Les nombres Pierre Renson 2015-2016 Facult´

Facult´e des Sciences
Les nombres
Pierre Renson
2015-2016

Pr´eface
Ce livre est destin´e `a int´eresser diff´erentes cat´egories d’intellectuels. Beaucoup
d’entre eux notamment ceux qui, `a l’universit´e, sont attach´es `a la facult´e de philo-
sophie et lettres s’attarderont volontiers `a la premi`ere partie ; ils aimeront r´efl´echir
`a la mani`ere dont l’humanit´e a pu, il y a de nombreux mill´enaires, imaginer ces ˆetres
abstraits que sont les nombres, apprendre `a les manier et `a utiliser les op´erations
qui les concernent. D’autres, surtout ceux qui ont plus de connaissances scienti-
fiques, iront plutˆot voir plus loin des exemples de paires de nombres amiables,
ils passeront sans doute en revue les propri´et´es des nombres de Fermat, entre
autres, ils s’attarderont peut-ˆetre `a la relation entre les coefficients binomiaux et
les nombres de la suite de Fibonacci, ils se rem´emoreront, plus loin encore dans le
livre, des s´eries ayant une somme li´ee `a l’un ou l’autre des nombres transcendants
πou e. Les philosophes de l’antiquit´e consacraient bien plus de leur temps `a ad-
mirer par exemple les propri´et´es du nombre d’or, que je rappelle `a la fin du livre,
que ne le font les savants de nos jours, qui ont tellement d’autres choses `a faire.
Les nombres sont des ˆetres abstraits, qui sont remarquables par le caract`ere
absolu et par cons´equent universel de leurs propri´et´es. Par exemple, lorsque nous
affirmons que sept est un nombre premier, tandis que six ou huit ne le sont pas,
cela constitue une v´erit´e non seulement pour nous, mais aussi pour tous les ˆetres
pensants vivant sur d’autres plan`etes, voir dans d’´eventuels autres univers. On peut
´etablir leurs propri´et´es par raisonnement. C’est d’ailleurs plus d’une fois ce que j’ai
fait pour des ´enonc´es qui sont donn´es dans ce livre ; cela me prenait souvent moins
de temps que d’aller les chercher ailleurs, bien que je sois ´evidemment conscient
que cela avait presque certainement d´ej`a ´et´e fait avant moi dans chaque cas.
L’immense utilit´e pratique des nombres et de leurs propri´et´es est une ´evidence.
C’est d´ej`a le cas dans la vie courante ; ce l’est plus largement et de plus en plus
dans la r´esolution des probl`emes qui se pr´esentent en sciences pures et en sciences
appliqu´ees. A cet int´erˆet pratique, s’ajoute celui que leur conf`ere notre curiosit´e,
remontant `a l’antiquit´e comme je viens de le rappeler, d’investiguer leurs propri´et´es
si remarquables et diverses. Je souhaite aux lecteurs d’´eprouver beaucoup de sa-
tisfaction `a d´ecouvrir ou revoir toutes celles que ma mentalit´e de collectionneur
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m’a conduit `a r´epertorier pour finalement les rassembler dans cet ouvrage.
Pour rendre la lecture plus ais´ee pour tous, j’ai ´evit´e le formalisme et le lan-
gage de la th´eorie des ensembles. Je pr´ef`ere ici utiliser le langage habituel, par
exemple en parlant du nombre de choses dans un ensemble de ces choses plutˆot
que de dire que c’est le cardinal de cet ensemble.
Bonne lecture !
Pierre Renson

Chapitre 1
Les nombres naturels et les
op´erations fondamentales
1.1 Les nombres naturels
Les nombres naturels, c’est-`a-dire les nombres entiers positifs, sont destin´es `a
caract´eriser num´eriquement une collection de choses et plus exactement, ne pas
se contenter de dire s’il y a peu de ces choses dans la collection ou s’il y en a
beaucoup, mais ˆetre aussi pr´ecis que possible `a ce point de vue : dire exactement
combien il y en a.
Les premiers d’entre eux se sont certainement introduits dans le langage humain
il y a tr`es longtemps.
L’ensemble des nombres naturels est une suite ordonn´ee de noms, les noms de
nombres `a savoir un, deux, trois, quatre, cinq, etc., qu’on repr´esente respectivement
par 1, 2, 3, 4, 5, etc., grˆace `a laquelle nous pouvons compter les choses.
Si par exemple nous avons une corbeille de pommes et une corbeille de poires
et que nous voulons savoir si nous avons plus des unes ou des autres et lesquelles,
nous allons les compter les unes et les autres. Ceci consiste `a associer `a chaque
pomme, durant ce comptage, un nom de la suite des nombres, jusqu’`a ce que ce soit
fait pour toutes les pommes de la corbeille. Nous ferons de mˆeme pour les poires.
Etant donn´e que la suite des nombres naturels est ordonn´ee, nous constatons alors
dans quel des deux cas nous avons ´et´e le plus loin dans cette suite, donc si nous
avons plus de pommes ou plus de poires. Si par exemple en comptant les poires
nous ne sommes arriv´es qu’`a un nombre qui pr´ec`ede celui auquel nous sommes
arriv´es en comptant les pommes, il y a moins de poires que de pommes. Nous
pouvons mˆeme savoir combien il y a, dans ce cas, de pommes en plus : c’est la
diff´erence entre les deux nombres auxquels nous sommes arriv´es ; il suffit de faire
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