représente la masse du corps, ce qui peut s’écrire m =
a
La masse d’un corps peut être en quelque sorte considérée comme sa résistance à
la mise en mouvement rectiligne accéléré sous l’action d’une force.

F
a

2F
2a

3F
3a
F 2F 3F
= = = constante = m
a 2a 3a
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4. LA DYNAMIQUE
4.2. Les notions de masse et de poids
Relation fondamentale de la dynamique
F
, on tire la relation fondamentale de la dynamique : F = ma
a
qui permet de trouver le mouvement que prend un corps de masse connue soumis
à une force d’intensité
é connue.
De la relation m =
Application particulière de la loi fondamentale
Nous avons vu précédemment que le poids d’un corps est la force qui attire le
corps vers la Terre. Le corps de masse m attiré vers le centre de la Terre prend un
mouvement vertical uniformément accéléré dirigé de haut en bas et est soumis à
une accélération
élé ti
verticale
ti l dont
d t la
l valeur
l
estt celle
ll de
d la
l chute
h t libre
lib : g.
Dans ce cas, F devient P et a devient g et la relation s’écrit :
P = mg
Dès lors, on peut écrire :
• qu’une masse de 1 kg est égale à 9,81 N.
• qu’une force de 1 N est égale à 0,102
0 102 kg
kg.
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4. LA DYNAMIQUE
4.3. Le travail, la puissance, l’énergie
Le travail mécanique
q
d’une force
Une force travaille lorsqu’elle déplace son point d’application. Sous l’action de la
force, le point d’application se déplace sur un certain espace.
C’est,, p
par exemple,
p , le cas d’une g
grue de chantier q
qui déplace
p
des p
palettes de
matériaux de construction de l’endroit où les palettes ont été déchargées jusqu’à
l’endroit où les matériaux vont être utilisés.
On parle de “travail moteur” lorsque la force et le déplacement de son point
d’application
d
application ont le même sens.
sens On parle de “travail
travail résistant
résistant” lorsque la force et
déplacement de son popint d’application ont des sens contraires.
La relation qui unit les notions de travail, de force et d’espace parcouru est
donnée par la formule : W = Fe
Le travail est symbolisé par la lettre “W”.
L’unité de travail est le Joule symbolisé par la lettre “J”.
Le Joule est le travail produit par une force de 1 N lorsqu’elle déplace son point
d’application sur une distance de 1 m dans la direction de la force.
N
Nous
pouvons d
donc é
écrire
i
que 1 J = 1Nm.
1N
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4. LA DYNAMIQUE
4.3. Le travail, la puissance, l’énergie
La p
puissance mécanique
q
On dit qu’une machine est plus puissante qu’une autre lorsque cette machine
déplace une même charge dans un intervalle de temps moindre.
La p
puissance mécanique
q
est la g
grandeur p
physique
y q
q
qui exprime
p
le travail effectué
par unité de temps.
La relation qui unit les notions de puissance, de travail et de temps est donnée par
la formule :
P= W
t
La puissance est symbolisée par la lettre “P”.
L’unité de p
puissance est le Watt symbolisée
y
p
par la lettre “W”.
L’unité de temps symbolisée par la lettre “t” est la seconde.
Nous pouvons donc écrire que P = 1J/s.
L’autre unité fréquemment utilisée est le kW.
Remarque
Jadis,, l’unité de puissance
p
était exprimée
p
en “cheval” symbolisé
y
par
p les lettres “ch”.
Les relations entre le ch et le kW sont : 1 kW = 1,36 ch et 1 ch = 736 W.
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4. LA DYNAMIQUE
4.3. Le travail, la puissance, l’énergie
Expression
p
p
particulière de la p
puissance en translation
Nous savons que le travail est le produit d’une force F par le déplacement du point
d’application de cette force sur une certaine distance e, dans l’hypothèse d’une force
constante en grandeur et en direction : W = Fe (1)
Par ailleurs, nous savons aussi que la puissance est égale à P =
Si dans (2),
(2) on remplace W par Fe
Fe, on obtient : P =
Fe
t
P = Fv
t
(2)
(3)
Si dans (3), on remplace e par : e = vt, on obtient alors : P =
En simplifiant dans (4), la formule devient :
W
Fvt
t
(4)
où la puissance exercée par une
force sur un corps est le produit de la force par la vitesse du corps si la force exercée
et la vitesse ont mêmes direction et sens.
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4. LA DYNAMIQUE
4.3. Le travail, la puissance, l’énergie
L’énergie
g
On dit qu’un corps possède de l’énergie lorsqu’il est capable de produire un
travail.
L’énergie
g se rencontre sous différentes formes de nature variable (mécanique,
(
q ,
électrique, thermique et chimique).
En particulier, l’énergie mécanique est celle des corps qui se déplacent sous l’effet
que cette force soit p
produite p
par les muscles humains ou les p
pièces
d’une force, q
mobiles d’une machine…
En mécanique, il existe deux sortes d’énergies :
• ll’énergie
énergie potentielle (énergie SANS mouvement) ;
• l’énergie cinétique (énergie DE MOUVEMENT).
Transformation de l’énergie
Chaque action nécessite une transformation de l’énergie. Les transformations sont régies par
deux règles fondamentales :
• la quantité d’énergie totale d’énergie dans l’univers est constante ;
• l’énergie
l’é
i peutt être
êt
transformée
t
f
é mais
i nii créée,
éé nii détruite.
dét it
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4. LA DYNAMIQUE
4.3. Le travail, la puissance, l’énergie
L’énergie
g mécanique
q
: l’énergie
g p
potentielle

L’énergie potentielle est l’énergie qui est
en réserve, qui est en attente d’être
utilisée. L’énergie potentielle s’exprime
en Joule.
P
h
Le corps de poids P est suspendu au repos au
au-dessus
dessus du sol, à une hauteur h.
L’énergie potentielle qu’il possède est égale au travail qu’il faudrait fournir pour le
soulever du sol d’une distance équivalente à h.
La relation qui unit le poids du corps et la distance qui le sépare est la même que
celle
ll utilisée
ili é pour déterminer
dé
i
le
l travail
il d’une
d’
force.
f
La relation s’établit ainsi : Ep = Ph et comme P = mg, on peut écrire : Ep= mgh
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4. LA DYNAMIQUE
4.3. Le travail, la puissance, l’énergie
L’énergie
g mécanique
q
: l’énergie
g cinétique
q
v
L’énergie cinétique est l’énergie des
corps en mouvement. L’énergie cinétique
s’exprime en Joule.
P
Le corps de poids P est n’est plus retenu. Il descend en chute libre sans vitesse
initiale.
Il est donc animé
é d’un mouvement rectiligne uniformément
é
accéléré
é é é d’accélération
éé
g. Il possède une énergie cinétique de translation rectiligne.
La vitesse atteinte par le corps à son arrivée au sol vaut : v = 2gh (1)
v²
De (1),
(1) nous pouvons tirer la valeur de h =
(2)
2g
Dans l’égalité Ep = mgh, nous remplaçons h par la valeur décrite dans (2) et on
obtient une nouvelle égalité qui nous donne la valeur de l’énergie cinétique de
translation rectiligne :
2
Ec = mv =
2
Pv2
2g
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4. LA DYNAMIQUE
4.3. Le travail, la puissance, l’énergie
Conservation de l’énergie
g

A
Lorsque le corps se trouve en A, l’énergie qu’il possède est
v=0
uniquement potentielle et vaut Ep = Ph = mgh. L’énergie
totale Et q
qu’il p
possède ((Ep + Ec) est égale
g
à Ep.
Lorsque le corps n’est plus retenu, il tombe et rejoint le sol
P
h
en B ; à ce moment, l’énergie qu’il possède est uniquement
mv²
cinétique et vaut Ec =
. L’énergie totale Et qu’il possède
2
est égale à Ec.
Si aucun travail moteur ou résistant n’est effectué entre A et
B, nous pouvons dire que l’énergie en A est égale à l’énergie
B
v=0
en B. C’est le principe de la conservation de l’énergie.
h=0
v=
2gh
Pv2
P
mv2
=
(2) avec v = 2gh . Si nous remplaçons
2
2g
P 2gh
ce qui donne après
dans (2) v² par 2gh, nous constatons que Et en B est égale à
2g
simplification Et en B = Ph.
Et en A = mgh = Ph (1) et Et en B =
L’énergie en A est égale à l’énergie en B.
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4. LA DYNAMIQUE
4.3. Le travail, la puissance, l’énergie
Transformation de l’énergie en travail

m

F
t
t’
B
t
A
a

e
 v’
v
e’
Un corps de masse m est soumis à l’action d’une force F. Nous avons vu qu’il prend une accélération a définie par
l relation
la
l i
F = ma. Après
A è t secondes,
d
le
l corps se trouve en A après
è avoir
i parcouru la
l distance
di
e. La
L force
f
Fa
accompli un travail dont la valeur est W = Fe. En A, le corps possède une énergie EA.
Entre A et B, on communique au corps un travail.
Après t’ secondes, le corps se trouve en B après avoir parcouru la distance e’. La force F a accompli un travail
équivalant à W’ = Fe’. En B, le corps possède une énergie EB dont la valeur est > à celle de EA. En réalité, l’énergie
en B est égale à l’énergie en A augmentée du travail W’ ce qui peut s’écrire EA = EB + W’.
La variation de travail entre les positions A et B du corps vaut W’ – W = Fe’ – Fe (1)
Dans cette égalité, nous pouvons écrire que e’ =
La relation (1) devient W’ – W = F v’²
2a
- F v²
2a
at’²
2
=
v’²
2a
. Comme
et que e =
at²
2
=
v²
2a
F
mv’²
= m, la relation devient W’ – W =
- mv²
a
2
2
La variation d’énergie cinétique dans un intervalle de temps est égale au travail de la force qui agit durant cet
intervalle de temps.
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4. LA DYNAMIQUE
4.4. Les forces centripète et centrifuge
Qu’est
Qu
est-ce
ce que la force centripète ?
Nous considérons un corps de masse m (la balle) décrivant
une trajectoire courbe à la vitesse v. Pour l’obliger à rester sur
la trajectoire pendant le mouvement, il faut lui communiquer une
force dirigée vers l’axe de rotation. Parce qu’elle tend à rapprocher
e corps
co ps du centre,
ce t e, cette force
o ce est appelée
appe ée “force
o ce ce
centripète
t pète” Fcp.
le
cp
La force centripète est radiale, dirigée vers le centre de
courbure et son intensité est inversement proportionnelle
au rayon de
d courbure.
b
On peut considérer que la force centripète est une force de rappel.
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4. LA DYNAMIQUE
4.4. Les forces centripète et centrifuge
Qu’est-ce
Qu
est-ce que la force centrifuge ?
Un objet est placé sur le disque qui tourne dans un plan horizontal.
Nous constatons que l’objet s’échappe de la surface plane du
disque.
La force qui agit sur l’objet et tend à le pousser radialement vers
pp
“force centrifuge
g ”.
l’extérieur s’appelle
Cette force a une direction opposée à celle de la force centripète.
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4. LA DYNAMIQUE
4.5. Valeur des forces centripète et centrifuge
Valeur des forces centripète
p
et centrifuge
g
Force centripète Fcp
Nous avons vu précédemment (leçon sur le mouvement circulaire uniforme) que
vv²
l’accélération normale an était égale à
. En appliquant la loi fondamentale de la
r
Pv²
v²
dynamique F = ma, nous pouvons écrire que Fcp = m
=
r
gr
Force centrifuge Fcf
Cette force d’inertie est égale et opposée à la force centripète. Son expression mathématique
est donc identique à celle de la force centripète. On peut écrire que Fcf = m
Comme nous l’avons également
g
vu,, nous savons que
q
v=
v² = Pv²
r
gr
q
 r et que
 = 2 rad.
En remplaçant v dans la relation m v² , la valeur de la force centrifuge s’exprime
r
mathématiquement par Fcf = m ² r
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4. LA DYNAMIQUE
4.5. Valeur des forces centripète et centrifuge
Application
pp
p
pratique
q
: le dévers des voies dans les courbes
Pour combattre l’effet de la force centrifuge, on incline transversalement les voies dans les
courbes. On relève ainsi les virages pour que la résultante R du poids P du véhicule et de la
f
force
centrifuge
if
Fcf soit
i perpendiculaire
di l i à lla voie.
i
F
Fcf = Pv² et tg  = cf
gr
g
P
De ces deux relations, on tire la
valeur de l’angle de relèvement
è
:
tg  =
Pv²
=
Pgr
v²
gr
Fcf

 R
P
Rappel de trigonométrie : la tangente de l’angle
 est le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent.
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65
Agenda.
Partie 5 : LES TRANSMISSIONS
5.1. Définition et types de transmissions
5 2 Les transmissions par engrenages
5.2.
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5. LES TRANSMISSIONS
5.1. Définition et types de transmissions
Définition générale
En mécanique, le terme “transmission” décrit un organe ou un ensemble d’organes
servant à transporter la puissance d’un producteur d’énergie (moteur) au mécanisme
utilisateur (récepteur).
(récepteur)
Les types de transmissions
En mécanique générale, on distingue deux types de transmissions :
• les transmissions par liens flexibles et par friction : il s’agit des transmissions par
poulies et courroies, par roues de fiction et par tambour et câble ;
• les transmissions rigides : il s’agit des transmissions par roues dentées et chaîne et
par engrenages.
Dans le présent cours, nous ne verrons qu’une ébauche de l’étude des transmissions
par engrenages.
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5. LES TRANSMISSIONS
5.2. Les transmissions par engrenages
Transmissions par engrenages
Les transmissions par engrenages sont utilisées pour les transmissions à distances
très courtes d’axe en axe. Les engrenages permettent la transmission d’efforts très
importants où la vitesse doit être rigoureusement respectée.
Les engrenages peuvent revêtir des formes très variées. En effet, ils peuvent être :
• cylindriques
y
q
droits ;
• cylindriques hélicoïdaux ;
• cylindriques à chevrons ;
• coniques
coniq es droits
d oits ;
• coniques spiraloïdaux.
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5. LES TRANSMISSIONS
5.2. Les transmissions par engrenages
Formule générale de la transmission par engrenages
Nous considérons 2 engrenages coniques.
1
L’engrenage 1 est le pignon moteur dont les caractéristiques sont :
• le diamètre p
primitif D1
• la vitesse de rotation N1 t/min =
• le nombre de dents Z1
 D1 N1
60
L’engrenage 2 est la roue entraînée dont les caractéristiques sont :
• le diamètre primitif D2 ;
• la vitesse de rotation N2 t/min =
• le
l nombre
b de
d dents
d t Z2
2
 D2 N2
60
Du fait que les diamètres sont proportionnels au nombre de dents, on peut établir la
loi de la transmission comme suit : Z1.N1 = Z2.N2
Cette relation peut aussi s’écrire :
N1
N2
Le rapport de transmission R est égal
à
=
Z2
Z1
N2
N1
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Agenda.
Partie 6 : LES FORCES DE FROTTEMENT
6 1 Les résistances passives
6.1.
6.2. Le frottement de glissement
6.3. Le frottement de roulement
6.4. Comparaison des deux types de frottements
6.5. La traction des véhicules ferroviaires
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6. LES FORCES DE FROTTEMENT
LES FORCES DE FROTTEMENT SONT DES FORCES QUI
APPARAISSENT LORSQU’UN CORPS SE DEPLACE PAR
RAPPORT A UN AUTRE ET QU’IL
QU IL Y A CONTACT ENTRE
LES DEUX CORPS.
L’étude des forces de frottement est importante pour
bien comprendre le phénomène de l’adhérence en
traction ferroviaire.
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6. LES FORCES DE FROTTEMENT
6.1. Les résistances passives
Les résistances passives
On peut définir les résistances passives comme étant l’ensemble des forces qui
s’opposent au mouvement.
En mécanique, on distingue 4 espèces de résistances au mouvement :
• la résistance au glissement ;
• la résistance au roulement ;
• la raideur des liens flexibles ;
• la résistance des fluides.
Dans le cadre
cad e du
d présent
p ésent cours,
co s no
nous
s n’ét
n’étudierons
die ons sommai
sommairement
ement q
que
e les résistances
ésistances
au glissement et au roulement.
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6. LES FORCES DE FROTTEMENT
6.2. Le frottement de glissement
Le frottement de glissement (la résistance au glissement)
Le frottement de glissement ou autrement dit la résistance au glissement est dû à la
rugosité des corps.
C’est
C
est notamment le cas des blocs de frein qui frottent sur la surface de roulement des
roues d’un véhicule ferroviaire ; les blocs frottent tout en glissant.
Expérience
R
P
charge
La force
L
f
quii permett lla mise
i
en mouvementt du
d chariot
h i t
s’appelle la force de démarrage ou l’effort de démarrage.
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6. LES FORCES DE FROTTEMENT
6.2. Le frottement de glissement
Le frottement de glissement : l’influence de la force normale au plan
Le corps de masse m est appliqué sur la surface S. Le corps est se déplace vers la gauche avec un
certain effort. Quelles sont les forces en présence ?
• le poids P du corps,
corps force normale à la surface de contact S sous ll’effet
effet de la pesanteur
pesanteur.
• la force de frottement F tangente à la surface S qui est dirigée en sens opposé au mouvement.
Mouvement
m
F
S
P
• l’effort de démarrage dirigé dans le sens du mouvement ; cette force sert à vaincre la force de
frottement qui apparaît entre le corps et la surface de contact.
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6. LES FORCES DE FROTTEMENT
6.2. Le frottement de glissement
Le frottement de glissement : l’influence de la force normale au plan
Résultats de l’expérience réalisée avec le chariot
Poids P du corps en N
Effort de démarrage F en N
Rapport F/P
20 + 10 = 30 N
5N
5 / 30 = 0,16
20 + 40 = 60 N
10 N
10 / 60 = 0,16
0 16
20 + 100 = 120 N
20 N
20 / 120 = 0,16
La force de frottement de glissement au démarrage s
s’oppose
oppose au
mouvement du corps sur le plan. Cette force est proportionnelle
à la force normale exercée par le corps sur le plan.
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6. LES FORCES DE FROTTEMENT
6.2. Le frottement de glissement
Le coefficient de frottement f
L’expérience a démontré que la force de frottement F est :
• dépendante de la force P normale au plan ;
• dépendante de la nature et de ll’état
état des surfaces en contact (présence de lubrifiant ou
non, présence de roulement, …) ;
• indépendante de la vitesse ;
• indépendante de ll’étendue
étendue des surfaces en contact.
contact
Le rapport entre la force de frottement F et la force normale P exercée par le corps sur
la surface est appelé coefficient de frottement f.
Ce coefficient f dépendant de la nature et de l’état des surfaces en contact est constant
et est déterminé expérimentalement.
Expressions mathématiques de la relation
F = fP et f =
F
P
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6. LES FORCES DE FROTTEMENT
6.2. Le frottement de glissement
L’angle de frottement
Le poids P du corps se décompose en une force N,
N normale au plan,
plan et une force F parallèle au plan.
plan Comme
précédemment, nous ajoutons des charges au corps et nous mesurons l’angle à partir duquel le corps se met en
F
mouvement. Nous voyons que la valeur de la tg  =
et que F = N.tg 
N
F



N
Nous constatons que, quelle que
g , le corps
p se met en
soit la charge,
P
mouvement lorsque l’angle atteint 10°.
Cet angle s’appelle “angle de frottement au
Poids P du corps en N
Angle relevé
20 + 10 = 30 N
10°
20 + 40 = 60 N
10°
20 + 100 = 120 N
10°
départ”. Le coefficient de frottement f est
départ
égal à la tangente de l’angle de frottement.
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6. LES FORCES DE FROTTEMENT
6.2. Le frottement de glissement
Le frottement de glissement : l’influence de la nature et de l’état des
surfaces en contact
Le tableau ci-dessus donne un aperçu des variations de F, de f et de l’angle de frottement pour
une charge fixe de 120 N.
Le frottement est sec ou direct lorsque les corps glissent sans
interposition d’un lubrifiant entre leurs surfaces de contact.
Le frottement est indirect lorsque les corps sont lubrifiés.
La résistance au glissement dépend de la
nature et de l’état des surfaces en contact.
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6. LES FORCES DE FROTTEMENT
6.2. Le frottement de glissement
Le frottement de glissement : l’absence d’influence de l’étendue des
surfaces en contact
dans lesquelles nous avons le même état de surface ; seule l’étendue de surface est différente.
Poids P du corps en N
Effort de démarrage
en N : expérience 1
Effort de démarrage
en N : expérience 2
La résistance au glissement
est indépendante de
30
5
5
60
10
10
l’étendue des surfaces en
120
20
20
contact.
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6. LES FORCES DE FROTTEMENT
6.2. Le frottement de glissement
Le frottement de glissement : l’absence d’influence de la vitesse
Des expériences que nous ne pouvons mener en classe ont montré que le frottement
est indépendant de la vitesse.
Ceci est tout particulièrement vrai pour des vitesses < 3,5 m/s.
Au-delà de cette valeur, on considère que le frottement diminue avec la vitesse.
Le glissement pendant le mouvement
En reprenant les mêmes données expérimentales que pour établir f, il a été montré que
l’effort de frottement en mouvement est plus petit que l’effort de frottement au
démarrage. Pour ce faire, on a mesuré l’effort nécessaire au maintien du chariot en
mouvement rectiligne uniforme : cet effort est < à l’effort nécessaire au démarrage du
chariot sur la surface de contact.
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6. LES FORCES DE FROTTEMENT
6.3. Le frottement de roulement
Le frottement de roulement
Le frottement de roulement est dû à la déformation de la surface de contact.
C’est notamment le cas des roues d’un véhicule ferroviaire qui frottent sur le rail en
roulant sur celui-ci.
celui-ci
Expérience
Nous prenons l’exemple d’une roue qui roule sur une surface horizontale.
L’expérience montre que les corps indéformables n’existent pas et que, par
conséquent, lorsque la roue roule sur un plan, elle doit constamment remonter
une rampe. Cette rampe est due à la pénétration de la roue dans le plan.
Le plan reprend en général sa position primitive après le passage de la roue.
Si le plan est constitué d’une matière tendre, comme la boue qui tapisse un
chemin forestier, la déformation causée par le passage de la roue se maintient et
on constate la formation d’ornières.
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6. LES FORCES DE FROTTEMENT
6.3. Le frottement de roulement
Le frottement de roulement
Examinons les forces en présence.
Au centre O de la roue,, on applique
pp q
une force F ; par
p rapport
pp
au point
p
A,, cette
force agit au bout du bras de levier constitué par le rayon r de la roue. Le moment
de la force F (F.r) produit un couple de rotation appelé “couple moteur”.
Lors du déplacement de la roue, la matière constitutive du plan se déforme sous
l’action de la force P, appliquée au centre O de la roue, normale au plan et due
à la pesanteur. Le moment de la force P (P.d) produit un “couple résistant”.
Pour assurer le roulement de la roue, il faut que le couple moteur équilibre le couple
résistant.
Nous pouvons donc écrire que F.r = P.d et de cette relation,
nous tirons la valeur de F,, force nécessaire au roulement :
Pd
r
Le rapport
F=
d
r
est le coefficient de résistance au roulement.
roulement
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6. LES FORCES DE FROTTEMENT
6.3. Le frottement de roulement
Le frottement de roulement : l’influence de la force normale au plan
L’expérience réalisée avec un wagonnet dont le poids de départ est de 2000 N, qu’on charge progressivement
jusqu’à 5000 N, montre l’influence de la force normale au plan sur l’évolution de la valeur de la résistance au
roulement.
La résistance au roulement est proportionnelle à la force normale
exercée par le corps roulant sur le plan.
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6. LES FORCES DE FROTTEMENT
6.3. Le frottement de roulement
Le frottement de roulement : l’influence du chemin de roulement
Le dessin de droite représente la roue d’un wagon déraillé qui repose sur le sol. Si on essaye de déplacer le
véhicule l’effort
véhicule,
l effort à fournir pour réaliser ce déplacement sur le sol est infiniment plus important que celui qui
est nécessaire à son déplacement sur rails.
La résistance au roulement dépend de la nature et de l’état
l état des
surfaces en contact.
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6. LES FORCES DE FROTTEMENT
6.3. Le frottement de roulement
Le frottement de roulement : l’influence de la vitesse
La résistance au roulement ne varie pas avec la vitesse.
Le frottement de roulement : l’influence du rayon de la roue
Des expériences ont montré que la résistance au roulement des
roues de petit rayon est > à celle des roues de plus grand rayon.
On a en effet constaté que la pénétration des roues de petit
rayon d
dans la
l surface
f
de
d roulement
l
était
é i plus
l
importante
i
que
celle provoquée par des roues de plus grand rayon.
La résistance au roulement est inversement proportionnelle au rayon de
la roue.
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6. LES FORCES DE FROTTEMENT
6.4. Comparaison des deux types de frottements
Comparaison entre les deux frottements
Le chariot est posé sur une voie horizontale. Un câble sur lequel on exerce un effort de traction F est fixé en A.
Lorsque l’effort F est faible, rien ne se passe. Lorsqu’on augmente F, le chariot se déplace dans la direction de F.
Lorsqu’on cale les roues du chariot et qu’on augmente la valeur de F, la charge A glisse sur le châssis B.
Conclusion de l’expérience
Le coefficient
L
ffi i t de
d résistance
é i t
au roulement
l
t estt plus
l
petit
tit que le
l coefficient
ffi i t
de résistance au glissement.
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6. LES FORCES DE FROTTEMENT
6.5. La traction des véhicules ferroviaires
Nous considérons une roue de locomotive qui supporte une charge P. La roue
est posée sur un rail horizontal. Nous avons vu qu’entre la roue et le rail, il
peut y avoir roulement. L’effort F nécessaire au roulement est donné par la
relation F = P.d
Si nous calons la roue, la roue ne va plus tourner et le roulement va se
transformer en glissement si nous appliquons un effort E qui dépasse l’effort
F’ = P.f
Si nous décalons la roue à ce moment, nous constatons que la roue pivote
parce que l’effort E appliqué est > à F et à F’. En réalité, la roue glisse et
tourne en même temps, ce qui explique le patinage de l’engin moteur.
Conclusions
Valeur de l’effort moteur
Conséquence
F < P.d
Pas de mouvement
F > P.d
d et F < P.ff
Roulement
l
générale – MA_Technologie deset
trains :glissement
Mécanique générale
F > P.d et F > P.fLicence européenne – Formation©Roulement
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7. Exercices
7.1. Les forces - Le moment d’une force – L’équilibre des corps
• Calculez le moment d’une force de 72 N appliquée à l’extrémité d’une poutre encastrée dans un
mur. La distance qui sépare l’extrémité de la poutre au mur est de 2,75 m. Déterminez le signe
du moment.
d’une
une force de 250 N exercée par une clé d
d’une
une longueur de 300 mm sur
• Quel est le moment d
un axe de rotation ?
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7. Exercices
7.2. Cinématique
• Quel est l’espace parcouru par un train en 3 minutes et 15 secondes dont le tachymètre
i di
indique
constamment
t
t 95 k
km/h
/h ?
• Un ascenseur élève une charge à une hauteur de 20 m en un mouvement rectiligne
uniforme. La durée de l’ascension est de 31 secondes. Calculez la vitesse atteinte par l’engin.
• Un train circule pendant 42 minutes à une vitesse constante de 76 km/h
km/h. Calculez la distance
parcourue sachant qu’avant d’avoir fait l’objet d’un chronométrage, le convoi avait déjà parcouru
23,8 km.
• Un coup de tonnerre est perçu par un observateur 22 secondes après l’éclair
l éclair. Sachant que le
son parcourt 340 m/s, calculez la distance à laquelle se trouve l’orage.
• Calculez le temps de parcours d’un TGV circulant à 300 km/h pour parcourir, sur la ligne à
grande vitesse 1
1, la distance de 75 km qui sépare ll’entrée
entrée de la LGV à Hal à la frontière
frontière.
• Un train circule à une vitesse constante de 20 m/s. Pendant 30 secondes, il accélère et la valeur
de l’accélération est de 1m/s². Quelle est la vitesse acquise par le train au bout du temps d’accélération ?
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7. Exercices
7.2. Cinématique
• Un train circule à la vitesse de 72 km/h. Le conducteur accélère pendant 1 minute et la
vitesse du convoi atteint 94 km/h
km/h. Calculez l’accélération,
l’accélération la vitesse moyenne et l’espace parcouru
pendant la phase d’accélération.
• Un satellite artificiel atteint la vitesse de 8 km/s après 2 minutes de parcours. Calculez
ll’accélération
accélération et l’espace
l espace parcouru pendant cette période.
période
• Un train circule à la vitesse de 108 km/h. Pour respecter un zone à vitesse réduite, le conducteur
freine pendant 24 secondes pendant lesquelles le train a parcouru une distance de 428 m dans
un mouvement uniformément décéléré
décéléré. Calculez la valeur de la décélération et vitesse finale
finale.
• Une automotrice part du repos et, après avoir parcouru 400 m d’un mouvement uniformément
accéléré (a = 0,5 m/s²) roule d’un mouvement uniforme pendant 2 minutes. Le conducteur freine
et l’engin
l engin s’arrête
s arrête après avoir ralenti pendant 10 secondes d
d’un
un mouvement uniformément retardé.
Calculez la durée de la période de démarrage, la vitesse atteinte à la fin de la période de
démarrage, l’espace parcouru pendant le mouvement uniforme, la valeur de la décélération et
l’espace
p
p
parcouru p
pendant le freinage.
g
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7. Exercices
7.2. Cinématique
• La roue d’une turbine tourne à 6000 t/min. Calculez la vitesse linéaire (circonférentielle) d’un
point de la périphérie sachant que le diamètre de la roue est de 850 mm. Calculez la vitesse
angulaire de la roue.
p
sur une circonférence moyenne
y
de 1,2
, m de diamètre.
• Les aubes d’une turbine sont réparties
La roue tourne à 3000 t/min. Calculez la vitesse linéaire, la vitesse angulaire et l’accélération
normale.
• La roue d
d’un
un ventilateur de refroidissement des résistances de démarrage d
d’une
une locomotive
tourne à 450 t/min. Sachant que la vitesse linéaire ne peut dépasser 30 m/s, calculez le diamètre
extérieur maximal de la roue et la vitesse angulaire.
• Une cage d’ascenseur parcourt 32 m en 18 secondes. Le câble de traction s’enroule sur un
tambour de 750 mm de diamètre. A quelle vitesse linéaire le tambour doit-il tourner pour réaliser
l’opération de levage ?
• Une cage d’ascenseur remonte d’un puits de mine dont la profondeur est de 900 m. La remontée
s’effectue en 3 phases réparties comme suit :
phase 1 : 300 m en mouvement accéléré ; phase 2 : 420 m en mouvement uniforme où la vitesse
= 20 m/s ; phase 3 : 180 m en mouvement décéléré. Déterminez la durée de chacune des phases
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décrites, la valeur de l’accélération et de la ©décélération.
91
7. Exercices
7.3. La chute des corps (on considère que g = 10 m/s²)
• Une personne lance une balle en l’air verticalement. Quelle vitesse faut-il lui communiquer pour
qu’elle atteigne la hauteur de 30 m ? Après quel délai atteindra-t-elle le sol ?
• Il s’est écoulé 4 secondes entre le départ et l’arrivée au sol d’une pierre lancée verticalement.
p g
Calculez la vitesse initiale et l’apogée.
• Un corps tombe pendant 12 secondes. Calculez la vitesse à l’arrivée au sol. Calculez l’espace
parcouru par le corps durant la chute.
• Une balle de fusil de chasse est tirée verticalement de bas en haut avec une vitesse initiale de
400 m/s. Calculez sa vitesse après 8 secondes et la hauteur atteinte à ce moment.
Calculez l’apogée et la durée d’ascension.
• Un objet tombe dans un puits de mine de 1000 m de profondeur. Calculez sa vitesse et la durée
de la chute.
• Un projectile sort du canon d’un fusil de chasse à une vitesse de 500 m/s. Le canon est dirigé
verticalement vers le haut. On considère les frottements négligeables. Calculez l’apogée, la vitesse
de passage à 5000 m, la durée de l’ascension, la vitesse à l’impact au sol et la durée totale du
mouvement du projectile.
projectile
• Un corps est lancé, vers le bas, d’un immeuble avec une vitesse initiale de 12 m/s. Déterminez
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la hauteur de l’immeuble si on sait que le temps
de chute est de 6 secondes.
92
7. Exercices
7.4. La dynamique (on considère que 1 kg = 10 N)
• Un corps dont la masse est de 180 kg est soumis à une force de 150 N. Calculez l’accélération
communiquée au corps.
• Une voiture dont la masse est de 1200 kg atteint la vitesse de 120 km/ en 18 secondes.
Calculez l’effort de traction développé par le moteur.
• Un objet de 80 kg se trouve dans un ascenseur qui monte avec une accélération de 1,25 m/s².
Calculez la réaction du plancher de l’ascenseur.
• Une grue monte une charge de 985 kg à une hauteur de 28 m.
m Calculez le travail.
travail
• Un ouvrier exerce une force de 150 N sur une manivelle de 0,3 m de longueur tangentiellement
à la circonférence décrite. Calculez le travail accompli pour 50 tours de manivelle.
• Un ascenseur transporte 10 personnes du rez-de-chaussée au 1° étage, 6 du 1° au 2° étage,
3 du 2° au 4° étage et 2 du 4° au 6° étage. Le poids moyen des personnes est de 70 kg et la
hauteur d’un étage est de 6 m. Calculez le travail fourni par l’ascenseur.
• Quel est le travail fourni par une locomotive qui remorque des wagons avec un effort de
300 kN sur une distance de 20 km ?
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7. Exercices
7.4. La dynamique (g = 10 et 1kg = 10 N)
• Une locomotive remorque une rame de wagons avec une force de 250 kN. Elle parcourt 100 km
en 1 h 48 minutes. Calculez la puissance développée par l’engin.
• Un corps a une masse de 900 kg. Il est situé à une hauteur de 18 m. Calculez son énergie.
/ Q
Quelle est la forme
• Un train dont la masse est de 650 t circule à la vitesse de 120 km/h.
d’énergie ? Calculez-la.
• Quelle est la puissance d’une locomotive qui remorque un train avec un effort de 200 kN à
une vitesse constante de 108 km/h ?
• Un train dont la masse est de 400 t circule à 144 km/h sur une voie horizontale. Le conducteur
freine sur une distance de 300 m et la vitesse du convoi passe à 108 km/h. Calculez l’effort
de freinage (que l’on suppose constant).
• Un bloc d’acier destiné à la démolition d’un mur a une masse de 100 kg. Il tombe d’une
,
m. Calculez sa vitesse et son énergie
g cinétique
q
au bas de la chute.
hauteur de 2,50
• Un corps dont la masse est de 25 kg se trouve à une hauteur de 125 m. Calculez son énergie
potentielle.
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7. Exercices
7.4. La dynamique
• On accroche un objet dont la masse est de 10 kg à l’extrémité d’un fil d’acier et on fait
tourner l’objet. Le rayon de la circonférence décrite par l’objet en mouvement est de 1,20 m et la
vitesse de rotation est de 3 t/s. Quelle est l’intensité de la force centrifuge qui sollicite l’objet ?
• Un train circule à 108 km/h. Il aborde une courbe dont le rayon est de 1200 m. Déterminez
l’angle théorique du dévers. Déterminez l’intensité de la force centrifuge si la masse du convoi est
de 720 t.
• Une roue dentée munie de 24 dents mue par un moteur électrique tourne à une vitesse de 96
t/min. Cette roue entraîne une autre roue dentée munie de 72 dents. Quelle est la vitesse de
rotation de la deuxième roue ?
• Un pignon de 36 dents tourne à raison de 1500 t/min et entraîne un engrenage qui doit tourner
à 500 t/min. Déterminez le nombre de dents de l’engrenage entraîné.
• Un wagon dont la masse est de 50 t comporte 4 roues de diamètre = 920 mm. Calculez
la valeur de la résistance au roulement sachant que le coefficient de résistance est de 0,0005.
• Calculez la force de résistance au glissement d’un bloc de fonte dont la masse est de 2 t et qu’on
fait se déplacer sur un plan horizontal en acier sachant que le coefficient f vaut 0,18.
0 18
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